Определение асимптотической плотности распределения вероятностей для сетей связи с адаптивными протоколами случайного множественного доступа для бесконечного числа станций Текст научной статьи по специальности «Математика»

2 2 Г ЮС

( Jc!r

С =---— J/2 (u)du и окончательно In g(w, t)- В частности, g(co,0) = exp--j/2 (u)du

2 о l 2 о

2 2 T

О С

f a> Vr

т.е. статистика S0 асимптотически нормальная.

- I у

ЛИТЕРАТУРА

1 .Гнеденко Б.В., Коваленко И.А. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.431 С.

2. Кокс Док. Р., Слот В. Теория восстановления. М.: Сов. радио, 1967.299 с.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 196S. 716 с.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

5. Колмогоров А Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

6. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

7. Марголис Н.Ю. Оценка интенсивности флуктуирующего пуассоновского потока методом полиномиальной аппроксимации Ч Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та,1984. Вып. 3. С. 73-91.

8. ЛоэвМ. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. 719 с.

9. Хеннекен П.А., ТортраА. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974.472 с.

10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 447 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики

Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.

УДК 519.872: 681.03

Д.Ю. Кузнецов, A.A. Назаров

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СЕТЕЙ СВЯЗИ С АДАПТИВНЫМИ ПРОТОКОЛАМИ СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА СТАНЦИЙ

Рассматривается спутниковая сеть связи с большим числом абонентских станций (АС), распределенных на значительной территории. Так как спутниковый канал имеет ограниченную пропускную способность и используется одновременно всеми АС, такую сеть можно смоделировать, используя протоколы случайного множественного доступа (СМД). Из [1,2] известно, что сети связи с протоколом СМД функционируют достаточно нестабильно. В сетах с конечным числом АС в них может возникать явление бисгабильности [2], а в сетях с бесконечным числом АС в них отсутствует стационарный режим, то есть пропускная способность таких сетей равна нулю, а средняя задержка пакета растет неограниченно по мере продолжительности работы системы. Проблему стабилизации таких систем можно решить использованием адаптивных протоколов доступа, в которых адаптация реализуется автоматом с целесообразным поведением [3], названным зд есь адаптером.

Попробуем описать функционирование рассматриваемой здесь сети следующим образом: спутник-ретранслггор может находиться в одном из трех состояний: либо он ждет прихода сообщения от АС, либо занят его передачей, либо, если он получил сообщение от одной АС в момент обслуживания сообщения от другой, он находится в режиме озове-щения о конфликте. Те АС, сообщения которых не были успешно переданы, будут пытаться передавать свои сосбще-ния снова, пока не получат уведомление об их успешной передаче.

Математическую модель такой сети можно построить в виде однолинейной системы массового обслужишния (СМО), на вход которой поступает простейший с параметром А. поток требований, и с обслуживающим прибором, который может находиться в одном из трех состояний: А=0, если он свободен; £=1, когда он занят обслуживанием затки; А=2, когда на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если за это время другие требования не поступали, то исходная зшвка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, те они вступают в конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на интервале оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов, из которого вновь обращаются к прибору с попыткой повторного обслуживания. Повторное обращение происходит после случайной задержки, имеющей экспоненциальное распределение с параметром о. Число заявок в ИПВ обозначим /.

Время обслуживания заявок рекуррентное с функцией распределения B(s). Длины интервалов оповещения о конфликте имеют функцию распределения

Для стабилизации неустойчивых сетей интенсивность о повторного обращения будет возрастать непрерывна при любом состоянии канала и убывать дискретно в момент окончания в канале сигнала оповещения о конфликте. Для такого изменения о, положив а=1/Т, конструкцию адаптера выберем так, чтобы его состояние 1\1) с течением врекени t менялось следующим образом: в любой момент времени 71(<+Д/)=7(/У^аД/ за исключением момента окончания рашро-странения сигнала оповещения о конфликте, когда 7T(/+A/)=71(/)-ß. Здесь а и ß - параметры адаптера, которые (удут определены ниже. Если при убывании T\t) достигает заданного значения Т£>0, то состояние адаптера остается разным этому значению до момента его увеличения на ß. Можно предложить и другие конструкции адаптеров.

Состояние рассматриваемой системы определим вектором (k, i, Т). Введем переменную z(l), имеющую смысл длины интервала времени, который остался до момента смены текущего состояния прибора. Процесс {k(t), i{t),z(t), 7'/)} -марковский. Проведем исследование этого процесса.

1-U+-

{/>, (î, z+ÙJ,T+аД/, /)-

Исследование сети связи

Запишем вероятности состояния процесса

Р„ (/, z, Г) = P[k(t) = к, i(t) = i, 2(0 <г,Тй T(t) <

< T+dT]/¿Т. Запишем систему уравнений для построенной СМО: Р0 (/', T,t + At) = Pl (/, At,T+а Л/, /)+ Р2 (/, Д/, Т- (5, f)+

+^1- X + j-Po ('.т + аД/.0+ о^). Рх(/, z, T,t + At)= XAtP0(/, Г, /)b(z)+

- /> (/, А/, Т + аД/, /)} + о(А/), Р2 (/, г, T,t + At)= kAtP, (i -2,T,t)A(z)+

+ [l - ХД/]{А (/, z + Д/.Г + аА/, /)-- P2 (i, M T + otAi, i)}+(i -. 1, 2, Ts 0-wo(Ai) Выполнив необходимые преобразования, выпишем систему уравнений, определяющую стационар-нарное распределение вероятностей Л0>, 7) состояний сети (£(/), /(0, z(/)) и адаптера T(t):

dz дт '

+ аЩ±11 + ХРй-2,Т)А(2)+

Здесь

ал(/,0,Г) ÔPt (i, г т)

2 = 0.

дг дг

Решим систему методом асимптотического анализа [4].

Обозначим 8~Х = ег,1ег =х,Тг1 = у, \рк{иг,Т)~

е

= П4(х, г, у, е) и перепишем определяющую стационарное распределение систему в виде

âz с>у

*Vr f \ ЗП\{х,г,у,г)

[X + -Jn ,(W,e)--^--

x£(z)+^у-П0(х + е\У> bV(z)+

dz ду

ty

У У

х (х - е 2,у, zjA(z)+Ш 2 (х - е2, г, у, е)+ о(е) ( 1 ) Разложим П4(х±62,у,е) и I7t(x,y-fle'.e) по

ê в окрестности точки (x,y,é) в ряд с точностью до г2 и просуммируем почленно все уравнения системы (1), положив 2=оч

Qy[

dz

+ <хП2(х,у,б)}+ гг (-П0(х,у,е)-25П, (х,у,е)-дх [у

-ЯП2 (х,у, П, (х, у, е)| = о{г2)

Переходя в этом равенстве к пределу при е-»0, будем иметь

ау иг

дх[у у

-25П,(х,>0-т2(х,у)} = О. (2)

В системе (1) перейдем к пределу при е-* 0 и, обозначив 05+х/у, получим систему дифференциальных уравнений

+СВ{г%0(х,у\ 0 ЗП 2(х,г,у) ЭП 2(х,0,>')|

решение которой запишется как

П, (х, г, у) = С?П0(х, у]е°' х

х '¡е-°' [Оу - В{{)]АЦ 2 (х, г, >-) = ОТ, (х, >-)/(1 - А^, о о

<ю

где у = Положим г=<хг.

о

П,(х,^) = (1-С?у)П0(х,^ П2(х,^) = ц1С(1-С?у)П0(х>Я (3)

где цх =

о

Подставим найденные выражения в (2): д

ду

NbHINb)

+ {(фу-2-ц,0 + ц,С2у)+С72у)по(х,;и)} = 0.

совпадающее с вырожденным уравнением Фокке-ра-Планка для плотности распределения вероятностей П(х1у) значений стационарного двумерного диффузионного процесса, коэффициенты диффузии которого равны 0. Поэтому допредельное распределение вероятностей П*(х,у,£) сосредоточено в окрестности той точки х=а, у=Ь, в которой коэффициенты переноса равны 0. Следовательно, можно записать систему двух уравнений

) + (И,-Г-А)*2 = 0, (4)

(фу - 2 - н.б + ц,С2у)+ С?2 у)= 0, решение которой определяет параметры х=а,у=Ь. При заданных значениях параметров адаптера а,/3ю первого уравнения этой системы получаем величину (3=%.

Рг (/, 2, / + А/) = ХЩ (/ -2,1)А(г)+

+ [1 - ХА/|яг(/,г + /»,(/, АГ,/)}+ + ХА/Я2 (/ -1, г, /) + о(Д/) Выполнив необходимые преобразования, выпишем систему

йг се

ог ох

+ (г-5)Р1(|-1Цг)+ЯР2(/-1,2) (5) Теорема. Асимптотически в условиях большой загрузки ЯТ5 распределение вероятосгей Щх) состояний {А, <(5-Я)} сети с динамическим протоколом доступа при интенсивности повторного обращения имеет вид

/ о \ f? ¡Ту 7 TT П(х) = — ехр< - — I, где а дается равенством (8), а G = —-}—А-Vr---—. П(х) = П0(х)+П,(х) + П2(х),

2Г—у-ц.у

к* )

Второе равенство системы определяет значение 5 пропускной способности сети связи, управляемой адаптивным протоколом случайного множественного доступа с бесконечным числом узлов:

S = ■

g2 У

2 + H,g-gy-H,gV На основании того, что мы принимали G=S+x/y, можно установить, что множество решений х=а, у=Ь системы (4) определяется равенством a=nb, где n=g-S. В силу этого утверждения пропускная способность, асимптотическое распределение вероятностей состояний канала, а также распределение нормированного числа заявок в ИПВ для сети связи, управляемой адаптивным протоколом доступа, совпадают с аналогичными характеристиками для сети с динамическим протоколом, в которой интенсивность повторного обращения из ИПВ каждой заявки составляет nli. Так как n=g-S, то величина интенсивности в нашем случае при переходе от адаптивного протокола к динамическому составит (g-S)/i.

Составим систему уравнений, которой удовлетворяет распределение вероятностей:

P{k(t) = k, i{t) = /, z(t)üz)=Pk(/,2,t\

/>(/,/ + А/)= /»(/, Д/,/)+P2(i, A/,t)+ />, (i,z,t + Af) = \AtP0 (;', t)B{z)+

П(х) = П0 (x) + П, (x) + П 2 (x),

r~l - -0-gy) ■ _0-gy)gMi °~R' Г' R~' 2 R » Ä = 2-gy + h(l-gy). ^ Доказательство. Обозначим

S - X = e2, /б2 = x, 4- Pk (/, z) = nt (x, z, e),

E

ni(x,z,0) = ni(x,z) и перепишем систему (4):

/ \ dz ЭП2(х,0, e)

dz

.szit, i+1

1-1 X + ^

А/

{/>(/,z + A/,')"

_ап1|о1е)+{5_е2)По(х>е)в(2)+

ог

+(£-5)П0(х + б2, е]5(г)+о(е), _Ш2(х,0,е) + (^ег)п(х_2е2)ф(г)+

+(5-б2)П2(х-82,г,Б)+о(е) (6)

Положив е = 0, получим систему дифференциальных уравнений относительно Пк(х,г,), решив эту систему и устремив г -> получим выражения для Пк(х), вид которых совпадает с (3).

Разложим Пк(х,г,Б) в системе (6) по прира-

41

щениям аргумента х в ряд с точностью до е и будем искать решение Пк(х,г,е) в виде

Пк (х, 2,б) = Пк (х, 2,)+б2Л (х, 2)+о(е2). ((7)

Сложив все уравнения системы (6), разложенные в ряд до е4, и подставив туда разложение (7), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для неизвестной функции П(х):

S = ■

g2r

где g определяется по формуле

dx

■ + к.

dx2 '

где

1

g --7~-\-•

*i =0~gY)(2+25 + ц, +2S2 +S2g\i2 +

о о

о о 2

Обозначив а = кг!кх, запишем решение этого уравнения:

Обозначим П(х) = П0 (х)+П, (х)+П2 (х). Испо-

»

льзуя условие нормировки

= 1, получим

2. Асимптотическая плотность распределения вероятностей для сети связи, управляемой адаптивным протоколом случайного множественного доступа с бесконечным числом узлов, равна

(8)

П(х) = — ехр< - — [. Теорема а (. а)

Переходом от адаптивного протокола к динамическому удалось получить асимптотическую плотность распределения вероятностей состояний системы, определяемых вектором (к, I) для сети связи с адаптивным протоколом случайного множественного доступа. «Описанным^ здесь методом можно полу* чить совместное асимптотическое распределение вероятностей состояний (А,/, 7), но это выходит за рамки данной работы.

Заключение

доказана.

Выпишем основные полученные результаты. 1. Пропускная способность 5 сети связи, управляемой адаптивным протоколом случайного множественного доступа с бесконечным числом узлов, равна

ЛИТЕРАТУРА

Исследован адаптивный протокол случайного множественного доступа с оповещением о конфликте. Для сети связи с бесконечным числом абонентских станций найдено асимптотическое распределение вероятностей состояний системы. Определена величина пропускной способности 5.

1. Бертсекас Д., Гамагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.

2. Назаров A.A., Юревич Н.М. Исследование явления бисгабильности в сети с протоколом Алоха для конечного числа станций // Ав-

томатика и телемеханика. 1996. № 9. С.91-100.

3. Фалин Г.И. О неустойчивости сети Алоха//Проблемы передачи информации. 1990. № 1С. 79-82.

4. Назаров A.A. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 15 февраля 2000 г.

УДК 519.872

A.A. Назаров, E.JI. Туренова

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕМАРКОВСКОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТА СЕТИ С ПРОТОКОЛОМ КАНАЛЬНОГО УРОВНЯ HDLC

Рассматривается протокол сети коммутации пакетов, при котором передача осуществляется полными эшелонами фиксированной длины. Аналитическое исследование проводилось для рекуррентного обслуживания и двух дисциплин повторной передачи: групповой и селективной. Эта статья продолжает исследования, начатые в [1], где рассмотрена аналогичная задача по исследованию марковской модели. В [1] предполагается, что время передачи эшелона кадров экспоненциальное. Естественно, более Адекватной является модель с неэкспоненциальным временем передачи эшелона. Именно эту модель мы и будем исследовать.

Рассмотрим функционирование элемента сети связи с протоколом HDLC [2], состоящего га двух станций -первичной и вторичной. Предполагается, что кадры передаются эшелонами по п ипук. На первичной станции при передаче эшелона остается его копия. Вторичная станция, получив эшелон, определяет, какие кадры переданы успешно, и передает первичной станции квитанцию о результате передачи. Первичная станция формирует новый эшелон из кадров, переданных с ошибками,

дополняя их вновь поступившими. Как только эшелон сформирован, все действия повторяются.

Задачу анализа сети передачи данных сведем к построению и исследованию математической модели в виде системы массового обслуживания (СМО) с одним обслуживающим прибором, простейшим входящим потоком с параметром А, рекуррентным обслуживанием и некоторым распределением числа заявок для повторного обслуживания. Введем обо-