Описание вынужденного ядерного деления с помощью обобщенного уравнения Ланжевена Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 2. С. 31-34.

УДК 539.173

А.Е. Гегечкори, Г.Д. Адеев

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

ОПИСАНИЕ ВЫНУЖДЕННОГО ЯДЕРНОГО ДЕЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЛАНЖЕВЕНА

Generalized Langevin equation is used to describe the diffusion over a simple parabolic fission barrier. The dependence of saddle-to-scission time on the correlation time of random force is studied. The influence of memory effects on the fission rate is also considered.

Введение

В теории атомного ядра одним из наиболее интересных вопросов является вопрос о множественности нейтронов и временах деления, так как различные характеристики предразрывной множественности нейтронов содержат ценную информацию о процессе деления. Так, средняя множественность предразрывных нейтронов играет роль своеобразных часов, измеряющих время деления. Кроме того, множественности предделительных нейтронов совместно с другими наблюдаемыми могут быть использованы для определения такой важной характеристики, как вязкость ядерного вещества [1].

До недавнего времени все работы по данной тематике выполнялись с использованием марковского приближения. Но каковы точность и область применения такого приближения? Ответ на этот вопрос мог бы дать учет немарковости процесса деления. Однако эта проблема мало исследована, и число работ по ней невелико [2; 3].

В связи с этим, в работе изучалось влияние эффектов немарково-сти на процесс спуска ядра от седловой точки к точке разрыва.

Модель

В качестве уравнений движения использовалась система обобщенных уравнений Ланжевена, которая для случая одной коллективной координаты имеет вид [4]:

• Р

< =—, т

Р = -^+^дт - |^Т(х - Ор(0+¿г(х). (1)

дд 2т дд *

Х0

Фрикционное ядро Щ) связано с корреляционной функцией случайной силы 81<{И) посредством флуктуационно-диссипативной теоремы [5]:

{8 Г (X )8Г (X ')> = тТГ(Х - X'), (2)

при этом

{8 Г ( Х)> = 0, (3)

©А.Е. Гегечкори, Г.Д. Адеев, 2007

где т - инерционный параметр, Т - температура термостата, угловые скобки обозначают усреднение по статистическому ансамблю.

Уравнение (1) описывает движение частицы в так называемой вязко-упругой среде.

Скажем здесь несколько слов о терминологии. Случайный процесс, удовлетворяющий соотношениям (2) и (3) с Г(1:), непропорциональным 5-функции Дирака, называется цветным шумом. Если же Щ пропорционально 5(1), то процесс называется белым шумом. Вязкую силу, выраженную интегралом в правой части (1), часто называют задержанным трением. Наличие этого члена придает уравнениям немарковский характер, так как значение р в момент 1 определяется всеми предшествующими моментами времени.

В работе фрикционное ядро выбрано в виде [4; 6]

Г(- -1' ) = Y exp (- ^

тт v т

<^ЙХ,&)) = 2Ту8($, -/2).

При противоположных предположениях о величине т, а именно при т ^ да, получим:

г г

| dt'Г(t - г')р(г') =Г(0)| dtp(t) ^ 0, (5)

т. е. предел нулевого трения.

Введя обозначение

Р = - [ dtT(t - г')р(г’) + 5Р(г),

го

систему (1) с фрикционным ядром (4) можно заменить системой трех уравнений

[6], с которой гораздо удобнее обращаться, особенно при численном моделировании:

• Р

< = —, т

д¥ р2 дт „

Р = -—+, --+ Р,

dq 2т dq

(4)

F = -Y p-1 F +J2T-%(t), тт т т

(6)

где т - время корреляции случайной силы, Y - фрикционный параметр.

Легко показать, что при т ^ 0 (4) переходит в ¿ьфункцию. Таким образом, данный выбор T(i) является естественным обобщением случая дельта-коррелированной случайной силы. При этом, если время корреляции случайной силы много меньше характерного времени коллективной степени свободы q(t) (математически это можно выразить как т ^ 0), можно перейти к следующим приближениям

[3]:

t t 1. J dtT(t -1')p(t’) -p(t)J dtT(t -1');

2. -—— »1, и тогда J dtT(t -1')

- - ) .

m

Тогда обобщенное уравнение Ланже-вена переходит в обычное марковское:

• Р

q = —,

m

Р =

dV p2 dm у

-~ Р + Гт (-).

д< 2т2 д< т

Случайная сила имеет следующие статистические свойства:

<Гт (г)) = 0

где <#(0> = 0, <£(Ш/2» = 8($, -/2).

Такая замена основана на том, что выбранная нами корреляционная функция описывает процесс Орнштейна-Уленбека [6], и система дополняется уравнением, определяющим данный процесс.

В данной работе потенциал выбран в виде [7] (д и Цдэ определяются из требования непрерывности потенциала и его первой производной):

V (q) =

где Б/ - высота барьера. Параметры, использованные при расчетах:

Б/ = 8 МэВ; Ьаа = 1,64 МэВ;

Наъ = 1,16 МэВ; т = 60 а.е.м.;

два = 5,37 фм;

две - координата разрыва.

В данном случае естественным представляется выбрать в качестве меры диссипативной силы безразмерное отношение П = г/2таха.

Описание вынужденного ядерного деления...

33

При этом в расчетах транспортные коэффициенты т и у полагались постоянными.

Результаты

В работе вычислялось среднее время

спуска ядра с седла к разрыву <г^-с) ,

непосредственно связанное со средней множественностью предделительных нейтронов.

Для решения системы (6) использовался метод Рунге-Кутта [8]. Шаг интегрирования уравнений по времени Дí = =0,01-10-21 с. Усреднение проводилось по ансамблю из 105 стохастических траекторий.

Зависимость среднего времени спуска от параметра цдля разных значений времени корреляции случайной силы т.

Т = 1,73 МэВ, д0 = 0 фм, р0 = 10-10-21 МэВ с/фм, р0 = 0 МэВ/фм

Результаты расчета времени спуска представлены на рисунке. Время корреляции, соответствующее каждой кривой, указано на рисунке. Из решения уравнения (6) видно, что при близком к нулю т (т= 0,01-10-21 с) время спуска для систем с белым и цветным шумом одинаково. При увеличении т время спуска уменьшается. Такой результат согласуется с [3]. При т = 0,5-10-21 с время спуска уменьшается примерно в 1,3 раза. Таким образом, задержанное трение стремится уменьшить влияние диссипативных процессов, что ведет к уменьшению эффективного

трения. Об этом свидетельствует и выражение (5).

Может показаться, что данный результат находится в противоречии с [2], где утверждается, что при т порядка 10-23 с время спуска увеличивается примерно в три раза. Однако стоит принять во внимание то, что подход, предложенный в [2], существенно отличен от использованного в данной работе. В частности, фрикционный параметр, полученный в рамках микроскопической модели [2], оказывается зависящим от времени корреляции случайной силы т. При этом вязкость увеличивается с ростом т, что, в свою очередь, ведет к увеличению времени спуска [3].

С использованием того же формализма была вычислена и скорость деления. В классической работе Крамерса [9] для стационарного значения этой величины было получено следующее выражение:

К = кКг =ПК ехр(-В/ / Т), (7)

1ПСО ,

т„

гдеа=4г"(^)7 т**, = у! у''(^)/;

а к =№ + в /4 "в/2, Р = 7^/т^ - приведенный фрикционный параметр; значения транспортных коэффициентов берутся в основном состоянии (дв) и в седле (ей).

При расчетах было выявлено увеличение стационарного значения скорости деления в случае наличия в системе задержанного трения. Эффект проявляется тем ярче, чем больше время корреляции т. При т = 10-20 с Явг для немарковского случая примерно в 1,2 раза больше марковского значения. Однако при т порядка 10-21 с отличие в стационарных значениях для марковского и немарковского случаев практически отсутствует. Этот результат находится в согласии с [10], где получено аналитическое выражение для Явг немарковской системы:

Д. =^_ ехр(-Бг / Т), (8)

2пт

в котором Хг может быть найдено из уравнения

а

Х + г(Х)' (9)

Здесь Г(р) - преобразование Лапласа ядра памяти Г(ї). В случае Г(ї) = (у/т)8(\Ї)

(8) переходит в результат Крамерса (7). Если Г(2) имеет вид (4), то (9) переходит в

>} + -Л; +(^--с,И= 0. (10)

т тт т

Уравнение (10) имеет единственный положительный корень.

Заключение и выводы

В работе с использованием обобщенного уравнения Ланжевена изучено влияние эффектов немарковости на скорость диффузии через барьер деления и время спуска ядра от седловой точки к точке разрыва.

Выявлено уменьшение времени спуска с ростом времени корреляции случайной силы т. Такой результат обусловлен уменьшением влияния диссипативных процессов. При слабо отличных от нуля значениях времени корреляции случайной силы времена спуска для марковского и немарковского случаев практически совпадают. При т = 0,5-10-21 с время спус-

ка для немарковского случая примерно в 1,3 раза меньше, чем для марковского.

Выявлено увеличение стационарного значения скорости деления с ростом т, что согласуется с результатом, полученным для (tsd_sc) . Этот факт также свидетельствует об уменьшении влияния диссипативных процессов.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Адеев Г.Д. и др. // ЭЧАЯ. 2005. Т. 36. С. 732.

[2] Kolomietz V.M., Radionov S.V., Shlomo S. // Phys.

Rev. С. 2001. V. 64. P. 054302.

[3] Boilley D., Lallouet Y. // J. Stat. Phys. 2006. V. 125.

P. 477.

[4] Boilley D., Suraud E., Abe Y. and Ayik S. // Nucl.

Phys. A. 1993. V. 556. P. 67.

[5] Kubo R. //Rep. Prog. Phys. 1966. V. 29. P. 255.

[6] Abe Y. et al. // Phys. Rep. 1996. V. 275. P. 49.

[7] Nix J.R. et al // Nucl. Phys. A. 1984. V. 424. P. 239.

[8] Wilkie J. // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 017701.

[9] Kramers H.A. // Physica. 1940. V. 7. P. 284.

[10] Grote R.F., Hynes J. T. // J. Chem. Phys. 1980.

V. 73. P. 2715.