CC BY
8Автор приносит благодарности О. А. Загрядскому, Е.А. Кудрявцевой и А. Т. Фоменко за полезные замечания и обсуждения.
Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ № 11.G34.31.0054, гранта РФФИ № 1 ■> 0Ю0664-а и программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-1410.2012.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Загрядский О.А., Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Ma гем. сб. 2012. 203, № 8. 39-78.
2. Fomenko А. Т. The integrability of some Hamiltonian systems // Ann. Global Anal, and Geom. 1983. 1, N 2. 1-10.
3. Trofimov V.V., Fomenko A.T. Liouville integrability of Hamiltonian systems on Lie algebras // Russ. Math. Surveys. 1984. 39, N 2. 1-67.
4. Fomenko A.T. The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions to integrability // Math. USSR Izvestija. 1987. 29, N 3. 629-658.
5. Bertrand J. Théorème relatif au mouvement d'un point attire vers un centre fixe // C. r. Acad. sci. Paris. 1873. 77. 849-853.
6. Darboux G. Sur un problème de mécanique // Despeyrous T. Cours de mécanique. Vol. 2. Note XIV. P.: A. Herman, 1886. 461-466.
Поступила в редакцию 22.01.2014
УДК 519.716.5
ОПИСАНИЕ ВСЕХ МИНИМАЛЬНЫХ КЛАССОВ В ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОМ МНОЖЕСТВЕ С\ ВСЕХ ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, КОТОРЫЕ МОЖНО ГОМОМОРФНО ОТОБРАЗИТЬ НА ДВУЗНАЧНУЮ ЛОГИКУ
А. В. Макаров1
Описаны все минимальные классы в частично упорядоченном множестве С\ всех замкнутых классов трехзначной логики, которые можно гомоморфно отобразить на двузначную логику.
Ключевые слова: трехзначная логика, замкнутый класс, частично упорядоченное множество, гомоморфизм, минимальный класс.
The description of all minimal classes in the partially ordered set C\ of closed classes of the three-valued logic that can be homomorphically mapped onto the two-valued logic is given.
Key words: three-valued logic, closed class, partially ordered set, homomorphism, minimal
class.
Все необходимые определения можно найти в статье автора [1, введение]. Там же доказано, что в частично упорядоченном множестве (далее ч.у.м.) С\ всех тех замкнутых классов трехзначной логики фз, которые можно отобразить на двузначную логику есть лишь конечное число минимальных элементов, каждый из которых имеет базис из одной функции двух переменных.
В настоящей работе дается описание всех 15 минимальных классов ч.у.м. \ из них 6 классов указаны А. И. Мальцевым в работе [2], а 9 классов найдены автором.
А. И. Мальцев нашел 6 классов трехзначной логики, изоморфных двузначной логике, с применением операции введения фиктивной переменной. Два из них порождены следующими функциями:
/1 0 1\ /1 о 0\ 000 , 000 . \1 0 1/ \о о о/
(аоо o-oi 0-02\
аю ац я>12 задает функцию <р(х, у) следующим соотношением: <р(х, у) = аху. «20 Й21 0-22/
1 Макаров Алексей Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vvmavmmakarovQyandex.ru.
Остальные 4 класса получаются изоморфными отображениями этих классов, порождаемых перестанов-
л - - (012\
ками циклической группы A3 третьего порядка, порождаемой перестановкой I ^ 2 о / '
Из 9 оставшихся классов укажем только 3. Остальные 6 классов получаются изоморфными отображениями этих трех классов, порождаемых перестановками группы A3. Упомянутые 3 класса порождаются следующими тремя функциями:
10 2\ /1 0 2\ /1 0 0\ 002,002, 000 . 222/ \0 0 2/ \0 0 2/
Класс функций, порождаемый первой из этих функций, изоморфен но без операции введения фиктивной переменной. Классы, порождаемые второй и третьей функцией, не изоморфны фг- Например, в классе, порождаемом третьей функцией, 16 функций отображаются в стрелку Пирса у\ V у2-
Методы, использованные при доказательстве утверждений данной статьи, основаны на методах, применявшихся в работах [1, 3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Макаров A.B. О гомоморфизмах функциональных систем многозначных логик // Математические вопросы кибернетики. Вып. 4. М.: Наука, 1992. 5-29.
2. Мальцев А.И. Итеративные алгебры и многообразия Поста // Алгебра и логика. 1966. 5, № 2. 5-24.
3. Гниденко В.М. Нахождение порядков предполных классов в трехзначной логике // Проблемы кибернетики. Вып. 8. М.: Наука, 1962. 341-346.
Поступила в редакцию 12.02.2014
УДК 514.852
ПОВЕРХНОСТИ БЕРТРАНА С ПСЕВДОРИМАНОВОЙ МЕТРИКОЙ ВРАЩЕНИЯ
О. А. Загрядский1
Представлено обобщение классической теоремы Бертрана на поверхности вращения с индефинитной метрикой без экваторов. Также строятся их вложения в пространство Минковского Mf и формулируется аналог критерия Сантопрете.
Ключевые слова: гамильтоновы системы, поверхности вращения, теорема Бертрана, замкнутые орбиты.
A generalization of the classic Bertrand theorem to surfaces of revolution with an indefinite metric without equators is presented. Their embeddings into the Minkowski space Rf are constructed and an analogue of Santoprete's criterion is formulated.
Key words: Hamiltonian systems, surfaces of revolution, Bertrand's theorem, closed orbits.
1. Система на поверхности вращения. В конце XIX в. было установлено [1], что только потенциалы гравитационного взаимодействия Ньютона и пружинного взаимодействия Гука дают замкнутые орбиты, т.е. планета, движущаяся в центральном поле такого потенциала, описывает замкнутую кривую (конечно, кроме случаев вырожденной или неограниченной орбиты). В дальнейшем задача неоднократно обобщалась [2-5], в том числе рассматривалось движение по римановым поверхностям постоянной кривизны и поверхностям вращения. Перейдем к рассмотрению псевдоримановых поверхностей вращения.
Рассмотрим гладкое многообразие S ~ (a, b) х S1 с координатами (и, Lp mod 2-/г) и псевдоримановой метрикой вращения
г_(а\1(и) 0 \ m
где ац(и), й22(и) € С5(а, Ь), ац(и) > 0,а22(и) > 0. Пусть на нем задан центральный потенциал, т.е. функция V = V(u) € С5. Под действием потенциала V движется точка по закону
1 Загрядский Олег Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
grpcozagQmail.ru.
