Описание сопряженной задачи теплообмена в половолоконных мембранах Текст научной статьи по специальности «Физика»

^естник^ТУИЖ, № 2, 202

УДК 62-278 : 621.184.64

Профессор Х.Р. Блягоз, профессор А.А. Схаляхов,

(Майкопский гос. технол. ун-т) кафедра технологий, машин и оборудования пищевых производств, тел. (8772) 57-00-11

профессор Е.П. Кошевой, доцент А.Г. Верещагин

(Кубанский гос. технол. ун-т) кафедра машин и аппаратов пищевых производств, тел. (861) 275-22-79

Описание сопряженной задачи теплообмена в половолоконных мембранах

Рассмотрена постановка задачи теплопереноса от ламинарного потока жидкости внутри половолоконной трубы к наружным стенкам, интенсивно охлаждаемым внешней средой для случая, когда конвективный перенос тепла внутри потока сопоставим с тепловым сопротивлением стенок трубы.

In this article the formulation of the problem of heat transfer from the laminar flow of fluid within the hollow-tube to the outer walls, intensely cooled by the external environment for the case when the convective heat transfer within the flow is comparable to the thermal resistance of the pipe walls has been considered.

Ключевые слова: мембрана, теплообмен, жидкость, стенка, сопряженная задача переноса.

Теплообменники с использованием непроницаемых полипропиленовых половолоконных мембран [1] имеют высокую удельную поверхность теплообмена и могут эффективно применяться в некоторых областях промышленности. Однако низкая теплопроводность и соотношение размера отверстия и толщины стенки мембран оказывает существенное влияние на описание процесса теплообмена.

Поставлена задача переноса тепла от ламинарного потока жидкости внутри трубы к наружным стенкам трубы, интенсивно охлаждаемым внешней средой для случая, когда размеры потока текущей жидкости сопоставимы с размерами трубы, а конвективный перенос тепла внутри потока сопоставим с тепловым сопротивлением стенок трубы.

В данном случае рассматривается задача описания теплопереноса в потоке и стенке трубы как сопряженная. В этом случае перенос тепла в жидкости описывается следующим дифференциальным уравнением конвективного переноса [2]:

дТх( г, х,т)

дт

.(г)

дТ( г, х

дх

(1)

д22 (г,х,т) +1 дТ. (г,х,т) + д2Т. (г,х,т)

дг

дг

дх

© Блягоз Х.Р., Схаляхов А.А., Кошевой Е.П., Верещагин А.Г., 2012

где м>ж(г) - скорость потока жидкости в трубе в направлении х движения жидкости. В случае установившегося ламинарного гидродинамического режима эта величина определяется уравнением

ж. = ^ Ци •(R

- г2),

4Т \ ии / (2)

где Рнач и Ркон - давления соответственно в начальном и конечном сечениях; /ж - динамическая вязкость жидкости; ЬТр - длина трубы.

Переменные г и х меняются в пределах области существования решения по х (0 < х< Ьтр) и по г (0 < г < Rтр).

Дифференциальное уравнение теплопроводности для полого цилиндра имеет вид [3]

дТы (г,х,т)

дт

д22 (г, х,т) +1 дТм (г, х,т) + д2Гм (г, х,т)

дг2

дг

дх

(3)

В отличие от уравнения (1) в нем отсутствует конвективная составляющая, и область существования решения по радиусу г ограничена стенками трубы ^тр < г < Rст).

Для уравнения (1) имеет место граничное условие симметрии:

дТ. (О,х,т)

= О.

(

Зг 4)

Уравнение (4) показывает, что имеет место осевая симметрия теплового поля относительно оси х, направление которой совпадает с

= a

OÖ

= a

направлением потока жидкости в трубе. Начальное условие для жидкости следующее:

Те (г, х,0) =

(

5)

Уравнение (5) показывает, что в начальный момент времени жидкость в трубе нагрета до температуры среды (ТШч). Начальные условия для трубы соответствуют граничным условиям для жидкости внутри этой трубы:

Т68 (г, х, О) = б)

Из уравнения (6) следует, что стенки трубы в начальный момент времени имеют ту же температуру, что и жидкость внутри трубы. Это соответствует случаю, когда по трубе достаточно долго течет нагретая жидкость и температурное поле в жидкости и стенках трубы выравнивается.

Граничными условиями для трубы являются условия первого рода:

Т6б (^вь» х,г) = Тп . 7)

Уравнение (7) показывает, что в начале переходного процесса поверхность трубы мгновенно охлаждается до температуры (Ткон). Условием сопряжения тепловых полей жидкости и стенки трубы считаем условие идеального теплового контакта, определяемое уравнениями равенства температур на границе:

Тба (Ябв,х,т) = Тт (^х,г) . (8)

Тепловые потоки на внутренней поверхности трубы между трубой и жидкостью определяются уравнением:

. дТе (^68., дТ66 (^68.

--= ^68--:

е <—\ 68 ч

дг дг

(9)

где А - коэффициент теплопроводности жидкости; Ар - коэффициент теплопроводности трубы.

Для решения задачи (1)-(9) методом конечных разностей [4], который основан на замене производных их приближенным значением, выраженным через разности значений функций в отдельных дискретных точках -узлах сетки.

Вначале рассмотрим стационарное температурное поле, которое является предельным случаем задачи (1)-(9) при времени переходного процесса г—да. В этом случае производные по времени обращаются в ноль.

Для потока жидкости в трубе это соответствует следующему соотношению:

.(г)

ТТе (Г, X) _

дх

д% (Г, X) 1 ТТе (Г, X)^д2Тж (Г, X)

дг2

дг

дх2

(10)

Уравнение (10) получено из уравнения (1), и для его решения используются следующие граничные условия:

дТе (О, х)

= О.

(

дг 11)

Уравнение (11) - условие симметрии.

Те (Г,0) = Ти

12)

(

Уравнение (12) - поршневое течение жидкости на входе в трубу.

Для стенок трубы уравнение (3) преобразуется к виду

д22 (Г, х) 1 дТ68 (Г, х) д2Т2,5 (Г, х)

= 0.

(13)

Тг г Тг дх

Граничным условием для этого уравнения является условие на внешней поверхности трубы:

(

А

(16)

Т68 (^Й6>х) = ТеП 14)

На внутренней стенке трубы имеет место условие сопряжения, определяемое уравнениями, полученными из (8) и (9):

Т68 (R68, х)= Те (^^68 , х). (15)

Уравнение (15) - условие сопряжения тепловых полей

ТТе (^68,х) ТТ68 (Я68,х)

дг дг

Уравнение (16) - условие сопряжения тепловых потоков на внутренней стенке трубы.

Таким образом, система уравнений (10)-(16) определяет стационарное температурное поле установившегося теплового режима сопряженной задачи теплопереноса между движущейся жидкостью и трубой, наружная стенка которой интенсивно охлаждается до конечной температуры внешней среды.

С практической точки зрения задача (10)-(16) интересна для расчета длины трубы, которая позволяет получить требуемую температуру охлаждения жидкости на выходе их аппарата. В этом случае определяем одномерную сетку по текущему радиусу (г). Для упрощения последующих выкладок узлы сетки определяем с равномерным шагом (Лй), значение которого определяется из условий сходимости и устойчивости явной схемы решения задачи. Дополнительным условием выбора ша-

= а

е

га сетки является положение одного из узлов сетки точно на границе жидкости и внутренней сетки трубы, а также последнего узла сетки на внешней поверхности трубы.

Рассмотрим пример численного решения задачи (10)-(16) для случая, когда число узлов сетки по оси течения потока изменяется от 0 до Max X (0 > I > Max X) с шагом (Ах), где Max X - варьируемый параметр числа шагов, обеспечивающий требуемый нагрев жидкости. Число шагов по текущему радиусу изменяется от 0 до Max R (0 > j > Max R), где Max R - варьируемый параметр числа шагов перпендикулярно оси потока от центра (0) к внешней стенке трубы (Max R). Положение внутренней стенки трубы определяется точкой (jR), для которой выполняются неравенства

(3 > jR > Max R). Минимальное число точек внутри потока жидкости равно трем, для корректного учета условий симметрии и сопряжения рассматриваемой задачи.

Рассмотрим разностные схемы этой стационарной задачи в области потока жидкости и стенки трубы.

В данном случае сетка определяется в пространстве решений по номерам узлов определяемым матрицей (ty), где i =0,1,..., Max X; j=0,1,...,jR. Для внутренних узлов сетки разностный аналог уравнения (10) имеет вид:

1м Л ti+l, j - ti-l, j ^+1, j - 2 ' ti, j + ^-1, j

w*(Ah-j)------a* J J J

2-Ах k,j+1 - 2-tj.j + ti, j-1 Ah2

1

Ах2 ti, j+1 - ti, j-1

Ah-j 2-Ah

(17)

С учетом (2) разностная схема (17) приобрета-

ет вид:

L-Lh-(Ah-j)2kCiLL-^j -2^ + ^

4 M*L

22

AX

ki +1 - 2-ti, j + ' j-1

(18)

Дй2 Дй-} 2-Дй Разностная схема (18) определяет изменение температурного поля для внутренних узлов сетки потока жидкости. В то же время для точек на оси потока необходимо учесть условие симметрии (11). В этом случае в уравнении (10) слагаемое:

1 8T* ( г, х )

= 0.

(

г дг 19)

Следовательно, с учетом (19) расчетная схема (18) для оси потока приобретает вид:

P.^ - P..

4* L

L14-(Ah-j )2

2 Ax

^+1, j 2 ' ti, j + ^-1, j Ax2

h+1 - 2-t,j + ti, j-1 Ah1

Для получения расчетной схемы с учетом условия симметрии (20) подставим в него индекс }=0):

(- ^i ) r2 (ti+1,0 - tj-1,0 ) --R--

4M*

2 Ax

(t+1,0 - 2ti,0 + t-1,0 )= f 2ti,1 - 2t,

Ax 2

Ah2

(21)

На стенке трубы скорость потока жидкости равна нулю (условие «прилипания»), следовательно, в уравнении (18) при (j=jR) конвективный член отсутствует:

¿1+1, }Я - + ¿1-1, ^

Ах

ti,jR+1 - 2ti,jR + ti,jR-1

1

, ti, jR+1 - ti, jR-1 | (22)

Дй2 Дй х }Я 2Дй /

В уравнение (22) входят значения температурного поля границы (¿¿, и стенки трубы (¿1, }я+1). Эти величины должны учитывать условия сопряжения тепловых потоков (16). Для учета условия сопряжения используем разностную схему этого уравнения:

t -1 t -1 X i,jR i,jR-1 _ X i,jR+1 i,jR

Ah

тр

Ah

(23)

Выражая из уравнения (23) температуру в точке (ti, jR+1):

tl,j R+1;

X - t + X - t - X - t ж Ll,j R + Лтр Ll,j R АЖ Ll,j R-1

X

тр

(24)

получаем расчетную схему для температурного поля в точке сопряжения:

Дх2 "

)(а + л68+тк-тл) (25)

2/ДДй2А8 '

Таким образом, уравнения (18), (21), и (25) образуют систему разностных уравнений для расчета температурного поля потока жидкости внутри трубы.

Для разностной схемы температурного поля стенок трубы сетка определяется в пространстве решений по номерам узлов, определяемым матрицей (¿¿¿), где 1=0,1,.,.,Мах X; }=}Я, }Л+1,...,Мах R. Для внутренних узлов сетки разностный аналог уравнения (13) имеет вид:

¿1,}+1-21,} + ¿1,}-1 1 ¿1,} +1 - ¿1,}-1 ,

Ah2

ti +1,j -2ti,j + ti-1,j Ar2

Ahj 2 Ah

(26)

-a

a

*

^естник^ТУИЖ, № 2, 202

Используем уравнение (26) для слоя на внутренней поверхности трубы (¡=]Е):

ti, jR+1 - 2ti, jR + ti, jR-1 + 1 ti, jR+1 - ti, jR-1 +

Ah

AhjR 2 Ah

fi+1, jR - 2ti,jR + ti-1, jR = о

Ax2 '

(27)

В уравнении (27) присутствует температура точки, находящейся в потоке жидкости ]Я-1). Для ее аппроксимации используем уравнение (23), из которого выразим (Ъ, ¿яа):

-2^,¿Я + 1г+1,Я (к]К - к¿Я+1 )(Ле - Аэб )

Ax 2

Ah 2!

(^i,jR - ti,jR+1 )(As + Лй )

= 0.

(28)

2jAhz4

Для упрощения дальнейших алгебраических преобразований без потери общности решаемой задачи нормируем температурные поля на отрезке (0...1). В этом случае to,j=1 для j=0,1,2,3,..., Max R-1 и to, MaxR =0 и уравнение (26) для внешней границы трубы (/=Max R-1) приобретет вид:

ti,MaxR 2ti,MaxR—1 + tz',MaxR-2 ti,MaxR ti,MaxR—2

Ah2 2 ah — 2MaxR -Ah2

" t7+1 MaxR—1 2tj

i—1,MaxR—1 i+1,MaxR—1 ^-ii,MaxR—1

Ax2

= 0.

(29)

Учитывая значение нормированного температурного поля на внешней границе трубы, имеем из (29) следующую расчетную схему:

0 — 1t

0 2ti,MaxR—1 + ti,Maxi

Ah2

+ ti—1,MaxR—1 + ti+1,MaxR—1 — 2ti,MaxR—1

Ar2

2Ah — 2MaxR - Ah2

= 0.

(30)

Таким образом, уравнения (26), (28), и (30) образуют систему разностных уравнений для расчета температурного поля стенки трубы.

В конечных разностях сформулирована задача сопряженного теплопереноса потока в трубчатой мембране.

ЛИТЕРАТУРА

1. Схаляхов, А.А. Теплообмен в теплообменниках с полимерными половолоконными мембранами [Текст] / А.А. Схаляхов, А.Г. Верещагин, В.С. Косачев, Е.П. Кошевой // Известия ВУЗов. «Пищевая технология». -2009. -№ 2-3.

2. Протодьяконов, И.О. Явления переноса в процессах химической технологии [Текст] / И.О. Протодьяконов, Н.А. Марцуле-вич, А.В. Марков. - Л.: Химия, 1981. - 264 с.

( 3. Лыков, А.В. Теория теплопроводности

[Текст] / А.В. Лыков. - М.: Высшая школа, 1967. -600 с.

4. Самарский, А.А. Теория разностных схем [Текст] / А.А. Самарский. - М.: ГРФМЛ "Наука", 1983. - 616 с.