CC BY
31
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 2. С. 259—269
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1378
УДК 539.126
ОПИСАНИЕ РАДИАЦИОННЫХ РАСПАДОВ V ^ Ру*
В РАЗЛИЧНЫХ ФОРМАХ ПУАНКАРЕ-ИНВАРИАНТНОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ*
А. Ф. Крутов, Р. Г. Полежаев
Самарский государственный университет,
Россия, 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.
Аннотация
Работа посвящена описанию радиационных распадов V ^ Pу* в различных основных формах Пуанкаре-инвариантной квантовой механики (ПИКМ). Для построения матричного элемента электромагнитного тока перехода используется специальная процедура, удовлетворяющая условиям лоренц-ковариантности и сохранения. В качестве иллюстрации развитого формализма в модифицированном релятивистском импульсном приближении проведено описание радиационного перехода р ^ ny *. Получено аналитическое выражение для переходного формфактора Fnp(Q2), совпадающее во всех формах ПИКМ. Выполнены численные расчеты переходного формфактора с двумя типами модельных волновых функций.
Ключевые слова: Пуанкаре-инвариантная квантовая механика, радиационные распады, электромагнитный ток, переходной формфактор.
doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1378
В последние несколько лет был проведен ряд экспериментов по изучению радиационных распадов векторных мезонов. Так коллаборациями NA 60 [2-4] и KLOE-2 [5], были измерены переходные формфакторы в реакциях ш ^ пу*, ф ^ V! и определены соответствующие константы распадов. В радиационном переходе р ^ пу* изучались вклады пиона в сечение распадов векторных мезонов и получены соответствующие ширины радиационного распада [6]. Указанные процессы дают важную информацию о непертурбативной кварковой динамике на средних и больших расстояниях.
Одним из основных теоретических методов описания перечисленных выше процессов является Пуанкаре-инвариантная квантовая механика (ПИКМ),
© 2015 Самарский государственный технический университет.
Образец для цитирования
Крутов А. Ф.,Полежаев Р. Г. Описание радиационных распадов V ^ Ру * в различных формах Пуанкаре-инвариантной квантовой механики // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 2. С. 259-269. doi: 10.14498/vsgtu1378.
Сведения об авторах
Александр Федорович Крутов (д.ф.-м.н., проф.; [email protected]), профессор, каф. общей и теоретической физики.
Роман Геннадьевич Полежаев ([email protected]; автор, ведущий переписку), аспирант, каф. общей и теоретической физики.
‘Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014).
259
Крутов А. Ф., Полежаев Р. Г.
которая может быть сформулирована в различных формах — мгновенная форма, точечная форма и динамика на световом фронте (см, например, [7]). Одним из важных вопросов, возникающих при описании составных систем, остается выбор формы ПИКМ. В работах [8-12] при вычислении электромагнитных формфакторов скалярных и векторных мезонов для основных форм ПИКМ получаются разные результаты. Причина расхождения результатов, по-видимому, связана с различием приближений, используемых при построении матричного элемента тока и, в частности, с учетом условий лоренц-ковариантности и сохранения [7]. Таким образом, формулировка новых способов построения операторов электромагнитных переходов является в настоящее время актуальной задачей.
Отметим, что мгновенная форма ПИКМ была с успехом применена авторами для описания электромагнитной структуры таких систем с сильным взаимодействием, как пион, р-мезон, дейтрон, включая области больших переданных импульсов [7,13]. В этих работах построение тока осуществлялось для случаев диагональных по полному угловому моменту матричных элементов. В настоящей работе для описания процессов радиационных распадов векторных мезонов V ^ Ру* проводится обобщение методики построения тока на недиагональные по полному угловому моменту матричные элементы и на другие формы ПИКМ.
Ядром развитого подхода является процедура построения матричных элементов локальных операторов (см., например, [7]). Эта процедура позволяет выделить из матричного элемента оператора любой тензорной размерности приведенные матричные элементы (формфакторы), которые являются инвариантами при преобразованиях из группы Пуанкаре.
В рамках рассматриваемого подхода с использованием модифицированного импульсного приближения была показана эквивалентность основных форм ПИКМ на примере расчета электромагнитного формфактора пиона [14].
В представленной работе показана эквивалентность основных форм ПИКМ при расчете переходного формфактора радиационного перехода р ^ пу*. Используемый при этом математический аппарат параметризации матричных элементов локальных операторов [15] применен для описания недиагональных по полному угловому моменту матричных элементов тока.
В работе произведен также расчет переходного формфактора процесса р ^ пу* с двумя типами модельных волновых функций.
1. Построение матричного элемента электромагнитного тока перехода для систем невзаимодействующих частиц с квантовыми числами р- и п-мезонов. Рассмотрим параметризацию матричного элемента тока между состояниями с квантовыми числами р- и п-мезонов, т.е. недиагонального по полному угловому моменту:
<WS VS|j°(0)|W* VS7, 1, 0,1, m') . (1)
Здесь Wг = w\ + w2; л/s — инвариантная масса системы двух свободных частиц; wl — трехмерный вектор, различный для разных форм ПИКМ. В мгновенной форме w1 = р — импульс, в точечной w2 = v — 4-скорость и в динамике на световом фронте — w3 = р, где
р = (р±,р+), р± = (р1,р2), р+ = (р0 + p3)/V2 .
260
Описание радиационных распадов V ^ Рд* ...
Для инвариантной параметризации матричного элемента (1) выполним преобразование Лоренца из исходной (лабораторной) системы координат в систему Брейта (БС):
ъ .у W(jn W) ,n
j = jn + ,, - wj,
1 + Wn
jnn = jo wn - (jn w) = j wM ,
где wM = K /VK72 — 4-скорость, соответствующая указанному преобразованию Лоренца; jП; — 4-вектор оператора электромагнитного тока в БС.
Связь между матричными элементами токов в лабораторной системе (1) и системе Брейта имеет следующий вид:
<W% VS|jJ(0)|W* Л7,1,0,1 ,m7)
_Е Do,m(Wi,w)D*m,m(W7i,w)x
m ,m'
x <wi, VS|j°(0)|WT7i, VS7,1,o, 1,m7), (2)
W‘ = (Win,q), w7i = (W7in, -q),
Win = Vs + (q)2, W7in = Vs7 + (q)2 k; = (VK72, o, o, o), (3)
где q — трехмерный вектор с модулем
q = ^А(M2, M2, Q2)/[8(M? + M22) + 4Q2],
Q2 — квадрат переданного импульса.
Раскладывая нулевую компоненту матричного элемента оператора тока в БС (2) по сферическим углам вектора q и применяя теорему Вигнера— Эккарта [16], получим
<Wi, VS|jn(0)|W7i, VS7,1,0,1, m7) =
= E Dm (Wi,w)D1m,m (W7i,w)x
m ’ ,m ,l! ,k!
x (1mW|0m) ■ YVk'(q) ■ G°n{(s,Q2,s7), (4)
где G0/ (s, Q2, s7) представляет собой набор скаляров или свободных электромагнитных формфакторов.
Перейдем теперь к рассмотрению трехмерной части матричного элемента оператора тока
Wi, Vs|jnt(0)|Wq7i, VS7,1, 0,1, m7), t = 1, 2, 3. (5)
Трехмерную часть оператора мы можем описать в терминах тензорного оператора первого ранга. Для этого достаточно перейти к каноническому базису, т.е. от декартовых компонент тока к базису сферических гармоник [17].
261
Крутов А. Ф., Полежаев Р. Г.
Раскладывая матричный элемент (5) по сферическим углам вектора q в БС и применяя теорему Вигнера—Эккарта, получим
<W% v'Slj0M(0)| W* VS7,1,0,1, m') =
= E D°m (W\w)D1m,M (W",w)x
m' ,m ,M,k,l,j,n
x <im'jn|0m) ■ <1M1k|jn) ■ Yik(q) ■ (s, Q2, s'). (6)
С другой стороны, матричный элемент тока (1) можно записать в базисе индивидуальных переменных частиц системы:
<W% VS|j0(0)|WVW, 1,0,1, m') =
f d3wi f d3wi
2wi 0
2w2o
d3w\ f d3w2
2ww 2V|0x
x <Wl, Vs|wO, m1; wl2, m2) ■ <w\, m1; wl2, m2|j°(0)|wi , mi; wl2 , m'2)x
x <w\ , mi; w2 , m'2| W'% VS7,1,0,1, m') , (7)
где
<w!,mi;«;2,m2|j°(0)|wi ,m1;w2 ,m2) =
= <w1,m1 |j°V0)|w 1 ,mi) ■ Vw2 - w2 +
+ <w;2, m2|j0^(0)|w;2 , m2)5(wi - w. )5mimi,.
Приравнивая покомпонентно выражение (7) с (4) и (6), используя разложение по каноническому базису и выполняя интегрирование в (БС) в системе отсчета q = (0, 0, q), получим аналитические выражения для свободных двухчастичных формфакторов. В силу громоздкости данных выражений выпишем только один формфактор, который в дальнейшем будет использоваться:
Co11(s, Q2, s') =
V2 ■ ©(s, Q2, s')(s + s' + Q2)2
2Vs - 4MVs' - 4MV4M2 + Q2[A(s, -Q2, s')]1/2 '
x cos[(wi + W2)/2]
4A(s, -Q2, s')]1/2
(cm (q2)+cM (q2))
+ sin[(wi + W2)/2]
r s'(s' - s + 3Q2)
г {см(
Ls + s' + Q2 ^M(Q )+ CM
+
-s' - s - Q2 {(s, s', Q2)
(CM (q2) + CM (q2))
4M
- sin[(Wi + W2)/2] {(s,s',Q2) s + s' + Q2 (CE(Q2) + CE(QV) , (8
где
©(s, Q2, s') = tf(s' - si) - tf(s' - s2), {(s, s', Q2) = Vss'Q2 - M2A(s, -Q2, s'),
262
Описание радиационных распадов V ^ Pj* ...
Si 2 — 2М +
1
1
2 M 2 ш1 — arctan
(2M2 + Q2)(s - 2M2) ^ WQ2(Q2 + 4M2)s(s - 4M2),
2M2 ((s,s',Q2
m [(VS + W)2 + Q2] + VSSVS + W)
, £(s s/, q2)(2M + Vs + Vs)
w2 — arctan-------------------------—------------------,
M(s + s' + Q2)(2M + VS + VS7) + VSS(4M2 + Q2)
$ — ступенчатая функция.
Отметим, что аналитическое выражение (8) полностью совпадает с перечисленными выше основными формами ПИКМ.
2. Построение матричного элемента тока составной системы. Матричный элемент электромагнитного тока перехода р ^ пу* для основных форм ПИКМ можно записать следующим образом [18]:
W M0)|w;, i,mp)
nlcFnp(Q2)e^vas rf (тр)Шгжа Wf,
(9)
где Wn и Wp — 4-векторы п- и р-мезонов для основных форм ПИКМ; (тр) — 4-вектор поляризации; epva$ — антисимметричный тензор четвертого ранга; Fnp(Q2) —формфактор, соответствующий данному переходу; пгс — нормировочный множитель разный для разных форм ПИКМ (П — 1, П — 1/МПМр, П — 1); МП и Мр — массы п- и р-мезонов.
Для дальнейшей работы с матричным элементом (9) перейдем в брейтов-скую систему отсчета (3). В выбранной системе отсчета вектор поляризации имеет следующий вид:
(тр) — -V2(0,0,1,i)-
В системе Брейта выражение (9) имеет вид
. . q (Vм! + q2 + JMj + 92) 2
<W tn|ji(0)|w;, 1, mp) — -^------VT------------ Fnp(Q)- (10)
Следует отметить, что компоненты матричного элемента тока (9) jo, j2, j3 и соответствующие формфакторы оказываются равными нулю в ходе математических преобразований (3). Таким образом, для радиационного перехода р ^ пу* существует единственный формфактор, выраженный через первую трехмерную компоненту матричного элемента электромагнитного тока:
<Wn |;i(0)|W*, 1, тр) — - V3 Gii1(Q2), (11)
где GOV (Q2) —формфактор составной системы, полученный при недиагональной параметризации.
Приравняв выражения (10) и (11), получим
Fnp (Q2)
2 G111(Q2) ,
3 q{VM-П + q2 + \JM2 + q2)
(12)
263
Крутов А. Ф., Полежаев Р. Г.
Используя модифицированное импульсное приближение [7], можно показать, что
G01
G,’/’1 (s, Q2, s')p(s)pS(s') d^s dVs7,
(13)
где
p(s) = Увкф(к), ips (s') = Увк'ф(к'); ф(к) и ф(к') — волновые функции, удовлетворяющие условию нормировки
Г+^
ф2(к)к2с1к
1.
Поставляя (13) в (12), получим окончательное выражение для расчета переходного формфактора Fnp(Q2):
Fnp(Q2)
2 1 3 q(^M2 + q2 + ^Mp + q2)
x [[ G011(s,Q2,s')p(s)pS(s') d^edAs7. (14)
3. Расчет переходного формфактора Fnp(Q2). Для расчета формфактора (14) используем волновую функцию основного состояния гармонического осциллятора и волновую функцию степенного типа [19]:
2 / к2 \
ф(к) = плал exn- 2Г2) ■ (15)
гут i
Ф(к)\7пЬ3 (1 + к2/Ь2)3, (16)
где а и b — параметры волновых функций, которые фиксируются из требования описания среднеквадратичных радиусов п- и р-мезонов [20].
Для расчета переходного формфактора выберем саксовские формфакторы кварков в виде
Ge (Q2) = eq fq (Q2), Gm (Q2) = (eq + Kq) fq (Q2) ,
где eq — заряд кварка, Kq — аномальный магнитный момент кварка в естественных единицах [21]. Для расчета функции fq(Q2) будем использовать выражение, введенное в [22]:
fq (Q2)
1
1 + (r2q)Q2/6 ,
где (rq2) = 0.3/M2 —среднеквадратичный радиус кварка [22].
Результаты расчета переходного формфактора (14) представлены на рисунке.
264
Описание радиационных распадов V ^ Ру* ...
Результаты расчета переходного формфактора (14) для разных типов волновых функций: сплошная линия — расчет с использованием волновой функции (15); штриховая линия — расчет с использованием волновой функции (16) (online в цвете)
[The results of the calculation of the transition form factor (14) for different types of wave functions. Solid line is the results of the calculation using the wave function (15); dashed line is the results of a calculation using the wave function (16) (color online)]
Заключение. В рамках подхода ПИКМ проведена процедура построения матричного элемента тока перехода недиагонального по полному угловому моменту. Изложение данной методики проводилось на примере радиационного перехода р ^ пу*. Для решения задачи в модифицированном релятивистском импульсном приближении проведено построение оператора электромагнитного тока для составной двухчастичной системы с учетом условий лоренц-ковариантности и сохранения. Получено аналитическое выражение для формфактора указанного перехода, которое совпадает с основными формами ПИКМ. Произведен численный расчет переходного формфактора с волновыми функциями двух видов.
Благодарности. Авторы выражают благодарность В. Е. Троицкому за плодотворные обсуждения.
ORCIDs
Александр Федорович Крутов: http://orcid.org/0000-0002-8484-0028 Роман Геннадьевич Полежаев: http://orcid.org/0000-0002-8781-4116
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Крутов А. Ф., Полежаев Р. Г. Описание радиационных распадов V ^ Ру* в различных формах Пуанкаре-инвариантной квантовой механики / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 210-211.
2. Arnaldi R. (et.al. NA60 Collaboration) Study of the electromagnetic transition form-factors in n ^ y+y-y and ш ^ y+y-n° decays with NA60 // Phys. Lett. B, 2009. vol. 677, no. 5. pp. 260-266, arXiv: 0902.2547 [hep-ph]. doi: 10.1016/j.physletb.2009.05.029.
3. Usai G. (et.al. NA60 Collaboration) Low mass dimuon production in proton-nucleus collisions at 400 GeV/c// Nucl. Phys. A, 2011. vol. 855, no. 1. pp. 918-196. doi: 10.1016/ j.nuclphysa.2011.02.037.
4. Uras A. (et.al. NA60 Collaboration) Measurement of the n and ш Dalitz decays transition form factors in p-A collisions at 400 GeV/c with the NA60 apparatus// J. Phys.: Conf.
265
Крутов А. Ф., Полежаев Р. Г.
Ser., 2011. vol. 270, no. 1, 012038, arXiv: 1108.0968 [hep-ex]. doi: 10.1088/1742-6596/270/ 1/012038.
5. Archilli F. (et.al. KLOE-2 Collaboration) Search for a vector gauge boson in ф meson decays with the KLOE detector // Phys. Lett. B, 2012. vol. 706, no. 4-5. pp. 251-255, arXiv: 1110.0411 [hep-ph]. doi: 10.1016/j.physletb.2011.11.033.
6. Amsler C. (et.al. Particle Data Group) Review of particle physics // Phys. Lett. B, 2008. vol. 667, no. 1-5. pp. 1-6. doi: 10.1016/j.physletb.2008.07.018.
7. Крутов А. Ф., Троицкий В. Е. Мгновенная форма Пуанкаре-инвариантной квантовой механики и описание структуры составных систем // Физика элементарных частиц и атомного ядра, 2009. Т. 40, №2. С. 269-319.
8. Maris P., Tandy P.C. Electromagnetic transition form factors of light mesons // Phys. Rev. C, 2002. vol. 65, no. 4, 045211, arXiv: nucl-th/0201017. doi: 10.1103/physrevc. 65.045211.
9. Yu J., Xiao B.-W., Ma B.-Q. Space-like and time-like pion-rho transition form factors in the light-cone formalism// J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., 2007. vol. 34, no. 7. pp. 1845-1860, arXiv: 0706.2018 [hep-ph]. doi: 10.1088/0954-3899/34/7/021.
10. Desplanques B. RQM description of the charge form factor of the pion and its asymptotic behavior// Eur. Phys. J. A, 2009. vol. 42, no. 2. pp. 219-236, arXiv: 0906.1889 [nucl-th]. doi: 10.1140/epja/i2009-10864-8.
11. Ivashyn S.A. Vector to pseudoscalar meson radiative transition in chiral theory with resonances / Problems of Atomic Science and Technology. No. 1 / Nuclear Physics Investigations, 57, 2012. pp. 179-182, arXiv: 1111.1291 [hep-ph].
12. Bierrat E. P., Schweiger W. Electromagnetic p-meson form factors in point-form relativistic quantum mechanics // Phys. Rev. C, 2014. vol. 89, no. 5, 055205, arXiv: 1404.2440 [hep-ph]. doi: 10.1103/physrevc.89.055205.
13. Krutov A. F., Troitsky V. E., Tsirova N. A. Nonperturbative relativistic approach to pion form factor: predictions for future JLab experiments // Phys. Rev. C, 2009. vol. 80, no. 5, 055210, arXiv: 0910.3604 [nucl-th]. doi: 10.1103/physrevc.80.055210.
14. Крутов А. Ф., Полежаев Р. Г. Описание электромагнитной структуры пиона в различных формах Пуанкаре-инвариантной квантовой механики // Ядерная физика и инжиниринг, 2013. Т. 4, №9-10. С. 848-852. doi: 10.1134/S2079562913090200.
15. Чешков А. А., Широков Ю. М. Инвариантная параметризация локальных операторов// Ж. экспер. теорет. физ., 1963. Т. 44. С. 1982-1992.
16. Zare R. N. Angular Momentumm: Understanding Spatial Aspects in Chemistry and Physics. New York: Wiley, 1988. xi+349 pp.
17. Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics / Investigations in Physics. vol. 4. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1957. viii+146 pp.
18. Cardarelli F., Grach I. L., Narodetskii I. M., Salme G., Simula S. Radiative np and пш transition form factor in a light-front constituent quark model // Phys. Lett. B, 1995. vol. 359, no. 1-2. pp. 1-7, arXiv: nucl-th/9509004. doi: 10.1016/0370-2693(95)01058-x.
19. Андреев В. В., Крутов А. Ф. Электромагнитные формфакторы мезонов// Проблемы физики, математики и техники, 2011. №1(6). С. 7-19.
20. Крутов А. Ф., Троицкий В. Е. Релятивистские эффекты в электромагнитной структуре p-мезона// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2003. Второй спец. выпуск. С. 95-
111.
21. Gerasimov S. B. Magnetic moments of baryons and strange content of the nucleon // Phys. Lett. B, 1995. Т. 357, №4. С. 666-670. doi: 10.1016/0370-2693(95)00934-d.
22. Cardarelli F., Grach I. L., Narodetskii I. M., Pace E., Salme G., Simula S. Hard Constituent Quarks and Electroweak Properties of Pseudoscalar Mesons // Phys. Lett. B, 1994. vol. 332, no. 1-2. pp. 1-7, arXiv: nucl-th/9405014. doi: 10.1016/0370-2693(94)90849-4.
Поступила в редакцию 17/XII/2014; в окончательном варианте — 12/III/2015; принята в печать — 08/IV/2015.
266
Описание радиационных распадов V ^ Ру* ...
Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 2, pp.259—269
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1378
MSC: 81U05, 81U10
DESCRIPTION OF RADIATIVE DECAYS OF V ^ Py*
IN DIFFERENT FORMS OF POINCARE-INVARIANT QUANTUM MECHANICS*
A. F. Krutov, R. G. Polezhaev
Samara State University,
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation.
Abstract
The description of the radiative decays of V ^ Py* in different forms Poincare invariant quantum mechanics (PIQM) is considered. To construct the matrix element of the electromagnetic current we use the non-diagonal parametrization procedure. The obtained matrix element of the current satisfies the conditions of the Lorentz covariance and conservation. To illustrate this approach in a modified relativistic impulse approximation the description of the radiative transition p ^ ny * is performed. An analytic expression for the transition form factor Fnp(Q2), matching all forms PIQM, is obtained. Numerical calculations of the transition form factor are made with different model wave functions.
Keywords: Poincare invariant quantum mechanics, radiative decays, electromagnetic current, transition formfactor. doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1378
Acknowledgments. The authors are grateful to Vadim E. Troitsky for helpful comments and insightful discussions.
ORCIDs
Alexander F. Krutov: http://orcid.org/0000-0002-8484-0028 Roman G. Polezhaev: http://orcid.org/0000-0002-8781-4116
REFERENCES
1. Krutov A. F., Polezhaev R. G. Description of radiative decays of V ^ Py* in different forms of Poincare-invariant quantum mechanics, The fnd International Conference
© 2015 Samara State Technical University.
Please cite this article in press as:
Krutov A. F., Polezhaev R. G. Description of radiative decays of V ^ Py* in different forms of Poincare-invariant quantum mechanics, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 2, pp. 259269. doi: 10.14498/vsgtu1378. (In Russian)
Authors Details:
Alexander F. Krutov (Dr. Phys. & Math. Sci.; [email protected]), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics.
Roman G. Polezhaev ([email protected]; Corresponding Author), Postgraduate Student, Dept. of General and Theoretical Physics.
*This paper is an extended version of the paper [1], presented at the Mathematical Physics and Its Applications 2014 Conference.
267
Крутов А. Ф., Полежаев Р. Г.
“Mathematical Physics and its Applications”, Book of Abstracts and Conference Materials; eds. I. V. Volovich; V. P. Radchenko. Samara, Samara State Technical Univ., 2014, pp. 210211 (In Russian).
2. Arnaldi R. (et.al. NA60 Collaboration) Study of the electromagnetic transition form-factors in n ^ p+p-y and ш ^ pA рГп° decays with NA60, Phys. Lett. B, 2009, vol. 677, no. 5, pp. 260-266, arXiv: 0902.2547 [hep-ph]. doi: 10.1016/j.physletb.2009.05.029.
3. Usai G. (et.al. NA60 Collaboration) Low mass dimuon production in proton-nucleus collisions at 400 GeV/c, Nucl. Phys. A, 2011, vol. 855, no. 1, pp. 918-196. doi: 10.1016/j. nuclphysa.2011.02.037.
4. Uras A. (et.al. NA60 Collaboration) Measurement of the n and ш Dalitz decays transition form factors in p-A collisions at 400 GeV/c with the NA60 apparatus, J. Phys.: Conf. Ser., 2011, vol. 270, no. 1, 012038, arXiv:1108.0968 [hep-ex]. doi: 10.1088/1742-6596/270/1/ 012038.
5. Archilli F. (et.al. KLOE-2 Collaboration) Search for a vector gauge boson in ф meson decays with the KLOE detector, Phys. Lett. B, 2012, vol. 706, no. 4-5, pp. 251-255, arXiv: 1110.0411 [hep-ph]. doi: 10.1016/j.physletb.2011.11.033.
6. Amsler C. (et.al. Particle Data Group) Review of particle physics, Phys. Lett. B, 2008, vol. 667, no. 1-5, pp. 1-6. doi: 10.1016/j.physletb.2008.07.018.
7. Krutov A. F., Troitsky V. E. Instant form of Poincare-invariant quantum mechanics and description of the structure of composite systems, Physics of Particles and Nuclei, 2009, vol. 40, no. 2, pp. 136-161. doi: 10.1134/S1063779609020026.
8. Maris P., Tandy P.C. Electromagnetic transition form factors of light mesons, Phys. Rev. C, 2002, vol. 65, no. 4, 045211, arXiv: nucl-th/0201017. doi: 10.1103/physrevc.65.045211.
9. Yu J., Xiao B.-W., Ma B.-Q. Space-like and time-like pion-rho transition form factors in the light-cone formalism, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., 2007, vol. 34, no. 7, pp. 1845-1860, arXiv: 0706.2018 [hep-ph]. doi: 10.1088/0954-3899/34/7/021.
10. Desplanques B. RQM description of the charge form factor of the pion and its asymptotic behavior, Eur. Phys. J. A, 2009, vol. 42, no. 2, pp. 219-236, arXiv: 0906.1889 [nucl-th]. doi: 10.1140/epja/i2009-10864-8.
11. Ivashyn S.A. Vector to pseudoscalar meson radiative transition in chiral theory with resonances, Problems of Atomic Science and Technology. No. 1, Nuclear Physics Investigations, 57, 2012, pp. 179-182, arXiv: 1111.1291 [hep-ph].
12. Bierrat E. P., Schweiger W. Electromagnetic p-meson form factors in point-form relativistic quantum mechanics, Phys. Rev. C, 2014, vol. 89, no. 5, 055205, arXiv: 1404.2440 [hep-ph]. doi: 10.1103/physrevc.89.055205.
13. Krutov A. F., Troitsky V. E., Tsirova N. A. Nonperturbative relativistic approach to pion form factor: predictions for future JLab experiments, Phys. Rev. C, 2009, vol. 80, no. 5, 055210, arXiv: 0910.3604 [nucl-th]. doi: 10.1103/physrevc.80.055210.
14. Krutov A. F., Polezhaev R. G. Description of the electromagnetic structure of the pion in the various forms of the Poincare-invariant quantum mechanics, Iadernaia fizika i inzhiniring [Nuclear Physics and Engineering], 2013, vol. 4, no. 9-10, pp. 848-852 (In Russian). doi: 10. 1134/S2079562913090200.
15. Cheshkov A. A., Shirokov Yu. M. Invariant parametrization of local operators, Soviet Physics JETP, 1963, vol. 17, pp. 1333-1339 ; Cheshkov A. A., Shirokov Yu. M. Invariant parametrization of local operators, Nuclear Physics, 1963, vol. 49, pp. 108-120. doi: 10. 1016/0029-5582(63)90079-8.
16. Zare R. N. Angular Momentumm: Understanding Spatial Aspects in Chemistry and Physics. New York, Wiley, 1988, xi+349 pp.
17. Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics, Investigations in Physics, vol. 4. Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1957, viii+146 pp.
18. Cardarelli F., Grach I. L., Narodetskii I. M., Salme G., Simula S. Radiative np and пш transition form factor in a light-front constituent quark model, Phys. Lett. B, 1995, vol. 359, no. 1-2, pp. 1-7, arXiv: nucl-th/9509004. doi: 10.1016/0370-2693(95)01058-x.
268
Описание радиационных распадов V ^ Ру* ...
19. Andreev V. V., Krutov A. F. Electromagnetic form factors of mesons, Problemy fiziki, matematiki i tekhniki, 2011, no. 1(6), pp. 7-19 (In Russian).
20. Krutov A. F., Troitsky V. E. Relativistic effects in the electromagnetic structure of the p-meson, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2003. Second Special Issue, pp. 95111 (In Russian).
21. Gerasimov S. B. Magnetic moments of baryons and strange content of the nucleon, Phys. Lett. B, 1995, Т. 357, №4, С. 666-670. doi: 10.1016/0370-2693(95)00934-d.
22. Cardarelli F., Grach I. L., Narodetskii I. M., Pace E., Salme G., Simula S. Hard Constituent Quarks and Electroweak Properties of Pseudoscalar Mesons, Phys. Lett. B, 1994, vol. 332, no. 1-2, pp. 1-7, arXiv: nucl-th/9405014. doi: 10.1016/0370-2693(94)90849-4.
Received 17/XII/2014;
received in revised form 12/III/2015;
accepted 08/IV/2015.
269
