Описание переходных поверхностей зубьев косозубых колес векторными функциями Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.833

ОПИСАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗУБЬЕВ КОСОЗУБЫХ КОЛЕС ВЕКТОРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

© 2010 С.П. Андросов1, И.Г. Браилов2

1 Омский государственный технический университет 2 Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, г. Омск

Поступила в редакцию 19.10.2010

В работе определены зависимости, выраженные параметрическими векторными функциями, описывающие боковые винтовые переходные поверхности зубьев цилиндрических косозубых колес.

Ключевые слова: зубчатое колесо, профиль зуба, переходная поверхность зуба, векторная функция

Задачи геометрии зубчатых колес и моделирования процесса формообразования зубьев при зубофрезеровании в объемном представлении требуют рассмотрения боковой поверхности зуба. Боковая поверхность зубьев зубчатых колес, как известно, состоит из двух частей: эвольвентной LA и переходной М¡L (рис. 1). Сопряжение профилей происходит в точке L. В статье рассматривается переходная часть боковой поверхности зуба на основе ее описания векторными параметрическими функциями. Отметим, что анализируется частный случай, когда переходная поверхность зуба имеет в торцевом сечении профиль в виде дуги окружности. Такая переходная поверхность формируется при нарезании зубчатых колес с положительным смещением исходного контура зуборезного инструмента [1]. Переходная кривая M¡L в виде дуги окружности в торцевом сечении зубчатого колеса в локальной системе координат XiOiYiZi описывается векторной функцией следующего вида:

Ра0 sin Y Ра 0 C0sY

0

(1)

где у - угол поворота радиус-вектора V, модуль которого равен значению радиуса ра0.

В системе координат ХОУ2 вектор переходной кривой, восстановленный в точку М, определяется выражением

Ра0 sin Y f + Ра0 C0s Y 0

(2)

Андросов Сергей Павлович, кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов. Е-шаН: [email protected]

Браилов Иван Григорьевич, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной механики

Рис. 1. Образование переходной кривой: Яь - радиус основной окружности; Я/ - радиус окружности впадин; Яь - радиус окружности сопряжения частей профиля; Яа - радиус окружности вершин; ра0 - радиус скругления переходной кривой; О1 -центр скругления; / - координата центра скругления О1 в системе координат ХОЛ; МА и М01В - эвольвенты.

Формула (2) описывает переходную кривую М1Ь, соответствующую профилю зуба только с одной стороны. Второй переходный профиль М1Ь1 образуется таким же образом, как и профиль М1Ь, только в данном случае угол у имеет отрицательное значение. С учетом этого векторная функция левой, относительно оси О7, переходной кривой запишется:

Рао вт г

f + Ра0 C0s Y 0

r

п.п.к

Г

л..п.к

Положение произвольной точки М правой винтовой переходной поверхности М1М1'Ъ'Ъ (рис. 2) косого зуба определяется векторной функцией

/ мп^ +рй0 мп + ^ )

/ СОБ^! +р,о С0В(/ + ^ )

(4)

где ф1 - угол поворота проекции вектора г„.„.„ на плоскость ХОУ; а - параметр, характеризующий движение по винтовой линии вдоль оси колеса ОХ. Текущий параметрический угол ф1 изменяется в пределах от своего нулевого значения, до значения ф1тах , которое он принимает на тыльном торцевом сечении зубчатого колеса. Величина ф1тах определяется по формуле

0>1г

_Ъ_ Я

(5)

где Рь - угол наклона линии зуба на основном цилиндре; Ъ - ширина зубчатого венца колеса. Соответственно положение произвольной точки М' левой переходной поверхности М1М1Ъ1Ъ1 описывается векторной функцией

/ вт^ Рао эт (г-^)

/ ГОв^ +Рао С0Б{г-^)

-щ J (6)

г =

л.п.п

Формулы (4) и (6) описывают переходные поверхности, у которых во фронтальном торцевом сечении зубчатого колеса начальная точка М1 профиля расположена на оси ОУ системы координат. При образовании формы зуба колеса боковые поверхности располагаются таким образом, что они охватывают его тело симметрично оси ОУ. С этой целью векторные функции (4) и (6) поворачиваются на угол у2 (рис. 3). Причем векторная функция (4), описывающая правую переходную поверхность, поворачивается против часовой стрелки, а функция (6) - по часовой стрелке. Угол поворота у2 определяется из схемы фронтального торцевого сечения зубчатого колеса, показанного на рис. 3. При его нахождении учитывается, что толщина зуба 8=М'М" по делительной окружности радиуса Я имеет заданное значение. При повороте профиля зуба из положения М1ЪМА в положение М11Ъ 11М"А 1 угол у2 равняется сумме углов

у2 = у + у

(7)

Рис. 3. Фронтальное торцевое сечение

В формуле (7) угол у находится как сумма углов

у = а1 + а2

(8)

и .г * /*

где а1 - эвольвентный угол эвольвенты М0 А в точке М. Значение угла а2 вычисляется по формуле

Р.

а 2 =

тп ж

Рис. 2. Переходные поверхности

4Я 4Я соэ в

(9)

г

где Р( - окружной шаг зубьев; тп - нормальный модуль зубьев; в - угол наклона зубьев по делительному цилиндру. Угол определяется из схемы формирования переходной кривой (рис. 4). Значение угла равняется разнице углов

¥1 =aw

Рь.

(10)

РЬ - =■

^л 2

V Яъ J

-1

(11)

^ =

сова

(12)

Я,

(13)

Длина отрезка ЬЫ имеет значение ЬЫ =

- Ра0.

Векторная функция

левой боковой

переходной поверхности зуба косозубого ко-лесаМцМц'Ьц'Ьц (рис. 5) запишется:

где ате - угол зацепления; фь* - угол развернутости эвольвенты М0А в точке Ь . Угол фь* определяется зависимостью [2]:

Рис. 4. Формирование переходной кривой: 1 - средняя линия исходного контура рейки 4; 2 - начальная прямая; 3 - начальная (делительная) окружность; NN - линия зацепления; Р - полюс зацепления; АН - смещение исходного контура

Радиус ЯЬ цилиндра сопряжения переходной и эвольвентной поверхностей зуба колеса вычисляется по формуле

(14)

где [М] - матрица поворота на угол у2 против часовой стрелки:

[М ] =

сов ¥2 - вт ¥2 0 Бт ¥2 сов ¥2 0 0 0 1

(15)

Рис. 5. Переходные поверхности зуба После перемножения матрицы [М] и

функции гп.п.п векторная функция нимает вид:

при-

/ вт(р - ¥2 ) + ра0 вт^ + р - ¥2)

/ ^(р - ¥2 )+ Ра0 сов(У + Р1 - ¥2 ) ар1

(16)

Соответственно векторная функция правой боковой переходной поверхности зуба ко-созубого колесаМ12М12'Ь12'Ь12 запишется:

(17)

где а - угол профиля эвольвенты М0А в точке сопряжения Ь:

ЬЫ а = аг^-

где [М1] - матрица поворота на угол по часовой стрелке:

[М1 ] =

СОБ ¥2 БШ ¥2 0 - б1П ¥2 СОБ ¥2 0 0 0 1

г

л.п.п.з

г

е.г .г .с

г .г .г

г

л.п.п.з

г

л. п. п. з

г

г .г .г .с

е. г . г

ция

После преобразований векторная функ-"п.п.п.з принимает вид:

f sin ( + у) - pa0 sin ( - p - у)

f cos(p + у) + Ра o cos( - p - у)

a<1

(19)

Формулы (16) и (19) описывают боковые винтовые переходные поверхности первого зуба колеса. Переходные поверхности второго и последующих зубьев колеса описываются векторными функциями, которые получаются путем умножения функций (16) и (19) на матрицу

[m i ] =

cos щ3 sin щ3 О - sin щ3 cos щ3 О

О

О

1

(20)

где ¥3 =

(i -1) 2п

В формуле (20) номер зуба / принимает значение от 1 до числа зубьев

Выводы: определены зависимости для описания боковых винтовых переходных поверхностей зубьев цилиндрического косозубо-го колеса, выраженные параметрическими векторными функциями, использование которых необходимо при моделировании формообразования в процессе зубообработки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Болотовский, И.А. Цилиндрические эвольвент-ные зубчатые передачи внешнего зацепления / И.А. Болотовский, Б.И. Гурьев, В.Э. Смирнов, Б.И. Шендерей - М.: Машиностроение, 1974. 160 с.

2. Браилов, И.Г. Боковая поверхность зуба цилиндрических зубчатых колес / И.Г. Браилов, С.П. Андросов, С. С. Адмаев // Известия Самарского научного центра РАН, Т. 12, 1(2), 2010. С. 310-312.

DESCRIPTION OF GEAR TOOTH TRANSITION SURFACES IN HELICAL GEARS BY VECTOR FUNCTIONS

r

© 2010 S.P. Androsov1, I.G. Brailov2

1 Omsk State Technical University 2 Siberian State Auto-road Academy, Omsk

In work the dependences expressed by parametric vector functions, describing side screw transition surfaces of gear tooth in cylindrical helical gears are defined.

Key words: tooth gear, tooth profile, tooth transition surface, vector function

Sergey ANdrosov, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor at the Department of Materials Resistance. E-mail: [email protected] Ivan Brailov, Doctor of Technical Sciences, Professor at the Department of Applied Mechanics