Описание двумерной характеристической функции равномерно распределенной случайной величины Текст научной статьи по специальности «Математика»

Антенна имеет пологий угол вертикального излучения и весьма удобна для связи с подвижными объектами. Опыт эксплуатации показывает на существенное уменьшение количества и величины «мертвых зон» в условиях города, характерное при использовании в качестве базовой антенны обычного Ш штыря. Следует подчеркнуть еще одно важное преимущество такой антенны. Вследствие гальванического соединения ее с мачтой обеспечивается грозозащита входных цепей радиоприемного устройства.

ЛИТЕРАТУРА

1. Э. Шпиндлер. Практические конструкции антенн. -М.: Мир, 1985.-44 с.

2. И. Григоров. Штыревые антенны КВ и УКВ диапазонов. - «Радиолюбитель». - 1994. - №11. - с.38.

3. К. Ротхаммель. Антенны. - СПб, изд-во «Бояныч», 1998.-656 с.

КАБАКОВ Михаил Федорович, к.т.н., доцент кафедры радиотехнических устройств и систем диагностики Омского государственного технического университета.

8 июня 1999 г.

Ю. М. ВЕШКУРЦЕВ, А. А. КОЛОДИН

ОмГТУ

УДК 519.21.2

ОПИСАНИЕ ДВУМЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ПОЛУЧЕНА ФОРМУЛА ДЛЯ РАСЧЕТА ДВУМЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ДВУХ ЗАВИСИМЫХ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРОВЕДЕН АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬ ТА ТОВ.

При решении прикладных задач в области статистической радиотехники возникает необходимость в использовании формул, описывающих двумерные характеристические функции зависимых случайных величин с различными законами распределения. В литературе /1/ известна двумерная характеристическая функция двух зависимых случайных величин с нормальным законом распределения. Однако для зависимых случайных величин с равномерным законом распределения указанная характеристика в известных публикациях не содержится. Этот пробел должна восполнить данная работа.

Для вывода формулы двумерной характеристической функции двух зависимых случайных величин с равномерным законом распределения воспользуемся выражением /1/

-X—X

где \<г V,- аргументы характеристической функции, а

Иф,.,92) =

4л'

1-у

■ + у-

0.5л + arcsiny

(1)

есть двумерная плотность вероятности равномерно распределенных зависимых случайных величин, V = /?о COS{32 - - 90 ), 90 = const, Rq - коэффициент корреляции. После разложения двумерной плотности вероятности в ряд Фурье и соответствующих преобразований выражение для в2 (v,, V2) можно записать в следующем виде:

0:(v„v,) =

(2)

bv,

bv,

_+1

1 [b(vt +»<ü))sin(¿(v/2 -na>))

й(у,+лш) b(v2-na>) sin(¿(v, -H<a))sin(ft(v: +na>))

b{vt-n(ú) b(v2+nco)

где

LlSl

4л2b

-(Ru COS(9)f

eos(3)

л/2 + arcsin(^, cos(S)) [l - (fio cos(3))2p

4,=

l-K

2л2 b

-(fío cos(5))2

+ cos(3)

ж/2 + arcsii^ cos(5))

í-ftcoWÍ

cos{n(o&)d9,

(0 = 711Ъ- параметр преобразования Фурье; 2Ь- диапазон значений случайной величины.

Полученное выражение (2) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое значительно влияет на основные свойства характеристической функции и от Л,, не зависит, а второе слагаемое, наоборот, зависит от корреляции случайных величин. Это можно показать, сделав следующее предположение. Пусть случайные величины независимы, т.е. Ид ■= 0, тогда 4тгЪА^ = 1, Ап = О и выражение для в2(у\, V 2 ) преобразуется в произведение двух одномерных характеристических функций случайных величин с равномерным законом распределения, т.е

02(vi>v2) =

sin(/jv,)sin(¿v2)

bv,

bv,

cl9

1 ^ 2

На основании этого можно сделать вывод, что выражение (2) действительно описывает двумерную характеристическую функцию двух зависимых равномерно распределенных случайных величин.

Формула (2) справедлива для сиг иетричных пределов (— Ь -г Ь) изменения значений г лучайной величины при условии, что < 7Г . Это услов е вытекает из классического преобразования Фурье, к горое использовалось нами при выводе формулы. Как V .вестно 12/, оно содержит фиксированный диапазон и параметр преобразования Фурье, последнему из которых в нашей работе можно условно придать смысл коэффициента умножения числа случайных величин. График двумерной характеристической функции при Ь- Я'/8, - Л Л имеет вид, представленный на рис.1.

Из него видно, ч"^ 0;(О,О)=1 , 02(=о,со)=О, ) " Убывг ^Щая функция. Изв'естно/1/, что такие

0

1 £

I

S

I

О

Ss

2 I

о £

о Sj

I

0

1

0

2

1

еч g

о Si

1 §

о

CD

¡

-о

I I

аз ■s:

0

1

h О

<5

0

se

1

I

г

0

1

0

s Î

1 в

о

S £ S

■s: о

S §

fa; X;

a:

3 §

о

0.39—-

плечо

плечо

плечо

седловина юнтрфорсы впадины

Рис, 1 _ . _

свойства принадлежат характеристическом функции. Следовательно, нами получена функция, которая является характеристической. Попутно отметим, что 02 (у,, У2 ) - четная функция, т.е. плоскость1, проходящая вдоль прямой = V-,, является плоскостью симметрии поверхности двумерной характеристической функции.

Поверхность двумерной характеристической функции на рис. 1 можно описать как совокупность закономерно распределенных горбов и впадин. Если обратим внимание на ближнюю зону {она заключена между горбами, вершины которых имеют координаты (0;ш), (О;— (О), |су;0), (— <у;0)2, то заметим, что поверхность в этой области имеет ярко выраженный максимум пикообразной формы с четырьмя контрфорсами. Два из них (те, что лежат в сечении плоскостью вдоль прямой, проходящей через точки (-V, ¡V, ) и (у,;—У2) переходят в плечи, а два - в седловины, которые соединяют контрфорсы с горбами.

На рис. 2а показана кривая, образующаяся в плоскости, проходящей через точки (—;-У2), а на рис 26 представлена кривая, образующаяся в плоскости, перпендикулярной к ней.

На рис. 2а указанные плечи уменьшаются при увеличении коэффициента со или при снижении коэффициента Дз. В пределе плечи исчезают совсем, и график на рис. 2а принимает форму гауссовой кривой. Это аналогично поведению кривой, описывающей закон распределения суммы независимых случайных величин с равномерным законом распределения, которая в соответствии с предельной теоремой теории вероятностей становится гауссовой кривой при увеличении числа случайных величин. Таким образом, в нашей работе коэффициент со при возрастании как бы увеличивает число случайных величин, изменяя тем

самым картину на рис.2. Вышесказанное подтверждают рис.3,4. На рис. 3 приняты со=3, Rq = 0,8, в то время как на рис. 4 со =10, Rq = 0,8. Сравнение поверхностей двумерной характеристической функции между собой показывает, что при увеличении со от 3 до 10 происходит исчезновение плеч, которые отчетливо были видны на рис.3.

Поведение кривой (рис. 2а) от R^ описано в /1/ при анализе функции (1). Оно полностью совпадает с результатами наших исследований.

Дальняя зона своим чередованием горбов и впадин напоминает рельеф пустыни, наблюдаемый с высоты птичьего полета. Отметим, что чем дальше от начала координат, тем меньше высота горбов и глубина впадин. Горбы с четырех сторон граничат с впадинами, а впадины, в свою очередь, окружены горбами. Следует отметить, что высоты горбов и глубины впадин (кроме тех, которые лежат на осях V[ и У2 , зависят от Rq . График зависимости глубины впадины от R^ представлен на рис. 5. В качестве характерной точки для впадины выбрана точка с координатами ((со/2)-1;(Зсо/2)-1). График зависимости высоты горба от Rq представлен на рис. 6 В качестве характерной точки выбрана вершина горба с координатами ((Зсо/ 2)-1;(3to/2)-1).

Анализ графиков на рис. 5,6 показывает, что зависимость высоты горбов и глубины впадин от R^ нелинейная, причем они остаются практически постоянными при изменении Rq от 0 до 0.5. Затем высота горбов и глубина впадин начинают медленно увеличиваться и резко возрастают после значения Rq = 0.9.

Необходимо помнить, что приведенные графики и сделанные выводы справедливы только при выполнении неравенства р| < 71. Если |б| = Ж, то поверхность двумерной характеристической функции вырождается в ост-

Рис. 2

-0.15 -0.17

-0.18 -0.2 -021 -023

-оз* -026 -021

К

Рис. 6

роконечные пики, лежащие на той же прямой, на которой были расположены указанные ранее плечи двумерной характеристической функции.

Таким образом, полученная формула полностью описывает двумерную характеристическую функцию двух зависимых равномерно распределенных случайных величин. Функция удовлетворяет всем известным свойствам характеристической функции, обладает интересными зависимостями и может быть рекомендована для теоретических исследований и практических использований.

1 Здесь и далее имеется в виду вертикальное сечение плоскостью, проходящей через начало координат.

2 На первом месте стоит значение Vj, а на втором - соответственно v -, •

ЛИТЕРАТУРА

1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. радио, 1966. - 728 с.

2. Будак Б.М., Фомин C.B. Кратные интегралы и ряды. -М.: Наука, 1967.-608 с.

ВЕШКУРЦЕВ Юрий Михайлович - доктор техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Радиотехнические устройства и системы диагностики».

КОЛОДИН Алексей Александрович - аспирант кафедры «Радиотехнические устройства и системы».

-Q

I

=5

аз О

а:

"S; S

СЗ

0 g

4

1 I

о

s

0

1

0 а: 59

1 5: 5:

I

©

>5:

о

5 S

0

1

s<

5

■s;

0

1

§

I

3 §

о

И. В.БОГАЧКОВ

ОмГТУ

УДК 621.372.8.049.75

ВЫБОР ФОРМУЛ ДЛЯ РАСЧЕТА ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ

МИКРОПОЛОСКОВЫХ ЛИНИЙ

В СТА ТЬЕ ПРОВОДИТСЯ АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И ЗАТУХАНИЯ МИКРОПОЛОСКОВОЙ ЛИНИИ. ПО РЕЗУЛЬТАТАМ АНАЛИЗА ПОСТРОЕНЫ СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ГРАФИКИ. НА ОСНОВАНИИ АНАЛИЗА РЕКОМЕНДОВАНЫ ФОРМУЛЫ С МИНИМАЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ В ЗАДАННЫХДИА -ПАЗОНАХ. РАССМОТРЕН ВОПРОС КОРРЕКЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФОРМУЛ ДЛЯ УМЕНЬШЕНИЯ ПОГРЕШНОСТИ.

Микрополосковые линии (МПЛ) завоевали широкую популярность при конструировании УВЧ и СВЧ устройств. Анализ параметров данных линий достаточно сложен. Несмотря на существование точных методов сложность формул и отсутствие достаточных вычислительных ресурсов в свое время породили множество аппроксимацион-ных формул для вычисления волнового сопротивления (2в), затухания и для оценки дисперсии, которая появляется при распространении волн в разных средах. Широкое распространение персональных компьютеров с достаточными вычислительными ресурсами позволяет реализовать расчет 7в МПЛ по алгоритмам на базе точных формул даже при неявном выражении, а также применять наиболее точные аппроксимации.

Рис. 1. Конструктивные параметры МПЛ

Рассмотрим на совпадение известные точные и приближенные формулы для вычисления МПЛ [1-11], пользуясь современными вычислительными средствами.

На рис. 1 приведены конструктивные параметры МПЛ: И - толщина, а V* - ширина центрального проводника, Ь - толщина подложки, е - диэлектрическая проницаемость подложки, е' - диэлектрическая проницаемость среды над подложкой.

Точная формула для расчета 7л однодиэлектричес-кой (е = е') МПЛ нулевой толщины такова [3,4]:

K\k) K{k)

(я

где

K(k) h к да 04 - тэта-функция Якоби,

а,

fC{k) К(к)

полный эллиптическии интег-

о у 1-Х рал второго рода [13-15].

Различные приближенные формулы для данного случая рассмотрены в [12].

При применении формул однодиэлектрических МПЛ для анализа реальных МПЛ (е >>е') необходимо пересчитать е в эквивалентную диэлектрическую проницаемость ^[2-10].

£ + 1

£ — 1

£ эфф '

2J1 +

10 Ъ

(2)

Zlb

С учетом (2) получаются такие формулы [3,4]:

60-У2

л/ё+Т

0,5—|ln(7r/2) + -ln(4/7r) е +1

Z12 = -

при w/b£l ,

60тг

(3)

Ге-

— + 0,441 + 0,082 — + — ] 1,451+ 1п| — + 0,94 2 Ь £" 2ле 2 Ь

при . (4)

Согласно [2] данные формулы имеют достаточную точность при ЫЬ^0,005 и хорошее совпадение с данными эксперимента при 2<с<10 и 0,1«ЗД/Ь<5. Согласно [3] погрешность (3) не превышает 1%, а (4) - 2%.

Z21 =

60

Егфф

1п

8b

w

W

32 V

при w/b<1 ,

(5)