CC BY
105
Первые публикации
Программы и программные системы
Учебные программы
Студенческая весна
Общие проблемы инженерного образования
Инженер в современной России
Экобионика
Зарубежное образование
История технического прогресса
Будущий инженер
Вне рубрик
Расширеный поиск Подписаться на новости
ПОИСК
Ред.совет Специальности Рецензентам Авторам Архив
ВХОД
регистрация забыли пароль?
Электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
_Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0420900025. ISSN 1994-0408_
Операции над ультра- и гиперграфами для реализации процедур анализа и синтеза структур сложных систем (Часть 2)
# 11, ноябрь 2009
Статья в PDF
автор: Овчинников В. А.
УДК 004
УДК 004.3 +519.6
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Во второй части статьи рассмотрены операции стягивания ребер и подразбиения ребра ультра - и гиперграфа, удаления вершины из образов и прообразов заданного множества ребер, удаления ребра из образов и прообразов заданного множества вершин и формирования части графа.
Операции стягивания и подразбиения ребра необходимы, например, для снижения размера входа задачи при анализе планарности графа и изменения структуры объекта с целью улучшения характеристик его функционирования (увеличения пропускной способности, согласования параметров компонентов и соединений и т. п.).
Операции удаления вершин и ребер из образов и прообразов обеспечивают изменение логики функционирования объекта. Операция формирования части графа осуществляет выделение фрагмента структуры объекта для снижения размерности задач анализа при блочно-иерархическом проектировании.
Стягивание рёбер ufи u^ ультраграфа Ицили гиперграфа И- рис. 7. Соответствует проектной операции соединения двух цепей.
Рисунок 7 - Фрагмент схемы до и после соединения цепей с i и с 2 (а), ее модель в виде ультраграфа Hu и результат Hui стягивания рёбер ui и U2 (б), гиперграф схемы И и
результат операции Hi (в)
Задаются имена стягиваемых рёбер Uf, и^и заменяющего их ребра ut
Обозначение операции: \(Иу(Х, U), Uf, uk, ut) для ультраграфа и
\(H(X, U), uf, uk, ut) для гиперграфа.
Условие корректности операции: uf, ukl U.
В результате выполнения операции получаем ультра - или гиперграф Hui (Xi, Ui) = \(Hu(X, U), uf, uk, ut) или Hi (Xi, Ui) = \(H(X, U), uf, uk, ut).
Содержательно-формальное описание выполнения операции над ультраграфом Hu (X, U). Для получения ультраграфа Hui (Xi, Ui):
1. Копируем множество Xпод именем Xi: Xi = X.
2. Формируем множество рёбер Ui, исключая из множества Uрёбра Ufи ukи добавляя в него ребро ut Ui = {U | {uf, uk} • ut}.
СОБЫТИЯ
На сайте еИЬгагу доступна новая услуга - "обсуждение статьи"
Фестиваль мехатроники и робототехники
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА
25.11.2009
Олимпиада МГТУ им. Н. Э. Баумана по программированию для школьников старших классов
24.11.2009
Торжественная Церемония вручения "Премии Рунета-2009"
18.11.2009
Список 500 самых мощных компьютеров мира: 34-я редакция
17.11.2009
«Сименс» объявил о начале IV Всероссийского конкурса научно-инновационных проектов для старшеклассников
17.11.2009
17 ноября 2009 года состоится крупное мероприятие для преподавателей и студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана «<ДЕНЬ ТЕХНОЛОГИЙ MICROSOFT)
Пресс-релизы Библиотека Конференции Выставки оска объявлений рхив
Ассоциация технических Университетов Информация о проекте Авторы
Координационный совет
3. Получаем множество образов вершин Г1Х1, занося в него Г^луиз множества Г^Х, если рёбра uf\л икне
Логин
инцидентны вершине х/, в противном случае:
- удаляя из Г^х/ребро Uf и добавляя ребро ut, если вершине х/инцидентно ребро Uf,
- удаляя из Г^х/ребро и^и добавляя ребро ut, если вершине х/инцидентно ребро u,,
- удаляя из Г^х/рёбра uf и u, и добавляя ребро ut если оба ребра инцидентны этой вершине:
Г 1*1 = {Г1х//х/l Xi}, здесь
¡Г^х/ если х/I Tiuf& х/I Г^,,
5Г1х/\ uf ■ ut, если х/l Г1 Uf& х/I Г1 u,,
Г1х/ = 'Г1х/\ u/c ut, если х/l Г1 u,& х/I ГlUf,
ТГ1х/\{uf, uj} ■ ut, если х/l Г^, & х/l Г1 uf,
где Г1 х/l Г1Х, ГlUf, Г^^ Г1U.
Приведенные для Г1 х/выражения очевидны и просты для понимания. Однако их целесообразно записать в более компактном виде, а именно:
¡Г1х/: х/I Г1 uf&х/I ГlUk,
Г1х/ = '
ТГ1х/\{uf, uj} ■ ut: х/l {Г1 UfE Г1 u,}.
В дальнейшем аналогичные по смыслу выражения будем записывать таким же образом.
4. Формируем множество прообразов вершин Г2Х1, занося в него Г2х/из множества Г2Х, если рёбра Ufи u, не являются рёбрами, которым инцидентна вершина х/, в противном случае:
- удаляя из Г2х/ребро Uf и добавляя ребро ut, если ребру Uf инцидентна вершина х/,
- удаляя из Г2х/ребро u/и добавляя ребро ut, если ребру u,инцидентна эта вершина,
- удаляя из Г2х/рёбра Uf и UkИ добавляя ребро ut, если вершина инцидентна этим рёбрам:
Г2*1 = {Г2х/ / х/l Xl}, здесь
¡Г2х/: х/ I T2Uf& х/I Г2Uk,
Г2х/ = '
?Г2х/\ {Uf, uk} ■ ut: х/l ^2UfE Г2Uk},
где Г2х/1 Г2Х, Г2 Uf, ^u^l Г2 U.
5. Формируем множество образов и прообразов рёбер ^Ui и Г^1, копируя их из Г2и и Г1U, исключая при этом Г2Uf, Г2UkИ TlUf, Г^, и добавляя образ Г2^и прообраз ГlUtнового ребра utсоответственно:
Г2Ul = {Г2U | {Г2Uf, Г2u,} ■ ^u}
где T2Ut= Г2Uf E Г2Uk, Г2UfИ ^u^l Г2U;
Г1 Ul = {^U \ ^lUf, Г^,} ■ Г1 ut},
где Г1 ut = Г1 UfE Г1 u,, ГlUfИ ГlUkl Г1U.
6. Создаем множество образов FiXi вершин Xl относительно предиката смежности Fi(Xi, Xl),
- копируя образ F^/из FlX, если вершине х/не инцидентны рёбра UfИ u,или инцидентны оба,
- определяя образ вершины как объединение её образа FlX/l FlXи множества Г2Ukl Г2U вершин, которые инцидентны ребру u,, если вершине х/инцидентно ребро Uf,
- объединяя её образ и множество Г2Ufl ^U вершин, которые инцидентны ребру Uf, если вершине х/инцидентно ребро u
FlXi = {F^//х/l Xi}, где
iFlX/: х/I Г1 Uf&х/I х/l ГlUf& х/l Г^,,
^1х/ = '^1х/Е Г2Uk : х/1 Г1uf,
?F1х/ E Г2 uf : х/1 Г1uk,
где FlX/l FiX, ГlUfИ ГlUkl ГlU, Г2UfИ Г2Ukl Г2U.
7. Получаем множество прообразов Fi_1Xi вершин Xi относительно предиката смежности Fi(Xi, Xi),
- копируя прообраз Fl"1X/Из Fi_1X, если вершина х/не инцидентна рёбрам UfИ u, или инцидентна тому и другому,
- определяя прообраз вершины как объединение её прообраза Fl'1X/l Fi'1Xи множества ^u^ ГlU вершин, которым инцидентно ребро u,, если вершина х/инцидентна ребру Uf,
- объединяя её прообраз и множество ГlUfl ГlU вершин, которым инцидентно ребро Uf, если вершина х/инцидентна ребру u
F1'iX1 = {Fi-ixi/xiI Xi }, где
i Fi'^xf. Xi I r2Uf& xfi Г2ик U x;!r2Uf & X;! r2Uk,
Fl"1xi = i Fl"1x;E ri uk. xfl I^U
T Fl-1 xf E riuf. x;l Г2uk,
где Fi"1x;! Fi-1X, ^u/и r2Uk! ^U, riuf Г1 u^l Г1U.
8. Формируем множество образов F2U1 рёбер Ui относительно предиката смежности F2(Ui, Ui). При j 1 t.
- копируя F2uj из множества F2U, если ребру uj не смежны рёбра Ufи uk,
- удаляя из F2uj I F2U ребро uf или ребро uk, если ребру uj смежно ребро uf или uk соответственно, и добавляя ребро ut,
- удаляя из F2uj I F2U рёбра Ufи Ukи добавляя ребро ut, если ребру uj смежны рёбра uf и uk,.
F2U1 = { F2uj / Uj I Ui}, здесь
iF2uj . Ufi F^Uj& UkI F2uj,
F2uj = i
TF2uj \ {Uf, uk} • Uf. UfI F^Uj U Uk I F^Uj,
где F?Uj I F2 U.
Образ ребра убудет:
F2ut= {F2uf E F^Uk}, если Uf и Ukне смежны, и F^Uf = {F^UfE F^uk} \ {uf, uk} • Uf, если они смежны, т. е. Uf I F?UkU UkI F2UfU UfI F2uk& UkI F2uf
9. Создаем множество F2"1Ui прообразов ребер Ui. При j 1 t.
- копируя F21 Uj из множества F2'1 U, если ребро Uj не смежно ни ребру Uf, ни ребру Uk,
- удаляя из F21 Uj I F2'1U ребро Uf или ребро Uk, если ребро Uj смежно ребру Uf или Uk соответственно, и добавляя ребро ut,
- удаляя из F21 Uj I F2'1U рёбра u/и UkИ добавляя ребро ut, если ребро Uj смежно рёбрам u/и uk.
Fz"1Ui = {F2-1Uj/ UjI Ui}, здесь
iF2_1Uj . Uf i F2'1 Uj & Uk I F2'1Uj,
Fz"1 Uj = i
TF2"1 Uj \ {Uf, uk} • Uf. Ufi F2"1 Uj U Uk I F2'1Uj,
где F2"1 UjI F2'1U.
Прообраз ребра ut будет.
F2"1Uf = {F2"1 Uf E F2-1Uk}, если рёбра u/и Uk не смежны, и
F2"1 ut= {F21 UfE F2-1Uk} \ {uf, uk} • ut если они смежны.
Формальное описание операции над гиперграфом H (X, U).
Множества гиперграфа Hi (Xi, Ui) определяются как.
Xi = X ; Ui = {U | {Uf, Uk} • ut};
riXi = {rix;. xfir2Uf& x; I Г2 UkU rixf\ {Uf, uk} • ut. x;! {Г2 Uf E r2Uk} / x;! Xi, Г^-! riX, Г2 u/, r2Uk I r2U};
Г2Ui = {r2U \ {r2Uf, Г2Uk} • r2Ut}, где r2Ut = r2UfE r2Uk, Г2UfИ r2Uk I r2U;
F1X1 = {Fix;/x;I Xi}, здесь
iFix;. x;I T2Uf& x;I r2UkU x;! r2Uf& x;! r2Uk,
F1xi = iFixfE Г2uk. xi! r2uf
TF1xiE Г2uf . xi! Г2uk
где fix;! FiX, ^u/и r2Uk! r2U.
F2U1 = {F2Uj/Uj! Ui}, здесь для j 1 t
iF2uj . UfI F^Uj& UkI F2Uj,
F2uj = i
\F2Uj \ {uf, и к} ■ ut■. Ufí F2Uj и и к I Я2и/, где F2Uj I /2 и. Образ ребра utбудет: ¡{FzUf Е FzUk} : F2Uk&UkI F2Uf F2Ut= '
T{FzUf Е FzUk} \ {Uf, Uk} : Ufí F2Uk(Uk I F2Ufl.
С процедурной точки зрения образ ребра ut целесообразно определять по формуле:
F2Ut= {F2Uf Е F2Uk} \ {uf, Uk} (смотри примечание 1 в операции «удаление вершины»).
Асимптотическая оценка вычислительной сложности данной операции над ультра-и гиперграфом такая же, как и операции добавления ребра.
Операция может выполняться над куском ультра - или гиперграфа. Если оба стягиваемые ребра внутренние, то в п. 2 определяется
Ц1 к1Ы = {икМ I ^ Uk} ■ ut} и и1кел*= ¿¿'еЛ
Если хотя бы одно из этих рёбер является внешним, должна быть задана информация о виде заменяющего ребра и соответствующим образом сформированы ¿1и1кеЛ£
Пример. Выполним соединение цепей с 1 и с2 в цепь с4 в схеме, показанной на рис. 7, а. В результате операции Ищ (Х1, ¿/1) = \(Иц(Х, Ц), Uf, uк, ut стягивания ребер Ul и U2 ультраграфа схемы, изображенной на рис. 7, б, получим
Х1 = {Л1, Л2,. . . , Лб};
¿1 = Ц\ {U1, U2} ■ U5} = {uз, U4, U5};
Г1Х1: Г1Л1 = {U1} \ {U1, U2} ■ U5 = {^}, Г1Л2 = {U2} \ ^1, U2} ■ U5 = {^}, Г1Л3 = Г1Л4 = \ {U1, U2} ■ U5 = {U5}, Г1Л5 = ^2, U4} \ {U1, U2} ■ U5 = {U4, U5}, Гх = {uз};
Г2Х1: Г2*1 = Г2Л2 = \ {U1, U2} ■ U5 = {U5}, Г2Л3 = {{^, U2} \ {U1, U2} ■ U5} = {U5}, Г2Л4 = Г2Л5 =
{uз} Г1*6 = {U4};
ГЩ = {Г^з, ГlU4, ГlU5}, где ГlU5 = {Л1} Е {Л2, Л4, Л5} = {хь Л2, Л4, Л5}; Г2Ц1 = {Г2U3, Г2U4, Г2^}, где Г2U5 = {Л2, Л3} Е {Л2, Л3} = {Л2, Л3};
FlXl: FlЛl = {Л2, Л3} Е {Л3} = {*2, *з}, FlЛ2 = {Л3} Е {Л2, Л3} = {Л3, Л2}, FlЛз = FlЛ4 = {Л3} Е {Л2, Л3} = {Л3, Л2}, FlЛ5 = {лз, Л6} Е {Л2, Л3} = {Л3, Л6, *2}, FlЛ6 = {Л5};
Fl-1Xl: Fl-1Лl = Fl-1Л2 = {Х1} Е {Л2, Л4, Л5} = {Л1, Л2, Л4, Л5}, Fl-1лз = {Л1, Л2, Л4, Л5}, Fl-1Л4 = Fl-1Л5 = {Л6}, FL-1Л6 = {Л5};
F2ul: F2U3 = {U2, U4} \ {Ul, U2}} ■ U5 = ^4, U5}, FzU4 = {uз}, FzU5 = {U5};
Fz-1Ul: F2-1uз = {^}, F2-1U4 = {uз}, Ff1U5 = {U5}.
Для гиперграфа той же схемы, представленного на рис. 7, в, после операции И. (Х1, ¿1) = ¡(И(Х, Ц), Uf, Uk, u(¡ получим:
Х1 = {Л1, Л2,. . . , Л6};
¿1 = Ц\ {Ul, U2} ■ U5} = U4, U5};
Г1Х1: Г1Л1 = {Ul} \ {Ul, U2} ■ U5 = {U5}, Г1Л2 = Г1Л3 = {Ul,U2} \ {Ul,U2} ■ U5 = {^}, Г1Л4 = {U2} \ {^^2} ■ U5 = {U5}, Г1Л5 = {U2, uз, U4} \ {Ul,U2} ■ U5 = U4, U5}, Гх = U4};
Г2и1 = {Г2U3, ^4, Г2U5}, где Г2U5 = {хь Л2, Л3} Е {Л2, Л3, Л4, Л5} = Л Л2, Л3, Л4, Л5};
FlXl: FlЛl = {Л2, Л3} Е {Л2, Л3, Л4, Л5} = {Л2, Л3, Л4, Л5}, FlЛ2 = Л Л3, Л4, Л5}, FlЛз = {Л1, Л2, Л4, Л5}, FLЛ4 = {Л1, Л2, Л3, Л5}, FlЛ5 = {Л2, Л3, Л4} Е {Л6} = {Л2, Л3, Л4, Л6}, FlЛ6 = {Л5}.
F2ul: F2U3 = ^2, U4} \ {Ul, U2}} ■ U5 = {U4, U5}, FzU4 = {U2, uз} \ {Ul, U2} ■ U5 = U5}, FzU5 = {{U2} Е
{Ul, uз, U4}} \ {Ul, U2} = {uз, U4}.
Подразбиение ребра Ukультраграфа Иц или гиперграфа И - рис. 8. Соответствует проектной операции разрыва цепи и подключения двух новых к вводимому элементу.
Рисунок 8 - Исходная схема до и после введения элемента э7 в цепь с^ (а), ее модель в виде ультраграфа Ици результат Ищ выполнения операции подразбиения ребра и (б), гиперграф схемы И и результат той же операции И\
(в)
Осуществляется введением вершины, образуются два новых ребра иги и- Задаются разбиваемое ребро и к, вводимая вершина ха имена новых ребер иги и- а также:
■ для ультраграфа указываются: ребро, инцидентное вершине ха и ребро, которому она инцидентна, например, Г]х^= иги Г2Xf= и- Х+ = Г2иги X— = Г2и - вершины, инцидентные ребрам иги и-соответственно; X- = Г^иЛ и X- = Г1и£- вершины, которым инцидентны указанные ребра;
■ для гиперграфа указываются подмножества Хг= Г2иги Х^ = Г2^вершин, инцидентных ребрам иги и-Обозначение операции:
! (Иц (X, Ц), и к, ха иг, Х+, XГ-, и- Х£+, Х£_)для ультраграфа и | (И (X, Ц), и к, ха иг, Хг, и- Х£ для гиперграфа. Условие корректности операции:
■ для ультраграфа - и к I Ц Х+ £ Х- = К; Х+ Е Х- = Г2ик■ ха; Х- £ Х- = К; Х- Е Х- = Г±ик ■ ха Х+ £ Х- и Х- £ Х£+ = ха
■ для гиперграфа - икI и, ХгЕ X£ = Г2ик ■ ха Хг£ Х^ = ха В результате выполнения операции получаем:
- ультраграф Ищ (Х-±, Ц\) = \ (Иц (X, Ц), и к, ха иг, Х+, Х-, и- Х/+, Х--) или
- гиперграф И (Х1, Ц1) = | (И (X, Ц), и к, ха и- Хг, иь Х£).
Содержательно-формальное описание выполнения операции над ультраграфом Иц (X, Ц).
Для получения ультраграфа Ищ (Х1, Ц1):
1. Определяем множество Х1, добавляя в Хвершину ха Х1 = X■ ха
2. Формируем множество рёбер Ц1, исключая из множества Ц ребро ики добавляя в него рёбра иги и- Ц1 = и | и к
■ {и г, и£}.
3. Получаем множество образов Г1Х1, копируя Г1х/из множества Г1Х, если ребро икне инцидентно вершине х/. Если вершине х/инцидентно одно из новых рёбер, то из ее образа в Г1Хисключаем ребро ики добавляем то, которое ей инцидентно в соответствии с исходными данными операции, т. е. игили и- Образ вводимой вершины ха- Г1ха
Г1Х1 = {Г1х//х/1 Х1}, где
)Г1 х/1 Г1Х : х/1 Г1 ик, где Г1 ик! Г1Ц,
?Г1х/\ ик ■ и-: х/1 Г1 и- где Г1х/! Г1Х,
Tix; = n~ixi\ Uk• ut. xi! riub где rixi! riX,
Tr1xf. xi= xf.
4. Формируем множество прообразов ^Xi, копируя ^x; из множества ^X, если вершина не инцидентна ребру Uk Если вершина инцидентна одному из новых рёбер, то из ее прообраза в r2X исключаем ребро Ukи добавляем то, которому она инцидентна. Прообраз вводимой вершины xf- r2xf
T2Xi = {^Xf / Xf! Xi}, где
i^Xf! r2X . x;I Г2Uk, где Г2Uk! r2U,
^r2x;\ Uk • ur. x; ! Г2 ur, где ^x^ r2X,
r2x; = n~2x; \ Uk • Ut. x; ! Г2 Ut где Г2x; ! r2X,
Tr2xf . xi= xf.
5. Создаем множества образов r2Ui и прообразов TiUi рёбер, копируя их из ^U и riUi, исключая при этом Г2 Uk и Tiu^ добавляя в соответствующие множества образы и прообразы новых рёбер ^и ut
Г2Ui = r2U \ Г2Uk• {Г2Ur, Г2u/}, где r2Ur= X+, r2Ut= X/+;
riUi = riU \ Г1 Uk - {Г1 Ur, Г1 Ut}, где Г1 Ur = Xf, Г1 u/ = Xf.
6. Определяем множество образов FiXi вершин Xi для чего для x; 1 xf.
- копируем Fix;из FlX, если вершине x;не инцидентно ребро Uk,
- удаляем из Fix;множество вершин, инцидентных ребру Uk, и добавляем множество вершин, инцидентных ребру ur, если вершине X;инцидентно ребро ur,
- удаляем из Fix;множество вершин, инцидентных ребру Uk, и добавляем множество вершин, инцидентных ребру ut если вершине Xfинцидентн0 это ребро.
При x; = x/записываем в FlXfMножество вершин, инцидентных ребру ur, если оно инцидентно вводимой вершине, или ребру ut, если данное ребро инцидентно этой вершине.
FiXi = {Fix; /xf! Xi}, здесь для i 1 f
iFix;! FiX. XfI Г1 Uk, где Г1 Uk! TiU,
Fix; = i{FiXf\Г2Uk} • r2Ur. Xf! Г1 Ur, где FiXf! FiX,
T{FiXf\ Г2Uk} • r2Ut . Xf! riut, где FiXf! FiX,
FlXf= r2Ur. rixf= urU r2Ut'. Г1 Xf= ut.
7. Создаем множество прообразов Fl"LXi вершин Xi для чего.
- копируем Fi^Xf из Fi-1X, если вершине X;не смежно ребро Uk,
- удаляем из Fi-1Xiмножество вершин, которым инцидентно ребро Uk, и добавляем множество вершин, которым инцидентно ребро ur, если вершина X;инцидентна ребру ur,
- удаляем из Fi-1Xiмножество вершин, которым инцидентно ребро Uk, и добавляем множество вершин, которым инцидентно ребро ut если вершина X;инцидентна этому ребру,
При Xf= x/заносим в Fi-1Xfмножество вершин, которым инцидентно ребро ur, если ему инцидентна вводимая вершина, или множество вершин, которым инцидентно ребро ut если ему инцидентна вводимая вершина.
Fi-1Xi = {Fi"1Xf /Xf! Xi}, здесь для i 1 f
iFi"1Xf! Fi-1X . Xf I r2Uk, где r2Uk! ^U,
Fi-1Xi = i{Fi"1Xf\ Г1 Uk} • riUr. Xf! Г2Ur, где Fi"1Xf! Fi-1X,
T{Fi"1Xf\ Г1 uk} • riut . Xf! r2Ut где Fi-1Xi ! Fi-1X,
Fl-1Xf= riur. r2Xf= ururiut'. r2Xf= u/.
8. Формируем множество образов F2U1 ребер Ui относительно предиката смежности F?(Ui, Ui), для j 1 r 1 t
- копируя F2Uj из множества F^U, если ребро Uk не смежно ребру Uj,
- удаляя из F^Uj ! F2U ребро Uk и добавляя ребро ur, если эти рёбра смежны ребру Uj,
- удаляя из F2Uj ! F2U ребро Uk и добавляя ребро u/, если эти рёбра смежны ребру Uj,
- удаляя из F2Uj ! F2U ребро Uk и добавляя рёбра ur, u/, если все эти рёбра смежны ребру uj.
F2U1 = {F2Uj/Uj! Ui}, здесь
iF2uj . ukI F2uj
?{F2Uj\ uk} • Ur. Uk! F2uj& Г2Uj5 riu-1 K.,
F2uj= i{F2Uj\uk} ■ ut: ukl F2uj& Г2Ujg riUf1 K,
\{F2Uj\uk} • {ur, uf : ukI F2uj & r2Uj g riu^i K & r2Uj g Г1 Uf 1 K, где F2Uj I F2U.
Рёбра, смежные рёбрам urM Uf определяются по формулам:
F2ur= Е rix/и F2Uf= E r^/ r^/I riX.
x/I T2U x/I Г2Uf
9. Определяем множество прообразов F2-iUi рёбер множества Ui относительно предиката смежности F2 (Ui, Ui), для j1 r1 t
- копируя F2-1 Uj из множества F2'1 U, если ребру Uk не смежно ребро Uj,
- удаляя из F21 Uj I F2-1U ребро Uk и добавляя ребро ur, если этим ребрам смежно ребро Uj,
- удаляя из F2'1 Uj I F2-1U ребро Uk и добавляя ребро Uf, если этим ребрам смежно ребро Uj,
- удаляя из F21 Uj I F2-1U ребро Uk и добавляя ребра ur, Uf, если всем этим ребрам смежно ребро Uj:
F2"1Ui = {F2-1Uj /UjI Ui}, здесь
i F2'1uj : ukI F2'1uj
?{F2_1Uj\ Uk}- Ur: Ukl F2-1Uj & Г1 Uj g ^u^ K,
F2-1 Uj = i{F2-1Uj\ Uk} • Uf: UkI F2'1Uj & Г1 Uj g ^Ufi K,
i{F2-1Uj\ uk} • {Ur, Uf} : UkI F2-1Uj & Г1 Ujg Г2Ur 1 K & Г1 Ujg
r2uf 1 K, где F2'1UjI F2'1U.
Прообразы рёбер Ui-и Uf определяются по формулам:
F2-1ur= Е Г2Х/и F2-1Uf= E Г2Х;/ Г2Х/! ^X.
x/I Г1 urx/I Г1 Uf
Формальное описание выполнения операции над гиперграфом.
Множества гиперграфа Hi (Xi, Ui) получаем по выражениям:
Xi = X-xfi Ui = U | Uk• {un u}
riXi = (rix// x/1 Xi}, где rx = {un uf} и для /1 f
iriX/I riX, если UkI rix/,
rix/ = iriX/\ Uk• ur, если urI rix/ где rix/I riX,
Trix/\ Uk • Uf если UfI rix/ где rix/ I riX;
Г2Ui = r2U \ r2Uk• {r2Ur, r2Uf}, где r2Ur= X„ r2Uf = Xf
FXi = {Fix/ / x/iXi}, здесь Fixf= Xr Xf\ XfИ для /1 f
iFix/ I FiX : x/I r2Uk, где r2UkI r2U,
Fix/ = \{Fix/- r2Ur}\ r2Uk: x/I r2Un где Fix/1 FiX,
T{Fix/. r2Uf} \ r2Uk: x/I r2Uf, где Fix/I FiX;
F2U = {F2Uj/UjI Ui}, здесь для j 1 r 1 f
i F2uj: uk 1 F2uj
?{F2uj\ Uk} • Ur: UkI F^Uj& r2Ujg r2Uf= K,
F2uj= ¡{F^Uj \ Uk}- Uf: UkI F^Uj & r2 Uj g r2Ur= K,
T{F2uj\ Uk} • {un uf} : UkI F2Uj & r2Uj g ^ur K & r2Uj g ^Uf 1 K, где F2Uj I F2U.
Рёбра, смежные ребрам urи Uf, определяются по формулам:
F2Ur= E {rix/\ Ur: |r2UrI > i U rix/: |r2Url = i},
x/l r2ur
F2Uf= E {rix/\ Uf: | r2 uf > i U rix/ : l^uf = i}.
x/I r2uf
Асимптотическая оценка вычислительной сложности данной операции над ультра-и гиперграфом такая же, как и операции добавления ребра.
Операция может быть распространена на кусок ультра - или гиперграфа. Если разбиваемое ребро является внешним, должна быть задана информация о виде новых рёбер и соответствующим образом сформированы U к и U к .
1 int 1 ext
Пример. Выполним подразбиение ребра для варианта модификации схемы, показанного на рис. 8, а. Тогда для операции подразбиения ребра ультраграфа (смотри рис. 8, б) uk = ui, xf= x-, ur = U3, ut= U4 и Г1Х7 = {u^}, Г2Х7 = {u3}, r2u3 = {Х2, x-}, r2u4 = {Х3, Х4}, riu3 = {xi}, riu4 = {x-}.
В результате выполнения Ищ (Xi, Ui) = \ (Иц(X, U), uk, xf, ur, ut операции получим ультраграф Ищ, у которого: Xi = X. Х- = {xi, Х2, ..., Х-}; Ui = U | ui ■ {u3, u4} = {u2, u3, u4}; riXi: rixi = {ui} | {ui} ■ u3 = {u3}, rix2 = rix4 = Гх = rix6 = Е, rix3 = {u2}, rix- = {u4};
r2Xi: r2xi = Е, Г2Х2 = {ui} | {ui} ■ u3 = {u3}, Г2Х3 = {ui} | {ui} ■ u4 = {u4}, Г2Х4 = {ui} | {ui} ■ u4 = {u4}, Г2Х5 = {u2}, Г2Х6 = {u2}, rix- = {u3};
Г2Ui = {r2u2, r2u3, r2u4}, где: r2u2 = {Х5, Хб}, r2u3 = {Х2, x-}, r2u4 = {Х3, Х4}; riUi = {riu2, riu3, riu4}, где: ru = {Х3}, riu3 = {xi}, ru = {x-};
FiXi: Fixi = {Х2, Х3, Х4} | {Х2, Х3, Х4} ■ {Х2, Х-} = {Х2, x-}, Fx = Fx = Fx = Fx = Е, Fx = {Х5, Х6}, Fix- = r2u4 = {Х3, Х4};
Fi"iXi : Fi"ixi = Е , Fi_ix2 = {xi}, Ff^ = Ff^ = {x-}, Fi_ix5 = Fl"Lx6 ={Х3}, Fi"ix- = ru = {xi}; F?Ui: f2u2 = Е, F2_U 3 = E rix; = rix2 E rix- = {u4}, F?u4 = E rix; = Х/ I r2u3 x; I r2u4 rix3 E rix4 = {u2};
F2"LUI: F2"LU2 = {ui} | {ui} ■ {u4} = {u4}, F2-1u3 = r2xi = Е,
F2-iu4 = Г2Х- = {u3}.
Для гиперграфа показанного на рис. 8, в, операция Hi (Xi, Ui, TiXi, rzUi) =| (И(X, U, TiX, rzU), uk, xf, ur, ut) подразбиения ребра ui на рёбра u3 и u4 введением вершины xf = x- так, что X3 = rzu = {xi, Х2, x-} и X4 = rzu = {Х3, Х4, x-}, дает гиперграф Hi, у которого:
Xi = {xi, Х2, ., x-}; Ui = {uz, u3, u4};
Г1X1: Г1Х1 = Г1Х2 = {{ui \ ui} ■ u3} = {u3}, Г1Х3 = {{{ui, Uz} \ ui} ■ u4} = {Uz, U4}, Г1Х4 = {{{ui} \ ui} ■ u4> = {u4}, Г1Х5 = Г1Х6 = {UZ}, rix- = {u3, u4};
Г2Ui = {r2u2, ^3, ^4}, где: = {Х3, Х5, Х6}, ^3 = {xi, Х2, x-},
^4 = {Х3, Х4, x-}.
Удаление вершины Хк из образов и прообразов ребер ультраграфа Hu или образов ребер гиперграфа И -
рис. 9. Реализует проектную опера-цию отключения элемента схемы эк от множества цепей Ct.
Рисунок 9 - Фрагмент схемы до и после отключения элемента Э3 от цепей с 1 и с 2 (а), модель схемы в виде ультраграфа Ни и результат операции Ищ (б), модель схемы в виде гиперграфа Ни результат операции в виде
гиперграфа Н\ и куска Н\ к (в)
Задается имя удаляемой вершины хк и:
■ для ультраграфа - подмножество и к инцидентных ей ребер, из прообразов которых следует удалить вершину хк, и подмножество ик ребер, которым инцидентна эта вершина и из чьих образов её надо удалить;
■ для гиперграфа - подмножество и к инцидентных вершине хк ребер, из образов которых её следует удалить. Обозначение операции: Ну (X, и) : {Г^ик, Г2 Ук2}\ хк для ультраграфа и
Н(Х, и) : Г2ик'\ хкдля гиперграфа. Условия корректности операции:
- для ультраграфа хк1 X, ик' 1 ик+ & и к 1 и к- и и к 1 ик~ & ик' 1 ик+ и ик' 1 ик+ & ик2\ ик~ , где ик+ = Г1хк, ик = Г2хк
- для гиперграфа хкI X, и к 1
При применении операции образуется одна компонента связности, если хк не является вершиной, расщепляющей граф в отношении ребер множества {икЕ ик} для ультраграфа и ик для гиперграфа. В противном случае граф распадается на компоненты связности и при преобразовании графа необходимо определять компоненты связности и множества их вершин.
Если хк не является расщепляющей вершиной, в результате выполнения операции получаем:
- ультраграф Нщ (Хь и1) = Ни (X, и) : {Г1 ик, Г2^2} \ хк, если
" и/ Цик'Е и к} (1Г2и}1 + !Г\и}\ > 2), (8)
- кусок ультраграфа Ни1к (X1к, ик) = Ни (X, и) : {Г^ и к, Г2ик} \ хк, если
$ и/1 {ик'Е ик~} (/Г2и// + ¡Ги = 2), (9)
- гиперграф Н\ (X!, и^) = Н(X, и) : {Г2ик}\хк, если
" и/1 ик(/Г2и/ > 2), (10)
- кусок гиперграфа Н\к (X1к, и^) = Н(X, и) : {Г2ик} \ хк, если
$ и/1 ик(/Г2и/ = 2). (11)
Содержательно-формальное описание выполнения операции
над ультраграфюм при справедливости условия (8).
Для получения множеств ультраграфа Ищ (Xi, Ui):
1. Копируем множества Xи U под именами Xi и Ui соответственно:
Xl=X ; Ui = U.
2. Формируем множество образов вершин TiXi, копируя их из множества TiX, если i 1 k. Из образа rixkудаляем ребра множества Uк':
riXi = {rixi: i 1 к Ü rixi \ Uk' : i = к/ xiI Xi, rixil riX}.
3. Создаем множество прообразов вершин ^Xi, копируя их из множества ^Xi, если i i к. Из прообраза Г2Хк удаляем ребра множества Uk2:
r2Xi = {r2xi: i 1 k Ü r2xi\ Uk2 : i = k/ xiI Xi, r2x;Ir2X}.
4. Формируем множество образов ребер ^Ui, копируя их из r2U и удаляя при этом вершину xkиз образов ребер
множества Uf:
Г2 Ui = {Г2 и/ : Uj I Uk2Ü Г2 и/ \ xk: uj I Uk / uj I Ui, ^uj1 ^U}.
5. Определяем множество прообразов ребер riUi, копируя их из riU и удаляя при этом вершину xk из прообразов ребер множества U'
riUi = {ri uj : Uj I Uk' Ü ri uj\xk: uj I Uk' / uj I Ui, r^j I r2U}.
6. Создаем множество FiXi образов вершин Xi относительно предиката смежности Fi(Xi, Xi) для чего при i 1 k:
- копируем fix; из FiX, если вершина xk не была смежна вершине x; или была и остается смежной после её удаления из образов ребер U¡2,
- удаляем из образа F^-вершину xk, если она становится не смежной x;после её удаления из образов ребер Uk-.
Образ Fixk вершины xk получаем как объединение образов r2uj ребер, инцидентных этой вершине после удаления из её образа rixk множества ребер Uk':
FiXi = {Fix;/x; I Xi}, где при i 1 k:
¡fix;: xk I Fix; Ü xk I Fix;&Г^;? {r2xk \ Uk-} 1 /Е,
i i =
Т/1х/\ хк: хкI Я1Х/& Г1Х/5 {Г2Хк \ и/2} = Е,
здесь: /1х/1 /IX, Г^/! Г1Х, Г2х/ I Г2Х.
/1Х/ = Е Г2 и/, где Гх I Г1Х, Г2 и/1 ^и.
и] 1 Г1хк \ ик'
Например (смотри рис. 9, б), вершина хз осталась бы смежной вершине х1 после удаления хз из образа Г2и ребра и1, т. е. /1х1 = {х2, хз}, если бы существовало ребро 05, показанное на рисунке точками. Так как в схеме нет цепи с5 « и5, то после удаления вершины хз из образа Г2и условие
Г1х1 ? {Г2хз \ 01} = Е выполняется и /х1 = {х2, хз}\ хз = {х2}.
7. Создаем множество /1-1Х1 прообразов вершин Х1, для чего при / 1 к
- копируем /1"1х/из /1-1Х, если вершине хк не была смежна вершина х/или была и остается смежной после её удаления из образов ребер и/,
- удаляем из прообраза /^х/вершину хк, если этой вершине была и остается смежной вершина х/после удаления хк из прообразов ребер и к'.
Прообраз /'1'1хк вершины х/ получаем как объединение образов Г1 и/ ребер, которые инцидентны этой вершине после удаления из её образа Г1х/ множества ребер и/-:
/1'1Х1 = {/1'1х//х/1 Х1}, где при /1 к:
¡/1"1х/: х/1 /-1х/и х/1 /1-1х/& Г2х/? { Гх \ и' 1 Е,
р1'1х/ = Г
/11х/\ хк: х/1 /1-1х/& Г2х/д { Гх \ Ц/' = Е,
здесь: /1'1х/! /1'1Х, Г2х/1 Г2Х, Г1хк I Г1Х.
/1'1х/= Е Г1 и/, где Г2х/1 Г2Х, Г1 и/ I Г1 и.
и/1 Г2хк \ ик2
8. Формируем множество образов Я2и1 ребер и1 относительно предиката смежности Я2(и1, и1):
- копируя F2uj из множества F2U, если ребру Uj не инцидентна вершина Xk, либо была и остается инцидентной, но не удаляется из прообразов смежных ей ребер,
- получая F2Uj как объединение ребер, инцидентных вершинам множества T2Uj\ Xk, если ребро Uj удаляется из прообраза r2Xk вершины Xk, т. е. вершина становится не смежной ему,
- определяя F2Uj как объединение множества ребер, полученного по предыдущему правилу, и ребер, инцидентных вершине Xk без множества Uk, если ребро Uj не принадлежит множеству ребер, из образов которых удаляется вершина Xk, т. е. эта вершина в результате выполнения операции остается инцидентной ребру Uj и множество ребер, из прообразов которых удаляется вершина xk, не пусто.
F2U1 = {F2Uj/Uj! Ui}, здесь
i F2 Uj. Uj I r2Xk U Uj! r2Xk \ Uk & Uk = K,
F2Uj= i E riXf. Uj ! Uk2,
xi! r2uj\ xk
T {E rix;} E {riXk\ Uk} . Uj I Uk & Uk 1 K,
xf! r2uj\ xk
где F2uj! F2U, r2xk! r2X, r2Uj ! r2U, r1xf , rLxk ! rLX.
9. Формируем множество прообразов F2-1Ui ребер Ui относительно предиката смежности F2(Ui,Ui).
- копируя F21 Uj из множества F2'1 U, если ребро Uj не инцидентно вершине Xk,
- удаляя из F2"1 Uj ! F2_1U множество ребер Uk-, если ребро Uj было и остается инцидентным вершине xk
- удаляя из F2"1 Uj ! F2_1U множество ребер, которым инцидентна вершина Xk, если ребро Uj принадлежит множеству ребер, из прообразов которых удаляется вершина xk, т. е. этой вершине в результате выполнения операции становится не инцидентно ребро Uj.
F2"1 Ui = {F2-1Uj / Uj! Ui}, здесь
iF2-1 Uj . Uj I riXk U Uj! riXk \ Uk & Uk- = K,
F21 Uj = 1 E Г2 X;. Uj ! Uk,
xi! riuj\ xk
T {E r2X;} E {Г2 Xk\ Uk2} . Uj I Uk & Uk- 1 K,
xi! riuj\ xk
где F2-1Uj! F2-1U, rLxk! rLX, r2xf r2xk ! r2X, rLUj ! rL U.
Для куска ультраграфа Hui1* дополнительно формируем множество внешних ребер UiкехЬ в него включаем те из ребер множества Ut, для которых после выполнения операции сумма количества вершин, инцидентных ему, и количества вершин, которому оно инцидентно, равна единице. Определяем также множество внутренних ребер куска UiктЬ исключая из Uiк внешние.
При выполнении условия (9), получаем кусок ультраграфа Huiк. Множества Xiк, и1к, TiXiк, r2Xiк, r2Uiк, riUiк, FlXiк, Fi^Xi1*, F2U1к, F2"1Uiк определяются по тем же формулам, что и множества ультраграфа Hui (Xi, Ui). Множество ребер и1к разбивается на подмножества Uiк;п/ и UiкехЬ такие, что
Ui W = {Uj! { Uk2 E Uk'}.(ir2Ujl + FiUj!) = 1 / Г2 Uj ! r2Ui, riUj ! riUi};
Ui ктЬ = и1к \ Ui кеж/.
Формальное описание операции над гиперграфом H (X, U).
При выполнении условия (10) получаем гиперграф Hi (Xi, Ui).
Xl = X; UL = U;
r1X1 = {r1xf. i 1 k U r1xf \ Uk'. i = k / xf! Xi, r1xf! rLX};
Г2 Ui = {r2Uj . Uj! Uk и Г2 Uj \ Xk. Uj! Uk / Uj ! Ui, r2Uj ! r2U};
F1X1 = {Fix;/Xf! Xi}, где при i 1 k.
iFiXf. XkI Fix;U Xk! FiXf&rix;5 { riXk\ Uk} 1 K,
1 f =
TFlXf \ Xk. Xk! FiXf& rix;5 { riXk\ Uk} = K,
здесь. Fix;! FiX, rix; riXk! TiX,
FlXk= E{ r2 Uj \ Xf. | r2 Uj | > 1 U r2Uj . | r2Uj| = 1}, где riXk! riX, r2Uj ! r2U;
uj ! r1xk \ Uk
/.и1 = {/2и//и/I и1}, здесь ¡^ : и/1 Г1хк
/2 и/ = /2 и/ \ и/1 ик: и/1 Гх \ и/ & Г2 и/ £ Г2 и/\х/ = Е, Т/2 и/ \ и/1 Г1х/\ ик: и/1 и& Г2 и/ \ х/ £ Г2 и/ = Е, где /2и/I /2и, "1х/ I Г2Х, Г2и/, Г2и/! Г2и.
Если справедливо условие (11), получаем кусок гиперграфа Н1к (Х1к, и1к). Множества Х1к, и1к, Г1Х1к, Г2и1к , /1Х1к, /^Цк формируются по тем же правилам, что и для гиперграфа Н (Х1, и1), а и1 кех-= {и/ I и/: /Г2и// = 1 / Г2и/1 Г2и1к}, и1 к1Ы = и1к \ и1 кх
Если вершина х/является расщепляющей в отношении множества рёбер {и/ Ё и/} для ультраграфа (и/ для гиперграфа) и определено множество вершин Х/некоторой компоненты связности, то множество её рёбер
и/= {и/1 Ё{Г1х;Е Г2 х/} / Г1 х/! Г1Х, Г2х/! Г2Х},
х,!Х/
а остальные множества находим по формулам для компоненты соответствующего вида с учетом того, что х/и и/ определены на множествах Х/и и/соответственно (х/1 Х/и и/I и/).
Поскольку анализ вычислительной сложности данной операции несколько сложнее, чем предыдущих, приведем исходные и промежуточные данные для него по схеме: «наименование формируемого множества» : «количество операций сравнения/копирования в функции от мощности обрабатываемых множеств». Вычислительную сложность будем оценивать для операции над ультраграфом без учета получения образов и прообразов вершин и ребер ультраграфа относительно предикатов смежности /1(Х1, Х1) и /2(и1, и1).
Х1: /Х / = п; и1: /и/ = т;
Г1Х1: (/Х/- 1) х /Г1х//+ /Г1х// х /и/'/ + /Г1х//; Г2Х1: (/Х/ -1) х /Г2х// + /Г2х// х /и/2/ + /Г2х//;
Г2и1: (/и/2/ + /Г2и//) х (/и/ - /и/2/ + (/"2и// + /"2^/) х /и/2/ = (/и/ - / и/2/ х /и/2/ + /Г2и// х (/и/ +
/ ик2/);
гц (/ик'/ + /Г1 и//) х (/и/ - /ик'/) + (/Г1 и// + /Г 1 и//) х /ик'/= (/и/ -/ик'/) х / и/ + /Г1 и// х (/и/ + /и/'/).
Асимптотическая оценка вычислительной сложности данной операции равна:
• в худшем - О(т2) при т > п, если /Г1х// или/Ц/'/ (/"2х/ или /и/2/) ограниченыI величиной т, или - О(п х т), если /Г2 и// или/Г 1и/ ограниченыI величиной п либо /Г^х// или /Г2х/ ограниченыI величиной т и п> т;
• в лучшем - О(п) при п> т и - О(т) при т > п, если мощности образов и прообразов вершин и ребер, а также /и/'/ и / и/2/ ограниченыI константой.
Вы/числительная сложность операции над гиперграфом имеет тот же порядок.
Операция может выполняться над куском НцЦ (Хк, Цк) ультра - или Н (Хк, Цк) гиперграфа. При этом среди компонент связности может появиться граф (графы) вида С®(Е, и), если для внешних ребер куска Нцк (Хк, ик) выполняется условие
$ и/ {и/' Ё и/2}(/Г2и// + /Г 1 и// = 1),
или вида (Е, и), если для внешних ребер куска Н (Хк, Ц) выполняется условие
$ и/ и/' (/Г2и// = 1).
Пример. Отключим в схеме, показанной на рис. 9, а, элемент эз от цепей с1 и с2. Над моделью схемы в виде ультраграфа (смотри рис. 9, б) выполняется операция удаления вершины хз из образов ребер и1 и и2, т. е. и/ = {и2}и и/2 = {и1}. Вершина хз не является расщепляющей и выполняется условие (8), так как /"201/ + /Г1 и1 / = з и /"202/ + /"1и2/ = 4.
В результате выполнения операции Нщ (Х1, Ц1) = Нц(Х, и) : {Г1 и/, "2Ц/2} \ х/получим ультраграф Нщ, у которого:
Х1 = Х= {х1, хз, х4, х5}; Ц1 = и = {и1, и2, из, 04};
Г1Х1: Г1х1 = {и1}, Г1х2 = {04}, Г1хз = {и2, из} \ {02} = {из}, Гх = Е,
"х = {и2};
Г2Х1: Г2х1 = Е, Г2х2 = {и1, и2}, Г2хз = {иь 04} \ {01} = {04}, ^4 = {и2, из}, ^5 = Е; "2^: "2и1 = {х2, хз} \ хз = {х2}, "202 = {х2, х4}, Г2из = {х4}, "204 = {хз}; ГЦ Г1и1 = {х1}, Г1 и2 = { хз, х5} \ хз = {х5}, Г1из = {хз}, "104 = {х2}; /1Х1: /1х1 = {х2, хз} \ хз = {х2}, /1х2 = {хз}, /1хз = Г2из = {х4}, /^4 = Е, /х = {х2, х4}; /1-1Х1: /1-1х1 = Е, /1-1х2 = {х1, хз, х5} \ хз = {х1, х5}, /1-1хз = "104 = {х2}, -1 -1
Наука и Образование: научно-техническое издание: Операции над ультра- и гиперграфами для реализации процедур анализа и синтеза структур сложных систем (Ча.. Г- х4 = {хз, х5}, Fí х5 = /Е;
Ги— Г^и- = Гх = {и4}, Г^и2 = {и4}, Г^из = /Е, Г^и4 = {и2, из} \ {и2} = {из}; Г^и^ Г2-1и1 = /Е, Г2-1и2 = Г2{/} = /, Г2-1из = {и1, и4} \ {и1} = {и4}, Г2-1и4 = {и1, и2}.
В гиперграфе, показанном на рис. 9, в, удалим вершину хз из образов ребер и1 и и2, т. е. ик = {и1, и2}. Так как /Г2и-/ = з и /Г2U2/ = 4, в результате выполнения операции
Н1 (X1, и1, ГlXl, Г2и1) = Н(X, и, Г^, Г2и : {Г2ик} \ хк
получаем гиперграф Н-, в котором:
Xl = X= {х1, хз, х4, х5}; и1 = и = {и1, и2, из, и4};
Г1X1: Г1х1 = {и1}, Г1х2 = {и1, и2, и4}, Г-хз = {и1, и2, из} \ {и1, и2} = {из}, Г1х4 = {и2, из, и4}, Г1х5 = {и2};
Г2и1: Г2и1 = {х1, х2, хз} \ хз = {х1, х2}, Г2и2 = {х2, хз, х4, х5} \ хз = {х2, х4, х5}, Г2из = {хз, х4}, ^4 = {х2, х4}.
При удалении вершины хз из образа ребра из получим кусок гиперграфа Н1к, в котором: Xlк = X; и1к = и; и-кext= {из}, и1 кМ = {и1, и2};
ГlXlк: Г1х1 = {и1}, Г1х2 = {и1, и2, и4}, Г1хз = {и1, и2, из} \ {из} = {и-, и2}, Г1х4 = {и2, из, и4}, Г-х5 = {и2};
^1: Г2и1 = {х-, х2, хз}, Г2и2 = {х2, хз, х4, х5}, Г2из = {хз, х4} \ хз = {х4}, ^4 = {х2, х4}.
Удаление ребра и к из образов и прообразов вершин ультраграфа Ни и образов вершин гиперграфа Н-
рис. 10. Соответствует проектной операции отключения цепи скот заданного множества элементов схемы.
Рисунок 10 - Фрагмент схемы до и после отключения цепи с1 от элементов эз и э4 (а), модель схемы в виде ультраграфа Huи результат операции Hui (б), модель в виде гиперграфа Hи результаты операции Hi и Hil< для вариантов отключения цепи с1 от элементов эз, э4 и э2, эз, э4 (в)
Задается имя удаляемого ребра Uk и.
■ для ультраграфа - подмножество Xk инцидентных ему вершин, из прообразов которых надо удалить это ребро, и подмножество Xk- вершин, которым инцидентно это ребро и из чьих образов следует его удалить;
■ для гиперграфа - подмножество Xk инцидентных ребру вершин, из образов которых оно удаляется. Обозначение операции. Hu (X, U) . {riXk-, r2Xkj- \ Uk для ультраграфа и
H(X, U) . riXk'\ Ukдля гиперграфа. Условия корректности операции.
- для ультраграфа. Uk! U, Xk'i ^u^ Xk- i ri Uk или Xk'I ^u^ Xk- i Г^^ли Xk'I Г2UkИ Xk- I ri uk
- для гиперграфа икI и, Xk 1 Г2ик
При применении операции образуется одна компонента связности, если ни одна из вершин множества {Xк' Е Xk2} в ультраграфе ^к'в гиперграфе) не является расщепляющей и для каждой из них /Г—х// + /Г2х// >1 для ультраграфа и /Г—х/ > 1 для гиперграфа. В противном случае граф распадается на компоненты связности и при преобразовании графа необходимо определять компоненты связности и множества их вершин.
Если вершины1 множества {Xк' Е Xk2} или Xk не являются расщепляю-щими, в результате выполнения операции получаем: - ультраграф Ни1 (X-, и-) = Ни (X, и) : {Г^ц2, ^к} \ и к, если
/Г2ик\ X' + /Г-ик\ Xk2/ з 2, (12)
- кусок ультраграфа Ни1 к X к, и1 к) = Ни (X, и) : { Г^к, Г^' \ ик, если
/Г2 и к \ Xk'/ + /Г1 ик\ Xк / = 1, (-з)
- гиперграф Н- (X-, и-) = Н(X, и) : Г^' и к, если
/Г2ик\ X' з 2 , (14)
- кусок гиперграфа Н—к (Xlк, и-к) = Н(X, и) : Г^' хк, если
/Г2ик\ Xk'/ = 1 . (15)
Содержательно-формальное описание выполнения операции над ультраграфом Ни (X, и) при справедливости условия (12). Для получения результата - ультраграфа Ни1 (X-, и-):
1. Копируем множества X и и под именами X- и и- соответственно:
X1 = X; и1 = и.
2. Формируем множество образов вершин Г^—, копируя их из множества Г^ и удаляя и к из образов вершин множества Xk■:
Г^ = {Г—х/: х/1 Xk2 и ГlXi\ ик: х/! Xk / х/! X-, Г—х/! Г^.
з. Получаем множество прообразов вершин Г2Xl, копируя их из множества Г2X и удаляя и к из прообразов вершин множества Xk
= {Г2х/: х/1 Xk' и Г2х/\ик: х/! X,,!/ х/! X-, Г—х/! Г^.
4. Формируем множество образов ребер ^и—, копируя их из Г2и, если/ 1 к, и удаляя из образа Г2иквершины, принадлежащие множеству Xk
Г2 и- = {Г2 и/ : / 1 к и Г2 и/ \ Xk': / = к / и/ ! и-, Г2и/ ! Г2Ц>.
з. Создаем множество прообразов ребер Г-и-, копируя их из Г-и, если / 1 к, и удаляя из прообраза Г—ик вершины, принадлежащие множеству Xk■:
Г- и- = {Г-и/: / 1 к и Г- и/ \ Xk2 : / = к / и/ ! и-, Г- и/ ! Г- и}.
4. Определяем множество образов для чего:
- копируем Г х/ из FlX, если вершине х/ не инцидентно ребро и к или было и остается инцидентным после своего удаления из образов вершин множества Xk и при этом оно не удаляется из прообразов инцидентных ей вершин, т. е. Xk' = Е,
- получаем Г—х/как объединение множества вершин, инцидентных рёбрам образа Г—х/без ребра и к, если оно удаляется из образа вершины х/, т.е.
х/! XI?,
- находим Г-х/как объединение множества вершин, сфомированного по предыдущему правилу, и множества вершин, инцидентных ребру ик, без множества Xк, если ребро икне удаляется из образа вершины х/, т. е. х/1 Xk, и Xk 1 /:
Г^! = { Г—х//х/! X-}, где
] Г—х/: х/ I Г— и к и х/! Г—ик\Xk2 & Xk = /Е,
Г—х/ = \ Е Г2и/ : х/! Xk,
и ! Г—х/ \ ик
? {Е Г2и/} Е {Г2ик \ Xk} : х/1 Xk & Xk 1 /Е,
и] ! Г1х/ \ ик
где Г-1х/! Г^, Г1ик! Г—и, Г2и/, Г2ик ! Г2и, Г1х/! Г1X.
5. Формируем множество прообразов Fl'1Xl для чего:
- копируем Г1-1х/из Fl'1X, если вершина х/ не инцидентна ребру и к или была и остается инцидентной после удаления ребра из прообразов вершин множества Xk и при этом ребро не удаляется из образов вершин, которым она инцидентна, т. е. Xk = /Е,
- получаем /1-1х/как объединение множества вершин, которым инци-дентны ребра прообраза Г2х/без ребра и/, если это ребро удаляется из прообраза вершины х/, т. е. х/1 Х/',
- находим /1-1х/как объединение множества вершин, определенного по предыдущему правилу, и множества вершин, которым инцидентно ребро и/, без множества Х/2, если ребро и/не удаляется из прообраза вершины х/, т. е. х/I Х/', и Хк2 1 Е :
/1-1Х1= { /1-1х//хХ}, где
¡ /1-1х/: х/I Г2и/и х/1 "2ик\Х/'& Х/ = Е,
/1-1х/ = \ Ё Г1 и/ : х/ I Х/',
и * Г2х/\ ик
Т{Ё Г1 и/ } Ё {"1и/\Х/2} : х/1 Хк' & Х/2 1 Е,
и! Г2х/ \ ик
где /l-1x/I /!-1Х, Г2ик1 Г2Ц, Г1ик, Г1и/ I Г1и, Г2x;•! Г2Х.
6. Получаем множество образов ребер Ц1 относительно предиката смежности /2Щ1, и{) для чего при / 1 к
- копируем /2и/из /2и1, если ребро и/не было смежно ребру и/или было и остается смежным после его удаления из образов вершин Х/■,
- удаляем из образа /2и/ ребро и/, если оно становится не смежным ребру и/ после его удаления из образов вершин Х/2.
Образ /^и/ребра и/получаем как объединение образов Г1х/вершин, инцидентных этому ребру после удаления из его образа Г2и/ множества вершин Х/':
/2Ц1 = {/2и//и/I Ц1}, где при / 1 к
¡/2и/ : "2и/£ Х/ = Е,
/,и] = '
Т/2 и/ \ и/: и/1 /2и/& Г2 и/ £ {Г1 и/\Х/2} = Е,
здесь: /2и/ I /2 и, Г2и/ I Г2Ц Г1 и/1 Г1Ц
/2и/ = Ё Гх где Г1х/ I Г1Х, Г2и/1 Г2и.
х/1 Г2ик\ Хк'
7. Получаем множество прообразов /2-1и1 ребер Ц1 относительно предиката смежности /2(Ц1, и1) для чего при / 1 к:
- копируем /Г1 и/из /2-1Ц1, если ребру и/не было смежно ребро и/или было и остается смежным после удаления и/ из прообразов вершин Х/,
- удаляем из прообраза /21и/ ребро и/, если ребро и/ становится не смежным ребру и/ после его удаления из прообразов вершин множества Х/.
Прообраз /Г1 и/ ребра и/ получаем как объединение прообразов Г2х/рёбер, которым инцидентна вершина х/после удаления множества вершин Х/^-из прообраза Г1 и/ ребра и/
/2-1и1 = {/2-1и/ /и/1 и1}, где при /1 к
¡/2-1и/ : Г1 и/ £ Х/'= Е,
/Ли/ = \
Т/2-1 и/ \ и/: и/1 /2-1и/& Г1 и/ £ {Г2 и/ \ Х' = Е,
здесь: /2-1и/ I /2-1и, Г1и/ I Г1Ц, Г2икТ Г2и.
/2-1и/ = Ё Г2х/ где Г2х/ I Г2Х, Ги I Г1 и.
х/1 "1ик\ Хк2
Множества аналитического представления куска ультраграфа Нщ к получаем по таким же формулам; дополнительно формируем множество внешних рёбер Ц1 кext в которое включаем ребро и/, и определяем множество внутренних рёбер куска Ц1 кп, исключая из Ц1к ребро и/
Ц1 кext= {ик}, и1кшь = Щк \ и/.
Формальное описание операции над гиперграфом Н (Х, Ц).
При выполнении условия (14) получаем множества гиперграфа Н.:
Х = Х; и = и;
1 1 ГХ = {Г1*/: х/1 Хк и Г1Х \ ик : х/1 Хк'/ х/1 Хь Г1х/1 ГХ
Г2Щ = {Г2и] : ] 1 к и Г2^ \ Хк': ] = к / и} I их, Гги} I ^и};
РХ = { ^.х//х/1 Х1}, здесь:
'Р1х/: х/1 Г2 ик
1 =
Т Е {Г24 \ х/: | Г2 и/| > 1 и Г2^: 1^1 = 1} : х/1 Хк',
и] 1 Г1х/ \ ик
Р1х/1 Р1Х, Г21 Г2ик! Г2и, Г1х/1 Г1Х;
Ъ.и1 = { р1и] / и I у1}, здесь для и; 1 и к
\F2Uj : Г2и;? Хк'= Е,
р2и1 = (
Т Р2и\ ик: и11 Р2ик&Г2и;? {Г2ик\ Хк' = /,
здесь: Р^и;I Р2и, Г2иГ2икI Г2и и
Р2ик= Е {Г1х/\ ик: | Г2ик >1 и Гх |Г2ик | = 1},
х/1 Г2ик\ Хк'
здесь: Р^и;I Р2и, Г2и/, Г2ик I Г2и, Г1х/I Г1Х.
В случае выполнения условия (15) получаем кусок гиперграфа
Ищ к (Х1к, и1к), в котором множества Х1к, Щ1к, Г1Х1к, Г2^1к, р1Х1к, к формируются по тем же правилам, что и множества гиперграфа И. (Х1, и1), а Щ кех- = {ик}, и1к/п^ = Щк \ ик
Если результатом операции является несколько компонент связности и определены множества их вершин {X}, множество ребер каждой компоненты будет:
и/= {и; I Е {Г1'х/Е Г 2 'х/} / Г1х/1 Г1Х, ^х/! Г2Х},
х№
где Г1 'х/ = Г1х/ если х/1 Хк2 и Г1 'х/ = Г1х/\ и к, если х/1 Хк2, Г1х/1 Г1Х,
Г2 х/= Г2х/, если х/ I Хк' и Г2 'х/= Г2х/ \ и к, если х/1 Хк, Г2х/ I Г2Х.
Остальные множества аналитческого задания компоненты определяются по соответствующим формулам для компоненты данного вида.
Асимптотическая оценка вычислительной сложности данной операции над ультраграфом без учета операций формирования образов и прообразов относительно предикатов смежности равна:
• в худшем - О(п х т) при т > п, если/Г1х// или/Г2х// ограничены1 т либо|Г2Uj| или |ГlUj| ограничены1 п; О(п2) при п > т, если |Г2Uj| и Хк!либо |ГlUj| и |Xk2| ограничены/ величинами т и п соответственно;
• в лучшем О(п) при п> т и О(т) при т > п, если|ГlX/|,|Г2X/|,|Г2Uj|, |ГlUj|, |Xk'| и |Xkl ограничены1 константой.
Асимптотическая оценка вы/чиспительной сложности операции над гиперграфом имеет тот же порядок.
Операция может быть применена к куску ультра - или гиперграфа. Результатом будет кусок Ищ1 к или И1к соответственно. Если ребро и к было внутренним и выполнялось условие (13) для ультраграфа или (15) для гиперграфа, то это ребро исключается из множесва внутренних и добавляется в множество внешних.
Пример. В схеме, показанной на рис. 10, а, отсоединим цепь с 1 от эле-ментов Э3 и Э4. Для модели схемы в виде ультраграфа (смотри рис. 10, б) множества Хк = {х4}, Хк = {хз}, т.е. будет выполняться операция удаления ребра и1 из образа вершины х4 и прообраза вершины хз.
Результатом операции Ищ1 (Х1, и1) = Ищ (X, и) : { Г1Хк, Г2Хк} \ и к будет ультраграф Ищ1, так как вершины хз и х4 не являются расщепляющими и выполняется условие (12). Образы и прообразы вершин и ребер ультраграфа Ищ1 относительно предикатов инцидентности и смежности будут:
Г1Х1: Гх = {и1, и2}, Г1х2 = Г1хз = /, Г1х4 = {и1} \ и = /;
Г2Х1: Г2х1 = /, Г2х2 = {и1, и2}, Г2хз = {и1, и2} \ и = {и2}, Г2х4 = {и2};
Г2^: Г2и1 = {х2, хз} \ {хз} = {х2}, ^2 = {х2, хз, х4};
Г1 и1: Г1и1 = {х1, х4} \ {х4} = {х1}, Г1и2 = {х1};
Р1Х1: Р1х1 = Г2и2 Е Г2и1 \ {хз} = {х2, хз, х4}; = Р1хз = /, = /;
Р1-1Х1: Р1-1х1 = /, Р1-1х2 = Г1 и Е Г1и1 \ {х4} = {х1}, Р1-1хз = Г1и2 = {х1},
1 4х = { х I-1 ;
/2^: /2и = "1x2 = Е, /2и2 = /2и2 \ и1 = Е; /2-1и1: /2-1и1 = Г2х1 = Е, /2-1и1 = Е.
В гиперграфе, показанном на рис. 10, в, удалим ребро и1 из образов вершин хз и х4. Так как /"201 \ {хз, х4}/ = 2, в результате выполнения операции Н. (Х1, и1) = Н(Х, Ц) : {Г1Х/2, Г2 Х' \ и/ получаем гиперграф Н., изображенный на том же рисунке, в котором:
Г1Х1: "1x1 = "1x2 = {и1, и2}, Г1хз = "1x4 = {и1, 02} \ и1 = {02}; "2^: Г2и1 = {х1, х2, хз, х4} \ {хз, х4} = {хь х2}, Г2и2 = {х1, х2, хз, х4}; /1Х1: /1x1 = {х2, хз, х4}, /1x2 ={х1, хз, х4}, /1хз ={х1, х1, х4}, /1x4 = {х1, х2, хз}; /2Щ1': /2и1 = {и2}, /2и2 = {и1}.
При удалении ребра и1 из образов вершин х2, хз, х4 получим кусок ультра - Нщ к или гиперграфа Н1к, аналитическое представление которых читателю нетрудно получить самостоятельно.
Формирование части ультраграфа Нцили гиперграфа Н- рис. 11. Реализует проектную операцию определения (локализации) части схемы по заданному множеству элементов Э1 Ё Э, где Э - множество элементов схемы.
Рисунок 11 - Схема и выделенный фрагмент (а); модель в виде ультраграфа Нц, сформированные кусок Нщк - две компоненты связности и подграф Нщ - три компоненты связности (б); модель в виде гиперграфа, кусок и подграф гиперграфа Н1к и Н1 - две и три компоненты связности соответственно (в)
Операция имеет две модификации: формирование куска Нц1к ультраграфа Нц или Н1к гиперграфа Н и формирование подграфа Нщ ультраграфа или подграфа Н1 гиперграфа.
Задается множество Х1 вершин формируемой части графа.
Обозначение операции: Нц (Х, Ц) н Х1 или Н(Х, Ц) н Х1 для формирования куска ультра- или гиперграфа и Нц (Х, Ц) 0 Х1 или Н(Х, Ц) 0 Х1 для формирования подграфов тех же графов.
Условие корректности операции: Х1 1 Х.
Результатом выполнения операции является:
- кусок ультраграфа Нщ к (Х1к, Ц1к) = Нц (Х, Ц) н Х1или
- гиперграфа Н1 к (Х1 к, Ц1к) = Н(Х, Ц) н Х1 либо
- подграф ультраграфа Ищ (Xi, Ui) = Иц (X, U) 0 Xi или
- подграф гиперграфа Hi (Xi, Ui) = И(X, U) 0 Xi.
Полученная часть ультра - или гиперграфа может содержать несколько компонент связности. Операция не формирует аналитическое представление каждой компоненты связности. Множества вершин, ребер, образов и прообразов (для ультраграфа) формируемой части графа представляют собой конкатенацию соответствующих множеств компонент связности, входящих в эту компоненту.
Содержательно-формальное описание выполнения операции при получении куска Ищ к (Xiк, Цк) ультраграфа Иц (X, U).
1. Копируем множество Xi под наименованием Xi« : Xiк = Xi.
2. Формируем множество Uiк, включая в него при копировании те рёбра множества U, которые инцидентны вершинам множества Xi и которым инцидентны эти вершины:
Uiк = ri(Xiк) É r2(Xiк), где ri(Xiк) = Ё ^ r2(Xiк)= Ё Г2Х, х/1 Xlк x/i Xiк
где rix/i riX, Г2х/i r2X, Гl(Xlк) - множество ребер, которые инцидентны вершинам множества Xi, r2(Xiк) -множество ребер, которым инцидентны эти вершины.
Примечание: множество Uiк можно определить другим способом, а именно: Uiк = {Uji U: {r2Uj Ё ri Uj} 5 Xiк 1 К /r2Uj i Г2и, riu/-i riU}.
Однако использование этой формулы в данном случае нецелесообразно, так как это приведет к тому, что вычислительная сложность операции «в лучшем» будет О(т) даже при | Г2 Uj| = | Г i Uj| = |Xi« | = const. Аналогичная формула будет использована для определения Ui подграфа ультраграфа. Читателю предлагается самому продумать основания для её применения.
3. Определяем множество Ulк/nt внутренних ребер, включая в него те ребра из Ui«, у которых все вершины их образов и прообразов принадлежат множеству вершин Xiк:
Ui к/П- = {Uj i Ц1к : {Г2 Uj Ё ri uj} Í Xi« / Г2Uj i ^U, ri Uj i ГЩ
4. Создаем множество ^«^внешних ребер, исключая из множества Uiк внутренние ребра куска ультраграфа: Ui кех-= Ui к \ Ui «/nt
5. Получаем множество riXiк образов вершин куска Ищк, записывая в него из riX образы x/i Xiк: riXiк = {rix/i riX / x/i Xiк }.
6. Формируем множество ^Xiк прообразов вершин куска Ищк, записывая в него из Г2Xпрообразы x/i Xiк: r2Xiк = {r2x/i r2X / x/i Xiк }.
7. Создаем множество r2Ui к образов ребер куска Ищк так, что образом внутреннего ребра является образ r2Uj одноименного ребра в ^U ультраграфа Иц, а образ внешнего ребра определяется как r2Uj 5 Xi«, т. е. удалением вершин, не принадлежащих Xi«:
r2 Ui к = { r2 Uj 5 Xiк / Uj i Ui к, r2 Uj i r2 U}.
8. Создаем множество riUiк прообразов ребер куска Ищ к так, что прообразом внутреннего ребра является прообраз riUj одноименного ребра в TjU ультраграфа Иц, а прообраз внешнего ребра определяется как riUj 5 Xi«, т. е. удалением вершин, не принадлежащих Xi«:
ri Ui к = {ri Uj 5 Xiк / Uj i Uiк, ri Uj i ri U}.
9. Определяем множество FlXi к образов и прообразов Fl^Xi« вершин относительно предиката смежности Fi(Xiк, Xiк), оставляя в Fix/i FlXи Fi'ix/i Fi-lX только те вершины, которые принадлежат множеству Xiк:
FiXiк = {Fix/5 Xlк / x/i Xiк, Fix/i FiX},
/1-1Х1к = {/1-1х/£ Х1к / х/1 Х1к, /1-1х/ I /1-1Х}.
10. Формируем множество /2Ц1к образов и прообразов /2-1Ц1к рёбер относительно предиката смежности /2(Ц1к, Ц1к), оставляя в /2 и/ I /2и и /¡Г1 и/ I /2"1 и только те ребра, которые принадлежат множеству Ц1к:
/2Ц1к = { /2и/£ Щк / и/1 Ц1к, /1и/1 /2и},
/2-1и1к = { /2-1и/ £ Щк / и/1 Ц1к, /2-1 и/1 /2-1и}.
Для данной операции целесообразно подробно рассмотреть определение количества операций формирования множества ребер куска ультраграфа Ц1к.
Формирование множества U\ к подразумевает:
- определение множества ребер Г1(Х1к), которые инцидентны вершинам множества X-±, и множества ребер Г2Х1к),
которым инцидентны эти вершины. В предположении, что все ребра в U¡ = Г^лудля всех x¡í Х^к различны,
реализация выражений
Ё Г]луи Ё Г2лу
x¡! Х!к x¡! Х1к
потребует (|Г^ху2 + |Г2Ху|2) ' Stопераций , где t = 1, |Х^к|;
- определение множества ребер U^ = Г1(Х1к) Ё Г2(Х1к), что потребует | Г i (Xi к)| ' |Г2(Х1 к)| операций сравнения.
Мощности получаемых множеств будут:
- |Г1(Х1к)| и | Г2(Х1 к)| ограничены m или константой, если |Г1Ху| и |Г2Ху| ограничены теми же величинами;
- | Uк| - ограничена m или константой, если |Г1(Х1 к)| и | Г2(Х1 к)| ограничены теми же величинами.
Таким образом асимптотическая оценка сложности формирования множества U^ в худшем будет 0(m2xn2), если
| ГlХ¡, |Г2Ху| ограничены m и |Х1 к| ограничена n, и в лучшем О(1), если они ограничены константой.
Асимптотическая оценка вычислительной сложности данной операции при формировании куска ультраграфа равна:
• в худшем 0(n2xm2), если | Г1 Ху|, |Г2Ху| ограниченыi m и |Х1 к| ограничена n;
• в лучшемO(mxn), если |Г2Uj| = const, а | U1к| и |Х1 к| ограниченыi m и n соответственно или О(1), если /Х1к/,
¡U^ext! и /Г2uj/ ограниченыi константой.
Формальное описание выполнения операции получения подграфа Нц\ (Xi, Ui) ультраграфа Иу (Х, U):
U1 = {ují U : {Г2ujЁ Г1 uj} Í Х1 /Г2Ují ^U, Г1 ují Г1У}(в отличие от куска ультраграфа у подграфа в множество
U1 входят только внутренние ребра);
Г1Х1 = {Г1Х,-д U1 / х¡í Х1, Г1 Хуí Г1Х};
Г2Х1 = {Г2Х,-? U1 / Х¡í Х1, Г2Хуí Г2Х};
Г2 U1 = {Г2ují ^U/ uj í U1};
Г1U1 = ^1uj í Г1U / uj í U1};
F1X1 = {F1x¡: F1x¡Í Х1 Ú Ё Г2Uj : F1x¡E Х1 /x¡í Х1, F1x¡í F1Х,
uj í Г1Х,- 5 U1
Г2Uj í Г2U, Г1Х/^ Г1Х };
F1'1X1 = {F1'1x¡: F11x¡Í Х1 Ú Ё Г1Uj : F1"1x¡E Х1 /x¡í Х1, F1'1x¡í F1'1X,
uj í Г2Х,- 5 U1
Г1^ í Г1U, Г2хД Г2Х };
F2U1 = {F2uj5 U1 / ují U1, F1 ují F2U};
Fz"1 U1 = {F2-1uj 5 U1 / uj í U1, Fz"1 uj í F2"1U>.
Формальное описание выполнения операции получения куска
Hi к (Xi к, Uiк) гиперграфа Н(Х, U).
Х1к = Х1; U1к = Г1(Х1к), где Г1(Х1к) = Ё Гх Г1Х,- í Г1Х;
xX
U1 к;nt = { uj í U1к : Г2 uj Í X1к / Г2 uj í Г2 U}, U1 '■ext= U^ \ U1 к,ы;
Г1Х1к = {ГХ Г1Х/ x¡í X1к};
Г2Ulк = {Г2 uj : uj í U1 км Ú Г2 uj 5 X1к : uj í U1кext/uj í U1к, Г2 uj í ^U};
F1X1к = {F1x¡5 Х1к / x¡í X1к, F1x¡í F1X};
FzUlк = {F2uj5 U1к / ují Ulк, F1ují F2U}.
Формальное описание выполнения операции получения подграфа Hi (Xi, Ui) гиперграфа И(X, U):
U1 = {ují U : Г2UjÍ X1 /Г2Uj í Г2U};
Г1Х1 = {U1¡5 U1 / x¡í X1, U1¡= ГlХ¡í Г1Х};
Г2 U1 = {Г2Ují Г2U / Uj í U1};
= ^х//х/! XI}, где
\FiXj'. /1х/1 Х1, здесь и далее /1х/! /1Х,
Я1Х/ = \ Е X/. ^х/Ё Х1, где Х/= Г2и/\ х/. |Г2и/ | >1 и Г2и/ : | Г2и/| = 1,
\и/! Г1х/ д и
Г1х/! Г1Х, Г2и/! Г2и;
Р2С/1 = { Р2и/д и / и/! иь ! /^и}.
Вычислительная сложность операции над гиперграфом имеет тот же порядок, что и для ультраграфа.
Операция может быть применена для выделения части из куска ультра - или гиперграфа. В этом случае при
определении множества внутренних ребер и. к/М необходимо дополнительно проверять не было ли ребро внешним в
куске ни~. Тогда при выполнении операции, например над куском ультраграфа, выражение в п.п. 3 должно иметь
вид:
и кМ = {и/ ! и1к & и/ I и-ехь: {Г2"/ Е Г1 и/} 1 Х1к / Г2 и/ ! Г2и
Г1 и/ ! Г1и}.
Пример. В схеме, показанной на рис. 11, а, выделим фрагмент, включающий элементы Э1, Э2, Э3, Э4, Э5. Тогда
множество вершин формируемого куска ультраграфа Ни1к - Х1к = Х1 = {х1, х2, хз, х4, х5}. Остальные множества
аналитического представления этого куска в результате выполнения операции Ни1к (Х1к,и1к) = Ни(Х,и) я Х1
будут:
и1к = Г1(Х1) Е Г2(Х1) = {и4, из, и1 } Е {и4, и1} = { и4, из, и1}, и1 к/п{= {и4}, так как только для ребра и4
справедливо условие Г2и4 Е Г^4 = { х2, х5, х1} 1 Х1, и и1кех^= {из, и1 };
Г1Х1к = {Г1х/! Г1Х/ х/! Х1} = {{и4}, {из}, Е, {и1}, Е};
Г2Х1к = {Г2х/! Г2Х / х/! Х1} = {Е, {и4}, {и1}, Е, {и4}};
Г2и1к : Г2и4 = {х2, х5}, Г2из = {хш, хц} д Х1к = Е,
Г2и1 = {хз, хб} д Х1к = {хз};
Г1и1к : Г1и4 = {х1}, Г1 из = {х2} д Х1к = {х2}, Г1и1 = {х4} д Х1к ={х4};
ЧХ1к : 1\х1 = {х2, х5} д Х1к = {х2, х5}, /х = {хю, хц} д Х1к = Е, = Е, /х = {хз, хб} д Х1к = {хз},
^ = Е;
Г1-1Х1к : Г1-1х1 = Е, Г1-1х2 = {х1} д Х1к = {х1}, /1-1хз = {х4} д Х1к = {х4},
Г1-1х4 = Е, Г1-1х5 = {х1} д Х1к = {х1};
Г2ик : Р2и4 = {из} д и1к = {из}, /^из = Е, = {и2} д и1к =Е;
/2-1и1к : /2-1и4 =Е, /2-1из = {и4} д и1к = {и4}, /2-1и1 = Е.
Для подграфа ультраграфа при том же Х1 получим:
и = {и4};
Г1Х1 = {{и4}, Е, Е, Е, Е}; Г2Х1 = {Е, {и4}, Е, Е, {и4}};
Г2 и1 : Г2и4 = {х2, х5}; Г1и1 : Ги = {х1};
1Х1 : /х1 = {х2, х5}, /1х2 = /1хз = /х = = Е;
/1-1Х1 : /1-1х1 = Е, /1-1х2 = {х1} , /=1'1хз = Е, /1-1х4 = Е, /1-1х5 = {х1};
/2и1 : /2и4 = {из} д и1 = Е; /2-1и1к : /2-1и4 = Е.
При использовании в качестве модели схемы гиперграфа множества аналитического представления куска Н к (Х1к,
и1к, Г1Х1к, Г2и1к) будут:
Х1 = {х1, х2, хз, х4, х5};
и1к = Г1(Х1) = {и4, из, и1}, и1 к/п = {и4}, Ulкext= {из, и1};
Г1Х1к = {Г1х/! Г1Х/ х/! Х1} = {{и4}, {из,и4}, {и1}, {и1}, и4}};
Г2и1к : Г2и4 = {х1, х2, х5}, Г2из = {х2, хю, хц} д Х1к = {х2},
Г2и1 = {хз, х4, хб} д Х1 = {хз, х4};
Окончание статьи будет опубликовано в последующих выпусках.
Литература
1. Овчинников В.А. Математические модели объектов задач структурного синтеза: Наука и образование. Инженерное образование: Эл. науч. издание. - 2009. - № 4.
Публикации с ключевыми словами: математические модели, структурный синтез Публикации со словами: математические модели, структурный синтез Смотри так же:
• Операции над ультра- и гиперграфами для реализации процедур анализа и синтеза структур сложных систем • Математические модели объектов задач структурного синтеза • Методы прогнозирования оптимальных доз инсулина для больных сахарным диабетом I типа. Обзор
Тематические рубрики:
• Наука в образовании: Электронное научное издание
1 УЧАСТНИК £ U ■евзвяВД!
так J ия
Ассоциация технических Университетов Координационный совет Вузы Новости Информационное агентство УМО Вузов
[email protected] телефон (ядчч) 263-68-67 Q RSS Н 5ТРСК GROUP
© 2003-2009 «Наука и образование: электронное научно-техническое издание»
