Операторы на слоях слоения, порожденного действием R Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

ОПЕРАТОРЫ НА СЛОЯХ СЛОЕНИЯ, ПОРОЖДЕННОГО ДЕЙСТВИЕМ М

П.Н. Ивапьшип

Аннотация

В работе построена инъекция

Со(М)\ь ^ Со(Ь) х Ц С([0, 1])

г

для многообразия М со слоением — (Ь - слой слоения, Со (X) - пространство непрерывных функций на X, обращающихся в нуль на бесконечности). С использованием этого вложения изучены некоторые свойства операторов на пространствах функций на слоях

( М, - )

Шредингера на слоях слоения.

В данной работе рассматривается многообразие М со слоением Г, порожденным действием одномерной коммутативной группы Ли Н. Поскольку действие группы однозначно продолжается до действия универсальной накрывающей группы, можем считать, что Н = К. Предполагается, что на (М, Г) существует интегрируемая связность Эресмана Е, инвариантная относительно действия Н.

Мы строим вложение

Со(М)|ь ^ Со(Ь) х ПС([0,1]),

ж

где Со (М) — пространство непрерывных функций на М, обращающихся в нуль на бесконечности, Ь - слой слоения Г. С использованием этого вложения изучаем свойства операторов на пространствах функций на слоях слоения (М, Г). Получены результаты о свойствах спектров семейства операторов типа Шредингера на слоях слоения.

1. Структура Со(М)|ь

(М, Г)

Н

Н

мальной размерности связности Эресмана через Р.

Положим Нр = {Н € Н | НР = Р}. Тогда НР есть свободная абелева группа с одной образующей а € НР (следовательно, НР = Ж).

Теорема 1. Пусть для точки х € Р последовательность апх содержит сходящуюся подпоследовательность апх ^ г € Р, щ ^ ж. Пусть Ь - слой слоения Гх

Со(М)|ь ^ Со(Ь) х ПС([0,1]).

ж

Доказательство. Обозначим через Z множество точек z £ P, таких, что в любой проколотой окрестности U(z) с P точки z лежит некоторая точка из L П P (то есть Z — множество предельных точек L П P). Заметим, что Z является Hp -инвариантным. Действительно, L П P Hp -инвариантно, следовательно, любой диффеоморфизм из Hp переводит множество предельных точек множества L П P в себя.

Возьмем счетное подмножество (zj £ Z}ieN, которое всюду плотно в Z. Рассмотрим UieN [0,a]zj и отображение

ф : Co(M)|sot(z) ^П C([0,1]), f -(gi(t) = f (iezi)}ieN.

Z

Ясно, что ф - мономорфизм.

U(Z) Z

f £ Co (M) рассмотрим некоторое продолжение функции f |sat(z) : Sat(Z) — К до функции g на M, обращающейся в нуль на дополнении к U(Z). При этом, если f|Sat(Z) равно нулю, т0 положим g = 0.

Пусть fo есть ограничение функции f — g на L. Покажем, что fo £ Co(L) (на

L

тельность tk — те в К ж £ L и eo > 0, такие, что f (tk ж) > eo-

Пусть последовательность tkж имеет предельную точку p £ M. Тогда p лежит в Sat(Z). Действительно, tk = nkа + sk, где nk £ N 0 < sk < 1. Без ограничения общности можно считать, что sk сходится к so £ [0,а]. Тогда аПкж = (tk — sk)ж. Для любого k рассмотрим последовательность — sk(tnx) — — sk(p).

Возьмем карту (U, ф) в окрестности точки p, тогда (V = —so(U),ф о (—so)) -карта в окрестности —sop. Пусть K £ N такое, что для любого k > K tkж £ U, и N £ N таково, что для л юбого n > N —snp £ V. Тогда можно считать, что в данных координатах норма дифференциала диффеоморфизма sn ограничена: ||dsn || < S для n > N. Обозначив через d стандартную евклидову метрику на Rn, получим, что для любого e > 0 существуют no, ko, такие, что для любых n > no, k > ko

d( — sn(tk ж), —so p) < d(—sn (tk )ж, —snp) + d( —snp, —sop) < Se + e < (S + 1)e. Следовательно, lim —sk(tnж) = —sop. Тогда ankж = (tk —sk)ж — — sop £ P в силу

k,n—

замкнутости P, то ееть — sop £ Z. Ho fo|Z = 0, то есть fo(tk ж) — 0 для любой последовательности tk ж — z £ Z или существует такое Ko £ N, что для каждого k > Ko fo (tkж) < eo, что противоречит предположению.

tk ж K с M

f |m\k < eo/2 и g|M\k < eo/2. Тогда

llfo|M\k||o = ||(f — g)|M\k||o < ||f |m\k||o + ||g|M\k||o < eo.

В силу компактности K существует такое число N £ N чт0 ^ж £ M \ K для

n > N

Теперь положим ^ : Co (M) — Co (L), f — fo. Тогда искомое инъективное отображение есть

f - (VfU(f)).

□

Z

C([0, 1])

Z

конечному числу индексов.

Следствие 1. Отображение ф равно нулю тогда и только тогда, когда L Р| P не содержит изолированных точек.

Доказательство. Пусть существует хотя бы одна изолированная точка x0 G LQP. Возьмем функцию / со свойствами f(x0) = 0, но f |sat(z) = 0- Тогда в обозначениях, используемых в доказательстве теоремы, получаем, что соответствующая функция g равна нулю, и /0(ж0) = f (x0) — g(x0) = 0. Следовательно, ф не является нулевым отображением.

Наоборот, если LР|P те содержит изолированных точек, то LQP = Z. Следовательно, L с Sat(Z). По построению, g|sat(z) = f |sat(z) • Тогда ф(/) = /0 = = (f-g)\b = o. □

Замечание. 1. В [1] было доказано (в случае произвольной размерности H), что если орбита каждой точки p G P действия группы Hp дискретна, то C0(M)|l = C(L).

Для dim H = 1 из дискрестности орбиты следует, что множество Z из доказательства теоремы 1 пусто, и теорема 1 влечет C0(M)|L = C0(L).

2. Если орбита каждой точки p G P при действии Hp плотна на многообразии P P Hp

всех слоев слоения F отображение ф равно нулю. Для dim HP > 1 этот случай был изучен в [1].

P

a группы Hp является сжатием, то отображения ф и ф одновременно не равны нулю. В [1] было доказано (для dimHP > 1), что C0(M)|L = C0(L) © C0(L0), где p0 G L0 a L

Пример 1. Приведем схему построения векторного поля Данжуа (класса C на T2 (подробно см. в [8]).

Рассмотрим иррациональную обмотку тора T2 в качестве слоения. Рассмотрим такое множество последовательно занумерованных отрезков {Im = [0,lm]; m G Z, lm > 0}, что

1) E li = i <

¿ez

2) lim lm/lm+1 = 1.

m—

Вклеим Im на место amx G P, m G Z, где P = S1 - трансверсальная к слоям па-T2 a P x G P

точка

Введем отображения fm : Im ^ Im+1, обладающие следующими свойствами:

1) dfm/dt> 0;

2) существует такое 5m > 0, что та промежутках [0,5m) и (lm — 6m, lm] производная dfm/dt = 1;

3) min(1, lm/lm+1) — (1 — lm+1/lm)2 < dfm/dt < max(1, lm+1/lm) + (1 — l m+1 /lm)

Дополним с помощью этого отображения поворот a : S1 ^ S1, получим отображение f : S1 ^ S1. Тогда слой L, проходящий через Im, m G Z, пересекает P в нигде те плотном множестве токек, инвариантном относительно f. Замыкание же LQP содержит множество L'Р|P, где слой L' G F те проходит через Im. При этом г каждой окрестности каждой точки из L' Р| P лежит бесконечно много точек из LР|P, те для каждой точки ж G LQP существует окрестность, в которой не

LP

У любой точки ж G Im существует окрестность, которая пересекает слой Lx, x x ф

доказательства теоремы 1 нетривиально.

Для любой точки у € у 1т и для любой окрестности V(у) этой точки любой слой Ьх, х € и 1т пересекает V(у) бесконечное число раз, следовательно, у € Тогда 51 \ и 1т с 2, значит, отображение ф есть сюръективное отображение на бесконечное произведение ПС([0,1]).

Таким образом, слоение, индуцированное потоком векторного поля Данжуа, дает пример слоения, для которого отображения фи ф одновременно нетривиальны.

2. Операторы на слоях слоения, инвариантные относительно действия дискретной группы

2.1. Псевдодифференциальные операторы на слоях слоения. Обозначим через Б(М) пространство функций Шварца на М [9]. Пусть Р : Б(М) ^ Б(М)

есть линейный оператор со следующим свойствами:

1) Пусть (V,ф) есть гарта на Ь. Тогда существует функция р(^е) из класса Бт(ф(и)) (описание этого класса см. в [9]), такая, что для любой функции / € € Б(М), такой, что носитель / = ф*(/1и) есть компактное множество в ф(и) с К, Р/ = ф* (Р/) > имеет вид

Р/ (*) = / р(г,07(0^ (1)

к

/(е) = 1/(2п) / /(х)е-"€<1х.

JR

2) Для любого слоя ^^ли /\ь = то Р/\ь = Рд\ь-

Зафиксируем точку х € М, и пусть Ь - слой, проходящий через данную точку. По оператору Р построим оператор Рх : Ь2 (К) ^ Ь2 (К). Для каждой точки ¿о € К и окрестности этой точки V(¿о); тшой, что ф : V(¿о) ^ V(¿о)х С Ь, ф(£) = Ьх есть гомеоморфизм, рассмотрим карту

(V(¿о)х С Ь,ф = ф-1). По определению оператора Р на этой окрестности V (¿0) определена функция ри(¿0) е) из класса 5(¿о)) • Для любой / € 5 (К), носитель которой содержится в V(¿о), определим Рх(/)№ по формуле (1).

Группа Нр действует на К левыми сдвигами: Ь^ : t ^ 4 + Н.

Лемма 1. Если для любой окрестности V (¿о) описанного выше типа и Н + £ € V(¿о) имеет место равенство р(£ + Н,е) = р(£,£), то для любой х € М оператор Рх коммутирует с каждым Ь^, Н € НР,

/

ством яирр/, Ь^ирр/) С V(¿о) верно равенство РхЬ/ = Ь^Рх/.

Пусть $(£) = / (£ + Н). Тогда

р<?(*)= / лежек4« ¿е = / лежек^« ¿е =

./к ./к

= / Р(*+н,е)/ (е)е'('+л)€ ¿е = Р/(*+Н).

./к

□

2.2. Операторы на пространстве предельно почти-периодических функций. Пусть (М, Р) удовлетворяет следующему условию: орбита каждой

р € Р Нр Р Р

существует HP-инвариштная риманова метрика. В этом случае любой слой L диффеоморфен R и Co(M)|l есть множество предельно почти-периодических функций на R [1] (определение и свойства почти-периодических функций см. в [3]). В этом параграфе мы определяем псевдодифференциальный оператор на пространстве C0(M)|L.

Рассмотрим конструкцию из [4] и обобщим ее на пространства почти-периодических функций. Зададим оператор B на пространстве почти-периодических функций Сл(К) с множеством коэффициентов Фурье Л следующим образом:

B(v)(x) eilxb(x,l)vi,

гел

T

где vl = lim 1/(2T) f e-ilxv(x)dx. t——t

B

ференцируемых предельно почти-периодических функций Сд° (R), если для всех

dk

к € N существует такое Ck > 0, что

Доказательство. Докажем корректность определения В. Для этого достаточно доказать, что ряд из производных равномерно сходится, то есть равномерную сходимость ряда из производных, являющегося суммой рядов вида вк

У) 1))ег1хУ1. Имеем

1еЛ ахк

т

вк _ вк />

1ел х 1ел х -т

Теперь внесем под знак предела ? и проинтегрируем по частям. Получим

лк

1еЛ

лк

1еЛ

т

/аз

v'(x)p-1e-ilxdx\ < Ck\\—v(x)\ dxj

-T

поскольку первое слагаемое в скобках равно нулю, а второе интегрированием по

в?

частям приведем к виду (——г «(ж));.

< I .Г'

Непрерывность оператора В следует из этой оценки при ^ = к = 0. □

В

на пространстве

т

2,

L2AR) = {f I lim 1/(2T) f f2dx < ж}.

T—IX> J

Рассмотрим скалярный квадрат (Bv,Bv) в Ь2,л(R):

т

(Bv,Bv)= lim 1/(2Т) [ V ei{j-k)xb(x,j)b(x,k)vjvkdx.

T —уЖ I ' *

—т о,иеЛ

Пусть функции b(x,l) являются предельно почти-периодическими. Тогда их произведение тоже является предельно почти-периодической функцией, и пусть ('b(-,j)b(-,k))i есть 1-й коэффициент Фурье функции (&(•, j)b(-, к)). Если ряд сходится равномерно, то

(Bv,Bv) =

з,кел

Отсюда следует, что для корректного определения B на Ь2,л(Щ достаточно выполнения следующих условий для всех наборов (vk)кел> таких, что \vk | =1:

кеА

(!) | Е (KJ)4-,k))j-kVjVk |<оо;

з,кел

(2) ряд el^^k^xb(x, j)b(x, k)vjvk сходится равномерно по х.

з,кел

Если же еще b(x,j) = b(j), то достаточно, чтобы существовало С € R, |b(i)| < < С, так как в этом случае b(x,j)b(x, к) в сумме

т

lim 1/(2Т) [ V ei{j-k)xb(x,j)b(x,k)vjvkdx T —УЖ I ' *

—т о,иеЛ

т

можно вынести за lim 1/(2T) J и оценить сумму с учетом неравенства треуголь-

т —УЖ _т

т

ника и того, что lim 1/(2Т) f el^^k^xVjVk = ¿jk\vj |2 как

т-уж ГТ1

lim 1/(2Т) [ У^ eiij-k)xb(x,j)b(x,k)vjvk <С2||г>||. т —уж I ^—^

—т о,иеЛ

Еще одним достаточным условием можно считать следующее:

(b(x,j),b(x,i)) = öß Cji,

где Cji £ R и существует такое C £ R+ что для всех |Cjj| < C i,j £ А. Для проверки условия снова рассмотрим сумму, определенную выше. Тогда

lim 1/(2Т) [ V ei{j-k)xb(x,j)b(x,k)vjvkdx п—Ж I ^—^

J ~ Л

—т ^ел

У^ Aj-k(b(x,j)b(x,k))vjvk

j,keл

<£|A||vj|2 < C.

jeл

Допустим теперь, что существует такое р £ Ж, что Л = \к/рп\к £ £ М}. Пусть для п,т £ N п < т

1

IAi/(n1...nk )-j/(ni-nk )(b(x,j)b(x,k))| <

(1... k)2i2j2'

Тогда можно оценить определенную выше сумму:

т

1ш1 1/(2Т) [ V е^-к)хЬ(х^)Ь(х,ф:,ик(1х

< 53

т

т з,кел

где 5 = 1 + 1/4 + ... + 1/п2 + ....

2.3. Семейство операторов Шредингера

2.3.1. Спектр оператора Шредингера на пространстве представления Ь2(К). Рассмотрим теперь, как и ранее, многообразие М со слоением, порожденным действием коммутативной группы Ли К и интегрируемой связностью

в

Эресмана, инвариантной относительно действия этой группы. Пусть — - фундаментальное векторное поле действия группы К на М. Определим оператор Шредингера

Л

"Н : —> С°°(М), +

(2)

где V € С?0 (М). Тогда для каждой х € М определен оператор Шредингера Нх на Ь2(К):

V/ € Ь2(К) (Н/)(*) = -/"(*) + V(*х)/(*).

НР Р

Теорема 3. Пусть слои слоения Г компактны. Тогда спектр Лх оператора Шредингера Нх непрерывно зависит от х € Р, то есть для любой точки в € Лх и любой окрестности и (в) с К существует такая окрес тностъ V (х) с Р, что для каждой х' € V (х) множество Лх< П и (в) непусто.

Доказательство. На Р существует мера инвариантная относительно дей-НР как тта Р НР

разложение (в обозначениях [6])

® ®

Ь2

хР) = У Ь2(К)с^ = I I Ь2([0, 2тг], йх)

Р [о,2п)

изоморфизм

определен оператором

Ь2([0, 27Г], <1Х) — 2п

[о,2п)

и : Ь2

Ь2([0, 2п],вх)

27Г

[о,2п)

по правилу

(и/)(0,х) = £ е-^т/(х + 2пт).

®

®

—►

По теореме ХШ.88 [6]

® о

—, где Нх(6) = —^в + Ух.

[0,2п)

По теореме XIII.89 (а) [6] спектр каждого НХ(Л) дискретен. Более того, по теореме XIII.64 [6] спектр (Л) состоит из дискретного множества собственных значений. Из теоремы XII. 11 [6] следует, что спектр НХ(Л) непрерывно зависит от ж € Р. Но

спектр есть объединение спектров Н(Л), откуда следует утверждение теоремы.

□

Заметим, что подобное утверждение без труда переносится и на случай коль плекснозначных потенциалов V : М ^ С. Это можно сделать, используя результаты [7,13].

Пусть трансверсаль Р = К™ и для каждой ж = 0 группа изотропии Нх = 2™Ж (п > 1), кроме того, Н0 = Ж. Тогда собственные значения каждого оператора (Л) образуют дискретное подмножество в , которое отделено от нуля. Спектр оператора состоит из объединения интервалов [ат(ж),Ьт(ж)], где ато(ж) < Ьт(ж) < < «ш+1 (ж) < Ьта+1 (ж). В силу теоремы 3 множества

= {(ж, ато(ж)) ж € Р} Ет = {(ж, 6то(ж)) ж € Р}

суть непрерывные поверхности в Р х К. Из теоремы XIII.91 [6] следует, что

Ет П Ет+1 =(0,ьт(0) = ат+1(0))

для любого т.

В случае комплексного потенциала V пересечение Ет и Ет будет состоять из дуг в Р х С проектирующихся в точку 0 € Р при канонической проекции Р х С ^ Р.

Н

ство функций на слое. Пусть все слои слоения Р компактны. В [2] показано, что тогда существует почти всюду непрерывная биекция а : М ^ Р х К/Нр. Эта биекция отображает множества {р} х К/Нр на отрезки слоев, соединяющих точки из Р. На К/Нр рассмотрим стандартную меру, а на Р рассмотрим меру ин-

Нр Нр Р

построенной в [1]. Произведение этих мер дает меру на Р х К/Нр, и с помощью биекции а эта мера переносится на М. Обозначим построенную таким образом меру на М через ^.Положим Ь2(М) = Ь2(М,

Пусть Н - оператор Шредингера (2). Для каждого слоя Ь слоения Р определим оператор

Нр : Ь2(М)|р ^ Ь2(М)|р,Нр(/|р) = Н(/)|р.

Из определения оператора Шредингера (2) ясно, что оператор Нр определен корректно.

Теорема 4. Пусть все слои слоения Р компактны. Тогда спектр оператора Шредингера Нр непрерывно (см. теорему 3) зависит от параметра р € Р.

Доказательство. По теореме 1 имеем С0(М)|р = С^(Ь). Следовательно, замыкание С0(М)|р в Ь2(Ь,Л) есть Ь2(Ь,Л).

Рассмотрим разложение

® ®

Ь2(М) = Ь2 (Ш/Нр х Р) = У Ь2(Ш/Ир)^лр ^ у И'¿¡лр,

р р

где И' = 12, и изоморфизм Ь2 (Ш/Нр, ¿х) ^ И' определен преобразованием Фурье. Заметим еще, что Ь2 (Ь) = ФхеьррЬ2 (Ш/Нр, ¿х). Теперь доказательство аналогично доказательству теоремы 3, то есть резольвента каждого оператора на 12 -компактный оператор (формула (152) доказательства леммы нас. 316 из [6]). Далее последовательно применим теоремы XIII.64 и XII.11 [6]. □

Предположим теперь, что выполняются следующие условия:

1) действие Ир сохраняет некоторую риманову метрику на Р,

2) орбита каждой точки плотна.

Как доказано в [1], в этом случае алгебра С0 (М) | ь состоит из предельно почти-периодических функций С л (Ь).

¿2

Теорема 5. Спектр оператора Шредингера Нь = — +У на Ь, где V есть

ах2

предельно почти-периодическая функция, не зависит от слоя Ь € Р.

Доказательство. В этом случае, как и ранее,

® ®

Ь2(М) = Ь2 (Ш/Нр х Р) = J Ь2(Ш/Нр)0«р = у И'¿¡р,

рр

где И' = Ь2([0, а], ¿х) = 12.

В силу плотности слоя Ь на Ба^Р) замыкание ЬЛ(Ь) пространства бесконечно дифференцируемых предельно почти-периодических функций Сд° на слое по

/ ?

норме Цш Л1/(2Т) / f 2 (¿) Л совпадает с Ь2 (М). Далее действуем по схеме, опит —\/

санной выше (см. доказательство предыдущего утверждения), применяя теоремы XIII.64 и XII. 11 [6].

Спектр здесь состоит из замыкания объединения спектров операторов на И' над точками Ь Р| Р. Но в силу замкнутости спектра и непрерывной зависимости спектров операторов от р <Е Р спектр оператора Нь не зависит от слоя Ь. □

Следствие 2. Пусть Ь(р) - слой, проходящий через точку р € Р. Если со&шР = 1, Нр сохраняет некоторую риманову метрику на Р и замыкание

каждого слоя компактно, то спектры семейства операторов Шредингера Нцр)

р

Доказательство. Существование Нр-инвариантной римановой метрики в этом случае эквивалентно существованию абсолютно непрерывной Нр-инвариантной меры [1].

Если Р = Ш то, поскольку а € Нр : Р ^ Р — изометрия, для любого х € Р орбита (апх)„ех не имеет предельных точек. Заметим, что эта орбита компактна только в тривиальном случае а = В этом случае утверждение следствия вытекает из теоремы 4.

Пусть Р = 81. Пусть на Р существует Нр-инвариантная метрика. Тогда, если существует точка, у которой орбита конечна, то и орбита любой точки конечна, и все орбиты состоят из одного и того же количества элементов. В этом случае

каждый слой слоения F компактен. Тогда утверждение следствия вытекает из теоремы 4.

Если же на P нет точек с конечной при действии Hp орбитой, то мы попадаем в условия теоремы 1.3 [11], из которой следует, что действие Hp строго эргодично. Тогда из теоремы 1.1 [11] следует, что для каждой точки x £ P орбита (а"x)neZ плотна в Р. В этом случае утверждение следствия вытекает из теоремы 5. □

Summary

P.N. Ivanshin. Operators oil leaves of the foliation generated by locally free action of R.

For a manifold M with foliation F, we construct an inclusion

ф : Co(M)|l ^ Co(L) x Ц C([0,1])

Z

where L is a leaf of F and C0(X) is the space of continuous functions with compact support.

ф

FF

Литература

1. Ivanshin P.N. Structure of function algebras on foliated manifolds // Lobachevskii J. Math. - 2004. - No 14. - P. 39-54 (URL: http://ljm.ksu.ru).

2. Иваньшин П.Н. Структура алгебры ограниченных бесконечно дифференцируемых функций на группоиде многообразия со слоением, порожденным действием коммутативной группы // Изв. вузов. Математика. - 2004. - № 5. - С. 37-40.

3. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. - М.: ГИТТЛ, 1953. - 496 с.

4. Melo S.T. Characterizations of pseudodiiferential operators on the circle // Proc. of the AMS. - 1997. - V. 125, No 5. - P. 1407-1412.

5. Милнор Дж. Голоморфная динамика. - Ижевск: РХД, 2000. - 320 с.

6. Pud М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4. Анализ операторов. - М.: Мир, 1982. - 432 с.

7. Рофе-Бекетов Ф. С. О спектре несамосопряженных дифференциальных операторов с периодическим коэффициентами // Докл. АН СССР. - 1953. - Т. 152, № 6. - С. 13121315.

8. Тамура И. Топология слоений. - М.: Мир, 1979. - 320 с.

9. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. - М.: Мир, 1976. - 288 с.

10. Fell J. М. G. The structure of algebras of operator fields // Acta Math. - 1961. - V. 106, No 3-4. - P. 233-280.

11. Furstenberg H. Strict ergodicity and transformation of the torus // American J. of Mathematics. - 1961. - V. LXXXIII, No 3. - P. 573-602.

12. Шерстнев A.H. Конспект лекций по математическому анализу. - Казань: Изд-во «УНИПРЕСС», 1998. - 488 с.

13. Shin К. С. On the shape of spectra for non-self-adjoint periodic Schrodinger operators. -arXiv:math-ph/0404015 - V. 1 - 6 Apr. 2004.

Поступила в редакцию 15.12.04

Иваньшин Петр Николаевич - научный сотрудник отдела геометрии НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета. E-mail: [email protected]