Окрестностное моделирование дискретных систем и реализация программного комплекса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Кигурадзе И. Т., Шехтер Б.Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1987. Т.30. С. 105-201.

2. Плаксина И.М. Об одной модельной сингулярной задаче // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2010. Вып. 1(1). С. 19-23.

3. Лабовский С.М. О положительных решениях двухточечной краевой задачи для линейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, № 10. С. 1695-1704“

А.Шиндяпин А.И. О краевой задаче для одного сингулярного уравнения // Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, № 3. С.450-455.

5. Алвеш М.Ж. О разрешимости двухточечной краевой задачи для сингулярного нелинейного функционально-дифференциального уравнения // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2 (441). С. 12-19.

6. Бравый Е.И. О регуляризации сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30, № 1. С.26-34.

7. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Plaksina I.M. About Fredholm property and solvability of one singular boundary value problem for functional-differential equation. This paper deals the with boundary value problem for singular in the independent variable functional-differential equation. The equation is considered on a segment and has singularity concentrated at n points. For such boundary value problem the conditions of Fredholm property and solvability were obtained.

Key words: functional-differential equation; singular equation; boundary value problem; Fredholm property, solvability.

Плаксина Ирина Михайловна, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант, e-mail: [email protected].

УДК 512.8

ОКРЕСТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ И РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

© А.К. Погодаев, А.М. Шмырин, И.А. Седых, H.A. Корниенко, С.С. Роенко

Ключевые слова: окреетноетные системы; сети Петри; нейронные сети.

Показано, что окреетноетные модели обобщают частные системы. Рассмотрены предложения по оптимизации структуры окрестностей.

Окреетноетные модели, развивают общие подходы теории систем и являются обобщением для традиционных дискретных моделей таких, как конечные автоматы, клеточные автоматы, сети Петри и т.д. В ряде работ показано, что дискретные модели, в частности, сети Петри, нейронные сети и другие, являются разновидностью окреп HOC! Ill,IX систем с некоторыми вариациями [13].

В [3] введено обобщенное определение окрестности ой модели. Окрестностная модель в общем случае описывается набором NSg = (N, X, V, Y, Z, G, F, X[0]) , где:

1) N — (А,Ох,Ои, Оу) — структура окрестностной модели, А — {а1,...,ап} — множество узлов, Ох — окрестности связей узлов по состояниям, Ои — окрестности связей

Оу

каждого узла аг € А определена своя окрестность по состояниям Ох [а^\ С А , управлениям Ои [аг\ С А И ВЫХОДам Оу [аг\ С А] Ох — ^п=1Ох[аг\ ? Оь/ — ^п=1О^ [аг\ ? Оу — ^П=1ОУ [аг\ 7

2) X € Яп — вектор состояний окрестностной модели в текущий момент времени;

3) V € Ят — вектор управлений окрестностной модели в текущий момент времени;

4) У € Я1 — вектор выходов окрестностной модели в текущий момент времени;

5) Z € Я+ — вектор временных задержек в узлах, где Я+ - множество неотрицательных действительных чисел ]

6) О : Хох х Vov ^ X — функция пересчета состояний окрестностной модели (в общем случае недетерминированная), где Хох — множество состояний узлов, входящих в окрестность Ох , Vov — множество управлений узлов, входящих в окрестность Ои ;

7) ^ : Хох х Vov ^ У — функция пересчета выходов окрестностной модели (в общем случае недетерминированная);

8) X[0\ — начальное состояние модели.

В частных случаях для различных дискретных моделей отдельные составляющие окрестностной модели могут отсутствовать.

Для окреп поп т.IX моделей ставятся и решаются основные задачи идентификации, смешанного управления.

Необходимость в обеспечении математического аппарата окрестностных систем программным комплексом привела к разработке следующих программ: параметрической идентификации линейных и билинейных окрестностных систем с возможностью задания четких или нечетких окрестностей по состоянию и управлению, смешанного управления билинейными окрестностными системами с возможностью задания четких или нечетких окрестностей по состоянию и управлению, построения усредненных моделей различных функций с помощью окрестностных билинейных систем и моделирования работы нейронных сетей окрестностными билинейными системами. Программы написаны на языке объектноориентированного программирования С$.

Отметим некоторые приложения окрестностного подхода для моделирования известных систем.

Окрестностная модель сети Петри является динамической недетерминированной окрестностной моделью с переменными окрестностями (или слоями). На каждом такте функционирования системы происходит выбор слоя из некоторого множества активных слоев. По уравнениям выбранного слоя происходит пересчет состояний узлов окрестностной модели в следующий момент времени. Обобщая окреетноетные модели сетей Петри, можно рассмотреть не только переменные окрестности (слои) в процессе функционирования системы, но и переменные связи внутри самой окрестности на каждом такте функционирования системы. Управление функционированием системы может быть осуществлено как путём использования меры недетерминированности [3] (выбор окрестностей соответствует срабатыванию переходов) ,

так и реализацией переменных связей внутри самих окрестностей, т.е. изменением матрицы инциденций.

Нейронная сеть может быть представлена в общем виде окрестностной моделью вида Шу ■ У — Е(V). В окрестностных моделях нейронных сетей (учитываются входящие в узел связи) можно рассмотреть как переменные окрестности узлов (переменные связи внутри самих окрестностей), так и изменение состава окрестностей узлов (т. е. ликвидацию или введение некоторых нейронов и, соответственно, их окрестностей) и даже слоёв нейронов. Таким образом, достижение минимума функционала качества работы системы может быть

осуществлено за счёт изменения структуры модели, а значит и изменения матрицы инци-

Д6НЦИЙ.

Структура транспортной системы может быть рассмотрена как структура нейронной сети с двумя слоями без скрытого слоя. В этом случае особенностью транспортной системы с точки зрения окрестностного подхода является независимое срабатывание всех окрестностей, связывающих узлы поставщики с узлами потребителями. Смена окрестностей (связей поставщиков с потребителями и потребителей с поставщиками) соответствует появлению новой программы перевозок (учётом новых маршрутов поставок) и преобразованию матрицы ИНЦИД6НЦИЙ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Блюмин С.Л., Шмырип А.М. Окреетноетные системы. Липецк: Липецкий эколого-гуманитарный институт, 2005. 132 с.

2. Блюмин С.Л., Шмырип А.М., Шмырина О.А. Билинейные окреетноетные системы. Липецк: ЛГТУ. 2006. 130 с.

3. Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Седых И.А., Филоненко Б.Ю. Окрестностное моделирование сетей Петри. Липецк: ЛЭГИ. 2010. 124 с.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Pogodaev А.К., Shmyrin A.M., Sedyh I.A., Kornienko N.A., Roenko S.S. Neighborhood’s modelling of discrete systems and realization of a program complex. It is shown that neighborhood’s models generalize traditional systems. Optimization of the structure of vicinities are considered.

Key words: neighborhood’s systems; networks of Petri; neural networks.

Погодаев Анатолий Кирьянович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, ректор Липецкого государственного технического университета, [email protected].

Шмырин Анатолий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, e-mail: [email protected].

Седых Ирина Александровна, Институт права и экономики, г. Липецк, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: [email protected].

Корниенко Наталья Анатольевна, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, ассистент кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected].

Роенко Сергей Сергеевич, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, аспирант кафедры высшей математики, e-mail: [email protected].