Ограниченные id пучки Эйри: лазерный веер Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОГРАНИЧЕННЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ПУЧКИ ЭЙРИ: ЛАЗЕРНЫЙ ВЕЕР

С.Н. Хонина1'2, С.Г. Волотовский1 1 Институт систем обработки изображений РАН, 2 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Недавно был физически реализован еще один тип лазерных пучков [Siviloglou G. A., et al, Physical Review Letters 99, 213901 (2007)] - экспоненциальный световой пучок Эйри, который при распространении в свободном пространстве приблизительно сохраняет свой вид до некоторого расстояния, и траектория распространения основного максимума при этом изгибается. Картина интенсивности распространения такого одномерного пучка напоминает радугу.

В данной работе предложен к рассмотрению другой тип ограниченных пучков Эйри, который формируется в поперечном сечении мод резонаторов «шепчущей галереи». Проведено численное сравнение его распространения с экспоненциальными и Эйри-Гауссовыми пучками и показано, что предлагаемый тип пучка демонстрирует лучшую устойчивость к дифракции и сохранение осциллирующей структуры идеального распределения. Однако картина интенсивности распространения такого пучка больше напоминает не радугу, а веер.

Ключевые слова: функция Эйри, усеченные пучки Эйри, резонатор мод «шепчущей галереи», бездифракционные пучки свободного пространства.

Введение

В конце прошлого года появилось сообщение [1], что группа ученых из Флориды с помощью пространственного модулятора света сформировала «усеченный» световой пучок Эйри [2], который при распространении в свободном пространстве приблизительно сохраняет вид на некотором интервале, и траектория распространения основного максимума при этом изгибается. Картина интенсивности распространения такого одномерного пучка напоминает радугу [1,2] (см. рис. 1).

Рис. 1. Картина интенсивности распространения идеальной бездифракционной функции Эйри

Бездифракционные световые пучки, наиболее известным из которых является Бесселевый пучок [3,4], характеризуются рядом уникальных свойств, таких как отсутствие дифракционного расплывания на относительно больших расстояниях, повышенная устойчивость к амплитудно-фазовым искажениям. Такие свойства весьма полезны в задачах оптического неразрушающего контроля, диагностики и манипулирования [5-7].

В отличие от Бесселевых пучков, рассматриваемые здесь одномерные инвариантные пучки Эйри не могут быть представлены как суперпозиция конических волн [2].

В 1979 году в контексте квантовой механики было рассмотрено (1+1)В (одномерное пространственное + временное измерение) решение уравнение Шрединге-ра для свободной частицы в виде функции Эйри [8] и показано, что «пакет Эйри» (также как и плоская волна) не изменяется с течением времени. В этой же работе доказывалось, что других «бездифракционных пакетов» уравнение Шредингера не предполагает.

Однако функции Эйри, экспоненциально спадая при положительных значениях аргумента, при отрицательных значениях демонстрируют осциллирующий характер с плохо затухающей амплитудой [9], то есть являются существенно неограниченными. Поэтому для их физического формирования требуется усечение.

В статье [10] были рассмотрены пучки Эйри с конечной энергией, представляющие собой произведение классической моды Эйри и экспоненциальной функции, а в работе [11] получена обобщенная формула, описывающая параксиальное прохождение Эйри-Гауссовых пучков через оптическую ЛБСБ-систему.

Хотя умножение на гауссовую или экспоненциальную функцию (в последнем случае Фурье-образ пропорционален гауссовой функции) позволяет достаточно просто формировать такие пучки с помощью динамического транспаранта, освещенного лазерным излучением, в обоих случаях формируемые пучки фактически перестают быть инвариантными, хотя приблизительно сохраняют свой вид на некотором интервале.

В данной статье рассматривается иной способ усечения бесконечной моды Эйри - прямоугольной апертурой: от некоторого значения б0 в положительной части аргумента (например, значение Л\(х=бд=3) практически равно нулю) и до п-го нуля в отрицательной части. Такое «ограниченное» распределение Эйри формируется в поперечном сечении мод резонаторов «шепчущей галереи» [12-15].

В работе [16] было рассмотрено распределение в дальней зоне дифракции ограниченных пучков Эй-ри, вышедших из такого лазера в свободное пространство. Однако распространение в зоне дифракции Френеля не исследовалось.

В данной статье проводится сравнение степени расходимости трех типов усеченных пучков Эйри: экспоненциальных, гауссовых и просто ограниченных диафрагмой. Численно показано, что в последнем случае осциллирующая структура пучка сохраняется гораздо дольше, чем в двух первых.

1. Теоретические основы

В работе [8] в контексте квантовой механики рассматривается (1+1)В уравнение Шредингера для свободной частицы массы т:

й2 Э2 „ Э . , ч А

- 2т ээ? "гй *!у( *')=0'

(1)

и решение этого уравнения через функцию Эйри

в ( в¥'

Л1(х):

у( х, 0 = Л1

(

х ехр

й2

4т2

2тй

$1 ■ 6т2

2

(2)

где В>0 - произвольная действительная константа, й - постоянная Планка.

Таким образом, в этой статье показано, что

I |2

плотность вероятности функции (2) у( х, £) не меняет своей формы в зависимости от времени.

Если переписать уравнение (1) в виде параксиального волнового уравнения распространения в свободном пространстве:

( Э2

, + 2гкЭ Эх2 Эх

у( х, х) = 0,

(3)

где волновое число к = 2я/1 (1- длина волны) получено формальной заменой т/й = к, то решением уравнения (3) будет функция вида:

у( х, х) = Л1

Г Г \21 Г .

( х 1 гх

х-| Т7 I х ехр<

_ ^2к) _ _ „ 2к

2

х— 3 I 2к

>. (4)

Из выше приведенного выражения видно, что

I |2

интенсивность функции (4) у(х, х) не меняется

при различных значениях х, а лишь смещается пропорционально квадрату этого параметра.

Однако так как функция Эйри является бесконечной, то реализовать ее проблематично. Поэтому в статье [10] рассмотрено действие уравнения (3) на ограниченную по энергии функцию:

у (х, 0) = Л1 (х) ехр (ах) и получено следующее выражение:

(5)

у( х, х) = Л1

х У ¡ах х ' 2к) + к

х ехр <! а

х | ¡ах

х- 2| — I + — 2к I 2к

(6)

I 1х х ехр <! —

I 2к

х - 2

3 I 2к

Как видно из выражения (6), модифицированная таким образом функция Эйри перестает быть модой, хотя на некотором расстоянии от входной плоскости приблизительно (даже при малых х имеется зависимость от мнимого параметра) сохраняет свою форму.

В статье [11] рассмотрены обобщенные одномерные пучки Эйри-Гаусса:

УД х^ К1, §1,51, я) = Л

х1 +§1

V К1

х ехр

151

х +8, 1 53 1 1 +1— 3

( Л

ехр

1кх2 2 Ч1

(7)

которые при параксиальном прохождении оптической ЛБСБ - системы принимают следующий вид:

(

и2( х2; к2, 82,52, д2) = л1

х +8,

V К2

х ехр

г5.

х2 + 82 I + 15 2

V К2

х ехр

(их21

где д2 =

V 2Ч у

Ач1 + В Од1 + В'

А+В ?1

152 3

-1/2

(8)

(

В

в

А+ — 1, 52 = 51 + -

Ч у 2кК1К2

82 =81

(л В1 А+ — Ч у

В 2к к1

(51 + 52).

Используя эти выражения, рассмотрим некоторые частные случаи пучков Эйри.

2. Частные случаи распространения в свободном пространстве

В случае распространения в свободном пространстве на расстояние х матрица [А, В, С, В] = [1,

х, 0, 1].

1. у( х, х = 0) = Л1( х). (9)

Это классические бесконечные моды Эйри, рассмотренные в [8], которые могут быть получены из

(7) при к1 = 1, 81 = 0, 51 = 0, ч = ¥ . Тогда

Ч2 = ¥, к2 = 1, 52 = ~~, §2 = - V"") , и выражение

(8) принимает следующий вид:

х

2

х

2

!

х

х

х—

/

х

х

(

К2 = К1

V

2

у( х, г) = Л1

X -

2к

хехр<1—

I 2к

х -

2к

(10)

3 I 2к

который полностью соответствует выражению (4).

2. у( х, г = 0) = Л

.1 х+у

(11)

Положив в (7) к1 = с, 51 = у, 51 = 0, д1 = ¥ и вы-

писав д2 = ¥, к2 = с, Б2 = — 2,

2кс

§2 =У^ | г

2кс [ 2кс'

получаем, что:

у( х, г) = Л1

хехр<1

х + у

х + у

2кс2

2кс2

2кс2

(12)

+1 3 I 2кс2

при смещении и масштабировании исходной функции интенсивность функции (12) остается неизменной по форме, но при распространении смещается на величину, пропорциональную квадрату продольной координаты.

3. у( х, г = 0) = А (х) ехр (ах).

(13)

Этот частный случай, рассмотренный в статье [10], можно получить из (7), положив к1 = 1, 81 = 0, = -1а, д1 = ¥

тогда

= -1а + —, 8, = —— I -21а + — 2 2к 2к | 2к

(8) принимает следующий вид:

к2 = 1,

и выражение

у( х, г) = = Л

г | 1аг х ' 2к I + к

ехр

г )

а +— I х

2к I

(13)

I г У 1аг

х I 2к I + к

+ -1 — - 1а 3 I 2к

который соответствует выражению (6) за исключением отсутствия в (6) одного множителя ехр

I а3

3

который является константой.

Интенсивность функции (13) выглядит следующим образом:

|у( х, г)\ = Л12 хехр< 2а

х- 21 — 2к

г 2к

2

ехр

2а3

3

(14)

и лишь к смещению исходной функции данное преобразование свести нельзя - появляется зависимость от комплексного аргумента и смещение аргументов у функции Эйри и экспоненты различное.

4. у( х, г = 0) = А (х) ехр

(

у )

(15)

Это вариант пучков Эйри-Гаусса, подробно рассмотренный в работе [11]. Если положить в (7) к1 = 1, 81 = 0, ^ = 0, ц1 = -¡ку? ¡2 = -1г0 (г0- расстоянии Релея), тогда

г ( г ^

а„ = г - 1гп, к, = 1 +--, ^ = —, 8 = -1 — I , и вы-

2 0 2 г0 2к 2 [ 2к)

ражение (8) принимает следующий вид:

у( х, г) = А

х -

2к

1 + -

ехр

2к

х -

2к |

1+

(16)

+3 [ 1 >ехр

йх2

2 ( г - 1г0 )

г Г 1+—

Интенсивность функции (16) выглядит следующим образом:

|у(х, г)|2 = Л12

>( г0 - )

г+^

гх

хехр

г2

х -

2к

г+г2

(17)

ехр

кх2 г0

г+<

г2+г;'

И также нельзя говорить о сохранении формы с точностью до масштаба и смещения.

Стоит отметить, что на расстоянии Релея г = гК пучок уширяется в 2 раза:

-,2~

2 ..2 I 1

|у(х, г = 20)| = А <2

х -

х ехр<

2к

X / \ 21

х -1 £ ) \ ехр

_ 12к1 _

кх2 2 г„

(1 -М х

2г„

(18)

По виду (14) или (17) трудно судить, какой тип усечения исходной функции Эйри меньше влияет на искажение изначальной формы, поэтому позже проведем их численное сравнение.

2

х

2

V

2

х

2

2

2

+

1

0

0

3

[ г01

2

х -

2

0

0

х

1

0

2

+

х

х -

3. Частные случаи прохождения через тонкую сферическую линзу

При параксиальной фокусировке излучения с помощью тонкой сферической линзы с фокусным расстоянием / матрица [А, В, С, В] = [0, / -1/ /, 0].

1. у(х) = М(х), (к1 = 1, 81 = 0, 51 = 0, ^ = ¥ ). Тогда ц2 = 0, к2 = 0, Б2 = ¥, §2 = ¥ и вычислить

выражение (8) затруднительно.

Даже если предположить, что распределение в фокальной плоскости линзы соответствует 2=¥, то ц2 = ¥, к2 = 2, Б2 = ¥, §2 = ¥ и ситуация лучше не становится.

2. у(х) = Л1 (х) ехр (ах) (к1 = 1, 51 = 0, 3 = -1а,

= ¥ ).

Здесь для выражения (8) получается аналогичный результат.

Однако в [10] был выписан Фурье-спектр для данного случая в явном виде:

Ф(Х) = ехр(-аХ2)ехр 3(X3 -3а2Х-1а3)

|ф(Х)|2 = ехр (-2аХ2) ехр

( 2а!

3

(19)

(20)

т. е. в дальней зоне дифракции такой пучок будет всегда сходиться к гауссовому пучку, эффективный радиус которого обратно пропорционален корню квадратному от параметра экспоненциальной функции а.

3. у(х) = Л1 (х)ехр

у2

(к1 = 1, 81 = 0, 3 = 0,

?1 = -1^/2 = -1x0).

„ 1/2 У* с 1Х0 о У20 Тогда д2 =--, к2 = —, з2 =---, о2 =-

х0 х0 2к (2к) выражение (8) принимает следующий вид:

ч2~

V /

0

с2

Ф(Х, у ) = Л

I 1х0 х ехр <!—-

I 2к

И V 2к

х0 х +1 _£0_

И V2к

х

11 2„

3 I 2к,

(21)

х ехр

V 2 У У

2\/ ^ 1/2 " 20.

|Ф(Х, /)| = Л12

2( 2„

х0 х+1

2к

х ехр Г 312к ;

► ехр

2

-кХрХ

V у 2 У

(22)

или, через радиус исходной гауссовой функции и7:

|Ф(Х, /)| = Л12

х ехр I- 3 VI)

к У X ( V

21/ Х + V 2

ехр

(-(ку)2 X2 ) 2 /2

(23)

т.е. Фурье-спектр представляет собой произведение функции Эйри от комплексного аргумента и гауссовой функции, радиус которой ш{ = 1//пш обратно пропорционален радиусу исходного гауссового пучка.

Интенсивность при / = 20 ( у = у):

|Ф(Х, / = 20)1 = Л12

-1Х+1Ш

х ехр |- 3 V у У [ехр

(

ш2 У

(24)

4. Численное сравнение распространения усеченных пучков Эйри в свободном пространстве

В данном разделе проведено сравнение степени расходимости усеченных пучков Эйри при распространении в свободном пространстве. Среди рассмотренных - экспоненциальные (13), гауссовые (15) и ограниченные пучки Эйри (а=Ь=0):

ГЛ1 (х), у < х < ёп

^ х=0)=Г о, е^е, 0

(25)

где ё0 = 7, уп »-[(3я/8)(4п-1)] - корни функции Эйри [17,18], которые в расчетах численно уточнялись.

В проведенных численных экспериментах выполнялось преобразование Френеля и Фурье от входных функций:

п (х) = Уп

х -У п

(26)

масштабно приведенных к единичному интервалу: [0, 1 мм].

В расчетах также использовались следующие параметры: длина волны 1=633 мкм, расстояние 20 = кЛ"2/2, где В=0,5 мм (т.е. рассматривается половина входной апертуры), параметры а и Ь выбирались такими, чтобы ехр(ауп) = 0,01, ехр(-ЬуП) = 0,01.

I |2

На рис. 2 приведены интенсивности \/п(х) при

п=21 экспоненциального (сплошная линия), гауссо-вого (пунктирная линия) и ограниченного пучков Эйри (точечная линия) на входе (при 2=0), отнорми-рованные по энергии.

На рис. 3 показано распространение соответствующих пучков в свободном пространстве: картина распределения интенсивности на участке от 2=0 до 2=0,05x0= 62 мм (нижний ряд изображений) и картина распределения структуры интенсивности (т. е. максимумы в каждом сечении приводились к одной

4

х

4

х

Л

и

2

х

2

х

На рис. 5 показаны интенсивности Фурье-спектра |ф(Х, -О)2усеченных пучков Эйри при f = 20/4.

Из рисунка видно, что спектр экспоненциального пучка Эйри, как и следует из формулы (20), близок к гауссовой функции, а спектр Эйри-Гауссового пучка имеет более интересный вид - распределение с плоской верхушкой (так называемое «флэт-топ»), которое, например, может описываться супергауссовой функцией. Достичь такого распределения [19] часто бывает полезно в различных задачах, таких как улучшение качества печати, микролитография, обработка материалов, оптическое манипулирование. Фурье-спектр от ограниченного пучка Эйри (25) полностью совпадает с результатами, полученными в работе [16], и аппроксимирует прямоугольник.

Интересно отметить, что спектры экспоненциального и Эйри-Гауссового пучков с увеличением индекса п не изменяют своей формы, как это и следует из формул (20) и (23), а спектр ограниченного начинает приближаться к прямоугольной форме (амплитуда осцилляций уменьшается).

Разумеется, полученные результаты связаны с иным способом усечения бесконечной функции Эй-ри - не подавлением осциллирующей части, а обрезанием. Можно, конечно, изменить параметры а и Ь так, чтобы оставалось большее количество неподавленных осцилляций, но за это придется платить либо увеличением входной апертуры, либо большей плотностью сигнала на той же апертуре.

0 х 0 х 0 х

а) б) в)

Рис. 3. Распространение экспоненциального (а), гауссового (б) и ограниченного (в) пучков Эйри в свободном пространстве: картина интенсивности на расстояние до 2=0,0520 (нижний ряд) и картина структуры до г=0,2гд (верхний ряд)

величине) на отрезке от 2=0 до 2=0,220=248 мм (верхний ряд изображений).

Рис. 2. Графики распределения интенсивности при п=21

экспоненциального (сплошная линия), гауссового (пунктирная линия) и ограниченного пучков Эйри (точечная линия) на входе (при 2=0), отнормированные по энергии

Из рис. 2 хорошо видно, что ограниченный пучок Эйри (25) значительно лучше аппроксимирует структуру идеальной функции (она «ближе к радуге») и сохраняет осциллирующий характер структуры до бесконечности (что подтверждает спектральное распределение, приведенное на рис. 4).

На рис. 4 показаны распределения интенсивности в сечениях соответствующих пучков при значениях 2=0,0520 и 2=0,120, откуда хорошо видно, что ограниченный пучок также значительно меньше подвержен дифракции, чем другие типы усеченных пучков. Эйри-Гауссовый пучок держится несколько дольше экспоненциального, но все равно очень быстро вырождается по сравнению с ограниченным.

а) 0 I,

ции (25) и (27) при п=7 и следующих параметрах гауссовой функции: 6=4,6; х0=0.

/

// // А * /1 1 у // *""" / /у •••••• /у \\ т/чщуу \ \ * \л \\

0

б)

Рис. 4. Графики распределения интенсивности при п=21 в сечениях экспоненциального (сплошная линия), гауссового

(пунктирная линия) и ограниченного пучков Эйри (точечная линия) при значениях z=0,05zg (а) и z=0,(б)

Рассмотрим далее, как влияет еще большее усиление осциллирующей части в ограниченном пучке на его свойства. В качестве входной функции будем рассматривать ограниченно-гауссовую функцию:

(х) = П (х)ехр[-6(х- х,)2 ], х е [0,1], (27)

где ^ (х) - ограниченная п нулями и приведенная к единичному отрезку функция Эйри из (26).

Ниже приводятся сравнительные результаты моделирования распространения ограниченной функ-

Рис. 5. Графики распределения интенсивности при п=21

Фурье-спектра экспоненциального (сплошная линия), гауссового (пунктирная линия) и ограниченного пучков Эйри (точечная линия) при / = z0 / 4

На рис. 6 показана интенсивность на входе, на рис. 7 - сравнительная картина распространения в свободном пространстве, на рис. 8 - распределение интенсивности соответствующих пучков на расстоянии 2=0,2^0 и 2=0,5^0 и в Фурье-плоскости. Н

0 х

Рис. 6. Графики распределения интенсивности ограниченного (точечная линия) и ограниченно-гауссового (сплошная линия) пучка Эйри при п=7 на входе (при z=0)

Рис. 7. Распространение ограниченного (а) и ограниченно-гауссового (б) пучков Эйри в свободном пространстве: картина интенсивности на расстояние до z=0,5zo (левый столбец) и картина структуры до 7^=7^0 (правый ряд)

сечениях ограниченного (точечная линия) и ограниченно-гауссового (сплошная линия) пучков Эйри при значениях г=0,2го (а), г=0,5го (б) и в Фурье-плоскости (в)

Из приведенных результатов видно, что ограни-ченно-гауссовый пучок Эйри позволяет формировать распределение, бесконечно долго сохраняющее концентрацию энергии в узком боковом лепестке.

Заключение

В данной работе численно рассмотрено распространение различных типов усеченных пучков Эйри в свободном пространстве.

Показано, что ограниченный пучок, в частности, формируемый в поперечном сечении мод резонаторов «шепчущей галереи», значительно меньше подвержен дифракции, чем другие типы усеченных пучков. Эйри-Гауссовый пучок сохраняет свое распределение несколько дольше экспоненциального, но все равно очень быстро вырождается по сравнению с ограниченным.

Кроме того, ограниченный пучок Эйри значительно лучше аппроксимирует структуру идеальной функции («ближе к радуге») и сохраняет осциллирующий характер структуры до бесконечности, демонстрируя веерный характер.

Показано, что спектр экспоненциального пучка Эйри, как и следует из аналитических выкладок работы [10], является гауссовой функцией, а спектр Эйри-Гауссового пучка имеет распределение с плоской верхушкой, которое может быть полезно в таких задачах, как улучшение качества печати, микролитография, обработка материалов, оптическое манипулирование. При этом спектр ограниченного пучка Эйри приближается к прямоугольной форме при большом количестве учтенных в начальном распределении осцилляций.

Полученные результаты связаны с иным способом усечения бесконечной функции Эйри - не подавлением осциллирующей части, а обрезанием. При этом, если искусственно поднять энергию ос-цилляций, то с помощью такого ограниченно-гаус-сового пучка Эйри можно формировать распределение, бесконечно долго сохраняющее концентрацию энергии в узком боковом лепестке.

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0-014-Sa-06), грантов РФФИ №№ 07-07-97600, 08-07-99007 и гранта Президента РФ № НШ-3086.2008.9.

Литература

1. http://www.phvsorg.com/news115556629.html

2. Siviloglou, G.A. Observation of Accelerating Airy Beams / G. A. Siviloglou [and other] // Physical Review Letters 99, 213901 (2007).

3. Durnin, J. Diffraction free beams / J. Durnin, J. J.Miceli, J. H.Eberly //Phys. Rev. Lett. 58(15), 1499-1501 (1987)

4. Durnin, J. Comparison of Bessel and Gaussian beams / J.Durnin, J. J.Miceli, J. H.Eberly //Opt. Lett. 13(2), 79-80 (1988)

5. Arlt, J. Optical micromanipulation using Bessel light beams / J.Arlt [and other] //Opt. Comm., 197, 239-245, 2001

6. Котляр, В.В. Бесконтактное прецизионное измерение линейных смещений с использованием ДОЭ, формирующих моды Бесселя / В.В.Котляр, Р.В.Скиданов, С.Н.Хонина //Компьютерная оптика, 21, 102-104 (2001).

7. Khonina, S.N. Rotation of microparticles with Bessel beams generated by diffractive elements / S.N.Khonina [and other] //Journal of Modern optics, 51(14), 2167-2184 (2004)

8. Berry, M.V. Nonspreding wave packets / M.V.Berry, N.L.Balazs // Am. J. Phys. 47(3), 264-267 (1979)

9. Abramowitz, M. Handbook of Mathematical Functions /M. Abramowitz, I. A. Stegun // Dover, 1972.

10. Siviloglou, G.A. Accelerating finite energy Airy beams / G.A.Siviloglou, D.N.Christodoulides //Opt. Letters 32(8), 979-981 (2007)

11. Banders, M.A. Airy-Gauss beams and their transformation by paraxial optical systems / M.A.Banders, J.C.Gutierrez-Vega //Opt. Express 15(25), 16719-16728 (2007)

12. Marhic, M. E. Whispering-Gallery C02 Laser / M. E.Marhic, L. I.Kwan, M.,Epstein //IEEE J. Quant. Electr. QE-15(6), 487-490 (1979).

13. Grossman, J. G. Radio-frequency-excited carbon dioxide metal waveguide laser / J. G. Grossman, L. W. Casperson, O. M.Stafsudd //App. Opt. 22(9), 1298-1305 (1983).

14. Al-Mashaabi, F. S. Direct current-excited cw CO2 metal waveguide laser / F.S. Al-Mashaabi, L.W. Casperson // App. Opt. 28(10), 1899-1903 (1989).

15. Mohageg, M. High-Q optical whispering gallery modes in elliptical LiNbO3 resonant cavities / M. Mohageg, А. Sav-chenkov, L. Maleki // Opt. Express 15(8) 4869-4875 (2007)

16. Grossman, J. G. Propagation of Airy-Hermite-Gaussian waveguide modes in free space / Grossman J. G. [and other] // App. Opt. 23(1), 48-52 (1984).

17. Casaubon, J. I. Variation Principle for a Linear Potential / J. I. Casaubon, J. P. Cosentino, A.H. Buep // Turk. J. Phys. 31, 117 - 121 (2007).

18. Pignol, G. Spontaneous emission of gravitation by a quantum bouncer / G. Pignol, K. Protasov, V. Nesvizhevsky // arXiv:quant-ph/0702256v1 (2007).

19. Khonina, S.N. Levelling the focal spot intensity of the focused Gaussian beam / S.N. Khonina [and other] // Journal of Modern optics, 47(5), 883-904 (2000).