CC BY
5ОГРАНИЧЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩУЮ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНОГО ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ИЗ УСЛОВИЙ СХОДИМОСТИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
Зимин Борис Александрович
Доцент Балтийского Государственного технического университета «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, кандидат физико-математических наук
Хитрина Александра Вячеславовна Cтудент Балтийского Государственного технического университета
«ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова.
CONSTRAINTS ON THE FUNCTION CHARACTERIZING THE PHYSICAL PROPERTIES OF A
NONLINEAR VISCOELASTIC MATERIAL DETERMINED FROM THE CONVERGENCE CONDITIONS OF THE METHOD OF SUCCESSIVE APPROXIMATIONS FOR SOLVING THE DYNAMIC EQUATION OF NONLINEAR VISCOELASTICITY
Zimin Boris Alexandrovich
Associate Professor of the Baltic State Technical University "VOENMEH" named after D.F. Ustinov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences
Khitrina Alexandra Vyacheslavovna Student of the Baltic State Technical University "VOENMEH" named after D.F. Ustinov.
Аннотация: Динамическая одномерная задача нелинейной вязкоупругости приводится к нелинейному интегральному Вольтерра второго рода, которое может быть решено методом последовательных приближений. Из условий сходимости метода могут быть получены условия, накладываемые на функцию, характеризующую степень нелинейности вязкоупругой среды.
Abstract: The dynamic one-dimensional problem of nonlinear viscoelasticity is reduced to a nonlinear Volterra integral of the second kind, which can be solved by the method of successive approximations. From the convergence conditions of the method, conditions can be obtained that are imposed on the function characterizing the degree of nonlinearity of the viscoelastic medium.
Ключевые слова: Динамическая нелинейная вязкоупругость, интегральное нелинейное уравнение Вольтерра второго рода, условия сходимости метода последовательных приближений для уравнений Вольтерра второго рода.
Keywords: Dynamic nonlinear viscoelasticity, integral nonlinear Volterra equation of the second kind, convergence conditions for the method of successive approximations for the Volterra equations of the second kind.
Решение динамических задач линейной вязкоупругости обычно связано с применением преобразования Лапласа. Для задач с нелинейной вязкоупругой средой и изменяющимися во времени границами метод Лапласа не подходит ввиду... В настоящей работе предлагается рассмотрение такого рода задач путём сведения их к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода, для которого доказана сходимость метода последовательных приближений к единственному решению [2].
Рассмотрим задачу о нагружении полого кругового цилиндра с переменным внутренним радиусом а:
■ (1)
где Ь - внешний радиус.
Полагаем наличие осевой симметрии и плоской деформации. Пусть и - радиальное перемещение, радиус г. Тогда тензор деформации ё будет [3]:
Уравнение равновесия [3]:
где р - плотность материала цилиндра, - радиальные и осевые напряжения.
Полагаем, что цилиндр заключён в тонкую упругую оболочку толщиной Ь и плотностью рь нагружается в момент времени t = 0 внутренним р(^) и внешним q(t) давлением; p(t) = q(t) = 0 при t < 0. Граничные условия:
Где Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона, Ро - плотность материала оболочки. Начальные условия:
Определим интенсивность деформации Еи [1]:
(6)
где в;. - девиатор деформации [3].
Для нелинейной вязкоупругости связь между девиатором напряжений 5~\ и деформацией в^ выберем в виде [4]:
где р - упругий модуль сдвига,
З^С^и) - характеризует степень нелинейности материала.
Яр - г) - ядро релаксации.
Полагая, что материал цилиндра несжимаем:
Находим:
Из (9) и (5) следует:
: = ■ : = : (10)
Найдем ги. используя (9),(2) и (6):
С учетом а~{\ ~ = аг ~ а9 и 0ц - егг = —2сСО/г2, из (7),(11), (9) и (2) получим:
Из (12), (3) и (9) получим:
Интегрируя (13) с учетом (4), найдем:
Обозначим:
b h
ЬЕ ц = рСР-«0
Ь2(1 -
Из (12), учитывая (9) и (4), получим для 0 < £ < £ уравнение:
: - .= .- : - 4 : : - ---■::.■.■- :.■-=;■■ (16)
Умножая обе части уравнения (16) на & — £), интегрируя по ( от 0 до Ы учитывая (10), найдем:
.■ : =.-"_: - . '." г : - - л - (17)
где
.--. : = .';" : - : ■ : (18)
Задача свелась к нелинейному интегральному уравнению (17) типа Вольтерра второго рода, которое решается методом последовательных приближений:
■■ -=-:■- .':" -■' :-■■.-.- ■■■'" (20)
В [2] доказано, что последовательность cn(f] сходится равномерно на отрезкеО < t < Г к единственному решению (17) при достаточных условиях: 1)
4(t,T,zLj-4?(t,T,z,~) \ < G(tT~)\\zL-z2\
.'; .-.':.' :-:.'-_ " (21)
JvCbT./i&r^dTi Jt(r)
- .:- _ /г : (22)
Показано, что условия (21) и (22) выполняется для функции 'р. характеризующей степень нелинейности материала:
О < ф(ЕJ < cL -^г - , _ (23)
где с- > 0 - константы.
Выводы: Динамическая одномерная задача нелинейной вязкоупругости может быть сведена к нелинейному интегральному уравнению типа Вольтерра второго рода. Используя условия Трикоми Ф. [2] Для сходимости метода последовательных приближений такого уравнения, можно получить условия, которыми должна удовлетворять функция, характеризующая
степень нелинейной вязкоупругости.
Список литературы:
1. Москвитин, Виктор Васильевич Сопротивление вязко-упругих материалов применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе (Текст]. - Москва: Наука, 1972. - 327 с.
2. Трикоми, Франческо Джакомо Интегральные уравнения [Текст] / Пер. с англ. Б. В. Боярского и И.И. Данилюка ; Под ред. И. Н. Векуа. - Москва: Издательство иностр. лит., 1960. - 299 с.
3. Новацкий, Витольд Теория упругости [Текст] / Пер. с польск.Б.Е.Победри.Москва:Мир,1975.872с.
4. Москвитин В.В. Об одной простейшей возможности учета нелинейности в вязко-упругих средах. Механика полимеров, 1967, No2.
List of literature:
1. Moskvitin, Viktor Vasilyevich Resistance of viscoelastic materials in relation to charges of rocket engines on solid fuel (Text]. - Moscow: Nauka, 1972. - 327 p.
2. Tricomi, Francesco Giacomo Integral equations [Text] / Translated from the English by B. V. Boyarsky and I.I. Danilyuk ; Edited by I. N. Vekua. - Moscow: Publishing House of Foreign lit., 1960. - 299 p.
3. Novatsky, Witold Theory of elasticity [Text] / Trans. from Polish.B.E.Pobedri.Moscow:Mir,1975.872p.
4. Moskvitin V.V. On one of the simplest possibilities of taking into account nonlinearity in viscoelastic media. Mechanics of Polymers, 1967, No2.
