Однопараметрические функции, непрерывные через околозвуковой скачок уплотнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

т(1 - т)(1 - + (ЗтД„/2(т) + £[(1 - т)(1 -5) + 2(3ЭТ]Л2п/2(т) =

ах 2

= |[1-т(2Р + 1)](1-Я). (20)

ЛИТЕРАТУРА

1. Фалькович С.В., Сапункова О.М. Уравнение типа Чаплыгина в магнитной газодинамике //Изв. вузов. Сер. математика. 1969. Вып. 6. С.78 - 85.

УДК 533.6.011

Г. Д. Севостьянов

ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧЕРЕЗ ОКОЛОЗВУКОВОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ

Уравнения Фальковича-Кармана для двумерных безвихревых околозвуковых течений идеального газа [1] (ю=0 и <а=1 соответственно для плоского и осесимметричного течений)

иих=у +СО-, чх=и (1)

У

на скачке уплотнения х = И(у) задают два условия [1]

ад-ы(2,

[«] [V]

где [/] - разность значений функции / на сторонах скачка. Для однопарамет-рических решений (и, V, х - функции у и параметра р\ приведём (1),

(2) к дивергентной форме

УС')Р = (/V),» С"Р = {хри\-и2

С. = — + хуу, С». = V + хуи (3)

и условиям на скачке

Гф) _ [С..] [С.]

«И* [хри]

В случае изопараметрического скачка (ф = 0 вдоль него) функции С*(р,у) и С,.(р,у) непрерывны всюду (и через скачок). Структурная функция Б(р, у) вводится [2] структурной формулой и = Бхр + х2, при этом х2 Б2 = С... - непрерывная всюду функция. Свойство непрерывности

С,, С.., С.,« подтверждается на примерах О.С. Рыжова (1967) и автора (1969) для параболического и кубического скачка соответственно. Для автомодельных решений (1) с показателем п

х = рул, и = у2"-2Г{р\ v = y3n-3G(p\

функции С., С.., С... имеют вид

С. =/я-4с.(Д С.. =у3"-3с..(р1 С.,.=у4"-4о(р),

с. = -у- + «/?(?, с,.=С + прЕ, с, = (4«-3 + со)С7, е.. = (Зи-2)^.

Они непрерывны через изопараметрический скачок; иногда всюду постоянны: с, при п = (3 - ю)/4; с*, при и = 2/3. При со = 0 и и = 1/2 постоянна функция с. + рс**. Непрерывная всюду функция а(р) выражается через с, и с». : 52 = с = п4 р4 +2(с, - прс„) и удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) 2 порядка. ^иО выражаются через разрывную на скачке функцию в(р). Сделан расчёт функций е., с.., а для случаев (со = 0, п = 4/5) и (со = 1, п = 4/7) со скачком при звуковом обтекании тел. Недивергентная форма (1) для однопараметоических решений [2]

Уа(5ир+хуиу)=\уа'у)у, хриу - хуир = ур,

{у°>{5ир+хуиу)\р=[у*{хриу-хуир\, (4)

и = 8хр +х2

имеет в Б-подклассе решения со звуковой свободной границей (со = 0)

Б = у, х = а0{р)+а3{р)у3 и = а1(р)у + а>А{р)у4; щ =а0, (5)

й>4 =а3 +9 а2,

где коэффициенты функции х(р, у) удовлетворяют ОДУ аъ + 48а3йз + 6 а2 + АИсца^ = 0

во + \2аъа0 - п[а3 +9а2)а0=0. (6)

Первое ОДУ приведём [2] к уравнению Абеля второго рода «з = азт(п)> Л = 1п| а31, ?(т)=т'(л)

ат

В особой точке М,(-8, 0) (седло): г = -8, аъ =1/(8/?), а0-схр1'4 + + с2р5'4, <у4 =1/(б4р2^, <у, = а0 решение и имеет два автомодельных решения (п = 5/3 при с, =0; и = 3/5 при с2= 0) и описывает трансзвуковое тече-

ние: звуковая свободная струя натекает на край заслонки, за которой имеется субкритическое давление.

В особой точке М2(-9, 0)(узел): г = -9, а3=1/(9р\ а0 -схр2п +с2р, й>4 =0, со| = а0 решение имеет два автомодельных решения (и = 3/2 при сх = 0; п - 6/5 при с2 = 0 ) и описывает течение, когда в звуковую свободную границу струи параллельно ей помещён профиль.

Точки М3 (0, -12)(узел) и М4(0, -36)(седло) приводят к решению [1]

автора (а3 постоянна; соА = 9а2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Севастьянов Г.Д. Основы теории околозвуковых течений газа. Саратов :Изд-во Сарат. ун-та, 1987.

2. Севастьянов Г.Д. Структура элементарных околозвуковых решений // Аэродинамика. Саратов :Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Вып. 14(17). С. 109-117.

УДК 533.6.011

И. А. Чернов

Р-РЕШЕНИЯ ТРАНСЗВУКОВЫХ УРАВНЕНИЙ АЭРОДИНАМИКИ

Построены новые частные решения трансзвуковых уравнений газовой динамики двумерных течений, которые представляются в параметрической форме: как искомые, так и независимые переменные записываются в виде полиномов по параметру с коэффициентами, зависящими от второго параметра. Для коэффициентов получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые приводятся к нормальному виду.

Трансзвуковая система уравнений в плоском случае имеет вид

иих-^=0, uy—vx=0. (1)

Здесь и, V приведённые компоненты скорости, х, у- декартовы координаты.

Обсуждаемый метод заключается в представлении и, V, х, у в виде полиномов [1]

а,3,у,5

(м, V, х, у)= X (4*;(4 (*))•''■ (2)

1=0

Подстановка (2) в (1) даёт систему ОДУ. Интересны такие (а, /3,у, 8 ), которые приводят к совместным системам.

Система (1) допускает класс автомодельных решений вида