Одномерная теория струй Текст научной статьи по специальности «Физика»

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ

2001 р.

Вип. №11

УДК 532.525.2:533.6.011.5

Капустин Е.А.1, Лухтура Ф.И.

2

ОДНОМЕРНАЯ ТЕОРИЯ СТРУЙ

Представлена методика расчета параметров свободных струйных течений в квазиодномерной постановке, наиболее доступной для решения прикладных инженерных задач. Приведены основные закономерности и связи продольного затухания избыточной энтальпии, концентрации и скорости с присоединенной массой и нарастанием толщины сдвигового слоя. Достоинство данной методики-универсалъностъ и возможность использования для определения параметров как ламинарных, так и турбулентных (с различной степенью начальной турбулентности), дозвуковых и сверхзвуковых струйных течений из сопел любой конфигурации.

Приведенный метод решения позволяет определять суммарные (осредненные) характеристики потока в различных сечениях струи. Он дает возможность также вскрыть основы физической природы струйного течения.

1. Рассмотрим истечение газа из сопла с давлением ра в движущийся поток с давлением рсо с учетом вязкого перемешивания с газом окружающей среды. Пусть поток в сопле с однородным распределением параметров по сечению ускоряется непрерывно до выходного сечения сопла, приобретая до- или сверхзвуковую скорость. За пределами сопла пренебрегаем расширением границ струи под возможным действием радиальной составляющей скорости, возникающей из-за непараллельности истечения, и допускаем, что параметры в струе распределены равномерно по поперечному сечению. Исследование нерасчетных сверхзвуковых струй и результаты работ по прикладной газовой динамике [1-3] показывают, что на газодинамическом участке, где существует так называемая квазипериодическая ударно-волновая структура, статическое давление за начальным газодинамическим участком (первая 'бочка" ударно-волновой структуры) становится близким к атмосферному рх = р, [2]. Поэтому допускаем, что в сверхзвуковой струе за начальным газодинамическим участком статическое давление равно давлению в окружающей среде. На участке от выходного сечения сопла до рассматриваемого сечения, вследствие эжекции, к струе подводится газ окружающей среды, обладающий некоторым теплосодержанием.

Для нахождения связей между параметрами газа в произвольном сечении струи и параметрами в выходном сечении соплового устройства используем одномерные уравнения сохранения энергии, неразрывности и количества движения. Газ полагаем совершенным, векторы скорости газа в рассматриваемых сечениях - параллельными оси сопла.

Система уравнений, описывающих движение газового потока на рассматриваемом участке, с учетом принятых допущений имеет вид:

(1)

1 ПГТУ, д-р техн. наук, проф.

2 ПГТУ, ст. препод.

8 = {тХ~та)1та (4)

Здесь индекс ноль относится к параметрам торможения, индексы а,х,ао - соответственно к параметрам в выходном сечении сопла, в рассматриваемом произвольном сечении струи, в окружающей среде; ь энтальпия газа; средняя скорость потока; р- статическое давление; g -относительная присоединенная масса газа окружающей среды в сечении х. При истечении в спутный поток величина положительная, во встречный - отрицательная.

Учитывая, что массовый расход т=рц>Р, где р- плотность газа, /'- площадь сечения струи, уравнение количества движения (1) представим в виде

о м!2 + о <г + {г> — п ) = £> М!2 —

г а а Г а а соО \г а Газ/ Их х г-,

(5)

Из уравнения (5) средняя скорость потока в произвольном сечении равна

м>„ =

Ра*>а

(6)

Относительная избыточная скорость в этом сечении с учетом того, что п = ра р,, где п- степень нерасчетности

п-1 1

ж. -

+ 1

1+*

(7)

где к = С /(С — м) - показатель адиабаты, (',, - изобарная теплоемкость, Я - газовая постоянная.

Для расчетного режима истечения это уравнение значительно упрощается и принимает

вид

м> —м> 1

-^ =- (8)

1 + 8

Из сравнения выражений (7) и (8) видно, что, в принципе, нерасчетную струю можно "свести" к изобарической, если относить скорость движения потока в струе к некоторой эффективной м>е, а линейные размеры - к характерному размеру изобарического сечения с1ех. Так, для невязкой струи между выходным сечением сопла и сечением струи, где скорость потока достигает эффективной м>ех, не учитывается эжекция в струю газа окружающей среды. Поэтому в этом случае согласно (1) и (2)

( ,„ 1 , Л

1 +

п-1

1

(9)

б/„. = б/

1

(

М2

пм: +

п-1

Л"

кк-

1 ех V '"аУ^ "'со/ ' а)у_

Для плоских струй, истекающих из щелевидных сопел, N=1; для осесимметричных струй- N=2. Тогда можно записать

м> —м> 1 -^ =- (10)

1 + 8

В [2] показано, что сверхзвуковая нерасчетная струя действительно близка к расчетной за изобарическим сечением. Однако, при этом для расчета параметров в изобарическом сечении необходим учет вязких эффектов - эжекции газа окружающей среды на участке от максимального сечения первой "бочки" до изобарического сечения. Число Маха для таких

полностью расширенных нерасчетных струй, истекающих в движущийся поток из сопел любой конфигурации поперечного сечения, составит

Л/„ =

г ~\ь

' d * Ua

1

(l -wx/wex)

Для струй, истекающих в неподвижную среду (Wco= 0)

М„ =

/ V

А У

М„ п +-

(П)

(12)

"ех V а У

Характерный размер изобарического сечения реальной (вязкой) сверхзвуковой струи с1ех определяют исходя из предположений о равенстве его максимальному размеру первой "бочки" ударно-волновой структуры и отсутствия эжекции газа из окружающей среды на участке от выходного сечения сопла до максимального сечения первой "бочки" [2], размер которой не зависит от скорости внешнего потока. При этом значение относительной присоединенной массы в струе получают отнесением абсолютного значения этой величины к массе газа в изобарическом сечении. Форма записи выражения для определения избыточной скорости не будет отличаться от (10). Для расчетной струи в отсутствие радиальной составляющей скорости мех = и',, и изобарическое сечение совпадает с выходным сечением сопла.

Уравнение сохранения энергии (3) для рассматриваемого участка представим в виде

М0х _ г0х - h

1

А/„

*0а 'о а 'оэ 1 + §

С другой стороны, уравнение сохранения энергии (3) можно записать как

СрхТ0х — ССрсоТГХ1 + (1 — с)срат0а,

(13)

(14)

(15)

' рх~ их рею

где теплоемкость смеси газов в сечении х определяется из выражения

С Рх = GC рХ} + (l — G)C ра,

G = \-cx=g/(\ + g),

где G - средняя массовая концентрация газа окружающей среды в сечении струи, концентрация истекающего газа в этом сечении сх- определяется по формуле (18).

Тогда осредненные температура торможения и молекулярная масса смеси газов в сечении будут

7© + 1/g

Т =Т

Ох 0а

r + Vg

í

Мх =

G 1-G

— + —

чЯэ Д

Y

(16)

(17)

J

где у = CpmjCpa - относительная теплоемкость; 0 = Тгл/Т0а - параметр неизотермичности,

характеризующий степень нагрева струи и (или) окружающего пространства. Показатель адиабаты смеси газов

Г

к ^рх

Cpx-RV/Mx

где RM - универсальная газовая постоянная.

Уравнение (16) превращается в тождество Тох — Too в дальнем поле струи, где относительная присоединенная масса газа окружающей среды стремится к бесконечности g—»со. Это полностью соответствует физической картине течения и, тем самым, подтверждается правильность полученных соотношений.

Из уравнения расхода (2) получим выражение для определения средней концентрации сх истекающего газа в сечении х

т„

1

с„ = ■

(18)

тх l + g

которое дополнительно указывает на то, что такие параметры свободных струй как относительные избыточные скорость и энтальпия, концентрация истекающего газа, с учетом принятых выше допущений, зависят только от величины относительной присоединенной массы и принимают одинаковое среднее численное значение в рассматриваемых сечениях струи. Для дальнего поля струи при ^ —> оо эти параметры обратно пропорциональны относительной присоединенной массе g.

Использовав выражение для расхода через средние значения параметров торможения: давления Р0 и температуры Т0, и числа Маха М, закон сохранения массы (2) запишем в виде

К Рр аЫМа)_к Р0ЛЧ(МХ)

О а

л/ад

к =

(1+Л/ад7'

(19)

к+1 \к-1

к +1

где q - известная функция М [4].

Коэффициент полного давления, оценивающий суммарные потери полного давления на участке от сопла до рассматриваемого сечения, с учетом (11) равен

~каМа2п + (п- 1)/(1-*,>„)"

Кх V КаТ0а

ч{ма)

(20)

Из выражений (1), (2), (3) и (4) после ряда преобразований вытекает закон нарастания от изобарического сечения пограничного (сдвигового) слоя струи

{а

А у

Г \N

А у

г

А у

Р^Л^х

(21) (22) (23)

т.е. такие величины как плотность потока импульса, избыточной энтальпии и вещества оказываются универсальными как функции эффективных толщин зон смешения. Указанные распределения являются универсальными и не зависящими от рода газа, степени перегрева струи и скорости ее истечения.

Интересно отметить, что для осесимметричной сверхзвуковой нерасчетной струи, истекающей в неподвижную среду, относительный диаметр звукового сечения (Мх =1) следуя (12) равен

М„ п +-

(24)

Зв \

У

Выражение (24) отличается от выражений, приведенных в [5,6], отсутствием постоянного коэффициента перед подкоренным выражением в правой части уравнения, учитывающего неравномерность распределения параметров по сечению струи и полученного в предположении автомодельности профилей плотности потока импульса на дозвуковом участке струи.

Следуя теории Прандтля о длине пути смешения [4], в которой предполагается, что изменение толщины слоя пропорционально расстоянию от начала смешения с/х ~ Сх, где С -коэффициент расширения струи, получим используя (21)-(23)

ДР =Li—= —\— Зе.-1--(25)

* р«-р- (Сх)т V Р* л/1 + *("■>«)'

где под Р можно понимать любую из следующих величин: скорость, энтальпию торможения или концентрацию, х = xjdex - расстояние в калибрах изобарического сечения. Согласно полученному выражению изменения относительных избыточных величин перечисленных параметров вдоль струи обратно пропорционально удалению от начала смешения. Для дальнего поля дозвуковых струй, истекающих в неподвижную среду w ■,=(), при р —» р.г

получим широко известное выражение, которое удовлетворительно описывает экспериментальные данные

АРХ = Р% ~Рсо = —1— (26)

Рех ~ Р<* (Сх)т V Р* Как показала экспериментальная проверка гипотезы Прандтля, коэффициент расширения зависит в общем случае как от начальных (числа Маха сопла, степени нерасчетности, начальной турбулентности, параметра спутности wx/wa и т.п.), так и местных условий

истечения. Так, например, при сравнении струй с различными температурами и составом в конце ядра потенциальной скорости, где скорость, и соответственно присоединенная масса, сравниваемых потоков одинакова (средняя скорость по сечению также одинакова), отношение толщин вязкого слоя в этом сечении, следуя (21), равно

dxe _ [р7

, л, <27)

< \| Рхв

При этом, длины ядер соотносятся как (¿/0) [7], т.е. толщина слоя, кроме расстояния от начала смешения зависит и от изменения плотностей в рассматриваемом сечении струи. Например, при истечении холодной струи в горячее пространство при одинаковой с изотермической струей относительной присоединенной массой в конце ядра плотность газа падает при общем росте объема подсасываемого газа из окружающей среды, что приводит в конечном итоге, исходя из постоянства скорости в этом сечении, к росту толщины слоя. Этот же вывод следует из (27). Таким образом, коэффициент расширения струи С как для низкоскоростных струй, так и высокоскоростных струй, зависит как от параметра неизотермичности © и отношения молекулярных масс [Л = /¡.I, , так и от значения плотности

в рассматриваемом сечении струи. В случае отсутствия пограничных слоев на внутренней и внешней стенках сопла и бесконечно малой толщины кромок сопла, для дозвуковых струй можно рекомендовать формулу

С = 0.16-{Т1®)-Уь{1-ч>х1ч>а), (28)

в которой в силу малой их сжимаемости не отражено дополнительное влияние местной плотности на коэффициент расширения. Для сверхзвуковых нетурбулизированных струй, истекающих без эффекта акустической обратной связи [2,7]

С =

( ,„ л

1-

wr.

V

(Мех>\.01) (29)

При этом, для сверхзвуковых струй переменного состава с отличной от газа окружающей среды молекулярной массой учет влияния местной плотности на расширение струи производится заменой в (25) выражения под корнем отношением молекулярных масс Цсх /Цх. для неизотермических - отношением температур торможения: местной и истекающего газа Т0х/Т0ех , для неоднородных неизотермических - произведением этих отношений.

2. В действительных процессах истечения на струйном участке, как отмечалось, профили распределения параметров по сечению струи не являются равномерными, и, начиная от конца ядра потенциальной скорости, имеют так называемый автомодельный профиль. Одной из самых распространенных в литературе зависимостей по распределению параметров в поперечных сечениях турбулентной струи является теоретическая зависимость Шлихтинга [4]

АРе(Р-Р, )/(Рхтих-Рг)=[\-(А-К/Кхтих У5]2, (30)

где Р - любой из рассматриваемых параметров: скорость, концентрация, энтальпия на расстоянии Я от оси струи; Рхтах - максимальная значение их на оси струи в сечении х; Ктах -максимальная полутолщина сдвигового слоя струи в рассматриваемом сечении; А -коэффициент, зависящий от типа рассматриваемых параметров: А = 1 при описании профиля избыточной скорости, А = 0.86 - профилей концентрации и избыточной энтальпии.

Переход от средних параметров в сечении струи к осевым на изобарическом участке свободной турбулентной струи не составляет затруднений. Осреднение следует вести по толщине (а не площади поперечного сечения !) струи [4]; это вытекает из приблизительно одинаковой закономерности нарастания толщины плоской и осесимметричной струй, а также из сравнения экспериментальных данных по присоединенной массе [9-11] с кривой затухания продольной составляющей средней скорости (концентрации, избыточной энтальпии) вдоль оси струи, поэтому можно принять

1 кг - . АР Ег

' ^ х шах I

аРг =-Г др<т

Т? л

х шах 0 х

1-

Г » V'5 А- К

и

V х шах J

Ж = (1-0.8#5+0.25Л3)дРхтах (31)

Тогда изменение параметров вдоль оси струи по известной величине присоединенной массы или изменение присоединенной массы по известной величине скорости, энтальпии или концентрации на оси струи можно определить из выражения

Д^пах " 1>Хп\п' ^ 08А15 + 025У + Я) (32)

ех со

Среднее значение перечисленных выше параметров по сечению струи несколько изменяется в зависимости от "наполненности" поперечного профиля. Например, использование выражения для поперечного распределения избыточной скорости шх = со^2{пЯ/2Ятах) для струй конечной толщины [12] приводит к соотношению ам?х = 0.5 • АМ>хтах . В общем случае можно принять тх

Величину относительной присоединенной массы g для начального газодинамического участка, простирающегося от выходного сечения до изобарического, с учетом истечения струи в газовое пространство с другой температурой и составом, можно оценить по [8]. Для участка струи вниз по потоку от изобарического сечения, при известном распределении продольной составляющей осевой скорости, - по выражению

т м> —м>

£■ = ^ = 2—^-^-1 (33)

Шех ^хшах-^оо

или с учетом закона изменения скорости вдоль оси струи (26)

Я

" Ра

Нужно отметить, что представленные решения в [8] по определению присоединенной массы за пределами начального газодинамического участка (первой бочки) сверхзвуковой струи нельзя считать обоснованными, так как погрешность расчета в этом случае увеличивается на порядок. Например, для сверхзвуковых струй, распространяющихся в полости большегрузного кислородного конвертера, в конце ядра потенциальной скорости, протяженность которого в этих условиях достигает примерно 12-15 калибров сопла [2,7], средняя скорость на оси струи последний раз принимает значение м?хтах = и «; и относительная

= 2р^-1 (34)

присоединенная масса составляет, судя по приведенному выше выражению (33), g = 1, т.е. масса присоединенного газа равна массе истекающего газа. Используя методику [8] для тех же условий истечения, но на расстоянии 30 калибров от среза сопла, где присоединенная к струе масса гораздо больше, чем в конце ядра потенциальной скорости, получим значение g, равное только g = 0.24.

Выводы

Результаты расчетно-теоретического исследования струй газа переменного состава позволяют определять изменения основных параметров в поперечных сечениях и на различных удалениях от сопла в широком диапазоне изменения числа Маха, плотности, температуры, скорости и направления внешнего потока, а также газодинамические параметры струйных аппаратов, в том числе и плазменных.

Перечень ссылок

1. Глотов Г. Ф., Фейман М.И. Исследование параметров осесимметричных недорасширенных струй газа, истекающих в затопленное пространство // Уч.зап. ЦАГИ.-1971.-Т.2.-№ 4,-С.69-75.

2. Лухтура Ф.И. Одномерная теория сверхзвуковых нерасчетных струй газа // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1993,- №1.- С.48-56.

3. Бай Шии. Теория струй. - М.: Физматгиз, i960,- 326 с.

4. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1969,- 824 с.

5. Анцупов A.B. Исследование параметров нерасчетной сверхзвуковой струи газа // Журнал технической физики. - 1974. - Т. 14. - Вып.2,- С.372-379.

6. Ленцов И.А., Серебряков В.А. Исследование и расчет геометрических характеристик сверхзвукового участка нетурбулизированных газовых струй // Газодинамика и акустика струйных течений. - Новосибирск, 1987,-С.38-42.

7. Капустин Е.А., Сущенко A.B., Лухтура Ф.И. О взаимодействии сверхзвуковых газовых струй с конвертерной ванной // Тепло- и массообменные процессы в ваннах сталеплавильных агрегатов. Тезисы докладов 5 Всесоюзной конференции. Ч. 1- Мариуполь, 1991.-С.З-5.

8. Баланин Б.А., Зеленков О.С., Капустин Е.А., Куземко Р.Д. Исследование присоединенной массы сверхзвуковой струи на газодинамическом участке // В сб. "Тепло- и массообменные процессы в ваннах сталеплавильных агрегатов". - М.: Металлургия, 1975,- С. 19-35.

9. Капустин Е.А., Ленцов И.А., Серебряков В.А. Влияние внешней геометрии сопла на эжекционную способность сверхзвуковой струи // Турбулентные течения и техника эксперимента. - Таллинн, 1989,- С.72-74.

10. Голубев В.А., Климкин В.Ф. Исследование турбулентных затопленных струй газа различной плотности // ИФЖ,- 1978,- Т. 34, № 3,- С. 493-499.

11. Голубев В.А. Расчет турбулентных струй газа // ИФЖ,- 1982,- Т.42, №3,- С. 395-402.

12. Моррис Ф. Дж. Измерения турбулентности в дозвуковых и сверхзвуковых осесимметричных струях в спутном потоке // Ракетная техника и космонавтика, 1976,- Т. 14, №10,-С. 150-160.

Капустин Евгений Александрович. Д-р техн. наук, проф., научный руководитель проблемной лаборатории ПГТУ, окончил Московский институт стали в 1945 г. Основные направления научных исследований - гидрогазодинамика, тепломассообмен, металлургическая технология. Лухтура Федор Иванович. Ст. преподаватель кафедры промышленных теплоэнергетических установок и теплоснабжения, окончил Мариупольский металлургический институт в 1980 году. Основные направления научных исследований - совершенствование факельного сжигания топлива и процесса продувки металлического расплава, снижение энергетических затрат на выплавку стали; изучение аэроакустических характеристик и закономерностей распространения турбулентных газовых струй в технологических агрегатах.

Статья поступила 12.02.2001.