Очерки по развитию дробного исчисления в работах А. В. Летникова Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

3

к 175-летию со дня рождениялвлЕТниковл

От редакции. Публикация научных результатов полуторавековой давности в современном журнале — достаточно дискуссионный ход. Тем не менее, памятуя знаменательную дату 175-летия со дня рождения выдающегося русского математика А.В. Летникова, а также практическую недоступность созданной им строгой и законченной теории дробного исчисления и актуальность этого аппарата для стремительно развивающейся физики фракталов, редакция посчитала целесообразным поместить работу А.А. Потапова о дробном исчислении А.В. Летникова в РЭНСИТ в виде исключения.

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В РАБОТАХ А.В. ЛЕТНИКОВА

потапов А.А.

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова, Российская академия наук, http:// www.cplire.ru

125009 Москва, Российская Федерация Поступила в редакцию 23.04.2012

Цель работы — спасти от забвения результаты по созданию строгой и законченной теории дробного исчисления, полученные во второй половине 19 века выдающимся русским математиком и патриотом России Алексеем Васильевичем Летниковым, талантливым организатором математического образования в России и создателем математической школы Московского высшего технического училища (ныне государственный технический университет им. Н.Э. Баумана). Его высочайшая математическая эрудиция (на базе Московского университета и парижских Ecole Polytechnique, College de France и Сорбонны), безукоризненная честность и порядочность вызывали уважение и любовь молодых ученых, многие из которых сыграли выдающуюся роль в истории отечественной науки. Представлен основной свод работ Летникова: магистерская диссертация, известная дискуссия по этой диссертации на страницах Математического сборника Московского математического общества (ныне журнала РАН), а также докторская диссертация, завершившая обоснование системы дробного исчисления — наследие, вызволенное из-под вод Леты длительным и кропотливым трудом автора данных очерков. Представлен также современный взгляд начала 21 века на это исчисление, являющееся единственным и необходимым математическим аппаратом стремительно развивающейся в последние десятилетия фрактальной физики. Приведены также биографические материалы, которые свидетельствуют о личном благородстве А.В. Летникова и его благотворном влиянии на математическую мысль и научное сообщество России.

ключевые слова: интегродифференцирование дробного порядка, дробные операторы, дробное исчисление, фрактал, фрактальная физика

УДК 537.86:519.22

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

4

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

1837-1888.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Новые научные и технические достижения часто позволяют увидеть в классических работах незамеченные ранее жемчужины. Предлагаемая работа посвящена изложению результатов научной деятельности выдающегося русского математика члена-корреспондента Петербургской Академии наук Алексея Васильевича Летникова (1(13).01.1837, Москва

— 27.02(10.03).1888, там же), который за время своей 20-летней научной деятельности разработал полную теорию дифференцирования с произвольным указателем порядка дифференцирования. Все свои работы (за исключением одной второстепенной) он опубликовал на русском языке на страницах Математического сборника

— журнала Московского математического общества. К сожалению, эти его работы остались неизвестны за границей и были почти забыты у нас.

Хотя главные открытия А.В. Летникова относятся к одной специальной области анализа, он был ученым широких научных интересов. Достаточно сказать, что в III томе Математического сборника за 1868 год был опубликован сделанный Летниковым перевод знаменитой работы Н.И. Лобачевского «Геометрические основания теории параллельных». Это была первая публикация указанной работы Лобачевского на русском языке. Летников сопроводил

перевод своей вступительной статьей. Статья Летникова — одно из первых в русской литературе положительных высказываний о неевклидовой геометрии.

В настоящей работе приводятся оригинальные тексты А.В. Летникова (в современной орфографии), совокупность которых выявляет его основополагающую роль в создании дробного исчисления, математический аппарат которого основан на понятиях интегралов и производных дробного порядка. Автор данной работы не пытался искусственно размежевать учебные материалы и оригинальные результаты, а напротив, стремился к их органичному сочетанию.

Теория дробных операторов, все еще оставаясь экзотикой для большинства специалистов, находится в последние десятилетия в состоянии непрерывного развития. Наличие в уравнениях дробной производной интерпретируется как отражение особого свойства процесса — памяти или немарковости (эредитарность), а также самоподобия среды или структуры, т.е. фрактальности. Исследовательские работы по этому направлению, смыкаясь с фрактальным анализом, имеют тенденцию ко все большему расширению. Это следует из возрастающего потока оригинальных работ, публикуемых как в России, так и за рубежом, и проведения специальных международных конференций, вследствие возникновения новых плодотворных постановок проблем и приложения аппарата дробных операторов и фракталов в самых различных областях науки и техники. Успешное применение предложенных автором глобального фрактального метода и общенаучной фрактальной парадигмы в естествознании стало уже свершившимся фактом (см., напр., [65-67] и следующую работу автора в данном номере журнала РЭНСИТ).

ВВЕДЕНИЕ

Дробный математический анализ имеет давнюю историю и чрезвычайно богатое содержание. Идеи о дробном интегродифференцировании занимали многих видных ученых: Лейбница, Эйлера, Лиувилля и др. В настоящее время фактически нет ни одной области классического анализа, которой не коснулся бы дробный анализ. Математический язык операторов дробного интегродифференцирования незаменим для описания и исследования физических фрактальных систем, процессов стохастического переноса (фрактальные субдиффузия и супердиффузия [1-27]. Работы в этом направлении только начинаются и сдерживаются, по-видимому, только экзотичностью дробных производных и дробных интегралов.

Интерес к дробному математическому анализу возник почти одновременно с появлением классического анализа (еще Г.В. Лейбниц упоминал об этом в письмах к Г.Ф. Лопиталю в 1695 г. при рассмотрении дифференциалов и производных

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 5 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Введение

порядка Уг). Вероятно, самое раннее более или менее систематическое исследование этого вопроса относится к 19 в. и принадлежит Н.Абелю (1823), ЖЛиувиллю (1832), Б.Риману (1847) и Х.Хольмгрену (1864), хотя ранее вклад внесли Л.Эйлер (1730) и Ж. Лагранж (1772).

Именно в своем цикле работ Ж. Лиувилль (18321835), применяя разложение функций в степенные ряды, определял дробную производную путем почленного дифференцирования. Он же, в частности, дал первые практические приложения созданной им теории к решению задач математической физики. Затем Б.Риман (1847) предложил иное решение на основе определенного интеграла, пригодное к степенным рядам с нецелыми показателями. Данная работа, выполненная Б.Риманом в студенческие годы, была опубликована лишь в 1876 г. (спустя 10 лет после его смерти). Конструкции Лиувилля и Римана являются основными формами дробного интегрирования. Развивая идею Лиувилля, А.К. Грюнвальд (Прага, 1867) ввел понятие дробной производной как предела разностных отношений.

Параллельно с теоретическими начинаниями разрабатывались приложения дробного анализа к решению различных задач. Одним из первых таких приложений явилось открытие Нильса Абеля (1823), показавшего, что решение задачи о таутохроне может быть получено путем интегрального преобразования, которое записывается как производная полуцелого порядка. Существует историческое заблуждение, что Абель решил задачу только при значении индекса, равном У. На самом деле, как отмечено в [2], Абель рассмотрел решение в общем случае, и его работы сыграли огромную роль в развитии идей дробного интегродифференцирования. Заслугой Х.Хольмгрена является рассмотрение дробного дифференцирования как операции, обратной интегрированию и приложение данных понятий к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Следует отметить цикл работ чл.-корр. Петербургской Академии наук А.В.Летникова (18371888) [28-38], который за время своей 20-летней научной деятельности разработал полную теорию дифференцирования с произвольным указателем. Работы А.В. Летникова остались почти неизвестными за рубежом и в настоящее время преданы почти полному забвению. В рассматриваемый период в России за работами А.В. Летникова последовали работы Н.Я. Сонина [39-44] и П.А.Некрасова [45-48]. С именами этих русских ученых также связано распространение формулы Коши для аналитических функций в комплексной плоскости на нецелые значения индекса интегродифференцирования.

Признавая важность работ упомянутых выше ученых, необходимо однако отметить, что дробное

исчисление стало строгой математической теорией только начиная с работ А.В. Летникова.

В конце 19 в. вышла содержательная работа Ж.Адамара (1892), в которой на основе разложения в ряд Тейлора было рассмотрено дробное дифференцирование аналитической в круге функции по радиусу, которое носит название подхода Адамара.

В первой половине XX в. заметный вклад как в теорию, так и в практику дробного анализа внесли Г.Харди, Г.Вейль, МРисс, П.Монтель, А.Маршо, Д.Литтвуд, Я.Тамаркин, ЭПост, СЛ. Соболев, АЗигмунд, БНадь, АЭрдейи, ХКобер, Ж.Коссар и ряд других ученых. В 1915 г. ГХарди и М.Рисс использовали дробное интегрирование для суммирования расходящихся рядов. В 1917 г. Г.Вейль определил дробное интегрирование для периодических функций в виде свертки с некоторой специальной функцией. Аналог неравенства С.Н. Бернштейна для дробных производных алгебраических многочленов на конечном отрезке дал в 1918 г. П.Монтень. В работе АМаршо (1927) была введена новая форма дробного дифференцирования, которая применима в случае функций с “плохим” поведением на бесконечности. Были введены в обиход дробные производные Маршо. В работах М.Рисса (1936, 1938, 1949) были получены операторы типа потенциала (потенциалы Рисса), позволившие определить дробное интегрирование функций многих переменных. Для некоторых интегральных операторов и интегральных уравнений очень полезными оказались дробные интегралы Эрдейи и Кобера (1940) и т.д

Более подробные сведения исторического характера вплоть до 1986 г. содержатся в монографии [2], которая является своего рода энциклопедией по дробным операторам и написана крупными специалистами в математическом анализе. В ней впервые систематически изложены классические и современные результаты указанной теории. Специально для радиофизиков и радиоинженеров отметим тот факт, что операционное исчисление, разработанное О.Хевисайдом (1892, 1893, 1920), оказалось важным этапом в применении обобщенных производных. Именно ОХевисайд (1920) применил дробное дифференцирование в теории линий передач. После этого другие теоретики признали преимущества такого подхода и стали развивать его в соответствии с принятыми математическими концепциями (Н.Винер, Дж.Карсон (1926)). Аппарат дробных производных и интегралов используется в физике, механике, химии, гидрологии, теории гравитации и др. Приложения данного математического аппарата слишком многочисленны, чтобы все их перечислять. Настало время применить его к задачам фрактальной радиофизики и фрактальной радиолокации [13, 25, 26, 61-67].

Учитывая библиографическую редкость приведенных выше публикаций, ниже дана начальная

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

6

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

историческая часть хронологической библиографии по дробному анализу, в которой были использованы также и материалы проф. Б.Росса [49-51].

1695 G.W Leibniz, Letter from Hanover, Germany, September 30, 1695 to G.A.L. Hospital. Leibnizen Mathematische Schriften, 2:301-302. Olms Verlag, Hildesheim, Germany, 1962. Впервые опубликовано в 1849 г.

1697 G.W. Leibniz, Letter from Hanover, Germany, May 28, 1697 to J.Wallisl. Leibnizen Mathematische Schriften 4:25. Olms Verlag, Hildesheim, Germany, 1962. Впервые опубликовано в 1859 г.

1730 L. Euler. De Progressionibus Transcentibus, sev Quartum Termini Algebrace Dari Nequent. Comment. Acad. SCI. Imperials Petropolitanae, 1738, 5:38-57.

1772J.L. Lagrang Su rune nouvelle espece de calcul relative a la differentiation et a l integration des quantites variables. Oeuveres de Lagrange, v 3. pp. 441-476. Gauhier-Villars, Paris, 1849. Впервые опубликовано в Nouv. Mem. Acad. Sci. Belles-Lett. Berlin 1772, 3:185-206.

Установлен закон дифференцирования для операторов с целыми порядками производной

im in _jm+n

d d y d

— n = m+n У, который стимулировал исследования о

dx dx dx -

его справедливости, если m, n — дробные.

1812 P.S. Laplace. Theorie Analytique des Probabiddtes. Courcier,

Paris, 1820. Впервые опубликовано в 1812 г.

На стр. 85 и 186 третьего издания Лаплас записывает

выражения для некоторых дробных производных.

1819 S.F. Lacroix. Traite du Calcul Differentiel et du Calcul

Integral. Curcier, Paris, 1812, 3:409-410.

Здесь две страницы посвящены дробному исчислению.

S.F Lacroix усовершенствовал формулу дробного

дифференцирования для n-ой производной от функции Vя,

затем он формально заменил n на (1/2) и с учетом того, что

d1/2 2 yfv

A(1 /2) = fl , получил, что dv112 V = уП ■

1822 J.B.J. Fourier. Theorie Analytique de la Chaleur. Oeuvres de Fourier, Didot, Paris, 1822, 1:508.

Фурье сделал следующее обобщение

йи 1 +Ю +Ю ( \

-ruf (x) = — j f (a)da JPU cosI Px - Pa+ up IdP,

—Ю —Ю V J

где u - любое, положительное или отрицательное, число.

1823 N.H. Abel. Solution de quelques problemes a l aide d integrales defiinites. Oeuvres Completes, 1823, 1:16-18. Grondahl, Christiania, Norway, 1881. Эта статья впервые появилась в Mag. Naturvidenkaberne в 1823 г.

Абель был, вероятно, первым, применившим дробное исчисление для решения конкретных задач математической физики. В данной работе он выразил производную дробного

порядка с помощью интеграла J0 - 0-1/2 f(t)dt. .

1832 J.Liouville. Memoire о sur quelques Questions de Geometrie et de Mecanique, et sur un nouveau genre de Calcul pour resoudre ces Questions. J. Ecole Polytech, 1832, 13(21):1-69.

Настоящая работа представляет собой первое большое исследование дробного исчисления. На стр. 3 Liouville рассматривает дробную производную (d 'A/dx fe 2x. В работе приведены решения некоторых задач механики и геометрии с использованием операторов дробного порядка.

1832 J.Liouville. Memoire sur le Calcul des differentielles a indices quelconques. J. Ecole Polytech, 1832, 13(21):71-162.

1832 J.Liouville. Memoire sur l integration de l equation (mx2+nx+p)d2y/dx2 + (qx + y) + sy = 0 a l aide des differentielles a indices quelconques. J. Ecole Polytech, 1832, 13(21):163-186.

1833 G.Peacock. Report on the recent Progress and Present State of Affairs of Certain Branches of Analysis. Rep. British Assoc. Advancement Sci., 1833:185-352.

1834 J.Liouville. Memoire sur une formule d analyse. J. Reine Angern Math. (Grelle s Journal), 1834, 12:273-287.

В статье обсуждается проблема таутохрона и применение дробных производных для ее решения.

1834 J.Liouville. Memoire sur le theoreme des functions complementaires. J. Reine Angern Math. (Grelle s Journal), 1834, 11:1-19.

1835 J.Liouville. Memoire sur l usage que l on peut faire de la formule de Fourier, dans le calcul des differentielles a indices quesconques. J. Reine Angern Math. (Grelle s Journal) 1835, 13:219-232.

1835J.Liouville. Memoire sur le changement de la variable dans le calcul des differentielles a indices quelconques. J. Ecole Polytech., 1835, 15(24):17-54.

Дано определение дробной производной (с.22) в виде

бесконечного ряда = 2 Ame m , где и — число целое

или дробное, положительное или отрицательное, реальное или мнимое.

1839 S.S. Geatheed. On General Differentiation No.1. Cambridge Math. J., 1839, 1:11-21. Здесь же есть еще две работы: On General Differentiation No II. Cambridge Math. J., 1839, 1:109-117 и On the Expansion of a Rubction of a Binomial. Cambridge Math. J, 1839, 1:67-74.

В первой из двух статей Geatheed использует определение Лиувилля для формулы дробного дифференцирования. В третьей статье он формулирует теорему Тейлора с использованием дробных производных.

1839 P Kelland. On General Differentiation. Trans. Roy. Soc. Edinburg 1838, 14:567-618.

1841 D.F. Gregory. Examples of the Processes of the Differential and Integral Calculus. 1-st ed., 1841, p. 350; 1846, 2-nd ed., p. 354. J.J. Deighton. Cambridge, England.

Gregory был, вероятно, основателем того, что затем названо операционным исчислением. Он получил решение

d2 z 1 dz

уравнения теплопроводности , 2 = _ ~Т с использованием

dx a dy

символического оператора z = Aeye + Be ув , где в = a (d/ dx). Эта форма была позднее использована Хевисайдом.

1842 A. de Morgan. The Differential and Integral Calculus Combining Differentiation, Integration, Development, Differential Equations, Differences, Summation. Calculus of Variations... with Applications to Algebra? Plane and solid Geometry and Mechanics. Baldwin and Cradock, London, 1842.

1846 P Kelland. On General Differentiation. Trans. Roy. Soc. Edinburgh, 1846, 16:241-303.

Постулируется принцип, что алгебраические формулы остаются верными, если алгебраические символы заменить на такие же символы операторов.

1847 B. Rimann. Versuch einer Auffassung der Integration und Differentiation. Gesammelte Werke, опубликовано впоследствии в 1876 г. на с. 331-344; во втором издании в 1892 г. на с. 353-

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 7 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 1.

366, а также в Collected Works (H.Weber, ed.), pp. 354-360. Dover, New York, 1952.

Rimann при обобщении ряда Тейлора предложил определение интеграла дробного порядка в виде

1

y(t )dt

, x > а.

r(a)J(Х — t)1-а ' здесь нужно отметить,

и Риман и Лиувилль имели дело с так называемыми дополнительными функциями, возникающими при попытке трактовать дробное дифференцирование порядка а как дробное интегрирование порядка —а.

1848 CJ. Hargreave. On the Solution of Linear Differential Equations. Philos.Trans. Roy. Soc., London, 1848, 138:31-54.

Эта статья замечательна тем, что в ней впервые появился обобщенный закон Лейбница для п-ой производной произведения (ui)((>), где п — произвольное число.

1848 W Center On the Value of (d/d£fX', when в is a fbsitive Proper Fraction. Cambridge andDubin Math. J, 1848, 3:163-169.

Используя выражение X для обозначения константы, W Center получает дробную производную от X. Он точно установил разницу между двумя системами дробных операторов.

В системе Peacock имеет место равенство

d_)° m Г(т +1) т_в;

dx) x r(m-в +1) ’ 9 > 0

правая часть которого при m = 0 конечна.

В системе J. Liouville имеет место равенство

d_Y -т (-l)r(m + в) _в_т

dx J x Г(т) x , в > 0 m + в >0,

правая часть которого при m = 0 равна нулю.

1848 W Center. On Differentiation with Fractional Indices and on General Differentiation. Cambridge and Dublin Math. J., 1848, 3:274-285.

1849 W Center. On Fractional Differentiation. Cambridge and Dublin Math. J., 1849, 4:21-26.

1850 W Center. On Fractional Differentiation. Cambridge and Dubin Math. J., 1850, 5:206-217.

1855 J.Liouville. Su rune formule pour les differentielles a indices quelcoques a l occasion d un Memoire de M. Tortolini. J. Math. Pures AppL, 1855, v 20, страницы не пронумерованы.

Дополнение Лиувилля к обсуждению представления дробных производных в рядах.

1859 H.R. Greer. On Fractional Differentiation. Quart:. J. Math, Oxford Set, 1859, 3:327-330 (1858-1860).

Используя в качестве отправной точки разложение Лиувилля DV2fX = mAf X, H.R. Greer получил выражения для полупроизводных sinx и cosx.

1861 Z. Wastchenxo. On Fractional Differentiation. Quart:. J. Math, 1861, 4:237-243. Дополнение к формулам, выведенным Greer.

1865 H. Holmgren. Om differentialkalkylen med indices af havd nature som helst. KongEga Swenska Ventenkaps-Akademiens HandEngar, 1865, 5(11):1-83.

Holmgren использует интегральное представление, полученное Риманом в 1847 г. в качестве исходной точки для дробного дифференцирования. Заслуга Х. Холмгрена состоит в том, что он первым отказался от дополнительных функций и впервые сознательно предложил рассматривать дробное дифференцирование как операцию, обратную дробному интегрированию. Работы Холмгрена были малоизвестны

современникам и последующим поколениям математиков. Совершенно независимо и практически одновременно с ними появились работы А.В. Летникова, основанные на тех же позициях. Следует констатировать, что и работы А.В. Летникова оказались практически неизвестными за пределами России.

1867 H. Holmgren. Sur l integration de l equation differentielle {a2+b2x+c:X2)d2j/dX! + (ia1+b1X)dy/dx + ay = 0.

KongEga Svenska Ventenkaps-Akadamiens, 1867, 7(9):58 (1867-1868).

1867 A.K. Grunwald. Uber “begrenzte” Derivationen und deren Anwendung. Z. Math. Phys, 1867, 12:441-480.

В этой работе А. Грюнвальд развивает подход к дробному интегродифференцированию,

основанный на распространении формулы Б. Римана

f99 (x) = lim

(if )

D f (x ) = lim

h на случаи нецелых п:

(f )))

h^0 ha

Необходимо отметить, что приведенные в статье рассуждения являются достаточно формальными. Обстоятельное и строгое построение теории дробного интегродифференцирования принадлежит А.В. Летникову и было получено практически одновременно и совершенно независимо от работ А. Грюнвальда.

1868 А.В. Летников. Теория дифференцирования с произвольным указателем. Матем.сб., 1868, 3:1-68.

1868 А.В. Летников. Об историческом развитии теории дифференцирования с произвольным указателем. Матем. сб., 1868, 3(2):85-112.

1873 А.В. Летников. К разъяснению главных положений теории дифференцирования с произвольным указателем. Матем. сб, 1873, 6(4):413-445.

1873 J.Liouville. Memoire sur l integration des equations differentielles a indices fractionnaires. JEcole Poitech, 1873, 13(25):58-84.

1874 А.И. Летников. Исследования, относящиеся к теории

интегралов вида 1(x- u)’ 'f (“)d“. Матем. сб, 1874, 7(1):5-205.

1880 A.Cayley. Note on Riemann s paper. Math. Ann, 1880, 16:81-82.

Ссылаясь на статью Римана (1848), A.Cayley отмечает: “Наибольшая трудность в теории Римана, мне кажется, состоит в интерпретации частного решения, содержащегося в бесконечных произвольных постоянных. Вопрос существования частного решения вызывает большое смущение. Liouville и Peacock пришли к неверным результатам, а Риман безнадежно запутался в своей концепции частного...”.

ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЙ ЭТАП РАЗБИТИЯ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Первый подробный обзор исторического развития дробного исчисления был выполнен А.В. Летниковым [29]. Эта работа вошла составной частью в его магистерскую диссертацию и приводится ниже почти без изменений.

Сущность почти всякого нового открытия, действительно расширяющего область чистого математического анализа, состоит всегда в обобщении одной из основных идей, которая до того времени

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

8

оставалась в узкой сфере применения, но силой гениальных размышлений одного из великих естествоиспытателей получала новые приложения и открывала обширное поле для новых исследований. Можно сказать без преувеличения, что идея постепенного обобщения основных понятий проникает всю науку чистой математики, начиная от арифметических начал, обобщаемых в алгебре, до самых трудных теорий новейшего анализа. В этом обзоре будет обращено внимание на обобщение понятий, лежащих в основании почти всех математических исследований этого периода, а именно понятий о дифференциале и производной функции. Это потребует привести некоторые детали по данному предмету.

Для всякой данной функции у от независимого переменного x можно составить ряд производных

dy d2 y d3 y

У’-Т’-ГТ’-ГТ’-

dx dx dx

Этот ряд функций может быть продолжен в противоположную сторону в виде ряда повторных

2 3

интегралов Jydx, Jydx2, Jydx ,...

Эти интегралы иногда изображаются также в виде производных с отрицательными порядками, т.е. d~'y y d-3y

dx 1 ’dx 2 ’ dx 3 ’ ^

С учетом этих обозначений можно записать ряд

функций, продолжающийся в обе стороны

d 2y d~ly dy d2y d3y

dx-2 ’ dx~l ’ dx’ dx2 ’ dx ’ (А)

В этом ряду каждый член есть производная функция

предыдущего члена. общий член этого ряда есть (d"y/dx), где n есть число целое положительное или отрицательное; отсюда вытекает вполне определенное понятие о производной функции целого порядка положительного или отрицательного. Подобно тому, как в алгебре интерполирование ряда целых степеней

-3 -2 -1 П 1 а2 а3

• • • а , а , а , ^а, а, ^а, а^, • • •

приводит к чрезвычайно важному понятию о дробной и, вообще, о произвольной степени числа а мы можем в анализе предложить себе вопрос об интерполировании ряда производных (А) и искать, что может означать производная дробного или вообще произвольного порядка. Производную порядка p от функции fx) будем в дальнейшем обозначать символом Dpfx). Кроме того необходимо выяснить, что значит интерполировать ряд (А) в самом общем смысле слова? Для этого рассмотрим функцию)/ =ХД и положим, что мы имеем общую формулу производной целого порядка от этой функции Dfx) = ф(п X). Допустим, что это выражение есть общий член ряда (А), так что этот ряд может быть записан в следующем виде

• ф(-3,х), ф(-2х), ф(-1х), ф(0х), ф(1,х), ф(2,х), ф(3,х),— Тогда интерполирование этого ряда означает нахождение функции фр X) более общего вида, чем ф(п, x), которая при p, равном целому положительному или

отрицательному числу n, обращалась бы в функцию ф(п, x), т.е. чтобы ф(п, X) = ф(п, X). Вне этого условия вид функции ф может быть произвольным. При этом необходимо учесть следующее условие.

Обобщая понятие об операции дифференцирования, необходимо сохранить основные свойства этого действия, обусловливающие однообразное употребление символа Dп при всех возможных величинах показателя p. Эти главные свойства операции D выражаются двумя равенствами:

Dp(u + w) = Dpu + Dpw и DpD qu = Dp+qu.

Таким образом, если интерполируя, как выше сказано, ряд производных для двух функций fx) и F(x), мы получили бы решения Dpf(x) = фp, x) и D pF(x) = n(p x), то необходимо должно быть

Dp{fxx) + F(x)} = фp, x) + np, x) и D^(q,x) = ф(р + p, x).

Поставив таким образом вопрос об определении значения производной с произвольным показателем, можно думать, что этот вопрос является весьма неопределенным, и следовательно, необходимо условиться о том, как его ограничить так, чтобы сделать его решение возможным для всех функций.

Историческое изложение развития понятия о дифференциале произвольного порядка покажет нам, на каких основаниях думали решить этот вопрос различные математики, им занимавшиеся.

Идея производной дробного порядка столь проста и естественна, что ее не могли не заметить первые изобретатели дифференциального исчисления. Действительно, еще Яков Бернулли в одном из своих писем к Лейбницу по поводу теоремы о производной от произведения двух функций, задал ему вопрос о том, какой вид будет иметь эта теорема при дробном порядке дифференцирования. Лейбниц в письмах к Валлису и И.Бернулли сделал несколько замечаний о возможности рассматривать иногда дифференциалы и производные дробных порядков. Сущность этих замечаний состоит в формуле, которую он дает для дифференциала дробного порядка показательной функции.

Положим в ряду (А), что у = emx. В этом случае этот ряд, если при интегрировании отбросить произвольные постоянные, примет вид

1 mx 1 mx 1e

—e • —e •

m m2 m

mx mx mx 2 mx 3 mx

e ,me ,me ,me ,

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию и поэтому вопрос применения его для дробной производной может быть решен очень просто. Формула Dnemx = №f’emx имеет место при любом целом п положительном или отрицательном. Ничто не препятствует принять эту формулу общей, т.е. положить по определению, что производная произвольного порядкаp от функции (О будет иметь вид Dpemx = m>e!mx\ Этим простым замечанием Лейбниц и ограничился. При первых быстрых успехах нового анализа

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 9 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 1.

проблема дробных производных не привлекала к себе внимание математиков. Лишь Эйлер коснулся однажды вопроса о дифференциалах произвольного порядка, но только мимоходом, не придавая сделанным им замечаниям особой важности. В частности, им была получена формула производной произвольного порядка от степени.

Способ получения этой формулы сводится к следующему. Возьмем функцию xm и

продифференцируем ее n раз, после чего получим

dnxn

dxn

= m(m - l)...(m - n + l)x”

Эту формулу можно также представить в виде

d’xm = r(m+1)

dxn r(m - n +1) ,

где Г( ) — гамма-функция, обладающая следующим свойством

Г(т + 1) = m(m — 1).. .(да — n + 1)Г(да — n +1).

В этой формуле число т не может быть произвольным, так как аргументы в функциях Г(т + 1) и Г(да — n + 1) должны быть числами положительными, иначе гамма-функции станут бесконечно большими. Необходимо также добавить, что предыдущая формула справедлива и при n целом отрицательном. Действительно, отбрасывая при интегрированиях произвольные постоянные, мы находим:

7-и m .y.m+n

dx— (m + l)m + 2)...(m + n) ,

но, поскольку Г(да + n + 1) = (m + 1)(m + n— 1).(m + 1) Г(т+1), то эту формулу можно записать в виде

dr(m +1)

dx~n Г( + n +1) .

Эта формула получается из предыдущей путем замены n на —n. Таким образом, можно сказать, что если в ряду (А) сделать заменуy = X, то общий член этого ряда будет иметь вид

d"xm = Г(п +1)

dxn Г( - n +1) ,

где n есть число целое положительное или отрицательное, при условии, что т + 1 > 0 и m — n + 1 > 0, которое необходимо для того, чтобы числитель и знаменатель в последней формуле сохраняли конечные значения.

Эйлер предлагает принять эту формулу за общее выражение производной от степени при n не только целом, но и дробном положительном или отрицательном. Таким образом, сделав m = 1 и n = (1/2), он находит, что

d1/2 x _44x

~d£pr '

Эйлер не дает никаких указаний на то, как от этого определения производной от степенной функции можно

перейти к определению производной произвольного порядка всякой функции.

Вслед за Эйлером отдельные замечания о производных произвольного порядка можно найти в работе Лапласа, но они мало что дают для выяснения проблемы производной дробного порядка для произвольной функции.

С более общей точки зрения эта проблема рассматривается в работе Фурье. Приводя знаменитую теорему, называемую его именем и выражаемую им формулой

1 +ГО +0>

f (x) = — I f (z)dz Icos ( — Pz)dp

—ro

он замечает, что, продифференцировав обе части этого уравнения i раз, мы будем иметь

df ( х)

= 2“ |f (z)dz Ip cos

r

px - pz + i-

. n

V

dp.

dx1 2n

Так как в правой части этого равенства показатель i входиткаквеличина,томыможемусловитьсяприписывать i в этой формуле произвольные положительные и отрицательные значения. Следовательно, предыдущая формула является общим выражением производной произвольного порядка от какой бы то ни было функции. Фурье совсем не останавливается на развитии этого данного им определения, которое в его работе осталось лишь отрывочным замечанием, ничем не связанным с его другими исследованиями. Определение Фурье есть самое общее и почти решило бы проблему общего дифференцирования, если бы не содержало множество непреодолимых трудностей.

Известно, что дифференцирование и интегрирование определенных интегралов с бесконечными пределами ограничено многими исключениями, и это в особенности необходимо сказать о формуле Фурье, которая, как известно, не может быть дифференцирована без всяких ограничений, к чему присоединяется еще неудобство представления всякой производной в виде двойного интеграла, в котором произвести хотя бы одно интегрирование часто оказывается невозможным.

Одним из первых математиков, обративших серьезное внимание на проблему дифференцирования произвольного порядка, был Лиувилль. С 1832 года им был опубликован целый цикл работ, посвященных изложению начал и приложений новой теории общего дифференцирования, относительно которой до него было сделано только несколько отрывочных замечаний, хотя и очень ценных, но не совершенно ясных. Две главные работы Лиувилля помещены в 21-й тетради журнала Политехнической школы: в первой из них, ограничиваясь установлением начал нового исчисления, автор указывает на многочисленные приложения, которые оно может получить при решении многих

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

10

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

важных задач геометрии, механики и математической физики; вторая работа представляет собой развитие теории нового исчисления с приложением его к дифференцированию разного рода функций.

Ввиду важности работ этого ученого, остановимся на определении, которое дает Лиувилль для производной произвольного порядка.

“Я предполагаю, — говорит он, — что у является функцией x и разлагаю эту функцию в ряд следующего вида А; gm1x+A2en2x+Aym3x или для краткости XAjnx. Положив это, я называю производной у порядка p функцию d'y

=14

p mx

mFe

dxp ^ ' (!)

Иногда, и в особенности когда p отрицательно,

я обозначаю эту производную через J ydx р и называю ее интегралом порядка —р”. Приведя это определение, которое применимо для любого показателя p, действительного или мнимого, Лиувилль присоединяет к нему следующее размышление: “Это определение имеет очень большое значение: оно является ключевым звеном в формулировании, с опорой на прочный теоретический фундамент, теории нового исчисления, т.к. не достаточно создать случайные обозначения и произвольные условные знаки, нужно, чтобы эти условные знаки и обозначения отражали сущность вещей, чтобы они имели какую-то пользу и чтобы все те операции, которые обозначают, по праву назывались исчислением. Условные знаки играют главную роль, поскольку весь анализ, если можно так выразиться, является наукой об условных знаках. Таким образом, после тщательного исследования я прихожу к заключению, что уравнение (1) представляет собой истинное определение производной произвольного порядка, а сами производные, без которых невозможно обойтись, являются неотъемлемой частью

математической теории”.

Эти слова показывают, что Лиувилль рассматривал данное им определение как единственно возможное, и действительно, в другом своем мемуаре он прямо говорит: “Мне кажется, что невозможно получить точное и полное представление о том, что такое производная произвольного порядка, не используя разложение функций в степенные ряды”.

В самом деле, внимательное изучение общего дифференцирования показывает, что определение Лиувилля есть глубоко обдуманное положение.

Однако, как было отмечено А.В. Летниковым, оно имеет существенный недостаток: оно неприложимо ко всем возможным функциям, и из него не видно, к каким именно функциям оно может быть применено. Действительно, это определение предполагает

возможность разложения любой функции в показательный ряд. Лиувилль лишь показывает на примерах, каким образом это разложение можно выполнить в различных случаях. В частности, полагая ? = % мы можем преобразовать функцию у = F(x) в функцию % а именноy = F(logz), которую можно будет разложить в сходящийся ряд по степеням x в виде F(log%) = ХА %m, откуда у = FA.Jmx. Очевидно, однако, что разложение функции F(log%) по степеням % не всегда возможно. Например, применение разложения Маклорена по положительным степеням % требует, чтобы при x ^ * все производные функции F(x) обращались в нули. Действительно, последовательные производные функции F(log%) имеют вид

F'(logz) F"(logz)-F'(logz)

2

и если F'(logZ), F"(log%), ... не обращаются в нули при % = 0, то все коэффициенты ряда Маклорена стремятся к бесконечности. То же можно сказать о возможности разложения функции F(log%) по отрицательным степеням %, ибо, заменяя % на (1/%), получим функцию F(-logz), для которой справедливы приведенные выше замечания. Таким образом, уже по самому определению производной произвольного порядка, данному Лиувиллем, можно утверждать, что его анализ приложим только к функциям, все производные которых обращаются в нуль при x ^ да, но вместе с тем ни из чего нельзя заключить, что это условие, ограничивающее класс функций, было достаточным или даже необходимым.

Первое затруднение Лиувилль встретил при отыскании производной произвольного порядка от степенной функции. Действительно, функция X не удовлетворяет упомянутому выше условию, если показатель степени m есть число положительное. Лиувилль начинает поэтому с рассмотрения функции (1/Х), где m положительно. Ход его рассуждений вкратце приводится ниже.

Возьмем следующее известное равенство:

1

1

п-1

dz

xm Г(т) 0 .

Правую часть этого равенства можно рассматривать как особого вида разложение функции (1/xm). Действительно, разлагая этот интеграл на бесконечно малые элементы, его можно представить в виде суммы XAfnx, где все коэффициенты Ап будут бесконечно малыми. Поэтому, применяя определение производной произвольного порядка р, находим d(1/ xm) 1 Ю, ,

Jе-“ (-z)'

dz

dxp Г(m) 0 .

С помощью замены переменных xg = t получаем равенство

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 11 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 1.

dp (l/ х" ) (-l)p

-t u.p+m-1

dxp Г(т )x

m+p

\e t

dt

которое может быть представлено в виде

d (1/xm )_(-1)р Г(т + p)

dxp _ Г(т )хт+p '

Полученная формула не является общим выражением производной от степенной функции, поскольку Лиувилль ограничивает в первом из своих мемуаров рассмотрение функции гамма условием, чтобы ее аргумент был положительным. Это объясняется тем, что на то время ему еще не было известно определение гамма-функции, данное Лежандром и Гауссом. Таким образом, в этой формуле предполагается, что не только т > 0, но и m + p > 0. Если же m + p < 0 или m < 0, то числитель или знаменатель в этой формуле обратятся в бесконечность и поэтому для получения производной dp(1/xd)/dxp Лиувилль был вынужден прибегать к особого рода соображениям о так называемых дополнительных функциях. Однако эти функции не приводят к общей формуле производной произвольного порядка от степенной функции.

В 1834 г. Пинкок в отчете о современном состоянии анализа, признавая высокую ценность исследований Лиувилля, указал на недостатки его способа получения производной от степенной функции. Пинкок полагал, что было бы рациональнее при построении теории общего дифференцирования принять за основную степенную функцию, т.е. интерполировать ряд (А) для y = xd и, припоминая по этому случаю формулу Эйлера, которую он пишет в более общем виде

dpxm = f (m +1) ^p

dxp f (mm - p +1) ’

где под f разумеется функция, определяемая свойством f(x +1) = fx), предлагал принять эту формулу, как основание для определения производной произвольного порядка.

Впрочем, Лиувилль и сам ясно видел слабые стороны своих рассуждений. В работе о дополнительных функциях он указывает на то, что формулу для dp(1/ xd)/dxp, данную им в первых своих работах, можно рассматривать общей за исключением случаев, когда m или (m + p) есть число отрицательное или нуль. В этих случаях, как он говорит, функция dp(1/>d)/dxp перестает быть алгебраической. При этом Лиувилль предлагает при m положительном под гамма-функцией понимать известный интеграл Эйлера, а при m отрицательном величину, определяемую из уравнения

Г (да +1) Г (да + 2)

т т (m +

С помощью этого уравнения всегда можно привести Г(т) к той же функции при положительном аргументе, т.е. к интегралу Эйлера 2-го рода. В нескольких словах этот

Г(т )

прием можно пояснить следующим образом. Пусть m > 0, но m + p < 0 и положим, во-первых, что (m +p) заключено между 0 и —1, тогда m + p +1 > 0 и можно записать, что

dp+1 (1/ х" )_(-1)p+1 Г( + p +1)

dxp+l ~ Г(т )хт+р+1 ’

C'fv'V -1- 1 / Г V I Л

Отсюда после однократного интегрирования получаем

dp (1/xm) _(-l)p Г(да + p +1)

dxp (m + p)T(m ')xm+p

Однако, по принятому условию, T(m + p + 1) = (m + p)r(m + p) и, следовательно,

d (1/xm) _(-l)p Г(да + p)

dxp T(m )xm+p ’

что согласуется с общей формулой, несмотря на отрицательную величину (m + p). Совершенно тем же способом можно доказать, что та же формула остается верной, когда (m + p) заключено между —1 и —2, между —2 и —3 и т.д. при произвольном отрицательном (m + p).

Теперь пусть т < 0 и т заключается между 0 и —1, тогда m + 1 > 0 и

d (1/хда+1 )_(-1)p Г(да + p +1) dXp “ г(да + 1)хда+p+1 ’

откуда, после однократного интегрирования, получаем

dp (l ( xm ) (-l)pmr(m + p +l)

dxp (m + p)r(m + l)xm+p

или в соответствии с принятыми условиями

dp (1/x" )_(-l)p Г (m + p)

dxp _ Г(т )xm+p ’

что также согласуется с общей формулой.

Подобным же образом можно доказать, что общая формула будет справедлива, когда m будет заключена между —1 и —2, между —2 и —3 и т.д. Стало быть, заключает Лиувилль, последнее равенство дает производную от степенной функции во всех случаях.

Однако, как замечает А.В. Летников, против этого заключения можно сделать одно возражение. Если m + p <0, но m + p + 1 >0, то, чтобы проинтегрировать один раз или, что все равно, продифференцировать с порядком —1 выражение dp+1(1/xm)/dxp+1, мы, согласно с общим определением производной по Лиувиллю, должны сначала представить это выражение в виде показательного ряда и потом составить из него новое показательное разложение по известному правилу. Это разложение будет иметь следующий вид

dp+1 (1/ х" ) (-1)P+1 л

----= К / , fОxz z"+pdz.

dxp Г(т) 0

Отсюда производная порядка —1 должна иметь вид

dp (l/ х" ) (-l)p ”

dxp Г (да )

О ^ p-ldz.

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

12

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Это последнее выражение составлено не через обыкновенное интегрирование, но просто по правилу, указываемому определением.

Так как m + p — 1 < —1, то вторая часть равенства обращается в бесконечность и поэтому в рассматриваемом случае будем иметь dp(1/X)/dxp ^ *. Этот результат подтверждается и совершенно строгим анализом, что возбуждает сомнение в общности предложенной Лиувиллем формулы.

При полном развитии общей теории дифференцирования, разработанной Лиувиллем, появляются затруднения, свойственные той постановке вопроса о производной произвольного порядка, которое вытекает из данного Лиувиллем основного определения. Эти затруднения связаны с определением вида так называемых дополнительных функций. Под этим наименованием он понимает некоторые величины, которые иногда должны быть прибавлены к выражениям производных, чтобы придать этим выражениям надлежащую общность. Известно, например, что если n есть положительное целое число, то интеграл порядка п или, что все равно, производная порядка —п имеет дополнительной функцией следующее выражение: C( +Cx + — + Сп 1X’-1, где C, C1,... C 1 — произвольные постоянные.

Очевидно, что производная порядкар от какой-либо функции x должна иметь, в качестве дополнительной, функцию, для которой производная порядка —р будет равна нулю. Так что вопрос о дополнительных функциях есть вопрос об интегрировании уравнения d рф/dxp = 0, где р есть произвольное число. Лиувилль доказывает двумя разными способами в двух разных работах, что интегралом последнего уравнения будет целая функция ф = AQ + Ax + ... + AyX", степень которой m есть число конечное, но произвольное, а коэффициенты — произвольные постоянные. По мнению большинства математиков, доказательство этой теоремы, приведенное в работе Лиувилля в 1832 г., является неудовлетворительным. В работе о дополнительных функциях Лиувилль показывает, что теорема о дополнительных функциях есть необходимое следствие вышеприведенной общей формулы производной от степенной функции. Как указывает А.В. Летников, это было бы очевидно, если бы упомянутую формулу можно было признать общей.

Нетрудно видеть, что все формулы Лиувилля имеют именно только такую степень общности, при которой дополнительная функция может быть принята равной нулю. Следует отметить, что Лиувилль придавал предложенным им производным более общее значение, чем они имеют на самом деле.

В 1839 и 1840 г. Келланд опубликовал в записках Эдинбургского Королевского общества две работы, посвященные теории общего дифференцирования.

Автор признает величайшую важность нового направления в математическом анализе и обращает на нее внимание ученых, полагая, что ее разработка даст науке больше результатов, чем привлекавшая всех в то время теория эллиптических функций. Необходимо отметить, что работы Келланда заключают в себе мало существенно нового. Он занимался преимущественно нахождением производных произвольного порядка простейших функций, принимая в качестве основной теоремы равенство D pemx = m pem'x. Автор приводит следующее доказательство этого равенства. Положивуу = imx, имеем Dy = my и Dp+1y = mDpy. После интегрирования этого равенства получаем Dpy = Cemx. Для определения произвольного постоянного C примем, что р = (r/q), тогда, взяв q раз производную порядка (r/q), найдем: Dr/qDr/q.Dr/qy = D ry = 0(TX = mr(TX, откуда mr = Cq, C = m(r/q), и, следовательно, Dpemx = m^O.

Келланд сохраняет для производной от степенной функции ту самую формулу, которая была дана Лиувиллем и разбирает подробно все ее частные случаи; дает выражение производных от логарифма и тригонометрических функций, несколько исправляя формулы Лиувилля, и, наконец, делает несколько замечаний, впрочем, не совсем ясных, о разложении функций в ряды.

В 1846 г. Келланд снова вернулся к теории общего дифференцирования и опубликовал в записках Эдинбургского Королевского общества обширный труд, в котором он предлагает принять формулу

dpxm _ (-1)Р Г(р - m)

dxp

Г(т )

.p-m

за основную и вывести из нее уравнение D pemx = mpemx, но едва ли его анализ можно признать вполне строгим. Весь этот труд и еще другой, напечатанный позднее, посвящен главным образом интегрированию уравнений, содержащих производные дробного порядка.

Профессор Тарди в 1858 г. опубликовал небольшую работу о производных дробного порядка. В этой работе, ссылаясь на Лиувилля, который в одной из позднейших записок об этой теории выразил намерение разработать ее на совершенно иных основаниях, автор предлагает новый способ получения главных формул теории общего дифференцирования. Исходным пунктом его анализа является следующее равенство, которое для любого целого и положительного p легко может быть доказано путем интегрирования его по частям

— q(x )---— q>'(x ) +

р V ' p +1 V '

j"^(x )dxp =

x

Г(Р )

+

1

x

y"(x )-...

1-2 p + 2 ' v ' J (а)

Если число p считать как положительным, так и отрицательным, то эта формула будет общим выражением производной порядка —р для любой функции. Приняв в

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 13

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 1.

этой формуле ф(х) — Хт, легко найти, что

Р Г(т +1) +

\ xmdxp =xm+p.

Г(т - p +1)

Эту формулу, которая не отличается от формулы Эйлера, автор принимает за общее выражение производной произвольного порядка от степенной функции. Это приводит его к заключению, что выражение любой производной произвольного порядка p имеет дополнительную функцию вида

A -

, 1 ч х

г(- р )

р-1

A

г(-р -1)

p-2

+ ...,

содержащую неограниченное число членов, где А1, А, ... произвольные постоянные.

А.В. Летников здесь отмечает, что выбор формулы (а), принятой автором за основную, представляется неудачным, во-первых, потому, что в результате этого любая производная представляет собой бесконечный ряд, а во-вторых, и главным образом, потому, что равенство (а) существует не при всяком целомр, а только при целом и положительном, и следовательно не выполнимо при отрицательном значениир. Одним словом это выражение не может быть принято, как интерполирующее ряд (А), потому что оно не дает всех членов этого ряда.

В 1865 и 1866 годах вопрос о дифференцировании с производной произвольного порядка привлек внимание известного английского математика Самуила Робертса. Этот ученый ставит определение произвольного порядка в зависимость от решения задачи об интерполировании рядов вообще и, в особенности, от представления функции ф(х + h) в виде бесконечного ряда, простирающегося в обе стороны, т.е.

Арр + Арр+1 + ... + Bpp + Bpp-1 + ... где p есть произвольное число.

Автор начинает свой анализ с довольно смелого обобщения формулы Ньютона. Положив m = р + г, запишем (1+x)m в виде

(1 + X)” = Хр 1 + — 1 (1 + x) .

_ V x у

Теперь, разлагая сомножители правой части уравнения в ряды, мы найдем, перемножая эти разложения, что коэффициент при Х будет равен

1+p ■ r+pAA. АА+...

1 ■ 2 1 ■ 2

При положительных значениях? и r эта сумма может быть представлена в виде

Г(т +1)

Г(р + 1)Г(т - p +1)

В таком же виде получаются коэффициенты при других значениях r, так что будем иметь (1 + Х)т = A1xp + Ax?+1 + ... + B1xp-1 + Bp?-2 + ... .

Обобщая это замечание, автор находит, что при любом m формула Ньютона может быть представлена в виде

к=+<»

(1+-у = 1

Г(т +1)

p+к

к=-„ Г ( + к + 1)Г(т -p - к +1) ,(b)

где k есть число целое положительное или отрицательное, а р — произвольное.

Применив последнее равенство, Робертс приходит к формуле Эйлера для выражения производной от степенной функции. Именно, приняв, что dpXm/dxp должно иметь вид сХ"р, где с есть постоянный коэффициент, автор пишет тождество d

(1 + х)m = edx ■ xm.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, мы получим

dpxm /dxp = Г(т +1) ^-p

Г(р +1) Г(р + l)r(m - p +1) ’

откуда следует формула Эйлера, принятая Пикокком d'X = r(m +1) xm_ p.

dxp r(m - p +1)

Здесь p можно считать произвольным, поскольку форма разложения (1 + x)m имеет место при любом m и р.

Приняв эту формулу за основу, представим функцию ф(х + h) в виде ряда

А^Х + Apf21 + ах+2 +■■■ + вх1 + BX-2 + . .

Робертс предлагает принять в качестве определения производной произвольного порядка следующее равенство dpq(x )/ dxp

г(р+1) = 1-

Чтобы получить разложение ф(х + h) в вышеприведенном виде, можно в начале разложить ф(х + h) по целым степеням (х + h), а затем каждый член ряда по формуле (b).

Предлагаемое Робертсом разложение для (1 + x)m едва ли может быть принято, так как оно представляет сумму двух рядов, из которых один, как правило, будет расходящимся; притом же для вывода самой формулы автор перемножает два бесконечных ряда, из которых один сходящийся, а другой расходящийся. Наконец, прием, с помощью которого он выводит формулу производной от степенной функции, совершенно произволен и нисколько не обоснован формулой (b).

В своем обзоре работ по обоснованию общего дифференцирования, которые были опубликованы к 1867 г., А.В. Летников останавливался исключительно на главной идее каждой из них, относясь к ней критически, с тем, чтобы обнаружить перед читателем, чего именно недоставало в построениях разных ученых, чтобы можно было считать новую теорию поставленной на строго научные основы. Он отмечает, что большая часть математиков, занимавшихся рассматриваемым вопросом, считали обобщение понятия дифференциала весьма важным и необходимым шагом в

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

14

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

науке, от которого можно ожидать многих, чрезвычайно полезных результатов. однако к 1867 г. даже само определение производной произвольного порядка не было установлено совершенно прочно, и можно думать, что именно в этом заключался коренной недостаток всех построений новой теории, которая поэтому и не привлекала к себе ученых, несмотря на заманчивость основной мысли и ожидаемые, несомненно важные последствия развития этой теории. Наиболее свободная от возражений постановка вопроса бесспорно была сделана французским математиком Лиувиллем. Ему принадлежит также честь первого обстоятельного исследования этой проблемы. Большая часть формул, впервые полученных Лиувиллем, подтверждается весьма строгими доказательствами, однако автор часто приписывает этим формулам общность, которой они не имеют на самом деле.

Из последних работ на тот момент времени А.В. Летников особо отмечает работу А. Грюнвальда, в которой вопрос о производной произвольного порядка решается, как отмечает А.В. Летников, на совершенно строгой основе.

Грюнвальд принимает исходным пунктом своего исследования общее выражение производной целого и положительного порядкар, в соответствии с которым

dp f (x) r.. f (X) - (f)f (X - h) + (P)f (X - 2h) - - + (-1)” (P)f (X - nh)

dx” ='m rp )r p) h

где символы 11 И2 \означают биномиальные коэффициенты и n есть произвольное целое число, большее или равное р.

Справедливость требует заметить, что на эту мысль указывал также Лиувилль, который показал, что данное им определение производных произвольного порядка подчиняется тому же закону образования, если только, в случае когда р не есть число целое и положительное, представить числитель в предыдущем выражении состоящим из бесконечного числа членов. Более того, Лиувилль утверждал, что общее определение производной, представляемое последней формулой, может быть принято основным при построении теории дифференцирования произвольного порядка. К сожалению, он не остановился на развитии этих идей. Мало того, ему казалось, как он сам говорил, что такое определение производной не вытекало бы из настоящего источника дифференциалов с дробными указателями.

А.В. Летников отмечает, что определение производной произвольного порядка, на котором остановился Грюнвальд, является более предпочтительным: “Анализ, предлагаемый мною

для развития главных положений новой теории, кажется мне более свойственным предмету, чем тот, которым пользуется почтенный немецкий ученый. Я счел необходимым остановиться на выводе некоторых формул, относящихся к дифференцированию различных простейших функций, — имея ввиду

показать, какое отношение к новой теории имеют подобные же формулы, которые были даны в разное время различными учеными, о трудах которых я упоминал в выше приведенном историческом обзоре. Из представленных мною выводов следует, что большая часть формул, полученных Лиувиллем, Келландом, Тарди, Робертсом и другими, действительно имеют место, но лишены той общности, которую предполагали в них упомянутые математики.

Сделаю в заключение краткий очерк содержания моего исследования. Я показываю, во-первых, что приведенное выше общее выражение производной целого и положительного порядка р может также служить прир целом отрицательном общим выражением кратного интеграла порядка —р от функции fx), если только согласимся ограничить известным образом общность понятия об интеграле. Таким образом, мы получаем из одной общей формулы не только обыкновенные производные различных порядков, но и все кратные интегралы. Предложение это показалось мне не лишенным интереса и независимо от его отношения к теории общего дифференцирования. Кроме того с точки зрения вопроса о производной с произвольным указателем, как вопроса об интерполировании ряда (А), необходимо было показать, что предыдущее выражение производной порядка р действительно может быть рассматриваемо как общий член этого ряда. Все это побудило меня поставить упомянутое предложение независимо от общей теории, из которой оно вытекает, впрочем, как частный случай.

Вывод главных формул (I) и (II) я основываю на особой лемме, которая, как мне кажется, может быть полезна и в других случаях. Получая эти формулы из непосредственного анализа общего выражения производной порядка р, избегаю необходимости доказывать, что предел, которым определяется эта производная, всегда существует и имеет вообще величину конечную. Формула (I) очевидно имеет место не только когда действительная часть (р) < —1 (как полагает г. Грюнвальд), но и вообще при действительной части (р) < 0; равным образом, во (II) формуле можно полагать действительную часть (р) > 0, а не > —1, и под m разуметь число целое, непосредственно меньшее действительной части (р). Это небольшое недоразумение произошло, как кажется, от того, что д-р Грюнвальд полагает, что

X

J ( x - z )п f (x)dx

Xo

имеет величину конечную только когда действительная часть (n) > 0; на самом же деле этот интеграл будет конечным, если действительная часть (n) > —1, при условии, что fx) сохраняет конечную величину между пределами х0 и х. Из формул (I) и (II), которые могут

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 15 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

быть соединены в одну общую (III), я вывожу формулы (A)’ и (B)’, которые были даны Лиувиллем.

В статье о производных произвольного порядка от простейших функций я делаю обзор производных элементарных функций: алгебраических, логарифма, показательной функции и тригонометрических. Относительно спорного пункта о производной от степени новый анализ показывает, что обе формулы Эйлера и Лиувилля должны рассматриваться как верные, но каждая из них имеет ограниченный смысл, который не мог быть усмотрен при другом способе их вывода. Другие формулы Лиувилля, Келланда, Тарди также могут быть получены из общих, но все они подлежат ограничениям, которые не были замечены. В статье о производных от производных с произвольным указателем я старался прямым путем обнаружить условия, при которых имеет место равенство DpD qu = D p+qu;

теорема эта, как оказывается, может получить вполне определенное выражение, которое необходимо иметь в виду при постоянно встречающихся ее приложениях. Общую теорию дифференцирования я оканчиваю изложением обобщенной теоремы Лейбница о производной от произведения двух функций”.

В заключение приведем выводы, сделанные А.В. Летниковым на основе полученных им научных результатов и анализа работ других авторов на начальном этапе развития теории дробного интегродифференцирования:

1. Введение в математический анализ понятия о производной произвольного порядка составляет весьма важный и необходимый шаг в развитии и обобщении основных идей науки. Теория дифференцирования с произвольным указателем заключает в себе как частные случаи способы последовательного дифференцирования и интегрирования. Оба последние действия соединяются в новой теории в общих формулах.

2. Различные построения теории общего дифференцирования, которые предлагались учеными до последнего времени, не могут быть признаны вполне решающими вопрос. Одни из них не имеют строго научных оснований, а другие лишены необходимой степени общности.

3. Определение производной с произвольным указателем, данное г. Лиувиллем, не может быть принято, так как оно неприложимо ко всем возможным функциям. Все результаты, полученные этим ученым, имеют только ту степень общности, при которой могут быть употреблены формулы (А) и (В), которые суть частные случаи формул (Г) и(П).

4. Отсутствие общего определения производной с произвольным указателем составляло главную причину, по которой теория общего дифференцирования не получала до

сих пор полного и всестороннего развития. Этот недостаток устраняется формулой (Ш), которая дает возможность вычислить эту производную для всякой данной функции.

5. Разногласие в результатах, полученных учеными для производных от простейших функций, вполне объясняется при том построении теории дифференцирования с произвольным указателем, которое принято в настоящем исследовании. Формулы Лейбница, Эйлера, Лиувилля, Келланда, Тарди, Робертса и других все суть частные случаи общих формул (Г) и (ГГ), полученных А.В. Летниковым.

6. Рассматривая вопрос о производной с произвольным указателем с точки зрения интерполирования по форме, можно думать, что для него существует решение более общее, чем то, которое предлагается в настоящем исследовании.

7. Важность теории общего дифференцирования оправдывается существованием вопросов геометрии, механики и математической физики, которые прямо решаются формулами (I) и (II) и для решения которых наука не имеет никакого прямого способа вне новой теории.

8. В теории интегрирования линейных дифференциальных уравнений употребление производных с произвольным указателем может с большой выгодой заменить способ интегрирования с помощью определенных интегралов.

Здесь все ссылки на формулы — из работы А.В. Летникова “Теория дифференцирования с произвольным указателем”. М., 1868 г. [28].

ГЛАВА 2. МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ А.В. ЛЕТНИКОВА ПО ТЕОРИИ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

дробного порядка

Основная часть магистерской диссертации А.В. Летникова представлена в виде статьи “Теория дифференцированиия с произвольным указателем” [28] и приводится ниже практически без изменений.

“При последующем изложении рассматриваемой теории, по существенному свойству применяемого при этом анализа, мы будем иметь постоянную надобность в употреблении так называемых эйлеровых гамма-функций, причем будем пользоваться тем определением этих функций, которое было дано Гауссом и принято большей частью новейших ученых. Определение Гаусса, как известно, имеет то преимущество, что позволяет рассматривать функцию Г(л) при произвольном аргументе х, положительном или отрицательном, действительном или мнимом. Чтобы избежать недоразумений, могущих произойти от иного определения, которое приписывается иногда той же функции, мы решаемся сказать несколько слов о том значении, которое мы будем давать функции в нашем мемуаре.

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

16

Мы принимаем, по определению Гаусса, что

1.2....m x-1

Г( x) = lim-------------------m

x( x +1) (x + m -1) пРи m ^ “•

Выражение, стоящее во второй части этого

равенства, а следовательно и функция, называемая Г(л), будет иметь величину конечную и определенную при произвольном значении аргумента x, кроме значений x равных нулю или целому отрицательному числу, при которых функция Г(Х) обращается в бесконечность. Эта функция при аргументе x положительном или мнимом, у которого действительная часть (д.ч.) положительна, совпадает с эйлеровым интегралом второго вида, т.е. если д.ч. x > 0, то

Г( х) = | zx-le4z.

о

Из свойств функции Г(х) упомянем о двух главных, выражаемых уравнениями: Г(х + 1) = хГ(х), Г(л) Т(1 — X) = (n/Tnax).

Оба эти уравнения имеют место при произвольном x и из них первое показывает, что если д.ч. (x) < 0, то функция Г(л) все-таки может быть представлена с помощью эйлерова интеграла; именно, если д.ч. (x) заключается между —п и —п — 1, то на основании первого свойства имеем:

) _ Г(х) _Г(х + 2) _ _ Г(х + п +1)

х х(х +1) х(х + 1)....(х + п)

и так как д.ч. (x+n+1) > 0, то r(x+n+1) может быть представлена в виде интеграла.

Таким образом, вычисление T(x) при x

отрицательном всегда приводится к вычислению той же функции при аргументе положительном.

Приступим к изложению занимающей нас теории дифференцирования с произвольным указателем.

2.1. Производные с указателем целым положительным или отрицательным

Рассмотрим непрерывную функцию y = fx). Производная от этой функции, как известно, имеет вид:

dy = lim f (x) - f (x - h)

dx h^° h

По тому же определению будем иметь вторую производную

f (x) - f (x - h) - f (x - h) - f (x - 2h)

= lim------h----------------h---------,

dx2 h^° h

или

d2y = lim f(x) - 2f(x - h) + f (x - 2h)

dx1 hm h

Точно также можно получить выражение для третьей производной, именно:

f (x)- 3f(x - h) + 3f(x - 2h)- f(x - ЪК)

d3 y

dx

и т.д.

= lim-

h3

Рассматривая закон составления этих выражений для последовательных производных функции fx), легко будет по аналогии заключить, что для производной п-го порядка будем иметь:

f (x) -

1 , f(x - h) + 1 2 I f(x - 2h) -... + (-1)"

f (x - nh)

^ = ilm-------------------------------------------.

dx" h^0 h"

(n 'j Гn'j

В этом выражении символы hi, I 2 Г ... означают известные коэффициенты бинома Ньютона; общее выражение этих коэффициентов определяется формулой n(n - 1)...(n - r + 1)

n

V r J

1 • 2 • 3 • ... • r

Рассмотрим теперь выражение

f ( x) -

p] f(x - h) + [2 I f(x - 2h) -... + (-1)"

f (x - nh)

fp (x) = lim— .

h^a hp

в котором p можно полагать произвольным, а п есть число целое, произвольно большое. На основании предыдущего заключаем, что если p будет числом целым положительным, меньшим или равным п, то, при h уменьшающемся неопределенно, выражение f p(x) будет стремиться к производной порядка p функции fx), так что при h = 0 будем иметь

dpy

lim fP (х) =

dxp

Положим теперь, чтор есть число целое отрицательное. Ддя более удобного рассмотрения этого случая переменимр на —р в выраженииfp(x), тогда, замечая, что

-Р

V

= (-1)'

_ ~Р(~Р - 1)-(~Р - r +!) " 1 • 2 • 3 ••••... • r

Р(Р +1)...(Р + r -1)

1 • 2 • 3 • •••... • r

и полагая для краткости

Р(Р -1)...(Р + г -1)

1 • 2 • 3 •... • r

(—p

будем иметь

= НУ

V

f-p (x) = h \

f (x) +

и, следовательно,

f (x - h) +

+

f (x - 2h) +... +

f (x - nh)

В этом выражении p будем полагать целым и положительным. Очевидно, что если п есть число конечное, то при h, уменьшающемся неопределенно, выражениеf-p(x) будет стремиться к нулю, а потому и рассмотрение предела может быть интересно только, когда вместе с уменьшением h число п будет неопределенно увеличиваться. Положим nh = x—x, где x есть произвольное постоянное количество, тогда h = (x—x)ln и если мы будем увеличивать неопределенно целое число п, то h сделается бесконечно малым и при

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 17 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

этом условии выражение f —p(x) представится в виде суммы бесконечно малых в неопределенно возрастающем числе, каковая сумма, как известно, может иметь конечный предел. Рассмотрим ближе условия, при которых этот предел существует, и найдем его выражение.

Предел этот мы будем обозначать так:

lim f -- (x) = [ D - ’f (x) ] ,

где знак Dp означает известную операцию, совершаемую над функциейfx) в пределах значений x и х0 независимого переменного.

Начнем с простейшего случая. Пустьp = 1, тогда /(х) = hfX) + fx — h) + fx -2h) +...+fx — nh)}.

Так как x — nh = x, то очевидно, что если функция fx)остается конечною и непрерывною между пределами x и x, тоДД будет иметь конечный предел, выражаемый в виде определенного интеграла, а именно

Положив x + h =y, можем написать эту сумму в виде:

lim f -1 (х) = [D-\f (x)]X = j f (x - Z)dz

или, полагая x — z = а, будем иметь

[ D ~-f (x) ] X = J f {a)da.

Пусть теперь в° общем выражении f—p(x) указатель р = 2, тогда, замечая, что

2

2 • 3 •... • (2 + r -1)

1 • 2 • 3 •... • r

= r +1,

найдем

\ hf (x) + 2hf (x - h) + 3hf (x -]

3

3 • 4 •... • (3 + r -1) (r + l)(r + 2)

то будет:

1 • 2 • 3 •... • r

1 • 2

f -3( x) = — 1.2

1.2—f (x) + 2.3—f (x - h) + +3.4— f (x - 2h) + ...

... + (n + l)(n + 2)h2 f (x - nh)

1.(1 + 1)- f (y - h) +

+2.(2 + 1)h2 f (y - 2h) + ...

f Д x) =—

1 • 2 .

... + (n + 1)(n + 1)h2 f (y - n + 1h)

и потом разложить ее на две части таким образом:

h \h(y - h) + (2h)2 f (y - 2h) +]

f -3(x) = — , ____

12 [+... + (n + 1h)2 • f (y-n + 1h)

h2 \hf(У-h) + 2hf(У-2h) +... +]

+ -

1 2 |fn + 1h • f (y - n + 1h).

Вторая сумма имеет пределом нуль, ибо она состоит из двух множителей, из которых один (h/P2) стремится к нулю, а другой h{hfy — h) + 2hfy — 2h) +...} имеет пределом конечный интеграл. Предел первой суммы очевидно есть определенный интеграл

1 x-x0

— 1z 2 f (x - z)dz’

f (x) = h

[-2h) +... + n + 1hf (x - nh)

Положив x + h =y, можно это выражение написать в виде:

2( ) _ h \hf (У - h) + 2hf(t - 2h) + 2hf (У - 3h) +1 * _ [+... + ~n + \hf(y-n+1h) J.

и совершенно очевидно, что при h, уменьшающемся неопределенно, будем иметь предел:

X-x0

Пт f -2 (x) = [D-2 f (x)]X = J zf (x - z)dz,

ибо в пределе h = 0 и y обратится в x. Положив x — z = а будем иметь:

X

[ D-2 f (x) ] = J (x -a) f (a)da.

X0

Чтобы открыть закон составления последовательных

выражений [D‘f(х) ]' , [ D ~‘f(x)\ ,... сделаем еще p = 3 в общем выражении f—p(x), тогда, так как

ибо в пределе h ^ 0 и у обратится в x. Таким образом, полагая, как и прежде, x — z = а, найдем:

[D~3f(x)]X = 172 J(x~а)2 f(a)da.

x0

Теперь, рассматривая закон образования выражений

общего вида [D Р f (x)]x приp = 1, 2, 3,..., мы можем, руководствуясь аналогией, написать такую общую формулу:

г p

[ D ~ pf (x) ] X =lim X h

i— —!Xa

r=0

f (x - rh) =

1

X

J (x-a)p-1 f (a)da.

1-2• 3 •...• (p-1) o

Для доказательства этой формулы покажем, что если она существует при каком-либо указателе p, то она необходимо будет иметь место и при указателе p + 1, единицею большем. Итак, допустим, что при некотором значении p последняя формула верна, тогда по определению имеем:

p +1

[D-f (x) J] = lim £ h-1

r=0

f(x - rh).

Означая через f1(x) функцию, производная которой есть f(x), при условии, что f(x) = 0, для чего нужно положить

X

ДД) = |f (x)dx,

x0

мы будем иметь по теореме Тейлора: f1(x-rh) = f (x -r + 1h^ + hf (x-r + 1h + 6h), где 1 > 0 > 0 и, отбрасывая бесконечно малые высших порядков, hf (x - rh) = f(x - rh) - f (x - r + lh).

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

18

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Предел суммы бесконечно малых не изменится, если бесконечно малые, в нее входящие, заменить другими, отличающимися от первых на бесконечно малые высших порядков, вследствие чего можем написать:

p +1

А

|(х-a) 1 f1(a)da =-

x (x-a)Pfi(a)

xn

p

[D p-1f (x) ]' = lim X h

X° r=0

f( X - rh) -

- lim X hp 1

r=°

p +1

r

f (x - r + 1h);

p +1

X 1 x

+1(x - a)p f (a)da = — J(x-a)p f (a)da,

x0

и потому

[ D --Af (x) ]X

P :

1

но, по значению символа

P

P + 1

r

положить

r

p +1 1

p +1

r -1

1-2 • 3 •... • p

J(x-a) f (a)da.

легко убедиться, что где при r = 0 придется [ D - 'f (x) ]

Последнее равенство показывает, что написанная выше по аналогии формула, дающая выражение

= 0; а потому, разлагая первую сумму на две части и переменяя во второй r на r —1, с тем, чтобы новое суммирование распространить от r = 1 до r = n + 1, будем иметь:

Г Р r

[ D - p-if (x) ] X = lim g hp

x - rh) +

“lim g

p +1

r -1

hpfl( x - rh) - lim g hp

p +1

r -1

fi( x - rh)

или, уничтожая равные члены с противоположными знаками, найдем:

-\x

[ D -P-1 f M ]X_ = [ DD - f{x) £ =

P + 1

= limhp

f1 (x - n + 1h).

Замечая, что последний предел можно представить в виде:

p+1

lim. hp

f (x - n + lh) =

= lim.(x - x0 )p

p +1

n

—pfi (xo - h)

n

lim

p +1

n

_L = lim( p+1)( p+2)-( p+n)

p 1 • 2 • 3 •.... • n • np

1

n 1 • 2 • 3 •.... • n • n r(p +1)

при n = *, притом fXO) = 0, мы видим, что

p +l

lim. hp

f (x - n + lh) = 0,

^x - n + lh I =

и, следовательно, будем иметь:

[D -p-1 f w I =[D - w I =

1

J (x-a)p 1 fl(a)da.

1 • 2 • 3 •... • (p -1)

■ и

Но через интегрирование по частям получим:

в виде определенного интеграла, существует при всяком целом значении p, при условии, что функция fx) остается конечною и непрерывною в пределах между х0 и х. Формула эта может быть представлена еще в другом виде. Замечая, что

—\D-'f(x)7 =------------1-------х

dx L Jxo 1 • 2 • 3 •... • (p - 2)

x

х J(x-a) 2 f (a)da =[D-p+1 f (x)]

xo

и интегрируя это равенство в пределах от х = Хо до х = х, найдем:

[ D - ГГ (х) £ = {[ D - ”'f (x) ] ^ dx.

х0

Переменяя в этом равенстве p на p — 1, мы получим такое же выражение для [ D -f (x) ] X и потому

хх 0

[ D - pf (х) ] х = J dx J[ D - p+2 f (х) ] X dx.

x0 х0

Повторяя это преобразование несколько раз, мы каждый раз во второй части равенства будем увеличивать указатель операции D на единицу, вводя вместе с тем

и что, на основании Гауссова определения функции гамма, имеем:

новый знак

| . Сделав это преобразование p раз, будем иметь во второй части Г D Of (x) 1x = f (x)

i ^ Jx0

получим новую формулу:

XX X

\^D~P f ( x ) ] =| dx J dx...J f (x)dx,

мы

и

X0 X0

где интегрирование совершается p раз. Таким образом,

мы видим, что символ D pf (x) ] означаетp-кратный интеграл от функции_дХ), причем каждое интегрирование совершается в пределах от х = х0 до х = х.

Очевидно, что если над выражением [D р f (x) Xj совершим новую операцию того же рода D-q, означая чрез q произвольное целое число, и в тех же пределах х0 и х, то будем иметь:

[ D-43-’/(x)]X =[D-x) ] X .

0

x

0

=0

n

n

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 19

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

Совершая над тем же выражением операцию dmldxn, получим при m < p:

dm

—[ d - 'я x) x=[ d p +v(x) ]

и при m > p:

dm

д - rf( x) ] ;=[ ^m--f (x) ]:..

Из найденного выше выражения символа

[ D -_f (х) ] “ следует также, что он означает такую функцию, p-я производная которой есть fx) и притом такую, которая сама и ее p — 1 первых производных обращаются в нули при x = xg.

Принимая во внимание общее происхождение

функций D_р f (х) и dpJ[X)/dxp из одного и того

же выражения, которое служит их определением, а также общность свойств двух операций D-р и (dp|dxp), из которых некоторые указаны выше, мы согласимся

наименовать функцию [D Р f (х)]х — производною порядка —р, взятую между пределами хд и x независимого переменного.

Желая сохранить постепенность в ходе обобщения, мы до сих пор предполагали, что указатель p есть число целое. Понятие о производной, как сейчас увидим, может получить гораздо большую общность: указатель

р в символе [Dp f (x)j можно рассматривать

совершенно произвольным, действительным или мнимым. Анализ, приводимый далее, заключает в себе предыдущий как частный случай.

малым. В исследовании, которое мы предпримем, полезно будет, с целью сохранения большей ясности и простоты в изложении, разделить два случая различные, как по прилагаемому к ним анализу, так и по выводимым заключениям, а именно: случай, когда действительная часть указателя p отрицательна, и случай, когда она положительна. Начнем с первого.

Положим, что действительная часть (д.ч.) (p) < 0 или, если р число действительное, то просто р < 0. Для большего удобства в рассмотрении этого случая переменим в выражении f p(x) указатель р на —р, тогда, употребляя символы, введенные выше, будем иметь:

Р

f -р(х) = hp <

f (х) +

1

f (х - h) +

f (х - 2h) +... +

f (х - nh)

эту сумму мы будем изображать кратко в виде:

Р

f -p (x)h

r=0

f (x - rh),

принимая условно, что

= 1,

и полагая притом,

что действительная часть указателя р > 0. При п, возрастающем неопределенно, выражение f ~р(>) будет суммою бесконечно малых, которая, как мы сейчас докажем, имеет конечный предел. Предел этот мы будем

D р f (х) , который мы

уже ввели выше при указателе р целом. Итак, положим:

lim f - р (x) = [D - pf (x) ] X = lim f - p (x) =

+

r

2.2. Производные с указателем произвольным, действительным или мнимым

Рассмотрим снова выражение:

f (х)

f (X = lim-------

Af (х - h) + [ Af (x - 2h) -... + (-1)” [ ”1f (x - nh)

в котором указатель р будем полагать постоянным, но произвольным и для общности мнимым вида Я + Переменное x и его приращение h можно также

полагать мнимыми того же вида, причем h = se®^-, где 0 имеет некоторую постоянную величину. Полагая, как и выше, что nh = x — xg, где xg есть количество постоянное произвольное, можно будет сказать, согласно с известным геометрическим представлением мнимых, что в вышеприведенном выражении f p’(x) суммирование будет совершаться на прямой линии, проведенной от точки x плоскости координат до точки xg. Вопрос, который мы себе теперь предложим, будет состоять в изыскании предела, к которому стремится выражение f p'(x), при неопределенном возрастании целого числа п, причем приращение h = (x — x0)ln будет неопределенно уменьшаться, — сделается бесконечно

=1 h

r=0

p

r

f (x -rh)

при n = да и д.ч. р) > g. Чтобы доказать существование конечного предела для рассматриваемого выражения и вместе с тем найти этот предел, мы употребим следующую лемму.

Пусть a1, a2, а3, ...ап есть ряд количеств бесконечно малых, действительных или мнимых, уменьшающихся неопределенно по мере увеличения числа n, и положим, что сумма их при неопределенно возрастающем n, стремится к конечному пределу С, так что lim(a1 + а2 + а3 + ... +ап) = C при n = да, и что, кроме того, сумма модулей количеств а1, а2, а3, ...а имеет пределом также величину конечную. Далее положим, что Ра, в2, ..., в,... есть неограниченный ряд количеств конечных, действительных или мнимых, которые приближаются к единице по мере увеличения указателя, то есть, что £тф = 1, при r = да.

Составим новый ряд бесконечно малых а2^ ... <*& ... anPn-

Мы докажем — в этом и состоит наша лемма, — что сумма этих новых бесконечно малых, при неопределенном возрастании n, будет стремиться к тому

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

20

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

же пределу С, так что будем иметь ЬтрД + а2в2 +...+ аД, +...+ аД) = lim(a1 + a2 + a3 +...+ a~) = C при n = *.

Пусть r есть весьма большое целое число, тогда можно положить

в = 1 — £, в = 1 — £ ,...

Гг r Г r+1 r+1

где £, £ суть количества, которых модули весьма малы. Притом, так как

Ит(а1в1 + а2в2 +...+ а-_1вг_1) = 0 при n = *, потому что предел суммы конечного, хотя бы и произвольно большого, числа бесконечно малых есть нуль, то будет

n n n n

lim Z aifii=lim Z aifii =lim Z ai -lim Z ai£t.

0 r r r

Но lim 2“< =lim ta< = C, ибо lim 2 a = 0,

- 1 a „

на основании того же замечания, о котором мы сейчас

упомянули, и, следовательно

n n

с - iim Za Pi =lim Za£i.

0 r

Прилагая к этому равенству теорему, по которой модуль суммы произвольного числа мнимых менее суммы их модулей, получим что

{n I n

C - lim Z aifti > < lim Z mod at ■ mod st.

Пусть mock. = p и положим, что p есть наибольшее

J i '-i ;

из положительных количеств p, p, p+2”; тогда будем иметь

mod jc - limZaiPi| < pm ■ lim Z mod a,

где множитель p можно полагать произвольно малым, если число r взято достаточно большим. Притом, так как

n n

lim Z mOd«,- = lim Z modai по сделанному выше

r 0

условию имеет величину конечную, то и произведение

n

pm *^ modat при r достаточно большом можно считать произвольно малым; вследствие сего, по последнему неравенству заключаем, что модуль

n

разности C Z ai Pi менее произвольно малого

количества, — стало быть он равен нулю, — а если модуль разности двух мнимых равен нулю, то они равны,

П

и следовательно lim Д = C при n = ю, что и

требовалось доказать. о

Прибавим к этому, что если бы ряд количеств в в ..., Д... приближался бы не к единице, а к какой-нибудь конечной величине B, так что имели бы йтвг = B при r = *, то, очевидно, что получили бы

iim Za д

о

B • lim= BC

о

при n = Ю.

Этот случай впрочем, прямо приводится к предыдущему, если вместо ряда Д, в2, ..., в,... будем

в, в в

рассматривать ряд количеств —, — ,... —,..., которые очевидно приближаются к единице, ибо тогда будем иметь по доказанному:

Pi

lim Ya,-^ = C

“ 1 в и,следовательно,

lim ^ hp

r=0

lim Za Pi = BC-

Обратимся теперь к нашей задаче: найти предел

Р f (x - rh) = [D-Pf (x)]X

r L Jx0 при n = *.

Чтобы привести этот вопрос к вышеизложенной лемме, мы представим выражение, от которого берется предел, в таком виде:

[ Л - V (X) ] ; = lim

r=0 f

Р

h (rh )p 1 f (x - rh).

Если, как мы и предполагаем,р > 0 или, по крайней мере, д.ч. р) > 0 и функцияу(л) конечная и непрерывная между пределами х0 и х, то очевидно, что

limZh (rh)p 1 f (x - rh) = J(x -a)p-1 f (a)da,

r=0 x0

и, следовательно, предел этой суммы, а также предел суммы модулей ее членов будут величинами конечными. Притом, на основании Гауссова определения гаммы-функции, имеем:

lim-

1

.p-i

= lim

p( p + \)...(p = r -1) 1

1.2.3...r.r

p -

r(p)'

Написав теперь искомый предел таким образом:

Г D-pf (x) ] x =-lim V

:r( p)

„p-1

h (rh )P f (x — rh),

r(p) 7=0 Г

мы видим, что для его определения, мы можем приложить доказанную выше лемму, именно если, вводя употребленные там обозначения, положим

P

и a, = h(rhf-1fx - rh),

в=гГР!

rr p-1

Г L J

то, так как НтД = 1 и lim Z имеет величину конечную, будем иметь:

а

ri как замечено выше,

[D~Pf (x)]^ =^7-. )(x-a)P l f (a)da.

\P> xo

Это равенство дает выражение предела отf p(x), при условии, что д.ч. p > 0.

Здесь и в дальнейшем, д.ч. означает действительная часть. Очевидно, что это рассмотрение заключает в себе как частный случай предположение, которое мы делали прежде, что p есть число целое; действительно последняя формула в этом случае тождественна с выведенною прежде, ибо тогда Гр) = 1-2-3\..-р — 1).

Переменив в последней формуле указатель р на —р, мы вперед будем ее писать в таком виде:

x i x

Г Dp f (x) 1 =---- \(x-a]pl f (a)da,

1 Jx» r(-p) ; (1)

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-----------------------—-----—------—-----—------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

полагая притом, что д.ч. р) > 0.

Иногда может быть полезно употреблять эту формулу в другом виде. Легко усмотреть, что, через интегрирование по частям, мы найдем из предыдущего равенства:

\-р

Df (x) 1

+-

Г(-Р +1)

= f (Xo) (x - Xo )

Г(-p+1) +

X

J(x-a) p f'(a)da;

Г Df(x) 1 ' = f (x° )(x - x У +

L -Л Г(-p +1)

f '(xo )(x - xo )

- p+1

\ - p+m

+

+

Г(-p + 2) 1

+ + f (m) (xo )(x - xo) +

Л

|(x-a)

Г(-p + m +1)

p+m f(m+1) (a)da.

fP (x) = Х(-!)Г h~ Pf (x - rh),

r=0

Vr У

^ рЛ

\r J

V J

мы можем написать

r=n f

r -1J

fp (x)=Z(-i)r

r=0

P —1

r

h p f (x - rh) +

fp (x) = (-1)”

r p -1

l” у

r=”-1 ( p 1 Л

+ ZO)'P 1

h~ Pf (xo) +

r=0 r=”-1

+1 (-1)

r=0

r +1

h p f (x - rh) +

(p -1

lr У

lr У

h- pf (x - r + 1h)

а если повторим это интегрирование m + 1 раз, то будем иметь

-p

г (х)=£(-р И h-v(х - rh) =

Г(-p + m +1)

• o

При употреблении этой формулы должно предполагать, что все функции: fx), /(x),../m+1)(x) остаются конечными и непрерывными при всех значениях x от xQ до x = x m здесь есть число целое произвольное.

До сих пор мы занимались изысканием предела выражения

( р\

или, соединив две последние суммы, получим такую формулу преобразования:

/ Р '

к Гу

= (-1)Р Щ jh-f (хо )+£(-1)Г |^p j h~p ¥(х - rИ),

где для сокращения положено

Af (х - rh) = f (x - rh) - f (x - r +1h).

Очевидно, что на основании той же самой формулы

можно преобразовать и сумму, стоящую во второй части равенства, и что будем иметь:

r=П_1 f p

h p Af (x _ rh) =

I or

r=0

Vr У

=(-1)

n-1

r=n-2

+ I (-1)

r=0

p _ 2 Vn _1 У f p _ 2 r

h p Af (x0 + h) + h_p A2 f (x _ rh),

V

где AAxo +h) — Ax +h) -AxA ____,

A2 f (x - rh) = A f (x - rh) - f (x - r + lh

предполагая указатель p отрицательным или, если р есть чисто мнимое, то полагая, что д.ч. (р) < 0; теперь мы будем рассматривать то же выражение, предполагая в нем указатель р положительным или, по крайней мере, таким, что д.ч. (р) > 0 и будем отыскивать предел f p(x) при n возрастающем неопределенно и h — (x — x^/n, где x0 есть произвольное постоянное количество.

С целью обнаружить предел, к которому стремится A p(h), преобразуем сначала это выражение следующим образом. Замечая, что по известному свойству биномиальных коэффициентов

F - р (р - о

= f (x - rh) - 2 f (x - r + lh) + f (x - r + 2h).

При этом выражение/(x) получит вид:

f p - О

fp (X)=(-1)

f p — 2 Л + (-l)n-1 ' P 2

У

Vn -1 У

r=n-2 f p 2Л

+ =n-(-i 1'p 2'

r=0

h~ pf (xo) +

h-p Af (x0 + h) + h_p A2 f (x - rh).

V

У

То же самое преобразование можно приложить и к новой сумме, стоящей во второй части, и тогда будет:

F - р , ч h pf (x) +

f (x) = (-1)"

r=n f p — 1Л

+Z(-1)r — i rPf(x—rh)

r =1 Vr 1 J

или, выделяя последний член в первой сумме и переменив во второй r на r + 1, с тем, чтобы новое суммирование распространить от r = 0 до r = n — 1, получим:

(-1)"-1 ^ P

v "-

(-1)"-2 r p

V"

r="-3 (

Z (-i)r r=0 v

h р Af ( x0 + h) +

h p A2 f (x0 + 2h) +

У

p - зл

r У

hp A3 f (x - rh),

0

21

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

22

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

где

A3 f (х - rh) = f (х - rh) - 3 f (x - r + 1h) +

+(-i)

+(-i)

П-1

p - 2

\n -1 j

h pAf (x0 + h) +... +

p - m -1

n - m

h p Am f (x0 + mh) +

p - m -1

hp am+1 f (x - rh).

(-if

n - k

J

(-1)

n-к

p - к -1

n - к

к

(n - к)

P-к

(

у -к

n - к

x(nh)

Это

-p+к A f (хй + Щ

(-1)

г-k

V

(n - k)p-k =

n - k

(-p + k + 1)(-p + k + 2)...(-p + n)

1.2.3...(n - k).(n - k)-p+k

при неопределенном увеличении n, а следовательно и (n — к) приближается к 1/Г(— p + k + 1); множитель

+3 f (х - r + 2h) - f (x - r + 3h).

очевидно, что указанное преобразование можно

повторить произвольное число раз и выделить, таким образом, произвольное число членов в выражении fp(x) вне знака суммы. закон образования этих членов очевиден и, означая через m какое-нибудь целое число, будем иметь:

( p - D

fp (x) = (-1) p h-pf у) +

f \p-k

n '

у n - к у

наконец

lim = f <k) (x

очевидно имеет пределом единицу и

h

o),

где fk)(x) означает производную порядка к при x = xg. Таким образом, будем иметь предел рассматриваемого общего члена, именно

lim(-1)

г-к

p - к -1

n - к f (к )( хо)(x - хо)-

h -р Ак f (x0 + kh) =

r=n-m-l

+ 2 (-i)r

ф=0 j -

Так как для перехода к пределу число n будем

увеличивать неопределенно, то его всегда можно

полагать больше m. Последняя формула послужит нам

для изыскания предела выражения f p(X) в том случае,

когда д.ч. р) > 0. Число m есть целое, но произвольное,

— впредь мы будем полагать m более (р — 1) или, если p

есть число мнимое, то m > д.ч. (р — 1) , так что за m можно

будет взять целое число, непосредственно меньшее

действительной части р. Теперь с целью определения

предела выражения f p(x) рассмотрим сначала в нем

общий член в ряду членов, стоящих вне знака суммы;

этот член будет:

h- р Ак f (x0 + kh),

Г(- р + к +1)

Полагая здесь к — 0, 1, 2, ..., m, получим все члены выражения f p(x), стоящие вне знака суммы. Остается

найти предел суммы

r=n-m-1 (

I (-i)r

r=0

p - m -1

h- p A m+1 f (x - rh)

при n-<X>.

Напишем это выражение в таком виде:

r=n-m-l

I (-i)r

r=0

p - m -1

Am+1 f (x - rh)

r - m+ph(rh)

m-p

h

n+1

и приложим к нему доказанную выше лемму. В этой сумме множитель ( p - m - К

(-14 р

- m+p

J

где к есть целое число, которое можетъ быть равно 0, 1, ^ ^ m.

Напишем последнее выражение в виде:

при различных значениях r сохраняет величину конечную и по мере увеличения r приближается к пределу 1/Г(— p + k + 1) на основании Гауссова определения гаммы-функции, как уже было замечено выше. Опуская этот множитель в предыдущем выражении, рассмотрим сумму:

r=n-m-1 Am+1 f (х - rh)

X h(rh)

m-p

r=0

h

n+1

hk

произведение можно рассматривать как состоящее из трех множителей, из которых каждый при возрастании n стремится к конечному пределу, и четвертого, не содержащего n, ибо nh = x — Xg. Действительно, по Гауссову определению гамма-функции, множитель ^ p - k -1

Предел этой суммы при n возрастающем неопределенно, или при h, уменьшающемся до нуля, будет очевидно равен пределу суммы

r=n-m-l

X h(rh)m-pf(m+1)(x - rh),

r=0

который, так как мы предполагаем, что д.ч. (т — р) > — 1, имеет величину конечную, выражаемую определенным интегралом

J(x-а)т - fmm+ (a)da,

х 0

если только функция fm+1)(x) непрерывна между пределами xg и x. Принимая все это в соображение, мы, на основании указанной леммы, заключаем, что при n ^ ю

r

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 23

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

lim £ (-1)'

r=0

p - m -1 r

h -р A m+1 f (х - rh) =

1

л

|(х -а)

m-p f (m+1)

а )da.

Г(-Р + m + 1) х0

Теперь мы уже можем написать выражение предела fp(x), в случае д.ч. p > 0, именно, полагая, по-прежнему,

lim,f (x) = [Dpf (x) 1^ ,

мы будем иметь

f (x0 )(x - xo ) P ,

[ Df (x) ] I =■

Г(-p +1)

+

+

f '(xo )(x - xo )

-p+1

- p+m

Г(-p + 2) 1

+... + f (m) (xo)(x - xo У +

Г (-p + m +1)

\(x -a)-p f(m+1) (a)da,

Г(-p + m + 1) xJoV~ ' 4 ' (2)

предполагая, что fx),/(х^,..., fm+1)(x0) имеют величины конечные и чтоfm+r>{x) непрерывна в пределах хд и х.

Целое число m в этой формуле можно полагать произвольным, лишь бы оно было более действительной части p — 1; однако, при последующем употреблении этой формулы мы обыкновенно будем принимать, что есть целое число непосредственно меньшее д.ч. (p), то есть будем полагать, что m < д.ч. p) < m + 1.

Заметим, что выведенную выше формулу (1), существующую в случае д.ч. (p) < 0, можно рассматривать как частный случай формулы (2). Действительно, если д.ч. p) < 0, то целое число, непосредственно большее д.ч. (p), будет нуль и следовательно в этом случае во второй формуле придется положить m+1 = 0, а при этом она обратится в формулу (1). Заметив это и принимая во внимание формулу (1)', мы можем сказать, что если обозначить через s произвольное целое число, большее или равное m, то при всякомp будем иметь:

[Df{x) ]; +

к=0

+ -

1

Г(-p + к +1)

J(x-a) p f^+1) (a)da.

r(-p+s+1) x0v v (3)

Мы сказали: при всяком p; в самом деле, если даже p есть число целое, положительное, то в этой формуле нужно будет положить m = p, и тогда, замечая, что в этом случае Г(— p + k + 1) равна бесконечности при k = 0, 1, 2, ..., p — 1, получим:

[D’f (x)] ' = >(x„) +]*'»(a)da,

x0

или просто

[ D’f (x) ]

d f (x)

J x0 dxp

Впрочем, как мы будем иметь случай убедиться

X

далее, это равенство не доказывает, чтобы при p целом и положительном операция dp/dxp всегда могла быть заменяема операцией Dp, совершаемою в пределах х0 и

х. Символ

d f (x)

[ D'f (X) ]x

имеет смысл более тесный, чем

dx

Так как формула (3) дает во всех случаях предел выражения

r (x)=F

f p\

V1 J

f (x) --.. + (-1)

f p Л V 2 j

f (x - h) + f (x - nh)

f (x - 2h) -

p

vn J

из которого при p целом получаются обыкновенные производные различных порядков функции fx), то по аналогии мы условимся называть производною с указателем p функции д.ч., взятою в пределах х0 и х независимого переменного, — предел, к которому стремится выражение f p(X) при произвольном p действительном или мнимом, взятый при п возрастающем неопределенно, полагая притом h = (х0 — х)/п. Этот предел, при оговоренных выше условиях, всегда может быть определяем по формуле (3), которая, таким образом, есть общее выражение производной произвольного порядкаp от функцииfx).

Прежде чем перейдем к дальнейшему развитию рассматриваемой теории, остановимся на одном частном случае, интересном по многим его приложениям, которые были указаны преимущественно Лиувиллем и Келландом. Положим, что функцияfX), которую мы рассматривали выше, такого свойства, что она сама и все ее производные обращаются в нуль при х ^ +а>, что будет, например, если_у(х) = хпвх, и очевидно притом, что таких функций существует бесчисленное множество. Положим далее, что нижний предел дифференцирования х0 увеличивается неопределенно и сделаем в наших формулах х0 ^ +оэ, тогда из (1) получим:

х 1 х

[Dpf (х)]х = ——) I(х-а) p lf (a>da

V X /

или, положив а = х + z, будем иметь:

[DPf (x)]Х = —- |z"pp-f (x + z)dz

L ] x0 (-1)p Г(-р)0 (А)

при условии, что д.ч. (р) < 0. Интеграл, стоящий во второй части равенства, имеет, очевидно, величину конечную, ибо при выговоренных условиях, каково бы ни было p, будет:

ю Р-1

f(x + z)\

= 0.

Пусть теперь д.ч. (p) > 0. В этом случае обратимся к формуле (2), в которой сделаем хд ^ &>, и замечая, что при этом, каково бы ни было k, будет

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

24

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

(X - xc y Р+lf > (xc )

= 0

найдем:

[ Df (x) ]+

1

J(x-a) p f(m+1) (a)da,

r(-p + m +1)0

где m есть целое число большее д.ч. (p — 1). Сделав здесь а = x + z, получим:

ГDpf (x) 1x ------------------------X

Г J+» (-1)р-m-1 Г(-р + m +1)

го

x Гzm-Pf (m+1)(x + z)dz.

0 (В)

Формулы (А) и (В) тождественны с теми, которые были даны Лиувилелем в XIII томе журнала Политехнической Школы, как общие выражения производных произвольнаго порядка от функции fx), обращающейся в нуль при x ^ +ГО Нетрудно усмотреть, что обе формулы (А) и (В) могутъ быть соединены в одну общую; для этого заметим, во-первых, что в формуле (В) целое число m можно полагать произвольным, но только большим д.ч. (р — 1), и во-вторых, что из формулы (А) легко получить через интегрирование по частям:

[ D’f (х) L =

1

(-1) р Г(-р)

-р

f(х + z)

- z=0

1

(-1)р Г(-р +1)

|z р f '(х + z)dz;

или

ГDpf (x)]x ---------------------X

Г J+» (-1)p-1 Г(-p +1)

ro

xj z - p f'( x + z )dz;

0

а если повторим интегрирование по частям s + 1 раз, то найдем

Г D f (x) ]x =----------О-------------х

Г J+ro (-1)Р-S-1 Г(-Р + 5 + 1)

ГО

х I"zs-p f(s+1) (x + z)dz

0 (С)

при д.ч. (p) < 0. Очевидно, что эта последняя формула, в которой s произвольное целое число, большее д.ч. (р — 1), есть общее выражение производной произвольного порядка от функции fx), удовлетворяющей

выговоренным выше условиям.

Формулы (А), (В) и (С) были выведены в предположении, что функцияДт) и все ее производные обращаются в нуль при x = +т, иногда приходится различать тот случай, когда fx) и все ее производные обращаются в нуль при x = —ж. Мы упоминаем здесь об этом различии, потому что упущение его из виду

дало повод Тортоллини сомневаться в справедливости формул Лиувилля. В последнем случае в выше выведенных общих формулах должно сделать xg ^ —ж, и тогда, при д.ч.р < 0, будем иметь:

-* ГО

[_Drf(x)J =—— f z -f (x - z)dz,

[ J-ro Г(-p)> (A)’

а если д.ч. р > 0, то будет:

го

[D f (x)J = ------------- Jzm-p/m+1\x - z)dz,

L J-^ г(-p + m +1) J (B)

где m есть целое число большее д.ч. (р — 1). Припомнив замечание, которое было сделано выше о формулах (А) и (В), мы можем также сказать, что формула (А)' есть частный случай (В)'.

2.3. Производные произвольного порядка от простейших функций

2.3.1. производные степени. Положим, что функция, дифференцируемая с произвольным указателем, есть степень и сделаем в наших общих формулах fx) = (x — xg)”, где n есть постоянное число действительное или мнимое. Пусть д.ч. р < 0, тогда по формуле (1) будем иметь:

1 x

Г Dp (x - x0)n Т = —— f (x-a)pl(a- x0)nda.

xo r(-p) x

Это выражение дает длярассматриваемой производной величину конечную только при условии, что n, или лучше, дч. (n) > — 1. Полагая это условие выполненным, можно будет взять интеграл, стоящий во второй части. Сделав с этою целью а = xg + P(x—xg), найдем:

x 1

J(x - a)-p-1 (a - x0)nda = (x - x0)n~p J(1 - в)-p-1 Pndj3,

но

1

J(1 -pyp -Pndв= B(-p,n +1) =

Г(-р)Г(п +1) Г(-p + n +1)

и потому

\_DP (x - xo) n J = Г(П + ^ (x - x0)”~P ,

L -lxo Г(-p + П + 1)

где д.ч. р < 0 и д.ч. (n) > — 1. Пусть теперь д.ч. (р) > 0; означая опять через m целое число непосредственно меньшее д.ч. (р), мы видим по формуле (2), что в рассматриваемом случае производная

Г D-(X - х„)" ]'

будет иметь величину конечную только при условии, что д.ч. (n) > m; полагая это условие выполненным, мы найдем:

[ВЩ - xj J 1

Л

:|(x-а)

Г(-р + m +1)

m-p dm+l(a - x0 )n

da,

dOn+1

x0

ибо при k = 0, 1, 2, 3, m будем иметь

z

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 25

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

dk (х - x0)n

dxk

= 0;

притом

п+1

d (а -x0)п ^ 1Л ,..................................,.лй-„-1

dam+1 _ Г(п +1) Г(п - т)

и потому

_ п(п - 1)...(п - т)(а -x0)n

(а- х0Гт-1

Г(п +1)

ГDp (x - x0)n Т = —

L J xo r(n - m)T(-p + m +1)

x

K\-p+m / \n-m-1 7

x -a) (a- Xo) da.

xo

Сделав здесь по прежнему a = x0 + в(х — x^), найдем как и выше:

X

К\-p+m / \n-m-1 7

x-a) (a -xo) da =

Xo

_ Г(-р + m + 1)Г(п - m)

Г(-р + n +1)

и, следовательно,

(X - Xo)n-p,

[ DD (x - xj ] X

Г(п +1)

-(x - x0 )n

Г(-р + n +1)

Таким образом, при д.ч. (р) > 0, если только д.ч. (n) > m формула производной степени остается та же, как и при д.ч. (р) < 0 и д.ч. (n) > —1. В частном случае, полагая х0 = 0, найдем при тех же условиях, что

Г(п + 1) п_ p

Г DPxn 1x =■

L Jxn

Г(-р + n +1)

Выражение, стоящее во второй части равенства, многие писатели, в том числе Эйлер, С. Робертс. П. Тарди принимали за общую формулу производной произвольного порядка от степени, существующую при каком бы то ни было значении n и указателя дифференцирования р.

Положим теперь, что дифференцируемая функция есть f(x) = x1, где n есть количество действительное отрицательное. В этом случае функция X1 и все ее производные обращаются в нуль при x — да, и потому простейшее выражение для производной произвольного порядка получится, когда приложить формулы (А) и (В). Таким образом, при условии, что д.ч. (р) < 0, найдем по формуле (А):

ю

ГDpxn 1 =------------- I"z~р-1(x + z)n dz.

L J x (_i)p r(-p)0 v '

Положив в этом интеграле z = Px/(1 — в), где в есть новое переменное, получим:

|z-p-1 (x + z)n dz =xn-p p-1 (1 - в)-p-n-1dв

r(-p)r( p - n)

rn-p

Г(-п)

и вследствие этого будем иметь, при условии, что n < д.ч. (р):

[ I =

* Г(р - п)

п-р

(-1)р Г(-п)

где д.ч. р < 0 и n < д.ч. (р). Пусть теперь д.ч. (р) > 0, тогда по формуле (В) найдем:

ГDpxn J = n(n -1)-(” - m) x

L -I» (-1)р-тЛ Г(-p + т +1)

го

xj zm-р (x + z )n-m-1 dz.

0

Полагая в интеграле z = вх/(1 — в), получим, как и выше, что

| zm р ( х + z )n-m—1 dz-.

и замечая притом, что

n(n - l)...(n - m) = (-1)

Г(-p + m + 1)Г( p - n) Г(—п + m +1)

m+i Г(-п + m +1)

rn-p

будем иметь:

Г(-п)

Г Dpx” 1x =

L _lro

x Г(р - n)

n-p

(-1) p Г(-п)

где д.ч. p > 0 и n < 0. Таким образом если д.ч. р) > 0 формула остается та же, как и при д.ч. (р) < 0, только в последнем случае показатель степени n должен быть меньше д.ч. р).

Последнее выражение производной произвольного порядка от X1 было принимаемо Лиувиллем, Келландом и другими учеными за общую формулу производной от степени, существующую при всяком значении n и указателя дифференцирования р.

2.3.2. Производные показательной функции.

Положим теперь, что дифференцируемая функция есть fX) = emx. Здесь нужно различать два случая: когда число m, которое мы можем полагать для общности мнимым, имеет действительную часть положительную и когда оно имеет действительную часть отрицательную. Пусть во-первых, д.ч. (m) > 0. Замечая, что рассматриваемая функция и все ее производные обращаются в нуль при x —— —<х>, мы видим, что производные произвольного порядка получат простейшее выражение, когда будут приложены формулы (A)' и (B)', которые могут быть соединены в одну, имеющую место при всякомр, именно:

ю

1>/МТ =-----------------х fZ-‘‘X'Hx-z)dz,

L J» r(-p + s +1) 0

где з >д.ч.р — 1) есть произвольное целое число д.ч. (р — 1 ). В нашем случае

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

26

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

j!s+1)(x - Z) = и потому будем иметь:

[ ^

p mx

pe

s+1 mx ю

m e

[zs - pe - mzdZ

I Z, C- .

r(-p + s + 1) 0

Сделав в интеграле mg = а, найдем

го го

I z5-pe~mzdz = mp~s-1 |as ~pe~ada = mp~s-1Г(-p + s +1)

0 0 и, следовательно,

-ix

p p mx

pe I = mp • e .

[ D

Положим теперь, что fx) = e~mx, где д.ч. (m) >0. Так как в этом случае функция e-mx и все ее производные обращаются в нуль при x ^ +го, то для определения производной произвольного порядка будет удобно приложить формулу (С). По этой формуле, каков бы ни был указательр, найдем:

/ \s+1 - mx ю

(-m) e

[ я

pe - mx

(-1)p-s-1 Г(-p + s +1)

\zs - pe~ mdz,

Iz pe mzdz = mp - lT(-p + s +1),

\p -mx

• e .

Положив a = x0 + P(x—x0), найдем:

У = E-xT x

X0 Г(-р)

[D log;

+ -

x

r(-p)

\ (1-РУ p-1lcg Pd в.

Второй из этих интегралов приводится к функции L(q) = X(1/q), свойства которой были подробно исследованы Гауссом и Абелем (Abel. O curves completes. Tome II, p. 14); именно, полагая 1 — в = u, имеем: [См. Abel. II. p. 35]. Функция L(q) определяется при условии, что L(1) = 0; она находится в зависимости от

d l°g r(q) г( ) = ^ + d log r(q)

dq именно dq где C =

0,577215664901... есть известное Эйлерово постоянное.

f(1 - в)-P-1 log edв = fu-p-1 log(1 - u)du = Z(1 - p).

0 0 P

Замечая притом, что —р-Г (—р) = Г(—р + 1), будем иметь:

г -IX Х-Р

[Dr logx]t = r(_p +1} [gx -Щ _р)\.

Здесь д.ч. (р) < 0; пустьр =—n, n целое положительное число, тогда

1 1 1

= 1 + - + - + ... + — 2 3 n

где s произвольное целое число большее д.ч. > (р — 1). Замечая, как и выше, что

получим:

[DPe-"m L =(-m)

Выражения, найденные нами для производных произвольного порядка от функций emx и emx, в пределах дифференцирования ±го и x суть те самые, которые были указаны Лейбницем и за ним приняты всеми геометрами как общие выражения производных с произвольным указателем от показательной функции. Эти формулы были обыкновенно точкою исхода при построении общей теории дифференцирования.

2.3.3. Производные логарифма. Пусть fx) = logx, тогда при д.ч. (р) < 0 по формуле (1) будем иметь:

ГDp logx] =—1— \(x-a)P 'logada.

L 6 Jx. r(p) P 1 s

HI+n) = £-E = 1

n + 1

и потому найдем:

x x x

n logxj = JdxJdx...Jlogxdx

0 0

log x -1

x

1 1 1"

2 з . n _

xj (1 -P)-L-1 log [ x0 + в (x - x0)] d p.

0

Чтобы получить более простое выражение сделаем x0 = 0, тогда

ГDp lcg x]x = Г(1 - в)-p-1 dв +

L J0 Г(-p)

1 • 2 • 3 •... • n

Это последнее равенство легко проверить, так как все интегрирования могут быть совершены на самом деле.

Если д.ч. (р) > 0, то дифференцирование logx не может быть производимо в пределах 0 и x, ибо при x = 0 как сама функция, так и все ее производные обращаются в нуль. В этом случае можно положить нижний предел дифференцирования x0 ^ го; действительно, если сделаем в формуле (2) fx) = logx и x0 ^ го, то, замечая, что

log х0 • (х - х0)-^ =" = 0 и f (”+1) (х) = (-1)” 2'3m;;-' ^ ,

1 х

найдем:

Гlog *]- = с-йтпшц) х

l J+» Г(—р + m +1)

х|(х — а)т Р а~m—1da.

го

Положив в интеграле a = x/(1 — в), получим:

J(x-а)т Р а~m-1da =

го

1

= (-1)m-p+1 x-Р |(1 - в)Р-1рт-pdв =

=(-1)

т-p+1 x - Р

Г( р)Г(т - p +1) Г(т +1)

+го

0

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-----------------------—-----—------—-----—------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

и потому

[Dp log х | =

Г( p)

(-1)Р-1 хр '

здесь д.ч. р) > 0; прир целом эта формула совпадает с известным выражением производной логарифма.

2.3.4. Производные тригонометрических функций. Положим, что дифференцируемая функция есть fx) = e-axsinbx, где ли b положительны. Так как в этом случае сама функция и все ее производные очевидно обращаются в нуль при x — да, то будет удобно приложить формулу (С); но только прежде нужно составить общую формулу производной целого порядка для рассматриваемой функции. С этою целью находим

f(x) = e-ax{—asinbx + bcosbx},

или, если положим a = rcosp и b = rsinp, то будем иметь: f(x) = (—1)re-axsin(bx — р).

Дифференцируя второй раз получим:

f'(X = (—1)2r2e-axsin(bx—2р);

а повторив дифференцирование n раз, найдем:

f(n)(x) = (—\)nfe-axsin(bx — np),

где r — Va2 + b2 и tgp = (b/a).

Теперь, полагая в формуле (Cfx) = faxsinbx, находим:

(-1)-+1 r+1e~“

e " ' sin bx 1 =

p -ax

\ D............ . 1

L J+» (-1)p - s-1 r(-p + s +1)

ro

x Izs-pe~az sin {bx + bz - s +1p^dz

s+1 - ax

r e

Jzs pe aa cos bzdz = -

0

ro

Izs-pe-a sin bzdz =

s-p+1

r(s - p +1) sin(s - p +1)^

s - p+1

соединив два члена в один, получим:

[Dpe-a sin bx]^ = (-1)prpe-“ sin(bx - py).

Откуда видно, что производная с произвольным указателем от рассматриваемой функции сохраняет то же выражение, как и при указателе целом и положительном, если только она будет взята в пределах x — +да и x = х.

Положим теперь, что fx) = e-axsinbx. В этом случае функция и все ее производные обращаются в нуль при x —— —&>, а потому производная с произвольным указателем получит простейшее выражение, когда приложим формулы (A)' и (B)', которые, как уже было замечено, могут быть соединены в одну:

ю

[Dpf (x)J =—-------------- |-pf(s+1) (x - z)dz,

L J-» Г(-р + S +1)0

где нужно будет положить

fx = e-axsinbxи f(s+1) (x) = rs+leax sin {bx + s + 1<p).

Сделав это, получим

[Dpeax sin bx]

^+1 ax

r e

или, разлагая интеграл на две части

\Dpe-ax sin bx 1x = -L J+» (_i)p r(-p + s +1)

{го

sin(bx _ s +1ф) Jzs_pe~az cos bzdz +

0

го I

+ cos (bx _ s + ф) Jzs_pe~az sin bzdz >.

Выражения последних двух определенных интегралов известны, именно:

r(s - p +1) cos( s - p + 1)p

где ф и r имеют те же значения, как и выше. Вставляя эти выражения в предыдущее равенство, по сокращении,

Г(-р + s +1)

го

х Jzs-pe~aa sin {bx - bz + s + 1<p) dz.

0

Разделив этот интеграл на две части и повторив то самое преобразование, которое мы употребили в предыдущем случае, найдем точно также

[Dpeax sin bx]У = rpeax sin(bx + рф, где r и ф прежние значения. Если бы дифференцируемая функция была fx) = e±axcosbx, то, употребляя те самые общие формулы, получили бы, повторив приблизительно то же вычисление:

[Dpe-a cos bx]У = (-1)prpe-“ cos(bx - рф),

[Dpeax cos bx] = rp eax cos(bx + рф),

где опять r — д/a1 + b2 и ф = arg(b/a).

Последние четыре формулы получены нами из основных формул (C) и (C)'; заметим, однако, что они могут быть также выведены из выражений

LDpemx Jx = mp • em ГDpem 1x = (-m)p • e“

L J-» и L J+®

если в них сделаем p = ± a + bV-Y и сравним в обеих частях равенств действительные и мнимые части. Считаем излишним входить в подробности.

При выводе всех последних формул предполагалось, что a положительно, притом не равно нулю, ибо иначе функции e±axsinbx и e±axcosbx и их производные уже не обращались бы в нуль при x — ±да. Производные с произвольным указателем:

[D sin bxI, и [D cos bxJ

27

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

28

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

могут, однако, быть вычислены, но только они не имеют определенных значений при всяком р, в чем можно увериться непосредственным приложением основных формул. Действительно, положим, например, что д.ч. (р) < 0, тогда по формуле (1), если сделаем в ней х0 ^ +го, найдем:

ГDp sin bx 1 =----------- I"z~p-1sin b(x + z)dz.

L J+» (_i)p r(-p)J v '

Этот интеграл будет иметь величину конечную, если р или д.ч. (р) > — 1; полагая, что это условие выполнено, получим, разлагая интеграл на две части:

ГDp sin bx 1 =------1-----х

L J+” (-1Г r(-p)

{го ro |

sin bx Гz~p-1 cos bzdz + cos bx Гz-p-1 sin bzdz >, о о

Заменяя эти два интеграла известными их выражениями:

д г(- Р )cos

Гz р 1 cos bzdz = — 2

Ъ~р

|z р 1 sin bzdz =

г(- р )si

sin

-рп

b~р

найдем, соединяя опять два члена в один,

[Dp sin bx]^ = (-1)pbf

Sin

\x - рл

V

2

f (m+1)(x) = bm+1 sin

будем иметь:

[Dp sin bx] =

f

■ n

bx + m +1 —

V 2 у

b

m+1

Г(-p + m +1)

\m-p

(

sin

x J(x- a)

+ro

или, положив a = x + в,

ГDp sin bx 1 =

L J+ro T"Y ,

• П

ba + m +1—

V 2 у

da

m-p+1 i m+1

Г(-р + m +1)

л

J>

(

X | em-p sin

■ П

bp + bx + m +1— d P 2 у

или еще, разлагая синус суммы,

[Dp sin bx] =

(-1)

m-p+1 i m+1

x< Sin

Г(-р + m +1)

\ ro

bx + m+1 - I \pm-p cosbpdP

f

+ cos

bx + m +1— I jpm p sin bpd в j.

Последние два интеграла имеют величины конечные, ибо д.ч. (m — р) < 0, но > — 1. Заменяя эти интегралы их выражениями, которые приведены выше, по упрощении формулы, получим:

Д рп -------- Л

V 2 J

Эта формула очевидно также можетъ быть написана в виде:

[Dp sin bx]^ = (-1)m-р+1 bp sin

[Dp sin bx] = (-1)p bp

Sin

\x - p}

V

2

и тогда она будет тождественна с найденною выше. Из всего этого заключаем, что последнее выражение производной с произвольным указателем от sinbx справедливо при всяком р, у которого д.ч. р) > — 1. Повторяя предыдущие вычисления для cosbx, легко убедиться в существовании формулы

[Dp cos bx] = (-1)р b

cos

'bx - P}

V

2

где д.ч. (р) < 0, но > —1. Теперь, если д.ч. (р) > 0, то, сделав в формуле (2) х0 ^ +ю и замечая, что еслиfx) = sinbx, то

которая имеет место также при условии, что д.ч. (р) > — 1.

Если бы положили, что нижний предел дифференцирования х() ^ —^>, то, с помощью вычислений, совершенно подобных предшествующим, нашли бы две другие формулы:

Dp sin bx] = bp sin

3 РпЛ

bx + ——

V

у

[Dp cos bx] = b

= b cos

3 рП

bx + ——

V

В обеих последних формулах должно предполагать что д.ч. (р) > — 1.

2.3.5. Производные алгебраических функций.

Положим, что мы имеем рациональную дробь

Aq x + Aj x +... + A,

n-1

+... + B„

B0 xm + Bj xn

в которой степень числителя менее степени знаменателя. Эта функция, равно как и все ее производные, обращается в нуль при x = да, а потому для определения ее производной произвольного порядка будет удобно приложить формулу (C). Чтобы общий случай привести к простейшему, лучше сперва разложить данную дробь на частные дроби вида

2

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-----------------------—-----—------—-----—------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

1

что

(ax + b) rAe п есть целое положительное число; тогда, поскольку производная произвольного порядка от суммы функций равна сумме производных, вопрос приведется к нахождению производной

1

я+1

ГDpf (ax + b)lx -------------

L J+” (-1)p - s-1 Г(-p + s +1)

x J zs - p f (s+1) (ax + az + b)dz,

0

или, если положить ay; = в, то найдем:

s+1

x Dp —) x

о, <3 II

_ +ГО L yr J

Dp —

Г( p + п)

У J„ (-1)Р Г(п)У

следовательно

p+п ’

1

(ax + b)n

Г( p + n)

x

1

1

1

2 2

a + x

2 [ x + aj—1 x - a/—1

мы будем иметь:

1

Dp

(ax + Ъ)п

Определение этой производной мы будем основывать на следующем общем замечании. Положим, что мы рассматриваем функцию fy), которая сама и все ее производные обращаются в нуль при у = го, тогда на основании формулы (С), мы будем иметь:

„ x x i Г

Dp „ „

_ a + x _ » 21_

Dp

x + a

V—1

1

+

2

Dp

: — aj-1

или, на основании доказанной выше формулы,

х

2 2

a + х

1

1 Г(р +1)

2 (-1)р

1

[ (х + аР1)р+1 (х - aV-1)р+1 J’

Выражение, заключенное в скобках, можетъ быть представлено в более простом виде; именно, положив

Г Dp f (ax + b)l =---------i-a-----------x

L J+” (-1)p - s-1 Г(-p + s +1)

xj> - pf (s+1) (ax + b + P)d в.

0

Рассматривая вторую часть в этом равенстве, мы видим, что его можно представить следующим образом:

y=ax+b

[D f (ax + 6)0= a • [D'f( y)]+_ .

Это равенство выражает, очевидно, правило для нахождения производной от функции fax + b), когда известна производная от fx). Таким образом, будем иметь:

y=ax+b

Dp------1---

(ax + b)r

Но, как уже было доказано выше:

х± aj—l = r (s0 ± sm0.V—1)

найдем

1

- + ■

1

2cos (p +1)0

lx x aj-1

p+1

и, следовательно,

-|X

Dp X

P+1

2 , 2 a + x

(x x aj-1

Г( p +1) cos( p +1)0

p+1

(-1) prp+1

где r =*J a2 + X и в = arctg(a/X). Заметим

мимоходом, что если в первой части этого равенства вместо x/(d + X) поставим его выражение в виде определенного интеграла, именно:

х

2 2

а + х

|ezz cos azdz,

то, взяв производную на самом деле, получим известную формулу Эйлера, которая была употреблена выше:

Г( p +1) cos( p +1)0

Jzpe zx cos azdz = ■

( 2 . 2 \(p+1)/2

(a + x )

С помощью вычислений, совершенно сходных с предыдущими и которые поэтому мы повторять не будем, найдем:

(-1)p1 2 • 3 •... • (n -1) (ax + b)p+n

С помощью этой формулы можно будет найдти производную с произвольным указателем от рациональной дроби вышеприведенного вида; при этом предполагается, что д.ч. (p + n) > 0. Показатель n при дифференцировании рацинальной дроби будет числом целым; однако заметим, что последняя формула верна и при n дробном.

Положим, что нужно найдти производную произвольного порядка от функции x/(a2 + X). Замечая,

a

2 . 2

a + x

Г( p + 1)sin( p +1)0

/ Пр/ 2. 2 \(p+1)/2 ’

(-1) (a + x )

где в имеет прежнее значение. Последняя формула также может быть полезна в теории определенных интегралов.

Этим мы окончим обзор производных произвольного порядка от различных функций. Число примеров конечно можно было бы значительно увеличить, но изложенного выше мы

x

1

X

X

-ix

a

29

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

30

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

считаем достаточным для составления полного понятия об изысканиях этого рода. Возвратимся к дальнейшему развитию теории.

2.3.6. Производные от производных функций с произвольным указателем. Рассмотрим, во-первых, как определяется производная целого порядка от производной с произвольным указателем. Мы видели, что при всяком указателеp можно положить:

7 kcsf(k )(Хо)(х - х0)-р++

[ Df (( ] I =1=

k=0

Г(-р + k +1)

= (-p + k)(-p + k -1)... x

dn (x - x0) - p+k

dXn

x(—p + k - n +1)(x - x0)-p~n+k

dn(x-x0XP+k _ Г(-p + к +1) ^ p-n+k

dxn

Г(-p - n + к +1)

(x - x0)-

и что, кроме того

in x

— I (x-a)s~p f{s+l](a)da =

x0

= (s - p)(s -p -l)...(s -p -n + l) X

x

x| (x -a)s - p-nf {s+ll(a)da

dn

л

I (x-a)s~p fs+1(a)da =-

Г(-p + s +1)

+ -

Г(-p - n + s +1)

I (x-a)s - p-nf (s+l\a)da.

следующим образом:

d

dxn

[Dpf (x)]X = [D’"f (x)]X .

1 (

+ ---------- f(x-a)-'f+1'(a)da,

r(-p + s +1) (0

где s произвольное целое число, большее д.ч. (p — 1). Возьмем от этого выражения производную порядка n, полагая n целым и положительным. Так как целое s произвольно, то мы предположим, что s Т m+n, где m есть целое число, непосредственно меньшее д.ч. (р — 1). Заметив, что

Таким образом, мы получили правило для

дифференцирования символа Dp f (x)^ с целым

указателем. Очевидно, что в частном случае, когда х0 = ±&> и функцияfx), равно как и все ее производные, обращаются в нуль при х0 = ±а>, будем иметь также:

£ [ Df (x) ]Х = [ D (x) ]X,

что, между прочим, прямо видно из формул (С) и (С)'. Положим теперь, что мы желаем оддифференцироватъ функцию dnj(X)/dX с указателем р в пределах х0 и х, тогда, прилагая формулу (3), найдем:

D

p d\f(x)

+ -

dxn

1

Г(-р + s +1)

у f (+к)(xo)(x - x0)-p+k

k=0 Г(-р + k + 1)

л

I (x - a)s - p f(+s+1) (a)da,

где s произвольное целое число, большее или равное m. Сделаем здесь s = m и сравним вторую часть этого равенства с вышеприведенным выражением

X- L Df (x) 1x , + Эт

dxn L J v 71 xo в котором положим s = m + n. Это

сравнение приведет нас к такому равенству:

d

dX

{D"f(x I =

D

dL

dX

f(x)

+

+Ш f (к)(x0)(x _ Xoy_-n+k

к=0

Г(_p _ n + к +1)

dxn 3 Г(-p - n + s +1)

x0 \ J. s

X

xj (X-a)s-p-nf(s+1)(a)da,

x0

ибо при последнем дифференцировании все члены вне знака I суть нули, так как имеем д.ч. (s — р — n + 1) > 0, мы получим:

d_ Г Dp f (x) 1 x +

dxn L Jxo Г(-р - n + k +1)

1

которое, между прочим, показывает, что порядок, в каком производятся над функцией две последовательные операции dn/dxn и Dp, последняя в пределах x0 и x, имеет влияние на результат; короче говоря, эти две операции вообще не переместительны. В частном случае, когда при k = 0, 1, 2, n — 1, будем иметь, однако:

d

dX

■[ D,f (x)] X

in

Dp—f (x)

n

dx

= [ D+nf (x) ] X .

Таким образом, последние равенства будут иметь место, — и это обстоятельство весьма важно, — когда хд = ±<Х) и функцияfX) и все ее производные обращаются в нуль при х = ±®, то есть тогда

d_

dX

[ Df (x)]I =

d_

Dp—f ( x)

_

dx

= [ D+nf (x) ]I,

Расматривая выражение, стоящее во второй части равенства, легко видеть, что оно может быть написано

и следовательно для таких функций две операции dn / dX и Dp, в пределах * и х, будут переместительны.

x

x

X

X.

X

I

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 31

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

Рассмотрим теперь, при каких условиях выражение

[ D'f (XI может быть дифференцируемо с

произвольным указателем p в тех же пределах х = x0 и x = x. Предположим сперва, что д.ч. (p) < 0, и будем искать, чему равно

D [D’f (x)]

Этим символом мы условимся, для краткости, изображать таким образом:

[D .D’f (x)]^ .

Пусть, во-первых, д.ч. (q) < 0, тогда по формуле (1) будем иметь

1 1

[ Dq .D’f (*)] * = — J (х - а)- - [ D’f (а)] * da

или, вставляя вместо той же формуле, найдем:

[ Dq Dpf (х)]' =

[ Df (a) J

его выражение по

r(-q )Г(-p )

х а

х |(х - а)-q-1 da J(a - в p-1 )f (fi)dв.

x0 x0

Переменяя в двойном интеграле порядок интегрирований, получим:

[D" .D’f (x)]X = ‘ ) x

X0 Г(-" )Г(-p )

x x

xj f (fi)d в J(x -a) ’ 1 (a- ft) p - da.

x0 в

Сделав в последнем интеграле a = в + z(x — в), где z есть новое переменное, находим:

|(х-а) 9 1 (а-в) - 1 da =

в

i

= (х - в)-p-9-11(1 - z)-9-1 z-p-1dz

или, по известной формуле Эйлера

j(x-a)-<(a-в)- dr-r<-p)r(-q)

в

Г(-p - q)

(x -в)

-p-q-1

Внеся это выражение в двойной интеграл, будем иметь:

1 X

[ D“D’ f (X)] X. = Д - в)'"f в в.

Рассматривая вторую часть равенства, мы видим, что оно может быть написано таким образом:

[ D- .D’f (х) ] = [ D’+f (x) ] ^ ,

где предполагается, что д.ч. p) < 0 и д.ч. (q) < 0. Последнее равенство доказывает также, что

[D .D’f (x)]= [D’ D’f (x)],

то есть, что в рассматриваемом случае две операции Dq и D переместимы.

Оставляя по прежнему д.ч. (p) < 0, положим теперь, что д.ч. (q) > 0 и заключается между двумя целыми числами n и n + 1. Так как q = n + 1 + (q — n — 1), то, на основании доказанного выше, операцию D, совершаемую в пределах х0 и х, можно заменить двумя последовательными операциями, именно дифференцированием с указателем q — n — 1 в пределах х0 и х и взятием производной целого n + 1 порядка; следовательно мы можем написать, что

1П+1

[ D .D’f (х) ]х

dn

dx

n+1

[D-'.D’f(x)]X ;

притом, так как д.ч. (q — n — 1) < 0 и д.ч. p) < 0, то

[Dqn1.Dpf (x)]x =[Dp+q-и-1 f (x)]x .

Взяв от последнего выражения производную с целым указателем n + 1 по доказанному выше правилу, будем иметь окончательно

[D< .D’ f (х)]^ =[D’"f (x)]^ .

Итак, если выражение |Dp f (х)jj , в котором д.ч. (p) < 0, будет дифференцировано с произвольным указателем q в тех же пределах x0 и x, то в результате получится производная с указателем p + q.

Рассмотрим теперь, при каких условиях возможно взять производную с указателем q в пределах x0 и x от

выражения Dp f (х) j , в котором будем полагать д.ч. (p) > 0. В этом случае, полагая, что д.ч. (p) содержится между двумя последовательными целыми числами m и m + 1, будем иметь, как видели выше:

f f{( ) (ь)( x - х-д - “ +

k=о г(-’ + k +1)

[ o’f (x) ]X 1

+

Г(-р + m +1)

|(x-a) ’ fm+l1 (a)da.

Положим, во-первых, что д.ч. (q) < 0 и возьмем от последнего выражения производную с указателем (q).

Замечая, что производная D \Х Х0) равна

бесконечности при k = 0, 1, 2,_, m — 1, мы видим, что

производная с указателем q от выражения I Dp f (х) I

-*хо

будет иметь величину конечную только при условии Jk)(xf) = 0 при k = 0, 1, 2, ...., m — 1.

nx

-IX

0

1

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

32

ПОТАПОВ А.А. ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

(Мы исключаем здесь тот случай, когда p есть число целое положительное, ибо при этом m = p и в

[ D'f(х) ] X

все члены вне знака

Л

I ,

+ -

1

Г(—р + m +1)

J(x-а)т — fm+11 (a')da,

но, на основании формулы (1)

1

Г(-р + m +1)

= " Dp-m-1 f (m+1}( x)

и потому

rH,

|(x-a) p fm+l1 (a)da =

Г Df (x) 1 x = f(^ (x - X)

L 1 x° Г(—p + m +1)

—p+m

+

Dp—m—1 f (m+1)( x)

Dq (x - x0)

Г(-р + m +1)

-(x - x0 )'

-p-q+m

Г(-p - q + m +1)

и, во-вторых, так как д.ч. p — m — 1) < 0, то

Dq.Dp-m-1 f(m+1) ( x) ] X = Г Dp+q-m-1 f(m+1) (x)

1

Г(-p - q + m +1)

и, следовательно,

J(x-a) p q fm+l1 (a)da

-p-q+m

гdDPfwT =f (^(x—x>

L ^ x° Г(—p - q + m +1)

+ -

1

Г(—p — q + m +1)

J(x — a)m p q f (”+1) (a)da.

производную [ Д'+’/ (x) ] “ . Таким образом, при выговоренных выше условиях относительно fx), будем

иметь:

выражении

соответствующие k = 0,1, 2,_, m — 1, обратятся в°нуль

сами собою, так как они имеют в знаменателе Г(—т + k + 1), что равно бесконечности при k = 0, 1, 2, m — 1.

Этот случай был рассмотрен выше).

Полагая это условие выполненным, будем иметь:

Г D f (х) 1' = f Im>( ^(х — х У" +

Г 1 хо Г(—р + т +1)

[ D Df (X) ] X = [ D "f (x) ] X .

Положим, наконец, что д.ч. (q) > 0, оставляя по-прежнему д.ч. (р) > 0, и пусть д.ч. (q) заключается между двумя последовательными целыми числами n и n + 1, тогда на основании доказанного выше можем написать:

7И+1

[ d - D’f < x) ]d -' p'-Drf (x ]у

Теперь, так как д.ч. (q — n — 1) < 0, то полагая выполненными условия возможности дифференцирования в пределах х0 и х, на которые мы указали выше, то есть полагая, что fk)(x,) при k = 0, 1,

2, , m — 1, где m есть целое число, непосредственно

меньшее д.ч. (р), мы будем иметь:

[Dq-B \Dpf (x)]X =[Dp+-B-f (x)]X ;

а, дифференцируя последнее выражение n + 1 раз по известному уже правилу, найдем, что

[ D Df (x) ] X = [ D’+f (x) ] X .

Теперь, чтобы одифференцировать это выражение с указателем q, заметим, во-первых, что так как д.ч. (q) < 0 и д.ч. (—p + m) > —1, то, на основании доказанной выше формулы,

р+m

Соединим результаты анализа, приведенного в этой работе, в общее заключение.

При дифференцировании с произвольным

указателем q, в пределах х0 и х выражения [Dp f (х)] нужно различать случаи: 0

1) Если указатель p первого дифференцирования таков, что д.ч. (р) < 0, то при всяком значении указателя q будем иметь:

[ D Df (x) ]X =[ D"'«f (x)]X .

Рассматривая вторую часть этого равенства, не трудно усмотреть по формуле (3), что она представляет

2) Если же д.ч. (р) > 0, то результат нового дифференцирования с указателем q будет вообще конечным только при условии, что f k){x,) = 0 при k =

0, 1, 2, , m — 1, где m целое число, непосредственно

меньшее д.ч. (p), и если это условие выполнено, то будем иметь также

[ D .D" f (x) ]( =[ D"+f (x)]( .

К этому можно прибавить, что если д.ч. (p) заключается между целыми числами m и m + 1, а д.ч. (q) между целыми n и n + 1 и если/к)(х,) = 0 при k = 0,

1, 2, ..., s — 1, обозначая через s наибольшее из чисел m и n, то будем иметь, очевидно:

[Dq Df(x)]Х =[Dp .Dqf(x)]X =[Dp+qf(x)]x .

I_ Jx L L Jx

x

x

x

x

0

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-----------------------—-----—------—-----—------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

Таким образом, определились условия, при которых две операции Dp и Dq, совершаемые в пределах х0 и х, будут переместительны. В частном случае, когда х0 = ±ю и функция fx), а равно и все ее производные обращаются в нуль при х0 = ±ю, будем иметь очевидно при всевозможных значениях указателей р и q

[ D<D'f (x) = [ D-D<f (x) ^ = [ Dp '</( x) ,

если только fx) и ее производные непрерывны при изменении х от х0 = ±оэ до х = х.

2.3.7. Теорема о производной от произведения двух функций. Положим, что мы имеем две функции ф(х) и fx). Производная целого n-го порядка от их произведения ф(х)/(х) определяется по известной формуле Лейбница

dn г , , х dnf(x)

[ф (x )f (x) \ = v(x)—— +

dx

+

f n

V1 J

. dn-1 f (x) ф (x)------=4-^ +

dx

n-1

n

V 2 J

dxn

*dn-2 f (x) ф (x)------=4-^ +...

dx

n-2

... +

n

V n J

ф{п) (x )f (x),

где символы

^ n f n ^ 2

V1 J

V1

+

f p\

V 2 У

<? (x) [ Dp-2 f (x) ]x

+...

... +

p

V n У

О (x) [Dp nf (x)]X ,

которую впредь мы будем изображать кратко в виде:

Р

Z О (x) [DP rf (x) ] x •

[ (x) ];

dxp -

r=nf p\

X X1 (x) [ Dp--f(x)Jx

r=0 V r У

dp

dxp

W(x) f (x) ]=[ dx x)f(x) ] X.

Теперь естественно возникает вопрос: что будет представлять та же сумма

r=П CP^

Z T1 (x)[Dpprf (x)]X .

r=0 V r У

когдар будетъ числом произвольным. Этим изысканием мы будем заниматься в этой работе.

Для краткости мы будем означать

рассматриваемую сумму знаком ^. Покажем,

во-первых, что определение 0!~р^ всегда можно привести к определению значения выражения

того же вида n[q) , но в котором указатель q будет отрицательным числом, или, по крайней мере, в котором д.ч. (q) будет отрицательна. Замечая, что УрЛ Г„-Л У„_Л

V У

р -1

Vr

f p -Т

р-1

У \г -1 У = 0,

и что при r = 0 должно

означают по-прежнему биномиальные коэффициенты. Обобщая выражение, стоящее во второй части этого равенства, напишем сумму

<p(x)[ Dpf (x) ]X + (pV( x) [ Dp-1 f (X) ] +

положить 1 j мы можем рассматриваемую сумму разложить на две таким образом:

p -1

nT =Z IT ’(X) [ D’ -f (x) ]'_ +

+zf р;>и( x) [ D-f (x) ] x

или, переменяя во второй сумме указатель r на r + 1 и распространяя новое суммирование от r = 0 до r = n — 1, мы можем, очевидно, написать последнее выражение в таком виде:

r n f

= У

n

r=0

P —1

vr -1У

V(—)(x) [ Dp—rf (x)] X

+

r=n-11 P — 1 +!'p 1

r =0

r-1

dp^r (x)

dx

[ Dp—r—1f (x) ]x .

r=0 V r У

В этой сумме р число совершенно произвольное действительное или мнимое, n есть число целое положительное, х0 произвольное постоянное. Еслир будет целым и положительным, притом или меньшим или равным n, то, замечая, что в этом случае

Т dp-f(x)

Выделив из первой суммы последний член и затем соединив две суммы в одну, найдем:

Q(p) =

Р _1

r=0

УП j

r = П-1 f p 1 Л

+ГР 1

У"'( x) [ Dp-nf (х) ] X

+

мы, на основании приведенной выше формулы Лейбница, будем иметь

+

V'

dq>(r)( х)

УД X) dx [ D'-r-1 f (x) ] X

j

+

dx

[ Dp r r'f (x) ]X

или

0

0

0

33

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

34

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Q(p) =

^n

(p -11

\n J

<У"( x) [ Dr-”f (х) ];

+

d r=n- ( p -11

+d £ У ^(x)[D’-'f(x)]’ .

dx ^ r J L Jxo

Прибавляя и вычитая из второй части этого равенства выражение

(p - Л

d_ dx

получим

кп J

d

fp -1

^ n)( x) [ Dp-n-lf (x) ] X rP -1>

г X

<P( й+1)( X) [ Dp-n-1f (X) ] X

Q(p) = и £ у ^(x) -DP----f (x)]X

dx {г I L Jx

по определению знака Qq ’ имеем:

r=n

dr-11 =1

A(P %м(х) [D'-'fixyJ

r=0

Vr У

и, следовательно, будет:

0(р) = d о(р-1)

7

dx

f p - л

\n j

Vu"\x.) [Dr-' f(x)Jx .

П':) =Z '(X)[D-'f(x)]* ;

r=0 ^ ' ) Xo

но так как д.ч. (q — r) < 0, то по формуле (1)

1 х

[D<-f(x >£ = Г(—> f (a)d.

a

и, следовательно, будет:

1

d9 ■=s

r=«r q\

r=0

V r J

r(-9 + r)

xj"(x-a) 9+r 1 (x)f (a)da.

x0

что может быть написано таким образом:

n[< ■ = J

x0

z

V

V r У

=0 Г(—q + r)

(x -a)rq^r (x)

x(x-a) q 1 /(a)da.

Теперь, замечая, что

q(q — l)...(q - r + 1)

V

V r У

1 • 2 • 3 •... • r

r(q +1)

1 • 2 • 3 •... • r •r(q — r +1)

и, кроме того, что, по известной теореме Эйлера

п п

r(-q + г )r(q - г +1) = —---— = -——----------;

sm(r - q)n (-1) sm qn

мы будем иметь:

q( ?) =_sin qn

П

T(q +1) x

л

J

(x _a)r ф(r)(x) У (_1)r V--------) Y \ >

±0 1 • 2 • 3 •... • r

Это равенство показывает, что определение

Q[p) приводится к определению &npV> ,то есть того же выражения при указателе p — 1 единицею меньшем. Понижая таким образом указатель p

постоянно на единицу, мы можем выразить оу в зависимости от Q Пq , где д.ч. (q) < 0. Займемся теперь определением пу , полагая д.ч. (q) < 0. Имеем:

rq^

x(x_а) 4 f (a)da.

Но по теореме Тейлора, выражая остаток ряда в форме данной Лагранжем, имеем:

(x-а) р(rУх) у (_iy v---> Y w =

1 • 2 • 3 •... • r

(а_ x )n

= q>(x) + (а _x)ф'(х) +... + ^ ^ —-—q>(n>(x) = 1 X

= <р(а) + гтх.---Id"+" (P)( -P J dP.

1 •2 •3 •... •n а

Вставляя это выражение в предыдущее равенство, получим:

(nq) =-Sinх f(x-а) ) 1 ф(а) f (a)da-

а

sin nT(q +1) п -1-2 • 3 •... • n

|(x-а) ) 1 f (a}da х

xjyn+1)(e)(a-e)nd в,

но, принимая во внимание, что T(-q)r(q+1)--n/sinqn и

также, что по формуле (1)

0

VП I

о

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 35

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 2.

1 x

|(х~a)~<P(a)f (a)d,

= [D<<p(x)f (x)£,

мы найдем окончательно, что

Q(q) = ^ 4

a =

n

X O(x) [ D

r=0 v r У

= [ D>(x) f (x) ] X + Pp',

где Rq} есть остаточный член, определяемый по формуле:

Rq ) =-------1---------х

” 1 • 2 • 3 •... • п • Г(—q)

х J(x -а) 4 1 f (a) da jq>(п+1 (Р)(а - в) dft.

х0 а

Мы получили, таким образом, искомое выражение символа Q(q-1. Теперь мы докажем, что символ Q(p), в котором д.ч. р) > 0, имеет то же самое выражение. Однако прежде, нежели приступим к этому доказательству, сделаем одно замечание о двойном интеграле

|(х -а) - 1 f (a)da fa(+l1 (в)(а - в) dв,

х0 а

в котором будем полагать д.ч. р) > 0. Этот интеграл будет по прежнему входить в выражение остаточного члена. Если д.ч. р) > —1, то подинтегральная функция

f (а)]ф{п+Г) (р)(а -р)” dр

_______а________________________

t \-р+1

(х-а)

при верхнем пределе а = x представляется в виде 0/0 и потому необходимо увериться, что она при этом не обращается в бесконечность. Взяв производные по а от числителя и знаменателя, будем иметь дробь

x x

f '(a) ]Дп+1)(в)(а -pydp+ nf (а)]Дп+1)(в)(а -в)-1 dp

-(p +1)( x -a)p

Сделав здесь а = x, получим вообще опять неопределенное выражение. Положим, что д.ч. (p) заключается между последовательными целыми числами m и m +1, тогда, если числитель и знаменатель подинтегралъной дроби одифференцируем по a m + 2 раза, в знаменателе будем иметь множитель (x — <0fm-1, который при a = x уже обратится в бесконечность; числитель же будет состоять из нескольких членов, содержащих множители вида

)Rn+1] (Р)(а - P)nr d д

а

которые все при а = x обратятся в нуль, если только число n было взято столь большим, что n — r > 0. Притом, так как r очевидно не может быть более m + 2, то очевидно достаточно положить n > m + 2; при таком n подинтегральная функция обратится в нуль при верхнем пределе а = x и следовательно вышеприведенный двойной интеграл будет вообще иметь величину конечную. Обратимся снова к

рассмотрению символа Q(np) при д.ч. (р) > 0, и будем полагать впредь, что произвольное целое число n взято более д.ч. (р + 1). Пусть во первых д.ч. (p) заключается между 0 и 1. Выше было доказано, что

Д - Г

qCp) _ d о(p-i)

^n 1 и

dx

V

Ч>,"",( x) [ Dpf (x) ]

и так как по предположению д.ч. (р — 1) < 0, то по выведенной выше формуле имеем:

а\Г" = [ DrM x) f (x) ] X + R--'>,

d( p-l)

где Rn есть известный уже остаточный член.

Одифференцировав это равенство по x и замечая,

что

d r(p-1) ________—P_________v

dx n

1 • 2 •... • nT(-p +1) x |(x -a) P 1 f (a)da JV^1-1 (P)(a - в) dв +

+ -

(-1)>(П+1)( X) }( )-p+n ,( w

-—-t-----—----- I(x-a) f (a)da,

1 • 2 • 3 •... • пГ(-p +1) ’ V ’

и притом, так как д.ч.(—р + n) > 0, то

J(x-а) Р+” f (a)di

а =

= Г(-Р + n +1) [ Dp~n~\f (jc) ] X

будем иметь

d o(pо dx n

= [ D-<p( x) f (x) ] X

+

. (-1)n Г(-p + n + 1)Уп+'»(x),,

~г X

1 • 2 • 3 •... • пГ(-p +1)

x[ D?-n'f (x) ]x + R p).

1- -lx0

Но

Г(-p + n +1)

Г(-p+1)

= (-1)” T2• 3 •...• n

и потому

= (-p + n)(-p + ” + 1)...(-p +1) =

p-1

n

0

0

0

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

36 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

d о(p-i dx п

[ O>( x) f ( x) ] X

+

+

Р - 1

Уп J

<P"'\X) [ O'f (x) ] X

+ R

(p)

Вставляя это выражение в вышеприведенное равенство, определяющее П(/ ^, получим:

П • = [ D'V(x)f (x) ]x + R' >.

1- —lx0

Это выражение символа Q(p) в котором д.ч. (р) заключается между 0 и 1, есть то самое, которое было найдено выше для символа q(; } при д.ч. (q) < 0. Если теперь положим, что д.ч. (р) > 1, но < 2, то с помощью равенства

Р -1

<Р’Лx)[D'-"-'f(x)J ,

o pi — А_ o' р-1)

^П 7 ‘и

dx

повторяя предыдущий вывод, убедимся в существовании того же выражения для Q(np). Также докажем, что в случае, когда д.ч. (р) > 2, но < 3 для QT) удержится то же выражение. Таким образом, заключим, что при каком бы то ни было указателе будем иметь:

«Р • =[ D>( x) f (x) ] ( + R ').

где только целое число n должно быть взято больше д.ч. (Р + 1).

Как заключение всего вышеизложенного мы получаем следующую теорему. Производная с произвольным указателем (р) от произведения двух функций ф(л) и fx) определяется формулой:

if p Л

[Dpv(x}/(x)]X = £ 9ir\x)[D - f (x)]

- R

(p)

r=0 V r У

в которой n означает произвольное целое число, большее или равное д.ч. (р + 1). Символ Rр есть остаточный член ряда, стоящего во второй части равенства: он имеет следующее выражение:

Rр) ---------1--------х

и 1 • 2 • 3 •... • пГ(-р)

х -а) Р 1 f (a)da JVn+1) (в)(а - в) dв.

х0 а

При приложении этой теоремы должно предполагать, что функции fx), ф(л), ф'Д), ф"(х), ... остаются конечными и непрерывными при изменении

x от x = x0 до x = x.

Это строгое выражение теоремы о производной произвольного порядка от произведения двух функций с определением остаточного члена ряда было дано доктором Грюнвальдом.

Положим теперь, что число n увеличивается неопределенно и рассмотрим, при каких условиях остаток ряда R(nрр будет стремиться к нулю. Преобразуем

с этой целью выражение R(n р ^. Сделав сперва в — а + z(x — а), где z есть новое переменное, получим:

Rр ) =

(-1)” (x - x0)-p+1 х 1 • 2• 3•...• n-Г(-р) Х

1 1

х JJH •(l - z'У р zndz'dz,

0 0

а потом, положив а — x0 + ДД—x(), найдем:

H = f [x0 + z'(x - xo)]x

Хф(я+ч [x0 + (x - x0)(z + z' - zz')].

где H =fx0 + z'(x - x0)]ф(”+')[x0 + (x - x0)(z + z - zz)].

Из этого выражения уже прямо видно, что при

неопределенном увеличении n остаток R(np^ будет

стремиться к нулю, если только функцииfx) и фД) и все

производные последней сохраняют величины конечные

при изменении x от x = x0 до x = x. При этих условиях

мы можем написать бесконечный ряд:

[ D>(x) f(x)] " = р(x) [ Dpf(x)] " +

1- -Jx0 L -lx0

+ [рУ« [ D-1f (x) ]* +... + ^ ^"(x) [ Dp-rf(x) ]* +...

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ГЛАВНЫХ ПОЛОЖЕНИИ ТЕОРИИА.В. ЛЕТНИКОВА (ОТВЕТ ОППОНЕНТУ)

Теория дробного дифференцирования, разработанная А.В. Летниковым, вызвала оживленную полемику, в ходе которой автором был выполнен углубленный анализ математических основ этой теории [30], имеющий целью устранить недоразумения, повод к которым дала статья “О дифференцировании с произвольным указателем”, напечатанная в первом выпуске VI-го тома “Математического Сборника” на стр. 1-38. Автор этой статьи, Н.Я. Сонин, не ограничиваясь попыткой вывести основные формулы теории из известной формулы Коши, дающей выражение производной целого и положительного порядка c помощью замкнутого интеграла, считает необходимым отнестись критически ко всем другим воззрениям на тот же предмет и, в выражениях весьма категорических, отрицает состоятельность этих воззрений в их основаниях. Имея в виду научный интерес предмета, А.В. Летников посчитал вынужденным остановиться на некоторых решительных положениях, высказанных Сониным в этой статье. Доводы А.В. Летникова в защиту своей теории изложены в его статье «К разъяснению главных положений теории дифференцирования с произвольным указателем». Матем. сб, 1873, 6(4):413-445 и приводятся ниже без изменений.

I.

Задача теории дифференцирования с произвольным указателем, как мы ее себе поставили в нашем рассуждении

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 37

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 3.

(Теория дифференцирования с произвольным указателем. Москва. 1868. Том Ш-й Maтематического Сборника) состояла в интерполировании по форме двойного ряда, составленного из последовательных производных данной функции ■■ШШ'Х), ...,/%), ... (а)

и из кратных интегралов

f ( x) j f ( x)dX j f ( x)dXf ( x)dxп

(b)

то есть в составлении такой формулы, выражающей операцию над функцией fx) и содержащей

произвольный указатель £, которая, при £ равном последовательно целым положительным числам 0, 1, 2, 3,.... воспроизводила бы все члены ряда (а), а при равном последовательно целым отрицательным числам 0, —1, —2, —3, , давала бы все члены ряда (b). Нахождение такой формулы составляет первый вопрос теории; затем уже, означив операцию, выражаемую такою формулою, представляющею обобщение производной целого порядка, через D или через dfx)/dX, мы предложили себе рассмотреть, насколько позволительно распространить на этот символ при произвольном £ те правила действий, которым он подчиняется при £ целом положительном или отрицательном.

Приступив к решению первого вопроса теории, мы с намерением ограничили общность его постановки; именно вместо ряда (b), составленного из неопределенных кратных интегралов, ряда в котором каждый член сопровождается дополнительной целой функцией с произвольными постоянными коэффициентами, мы взяли ряд, составленный из кратных определенных интегралов, причем положили, что каждое из интегрирований производится между пределами и и х, означая через и произвольное значение переменного и полагая, что fx) остается конечной и непрерывной в пределах и и х. Таким образом, мы поставили себе вопрос об интерполировании по форме, в выше объясненном смысле, уже не рядов (а) и (b), а двойного бесконечного ряда, не содержащего дополнительных функций, именно ряда:

-Яf (x)dx2’ 1f (x)dx>f (xff" (x)’-

u u u (А)

в котором каждый член есть производная по х от предшествующего члена, и мы обозначили символом

; Df (x) j

формулу, которая, при £ равным последовательным целым числам положительным и отрицательным, должна воспроизводить все члены бесконечного ряда (A).

Ограничивая, таким образом, общую постановку вопроса и высказав в одном из “положений” нашего рассуждения, что может существовать решение

более общее, чем то, которое предлагалось нами, мы желали придти к результатам хотя и менее общим, по-видимому, но зато более определенным, чем те, которые получались различными геометрами до д-ра Грюнвальда. Чтобы получить формулу, интерполирующую по форме ряд (A), мы рассматривали выражение

f (x) - f (x - S) + j f (x - 2S) -... + (-1)” ^ j f (x - nS)

x - u S f)

в котором S=-----, и где символ I I означает

биномиальный коэффициент p + 1 порядка, именно

Д) $(-1 )...(-р+1)

4pJ \.23....р '

Нетрудно усмотреть, что, при £ равном целому и положительному числу, предел выражения (1), при n целом и возрастающем неопределенно, одинаков с пределом выражения

f (X) - (** j f (x - 5) + j f (x - 25) -... + (-1)* j f (x -*5)

5* ’

в котором 8 стремится к нулю вследствие неопределенного возрастания n и которое, как известно из элементарного курса, имеет пределом производную порядка £ от функции fx). Действительно, первое из этих выражений отличается от второго только тем, что в его числителе прибавлена совокупность членов

(-1)

4+1

+(-1)

4+2

4 +1 4

4 + 2

f ( -4 +и) + f (x-4+ 28)...

которых число неопределенно возрастает, но из которых каждый равен нулю независимо от значения n, ибо

содержит множителем биномиальный коэффициент

равный нулю, так как символ | ^ I очевидно обращается в нуль, при £ целом положительном, всякий раз когда p получает значение целое большее £.

Таким образом, производная f>(X целого и положительного порядка £ может быть определена как предел выражения (1), предел, находимый при условии, что в этом выражении целое число n возрастает неопределенно, вследствие чего 8 уменьшается неопределенно. Стало быть при 8 = (х — U)/n и при £ целом и положительном, имеем:

f x) = lim X (-1)'

p=0

\ Р

f (x - p8)

8

4

(2)

при u = го, где ^ о J = 1 и где функция fx) полагается конечной и непрерывной при изменении в ней переменного между пределами и и х.

Рассматривая то же выражение (1) при £ целом,

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

38

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

но отрицательном, мы доказали в нашей статье на стр. 5-12, что предел его при n = * есть кратный определенный интеграл порядка £, интеграл, в котором все интегрирования совершаются между пределами и и х, так что полагая во второй части равенства (2) £ = —м, где м целое положительное, будем иметь

5

p=n lim X (-1)p p=o l p)

f (х - р8)

85

Я -Jf (x)dxm.

Следовательно, заключили мы, формула (2) может удобно служить для интерполирования ряда (А), так как, полагая в ней £ равными последовательно целым и положительным числам 0, 1, 2, 3, ..., мы получим из нее все члены, составляющее правую сторону ряда (А), то есть

№ /(*), Ш •.., /%), ...,

а полагая в ней же £ последовательно равным целым отрицательным числам —1, —2, —3, ., мы воспроизведем из нее члены, образующие левую сторону ряда (А), то есть члены

J f (x)dx, J J f (x)dx2, JJJ f (x)dx3

II.

Напомнив общую постановку вопроса в нашем рассуждении, мы обратимся теперь к рассмотрению решительного отрицания, представленного автором статьи «О дифференцировании с произвольным указателем» относительно существенного пункта этой постановки. На странице 5-й своей статьи он утверждает, что предел выражения (1), то есть предел суммы

f(x - pS)

I (-1)p

p=0

V p J

S

при выговоренных выше условиях, имеет конечную величину и может быть выражен определенным интегралом только при £ < 0, или, все равно, когда действительная часть £ < 0, но что: вне этого последнего условия вообще он имеет бесконечно большую величину. Понятно само собою, что если это утверждение верно, то формула (2) не может служить интерполирующим членом для ряда (А) по крайней мере при £ положительном.

Автор не только утверждает, но и подкрепляет свое утверждение особым доказательством. Теперь два слова об этом доказательстве. Автор показывает, что бесконечный ряд, стоящий числителем в выражении (1), то есть ряд

f ( х)

(£)

f (x -8) +

Я! 12 J

f (x - 28) -...

при £ > 0 есть сходящийся, в чем мы не можем с ним не согласиться; следовательно, заключает он, “при £ > 0 числитель рассматриваемого предела имеет величину конечную, и так как знаменатель бесконечно мал, то этот предел = *”.

Мы думаем, что ряд может быть сходящийся, но что это не препятствуете сумме его быть равною нулю. Скажем более, для того, чтобы при £ > 0 предыдущее выражение (1) имело конечный предел, необходимо, чтобы бесконечный ряд, стоящий в числителе, был сходящийся, ибо сумма его должна быть равна нулю. Вот и все, что мы имеем сказать о возражении автора. Читатель не потребует от нас, конечно, дальнейших разъяснений.

Возможность рассмотрения предела выражения (1) при произвольном £ требует, разумеется, чтобы этот предел сохранял величину конечную. Первое доказательство этого предложения была дано д-ром Грюнвальдом в его мемуаре 1867 года (Zeitschrift fur Mathematik und Physik. XII Jahrg. S. 441.); другое доказательство было представлено в нашем рассуждении на стр. 14-26; автор статьи, о которой идете речь, делает, мимоходом, замечания об этих доказательствах, но, вероятно, в виду приведенного им и рассмотренного нами выше основного выражения, считает излишним останавливаться на их оценке.

III.

В нашей статье было доказано, во-первых, что при £ < 0 или, если £ мнимое, то при действительной части £ < 0, предел выражения (1) равен определенному интегралу

1

rR)

|(х-а) ) 1 f (a')da,

u

и, следовательно, этот предел имеет в этом случае величину конечную всякий раз, когда fa) будет конечной и непрерывной в пределах от a = и до a = x. (Мы не будем оговариваться, но читатель будет везде иметь в виду, что подынтегральная функция может обращаться и в бесконечность при нижнем пределе, лишь бы эта бесконечность была порядка дробного меньшего единицы.) Во-вторых, что при £ > 0 или при д.ч. (£) > 0, то же выражение имеет пределом сумму

f (u) (x - u ) f(u) (x - u )+1

ГК +1) + ГК + 2) +

f (m)(u)(x -u)-5+m ''' + Г(-£+ m +1) +

1

+

Г(-£ + m +1)

J(x-a)

t+m f ^+m\a)da,

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 39

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 3.

где m есть число целое, непосредственно меньшее или равное действительной части £. Таким образом, по данному нами доказательству выходит, что предел выражения (1) имеет при £ произвольном, но > 0, вообще величину конечную, если только fa) и ее последовательные производные до m-го порядка включительно не обращаются в бесконечность при a = и, и если притом fm+1)(a) остается конечной и непрерывной в пределах от a = и до a = х. Обозначив предел выражения (1) символом

[ Dtf (*> I

мы приняли, при £ < 0, для него следующую общую формулу:

[&f(x) J ==7^7 )(х -а)~*- f (a)da,

[ J“ Г(-§) Г (I)

а при £ > 0 тот же символ предложили определять по формуле:

[ D f (x) ]x = %f{k )(u)(x - u r*+k +

k=0

Г(-£ + k +1)

+ -

1

J(x-a)+m f(a)da.

r(-% +m +1) Ju' ' ' (II)

Обе эти формулы, как было нами замечено, могут быть соединены в одну общую (стр. 26).

Символ ГD* f (x) j , имея в виду его происхождение из выражения (1), мы назвали производной произвольного порядка £ от функции fx). Впрочем, согласно указанной выше общей постановке вопроса, формулы (I) и (II) и независимо от их происхождения могут быть очевидно приняты как интерполирующие по форме ряд (А) и следовательно, как представляющие определения производных с произвольным указателем, ибо непосредственной поверкой легко убедиться в том, что если в формуле (I) сделаем последовательно £ = —1, —2, —3, ..., то воспроизведем из нее ряд кратных интегралов

} f (X),}} f (x)dx

u u u

а если в формуле (II) сделаем последовательно £ = 1, 2, 3, ..., то получим из нее ряд производных fx), f(x), f "(x),..., а выполнение этих условий и составляет, с нашей точки зрения, первое требование от интерполирующих формул. Таким образом, не может быть никакого сомнения в том, что формулы (I) и (II) могут служить для означенной цели, хотя мы, конечно, не будем утверждать, чтоб эти формулы были единственными. Вопрос об интерполировании по форме есть, понятно, вопрос по существу своему неопределенный, и не было бы ничего удивительного, если бы кто-либо нашел иные формулы, могущие служить для той же цели. (Припоминаем, что такое же замечание было сделано Лиувиллем, отвечавшим

на возражение, представленное ему Тортолини). Насколько найденные нами формулы позволяют

на символ ГD* f (x)jХ распространить те правила действий, которые существуют для этого символа при £ целом положительном и отрицательном, можно видеть из теорем, доказанных в нашем рассуждении, где исследование свойств рассматриваемого символа сделано с помощью формул (I) и (II), принятых нами за его определение при £ произвольном. Понятно само собою, что все теоремы, доказанные нами посредством формул (I) и (II), имеют место только при условии существования этих формул и не могут быть распространены на исключения, упомянутые выше и тщательно оговоренные в

нашей статье. Таким образом, символ [D f (x)j определяемый при £ > 0 формулою (II), может быть употреблен только при условии, что ни функция fx) и ни одна из ее производных порядка низшего или равного £, не обращается в бесконечность при x = u, ибо, в противном случае, он представляется формулою (II) в бесконечном или неопределенном виде, что показывает, что формула (II) не имеет места в рассматриваемом исключительном случае; равным образом, при £ < 0 употребление того же символа требует, чтобы функция f(x) не обращалась в бесконечность при изменении x между пределами

и и x и пр. Употребление символа ГD f (x)J без внимания к условиям, при которых этот символ определен формулами (I) и (II), может, конечно, привести к “противоречиям”, подобно тому, как можно получить ложные результаты, распространяя

f f (x)dx

на определенный интеграл , в

котором подынтегральная функция обращается в бесконечность между пределами интегрирования, все правила действий, доказанные для определенных интегралов, в предположении что функция f(x) остается в пределах интегрирования конечной и непрерывной.

IV

Автор статьи “О дифференцировании с произвольным указателем” указывает (стр. 7.) на одно “противоречие”, которое, по его словам, “ярко бросается в глаза при самом поверхностном обзоре теории д-ра Грюнвальда”. Взяв равенство

[ DD(1) Т = [ (1) Т

(3)

которое, как частный случай равенства [D«D--f (х)Т = [D’-- f (x)Г ,

(4)

должно, по одной из теорем, доказанных в нашей статье, существовать при £ > 0 и при произвольном п, и замечая,

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

40 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

что по нашим общим формулам при всякомp будет:

г- -|х (x и)

Г Dp (1) 1 -----Ю

L J“ Г(-p +1)'

автор, сделав соответствующую вставку в равенстве (3), получает

[Dn (х - и ) -

Г(^ +11 Т(-ц+1)

(х - и)'

On

(5)

при произвольном п и при £ > 0, между тем как мы могли допустить эту формулу существующей, в случае п > 0, только при действительной части £ > т, где т есть целое непосредственно меньшее д.ч. (п).

Объяснимся по поводу этого кажущегося противоречия. Равенство (4) доказано в нашей статье. Данное там доказательство заключается в исполнении на самом деле следующего вычисления: над функцией fx) производится, во-первых, операция, означенная символом D, операция эта производится по определенному правилу, именно, в настоящем случае при £ > 0, по формуле (Г); от этого действия получается некоторый результат, положим ф(х), над которым производится новая операция, означенная символом D1, опять-таки по определенному правилу, именно так как п > 0, то по формуле (ГГ); окончательный результата двух названных операций представляется в особой определенной форме, из рассмотрения которой и обнаруживается, что тот же самый результат может быть получен, производя над функцией fx) одну операцию вместо двух, именно операцию, означенную во второй части равенства (4) символом Dnfx). Таким образом, получено равенство (4) и, в частном случае, равенство (3). Должно быть понятно, что, так как две последовательные операции первой части равенства подлежат известным ограничениям, так как эти операции могут быть не всегда возможны или, по крайней мере, не всегда могут быть производимы по тем общим правилам, которые применялись нами при составлении равенства (4), то и результат их может быть представлен в виде, означенном во второй части только под условием возможности совершения этих операций по примененным нами общим правилам, то есть по формулам (Г) и (ГГ). Первая из двух рассматриваемых операций, означенная символом Df требует для возможности ее совершения, чтобы fX не обращалась в бесконечность между пределами и и х, вторая операция, означенная символом Dn, и производимая над результатом первой ф(х), требует, чтобы ф(х) и все ее производные до т порядка включительно, где m есть целое число, непосредственно меньшее действительной части п, не обращались в бесконечность при х = и. Равенство (4) или (3), верное вообще, будучи приложено к такому частному случаю, в котором выговоренные условия не соблюдаются,

может потерять свой смысл или же оказаться неверным. Автор статьи, которую мы рассматриваем, приходит к указанному выше противоречию именно потому, что оставляет без внимания условия, при которых равенство (3) существует, условия, без выполнения которых это равенство и не могло бы быть доказано. Совершенно верно, что

Г D- (1) ]' = ( ~ "){

L 'X р(_£ +1)

при £ произвольном, но если мы хотим заменить символ Df1) в равенстве (3) этим его выражением, то мы можем это сделать в случае п > 0, только тогда, когда д.ч. (£)будет

(х - и)

> т, ибо иначе или сама функция Ф(х) = +1)

или некоторые из ее производных порядка ниже m + 1 будут обращаться в бесконечность при х = u, и тогда, с точки зрения нашего рассуждения, операция D11, которая должна быть произведена по формуле (ГГ), сделается невозможной, и результат невозможного действия будет представлен во второй части в определенной форме. Произойдет это очевидно оттого, что мы применяем уравнение (4), верное вообще, к такому частному случаю, который мы сами исключали при составлении этого уравнения. Из всего изложенного выше должно быть ясно, что вывод формулы (5), предложенный автором, неправилен вообще и может быть употреблен, если п > 0, только при £ > т , а при таком условии та же формула доказана и в нашей статье. Рассматривая формулу (5) независимо от ее вывода при п > 0 и при £ произвольном, но положительном, как это делает автор, мы не думаем однако, чтобы она сама в себе заключала какое-либо противоречие с общей теорией. По мнению автора противоречие заключается в том, что мы находим, что при п > 0 и при £ положительном, но меньшем т, производная, стоящая в первой части равенства (5), бесконечно велика, между тем как он получает для нее конечную величину и в этом случае. Тут не более как недоразумение: мы не находили, чтобы в рассматриваемом случае производная имела бесконечную величину, но только заметили, что по формуле (ГГ) она не представляется в конечном виде. Крайне сожалеем, что одно неточное выражение в нашем рассуждении могло автору дать повод сделать подобное заключение. На странице 31 нашей статьи сказано, что производная

[ D' (x - x„) ’ ] X

при p > 0, как видно по формуле (ГГ) “будет иметь величину конечную только при условии, что n > m”; следовало сказать: будет представляться в конечном виде только при n > m. Приняв формулу (Л), как служащую для вычисления производных с положительным указателем,

0

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 41 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 3.

мы тем самым, понятно, условливались рассматривать эти производные только для функций, которые при нижнем пределе дифференцирования, т.е. при x = и не обращаются в бесконечность, и выполнения того же условия требовали от их производных целых порядков до m включительно. Производные с положительным указателем от функций, не удовлетворяющих этому условию, были исключены из нашего рассмотрения, потому что они не могли быть вычислены по формуле (II), и мы не имели другой формулы для их вычисления.

V

Мы разобрали два возражения, которые автор рассматриваемой статьи считает, по видимому, существенными, так как они им помещены в предисловии для того, чтобы показать читателю необходимость нового “возможно осмотрительного” исследования оснований исчисления общих производных, к которому он затем и приступает.

Желая способствовать разъяснению предмета, столь противоречиво разработанного различными учеными, мы осмеливаемся, со своей стороны, в последующем изложении представить несколько замечаний относительно общих формул, предлагаемых автором в его статье. Основные формулы автора или прямо не согласны с теорией, разработанной в нашем рассуждении, или выражены им в особой форме, скрывающей их тождественность с нашими. читатель может быть введен в недоумение, сравнивая новые выраженья общих производных с теми, которые были даны в нашей статье. Устранить эти недоумения или, по крайней мере, указать их источник, в виду научного интереса предмета несомненно трудного, есть единственная цель приводимых далее замечаний.

Сущность труда автора заключается в выводе общих формул, выражающих производные с произвольным положительным или отрицательным указателем.

На стр. 13-16 автор выводит общее выражение производной с положительным указателем р от произвольной функцииДх). Анализ, им употребленный, приводит его к следующей формуле:

dpf (x) = Г(p +1) " f (a)da

dxp Ini "(a- x )p+1’

где во второй части равенства стоит замкнутый интеграл, взятый по контуру, содержащему внутри точку x, идущему от произвольной точки а и возвращающемуся в ту же точку. Не уменьшая общности формулы, мы можем написать ее в виде:

drf(x) Г(p +1)"г f (a)d<x

d*P = 2ni Ja (a- x y"’ (6)

где a есть действительное количество. Будем

представлять себе, что замкнутый интеграл берется на

плоскости по кругу радиуса a, описанному из точки x. читатель видит, что формула, принимаемая автором, есть известная формула Коши, распространенная на произвольный указательр, которого действительная часть положительна. Автор выводит эту формулу из данных им определений. Не позволяя себе, без надобности, останавливаться на критической оценке его анализа, мы предоставляем эту оценку внимательному читателю. Мы ограничимся только рассмотрением того отношения, в котором находится формула (6) к нашей формуле (II), имеющей ту же цель, то есть также служащей общим выражением производных с положительным указателем. Несомненно, что формула (6), дающая при р = 0, 1, 2, 3, ... ряд производных целых порядков: fx), f(X), f(x), f"(x), ..., может служить интерполирующим членом этого ряда, может с нашей точки зрения, быть взята по определению за общее выражение производной с произвольным положительным указателем. Положим, что мы приняли эту формулу, и спросим себя: какого рода выражения для производных она доставит нам, и чем эта формула отличается от нашей (II)? Для решения этого вопроса мы преобразуем формулу (6) следующим образом. Полагая а = x + ad, где в есть новое переменное, мы напишем формулу (6) в следующем, часто употребляемом виде: df (x) Г(р +1)

2п

dxp

2пар

I f (x + ae‘e )e

piQ

dQ.

(7)

Условливаясь в том, что не только функция fa), но и ее производные до m + 1 порядка включительно остаются конечными, непрерывными и одноизменными внутри круга радиуса a и на его окружности, мы можем в формуле (7) произвести интегрирование по частям и написать предыдущее равенство в таком виде:

df (x)_ Г( p + 1)2П„________

+

dxp

Г( p +1)

2 pnaf

2 pniaf

I f (x + ae‘e )e

piQ

dQ +

1 | f(x + ae'e)e

(p-i)iQ

dQ,

или

dPf (x) Г(p)1 - e

-2 pni

dxp nap 2i

2n

- f (x + a) +

+ ГР f f '(x + aeie )e-p-l)ied6.

2nap-1 0

Но, по известному свойству функции гамма,

Г( p) = 1 ,

n sin pnT(-p +1)’

а другой множитель

1 pn. gPKi e- pni

2i

2i

e pni = (-1)p sin pn,

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

42 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

вследствие чего будем иметь:

dPf (х) _ (-a)-Р

dxp

Г(-p +1)

f (х + a) +

+ Г(Р\ ff '(x + aeie )e~(p-1)i9de. 2nap r

кругу, приобретет множитель (e2’1) р+т — e 2р+т)ш и потому будем иметь

x+a x

J f (m++) (a)a-x) p+m da = j f (m+1) (a)(a -x) p+m da +

x+a

+e-4p-m) j f(m+1(a)(a-x)-p+mda;

Интеграл, стоящий во второй части равенства, отличается от первоначального только тем, что в нем вместо функции f входит функция f и вместо указателяp указательp + 1, а потому к этому интегралу прямо прилагается то же преобразование. Повторив интегрирование по частям т + 1 раз, очевидно получим

dPf (x) = (-д)-Р f (x + a) +

dxp Г(-р +1)

+ (-a)-p‘\ f ■( x + a) +...+ (-дГ"'/’’^ x + a) +

Г(—р + 2) Г(—р + m +')

+ Гр-т) rf(’+')(x + дею)e-(p-m-')iOdQ.

2nap—m-' 0

Преобразуем интеграл во второй части равенства, вводя в него снова переменное а и полагая х + ad6 = a. Замечая, что

e~{p-m-\)ie _—_ a_ х) p+m da,

ia~p+m+l V '

находим

Г(p~m] Jf(m+1)(X + aei9)e-(p-m-1)i9d6 =

2nap- 1

Г(p - m) 2ni

x+a

J f {m+11(a)(a-x)

x+a

p+m

da.

Последний замкнутый интеграл, в котором суммирование производится по кругу радиуса a, описанному из точки x, преобразуем в незамкнутый обыкновенным приемом. Именно, круговой путь можно заменить элементарным контуром, идущим от точки А окружности к точке х, огибающим точку х по бесконечно малому кругу и возвращающимся по прежнему пути в первоначальную точку A. Интеграл, взятый по элементарному кругу, будет здесь нуль, если только положим что т + 1 > р, ибо этот интеграл есть

2п

a - J f (”+1) (x + ae№) e <p-m ~-)ю dO = 0

0

при a = 0.

Затем останутся два интеграла от A до х и от х до A; во втором из них фактор (а — х)р>+т =(ai6yp+m, вследствие оборота, сделанного переменным а по элементарному

чрез что получаем

2п

J f (m+1)( x + aeie)e-(p-m-1)i9d9 =

Г(p - m)

2nap~ 0

Г(p - m) 1 - e~2(p-m)n‘ } r(m+iU \r Vp+m ^

= -----------------x I f '(alia-x) da.

П 2i x+a V Д '

Но, замечая, подобно тому, как это видели выше, что

Г(р - т) 1 - e~2( р-т)п (-1)-p+m

п

2i

Г(-р + т +1)

находим равенство

dPf (х) = (-a)-Pf (x + а) +

dxp Г( - p +1)

+ (-a)-p'\ f -(x + a) +... + (-a)-p - mf <m)( x + a) + Г(—р + 2) Г(-р + m +')

+

(-')

- p+m

Г(-p + m +')

J f {m+''(a) (a- x '

p+m

da,

которое, если положим в нем х + a — и, обращается в следующее:

dpf (x) = f (и ) (x - и ) + dxp Г(-p +1)

f '(u) (x - и ) P+1 f (m)(u) (x - и ) P+m

Г(—р + 2) Г(-р + m +1)

+

+

1

Г(-p + m +1)

J f {m+1](a)(a- x )

p+m

da;

а это есть формула, тождественная с нашею формулой (II). Таким образом, несомненно доказано, что

dPf ( х)

dxp

[ D’f (х) ]:

то есть что формула Коши дает для производной порядка р > 0 то же самое выражение, как и формула д-ра Грюнвадьда. Читатель не может не видеть, что предложенный выше анализ не заключает в себе ничего запретного, что он вообще вполне позволителен при условии, что функция у(х) и ее производные целых порядков до т + 1 включительно остаются конечными, непрерывными и одноизменными внутри и на окружности круга, описанного из точки х радиусом равным a, и что р или д.ч. р) < + 1. Автор статьи, о которой идет речь, и сам косвенным образом

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 43

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 3.

соглашается, что указанное преобразование вообще может быть приложено, но он думает однако, что оно не может быть употреблено именно в теории дифференцирования с произвольным указателем. Тут для объяснения видимого недоразумения мы должны прибавить кое-что о различии в постановке теории, существующем в воззрении автора и нашем.

Определив операцию ct/dX при p произвольном, но > 0 теми главными четырьмя свойствами, которые ее характеризуют при p положительном и целом (см. стр. 8), автор определяет операцию dp/dxp как обратную предыдущей, с помощью уравнения

dp d-f(x) = dxp dx p f ( '

Это определение вместе с принимаемым автором условием переместительности двух операций X/dX и d/dX, производимых последовательно над одной и той же функцией, приводит его к необходимости допустить существование особой дополнительной функции при производных с отрицательным указателем, так как подобная функция существует в выражении dpf(X)/dxp при p целом; при производных же с положительным указателем, по автору, дополнительной функции существовать не может. Дополнительная функция при производной dfx)/dxp изображается автором через

d -р 0

dx - р

= ¥( x);

она очевидно должна удовлетворять условию

dpv(x) = 0

dxp

Функция ф(Х) оказывается, по исследованию автора, имеющей вид такой суммы

i/А х) = Лг( x - a)p- + A2(x - a)p-2 +...

... + Ak (x - a)p-k,

где A, A, ..., A суть произвольные постоянные, а k целое число, непосредственно большее дробного p; о значении постоянного а автор не высказывается определенно.

Теперь мы можем сказать несколько слов о том, почему именно автор думает, что сделанное нами выше приведение его формулы (6) к формуле (II) не может быть допущено. Просим читателя внимательно прочесть страницу 31 его статьи и сличить его текст с нашим изложением. Рассуждение, делаемое автором, приводится к следующему соображению: в теории дифференцирования с произвольным указателем необходимо при производной с отрицательным указателем допустить существование дополнительной функции известного вида, вследствие чего выражение dfX /dX не должно изменяться, если к функции fx)

прибавим эту дополнительную функцию; но, если в формуле Коши мы сделаем эту прибавку, то чрез интегрирование по частям получим бесконечно большой член вне знака интеграла, следовательно, интеграция по частям не позволительна, хотя эта интеграция, по собственному замечанию автора, и приведет к формуле согласной с нашей формулой (П). Выше мы представили читателю то вычисление, которое автор не делает, потому что считает его непозволительным.

Представив рассуждение автора, мы считаем необходимым изложить здесь и те соображения, по которым считаем это рассуждение неосновательным.

Если дополнительная функция действительно существует, то единственное условие, ее определяющее, состоит в том, что ее производная с положительным указателем p равна нулю. Означив эту функцию через ф(х), мы должны иметь, как замечено выше,

dpw( *) = 0

dxp 0

следовательно, если в выражении dJX/dX будет прибавлена дополнительная функция, то она не должна изменить этого выражения и потому, по общей формуле автора, должно быть также

x+a у (a)da

J / \p+i ’

x+a (a x)

то есть операция, выражаемая формулой Коши, будучи произведена над дополнительной функцией, должна давать в результате нуль. Понятно поэтому, что присоединение дополнительной функции к функции fa) во второй части равенства (6) не может и не должно никоим образом изменять выражения там находящегося, а вследствие этого, если какое-либо преобразование этого выражения возможно и позволительно без присоединения дополнительной функции, то оно будет возможно и после присоединения. Автор признает, что формула (II), “может быть получена чрез интеграцию по частям” из формулы Коши, если к/(а) не присоединим дополнительной функции; не может быть никакого сомнения, что то же приведение к формуле (II) необходимо должно быть возможно и тогда, когда Hfa) будет прибавлена дополнительная функция.

Если бы, однако, формула Коши, принимаемая автором за общее выражение производных с положительным указателем, действительно не допускала прибавления дополнительной функции, то ясно, что мы принуждены были бы принять одно из двух заключений, или 1) что дополнительной функции означенного вида не существует, или 2) что сама формула Коши не представляет общего выражения производной с положительным указателем, ибо, по доказательствам автора, выражение этой производной

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

44

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

должно быть единственным, и cFfp^/dX при р > 0 никакой дополнительной функции не имеет.

Наконец нельзя не заметить еще следующего. Если бы в самом деле над формулою (6) или (7) нельзя было производить того преобразования, которое мы представили выше, не сделалось ли бы постоянным источником недоразумений то обстоятельство, что в теории дифференцирования с произвольным указателем, благодаря существованию дополнительной функции,нельзя наданалитическими выражениями производить тех действий, которые вообще в анализе признаются вполне законными, какого, например, интегрирование по частям. И можем ли мы быть уверены, что именно только одно это действие не позволительно?

Во всех этих разъяснениях мы стали на точку зрения автора и утверждаем, что именно с его точки зрения рассуждение, им делаемое на стр. 31, лишено необходимого логического основания. Иное дело. если мы отнесемся к формуле Коши с нашей точки зрения. Тут, как выше показано, мы можем только признать пригодность этой формулы для вычисления междупредельных производных с произвольным положительным указателем p, как эти производные были определены в нашем рассуждении. Наша точка зрения на предмет не допускает существования

дополнительной функции, ибо опepaция D р f (х) 1

L Ла

при p положительном была нами определена как самостоятельное действие, а не как операция обратная

[ DPf (х) ] • По нашему определению выражение

Гd-р f (х) 1х

J WJ и приp целом и положительном не имеет дополнительной функции, ибо представляет р-кратный интеграл, взятый между пределами а и х. Из того что

[ dx х) ] a=0 ? в нашей теории нельзя было бы

заключить, что

[ D ~р 0] а = у( x),

подобно тому, как нельзя этого заключить и прир целом.

Как прир целом выражение ^D р 0^ cамо равно нулю, так будет необходимо и при р дробном, ибо формула, определяющая это выражение, остается одна и та же.

Для производной с отрицательным указателем автор получает выражение (см. стр. 30, форм. 11.), тождественное с нашей формулою (Г) за исключением дополнительной функции, которая, как мы сейчас объясняли, и не могла явиться в наших формулах, дающих не неопределенные, но междупредельные производные.

VI.

Автор не допускает тождественности формулы Коши с нашей формулой (ГГ), по крайней мере, со своей точки

зрения на теорию; другими словами, он не принимает того преобразования этой формулы, которое сделано нами выше и которое ведет к выражению производной с произвольными положительным указателем чрез незамкнутый определенный интеграл. Читатель мог убедиться, что с точки зрения теории междупредельных производных для такого преобразования нет препятствий. Автор видит, однако необходимость иметь подобное выражение производной и потому старается получить его не непосредственным преобразованием формулы Коши, но другим косвенным приемом. Формула, которую он находит (см. форм. 12, стр. 24) не согласна с нашей формулой (ГГ) и потому, в интересах читателей, мы принуждены остановиться на рассмотрении его вывода и найденной им формулы.

Чтоб найти выражение производной dpF(x)/dX1 при р > 0 чрез незамкнутый интеграл, автор берет доказанное им уравнение

d pf(х)

dx-p

1

г(Р)

x

J(x-a.y 1 f (a')da +y(x),

a

где во второй части опускает дополнительную функцию ф(л), производная которой с положительным указателем р должна быть равна нулю, и, заметив, что если первую часть равенства означим чрез F(x), определение d’F(x)/ dX будет соответствовать определению^.*) из уравнения

F (x) = —^ )(х -а )1 f (a)da.,

г( р) a (8)

он решает эту последнюю задачу.

Прежде чем обратиться к рассмотрению решения, предложенного автором, позволим себе сделать следующее замечание. Читатель видит, конечно, что автором принимается здесь, что прибавка дополнительной функции ф(х) к функции F(X) не должна изменять решения, то есть что выражение fx) или cfF^/dX должно остаться без перемены, если к F(x) приложим ф(л). Такое положение совершенно согласно с определением дополнительной функции, но мы решаемся сказать, что ему противоречит решение, найденное автором. Решая задачу, поставленную выше, автор приходит к следующему равенству, определяющемуДлг):

f (x) - f (a) = Yp—) JF “ ’ Ш* -Pf-'d в

или

dpF(x) _ dpF(x)

dxp dx

1 x

(9)

где k есть число непосредственно большее дробного числа р. Если в этом равенстве к функции F(P) мы захотели бы прибавить ф(в), то есть сумму

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 45

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 3.

Ф(Р) = А$ — аГ + Л2(в - аГ + ... + Л(Р - аД, а, следовательно, к F(k)(fi) производную ф(к)(х), то заметив, что F(x) есть функция данная, мы, очевидно, получили бы во второй части интеграл бесконечно большой величины и сама производная dF(x)/dX была бы бесконечностью. Таким образом, выражение (9), предлагаемое автором как общее выражение производной с положительным указателем, очевидно, не удовлетворяет требованию, предъявляемому дополнительной функцией.

Обратимся теперь к рассмотрению самого способа, употребленного автором для решения поставленной выше задачи. Формула, полученная автором в результате, показывает, во-первых, что решение, им найденное, не может быть общим, так как в нем допущено, что f(a) не равно бесконечности, между тем как уравнение (8) и функция F(x) очевидно могут существовать и тогда, когда fa) = да, лишь бы выполнялось условие (a - a)fa) |а=а = 0,

то есть лишь бы бесконечностьу(а) была порядка дробного меньшего единицы. Самый прием, употребленный автором при решении, также требует, чтобьуДа) не была бесконечностью, ибо автор основывает свое вычисление на допущении разложения

f (x) - f (a) = A(x- af1 + A1(x -a)bl +...,

где действительные части всех показателей b > 0, так что прием автора и не может быть приложен к тому случаю, когда fa) есть бесконечность. Мы уже не останавливаемся на том, что существование написанного выше разложения не может быть строго доказано.

Мы не можем, однако, ограничиться приведенными выше замечаниями и принуждены сказать, что и в самом вычислении автора, которое привело его к уравнению (9), заключается ошибка, делающая решение неверным даже и при том частном предположении о функцииу(л), которое допущено автором. Для любопытствующих о свойстве этой, к сожалению, весьма важной ошибки, мы приводим здесь указание, в чем именно она состоит. На стр. 32 чрез дифференцирование уравнения (8) автор получает выражение

1 x

F(-1)(x) =----------- [f (a)(x-а)Р к da,

Г(р - к +1)1 v л '

которое через интегрирование по частями обращается в

к 1 f (a) (x - a )p k+1

F(k-1) ( x) = ------1----+

Г(р - k + 2)

+

1

Г(р - k + 2)

If '(a)(x-a)

da.

Дифференцирование последнего равенства должно дать автору

\P-k

F ) (x) = f (Д> <X - Д P +

Г( p - k +1)

+ -

1

л

If '(a)(x-a)p - da,

r(P- - +1> Ja' ' '' ' (10)

но он, вместо того, чтоб перенести из второй части равенства в первую член, стоящий вне знака интеграла, через что в первой части вместо Fk)(x) имели бы разность

F (к) (x) - f(a) (x - a )рк Г(р - к +1) ’

а затем продолжать делаемое им вычисление без всяких условий, предпочитает, по условию, принять fа) = 0, допуская что

f (x) = Ax(x - аУ + Al(x - a )bl +...,

и потом пишет

F(k}( x) =

1

Г( p - k +1)

л

If '(a)(x-a)p k da.

Затем прием решения, автором употребленный, приводит его (стр. 33) к равенству 1 х

-------- fF(kк (в)(х-в f)p-1 dв =

Г(к - p)j и

= Z An (х - a Т = f(x)’ (11)

в котором он делает поправку, полагая снова f а) не равным нулю; это заставляет его присоединить ко второй части -(а), ибо если fа) не равно нулю, но имеет величину конечную, то допущенное автором разложение функцииfx) должно иметь вид

f(x) = f(a)+ S An (x - a );

таким образом, он получает решение (9). Ошибка, делаемая автором, состоит в том, что он забывает, восстанавливая fid) не равным нулю, сделать соответствующую поправку и в первой части его последнего уравнения (11). Так как в уравнении (10) был отброшен один член, то, вследствие этого, очевидно и в результате вместо F-k)(P) следует снова взять разность

(k P f (a) (fi- a )P k

- rf- *+p) >

чрез что к первой части уравнения (11) присоединится также новый член, именно

f (a)

\(в-a)р-к (х-в)-Р-1 dв,

Т(к - р)Г(p - к + Г)

который легко вычисляется, ибо, сделав в интеграле в = а + (х — а), найдем, что выражение это обращается в

________f (a)

Г(к - р)Г(p - к +1)

|tp - (1 -1 )к Р 1 dt = -f (a).

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

46

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Таким образом, приходится как в первой, так и во второй части равенства (11) присоединить член —(a), опустив который, мы получим такое решение поставленной автором задачи:

f w=^К (“К*-“Г"‘da(12)

Решение это может быть получено и другим путем, не прибегая к разложению функции /X), допущенному автором. Не забудем, однако, что формула (12) все-таки не представляет общего решения, ибо автором сделано частное предположение о виде функции/х), а чрез то и о виде F(x).

Ошибка вычисления автора, как видит читатель, свойства весьма простого, но она важна по последствиям. Неверно полученная формула (9) интерполирует ряд производных с целыми и положительными указателями; действительно, полагая в ней p = k — 1 = 0,1, 2, 3, ..., мы получим F(x), -F'(x), ...; тогда как верно выведенная формула (12) не может служить для интерполирования, ибо полагая в ней указатель p = 0, 1, 2, 3, ..., мы только тогда получим из нее ряд производных целых и положительных порядков, когда как сама функция F(x), так и все ее производные обращаются в нули при x = a, а при этом будет и F(x) = 0 при произвольном х. Где же источник этого cercle vicieux? Он очевидно заключается в точке отправления, принятой автором для получения общего выражения производной с произвольным положительным указателем. Автор принимает, что в приведенном выше уравнении (8) функция fx) есть производная с указателем p от функции F(x); такое определение не может быть допущено, ибо ясно, что функция F(X), определяемая уравнением (8), не есть функция произвольная, и степень общности ее еще более ограничивается самим автором, принимающим, без всякой необходимости, что /(a) не равно бесконечности. Последовательное дифференцирование, произведенное автором и приведенное выше, должно было показать ему, что как сама функция F(x), так и все ее производные до производной k — 1 порядка включительно обращаются в нули при х = а, то есть что F(a) = F(a) = F'(a) = ... = Fk1)(a) = 0.

Полагая все эти условия выполненными, мы видим, что формула (12) получается как частный случай из нашей формулы (П), когда сделаем в этой последней m = k — 1.

Необходимо сделать еще одно замечание. Формула (9) выведена ошибочно; она есть основная, так как по ней, собственно, должны бы вычисляться производные с положительным указателем от различных функций. Формула эта интерполирует, однако, ряд производных целых и положительных порядков, и, без сомнения, именно это обстоятельство могло ввести автора в заблуждение относительно ее годности. Возникает поэтому вопрос:

не может ли эта формула, независимо от ее вывода, по определению, служить общим выражением производной с произвольным положительным указателем? — Нетрудно убедиться, что она находится в явном противоречии с основными определениями автора и потому вовсе не может быть употребляема для этой цели. В самом деле, если мы станем уравнение (9) дифференцировать один или несколько раз с целым и положительным указателем, то получим выражения для производных

dp+l F (x) dp+1 F (x) dxp+1 ’ dxp+2 ’

вовсе несогласные с предполагаемой общею формулою (9). Найдем, например, таким образом выражение для cFF(x)/dX+1. Так как в подынтегральной функции уравнения (9) показатель k — p — 1 отрицателен, хотя > —1, то для дифференцирования по х произведем прежде интегрирование по частям в таком виде:

F (kV-^- - p

| F ^k) (а)х-а)

р-р-\ , F(k)(а) (x - а)

da =------------------+

к - p

1 x

+-----JF(k+1) (a)(x-af p da,

к p

± a

а затем находим

d_ dx

J F ^ (a^x -af - 1 da =F ^\a) (x - a )

a

JF(i+1)(a)(x-a)k P 1 da,

a

ледовательно, будем иметь: dp+1 F(x) _ F{kk (a) (x - a f-p-1

k - p-1

+

+ -

dxp+1 1

Г(к - p)

JF(+11 (afx-a)k p 1 da,

Г(к - p)

тогда как по общей формуле, данной автором, должно бы получиться

dp+l F (x) _ dp+l F (x) I x=a ,

+ -

dxp+1 l

dxp+1 '

JF(+1'1 (a)(x-a)k p l da.

T(k - p)

Понятно, что если вычислим чрез дифференцирование выражения (8) производные порядков p + 2, p + 3, ... и т.д., то разногласие с общею формулой будет постоянное. Между тем автор в начале своей статьи на стр. 8, предлагая себе “по возможности осмотрительно изложить основание исчисления общих производных”, принимает по определению операции ct/dX при действительной части p > 0, следующее основное свойство ее:

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

dp dqp(x) _ dp+>(x) _ dq dpp(x)

dxp dxq dxp+q dxq dxp ’

где при том и д.ч. (q) > 0. читатель видит, что автор

не проверил этого основного свойства на полученной

им общей формуле, которая так очевидно этому

требованию не удовлетворяет.

затем мы считаем необходимым кончить. Мы не позволяем себе, без надобности, останавливаться на подробностях анализа, употребленного автором и на многом другом, потому что не считаем себя призванными критиковать чужой труд, и помним что la critique est aisee, mais Vart est difficil. Если в настоящей статье нам и пришлось отнестись критически к некоторым основным пунктам исследования г. Сонина, то читатель, а может быть и автор, охотно извинят нас, зная, что мы были к тому вынуждены. Мы строго ограничились только теми пунктами статьи автора, которые имеют прямое отношение к нашему собственному труду, и при этом мы не имели в виду другой цели, кроме устранения недоразумений, к которым могли бы подать повод некоторые из формул, выведенных автором. Надеемся, что рано или поздно предмет этот привлечет к себе внимание наших ученых, мы же, с своей стороны, представим вскоре ряд новых изысканий о междупредельных производных, подтверждающих высказанные здесь воззрения, причем коснемся и других вопросов теории, но уже, конечно, не вдаваясь в полемику, которую считаем вовсе не соответствующей характеру предмета.

Ноябрь, 1872 год.

ГЛАВА 4. ДОКТОРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ А.В. ЛЕТНИКОВА ПО ТЕОРИИ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Докторская диссертация А.В. Летникова была напечатана в виде объемной статьи [31] и явилась научным фундаментом теории дробного дифференцирования, что позволяет с полным правом считать А.В. Летникова создателем дробного исчисления. Ниже приводится текст этой работы.

4.1. О решении обратных задач, зависящих от интегралов вида I(х-м) 'f(u)du.

задачами, обратными определенному

интегрированию (calcul inverse des integrales definies), в теории определенных интегралов называют вопросы, в которых, по данному выражению определенного интеграла в функции входящего в него переменного параметра, требуется определить вид неизвестной функции, стоящей под знаком интеграла. задачи этого рода могут представляться в весьма разнообразных видах и, само собою понятно, что число классов вопросов этой категории неограниченно.

В науке настоящего времени не только не существует никаких общих способов для решения подобных задач, но даже и не сделано ни одной попытки для их классификации, между тем как важность и необходимость аналитических исследований в этом направлении едва ли может подвергнуться сомнению. Достаточно припомнить, например, что вопросы, о которых говорится, имеют весьма близкое соотношение с анализом уравнений с частными производными и с определением вида произвольных функций, входящих в интегралы этих уравнений, вследствие чего потребность в peшении задач, обратных определенному интегрированию, является во многих вопросах механики и математической физики. Но не одними потребностями прикладных частей математики может быть вызван интерес к задачам этого рода. Мы имеем повод думать, что некоторые простейшие классы этих задач могут привести к открытию новых операций, новых символов, употребление которых должно расширить область математических изысканий и способствовать к упрощению решения труднейших вопросов анализа. Первые проблески такой идеи можно встретить в некоторых исследованиях Абеля, ныне, к сожалению, почти забытых.

Не останавливаясь на развитии высказанной общей идеи, мы позволяем себе обратить пока внимание читателя на исследование одного класса обратных задач, решение которых, как увидим далее, дает ключ к совершенно строгому и новому построению теории так называемого дифференцирования с произвольным указателем. Начало этой теории, в смысле первой серьезной попытки введения в анализ нового символа, было, как известно, сделано г. Лиувиллем, который не имел сомнений в будущем развитии этой новой отрасли анализа. Сомнения, однако, явились впоследствии. Источником их нельзя не признать недостаточную строгость и определенность постановки теории в работах г. Лиувилля и некоторых его комментаторов. В следующей главе настоящего исследования мы надеемся выяснить спорный вопрос об этой теории и представим ее в новом виде, который, строго ограничивая класс задач, от нее зависящих, ставит вместе с тем вне всяких сомнений возможность и даже необходимость ее применения к известным вопросам анализа. В настоящей главе, имеющей весьма тесную внутреннюю связь с новой постановкой теории междупредельного дифференцирования с произвольным указателем и образующей введение в эту теорию, мы думаем, остановиться на решении некоторых задач обратных определенному интегрированию, задач хотя давно уже известных в науке, но до сих пор, по-видимому, считаемых трудными и даже, как думал г. Лиувилль, требующими изобретения новых методов для их решения.

47

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

48

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Первый труд знаменитого французского геометра, посвященный теории общего дифференцирования, (Journal de l’Ecole Polytechnique. XXI cahier, pp. 1-69) заключался, с одной стороны, в выводе основных формул теории и с другой, на развитии которой он останавливался преимущественно, в решении разного рода задач геометрии, механики и физики при помощи данных им основных формул. Главной целью этого мемуара автор считал необходимость оправдать в глазах ученых введение в науку нового символа, дабы показать, как он говорит, что „дифференциалы с произвольным указателем не есть простая игра анализа, но что они имеют необходимую связь с законами механики и встречаются при иссследовании большей части явлений природы”. В виду этой цели г. Лиувиллем было представлено решение целого ряда любопытных задач, для которых употребление нового способа кажется ему необходимым и которые, по его мнению, „было бы затруднительно трактовать обыкновенными приемами”. Будучи уверены в том, что решение рассматриваемых задач действительно имеет тесную связь с теорией дифференцирования с произвольным указателем и что оно представляет, так сказать, ее простейшее приложение, мы позволяем себе усомниться в степени трудности их решения обыкновенными аналитическими методами. Мы надеемся сейчас показать, что почти все задачи, рассмотренные г. Лувиллем в его мемуаре (девять из десяти), не только могут быть разрешены весьма простыми соображениями, независимыми от употребления формул теории дифференцирования с произвольным указателем, но что, кроме того, все разбираемые им вопросы приводятся к решению одной и той же задачи, обратной определенному интегрированию. Мы могли бы, конечно, представить решение всех задач г. Лиувилля как одно из приложений теории междупредельного дифференцирования в следующей главе, но самая простота найденного нами способа заставила нас предпочесть отдельное их изложение, независимое от упомянутой теории, прилагаемой нами к решению других труднейших. Мы начнем наше изложение с рассмотрения известной задачи Абеля, к которой, как покажем далее, приводятся вся задачи г. Лиувилля чрез довольно простые преобразования.

4.1.1. Задача Абеля. В первом томе сочинений гениального норвежского геометра ученые давно уже обратили внимание на небольшую заметку, помещенную под заглавием „Resolution d’un probleme de mecanique”. заметка эта заключает в себе решение вопроса, состоящего в определении вида кривой линии, спускаясь по которой тяжелая материальная точка употребляет на это время т, выражающееся данною определенною функцией ф(х) высоты падения, считаемой по вертикальному направлению. задача эта с большой легкостью приводится к уравнению

/'{a)d

а

I I----— = V(xX

0 Vx-а

где/(a) da = dr, a s есть длина дуги кривой, соответствующей вертикальной высоте, равной а и считаемой от определенной точки, именно от начала движения. Решение поставленного вопроса должно состоять в определении из предыдущего уравнения вида функции fa), которая выражает дугу s кривой в зависимости от вертикальной высоты а.

Вместо приведенного выше уравнения Абель рассматривает следующее более общее:

X f '(a) da

РДДт =Р( А.

о (x-a)

из которого и определяет функцию fa), полагая, что функция ф(х) дана. Решение, данное Абелем, предполагает, как это легко заметить, что показатель n заключается между 0 и 1; этот случай, как увидим далее, действительно представляет наибольшую важность, ибо к нему приводятся другие. Академиком Сомовым было предложено весьма изящное решение той же задачи для случая n = (У), соответствующего вопросу механики.

Обращаясь к новому способу решения, мы допустим небольшое изменение в постановке вопроса. Вместо последнего уравнения мы напишем следующее:

X

J(x -а)рХ f (a)da=p(x), ^

a

где а есть некоторое постоянное количество, и, полагая функцию ф(х) данною, предложим себе определить функцию/а) по условию, выражаемому этим равенством.

Прежде чем приступим к самому решению поставленной задачи, сделаем предварительно несколько общих замечаний об условиях, которым должны удовлетворять как данная функция ф(х), так и искомаяу(а) для возможности вопроса. Подынтегральная функция fa) не содержит х, но может содержать постоянное а, для того, чтоб интеграл сохранял величину конечную, необходимо допустить, что fa) остается конечной и непрерывной при изменении а в промежутке от a = а до a = х, но при первом из рассматриваемых значений а, то есть при а = а, функция fa) может обращаться и в бесконечность, лишь бы эта бесконечность была порядка дробного меньшего единицы: известно, что при этом интеграл сохранит конечное значение. Таким образом функция fa) по требованию самого вопроса, должна удовлетворять, при неопределенно уменьшающемся е такому условию: limef a + е) = Л, где О есть некоторая конечная величина, не равная нулю, а r есть число, меньшее единицы, и притом не равное единице. Если r содержится между 0 и 1, то fa) есть бесконечность в собственном смысле слова и притом порядка дробного меньшего единицы; если r = 0, то fa) есть величина конечная не равная нулю; наконец, если r < 0, то fa)

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 49

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

= 0. Для сохранения общности выражения мы можем говорить всегда, что fa) есть бесконечность порядка г, помня, что если r отрицательно, то fa) есть нуль, а если r = 0, то fa) есть величина конечная не равная нулю.

Множитель (x — af1, стоящий под знаком интеграла, может при верхнем пределе интегрирования обращаться в нуль или бесконечность, смотря по величине р; очевидно, что интеграл будет иметь конечное значение только при условии, что р > 0, притомр не может быть равно нулю.

Условия, которым, как мы видим, должны удовлетворять функция fa) и показатель р, вызывают соответствующие требования от данной функции ф(г), входящей в уравнение (1). Для того чтобы обнаружить эти требования, положим в нашем уравнении a = a + t(x — a), где t есть новое переменное, и представим функцию

ф(Х) в следующем виде:

1

ф(х) = (x - a)р J(1 -1)р-1 f [a +1(x - a)] dt.

0

Эта функция ф(х) будет очевидно зависеть не от одного x, но также и от a; нетрудно усмотреть, что зависимость ее от a, а также и от x не совершенно произвольна, но должна удовлетворить некоторым условиям. В самом деле, положив x — a = w, wt = e, мы будем иметь по

последнему равенству

1

ar - > (a + а) = 11 -- (1 -1)p-1srf (a + s ) dt,

0

где r имеет прежнее значение и указывает порядок бесконечности, меньший единицы. Полагая теперь, что е, а следовательно и w стремятся к нулю, мы будем иметь в пределе

1

limor-p^(a + о) = A.j t - (1 - t)p~l dt,

0

или

,• r-p ( \ , r(p)r(1 - r)

lima pm(a + a) = A.---------------,

V ' Г( p - r +1)

откуда видно, что произведение wI-p<S)(a + w) сохраняет величину конечную, неравную нулю при w = 0, следовательно фД) есть бесконечность порядка равного r —р. Так какр положительно, а r неизвестно, но необходимо меньше единицы, то заключаем, что порядок фД) должен быть непременно менее единицы, но может быть отрицателен и равен нулю. Таким образом, выяснилось, что в рассматриваемом вопросе функция ф(х) не может быть задаваема совершенно произвольною, но что вид ее должен удовлетворять известным условиям относительно значения, получаемого ею при x = а. Последнее обстоятельство было обыкновенно оставляемо без внимания авторами; в краткой заметке Абеля на него также не дано никакого указания.

Обратимся теперь к самому решению задачи Абеля и будем полагать сначала, что р заключается между 0 и 1.

Переменив x на в в равенстве (1), имеем:

в

1(Р-аУ)1 f (a)da=v(p).

a

Умножим обе части равенства на (x — P)-?dp и возьмем интеграл от в = а до в = x, получим

J(x - в) Р d P^f}-a)p 1 f (a) da =

a a

= )(-в)-p<p(p)d p.

a

В первой части этого равенства переменим порядок двух интегрирований; для чего рассуждаем следующим образом. Возьмем на плоскости оси координат 0a и 0в (рис. 4.1); чрез начало 0 проведем прямую 0С, уравнение которой есть a = в, отложив на осях 0A = а и 0B = x, проведем линии AE и BC параллельные осям; этим построением определится треугольник DCE.

Легко видеть, что двойное интегрирование в первой части последнего равенства, состоящее в суммировании бесконечно малых вида (x — в)-р(в - a^fo^da,

распространяет это суммирование на все величины, получаемые переменными a и в на пространстве площади треугольника DCE. Самое суммирование указывается производить в следующем порядке: во-первых, оставляя в = 0R постоянным, изменяется a от a = а = PR до a = в = RM, то есть совершается суммирование на протяжении линии PM; во-вторых, изменяется в от в = а = AD до в = x = AE, чрез что прямая PM, перемещаясь параллельно самой себе, наполняет своим движением площадь треугольника DCE. Изменить порядок интегрирований значит изменить порядок двух суммирований, так чтобы полное суммирование распространялось на то же пространство. Оставляя сперва a = 0S постоянным, мы будем сначала изменять в от в = SN = a до в = SQ = x, то есть произведем суммирование на протяжении прямой NQ; затем будем изменять a от a = BE = а до a = BC = x,

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

50

ПОТАПОВ А.А. ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

чрез что прямая NQ, перемещаясь параллельно оси 0$, наполнит собою площадь того же треугольника . Таким образом ясно, что будем иметь

\( -в у \(P-aY~- f (a)da =

= \ f (a)da\(-a) d p.

’ \(X-в)

Во второй части этого равенства первое из двух интегрирований может быть выполнено без всякого затруднения; действительно, положив в = a + t(x — a), находим

f(-C,L de = flr(1 -1)’dt =Г(р)Г(1 -p),

a (-^ в ) 0

и следовательно, по первоначальному равенству,

I f (a)

1

л

(p - l)(p - 2) j"(x -a) 3 f (a)da = q>"(x),

a

•••?

и так далее; в случае p целого и положительного дойдем до

X

(p -1)(p - 2)... • 2 • 1Jf (a)da = p(p-1) (x);

a

откуда найдем

f (x) =______^ x)__________

( ) 1 • 2 • 3 •... • (p -1).

Остановимся теперь на рассмотрении того случая, когда p есть число дробное, но большее единицы. Пусть m есть число целое положительное, непосредственно меньшее р, так что p заключается между m и m + 1. Дифференцируя уравнение (1), как и выше, мы дойдем в рассматриваемом случае до равенства (p -1)(p - 2)...(p - т) х

J(X P)P<PWP- х](х-a)p-m-1 f (a)da=yH(x).

Г( р)Г(1 - p)

В этом виде решение было дано Абелем. Для определения fx) возьмем производную по x от обеих частей равенства; находим

1

d

l(x-в)-) <p(P)dв.

f (x) = —

г(Р)г(1 - Р) dxl (2)

Эта формула вполне решает поставленную нами задачу при р, заключающемся между 0 и 1. Замечание, которое мы сделали выше о функции ф(в), дает нам возможность заключить, что найденное нами решение всегда существует, так как функция ф(в) хотя и может обращаться в бесконечность при в = а, но порядок этой бесконечности должен быть менее единицы; кроме того, показатель р здесь менее единицы. Тоже замечание оправдывает и самый приступ к предложенному выше выводу, ибо так как порядок бесконечности ф(а) должен быть задан меньшим единицы, то мы всегда имеем право, умножив функцию ф(в) на (х — в) р^в, интегрировать произведение между пределами в = a и в = x.

Показатель р в равенстве (1) должен быть, как выше сказано, положительным и не может быть равен нулю, иначе решаемый нами вопрос потерял бы смысл, потому что интеграл, стоящий в первой части, был бы заведомо бесконечным. Найденное нами решение (2) не прилагается однако непосредственно в к случаюр = 1, так как при этом формула (2) становится неопределенною. По поводу этого заметим, что вообще случаи, когдар дано целым и положительным, будут простейшими и могут быть разрешены чрез простое дифференцирование равенства (1). В самом деле, последовательное дифференцирование равенства (1) дает

Далее уже нельзя будет производить дифференцирование по тому же правилу. К последнему равенству можно прямо приложить данный выше способ решения задачи Абеля; действительно, равенство это имеет вид, одинаковый с равенством (1) с переменою ф(х) на

/“'(х)

(Р -1)(Р - 2)...(Р - m)

и р на р — m, причем р — m будут заключаться между 0 и 1. Прилагая, поэтому, найденную выше формулу (2) к настоящему случаю и замечая, что

(p -1)(р - 2)...(p - т) =

находим

f (х) = -

1

d

(p -1) j"(x -a) 2 f (a)da = q>'(x),

Г( p)

Г(р - m) ’

f(x-p)m - p (p{m)(p)dp.(3)

Г(p)Г(1 - p + m) dx •

Нелишне будет заметить, что, в случае р,

заключающегося между целыми числами m и m + 1, функция ф(Х в уравнении (1) должна удовлетворять новым условиям.

Действительно, применяя сделанное нами выше замечание о порядке бесконечности ф(а) к выражениям ф(х), ф'(х), ..., ф(т)(х), выведенным для настоящего случая и означая по-прежнему чрез r порядок бесконечности fa), непременно меньший единицы, мы заключаем, что количества ф(а), ф'(а), ..., ф(т1)(а), ф(т)(а), будут бесконечностями порядков г— р, г— р + 1, ..., г— р + m — 1, r — р + m; а так как в этом ряду числа r — р, r — р + 1, .., r — р + m — 1 все отрицательны, то необходимо будем иметь ф(а) = ф'(а) = ... = ф^Д) = 0; но ф(т)(а), будучи бесконечностью порядка r — р + m, может быть и нулем, и величиною конечною и бесконечностью в собственном смысле слова; в последнем случае, однако,

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 51 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

порядок ее должен быть дробный, меньший единицы. Таким образом определились условия, которым должна удовлетворять функция ф(х) в уравнении (1), когда p дано большим единицы и содержится между двумя последовательными целыми числами m и m + 1.

Мы разобрали все случаи, которые могут встретиться при решении задачи Абеля, и видим, что важнейший случай, к которому приводятся все другие, будет тот, когдаp в уравнении (1) заключается между 0 и 1. Формула (2) решает вопрос для этого случая. Прежде чем обратимся к другому предмету, сделаем еще дополнительное замечание о том, как должно быть произведено дифференцирование, указанное в формуле (2) и оставленное нами не выполненным. Дифференцирование это не представляет никакого затруднения в том случае, когда ф(в) не обращается в бесконечность при нижнем пределе интегрирования; действительно, при этом, чрез интегрирование по частям имеем:

j((-в)-' т* +

а Р

1 Х

+-— \(-pj-- <p'(p)j в,

1 - Р J

а

и затем, дифференцируя по известному правилу, находим:

1 x x

— j(x-РУР v(P)dР =у{а)(х- a)- + j(x-Р)Рp'(P)dp.

a a

Последнее равенство существует и в том случае, когда ф(а) = 0, причем ф'(а) = 0 может быть и бесконечностью, но только порядка дробного меньшего единицы. Некоторое затруднение в дифференцировании является в случае, когда ф(а) есть бесконечность порядка положительного, но меньшего единицы; тут интегрирование по частям не может быть произведено указанным выше приемом, и притом ф'(в) при в = а будет бесконечностью положительного порядка большего единицы. Устранить указанное затруднение можно, преобразовав предварительно интеграл данный в интеграл с постоянными пределами. С этой целью положим, например, в = а + t(x — а) и найдем

x 1

J"(x -в) Р v(P)d в =( x - a)1-р J"(l -1) p y[a +1 (x - a)]t;

a 0

и затем, дифференцируя по общему правилу, получим: d -py) p(p)dp =

= (x- a) ) J-

(1 - p)p[a +t(x - a)] + (x - a)tp'[a +t(x - a)]

(ГД

dt

Положив здесь снова в = а + t(x — а), найдем

Это равенство выражает правило дифференцирования, обнимающее и тот случай, когда ф(а) есть бесконечность порядка положительного, но меньшего единицы. Здесь во второй части равенства стоит сумма двух определенных интегралов, из которых каждый имеет конечное значение, ибо как ф(в), так и произведение (в — а)ф'(в) при в = а могут быть бесконечностями только порядка r меньшего единицы. Было бы нетрудно из равенства (4), через интегрирование по частям, вывести и прежде найденное выражение той же производной, годное только для того случая, когда ф(а) есть величина конечная или нуль.

Формула (2) решающая задачу Абеля при р, заключающемся между 0 и 1, может быть, на основании доказанного правила дифференцирования, представлена в следующем виде:

f (x) =--------1----------х

г( p)r(1 - p)( x - a)

Xxr(1 - p)v(P) + (P-a )p'(P)

Xa (x -e)p

Подобным же образом можно выполнить дифференцирование и в формуле (3).

Перейдем теперь к рассмотрению тех обратных задач, которые были разрешены г. Лиувиллем в названном выше мемуаре при помощи общих формул теории дифференцирования с произвольным указателем. Мы остановимся только на задачах, представляющих некоторые особенности, о других же, явно тождественных с теми, которые мы намерены рассмотреть, достаточно упомянуть мимоходом.

4.1.2. Задача Лапласа. Если полюс магнита Р (рис. 4.2) заставим действовать на элемент mm' проводника, соединяющего полюсы гальванической батареи, то между этими двумя телами происходит действие, направленное перпендикулярно плоскости Pmm'. Действие это происходит чрез I, средину mm', оно пропорционально mm', синусу угла PIm' и некоторой функции ф(Г расстояния PI = г. Из опыта Био и Савара известно, что если неограниченный прямолинейный проводник MM' действует на полюс P магнита, то действие его обратно пропорционально кратчайшему расстоянию его PA от полюса P. Основываясь на этом опыте, Лаплас определил вид неизвестной функции ф(г) и нашел, что ф(г) = (1/r2).

Вычисление, произведенное для этой цели

d )(x -в'У P(P)dв =—^~ х

dx J x - a

a

x|(x -РУ [l1 - p )<p(e)+(e- a )(р'(Ю]d e

a

p

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

52

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Лапласом, не может быть однако признано достаточно общим, так как им было допущено, что функция должна иметь вид f. Г. Лиувиль решает тот же вопрос, не делая предварительно никакого предположения о виде функции ф(г). Задача ставится им в следующем виде. Различные элементы неограниченной прямой MM' (рис. 4.3) оказывают на точку P действия, направления которых нормальны к плоскости PMM'; действия эти соединяются в одну равнодействующую, также нормальную к плоскости PMM'. Предполагается, что величина равнодействующей есть известная функция (р/^расстояния PA =у или, в более общем виде, что эта величина равна данной функции fy).

Известно, кроме того, что действие элемента mm' на точку P пропорционально mm', синусу угла PIm' и функции ф(г) расстояния PI = г. Положив все это, по данной функции fy) требуется найти неизвестную функцию ф(г).

задача эта, как легко усмотрит читатель, приводится к следующему уравнению:

s 2+y 2

4

2 . 2 s + У

ds =

f ( У) 2 У ’

где s = AI. Уравнение это должно послужить для определения вида функции ф. Положив (ф(г)/г) = F(r), напишем предыдущее уравнение в виде

f(у)

| F (s2 + у2 )s

2 У

где неизвестной будет функция F. Полагаяуу2 = x и вводя новое переменное а = s2, будем иметь

Д f ((x )

I а 1/2 F (x + a)da=—z=—. о Vx

Далее пусть x + а = (//ж), где и есть новое переменное, тогда последнее уравнение обратится в следующее

1/х?л Л-1/2

---U

х

и -ш F

(1) V и )

du = f (х ).

M'

I

A M

Рис. 4.3

Сделав в этом уравнении 1/x = z и положив u-3/2F(1/u) = ф(и) получим

Z

J(z -u) mW(uU)du = f (1/Vz).

0

Из этого уравнения уже нетрудно определить ф(и). Действительно. последняя задача представляет, очевидно, один из частных случаев рассмотренной выше задачи Абеля. Именно здесь p = У; применяя сюда формулу (2), прямо находим:

г( z)d j( -КУ" f М"в

и следовательно

3/2 d z

F (1 / z) = — d J(z - pf2 f (11 / в,

n az о

ибо Г(1/ 2) — л[п. Далее будем иметь очевидно

f I Л 7Z (, Л

-LA I(z -РГ f

9

Tz.

1

ж

d в.

Эта формула вполне решает поставленную выше задачу Лапласа. Если на основании упомянутых выше опытов Био и Савара примем fy) = (р/y), то найдем jdz d п dz 0

Сделав в этом интеграле в = %t, вычислим

lH2 f ^\-1/2 х \ ^ / х. fx ух / x.j nz

V

C 1 л

vz

\вт (z -в)"2 d в.

{r (z-в)-1/2 a e=z-r(3/2 )Г(1/2)

0

следовательно

f 1л

Г(2)

9

4Z

jdz

_ t

2 и, если положим

(1/Vz ) = X,

V( X) = 2 x!’

что дает для действия элемента проводника на полюс магнита закон, найденный Лапласом и подтвержденный г. Лиувиллем с помощью теории дифференцирования с произвольным указателем.

Возьмем из того же мемуара г. Лиувилля другой вопрос, относящийся также к области электродинамики.

4.1.3. Задача Ампера. Пусть ds и ds' суть два элемента двух проводников, е угол между их направлениями с прямой IT (рис. 4.4), соединяющей их средины, и наконец, r длина прямой II'. Ампер доказал, что взаимное действие этих двух элементов представляется выражением вида ДД'ф(г) \cose+ (k - 1)cosBcosB ]

где k есть число отрицательное и ф(г) функция расстояния, которую он определил, опираясь на предположение, что эта функция должна иметь вид Г1.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 53

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

Г. Лиувилль освободил вывод от этой гипотезы, pешив следующую задачу.

Каждый элемент mm' прямой ЛВ, оказывает на элемент nn' прямой Л'В', параллельной ЛВ, действие, направленное по II' и выражающееся формулой dsds'<$(r)[1+(k — 1)соУ0]; известно из опыта, что

равнодействующая всех этих действий равна (т/у),у есть кратчайшее расстояние между прямыми ЛВ и Л'В', l = Л'В' и т есть постоянное количество. Положив все это, требуется определить вид неизвестной функции ф(г) по условию, требуемому от равнодействующей.

Уравнение вопроса получается весьма легко; оно будет

1 + (к -1)

2 . 2

s + У

V

2 , 2 S + У

d

ds =

2 , 2 S + У

2 У

2

где s = LI. Уравнение это должно послужить для определения вида функции ф.

Положив, как и в предыдущей задаче (ф(г)/г) = F(f), у2 = x и сделав s2 = а, находим уравнение

2

1 + (k -1)-

а

а + x

F (x + а)а 1/2 da=—.

x

Введем сюда новое переменное м, полагая x + а = (1/u), при этом последнее уравнение можно будет представить в следующем виде:

1 + (k -1)

1

---и | X

V X

и -Ъ!2 F (и )du

VX"-) “ ■ д-

Сделав здесь (1/x) = z и положив m-3/2F(m) = ф(м), придем к равенству

z ^(z - u) 12y(u)du + (к - l)|(z - u)12y(u)du = pz3'1. 0 0 Положим для краткости

z

- u)12 )du = 0(z),

0

тогда чрез дифференцирование получим

z

^(z -u) my(u)du = 26\z),

0

и предыдущее равенство запишется в виде

2z0,(z) + (k -1)0(z) = Tzf/2.

Это есть линейное уравнение первого порядка; интеграл его будет

к-1

6( z) = Cz ~ ^ +-^ z3/2, к + 2

где C есть произвольное постоянное.

Остается затем решить уравнение

z

^(z - u)12 y(u)du = 0(z),

0

в котором 0(z) уже известна и откуда нужно определить вид неизвестной функции ф(м).

Задача эта, как видит читатель, есть опять один из частных случаев рассмотренной нами выше задачи Абеля. Сравнивая последнее уравнение с уравнением (1), мы замечаем, что здесь p = (3/2), поэтому необходимо приложить формулу (3), по которой получаем:

*z) = Г(37W2 i J(z-«-” e'^d e

или так как Г(3 / 2) = (1 / 2)Г(1 / 2) = 4п/2,

V(z) = -4 )(z -РУ-”' 9'{P)dв,

то

п dz

но

к+1 3

в’(в) = C в х + 2 ^ в5'2,

где С произвольное постоянное; вставив это выражение в предыдущее равенство, находим

it z к+1

( л d V(z) = — dz

2C'

п

je~2 (z -p)-"1 dв

+

3 p

п к + 2

p (z -p)-"2 d в

Если в каждом из интегралов, сюда входящих, положим в = у, где t есть новое переменное, то, по известной формуле Эйлера, получим

к 1 i\J О

z к+1 1 1

\р Т(-в)-1'2dв

г| —+

2 2

Т

<-к+'1

21 z-к '2,

z 1/2/ ,-1/2 Г(3 / 2 )Г(1/2)

\в (z -в) 1/2 d в = V ---- z,

Г(2)

и, следовательно

W(z) = C У

- *-1 2 +-

3p

F

2(k + 2)

Вводя снова функцию F, находим

3p

f 1 ^ -k-+1

= C1 z 22 +

.3/2

V z J

и потом

2(k + 2)'

0

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

54

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

- k _1

3р,

W(.z) = CУ 2 + ■ + 2)

2(k + 2)

Наконец, если сделаем 11/ v z ) = x, то получим

окончательно

ф(х) = C1 xk + -

3р. 1

2(k + 2) x2 ’

где C произвольное постоянное. Этот результат согласен с тем, который был найден г. Лиувиллем. По Амперу постоянное C должно быть равно нулю, и тогда будем иметь для взаимодействия двух элементов проводников закон обратных квадратов расстояний.

4.1.4. Обратные вопросы в теории притяжения.

Сущность этих вопросов, рассматриваемых г. Лиувиллем в упомянутом выше мемуаре, заключается в следующем. Некоторое тело Q притягивает материальную точку (или другое тело) P; взаимное положение этих двух тел дано. Предполагается, что из опыта можно определить полное притяжение тела Q на точку P, то есть, что известна равнодействующая притяжений всех элементов, из которых состоит тело Q, на точку P. По данной равнодействующей или по данному полному притяжению требуется найти закон притяжения элементов. Рассмотрим два вопроса этой категории.

I. Вообразим неограниченную плоскость, разделяющую пространство на две части, и положим, что в одной из этих частей находится материальная точка P, а другая часть наполнена некоторым веществом и образует неограниченное тело Q. Притягательное действие тела Q на точку P известно из опыта и выражается данной функцией F(x) расстояния x точки P от плоскости, ограничивающей тело Q. Положим далее, что тело Q неоднородно, и что плотность различных его точек пропорциональна их расстоянию z от перпендикуляра, опущенного из P на плоскость ограничивающую тело Q пусть эта плотность равна (z/2). Означим чрез ф(Г) неизвестное действие точки P на элемент тела Q находящийся от P на расстоянии r и примем массу этого элемента за единицу. Положив все это, предложим себе найти ф(г), то есть закон притяжения, по данной функции F(x), выражающей равнодействующую. Г. Лиувилль приводит эту задачу к решению уравнения

1

(p\4v2 + z2 I F,(v)

z dz =-------.

4

2 . 2 V + z

nv

мы напишем его в виде

jV (v2 + z2 )z2 dz

F '(v)

nv

Сделав здесь V и Д = а, где a новое переменное, получим

» 2 F'((x)

\a1,2y(x + a)da =--------=—.

0 n vx

Введем новое переменное u, полагая x + a = (1/u), будем иметь

yl/2 2

u ~5,2y(u )du = -

F

)

n x

Если положим здесь (1/x) = z и сделаем и-5/2ф(и) = f u), то получим уравнение

|"(z - u)1/2 f (u)du = - — F'

n n

Tz.

Отсюда нам нужно определить функцию fu). Мы видим, что эта задача также представляет частный случай задачи Абеля. Сравнивая последнее уравнение с равнением (1), нужно положить p = (3/2) и приложить формулу (2). Находим

■ d -вГ d в de

f (z) = -

п Г(3/ 2)Г(1/ 2) dz

d в

4 dU rv” d'PF'M, .

= -OE -Г\(Z-P) -----7У----d в

~ — 0 d e

и затем будем иметь ф(Х) = xfx2), и следовательно функция ф(х) определится.

Обратимся теперь к рассмотрению другого вопроса о притяжении.

II. Материальная точка M помещается на окружности круга переменного диаметра MA = х. Действие площади круга, притягивающей точку M, есть известная функция fX его диаметра; спрашивается, пропорционально какой функции ф(г) расстояния должна действовать точка M на каждую частицу площади для того, чтобы притяжение целого круга было равно fx).

Уравнение этой задачи (см. мемуар г. Лиувилля) будет

л 1 J о

п/2 ,

IF (

srna

da =

2 z:

-f'

V z J

где положено для упрощения

3

F

f z >

V srna )

sin a

¥

z

f sin a ^

Не останавливаясь на выводе этого уравнения, мы прямо приступим к его решению, то есть к определению из него вида функции ф. Полагая

^ Mr 2),

Vz)

Введем в это уравнение новое переменное u, полагая

— = 4U;

srna

1/х /

тогда будем иметь

J11

,-1/2

1

(

---u

х

F

где x = Z2 1

()

l/x (1 / u )du = — f'

х

= ¥(t).

\

JX,

t

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 55

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

Пусть (1/Х) — j и ж3/2ф(1/ж) — 0(u). Функция 0(u) должна быть представлена из уравнения

|(у -и)12 0(и)du = yf '(у ).

Последний вопрос опять представляет частный случай задачи Абеля; по формуле (2) прямо получаем

Ду) = - 4 )(у-в)-1'2 вГ{4в)р,

п dy

0

и, следовательно,

' •3 у»

F

1

4у,

d

VW J наконец

п dy

f(y-в)-1'2 в'(#) в,

n

()=ПЛ Ъ-т! в f '(в)) в

Возьмем для примера, как делает г. Лиувилль fx) — x, f(x) — x, то есть предположим, что действие круга на точку его окружности возрастает пропорционально первой степени радиуса. Мы будем иметь:

<Р\

()=ПД Ь -в) в в

пу dy

Для получения выражения интеграла достаточно положить в — zt, где t новое переменное; по вычислении найдем

2 2

9

9(х) = —, пх

п £ или

что совпадает с результатом, полученным г. Лувиллем.

Мы не имеем необходимости говорить о всех задачах, решаемых г. Лиувиллем в его мемуаре, и полагаем, что читатель достаточно ознакомился с методом их решения на приведенных нами выше четырех примерах. Прочие задачи решаются также просто и с помощью того же приема и даже представляются, в аналитическом отношении, непосредственно частными случаями вопросов, рассмотренных выше. Ограничимся тем, что выпишем уравнения, к решению которых приводятся другие задачи г. Лиувилля. Уравнения эти суть следующие:

\а1/2ф(х + a)da = а—, 0 V2 x (a)

■ИД! U=f(л

0 ф2 + у2 2 У (b)

h ^(h - x) 12 <р'(x)dx - yf2g f (h),

0 (c)

Г/ \1/2 / \ J Хд/х

I (х - z) <р(z)dz = —=,

о 2V2

го

|e ay[a(x + a)dx = f (x).

0

()

Решение каждого из сих уравнений должно состоять в определении из него функции ф. Сделаем об этих уравнениях несколько замечаний. Уравнение

(a) есть, очевидно, частный случай того, которое мы встретили при решении задачи Лапласа. Уравнение

(b) тождественно с первым уравнением той же задачи. Уравнение (c) есть частный случай задачи Абеля, также как уравнение (d). Уравнение (e), если положим в нем е'ф(у) — F(y), обратится в

ГО

j"a12 F (x + a)da = e~x f (x)

0

и будет также одинаково с уравнением задачи Лапласа.

Из всего изложенного выше видно, что все девять обратных задач, решенных г. Лиувиллем в упомянутом мемуаре, приводятся к частным случаям одной и той же задачи Абеля, решающейся весьма просто при помощи указанного нами приема.

Способ, употребленный нами для решения задачи Абеля, может быть видоизменяем в приложении к другим задачам, отличающимся, по форме постановки, от задачи Абеля. Чтобы показать это на примере, мы рассмотрим еще следующую обратную задачу, с которою встретился Пуассон в одном из своих мемуаров по теории тепла (Journal de I’Ecole Polytechnique. XIX cahier, p. 299) и которой г. Лиувилль посвятил особую ноту, представленную им в Академию в июне 1835 года (Journal de I’Ecole Polytechnique. XXIV cahier).

4.1.5. Задача Пуассона. При исследовании вопроса о распределении температуры в сфере, нагретой первоначально каким бы то ни было образом, Пуассон, в названном мемуаре, пришел, между прочим, к следующему уравнению:

1 п

F (г) = -4Пгп+ JV(r cos ю) sin2 n+1 rndrn,

2 0

в котором F(r) есть данная функция г, и n целое положительное число, могущее быть и нулем. Функция, означенная характеристикою ф, есть четная и притом неизвестная: она должна быть найдена из предыдущего уравнения. Пуассон показывает только, что функция легко определяется при простейших значениях n = 0, 1,..., но затем он исключает эту функцию из формулы и не дает общего выражения ф. Г. Лиувилль в упомянутой выше ноте, основываясь на одной общей формуле теории дифференцирования с произвольным указателем, доказанной им в особом мемуаре (Memoire sur une formule

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

56

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

d’ analyse. Journal v Crelle. Bd. XII, p. 279), дает полное решение задачи Пуассона и выражает функцию ф в форме производной с дробным указателем. Мы намерены показать, во-первых, что то же самое решение задачи можно получить с помощью способа, имеющего аналогию с употребленным нами выше при решении задачи Абеля.

Положив для краткости

F (г )

4Пгп+1

f (r)

и припомнив, что ф есть функция четная, мы напишем данное уравнение в виде

п/2

J

у (r cos ю) sin221+1

rndrn = f (r).

0

Из этого уравнения нужно определить функцию ф, полагая, чтоfr) дана.

Введем новое переменное t, сделав cosw = (t/r); получим

,2 \

Ц1----2 w(t )dt = rf {г).

о V r J

Положив здесь z = 1/r2 и сделав

f (1 л/Z)

4~z

= в( z),

n

где 0(z) есть функция известная, мы для определения ф(/) будем иметь уравнение

и41

J (l - zt2) /(t)dt = в(z).

0

При решении этой задачи должно различать разные случаи. Прежде всего заметим, что функция ф(/) определится очень просто, если n есть число целое положительное. В самом деле, последовательное дифференцирование последнего уравнения дает

Vy[z n 1

-n J (l - zt2) 12ty(t)dt = 09(z),

0

1/Vz ^ 2

n(n -1) J (l - zt1) tAy(t}dt = e"(z),

0

и так далее, пока дойдем до равенства 1/Vz"

(-1)” n(n -1)...2 • 1 • J t> (t)dt = 6{n) (z).

Если наконец одифференцируем по z это равенство, то получим

d (l / 4z )

(-1)nn(n -1)...2-1-

dz

t=wz t2 y(t) = e( n+1) (z),

откуда находим

(1 I Г) ( 1V,+1 2^^”+z) n+(3/2)

¥(r ) = (-1)

n+1

2

d”+1 [rf (r)]

1 • 2 • 3 •... • n • r

2n+3

d (l/ r2)

1+1 •

Этот результат согласуется с найденным г. Лиувиллем. Положим теперь, что в решаемом нами уравнении n есть число дробное. Заметим при этом, что вообще n может иметь величину произвольную, но должен быть более —1; при n = —1 и при n < —1, интеграл, входящий в уравнение, будет бесконечным.

Для сокращения изложения мы оставляем без рассмотрения условия, которым должна удовлетворять данная функция j[r) для возможности задачи. Метод, употребленный для подобного же рассмотрения в задаче Абеля, очевидно, легко прилагается и в настоящем случае.

Остановимся сначала на том случае, когда n заключается между 0 и n — 1. Переменив в нашем уравнении z на в, напишем его так 1/#

I (1 -в )'ч(()л=е(в

0

Умножим обе части равенства на (z - в)n и возьмем интеграл между пределами в = ^ и в = Z; найдем

z 1 У[У z

j(z-вУ~- dp j (l-в ) ¥(t)dt = j(z-в)-1 e(p)d0.

ю 0 <x>

В двойном интеграле, стоящем в первой части равенства, переменим порядок интегрирований, для чего обратимся к помощи чертежа. Взяв на плоскости две оси координат 0в и 0t, мы построим в угле Юв (рис. 4.5.) ветвь гиперболической кривой, представляемой уравнением t = 1/ #.

Кривая эта будет иметь асимптотами оси 0t и 0в. Отложим 0A = z и проведем ординату AB = 1/ Л . Первое интегрирование производится по t, причем берется сумма бесконечно малых вида (z — вДД — вt2)nф(t)dt при постоянном в = 0P и при изменяющемся t от t = 0 до

t = 1Д/в = MP.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 57

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

При втором интегрировании изменяется в от в = * до в = Z = 0А, причем прямая MP, перемещаясь с бесконечного расстояния параллельно самой себе до совпадения с AB, наполняет собою бесконечную площадь СВАв. Таким образом двойное интегрирование есть суммирование бесконечно малых приведенного выше вида, распространенное на все величины координат t и в, получаемые этими переменными внутри площади СВАв. Переменив порядок суммирования, мы должны будем первое из них произвести по линии QN, параллельной оси 0в, изменяя в, при произвольном t = 0R, от в = RQ до в = RN = (1/t2); затем, второе суммирование, перемещая QN параллельно самой себе от точки В до А, при этом t будет изменяться от t = 0D = (1/4z) до t = 0 и прямая QN наполнит собою всю площадь СВАв. Совершив таким образом перемену порядка интегрирований, мы будем иметь уравнение:

0 1/t2 z

j )dt J (z -pyB-1(1 -pt2)dp = J(z -P)-”-le(P)dp.

1/4z z X

В новом двойном интеграле первое из интегрирований легко может быть выполнено; для сего

стоит только положить Р = z + а ^у ~ zj, где а есть новое переменное, и тогда найдем

i//2 i

j (z -руп-1 (1 -в 2)nd в = (-1)-n-112 n jVn-1 (1 - а)n da

z 0

или

i//2

J (z - в)-n-1 (1 - pt2 )n dв = (-1)-n-1 Г(-п)Г(п + 1)t2n.

Заменив двойной интеграл простым, мы получим

(-1)и+1

уравнение 0

J12nw(t)dt =-

J (z-pr~l0(P)d в,

¥

1

Tz

'd- J (z -РУ n-1e(fi)d p,

vTz T(-n)T(n +1),

из которого функция фф) уже определится чрез простое дифференцирование. Взяв производную по % легко найдем

г п Л = 2(-1)n+1 zn+(3/2) d_\t_ n-v

У Г(-п)Г(п + 1) dz X

что решает вполне задачу Пуассона при n дробном и заключающемся между 0 и —1. Формула эта также согласуется с результатом, найденным г. Лиувиллем, но так как почтенный французский геометр выражает функцию фф) посредством производной с дробным указателем, то обнаружить тождественность двух решений можно только при помощи формул теории междупредельного дифференцирования с произвольным указателем.

Остается рассмотреть случай, когда n есть число положительное и дробное. Пусть n заключается между

двумя целыми числами k и k + 1, тогда, взяв снова уравнение

1/л/7

| (1 - zt2)y(t)dt = в(z)

0

и одифференцировав его k + 1 раз, мы найдем также как и выше

1/>[z

n(n — 1)...(n - k) j 12k+2(1 - zt 2)n - k — 1\y(t)dt =Q(k++ (z).

0

Уравнение это можно записать в виде

1/yfz

| t2k+2(1 - zt2)n

1¥(t )dt =:r(n±H e( k+1)( z). Г(п - к)

Сравнивая это уравнение с первоначальным, мы видим, что оно получается из этого последнего чрез перемену n на n — k — 1; фф) на ^+2фф); 0(z) на

Г(п — к) 4 2 и так как n — k — 1 заключается

между 0 и -1, то мы можем из последнего уравнения определить У+2ф(1) по той же формуле, по которой определяли фф) при n, содержащемся между 0 и —1 из первого уравнения. Получаем по упрощении

V

1

2(-1)

п+1 ^n+(3/2)

d

4Z Г(п + 1)Г(к +1 - n) dz

J(z -в)-пв(к+r>(P)dв.

Таким образом задача Пуассона решена во всех возможных случаях без помощи теории дифференцирования с произвольным указателем.

Изложенный выше способ решения последней задачи, как видит читатель, имеет большую аналогию с тем, который мы употребили для решения задачи Абеля. Представляя решение в этом виде, мы хотели, с одной стороны, получить окончательный результат прямо в той самой форме, в какой он был сообщен г. Лиувиллем, а с другой, ознакомить с характером приема, который, в этом случае оставаясь тем же по сущности, видоизменяется в применении. Видоизменение это ведет к сближениям, имеющим важность в теории междупредельного дифференцирования. Теперь мы ограничимся замечанием, что и задача Пуассона может быть приведена к задаче Абеля чрез простую перемену переменного. Действительно, выше мы представили уравнение Пуассона в виде:

1/dz

J (l - zt2) /(t)dt = в(z).

0

1 л/z /

Напишем это уравнение таким образом

I - / ^

z

¥(t )dt =

в( z )

J

n

n

z

Введем здесь новое переменное, полагая t2 = а; получим

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

58

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

s i \п

11 —а I ф(4а)аУ2da =

26 (z)

n

Положив здесь

U

1

— = u, z

9(a),

будем иметь

I(u -a)np(a)da = 2un6(\/u),

0

откуда нужно определить функцию ф(а), а затем и функция ф будет известна. Определение функции ф из последнего уравнения есть задача Абеля, к решению которой приводится таким образом задача Пуассона. Для того, чтобы результат, найденный этим путем, привести к тому, который был дан г. Лиувиллем, придется сделать преобразование переменного. Мы, впрочем, не будем на этом останавливаться, так как выше уже было дано решение в окончательной форме.

Прежде чем перейдем к другому предмету, мы позволяем себе представить здесь решение еще одной задачи, принадлежащей также к классу задач, обратных определенному интегрированию, хотя и не тождественной по условиям, требуемым от ее решения, с теми, которые мы рассматривали до сих пор.

4.1.6. Задача Гаусса. Знаменитый геометр в своих изысканиях о приближенных квадратурах встречается со следующим вопросом. Найти функцию ф(/) под условием, чтобы при всех целых и положительных значениях п, меньших данного целого числа т,

существовало равенство:

1

t )fdt = 0.

0

Не имея надобности в полном решении этой задачи, Гаусс удовольствовался указанием, что функция

dmtm (1 -1 )m dT

удовлетворяет требуемому условию, что и поверил вычислением.

Г. Бертран в своем “Traite de calcul integral”, взяв ту же задачу как пример задачи, обратной определенному интегрированию, и заметив неопределенность вопроса, ищет для функции фф) требуемое значение, полагая эту функцию целою т + 1 степени, и при таком условии приходит к выражению фф), данному Гауссом. Так как решение, предлагаемое г. Бертраном, не имеет надлежащей общности и притом же не отличается простотою, то нам показалось нелишним привести здесь иное решение того же вопроса.

Сделав в данном условном уравнении t — 1 — и и

положив ф(1 — и) = ф(и), мы напишем его в виде

1

J (1 - u ) ny(u ) du = 0.

0

Равенство это должно иметь место при n — m — 1, m — 2,..., 2, 1, 0. Положим

X

J (х - u )mly(u)du = f (x).

0

Чрез последовательное дифференцирование получаем

X

(m -1) J(x - u)m~2y(u)du = f'(x),

0

(m - l)(m - 2)...2-1-JV(w)dw = fm 1}(x),

0

(m - 1)(m - 2)...2 • 1 • ¥(x) = f(m) (x).

По этим равенствам видно, что функция f(X) должна удовлетворять условиям: f0) = f(0) =...=fm-T} (0) = 0.

Кроме того, если во всех этих равенствах сделаем x — 1, то, по требованиям задачи, должно быть f(1) = f(1) =...=fCm-1)(1) = 0.

Если возьмем какую-либо функцию, удовлетворяющую всем этим 2m условиям, то очевидно можем принять: ф(х) = dmf(x)/dXm, где опущен постоянный множитель. Если положим, что fx), а следовательно, и ф(х) должна быть целою алгебраической функцией наименьшей степени, равной 2т для функции fx), то, заметив, что, по найденным условиям, x — 1 и x — 0 должны быть корнями m-ой степени для последней функции, нужно будет взятьДх) = xm(1 — x)m, и тогда будем иметь решение Гаусса. Из предыдущего однако видно, что кроме этого существует еще бесчисленное множество решений, составление которых не представляет затруднения по обнаруженным выше условиям для функции fx).

Вернемся в заключение к формуле, решающей задачу Абеля, для того чтобы показать, как легко можно обобщить эту формулу и распространить ее на многократные интегралы. Мы видели выше, что уравнение

X

| (х-а)р-1 f (a)da =ф(х),

а

при p, заключающемся между 0 и 1, будучи решено относительно функции/(а), дает

X л X

|f(a)da =——л----------- |(x -рурф(№в;

а г( р)га- p) а

следовательно, если вместо ф(в) во второй части равенства поставим его выражение по первому уравнению, то будем иметь

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 59

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

Л

| f (a)da =

1

Г( p) Г(1 - p)

х в

xj (х-в)-pd в | (в-а)р-1 f(a)da.

a a

Обыкновенно полагают, вместе с Абелем,у(а) = ф'(а) и тогда будет:

т( х)-ф(а) =-----1-----х

Г(р)Г(1 - р)

х в

х |(х - в)-pdв |(в-a)р1ф'(a)da.

a a

Эта формула, однозначущая с предыдущею, и называется формулою Абеля. Из изложенного выше нам известно, что справедливость последнего равенства может быть обнаружена непосредственно: достаточно переменить порядок интегрирования во второй части равенства, для того чтобы видеть, что оба интегрирования могут быть выполнены на самом деле, и тогда равенство это прямо обратится в тождество.

Абелево тождество может быть представлено в виде несколько более общем. Возьмем двойной интеграл г в

I (г-pyld в\ (в-а)р-f (a)da;

а а

переменив в нем порядок интегрирования, мы будем иметь

У У

| f (a)da\ (у -ру~\р-а)p-1 d в;

a a

но, положив в = а + t(y — а), найдем }(У -в-'(в-а)d в = Г(Г)Г <q> (y -a)p+q,

Г( p + q)

J(Г-РУ-1 d р\(p-а) p'f (a)da =

чрез что получаем тождество

У_ в

РРРШ j(у-а)p+,-1 f (a)da,

Г(p + q) Г

гдеp и q суть числа положительные.

Тождество Абеля есть частный случай сего последнего; оно получается из него, предполагая, что p + q = 1. Последнее тождество легко распространяется на интегралы многократные; действительно, умножив обе части равенства на (8 — y)r-,dy и интегрируя между пределами ли 8, мы найдем во второй части двойной интеграл

5 У

| (5- y)r-1 dy | (у-а)р+q~lf (a)da,

а а

который на основании того же самого тождества может быть заменен выражением

Г(г )Г( p + q)

Г( p + q + г)

5

|(8-а)р+q+r-1 f (a)da;

вследствие чего будем иметь равенство

S y в

I (S-y)r-1 dy J (y-в)g-1 d в\ (в-a) p-1 f (a)da =

a a a

Г( p)Y(g)Y(r ) Г( p + g + r)

S

J (S-a)p+g+r-1 f (a)da.

Совершенно ясно, что, поступая с этим новым тождеством также как с предыдущим, мы получим подобное же равенство для интеграла четверного, который выразится чрез простой, и так далее можем заключить, что вообще многократный интеграл вида и у в

I (M-s)s-1 ds...\ (y-P)ql d в J (fi-a)p-1 f (a)da,

a a a

в котором p, q, ... s суть числа положительные, может быть заменен следующим простым:

Г(р)Г(д)...Г(^) ^p+q,.,s_x

J f (а)(ц-а)

da

r( p + q +... + s)

Если положим, что p + q + ... + s = 1 и сделаем fa) = ф'(а), то получим формулу г. Шлёмильха

г{Р)г(?)...г{s) [р) -Ф(а)] =

Я У в

= |(m-s)s-1 ds...\(у-в)q-1 dв |(в-a)P-1 da.

a a a

Указанное нами приведение многократного интеграла к простому заключает в себе некоторые формулы, найденные г. Лиувиллем. Для простоты будем рассматривать тройной интеграл

s у р

I (S - y)r-1 dy J (у-P)ql dp J (в-a)p-1 f(a)da.

a a a

Сделаем в нем a = a + a', в = a + в', у = a + y' и потом заменим опять буквы а', в', Y' чрез а, в, Y; мы увидим, что, не уменьшая общности, мы можем написать этот интеграл в виде

h y Р

J (h - y)r-1 dy J (y - P)q-1 d в J (в - a)p-1 f (8 - h + a)da,

0 0 0

где h =8 — а. Введем сюда новые переменные x, y, z, полагая в — а = x, у — в = y, h — у = z тогда наш интеграл обратится в следующий

h h-z h-y-z

Jzr~ldz J yq~ldy J xp~l f (5- x - y - z)dx.

0 0 0

Этот тройной интеграл, по указанному выше, приводится к простому

Г(pr(qr<(r) Г(h-a)p+q+r-1 f (8-h + a)da,

Г(p + q + r) J J

который, если положим в нем h — а = и, напишется в виде

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

60 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

п

Iup+q+r-1 f (5- u )du.

Г( р)Г(д)Г(г )

Г( p + q + r)

Положив^(8 — U) = ф (и), получим следующее тождество

h h-z h-y-z

Iz ~ldz I yq-1dy I xp-1q>(x + y + z)dx =

0 0 0

Г(p)r(q)r(r) ) + q+r ,

|up+q+r-1q>(u )du,

r( P + q + r)

где p, q, r суть числа положительные. здесь в первой части равенства стоит тройной интеграл

Ш%Pl У4-Z 1ф(х + У + z )dxdydz, распространенный на все величины переменных х,у, z удовлетворяющих неравенству 0 < х +y + z < h.

ясно, что указанное приведение прилагается вообще к многократному интегралу вида

|... Ц xp-1 yq ~1..у*~1ф( x + у +... + v )dxdy...dv,

в котором интегрирование распространяется на все величины х,у, ..., v, удовлетворяющие неравенству 0 < х +y + z + ... + v < h.

Этот многократный интеграл заменяется выражением

Г(^)Г(О..Т(5) + q+...+s-1

| f (u )u

du.

r(p + q +... + s) о

Последнее преобразование многократного интеграла было, как известно, указано в первый раз г. Лиувиллем.

Подобным же образом можно получить еще другое преобразование многократного интеграла, также данное г. Лиувиллем. Возьмем опять тройной интеграл

h Y Р

J(h - y)r-1 dy J(у - в)?-1 dв J(fi - a)p-1 f (S - h + a)da

0 0 0

и введем в него новые переменные x,y, z, полагая в — а = aM, у — в = bf, h — у = <z> мы найдем, что расматриваемый тройной интеграл обратится в следующий

h(yl) (h-czl )(1/n )

mnlapbqcr J zrr-1dz J yqn-1dy x

0 0

(h-byn-czl )(1/m)

x J xpm-1q>(axm + byn + c z)dx,

0

где положено по-прежнемуу(8 — v) = ф(у).

Отсюда, на основании данной выше теоремы, заключаем, что тройной интеграл

А(Ш) (h-czl )(1/n) (h-byn-czl )(1/m)

J zrl~ldz J yqn-ldy J xpm~l<p(axm + byn + c z)dx

приводится к простому

1

Г( p)T(q)T(r )

mnlapbqcr Г(р + q + r)

n

Jup+q+r-1ф )du.

Обобщая это приведение на многократный интеграл вообще, получим, что интеграл |...Цxpm-1 yqn— ...vsr^1p(axm + by” +... + kvs )dxdy...dv, распространенный на все величины переменных, удовлетворяющие неравенству 0 < ax* + bf + ... + kV < h, может быть заменен простым.

Таким образом, одна формула г. Шлёмильха и две г. Лиувилля заключаются в данном выше преобразовании многократного интеграла, представляющем обобщение теоремы Абеля.

4.2. Новые основания теории междупредельного дифференцирования с произвольным указателем

(Сообщено в Математическом обществе 15 сентября 1872 г)

Пусть fa) есть функция, остающаяся конечной и непрерывной при изменении а между пределами ли х. Допустим, однако, что при a = a функция fa) может обращаться и в бесконечность, но с тем, чтобы эта бесконечность была порядка дробного меньшего единицы, так что при a = alim(a — a) fa) = 0.

Пусть r есть порядок бесконечности fa), тогда при a = a необходимо будет lim(a — a)fa) = A,

где A есть некоторая конечная величина, не равная нулю; число r меньше единицы и не может быть равно единице. Если r = 0, то fa) есть величина конечная; если r < 0, то fa) = 0.

При выговоренных условиях функция fa) может быть интегрируема между пределами a и х, и интеграл х

j f (a)da интеграл всегда будет иметь величину

конечную, а при х = a будет обращаться в нуль. Последнее сделается очевидным, если положим a = a + t(x — a) и затем, сделав х — a = е, напишем интеграл в виде

Ю | (st ff(a + st) ^.

0 t

Так как r < 1, то предел этого выражения при е = 0 или при х = a будет очевидно нуль.

Рассмотрим двойной интеграл Ц f (x)dx2. Его

x в a a

можно написать в виде fde ff (a)lda'

_ a a

Переменив здесь порядок интегрирования, по известному нам правилу получим

X X X

Jf (a)da Jdв = J(x-a)f (a)da,

a a a

и, следовательно,

x x x

JJ f (x)dx2 = J (x-a)f (a)da.

a a a

Помножив обе части равенства на бх и взяв интеграл между пределами a и х, будем иметь во второй части двойной интеграл, который, чрез перемену в нем порядка интегрирований приведется к простому следующим образом:

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 61 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

л /-> л л

|dв |(в-a)f (a)da = Jf (a)da J(в-a)dв =

a a a a

1 X

= — J (x-a)2 f (a)da;

a

и, следовательно, будет

XXX л x

JJJ f (x)dxx = — J (x-a)2 f (a)da.

a a a a

Если опять умножим обе части равенства на dx и возьмем интеграл между пределами а и х, то новая перемена порядка интегрирований во второй части даст

D Pf (х)

j ( х-а)р 1f(a)da

Г ( P )

(2)

x x x x -t x

ЯЯf (x) dx = J (x -aff (a)da.

a a a a a

Повторив указанное действие n — 1 раз, найдем известную формулу

X X X

J... JJf (x)dxn = 1 ^ 2 ^ * _ J(x ~aTlf (a)da

a a a О a

Мы остановились на ее выводе только ради простоты и представившегося нам доказательства. Кстати заметим, что если положим fx) = фДх), то в первой части последнего равенства можно будет выполнить последовательно все n интегрирований, что дает

X XX

| ...Цф( п Ч х) dxn = ф( х) -ф(а) -

a a a

-(х - Ф,(а)-... - (х a)—к v(n-1) (a);

1-2 • 3 •... • (п -1)

и таким образом будет доказана теорема Тейлора с остатком, выраженным чрез определенный интеграл. Остановимся на рассмотрении выражения 1 *

. 0 w n I(*-«Г1 f (a)da. i •2 • 3...(n - i)a

Оно, очевидно, заключается в следующем 1 x

----- [(x-a)p-1 f (a)da,

Г(Р) Г (1)

где р может получать не только целые, но и дробные положительные значения. При p равном целому положительному числу n последняя формула дает выражение n-кратного интеграла функции fx), причем каждое из интегрирований должно быть произведено между пределами а и х. Выражение (1) представляет вообще некоторую операцию над функцией fx), операцию при которой переменное получает все значения от а до x.

Условимся эту операцию представлять символом

[D-'/(x-)J

L ->a и будем этот символ называть

междупредельной производной с указателем —р от функции fx). По определению будем иметь

В этом равенстве указатель p есть число положительное и не равное нулю; функция fa) удовлетворяет вышеуказанным условиям. При принятом нами определении n-кратный интеграл

J ...jj f (x)dxn

a a a

будет междупредельной производной с целым отрицательным указателем —n. Числа а и x в формуле (2) суть пределы междупредельного дифференцирования; а — постоянное, но произвольное, x — переменное.

Заметим некоторые свойства символа, определяемого равенством (2). На основании доказанного ранее в разделе 4.1 настоящего исследования мы видим, что выражение

[ D ' '/(x) I,

представляя вообще непрерывную функцию x, при x = а есть бесконечность порядка r — р меньшего единицы, ибо r < 1, а р > 0; следовательно, над этой функцией мы можем снова произвести операцию междупредельного дифференцирования с произвольным отрицательным указателем —q между теми же пределами а и x. Результат этого нового действия обозначим чрез

[ D - W - V (x) ] а;

по формуле (2) он будет равен интегралу

1 Х a

[(х-a)q-1 [D~pf (а)]“ da,

г( p) а а

или, заменяя интегралом символ междупредельного дифференцирования, двойному интегралу

л x а

|(х-аГ1 da |(а-в)рЛf (fi)dК

г( p)r(q) a a

Переменив порядок интегрирований, получим

л x x

jf (P)dp\(x-ау-\а-Р)p -da.

Г(p)T(q) a в

здесь интегрирование по a может быть выполнено, полагая a = p + t(x- (3) и наш двойной интеграл заменится следующим простым 1 х

-------- f(х-в)р+q-1 f(p)dв,

Г(р + q) К И

который, по определению, выражаемому равенством (2), может быть заменен символом

[ в--(x) ] а.

Таким образом, доказано главное свойство рассматриваемого символа, выражающееся равенством

[ D - <D - (х) ] а = [ D ----f (x) ] а, (3)

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

62 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

из которого уже необходимо следует, что

[ D -"D - <f (x) ] X =[ D - <D - "f (x) ] X.

Свойство это, как видим, имеет полную аналогию со свойством, принадлежащим операции обыкновенного дифференцирования и состоящим в том, что

dq dpf (x) _ dp dqf (x) _ dp+qf(x)

dxq dxp dxp dxq

dxp+q

где указателиp и q суть числа целые положительные.

Дифференцируя символ, определяемый равенством (2), находим приp > 1

d_ dx1

;[ В - "f (x) ] X j(x-a)"-2 f (a)da;

здесь вторая часть равенства есть междупредельная производная с отрицательным указателем —p + 1, и потому

d [ в - х/(x) ]х=[ в-v (x) ] a.

Полагая, что p > 2 и дифференцируя обе части последнего равенства снова по х, находим точно также, что

dl

dxx

Если p > 3, то можем снова дифференцировать по тому же правилу, и вообще, если p < n, где n целое положительное число, то, очевидно, будем иметь

dn

[ D - (x) ] X = [ D'f (x) ] X.

dX

■[ D - -f (x) ]X =[ D-’f (x) ] a.

(4)

Согласно принятому нами определению,

междупредельная производная Dq f (x) j с

положительным указателем q, меньшим единицы, может быть вычислена по равенству

[ D<f (*) ] 1 = d [ D-'f (x) i:.

где символ

[ f ( 4) ] X

будет определен по формуле (2), так как q — 1 < 0. И вообще междупредельная производная

[ D-<f (х) ] X

с положительным указателем n + q, заключающимся между двумя последовательными целыми и положительными числами n и n + 1, будет иметь своим выражением

jn+1

[ D’n,f (4) ]:=-cn+г [ о---/(x) ] x,

данное выше для символа

Определение,

-ix

d - pf (x) , предполагает, что указатель —p

междупредельного дифференцирования отрицателен и не равен нулю: равенство (2) перестает существовать при —p положительном. Последнее доказанное нами свойство символа позволяет однако распространить его определение и на тот случай, когда указатель междупредельного дифференцирования будет положительным. Равенство (4) существует при n < p, однако дифференцирование tC/dX1, означенное в первой его части, всегда возможно, как при n < p, так и при n > p. Условимся принять, что то же равенство существует и при n > p, n — p > 0, тогда вторая часть этого равенства, то есть выражение

[ D--f (х) ] X,

в котором n — p > 0, будет представлять междупредельную производную с положительным указателем n — p, и равенство (4), указывая способ ее вычисления, будет вместе с тем служить определением этого нового символа.

dxn+ [ ^ ' 'J:' (5)

где q заключается между 0 и 1.

Найдем выражение междупредельной производной с положительным указателем, руководствуясь равенством (5). По формуле (2) имеем

[D<-\f (x)]X J(x-a)-///a.

Дифференцируя обе части этого равенства по x, необходимо иметь в виду, что функция fx) может обращаться в бесконечность при а = а; случай этот представляет даже особую важность в рассматриваемой теории, поэтому при дифференцировании мы должны приложить правило, указанное в разделе 4.1 (равенство 4); по этому правилу находим

- Г D-■ f (х) Iх =---1------х

dx Г ^а Г(1 - q)(x - а)

х Г(1-q)f (a) + (a-a)f (a) da

а (х -a)q '

Заметив, что

d(a-a) qf(а) _ da

_ (а- a) - q [(1- q)f (а) + (а- a)f '(а)],

мы можем предыдущее равенство написать в виде

Г Dqf (х) 11 =_1_____] <0-0^ d (a- atqf(a) da.

L 1a p(i - q)(х - a) a (х -a)q da

Это есть выражение междупредельной производной с положительным указателем q, заключающимся между 0 и 1.

Одифференцируем обе части последнего равенства снова по x, причем необходимо будет приложить тоже самое правило. Положив для краткости

(a- afd (a- a)'"f (a) =<р(а),

da

находим

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 63 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

d [ Df * т; я

i

>(1 - q)ty(a) + (a- a)q'(a)

d; L J ' /]a r(1 - q)(; - a)2

1 ; q(a)

(; -a)q

da

I(

da,

Г(1 - q)(; - a)2 a (; -a)q или, по сокращении,

— Г Df (x) 1' =--------1-------,

dx Г ^a Г(1 - q)(x - a)2

xrqq>(a) + (a - a)q>'(a)

(x-a)q

-da.

Но

-qq(a) + (a- a)q'(a) =

= (a-af " d 1{a-а)У(a) = v(a),

da

и следовательно, будем иметь

[d’Vm]’ 1

Г(1 - q)(x - a)2 (a- a)q+1 d2 (a- a)1-qf (a)

da.

a (x-a)q da2

Это есть выражение междупредельной производной с положительным указателем q + 1, заключающимся между 1 и 2. Одифференцировав обе части последнего равенства по х, мы найдем точно также выражение междупредельной производной с указателем q + 2 и т.д. По аналогии заключаем, что вообще будем иметь

[>*7(*)1 1

Г(1 - q)(x - a)n+l da - a)q+n dn+l(a- af~4 f (a)

a (x-a) dan+l (6)

Чтобы подтвердить это заключение, одифференцируем по x обе части последнего равенства. Полагая для краткости

da.

(а - a)

q+n

dn+1 • (a-a) qf(а)

dan+1

= 0(a),

находим по известному нам правилу

—Г D "f (x) I' =----------1------у

dx Г ^а Г(1 - q)(x - af

d-q - n)6(a) + (a - а)в'(а)

da.

Но

(x -a)q

(-q -n)6(a) + (a -a)6'(a) =

= (a-a)q+n+i d+2 • (a-atqf (a)

и поэтому будем иметь

ГDq+n+1 f (x) 1x = — +2

L - Г(1 - q)(x - a)и+2

(a- a)q+n+1 dn+2(a - a)1- f (a)

dan+2

1

I

(x-a)q

da

n+2

da.

x

x

из чего следует, что если равенство (6) существует при каком-либо указателе q + n, то оно необходимо должно иметь место и при указателе q + n + 1, единицею большем; стало быть, равенство (6) справедливо вообще.

Формула (6) дает таким образом общее выражение междупредельной производной с положительным указателем.

Положительное число q в формуле (6) меньше единицы и не равно единице. Сделаем q = 0; будем иметь

[ (и:=

А

|(а - :)’

dn+1(a - :) f (а)

(x - :)n+ : dan

или, по известной формуле Лейбница

[ Df (x) ]' =-----^ х

da.

(x - a)

i+i

1

A

х J(a - a)n

(a- a) f(n+1}(a) +

da.

j+(n + 1)f(n)(a)

Но чрез интегрирование по частям находим

) (a-a)n+l f(n+X\a)da=(x - a f+1 f(n) (x) ■ a

x

-(n +1) J(a-a)nf(n')(a)da, a

и следовательно

[ Iff ( x) ] ' = f < ■ ’( x).

Таким образом, обнаруживается,что междупредельная производная с целым и положительным указателем n есть обыкновенная производная функция n-го порядка. Операция междупредельного дифференцирования с положительным указателем есть действие, заключающее в себе как частный случай обыкновенное повторенное дифференцирование, с тем, впрочем, ограничением, что междупредельное дифференцирование по действительному переменному вообще может быть производимо только над такой функцией fx), для

которой интеграл {f(x)dx имеет величину конечную, как это было оговорено в начале настоящей главы.

Сделаем еще одно замечание о формуле (6). Основанием для ее вывода послужило равенство (5), которое есть ничто иное, как равенство (4) при частном предположении о р, как о числе, заключающемся между 0 и 1. Равенство (4), собственно, дает определение междупредельной производной с положительным указателем. В этом равенстве число p положительно, но затем совершенно произвольно, а вследствие этого в равенстве (5) число q, будучи менее единицы, может быть также полагаемо совершенно произвольным. Формула (6) существует, таким образом, при каком бы то ни было значении q, меньшем единицы. При q = 1 эта формула представляется в неопределенном виде, а при q > 1 она перестает существовать, ибо интеграл, в нее входящий, будет бесконечным.

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

64

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

На основании сделанного выше замечания о значении междупредельной производной с целым и положительным указателем, формула (6) может быть написана в виде:

D+nf (x) =-------1-----т- X

L a r(1-q)(x-a)n+1

X X (a-a)q-n a (x-a)q

Dn+1(a-a)1 q f (a)

a

da.

(7)

и имеет место при всяком целом и положительном п и при всяком значении q, меньшем единицы. Мы докажем теперь, что последняя формула существует и при n отрицательном, вследствие чего та же самая формула будет с удобством служить и общим выражением междупредельной производной с отрицательным указателем. Для доказательства переменим n на -п и, на основании формулы (2), напишем

“-р)"q'fiP)de (8)

В этом равенстве будем полагать q < 1, а п положительным и большим единицы; при этом показатель п — q — 1 будет < —1, и интеграл, стоящий во второй части, имеет величину конечную. Для преобразования этого интеграла мы воспользуемся особой формулой, дающей выражение определенного интеграла

|<*a' da.

в (a- a)r+

Выражение это легко получается с помощью известной формулы Абеля. Положив в этом интеграле а = в + t(x — в), где t новое переменное, мы найдем, что он обращается в следующий

(х -ву+--1

0 [В~а+1(х~B)]+S

величина которого дается формулой Абеля (См. Schlomilch. Compendium. Bd. II. S. 273); таким образом получаем

X(x-ay-1 (a -ВУ_-_ds = T(r)r(s) (x-ВУ++ 1

(x -B)

x

x(x - a)n l(B - af-q I

Г(п - 1)Г(1 - q)

i-qX (a-B)n-2(a- a)-n

e (x-a)q

da.

[ Dq-f (x) ] X =

x{(в-a )1-qf (B)d в\

T(n - 1)Г(1 - q)

(g-B)n2(g- a)q-n

в (x-a)q

da.

Переменим в двойном интеграле порядок интегрирований. Взяв оси координат 0а и 0в (см. рис. 4.6) и построив прямую 0С, уравнение которой есть а = в, мы проведем еще две параллели осям BE и AC на расстояниях 0B = а и 0A = х, суммирование очевидно происходит на пространстве площади треугольника DCE; если первое суммирование должно происходить при постоянном а, то в должно изменяться от в = а до в = а; затем суммирование распространим на всю площадь, изменяя а от а = а до а = х, таким образом, находим (x - a)n-1

[ Dqnf (x) ] a

x| (a- a)-n

Г(п - 1)Г(1 - q)

X

da I(a-B)n 2(B- a)1-q f (B)dB.

(x-a)q

Но по формуле (2) имеем

Г Dln (a- a)l~q f (x) " =-l--x

L " a Г(п -1)

a

xj (a-py-!(P-a )'--f (P)d p.

a

и, следовательно, можем написать Dl-"f(x)l* = (x.-x

J a B(l-q)

xj(a a)^q D1 ”(a-a)1 qf(a) da. a (x-a)q [ Ja (10)

Сравнивая эту формулу с данною выше (7), мы находим, что она получается из этой последней чрез перемену n на —п. Заметим, что приведенный вывод имеет место при n большем единицы, как целом, так и дробном. Формула (7) существует, следовательно, как при п целом и положительном, так и при п отрицательном меньшем —1, но произвольном. Прибавим, что формула (10) очевидно имеет место и при п = 1, хотя предыдущий вывод и неприменим при этом, ибо для сего случая

[ D 0(a- a)-qf (a) Ja = (a- a)1-q f(a),

и формула (10) будет

Г те' f (х) 1 х )-f (a)

в (a- a)r+s Г(г + s) (x - a) (fi - a)r (9)

В этом равенстве r и s суть числа положительные. Сделаем в нем s = п — 1, r = 1 — q, тогда из него получим n-q-1 _ г(п - q) v

-da,

г(' - q) а(х-a)q

что согласно с определением, выражаемым равенством (2).

а

Вставим это выражение в равенство (8) под знак интеграла; будем иметь

(x - a)n-1

в

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

При q = 0 формула (10) дает выражение n-кратного интеграла от функцииfx), взятого между пределами а и х, посредством интеграла двойного, именно

\ п-1

Г D -f (x) 1 “ = (-^L х L 1a Г(П -1)

xj (fi- a)f (P)d pj

(а-в)

г-2

-da,

а в (a- a)

где n может быть равно 2, 3,4, .... Но по формуле (9)

:(a-py-\da = r(„-1) (x-P)-'

1(

1-1 •

(X -a)q

+

(n -1)(x - a)

n-2 x

0(a)

r(1 - q) а(x -a)q

da +

da,

или

n-2

df (x) 1 x = (x-aL_ x

J a r(l - q)

(n - q)0(a) + (a - a)0'(a)

л

I

(x-a)q

da.

Ho

(n - q)0(a) + (a- a)0'(a) =

= (a- a )q-n+1 [ D 2~n (a - a )1-q f (a) ] *,

и потому будем иметь

Dq-n-lf (x)

n-2

(x-a) Г(1-9)

Г D -f (x) I “ = ^L-flL x L Ja Г(п -1)

x j a

x 1—0; f(a -в)п-(в -a) f (fi)dв.

a(a- a) a

Для поверки этого равенства достаточно переменить порядок интегрирований и тогда будем иметь

\П-1

хХ (a-ci)q

a

-n+1 г

(x-a)q

D2 n (a-a)1 qf (a)

a

<ia.

Сравнивая эту формулу с формулой (10), мы видим, что она получается из этой последней чрез перемену n на n — 1, но если, как мы предполагали, n > 1, то n — 1 > 0, и следовательно, мы должны признать формулу (10) существующей при всех значениях n, больших нуля. По ходу доказательства видно, что, если мы одифференцируем последнее равенство еще раз по х,

то, при том же самом выводе, получим

. _ ^ ^\и-3

D<i-n-2

2f ( х)

r(a- a)q-n+2

-X

в (a - a) Г(п) (в - a)(x - a)

и потому

[ Д - -f (x) ] ( = 0^ ) (x-в)’-' f (p)d в,

как и следовало ожидать.

Мы доказали, что формула (10) имеет место при n произвольном, но положительном и большем единицы. Мы можем теперь распространить значение этой формулы и показать, что она существует и при n менышем единицы, не только целом, но и дробном. Одифференцируем равенство (10) по х, положив для краткости

(а - a)q-n [D1 и (а - a)- f (a) J =0(а),

прилагая известное нам правило, находим

—Г Dq-'f ( x) 1x = (zzPll х

dx Г Jа Г(1 - q)

xr (1 - q)0(a) + (a- a )0'(a)

a (х-a)q

и наконец, после будем иметь

_ (х - a)n

_ Г(1 - q)

[D3n(a-a)1-qf(a)] da.

-кратного дифференцирования

(x - a)

n-m-1

Г(1 - q)

[Dm+1-n(a-ay-qf (a)J da.

Dq-n-mf ( x)

x] (a- a)-n+m a (x-a)

Это равенство получается из (10) чрез перемену n на n — m, следовательно формула (10) останется верной и тогда, когда в ней n будет уменьшено на m единиц: но так как n есть число произвольное, только большее единицы, то n — m может выразить всякое число, как большее, так и меньшее единицы, как положительное, так и отрицательное. Положив в последнем равенстве - n-m=p, мы получим следующую общую формулу междупредельного дифференцирования с произвольным указателем:

Г D pf (x) 1х = <x

L J a r(l - q)

x r(a-af p ГDP+i(a-a)-qf (a)l“ da.

a (X-a)q L J a (11)

В этой общей формуле p есть число совершенно произвольное целое или дробное, положительное или отрицательное, q есть также число произвольное, но меньшее единицы. Формула эта заключает в себе все вышеприведенные: при p целом и положительном она совпадает с формулой (6) и может быть употреблена для нахождения междупредельных производных с положительным указателем от простейших функций, производные с отрицательным указателем могут быть выражены проще по равенству (2). Из формулы (11) может быть выведена вся теория так называемого дифференцирования с произвольным указателем, формула эта, равно как и предыдущие (6) и (10), сколько нам известно, еще никем до сего времени не были указаны.

65

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

66 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Замечая, что при q < 1 имеем

[ d1 pw(a) ] a=■

i

¥(а)

-da,

Г(1 -q) a (x-a)q

мы можем формулу (11) написать еще в следующем виде:

[Dq+pf (x)]Х = (x - a)-p-1 x

Dq1(a- a)q+p [ Dp+1(a- a)- f (a)J

интегрирований во второй части равенства (14), то увидим, что первое интегрирование по переменному а может быть выполнено по формуле (9); сделав это, найдем

f (x) =

(x - a)

\(x -в)

m+i dm+2(в-a)m+2 f (в)

d в,

(12)

Равенство это существует при тех же условиях, как и формула (11).

Общая формула (11) дает выражение всякой междупредельной производной посредством двойного интеграла. Прежде чем пойдем далее в исследовании теории междупредельного дифференцирования, заметим, что формула (11) дает в частных случаях выражения произвольных функций посредством двойных интегралов, выражения аналогичные с тем, которое было указано Абелем в решении механической задачи, носящей его имя и которое было приведено нами в первом разделе. Таким образом, если в формуле (11) положим p + q, то будем иметь (х - a)q- х-

Г(т + 2) a dв"

а это равенство, не лишенное интереса, легко поверяется

чрез интегрирование по частям.

Если в формуле (11) положимp + q = m, где m целое положительное число, то p = m — q, и будем иметь Г(?)Г(1 - q)( х - aT+1-qf(m)( х) =

Г(х-а)-' а(в-a)m+'-q dm+l(P-a)m+2f(в)

f (-*-a_da \(

J (n - r,\q J

-d в.

a (a- a)q a (a- P)lq dm+1 (15)

при q заключающемся между 0 и 1. Можно было бы

дать еще другое выражение для fm)(x), предположив q отрицательным и равным — n — г, где n целое положительное, а г дробь, содержащаяся между 0 и 1, но мы не будем на этом останавливаться.

Если в формуле (11) сделаем p + q = m и p = — q — m, где m целое положительное, то по тому же способу получим новое тождество

J (X - a)m-1 f (a)da =

r(m)(x - a)

m+q-1

Г(1 - q)T(m + q -1)

f (x) = Г (1-q) J"(x - ayq [D- (a - a)^f (a)] a da, Л (a- a)m a (a-в)

Г(1 - q) _

где q произвольно, но меньше единицы. Полагая q заключающимся между 0 и 1, имеем по формуле (6)

[ D'-< (a- apf (a) ]) = 1

faf'

q

m+q-2

-f (P)d в,

и.

r(q)(a - a)

(в-atq d(в-a)f(в)

\1-q

(a-в)

и следовательно

(x - a)q-1

d в

d в,

f(x) =

a

r( x-a)

r(q)r(1 - q) a a- a (в-a)1-q d(в-a)f(в)

-da x

d в,

(13)

' (a - в)- dв

где q> 0, но < 1. Если q> 0, то положим, что q = —m—г, где m

есть число целое положительное, а г дробь, заключающаяся между 0 и 1. В этом случае, по формуле (6) имеем

[D'-«(a-af\f(a)\= 1

Г(1 - r )(а- a)

m+1

(в - a)m+1+r dm+2 (в - a)m+2 f (в)

m+2

(а-в)

d

m+2

d в,

и по вставке получим

Г(т + r + 1)Г(1 - r)(x - a)m+r+1 f (x) =

HP- a)m+1+r dm+2(P- a)m+2 f (P)

r( x-a)m

(

-da I-

d p.

a (a- a) m+2 a (a-P)r dm+2 (14)

Тождества (13) и (14), подобно тождеству Абеля,

поверяются непосредственно переменой порядка интегрирований. Так, например, если переменим порядок

_ (X-a) а (в-a)'-' P6)

которое существует при условии, что m + q — 1 есть число положительное. Можно было бы получить еще несколько тождеств, подобных вышеприведенным, но сказанного достаточно для уяснения способа их вывода.

Возвратимся к исследованию наших общих формул. Формула (6), дающая общее выражение междупредельной производной с положительным указателем, прилагается ко всякой функции, удовлетворяющей условию im(a — afa) = 0 при а = а, а следовательно, в частности, и к таким функциям, которые остаются конечными при а = а. Положим, что функция fa) и все ее производные до (х — а)-го порядка включительно имеют при р — n — 1 = г + q — 1 конечные значения. В этом случае выражение междупредельной производной с положительным указателем может быть представлено в ином виде. Чтобы получить это новое выражение заметим, что формула (6) есть ни что иное как равенство

jn+1

[D ”f (*> ]: = [ D<-\f (x) ];,

в котором, во второй его части, выполнено указанное дифференцирование по x, так что вторая часть равенства (6) есть выражение производной (n = 1) порядка, стоящей во второй части последнего равенства. В том случае, когда функцияДх) и ее производныеу(х),/(Х), ... ,/n)(x) остаются конечными при г, дифференцирование, означенное в последнем равенстве, может быть произведено иначе, а именно, следующим порядком. чрез интегрирование по частям находим

а

X

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

[ Dq-1f (х) J = f (j((? а.)1? + д-т1—- J (х - a)-“f '(a)da, L Ja Г(2 - q) Г(2 - q) Ja

а повторив интегрирование по частям в указанном

порядке n раз, получим

?-i~ ч Т f (a)(x - а)1"1 ,

[ D,1'f (x) I

Г(2 -q)

+ f '(а)(x - а)1-1 +... + f(">(а)(x - а)n+1-1 +

Г(3 - q)

Г(п + 2 - q)

1 x

+------------ f(x - a)n+1-qf(n+1)(a)da,

Г(т + 2 - q) К

Возьмем теперь от обеих частей равенства производную (п + 1) порядка по х. Имеем, во-первых,

d”+1( x - a)- = Г(2 - д) (x - q. п.

dxn+1 Г(-д - n +1)

Производные

dn+l( x - a)2-q dn+l( x - a)n+l-q

7 n+l 7 П+l

dx dx

получатся из предыдущего выражения чрез перемену q на (q — 1), (q — 2), ..., (q — n)... Далее находим

7И+1 X

{(X-a)-'-\f’t"(a)da =

Г(и + 2 -q) Vf”*1)(a>

da.

Г(1 -q) eJ (x-a)q

Следовательно

Г D+f (x) 1x = f(a)( x - a) ~ +

l Ja r(—q — n +1)

—q—n

+ f '(a)( x — a)-q—n+1 +... + f(n) (a)( x — a)—q +

Г(—q — n + 2)

Г(1 — q)

(17)

1 X

+--------[ (x — ayq f(n+1)(a)da.

r(i—q) a

Это есть та формула, которая была дана г. Грюнвальдом как общее выражение междупредельной производной с положительным указателем. Она имеет то весьма важное неудобство, что может быть прилагаема только к функциям, которые вместе со всеми своими производными до n-го порядка включительно остаются конечными при нижнем пределе междупредельного дифференцирования, то есть при x = а. Употребление этой формулы ограничивает, таким образом, весьма значительно класс функций, над которыми может быть производима операция междупредельного дифференцирования. Неудобство это особенно чувствительно в приложениях к интегрированию уравнений, где, как увидим далее, приходится часто дифференцировать с произвольным указателем именно функции, обращающиеся в нуль или в бесконечность при нижнем пределе, словом сказать, такие функции, которые при x = а представляются

бесконечностями порядка меньшего единицы. К таким функциям формула (17) вообще не может быть приложена, между тем как, по свойству операции междупредельного дифференцирования, область ее приложений обнимает по преимуществу функции указанной категории. Неудобство формулы (17) заставило нас искать новой общей формулы междупредельного дифференцирования с произвольным указателем. Такую общую формулу мы теперь имеем в выражении (6) или, в более общем виде, в выражении (11); этими формулами упомянутое неудобство вполне устраняется и притом, c помощью их, междупредельная производная с указателем положительным, также как и с отрицательным, выражается одним членом, одним определенным интегралом, что составляет также немаловажное преимущество пред формулой (17).

Сделаем теперь замечание о порядке бесконечности междупредельной производной с положительным указателем

[ d (x) ] а

при x = а. Этот порядок легко определяется на следующем основании. Известно, что если ф(х) при x = а представляет бесконечность порядка г, то ее m-ая производная ф(т)(x) при той же величине x = а будет бесконечностью порядка г + m. Вышенаписанная междупредельная производная с положительным указателем есть производная п + 1 порядка от функции

[ ^ f ( X) ] I

которая, полагая q > 1, при x = а, как было выше замечено, есть беконечность порядка r + q — 1, где r есть порядок бесконечности j[d), меньший единицы. Следовательно, порядок бесконечности междупредельной производной с указателем п + q при x = а будет равен п + q + г. Отсюда общее заключение, что выражение

[ D,f (х) ]:

при x = а представляет бесконечность, порядок которой равен r+p, то есть порядку бесконечностиДа), сложенному с указателем дифференцирования. Это заключение имеет место как приp положительном, так и приp отрицательном. Следовательно, междупредельная производная, взятая между а и x, вообще представляет функцию, обращающуюся при x = а или в нуль или в бесконечность; конечное значение при x = а она может иметь только тогда, когда указатель дифференцирования равен числу, означающему порядок бесконечности дифференцируемой функции при x = а, взятому с обратным знаком.

Правило определения порядка бесконечности, представляемой междупредельной производной при x = а, очевидно, имеет следующее исключение. Если указатель дифференцирования есть число целое положительное и притом, если порядок r бесконечности j(0) равен нулю, то

выражение \^Dnf (x)J при x = а не будет бесконечностью

67

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

68 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

порядка п. Однако, если r не равно нулю, то правило, упомянутое выше, останется верным и при целом и положительном указателе дифференцирования.

Выше было замечено, что формулы (2) и (6) могут служить для вычисления междупредельных производных от простейших функций. Не имея в виду теперь останавливаться на этом предмете (См. Математический Сборник. Том III. Теория дифференцирования с произвольным указателем), мы должны, однако, упомянуть здесь о выражении производной от степени.

Рассмотрим функциюДД = (x — а)т.

Эта функция может быть дифференцируема с произвольным указателем между пределами а и x при условии, что m > —1, то есть при условии, что при x = а наша функция будет вообще бесконечностью порядка меньшего единицы. Полагая это условие выполненным, по формуле (6) имеем

Г D *" (х - a) —1х = Т-ТТ Г Ja г(1 - q)

)(

(a-a)n+q dn+1(a-a)

—+1-q

da

*1

da,

(x-a)q

где n число целое положительное, a q заключается между 0 и 1; но последовательное дифференцирование дает dn+1(а- a)m+1-q Г(т + 2 - q)

Г(т +1 - q - n)

(a- a)m

Г(т + 2 - q)( x - a) n 1 X (a- a)m

-da,

dan+1

и, следовательно,

L Dq+n (x - a)m T = , .

L Ja r(1 - q)r(m +1 - q - n) ^ (x-a)q

Полагая в этом интеграле а = а + t(x — а) и выражая

его по известной Эйлеровой формуле, найдем

Г(т +1)

-(х - a)m

ГDq+и (х - a)m 1х =

L 1 a Г(т +1 - q - n)

По формуле (2), при —р отрицательном, подобным же образом находим

ГD-p (X - a)m ]х = Г(т +1 (х - a)m+p.

L Ja Г(т +1 + p)

Таким образом, замечаем, что вообще при р произвольном и при m > —1 будем иметь следующее выражение междупредельной производной от степени:

D' (x - a)m ] ' = г(Г<”,|+1) л (x - a)-p.

Ja Г(т +1 - p) (18)

Если сделаем здесь m = 0, то получим частный случай

г D" (1)1 ■' = Т-ЙТ.

L 1« Г(1 - p)

Так как очевидно, что вообще

[ D Af (x) ] ^ = A [ D f (x) ]',

где О есть постоянное, то заметим также равенство

[

(19)

[ ^ (Ф:

= A

(x - :) р

Г(1 - Р)

(20)

Обратимся теперь к рассмотрению закона, по которому может быть составлено выражение междупредельной производной от такой же производной, взятой между теми же пределами. При этом мы будем иметь в виду исследовать, насколько закон обыкновенного дифференцирования, выражаемый равенством

dm dnf(x) _ dm+nf (x)

dxm dxn _ dxm+n ’

где тип числа целые положительные, может быть распространен и на операцию междупредельного дифференцирования.

Мы уже видели выше, что при р и q произвольных положительных имеем

[ d --d - v (х) ] a=[ d -"--f (x) ] a.

Сверх того, по нашим определениям, прямо следует, что, при р совершенно произвольном, будет

dq

dxr'

-[ Df (x) ] a =[ D-f (x) X.

На основании последнего равенства всякая операция междупредельного дифференцирования с положительным указателем может быть заменена совокупностью двух операций: 1)междупредельного дифференцирования с отрицательным указателем, и 2)обыкновенного дифференцирования с целым и положительным указателем. Таким образом

dm

[ D’m < *> ]:=^ [ D’n' ~mf < x) ]:,

где n + q положительно, а m целое положительное число, большее n + q. На основании этого замечания, находим

[ D<+D - "f (x) ]

x

a

d

i+i

dx'

2+1

[ D<'D --f (x) ]

x

a

dn+1

dxn+1

[ Dq1 p

где q < 1 и p > 0, или

[ d - -f (x) ] a=[ d+---f (x) ] a.

Из предыдущего замечаем, что при р > 0 и при совершенно произвольном s будет

[ dd - -f (x) ] а=[ d- - -f (х) ] а.

Рассмотрим теперь междупредельное

дифференцирование производной с произвольным положительным указателем. Тут прежде всего заметим, что так как выражение

[ D '"f (X) ] 1,

как было выше замечено, при x = а представляет бесконечность порядка n + q + r, где r есть порядок бесконечности fa), то дифференцировать это выражение между пределами а и x возможно только тогда, когда n + q + r будет менее единицы. Это условие может быть выполнено, ибо хотя n + q положительно,

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 69 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

r будучи менее единицы может иметь произвольное отрицательное значение. будем полагать n целым положительным, r заключающимся между 0 и 1 и n + q + r < 1. Вычислим производную

[ D - •D■+<f (х) ]',

где s > 0. Пусть m целое число большее n + 1. По приведенному выше замечанию имеем

d”

-[ D -s-mDn+q f (x) ]x

г d - <Dn+qf (x) ]x L ]- dx”

[ D -s-mDn+qf (x) ] x = [ D -s-m+1 D-1 Dn+qf ( x) ] x;

и также

•j-s-m Dn+q

но

[ D-D+qf (x) ]] = Jd [D”+“--f (x) ]; dx = [D”+“--f (x) ];, ибо производная

[ d"+--f (x) ]a

при x = a равна нулю, так как она представляет бесконечность порядка n + q + r — 1 < 0. Следовательно

[ D -s-mDn+qf (x) ] x = [ D -s-m+1Dn+q-1 f (x) ] x.

Повторив указанное преобразование, также найдем

[ D -s-mDn+qf (x) ] x = [ D -s-m+2 Dn+q-2 f ( x) ] x;

и т.д., наконец получим

[ D -s-mDn+qf (x) ] x = [ D -s-m+n+1Dq-1 f (x) ] x.

Но так как указатели —s—m + n +1 и q—1 оба отрицательны, то на основании уравнения (3), будем иметь

[ D - <-mDn+qf (x) ] x = [ D -s-m+n+qf (x) ] x.

Взяв производную m-го порядка от обеих частей равенства, находим окончательно

[ D - sDn+qf (x) ] x = [ D -s+n+qf (x) ] x.

Положим теперь, что выражение

Dn+V (x)

L_ -la

должно быть одифференцировано с положительным указателем s между пределами а и х. Пусть m целое число большее s, по предыдущему имеем

[ DsDn+qf (х) ] d

dx"

■[D

^-m+n+q

a

dm

=(x) ] a=

f (x) ] a=[ d+n+qf (x) ] a.

Из всего изложенного выше выводим следующее заключение. Две последовательные операции междупредельного дифференцирования, производимые над данной функцией fx), могут быть заменены одной такой же операцией с указателем, равным сумме указателей двух частных операций. Этот закон выражается равенством

[ DWf (x) ] X = [ D" ’f (x) ] a. (21)

где p и q произвольны. Существование этого равенства обусловливается единственно возможностью совершения каждой из указанных в нем операций, вследствие чего, если r есть порядок бесконечности fa), то для того, чтобы последнее равенство имело смысл, необходимо, чтобы r было менее единицы и, кроме того, в случае p > 0, чтобы p + r было также менее единицы.

Закон соединения двух последовательных операций, выражаемый равенством (21), имеет одно исключение, представляющееся в том случае, когда первая из двух указанных операций производится с указателем целым и положительным и когда притом fx) имеет величину конечную, неравную нулю при x = а. Положим, что в равенстве (21) указатель p = n, числу целому положительному и в то же время r = 0. Рассмотрим этот случай отдельно.

Пусть s > 0; на основании предыдущего имеем

[ D - Sf ( ■>( х) ] X =

D

- s +1

А

| f(n)( x)dx

х

a

= [D -+1 f(n-1) (x)dx]X - f(n-1) (a) [D-s+1 (1)]X

и точно также

[ D - - »f'-°(x) ] X =

A

D--+2 Jf(n-V)(x)dx

= [D--+2 f(и-2) (x)dx]x - f(и-2) (x) [D--+2 (1)]x и т.д., пока дойдем до

[D -- *-'/'(x)]X = D -- *" {f Xx)dx

= [ D - ■+*f (x) ] X - f (X) [ D - ■+* (1)] X.

По вставке находим

[ D - -f’ X x) ] X =[ D -- "f (x) ] X -- f (x) [ D -- *" (1)] X - f '(x) [ D-'+’-l(1) ]

x

X

X

-...-. f-'\x) [ D - ”41)]

X

Заменяя здесь междупредельные производные от единицы их выражениями по формуле (19), получим окончательно

[D sf(йЧx)Ja =[D -+nf(x)Ja

f {а){х - a)s-я Г(1 + s - n)

f '(a)(x - a)sn+l - - f(n-l\a)(x - a)s-1

Г(2 + s - n) r(s) ' (22)

Подобное же равенство имеет место и при междупредельном дифференцировании /n)(x) с

указателем положительным. Пусть s > 0 и m целое число большее s, тогда имеем

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

70

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

[ Df < ” ■( x) ] ( = (Е [ D'~"f" (x) ] X;

dx

но, по предыдущей формуле,

[Ds-mf(n)(x)]Х = [Ds-m+nf (x)]x -

_ f (a)(x - a)m-s-n - f' (a)(x - a)m-s-n+1 -Г(т - s - n +1) Г(т - s - n + 2)

- - f(n-1) (a)(x - a)m-s-1 Г(т - s)

а взяв от обеих частей равенства производную m-го порядка, найдем

f (a)( X - a)-s

[ D-f-)( x) j=[ d+■/( x) ] a

Г(1 - s - n) f ' (a)(a - a)-s-n+1 f(n-1) (a)(a - a)-s-1

Г(2 - s - n)

В этом равенстве

отрицательным, как показывает формула (22).

Если дана только производная ffx), имеющая величину конечную, не равную нулю при x = a, и не выражено никаких условий для fx), то, определяя эту последнюю функцию таким образом, чтобы было fa) = f (a) = ... = fn-1\a) = 0, мы будем иметь

[ Df ( • ■( x) ] X = [ D-(x) ] a.

Если же fx) при x = a представляется бесконечностью порядка r < 0, и притом порядок бесконечности ffa), равный n + r, менее единицы, то будем иметь

fa) =f(a) = ... = /fa) = 0

и предыдущее равенство также будет иметь место. Теорема, выражаемая равенством (21), давала повод ко многим недоразумениям, потому что условия ее существования не были выяснены с надлежащей полнотой. Данные выше разъяснения устраняют, как мы полагаем, возможность сомнений.

При помощи теоремы, выражаемой равенством (21), мы можем распространить значение доказанной выше общей формулы (12) и на тот случай, когда q, которое при выводе предполагалось меньше единицы, будет более единицы, при условии, чтобы не только fa), но и произведение (a — a),-fa) при а = a было бесконечностью порядка меньшего единицы; ясно, что без выполнения такого условия вторая часть равенства (12) была бы невозможна. Сделаем fx) = (x — aff(x); тогда, предполагая, что порядок р бесконечности ф(о), равный r + q — 1, будет менее единицы, а также и r < 1, мы, по формуле (12), будем иметь

(х - a)p+1 [Dp+q (х - a)q-ф(x)] =

r(-s) ' (23)

s может быть полагаемо и

Здесь обе части равенства при x = a представляются бесконечностями порядка r + q — 1, меньшего единицы; взяв от обеих частей производную с указателем —q + 1 между пределами a и x, получим

D-q+1 (x - a)р+1 [Dp+q (x - a)q-y(x)]

= (x - a)p+q [Dp+1ф(х)] ,

откуда

[Dp+1ф(x)]x = (x - a)~p-q x

D-q+1 (x - a)p+1 [Dp+q (x - a)q-q>(x)]

В этом равенстве q < 1, аp произвольно. Положим p + 1 = n + £, p + q = П + 1 и исключив p и q, введем n и £. Имеем p = n + £ — 1, q = 2 — £.

Так как q < 1, то будет £ > 1, и так ка^ произвольно, то n также будет произвольно. Будем иметь

[Dn+l^y(x)] = (x - af~x x

-ix

D!qX(x-a)n \LDp+l(x-af~^y(x)]^ . (24)

Эта формула по внешнему виду одинакова с формулой (12), из которой она получается чрез перемену p и q на n и £ и чрез замену функции fx) функцией ф(Т), но в этой формуле n произвольно, а £ > 1.

Таким образом заключаем, что формула (12) существует при произвольных значениях p и q, лишь бы все операции, в ней означенные, были возможны; это условие будет выполнено, когда не только r, но и r + q — 1 будут менее единицы, причем q может быть и менее и более единицы.

Переходим теперь к выражению теоремы, дающей междупредельную производную от произведения двух функций и соответствующей известной теореме Лейбница в дифференциальном исчислении. При p > 0 имеем

[ D ~ р ф(х)f (х) ] a = rp J(x - a) P~l<p(a)f (a)da.

Положим, что функция ф(а) может быть разложена по Тейлоровой теореме и возьмем

ф(а) = ф( х) - (x -а)ф'(x) - ———— ф" (х) -

2

-... + (-1)и ф(n)(х) +

2 •3 •... • n

+

1

и

f (а-РГФ’ "'(P)d в.

D

-1(а- a)q+p [ Dp+^(a) J

2 •3 •...• n

x

Вставив это разложение в предыдущее равенство,

находим

”

—1 a

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

ГD py(x)f (x)] =^*1 f(x-a)p 1 f(a)da-----^ (x)— x

L J “ Г(p) * Г(2)Г(p)

x ftp \ x

x J(x-a)pf(a)da + ) I(x-a)p+1 f(a)da+... +

+(-1)n

V(n)( x) Г(п + 1)Г( p)

J (x -a)p+n 1 f (a)da+ R_

где R есть остаточный член. Замечая, что вообще

X

|(x - а)р++-1 f (a)da = Г(п + k) [D---р f (х)j

и что

(-1)*

Г(Р + *) (-Р)(-Р - 1)...(-p - * +1) |-р

Г(к + 1)Г( р)

1-2 • 3 •... • *

*

+ ^ jv’( x) [ D-р-lf (x) ]] +^ 2 У (x) [ D-p-2 f (x)Ja + +... + f- p W x) [ D -p-nf ( x)] a + R- p,

VП J ее остаток

1 X

R p =-------------I"(x-a)p-1 /(a)dax

p Г( p)T(n +1) f ' JK }

и

x|(a-py'V(n ^+1(P")d p.

q -1

Ф(.)(x) [D-n--f (X)]a + ^-!.

[ D>( X) / (X) ]a = p( X) [ Df (x)Ja +

+ Г* V( X) [D-1f(x)l + [ 2 V" (X) [Dp-2f (x)l

d n)( x) [ D-nf( x)1

x+[q - vn+i)( x) [ Dp-*-/(x)] a+dRi

n

dx

Но

Rq-1 =

1

j /oM a-01V n+1)(eid,

Г(1 -q)r(n +11 a (X-a)

следовательно

dRq-1 = 1

dx Г(1 - q)r( n +1)

f (a)

I( f Lda I(« - вУч>'"‘'Wв -

(x a)

мы можем написать предыдущее разложение в

следующем виде:

[D-’У x)f (x)]a -yx)[D--f (x)]x +

v‘"'"( x)

X

I (x-a)’-qf (a)da;

-(-1)’

V 2 Г(1 - q)r(n +1)

третий член, получаемый при дифференцировании R , очевидно уничтожается, ибо

1“'' гт-aq J(а-РУ'<Р,""'Ф)Л в = 0.

(X а) х

Нетрудно усмотреть, что можно написать

dRq l л ^^ ф(и+1) (х) [Dq-И-1 f (x)]x ,

q-1 _ R —

dx q

V' У

и следовательно будем иметь

[ Dqv(x) f (x)] a=q>( x) [ Dqf (x) ] *

+

+

Последнее равенство представляет искомое выражение междупредельной производной от произведения двух функций, выведенное для отрицательного указателя дифференцирования —р. Чтобы обнаружить существование такой же формулы и при междупредельном дифференцировании с положительным указателем, стоит только дифференцировать по x обе части равенства несколько раз сряду. Переменим в последней формуле р на 1 — q и будем полагать, что q заключается между 0 и 1; имеем (прием доказательства, приведенный в тексте, был указан д-ром Most-ом и г. Сониным)

[ x) f (x)j a=^( x) [ Dq-ip (x)] a+

+( q - ')?•( x) [ D-- f (x) ]a +( q - ‘U x) [ D--> f (x) ]a +

1

y(x) \_Dq-\f(x) ] a+| q yxx) [Dq-2f(x)ja

+

q

vv

n)( x) [ Dq-nf (x)] a + R

(25)

l ттУУda\ («-в)иФ(и+1)(в)^в.

(26)

Взяв производную по x и замечая, что, по известному свойству биномиальных коэффициентов,

q - 1Л| + Г q-1l = f q

k - lJ + [k J [k

находим

+... +

где

R = i l f(g)

“ Г(-?)Г(и +1) j (x -a)q+1 Формула (25) выражает теорему о междупредельной производной от произведения двух функций при положительном указателе дифференцирования q, содержащемся между 0 и 1. Одифференцировав обе части равенства (25) еще раз по x, мы найдем тем же путем выражение производной

[ d-'<pw (x) ] a,

в которой указатель дифференцирования q + 1

заключается между 1 и 2. Легко будет убедиться, что эта производная выразится формулой, получающейся из (25) чрез перемену q на q + 1. Повторив этот процесс несколько раз, мы увидим, по очевидной аналогии, что вообще выражение междупредельной производной

[ dх) f (x) ] a

где m целое положительное число, получается из формулы (25) чрез перемену q на q + m. (Опускаем подробности для

+

п

X

а

Ч

71

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

72

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

сокращения изложения). Таким образом, формула (25) может быть рассматриваема как общая и существующая при q произвольном, положительном и отрицательном. Необходимо, однако, прибавить следующее. Произвольное целое число n в формуле (25) должно быть

взято достаточно большим для того чтобы остаток R был

q

конечным, последнее условие будет выполнено, если

I а= x f(а)

(x -а)

| (а-в)У ”+1)(P)d в= 0,

fi(a)

(х-а) p-xf (а) =-

f \р-х

f х - ^

\а )

а

r +1-p

и так как выражение

а

J(а-руу'-+"(P)d в

x

при а = х представляет вообще бесконечность порядка — n — 1, то предыдущее равенство будет иметь место при q — n — 1 < 0, или при n > q — 1 . Если q < 1, то n совершенно произвольно; при q > 1 целое n должно быть взято большим q — 1.

Во всем до сих пор изложенном нижний предел междупредельного дифференцирования а был полагаем конечным. Остановимся теперь на рассмотрении важного частного случая, когда а = ю. Многие из предложенных выше выводов, очевидно, не могут быть прямо распространены и на этот случай, многие из формул получат при этом необходимые изменения. Самое условие существования рассматриваемого нами символа или, все равно, условие возможности определяемой им операции будет при а = ю выражаться иначе. Все это заставляет нас рассмотреть отдельно операцию междупредельного дифференцирования при бесконечном нижнем пределе.

Напомним прежде всего условие, необходимое

для того, чтобы определенный интеграл jqi(a)da имел величину конечную. Условие это заключается в следующем: подинтегральная функция ф(а) должна быть такова, чтобы произведение афа) = 0(а), где r больше единицы и притом не равно единице, оставалось конечным при неопределенном возрастании а. Так как очевидно, что при этом ф(а) будет обращаться в нуль при а = го, то условимся, для краткости, ф(го) называть нулем порядка r. Приведенный выше интеграл будет конечным, если ф(а) при а = го есть нуль порядка высшего единицы. Прибавим кстати, что производные ф'(а), ф"(а), ... при а = го будут, очевидно, нулями порядков r + 1, r + 1,...; так как ф(го) = 0, то будет также ф'(го) = ф"(го) = ... = 0.

Положим, что в формуле (2), где p > 0, нижний предел а увеличивается до бесконечности; будем иметь

Г D - pf (х) Т = -Е J(X-ay-'f (a)da.

Г(Р) ' (27)

Пусть Д(го) есть нуль порядка г, и, следовательно, fa) = f(a)/ar, где f(a) остается конечной при а = го. Подынтегральная функция в (27) будет

и так как числитель во второй части этого равенства имеет конечное значение при а = го, то заключаем, что подынтегральная функция при а = го будет нулем порядка r + 1 —p. Для того чтобы символ, определенный формулой (27), имел конечное значение, необходимо, чтобы r + 1 — p было более единицы, или чтобы r было более p. Отсюда следует, между прочим, что если r есть число конечное, тоДД) не может быть дифференцируема между пределами го и х с произвольным отрицательным указателем, а только с отрицательным указателем, большим —г. ФункцияДх) может быть дифференцируема между пределами го и х со всяким отрицательным указателем в том случае, когда r можно полагать произвольно большим; простейшая из таковых функций есть показательнаяДа) = eД ибо произведение а’' е— при а = го будет нулем, при r произвольно большом; многие функции, имеющие множителем еД удовлетворяют тому же условию; наконец, сюда вообще относятся функции, которые могут быть разложены в показательный ряд видаД(а) = AA + Be"1 + ..., где m, n, ... имеют одинаковые знаки. Такого рода функции при а = +го, или при а = —го, будут, по нашему определению, нулями произвольно большого порядка. Для таких функций формула (27) имеет место при всяком p > 0. Формула (27) есть та самая, которая была дана г. Лиувиллем как общая формула дифференцирования с произвольным указателем. Приведенное замечание показывает, к каким функциям она может быть применяема. Для того чтобы выражение

[D D rf (*> I

могло быть снова дифференцируемо между пределами го и х, с отрицательным указателем —q, необходимо чтобы оно при х = го представлялось нулем порядка выше q.

Рассмотрим поэтому, чем представляется формула (27) при х = го. Положим в интеграле а = (х/в), где в новое переменное; получим

[ d -f (д:=-г- j(в-1)'-1 в--'г

^ x ^

d в,

= и, следовательно,

'[D -f (Д!=У!в-»—-1 в

r-p-1

f

fx}

kPj

d в.

Полагая х увеличивающимся неопределенно, находим

(-1) p r(r - p)

lim xr

'[ D D-f ( x) I

Г(г )

■fx(“X

и так как здесь вторая часть представляет величину конечную, то выражение

[ D - 'f (x> I

при х = го будет нулем порядка r — р. Отсюда следует,

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

что операция

[D~qD~pf(x)]* = -Г— j(x ~a)q~l [D pf (a)]“da„

) да

где q > 0, будет возможна, если r—p > q или если r >p + q. Полагая это условие выполненным, имеем

Г D-iD - Pf ( x) 1x =---1-x

L У Г(д)Г(p)

x a

xj (x -a)q-1 da J (a-в)p-1 f (p)d p.

да да

а по перемене порядка интегрирований Г D - qD - Pf ( x) 1x =-1-x

L У r(q)Г(p)

x x

xjf(p)dpj(x-a)q -1(a-p)p -1da.

да в

Выполнив здесь интегрирование по а, получим 1 x

[ ID - <D - V (x) I = — \ (x -в)" *' ~'f (e)d в,

или по формуле (27)

[D-qD~pf (x)]* = [D-p~qf (x)]* . (28)

При x = * последнее выражение будет нулем порядка r — p — q.

Будем теперь дифференцировать по x выражение (27). Полагаяp > 1, находим

d_ dx

d

1+1 X

Г D - pf ( x) ] x -1-X

L J» Г(p -1)

л

X J(x - a)p-2 f (a)da = [D-p+1 f (x)]*;

да

и вообще приp > n будем иметь

d [ я -'f (x) I = [ A -'+■f ( x) I .

Здесь первая часть равенства существует при n целом и положительном произвольном, лишь бы r было > p; поэтому, при q заключающемся между 0 и 1 и при произвольном целом и положительном n можем принять, что

jn+1

[ D’"f (9 1= уут [ D’~‘ f (x) I,

где во второй части равенства полагаем r > 1 - q. Но

1 x

\D«-'f(x)l =—— ( (x-arf(a)da.

L Jl Г(1 - q) l

Чрез интегрирование по частям находим

X * X

[(x-a)-qf (a)da =------ [(x-af~q f '(a)da,

3 1 - q 3

да -/да

и, следовательно,

7 X X

— J (x-a,yq f (a)da = J (x-a)qf'(a)da; dx

да да

и вообще

n+1 J(x-a) 4 f (a)da = J(x-a) q f(n+1}(a)da. dx

да да

Вследствие сего будем иметь 1 X

ГDn+qf(x)J =-------- f(x-a)qf(n+11(a)da.

L Г(1 - q) Г (29)

Эта формула одинакова с выражением, данным г. Лиувиллем для производной с произвольнымъ положительным указателем.

Из последнего равенства вытекает очевидное следствие

[ D’"f (91 = [D f"+"(х) X. (30)

Кроме того, если в выражении (29) сделаем q = 0, то будем иметь

[ Df (x) ]( = f < ■'( x).

В интеграле (29) функция ДД) при а = * есть нуль порядка r+ п+ 1, а потому этот интеграл сохраняет конечное значение только при r > —n—q. Операция междупредельного дифференцирования, означенная в первой части равенства (29), будет, следовательно, возможна, если последнее условие будет выполнено, хотя бы r было и менее 1 — q, но в этом случае операция (29) уже не может быть заменена производной n + 1-го порядка от выражения

[ D<-‘f (x) ]),

ибо это выражение при r < 1 — q будет бесконечным. Формула (29) может быть написана в виде 1 1

[Dn+qf (х)]* = ) J(x - a)"q [Dn+1f (a)]“ da(31)

где n целое положительное. Не трудно, однако, показать, что это равенство существует при n произвольном, конечно, при условии, что все операции, означенные в нем возможны. Во-первых, очевидно, что равенство это имеет место при n = —1. Переменив n на —n, во второй части будем иметь 1 х

— |( х-а) - • [ D'-f (а) X da.

Будем полагать в этом выражении n произвольным, но большим единицы. Вставив вместо междупредельной производной, сюда входящей, ее выражение по формуле (27), находим

-.х а

------------- f(х-а)-qda f(а-вТ1 f(P)dв.

Г(1 -q)T(n --) Г ; и

Переменив здесь порядок интегрирований и выполнив затем первое интегрирование по а, получим 1 Х

\( х ~вУq'f в в.

а это выражение, на основании формулы (27), представляет междупредельную производную

[ D-f (x) £,

73

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

74

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

следовательно

1 X

[Dq”f (х)]* = ) |(х - a)-q [Dl-nf («)]“ da.

Таким образом убеждаемся, что равенство (30) существует при n произвольном, но меньшем —1. Пусть теперь n + 1 > 0 и положим, что n + 1 = m + s, где m число целое, а s содержится между 0 и 1. По формуле (29) вторая часть равенства (31) будет

ч x а

— ---—— f(x-а)-qda f(а-в)-f^(fi)dfi.

Г(1 - q)r(l - s) j j

Переменив здесь порядок интегрирований, можно будет выполнить интегрирование по а; сделав это, получим 1 x

——— f (x-py-<-y"'>(e)dp,

г (z q s) ж

Если предположить, что q + s заключается между 1 и 2, то это выражение, на основании формулы (29), представляет междупредельную производную

[ D-‘+> "f (x) ]( = [ D-<f (x) ](.

Если же q + s заключается между 0 и 1, то чрез интегрирование по частям предыдущее выражение преобразуется в 1 Х

— -------- |(х-в)---■f"’>(P)d в,

Г(1- - -s) i

и опять будет, очевидно, представлять ту же междупредельную производную. Из всего предыдущего заключаем, что равенство (31) действительно имеет место при n произвольном, при условии, чтобы все операции, в этом равенстве означенные, были возможны. Ко всему сказанному остается прибавить, что хотя мы и предполагали выше, что q заключается между 0 и 1, однако легко убедиться, что формула (31) существует при n произвольном, но < 1. В самом деле, переменим n в равенстве (31) на n — 1; получим 1 1

[Dnn+-lf (*)£ = ) jA ~аУ [Df («)]“ da-

и если во второй части произведем интегрирование по частям, то будем иметь 1

[ Dn q-1f (x)1

[ I

где p произвольно, будет нулем порядка r + p при x = го. Это правило имеет исключение в том случае, когда p есть число целое положительное, а r = 0, то есть когда междупредельное дифференцирование обращается в обыкновенное и производится над функцией, не равной нулю при x = го.

Приведем здесь выражение междупредельной производной от степени (х — а)т для того случая, когда нижний предел дифференцирования есть бесконечность. При p положительном по формуле (27) имеем

[D-pf (x-a)m]x = —J(x-a)p-1 (a -a)mda. L Г( p)

Функция

(a- a)m =

f a Y

1 - Y V aJ a-

при а = го есть нуль порядка —m, а потому символ, стоящий в первой части предыдущего равенства, будет возможен, если (—m — p) > 0 или если (m + p) < 0; следовательно, при дифференцировании с отрицательным указателем —p степень m должна быть менее —p. Для получения выражения интеграла сделаем в нем а — а = (х — а)/р, где в новое переменное; по вставке находим

(-1Г

[D-р (x -аТ 7 = (-А (X - аГР f(x - в)р-1 0“p-L J” Г(р) 0

или, по известной формуле Эйлера,

(-1) " Г(-m)

-1d в,

[ D -p (x -a)m ]x

- (x - a)

m+p

J(x -a)1-* [Dn+1 f (a)]“ da.

Г(2 - q)t

Это равенство получается из (31) чрез перемену q на q — 1. Таким же приемом можно показать, что в равенстве (31) q можно переменить на q — 2, q — 3, ...; откуда заключаем, что это равенство существует при q произвольном, но меньшем единицы. Формула (31) для производных, взятых между пределами го и х, заменяет, таким образом, данную выше формулу (11) и, подобно этой последней, существует при n произвольном и при q < 1. Полагая, как и выше, что fro) есть нуль порядка г, мы видим по формуле (29), что междупредельная производная с положительным указателем n + q при х = го представляется нулем порядка r + n + q, и следовательно, вообще выражение

Г(-т - p) ' ' (32)

Равенство это существует при m + p < 0. Для междупредельной производной с положительным указателем по формуле (29) находим

[ D+(х - af ] ( = т(И - 77 ~ Я) x

X

xj (x-a)-q (a - a)m-nlda.

Операция, означенная в первой части сего равенства, возможна, если (—m + n + p) > 0, или если m < n + q. Вычисляя, как и выше, интеграл во второй части, найдем

ГDn+q (x - a)m 1x = H) ?Г(п + q - m) (х - a)m-n-q.

L J“ r(-m) ' ' (33)

Заметим здесь, кстати, очевидные равенства:

Г DPA~\Х = го, Г Dn+9A~Ix = 0,

l_ _1ю L _1ю

где A постоянное количество^ > 0 и n + q > 0. Равенства эти непосредственно вытекают из общих формул (27) и (29) и согласны с (32) и (33).

Теорема о перемене порядка двух последовательных операций междупредельного дифференцирования и о соединении их в одну для рассматриваемого случая

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 75

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

легко доказывается следующими замечаниями. Формула (31) может быть, очевидно, написана в следующем виде:

[ D-1D"+1 f (x) ]( = [ D"“>f (x) ](

где n произвольно, a q < 1. Если от обеих частей этого равенства возьмем m-ю производную, то получим

[Dm+q-1Dn+1 f (x)]x = [Dm+n+qf (x)]x .

здесь числа m + q +1 и n + 1 оба совершенно произвольны, и следовательно вообще будем иметь

[ D'DPf ( I = [ D " f (x) I (34)

при произвольных p и q. Равенство это предполагает, конечно, что все операции, в нем означенные, возможны. При том же условии будем иметь

[ DqDp f ( x) ]* =[ DpDq f (x) ]*.

Мы не будем останавливаться на особом рассмотрении теоремы, дающей выражение междупредельной производной от произведения двух функций в случае a = ю. Нетрудно убедиться, что данный выше вывод этой теоремы прилагается и к случаю a = ю, и что при этом формула (25) также будет иметь место при непременном условии, что все операции, в ней указанные, возможны; самые условия были достаточно выяснены предыдущими замечаниями.

Две операции дифференцирования с произвольным указателем между пределами а и x и между пределами * и x состоят между собой в определенной зависимости, обнаруживающейся в особой формуле для перемены независимого переменного, которую мы намерены здесь представить. Формула эта может быть рассматриваема как обобщение другой, существующей для перемены переменного в обыкновенных производных. Пусть у есть функция x и положим x = (1/z); будем иметь = +1 dmzml у

dxm ( ; dzm ' (35)

Поверка этой формулы не представляет затруднения.

Во-первых, очевидно, что формула существует при m =

l, ибо в этом случае она приводится к равенству

dy = _2 dy

dx dz

Затем, допустив существование формулы (35) при

m, равном какому-нибудь целому числу, можно доказать, что та же формула будет иметь место и при т, единицей большем. Не будем останавливаться на этом простом выводе, так как формула (35) уже известна (см. Schlomilch. Compendium. Bd. II. S. 20).

Формула (35) может быть представлена в виде несколько более общем. Именно, если перемену независимого переменного произведем, полагая между x и z такую зависимость: x—a = c/(y—d), то, очевидно, будем иметь равенство

d y = (-V)m (z - a) d (z - a) y

dxm ( ) cm dzm ' (36)

Представим теперь формулу, которая будет распространением (36) на междупредельные производные с произвольным указателем. Пусть у есть некоторая функция x, сделаем x — а = c/(z — а), и условимся представлять у, когда он будет выражен в функции z чрез 0(z). Рассмотрим сначала производную по x между пределами a и x; с отрицательным указателем. По формуле (2) имеем

х 1 Х

[°ГУ]I =Г(-Р) \(х-У‘Ла'

гдеp < 0 иу означает функциюу, в которой xпеременена на а. Преобразуем интеграл, полагая а — а = с/(в — а), где в есть новое переменное; получим

a+ c/(x-a) / \-p—

[ ] a=

Г(-p)

x- a--

9(P)d в.

в - a ) (fi - a)2

Вводя во второй части равенства вместо x количество z по данной выше зависимости между ними, получим по упрощении

[Dy]1 = (-1)p {Z7a/ f(z-в)-р-'(в-a)p-1e(P)dp.

L ]a ПГ(-р) J

С другой стороны, рассматриваяд как функцию z по формуле (27) имеем

[Dp (z - a)?-1 у ]] = ----- J(z -py?-1 (в - a)?-1 e(p)dp.

V Jr f ю

и, следовательно,

[ D,y ]1 = (-1)p D (z - a) y I.

Это равенство представляет, очевидно, распространение формулы (36) на производные с произвольным отрицательным указателем. Докажем, что такое же равенство будет иметь место и при положительном указателе дифференцирования p. Полагая по-прежнему p = n + q, по формуле (6) имеем (x - а)-(а- а)’" d“' ■ (а - а)1-’ уа

[ D "У i

Г(1 - ’) a (x - а)’

dan

’-da.

Введем в интеграл новое переменное в, полагая а — а = с/(в — а); тогда, делая, во-первых, эту перемену переменного в производной n + 1-го порядка, стоящей под знаком интеграла, мы по формуле (36) будем иметь d+1 (а - a)'-“ya = 1+1 (в - a)n+2 £+1 (в - a)+q-1 вф).

da

и, следовательно

[ D'+У ] I =

(x -1)

_1 i+c/(x-I)

Г(1 - q)

dn+l(p- i)n+q-16(p)

d pn

(-1)пс(в-1)-

f c '

x -1 -

в -1

d в

+1

d в;

q

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

76

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

[ D

Введя во второй части вместо x количество %, находим

(-1)Р (z - а)'"

У\=-

с'Г(1 - q)

I(г-РГ

х а>Р-'в(в> dв,

d в

7+1

Но, рассматриваяJ как функцию % имеем по формуле (29) 1 о „х-„ dn+1(P — а)—16(Р)

[d? (z—а) p—1 у ] а =г(г—q) /(z—в)

de

-dfi,

у I

_1а

(37)

(z - а)p-1 f

z - а

(z - а)

p+r-1

-fi

а

z - а

(x-a)q

da

7+1

= 0,

и что, следовательно, удовлетворить ему можно, только полагая

dn+l(x - aTqf (x)

1-q

= 0;

и следовательно

[Dy]( = (-1)p Of- [D (z - a)-

Это равенство существует, как видим, при p произвольном; оно представляет обобщение формулы (36), распространенной на междупредельные производные с произвольным указателем.

Нетрудно удостовериться, что условия возможности двух операций, означеных в первой и во второй части последнего равенства, действительно одинаковы. Пусть y = fx) и положим, что при x = а функция эта есть бесконечность порядка г, так что fx) = f (X)/(x — a)r, где f (x) остается конечной при x = а. Операция, означенная в первой части равенства (37), будет возможна, если г < 1. Во второй части операция междупредельного дифференцирования совершается по % над функцией

dxn+1 откуда находим

fx) = A0(x - a)q-1+A1(x - d)q+AJx - d)q+n-1, (38)

где AQ, A, ..., A суть произвольные постоянные. Припомним, что q есть число, заключающееся между 0 и 1, и непременно меньшее единицы.

Для частного случая q = 0 постоянное Ад будет равно нулю, ибо тогда для определенияДx) имеем условие dn+1(x - a) f (x)

dx

i+i

= 0,

которая при % = будет нулем порядка 1 — г — p; для того чтобы результат дифференцирования такой функции, между пределами * и % с указателем p был конечным, необходимо, чтобы сумма чисел 1 — г — p иp была более нуля, то есть необходимо, чтобы г было менее единицы. Таким образом, условия возможности двух операций, входящих в равенство (37), действительно тождественны.

В заключение этой главы мы намерены указать на решение одного частного вопроса рассматриваемой теории, имеющего отношение к вопросу о существовании и форме так называемой дополнительной функции при производных с произвольным указателем. Пусть f(x) есть неизвестная функция, которая должна удовлетворять уравнению

[ Dp/ (x) ] a=о.

Предложим себе найти эту функцию. Решение этой простой задачи вытекает непосредственно из наших общих формул. Еслиp < 0, то, заменяя в данном уравнении междупредельную производную порядка p определенным интегралом по формуле (2), мы видим, что удовлетворить этому уравнению можно не иначе, как положивДx) = 0. Если жеp > 0, то полагая при прежних обозначениях p = n + q, мы видим по формуле (6), что наше уравнение может быть написано в виде

)(a-a)n+q dn+1(a-af~qf(a)

где произведение (x— afx) должно обращаться в нуль при x = а, по свойству функции fx), над которой возможна операция междупредельного дифференцирования; следовательно, в этом случае fx) = A+A(x - a)+... +A(x - a)n-1,

что согласно с указаниями интегрального исчисления. Если низший предел а = ®, и требуется решить уравнение

[ D'f (х) ]( = 0,

то опять ясно, по формулам (27) и (29), что при p < 0 должно 6ытьДx) = 0, а при p > 0 и равном n + q, где n и q имеют прежние значения, fx) = A+Ax +... +A У-1 +Axf.

В частном случае q=0 употребление формулы (29) требует вообще, чтобы было Д(Д) = 0, и следовательно, Ап должно быть нулем. Положим теперь, что дано решить уравнение

[ D'f (х) ]( =?( x),

в котором ф(Д известна, а fx) должна быть определена. Прежде всего, заметим, что функция ф(Д не может быть задаваема совершенно произвольной, ибо, называя чрез г порядок бесконечности fa), функция ф(Д при x = а должна представляться бесконечностью порядка г + p, и так как г должен быть менее единицы, то ф(а) должна быть бесконечностью порядка меньшего p + 1. Положим, что это условие выполнено и назовем чрез р порядок бесконечности ф(а) равный г + p. Если р < 1, то от обеих частей данного уравнения можно будет взять производную с указателем —p между пределами а и x, и тогда найдем

f (x) = [ D - >( x) ] X.

Это равенство определит искомую функцию fx). Если же р > 1, то и г + p > 1, и следовательноp необходимо положительно. В этом случае положим при прежних значенияхp = n + q и, на основании формулы (12), напишем данное уравнение в виде

Dq-1 (х - a)q+ n [Dn+1 (х - a)1-q f (x)]'

= (x - a)n+lp(x).

Здесь обе части равенства при x = а представляются бесконечностями порядка, равного у — n — 1 = г + q — 1, и следовательно меньшего единицы. Взяв междупредельную

c

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 4.

производную с указателем 1 — q, находим

d-"( x-at 'f(Я = (x _ ау,[ D-’ (x _ „ yM x)] ^.

Определение fx) из этого уравнения составляет обыкновенную задачу интегрального исчисления. Произвольные постоянные числом n + 1, которые войдут в решение, определятся по условиям, которым должна удовлетворять искомая функция.

Если бы было дано определить функцию fx) из уравнения,

[ D'f (x) ]' = <р( x)

где ф(х) известна, то, называя по-прежнему чрез r порядок нуля, представляемого функцией fx) при x = да, мы видим, что ф(да) будет нулем порядка р = r + p. Дифференцировать обе части уравнения между пределами да и x с указателем —р будет возможно, если р > р, полагая это условие выполненным, находим

f (x) = [D-Xx)]* .

Если же р < р или r = 0, что может быть только при р положительном ибо р =r + р должно быть более нуля, то, полагаяр = n + q, напишем данное уравнение в виде

[ D-■ /"+■'( x) ] a =Д x),

и потом возьмем от обеих частей производную с указателем 1 — q; получим

Г *"( x) = [ D'-'v( x) ]*.

Последнее действие возможно, так как ц + 1 — q или г + n + 1очевидно положительно. ФункцияfX) определится из последнего равенства сообразно с данными условиями.

К задачам рассматриваемой категории относится и задача Абеля, решение которой было предложено в первом разделе настоящего исследования. В самом деле, пусть требуется определить функцию^а) из уравнения

f(x)d [D’-’-'ip'-qx)] a =

I (x-а)р 1 f (a)da = p(x),

I (x-a)p-m-1 f (a)da =

Г( p)

На основании формулы (2) мы можем написать это уравнение в виде

[ ^ rf (г1 a x),

откуда

f (x) = -ф Г D"УД x) ] *

r(p)L a

Г(р) dx 1 d

л

I (x-a)m-pv( m)(a)da.

где ^>(x) дана. Положим, что р > 0 и заключается между целыми m и m + 1. Чтобы получить решение прямо в том самом виде, в котором мы его представили прежде, одифференцируем m раз обе части данного уравнения; находим

vpawa _ Г(p -m) ф(m)(x).

Г(р)Г(т +1 - p) dx

Это решение совпадает с формулой (3), полученной в первом разделе.

Мы упомянули выше, что задача об определении функции, производная которой с известным указателем была бы равна данной функции, имеет связь с вопросом о так называемой дополнительной функции. Скажем в заключение несколько слов об этом предмете. Почти все ученые, занимавшиеся теорией дифференцирования с произвольнымуказателем,виделивнейобобщениетеории обыкновенного повторенного дифференцирования и интегрирования. Распространяя значение символа dfx)/ dx на отрицательные и дробные значения указателя и полагая, что при р равном целому отрицательному числу —п, символ этот представляет п-кратный неопределенный интеграл, необходимо было допустить, что в этом последнем случае символ сопровождается известной дополнительной функцией, целой, n — 1-й степени с n произвольными постоянными. При таком допущении сам собой возникал вопрос о существование и о форме дополнительной функции при указателе дифференцирования р дробном, положительном или отрицательном. Вопрос этот, по аналогии с теорией обыкновенного дифференцирования, весьма естественно, ставился в следующей форме. Пусть fx) и f (x) две функции, которых производные с произвольным указателемр равны; называя разностьfx) —f1(x) чрез 0(x), мы должны иметь db0(x)/d^ = 0.

Если для какой-нибудь функции Fx) имеем йРДл)/ dX = ф(л), то можем также положить XFfy/dx?1 = ф(л) + 0(x>, ибо символ, стоящий в первой части, должен означать вообще такую функцию, которой производная с указателем р должна быть равна F(x). Функция 0(x) есть дополнительная. Большая часть авторов доказывали, что при положительном указателе дифференцирования дополнительная функция равна нулю и существует только при производных с отрицательным указателем. Вид дополнительной функции определялся весьма различно. Одни доказывали, что это есть функция целая, состоящая из неограниченного, но не бесконечного числа членов, другие приходили к заключению, что эта функция состоит из бесконечного числа членов, содержащих дробные степени x; наконец, третьи выводили, что дополнительная функция существует и при производных с положительным указателем, не смущаясь тем, что тот же вывод давал дополнительную функцию и при производных с целым и положительным указателем дифференцирования, что уже очевидно нелепо. Такие противоречия в решении вопроса, который г. Лиувилль считал самым важным вопросом нового анализа, повели,

77

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

78

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

понятно, к дискредитированию теории в глазах ученых. При той постановке теории, которая принята в настоящем исследовании вопрос о дополнительной функции перестает быть вопросом. По нашим определениям символ

[ Drf (x) ];

всегда имеет одно вполне определенное значение, каков бы ни был указатель дифференцирования р. Операция дифференцирования с указателем —р определяется не как операция обратная дифференцированию с указателем +р, но как самостоятельное действие. Производные с произвольным указателем, нами рассматриваемые, не неопределенные, но междупредельные. Из того, что для некоторой функции 0(лт) имеем

[ Dp6( x) ] Х = 0,

не следует, чтобы к одному из значений производной

[ D - Т (х) ]

х

a

могла быть прибавлена 0(л). Дополнительной функции в том смысле, какой ей придавали другие авторы, в нашей теории не существует ни при производных с положительным, ни при производных с отрицательным указателем.

ГЛАВА 5. РАЗБИТИЕ ИДЕИ А.Б. ЛЕТНИКОВА НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ

5.1. современные формы представления операторов А.в. летникова

В работах А.В. Летникова для дробного интегродифференцирования используется термин — междупредельная производная, символом которой является оператор следующего вида

[Dpf(x)Ja (5.1)

По определению, данному А.В. Летниковым

Г Dp f (х)! =—1— |"(х-аУ 1 f (a)da,

^ J а Г( p) J J (5.2)

при p — целом положительном. Эту формулу можно записать в другом виде, переменивр на —р:

[ D’f (х) ] X

1

- Г(-Р) х0

При n — целом положительном

А

|(х-а) Р 1 f (a)da.

(5.3)

[ D"f (x) ] X =

X df(x)

=f

(")(x)

dx" (5.4)

Для указателя дробного порядка (0 < q < 1) имеем

х 1 х

ГDq lf (х)" =----------- \(х-а) 9 f (a')da.

Г "а Г(1 - q) Г (5.5)

Если указатель равен n + q и заключается между двумя последовательными целыми и положительными числами n и n + 1, 0 < q < 1, то междупредельная производная определяется из соотношения

1П+1

[ D,n'f (x) ] x = [ О’У (x) ] X.

dx

(5.6)

Уравнение (5.4) с учетом (5.5) может быть преобразовано к виду

1 й х

)04 (х) ] • = У I(х ~аГ/ {a)da

В современных обозначениях междупредельная производная (дробная производная А.В. Летникова) имеет вид

а m -1 x(k V )t~a + k

Da л*) = i —-+

L 0 * k = 0 r(-a + k +1)

+

1

\(t-z') a 1 x^m ^(z^dz,

(5.7)

r(m-a)o

где m -1 < a < m e Z +.

Первоначально это определение было выражено в виде предела

( п\ к Р

D0.tx(t)= Lim h-aY(-\y F x(t-kh).

, 4 ' к^0,nh =t 4 / I*-

к=0

v k J

В настоящее время наиболее часто используется выражение дробной производной в форме, предложенной Риманом и Лиувиллем.

Оператор интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля дробного порядка й£ R с началом в точке а определяется следующим образом [19]

-Df () = if* Л>

r(-a) i\t-z\ a < 0 RLDa =f (t)=f (t), a = 0

dn

Dat = sign (t - a)—Dat f {t) =

RL at

dt

-T-a-1 f

r(n-a)dtna n -1 < a < n, n e N.

Для дифференцируемых на отрезке [a, b] функций определения дробных производных по Риману-Лиувиллю и Летникову эквивалентны [2, 15, 17].

В настоящее время для обозначения дробной производной достаточно широко используется формулировка Капуто [19, 52-55]:

cDA (t )=signn (- a )B1Dat-nf(n\t) n -1 <a< n, n e N.

Производные Римана-Лиувилля и Капуто связаны соотношением [54]:

cDaf (t )=RLDaf (t)-

n-1

h

к=0

f(k ]{t)

h r(—a+i)

n -1 <a< n, n e N.

При a = n имеет место соотношение

т — t

к-a

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 79

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 5.

Производная Капуто имеет ту же самую физическую интерпретацию, что и производная Римана-Лиувилля. В частности при/0) = 0 и 0 < а < 1 имеем точное равенство [54]:

cDf (t )=(t).

При сравнении этих производных необходимо обратить внимание на то, что для расчета производной Римана-Лиувилля необходимо знание значений функции, а для Капуто — ее производных, что физически намного сложнее. Некоторое достоинство производной Капуто состоит в том, что она равна нулю для постоянной функции, что более привычно для пользователя.

В работах [23, 56] дробная производная А.В. Летникова (ДПЛ) от кусочно-непрерывной функции определяется следующими выражениями

d f (t). „,л 1

>-=Dr

If ( )=

d\f (T)dT ■ JI

DJ (t) =

1

(t -t)

1—Y

_ 1 d_

Г(1 -y)dt

=f (°)t"+_

Г(1 — y) dt

t1-^

-f (T)

1

t , \f (T>dT

0 0(t — T)Y—1

1-Y 1

1— Y

1 t

f(0)+gxL .v-1

f ()dz

f Odz

Y 0 (t-t)

(5.9)

(5.10)

Da q>(t) =

ax

r(-a) J|x -1|a+1

(p( x),a = 0 d[a] +1

,a < 0

Принципиальное отличие современной теории дробного исчисления от разработок Римана и Лиувилля состоит в том, в ее основе лежит представление дробной производной через конечные разности, а не аналитические функции.

Исходными соотношениями этого представления являются хорошо известные соотношения конечных разностей. В 1867 г. Грюнвальд предложил записать эти соотношения в виде

Dl-x0 f (z) = lim Х(-1) f (x - kh\

k=0

dtY ' Г(1 -y)dt0 (t-t) (5.8)

Более удобная форма уравнения (5.8) получается после интегрирования его по частям

(5.14)

При этом должно быть выполнено условие h — 0 при n — да.Чтобы выяснить, как эти два требования могут быть удовлетворены одновременно, полезно рассмотреть для (5.14) случай а = —1, т.е.

ДД f (x) = f f (t )dt.

x

В этом случае уравнение (5.14) принимает вид f f (t )dt = lim У f (x - kh)h =

h^0

k=0

lim nh

J f(x-t)dt = [ f(t)dt,

Г(1 -У) Г(1 -r)) (t-t) (511)

Интегрируя (5.11) по частям, получаем форму определения дробной производной, не содержащую операцию дифференцирования, но справедливую лишь для значений .

В настоящее время широкое распространение получило определение дробной производной следующего вида

sign(x — a) X y(t)dt

0 x-lim nh

но x—limnh обязательно равно x0, и мы видим, что x — x0

= limnh, что означает, что нам следует положить

X - х0 h =--------.

n

(5.15)

Интересно заметить, что (5.14) вместе с (5.15) не требуют, чтобы функция fx) была аналитической или, чтобы Re(a) < 0.

Можно показать, что (5.14) сводится к интегралу Римана-Лиувилля при Re(a) < 0, т.е. к интегралу

D

Uf(x) = г-—. J f(t)(x -1)-a-1 dt.

( a) x0

Сначала заметим, что

= k-a-lx

3L“J ' " a—[a]— 1 ..

sign(x — Cl) DaL J y(t),a> C

dy[a] +1 ax (513)

где sign z определяется равенствами sign 0 = 0, sign g =

z/\z\^ (z + °).

Оператор(5.13)обычноназываетсяоператоромдробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегродифференцирования порядка |а| с началом в точке а. Необходимо отметить, что в работах Римана и Лиувилля приводятся определения дробной производной в виде интегралов, подобных приведенным выше. Однако это подобие является чисто формальным. Интегралы Римана-Лиувилля в том смысле, который им придавали их создатели, не имеют строгой математической основы и не имеют практически ничего общего с современной теорией дробного исчисления.

(-1)к ('а| = k-a-i (-«)(-« +1)(~«+ 2)...(-«-1 + к)

( ) ^к ) к !к~а-1

где мы знаем, что lim = Г(—а) , а биномиальные

к

коэффициенты определяются из выражения

V к

а

(а- 1)...(а- к +1) Г(а +1)

к!

Г (к + 1)Г(а - к +1)

Тогда

D“-x0 f (X) = lim xk (hk У" 1 f (x - kh)h .

(5.16)

h=(x-Xo )/n

Далее предположим, что функция fx) является непрерывной (и потому ограниченной) на замкнутом линейном сегменте, соединяющем x и xg. Поскольку xk —> Г(—а)—■1, то, по-видимому, мы можем вынести xk за знак суммы в (5.16) и получить

d- f(x) = lim Г(-а)X (hky'f(x - №)h.

k=0 (5.17)

0

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

80

ПОТАПОВ А.А. ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Если предположить, что (5.17) верно, то на основании (5.15) и (5.17) получаем

lim У ank = a < да, lim У |a„J = a + < да,

М__^ГУ-. М__^ГУ-. * *

Da

,ЯХ = r(-a)-1 J t--'f (x-t)dt =

k=1

k=1

lim ank = 0, Vk = 1,2,3,...

пада n

x

= r(-a) 1 J f (t) (x -1) “ 1 dt.

Тогда

limZ anA

= a

к=1

для

любой

ф( X - *8п), Z ank (bk - 1)

1 * J k=m

(5.18)

"U

Тем самым показано, что последовательность обобщенных отношений конечных разностей (5.14) сводится к интегралу Римана-Лиувилля (при Re(a) < 0), если только удастся доказать, что можно строго вывести (5.17) из (5.16). Грюнвальд интуитивно увидел такую возможность, однако он ошибся, когда попытался строго доказать, что из (5.16) следует (5.17). Точное доказательство сходимости было получено А.В. Летниковым для междупредельной производной одновременно с появлением работы Грюнвальда [57].

Ддя изложения этого доказательства введем предварительно некоторые основные определения. Рассмотрим междупредельное конечно-разностное отношение порядка е R скалярной функции ф: D^)—R в точке x е D(<p):

д>( X) (-1)*

к=0

где 8п = -—- > 0,x-kSn е D(р), Vk = 0,1,...,п.

Если существует предел Daty( x) j

междупредельных конечно-разностных отношений А’П^(х) при n —— да, то этот предел называется междупредельной (или летниковской) производной порядка а от функции ф(Д взятой в пределах от а до х.

Через L[AB] обозначим множество функций ф(Д абсолютно суммируемых на сегменте [AB]c= R, а через [а] — целую часть (антье) числа aeR , которая удовлетворяет неравенству [а] < а< [а]+1.

Множество L[AB] является банаховым пространством

B

llpll r, = \\o(t) dt.

относительно нормы 11 r ii£[a,Bj Jr v /|

Связь между дробной производной в смысле Римана-Лиувилля (5.13) и междупредельной производной устанавливает следующая теорема [57].

Теорема Летникова. Пусть p(t) е C[a,x]. Тогда

[ D>( x) ]) = D‘^(t),

если же a > 0 и p(t) е C[a]+1 [a,x], то

[ D<x(p(x )Ja = DaMt ) =

= У V (x - a)k-a +Da-[a]1m(+l)t)

У Г(-a +1)( ) ax V '(5.19)

Для доказательства этой теоремы потребуется следующее утверждение.

Лемма Летникова. Пусть последовательность {а,} комплексных чисел а, или бесконечная матрица | а, |, п, к = 1,2, ... такова, что

последовательности {bj комплексных чисел b,

удовлетворяющих условию !ЙП bk = !•.

Действительно, так как Ьк — 1 при к — да, то для любого е > 0 найдется такой номер т, что | bk — 1| < е, У к > m . Поскольку

т-1 т-1

limZ anA = 0,limZ ank = 0,

k=i n^“k=i

очевидно, имеем

n

limZ anA =lim

n—” k =1 n—0k=m к=m

Z ank + Z ank (bk - 1)

= a + limZ ank (bk - 1).

k=m

Отсюда, учитывая, что для всех к > m

n n

yZI ankWbk -1 ^Zkkl +,

k =m

k=m

теоремы Летникова начнем со случая, когда порядок a междупредельной производной — отрицательное число [57]. По определению, имеем

Г Da(p(x ) x = lim Ay(x ) =

1— v /-ia п^ю v /

fa

k a

= p(x - k8n).

k=0

v k J

Пусть

ank = 8n?(x - k8n )(k8n)

. ra

bk =(-l)k ka+1r(-a).

V k )

Так как bn <P(x0 при n — да, то

[D<x(p(x)]Xa = limZ ankbk.

i— —la n^ro

k=1

На основании гауссова определения гамма-функции

1 (z )k

= li^^y, Vz e C

r(z) k k !k

z-1 ’

имеем

lim bk =r(-a)lim—(^ ka+l = kk v k!r(-a)

/ ч (-a)

= r(-a) lim ——-^r = 1. v k k !k a

Следовательно, последовательность удовлетворяет условию леммы Летникова. Теперь заметим, что

{bk}

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 5.

Г(-a)DOx^(r]) = |(х-п) а 1 ^(n)dn = 11 а l<p(x -1^)dt.

у—■> a 0

Составив соответствующую последнему интегралу квадратурную формулу, а именно формулу прямоугольников

x-a п

11-аЛ(р(x -1)dt ~5nУО(x -tk)

0 k=1

заключаем, что числа 8 и t, = k8 соответственно

7 n k n

являются ее весами и узлами.

Поэтому

lim Е ank = linlE (к8п )-“- ф(Х - к5п ) =

к=1 к =1

= T(-a)Daax9(n),

limEI ank\ = Y(~a)Dl\v(l)[

1 1 v / v /

Далее ясно, что ak при любом k стремится к нулю, когда n ^ *

Таким образом, установлено, что и матрица \апк || удовлетворяет всем условиям леммы Летникова. Следовательно,

limE ankbk =Y{-a)Daax(p,

к=0

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь случай а > 0. Из свойства СаЛ (а - 1Д (а-1

Vk J

J

V к -1J

биномиальных коэффициентов заключаем, что

д>с х)=8>+! с-1)*

8п *=1

а

-1

у(х - kS„)

ь! с-1)*

а

- П

k -1

ф(х - *8„)

= (-1)„

а- Т

+!,(м‘

°п *=0

а

- п

у(х - *8„)

ь! (-1)"

j+i

fa- Tpjx -( +1)8„)

j=0

Таким образом, Д>(* ) = (-1)"

а - l]q(a)

"-1

+Z (-1)*

k=0

а

- п

у^(4)

где tk = х — k8n, Vq(tk ) = q(tk ) — q(tk+1) —восходящая конечная разность первого порядка.

Ясно, что на основании того же свойства биномиальных коэффициентов можно преобразовать и сумму, стоящую в правой части последнего равенства, а затем продолжить этот процесс. Тогда получим [57]

f а-1 - k Л А кф (xk) n - к

т

А>( ) = Z (-1)'

-к

к=0

V

n-m-1

Z (-i)‘

к=0

а- m -1 к

ЗАтМч),

где m = [а], xk = а + k8n, A^xy) — нисходящая, а Wkq(tk ) — восходящая конечная разность порядка k.

Поскольку

(а~1 - к V - к )-к = г-1 (к +1 -а),

lim(-1)

(

-к

у п - к j

lim

n

n - k

a-к

V" лJ

имеем

lim(-1)

г-к

= 1, lim 8n - А kq (Xk ) = q(k) (a),

f a-1 - к ^

у n - к j

n-к

= lim(-1)

n——^

/ \a-k

X

д-д VO )=

f a -1 - кV xa-k

n - * (n- к) X

у ^ Zv j

К fa8-n к д ку(хк ) =

n

у n - к j

= Ук) (a) (x - а)к-a Г-1 ( +1 - a ).

Отсюда с учетом равенства

Vm+1 ( \

ф(а )

m+1-a

lim 8

it

получаем

8

m+1

п

= 0

qi^Ua)(х - a)к а

____д_ДД____L__ — 1i

Г Daq(x)!x -У'1' ы{ = lim У ajkb

1 ,]a A- r(k-1 -a) Jk '

k=0

k=1

где j = n — m — 1 ajk =8n (k8n )m a Snm 1Vm+1^(tk )r 1 (m +1 -a),

, fa-m- 1Д

bk = (-1)k ka-m r(m +1 -a).

vk J

Матрица ||ak|| и последовательность {^k}

удовлетворяют условиям леммы Летникова, а

lim Z “A ----\ J(x -1Г- A"' (t)dt.

Jtt Г(n +1 -a) a

Этим и завершается доказательство теоремы Летникова [57].

Как следует из вышеизложенного, именно А.В. Летникову принадлежит честь и заслуга разработки строгой математической теории дробного

исчисления. В связи с этим в дальнейшем мы будем использовать термин — дробная производная А.В. Летникова (ДПЛ).

В работе [2] введены более детальные

определения дробных интегралов и производных. По определению интегралы

<p{t)

1 Х

i1») ) = БТМ

г(«) 1 (x -1)'-

<p{t)

1 b

())x )=fw/ (t

)1-a

dt,

dt,

называются интегралами дробного порядка.

Первый из них называют иногда левосторонним,

а

*

а

п

а

8

81

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

82

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Г-

Г(1 -a)dx a (x-1) 1 d bf (t)dt

Da f=-

а второй — правосторонним. Чаще всего имеют дело с левосторонним дробным интегрированием.

Дробное дифференцирование вводится, естественно, как операция, обратная дробному интегрированию. Поэтому дробные производные порядка а при 0 < а < 1 имеют вид

( f )(x )=-^- d'xHM.

(f )(x )=Г(] _a)dx J (t _ x)

Первая из них называется левосторонней, а вторая правосторонней.

Если дробные интегралы определены для любого порядка а > 0, то дробные производные пока только для порядка 0 < а < 1. Для больших порядков а > 1 при их целой — [а] и дробной — {а} (0 < {а} < 1) имеем

D f = i ДП f (')d

а+ Г(п -а)dx J

n = [а]+ 1, [а] < а < [а] + 1,

(-1)' Гd

Г(п -a) vdx

n = [а]+ 1, [а] < а < [а] + 1.

Если а — целое число, то под дробной производной порядка а понимается обычное дифференцирование

( d Y ( d X

a+ l dx У bb l dx) ’а = 1, 2, 3, ...

Нетрудно видеть, что все приведенные выше определения представляют собой лишь развитие идей А.В. Летникова.

В работах [58-60] вводится новый дробный оператор, определяющий локальную дробную производную Колванкара с помощью следующего предела: dq (f (х) - f (y))

d (х - y)q ’

если этот предел существует.

Применение данного оператора позволяет вернуть производной свойство локальности, которое теряется при переходе от целых к дробным значениям порядков дифференцирования. Таким образом, устанавливается непосредственная связь между свойствами локальной дробной дифференцируемостью и фрактальной размерностью недифференцируемых функций, что иллюстрируется в [58-60] на примере классической недифференцируемой функции Вейерштрасса и полетов/движений Леви.

5.2. Основные свойства операторов А.В. Летникова

5.2.1. Основные свойства операторов при нулевом нижнем пределе. Представление основных свойств операторов дробного исчисления начнем с наиболее простой формы дробной производной А.В. Летникова

d Yf (t)

1

f (t)

-dx,

dt T(-y)> (t-t)

где у — любое отрицательное число, Г — гамма-функция.

Исходя из вышеприведенного определения, нетрудно вывести основные свойства этого оператора

dлП d7 f(t) dYf2(t)

— [ (t) + f2 (t)] - dd + dt7 - линейность.

Линейность обеспечивает почленное дробное дифференцирование и интегрирование

d_ ff _fd Yf dt t0 г ш dt ’

d- [cf (t )] = cf dtY Lf(^ dt7 ’c = сопД d 7

-[/)] = c<

d ’/ (t)

dtY '

dY r dY f (t)

---[f (t )] = t JK}+y

dtrl J dtY

d7 f (t) _ у dtY _ dtn

c = const,

d r-\f (t)

dt7-1

d__

dtn

d Yf (t) dtY

d J-nf (t) dtY-n dnn f (t)

(5.20)

dtn+r

где (d"/df) — обычное n-кратное дифференцирование, n— целое число.

5.2.2. применение преобразования лапласа к дробным производным с нулевым нижним пределом. По определению преобразование Лапласа определяется равенством

L \ХЬ\exp (- 11)

dv

dtq

dt.

x dt x 0

В случае целого порядка производной имеем

L

dqf

q-1

= s

'L {f l-I s

k=0

q-1-k

dkf

(0),

q = 1, 2, 3...

L

xdtq^ J k=o dtk

В случае кратного интеграла имеем

{^ 1 = SL {f},

[ dtqUJq = 0, -1, -2, ...

Обе эти формы можно объединить в одну:

*{XЬ"VЬЕ’'У <»>'q = 0. ±1 ±2. ... (5.22)

(5.21)

^ dtqf~0 dtq

Формулу (5.22) можно обобщить на случай нецелых q [2]:

для всех q. Здесь n - целое число, такое, что n - 1 < q < n.

При доказательстве формулы (5.23) в начале рассмотрим случай, чтобы можно было использовать определение

dqf = 1 У f X)dx

dtq -ТУ+1’

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 83 ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 5.

Тогда прямое применение теоремы о свертке

LUf ( т)fi (тУт} = l{/}• l[f2}

дает

dqf

dtq

L

df (t) dtq

= L

dL

dtn

= snL

dq-nf (t)

n-1

^ dtq-n "§s dtn-1-k

здесь разность q — n отрицательна, поэтому первый член в правой части можно оценить с помощью уравнения (5.24). Поскольку q — n < 0, закон композиции можно применить к членам внутри суммирования рядов. В результате получаем

L {f} = SL {<'>» -1 •* dd f <»), 0<,ЯД,,,5.26)

что и требовалось доказать. Преобразование (5.23) есть очень простое обобщение классической формулы для преобразования Лапласа от производной или интеграла от f

5.2.3. Основные свойства операторов при ненулевом нижнем пределе. Основные свойства операторов следуют из определения дробной производной, выраженной через конечные разности [1]:

dq-nf (t)

dtq-n

dn -1-k

dq-

dt

q-n

f (0)

(5.25)

Dqf (x) = lim

N

N

E j) lx -У - °

r(-«) S r(j +1)

N

dx

■Dxf (x )= D^f (x),

D'J ()-гУтуДЕцтгоf (x xS*x - Л

f (x -SNx ).

= lim

N

(/)-SLifU < 0 (5.24)

так, что уравнение (5.21) обобщается без изменения для отрицательных q.

Для нецелых положительных q используем закон композиции (5.20)

dqf _ dn dq-nf dtq _ df df- ’

где n — целое число, такое, что n — 1 < q < n.

Теперь, применяя формулу (5.22), находим

(S*x) у ГХ - q -T) r(-q) У T(j)

Дифференцирование этого выражения по x дает j-Dlf(x) = Ит{{ )-1 [ Dlf(x) - Dxf (x-Swx)]} =

dx = lim

(8NxYq-1.

r(-q)

r(-q )f (x) + 1 j - jf1

j=ijr(y+1) r(j)

С использованием рекуррентных свойств гамма функции получаем

г( -q) _г(/-£-1) r(-q)Г( -q -1)

ГД + 1) Г( j ) r(-q - 1)Г( +1)'

Следовательно

dDl- lim fen;

dx a N^"|r(-q -1)

N-1 Г( - q -1)( )

Ъ w ■ 4 f (О-JSNX)

- DCf (x).

где q—произвольное число.

Из этого определения совершенно очевидно следуют свойства линейности и однородности дробных операторов. Основываясь на этом определении можно установить и закон композиции

d

_ г(+1)

Нетрудно видеть, что закон композиции получается методом индукции из этого уравнения.

закон композиции операторов дробного интегрирования можно вывести, используя интеграл А.В. Летникова [57]. Пусть q>(t) е L[ A, B] непрерывна в w^i всюду, за исключением, быть может, точки t = a е [ А,в]. Тогда

0Ж<РУ) = ), Va< 0, в< 0. (5.27)

Действительно, в силу определения дробного интеграла, имеем

яуум*)=Г(_а)1Г(_в) fx _al dt J1t =

1 x x

= —. — \p(^)d% fj x _ t\ “ 1 It _^\k 1 dt.

Г(_а)Г(_в)Г^; f ' ' '

Используя замену t = £ + (x — £)r], нетрудно установить, что

sign(x- a) J|x -t| “ 1 \t-%\k 1 dt =B(—в,-a)|x-£| “ k \ Поэтому DaDpm(t ) =

ax ахт V /

sign (x - a) xr _ Da+pm(t ч

L ^|а+в+1 ^ax 4}\iy

n — целое число.

Для обоснования этого закона возьмем 8^x = (x — a)/N и заметим, что

Dq f (x) = lim j 9 ~ f (x - jSNx).

N-°[r(-q) Г(- + 1)M JN J)

Подразделяя интервал a < x — 8^ на N — 1 равных

подинтервалов, мы видим, что

гИ-вДх -;|“+e+1

В соотношении (5.27) порядки а и в междупредельных производных являются отрицательными числами. Если же ав < 0, то действуют другие законы — законы смешанной композиции, которые сформулированы в [57] в виде следующих теорем.

теорема. Пусть а > в — 0, а функция y(t) е L[A, B] имеет производную порядка а — в с началом в точке a е [A, B]. Тогда

= siSnП (x-a)DaJq(t), для любой отличной от а точки X е [A, B].

теорема. Пусть функция ty(t) е L[A, B] и непрерывна в ^ ^ всюду, за исключением, быть

ч

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

84

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

может, точки t = а. Тогда для любых в < 0 и й£ [0,1] справедливы следующие формулы:

Daax\t - a а+ D^y (£,) = |x - a|в Daaxe \t - aa У (t), (5.28)

если a < 1, |a + в| < 1 и

d-\x - a\P++ DHxy(t) = |x - a\P DX+ (t- a)<p(t), (5.29) если a = 1, в < 0.

5.3. Дробные операторы A.B. Летникова от элементарных и специальных функций.

5.3.1. функция [1]. Рассмотрим в начале простейшую функцию f = 1, символом которой будет [1]. Для нахождения аналитического выражения дробной производной порядка q от функции [1] воспользуемся формулой Грюнвальда-Летникова

получаем

Dqxf = lim

x - a -q

_ N _

1 Шл* -j

Г(-д) j=0 Г(/ +1)

N

(5.30)

Непосредственное приложение (5.30) к функции [1]

N

Ч N-1

I:

г( - Ч)

дает

D1 [] = Jim] w-mU’

n^»[LX-a\ j=0 г(-ч)г( + 1)J

Применение формул

« Г( - q) r(N - q)

h r(-q)r( +1) Г(1 - q)r(N)’

J='

lim

j

c+q+1

дает

Dq [1]= lim ж L J

r(-q > +1)

N

= lim

j

• c+q

г( - q)

r(j)

r(N- q) | (x - a)

+ro;c>0,

= {1; c = 0,

0;c<0,

_ x - a J Г(1 - q )r(N)J Г(1 - q)' (5.31)

Если определение (5.30) применить к функции f = C, где C—любая постоянная, включая нуль, то очевидно, что

Dqm [C] = CDq [1] = C (l-L.

Поскольку Dq[1] никогда не является бесконечной при х > а, то при C = 0

Dqax [0] = 0 (для любых q) (5.32)

5.3.2. функция х — а. Для функции х — а определение (5.30) дает

D! (x - а) = lim

CVi 4 ‘ N^™

[ N ' q У-1 Г( - q ) Nx - jx + ja

. x - а _ У г(-q )г( j+1) . N a

-(x - а )1-q [ у

г( - q)

lim -j^-1 У j-

T(j- q)

j=0 r(-q)T(j + 1)J N-”[ j=0J Г(-д)г( +1) Используя приведенные выше соотношения для гамма-функции, а также формулу

-1 r(j - q)

qT(N - q)

j=0

Г j-q )Г jj) Г(2 - q )Г jN -1)

\-q

D {X - a) = (X - a) Г(1 - q) ■ r(2 - q)

Применяя рекуррентное соотношение для гамма-функции Г(х + 1) = хГ(х), в итоге имеем

q , \ (Х - a) q

V ' Г(2 - q) (5.33)

Заметим, что формула (5.33) сводится к нулю, если q = 2, 3, 4, ...; к единице, если q = 1; к (х — а), если q = 0 и к (х — 0)n+1 /(n + 1), если q = —n = —1, —2, —3, ... .

5.3.3. функция (x — a)p, где p произвольно, но больше —1. При q не целом отрицательном можно использовать определение интеграла Римана-Лиувилля и представить дробную производную в следующем виде

Dq (x - aY = 1 )(y - a)Pdy = 1 1 v4v

^ ( P =r(-q) J (x - y)Y =r(-q) j ( - a - v)q+

где q < 0, v = y — a.

При дальнейшей замене v на (х — а)и интеграл можно преобразовать к стандартной форме бета-функции

Dq (x - а) =-— ^ [ир (1 - и) ) 1 du,

У * r(-q) j У J q< 0.(5.34)

В определенном интеграле (5.34) нетрудно узнать бета-функцию B(p + 1, —q) при условии, что оба аргумента положительны. Поэтому

. .. (x - aч Г(р + 1)(х - a)P~q

Dqax (x - a)P =У ’ B (p +1, -q ) = -^~ ------1

r(-q) ^ ’ Г( - q +1) ’

q<1, p > -1, где бета-функция заменена эквивалентной комбинацией гамма функций.

5.3.4. Биномиальные функции. Запишем

pn + j + n

Г

Dq Z a (x-i

j=0

\p+(j/n)

=Z

j=0 г

pn — qn + n

С помощью этого выражения находим

Dq (С-cx)Р j^_£C(-pL

’ r(-p) U- q +1)

(x — а )

c(x - a) С - ca

p—q+(j/n)

q (С - cx)

~Bx (-q. q - p )>

r(-q)

где Bx — неполная бета функция,

B,

(p, q )= Jyp-111 - y )q 1 dy■

o

При а = 0, C = c = 1 получаем

D<L (i-xУ = ) Bx (-q>q -p).

q

q

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-----------------------—-----—------—-----—------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 5.

5.3.5. Экспоненциальная функция exp(C — cx). В этом случае

Dl exP( - c)= eXpРС С) 7, {-q,-c( - a)),

(x - a)

где

c-x c. » x

y" (A, x) = —— f yx-1 exp (-y )dy = exp (-x) V — --.

r(x )ly У) У П ’U r(j + c +1)

5.3.6. Г иперболические и тригонометрические

sinh (\fx)

sin (л/х).

t ОШЩ \ Л f ОШ1\Л J. /->

функции v 7 и v 7 С помощью

разложения этих функций в ряды, находим

D0x sinh () = £ D0x

j=0

j+(/2)

r((j + 2)

,(1/2)-?

=1-

Г| j+3]X-q+(1,2)

J j=0 T(2j + 2)r|j - q + ^

з V

Dl, sin ( ) = f(2^ f'-'j(),

где J — обычная функция Бесселя первого рода.

5.3.7. функции Бесселя. Для этого случая имеем

Dq

О) x

Dq

О) x

v/2 r

x I

Jv (2^X) = x{V~q)'2 Jv — q (2^X) >

(yfx )

= x^2Iv-q (x ).

5.3.8. функция XYn(x). Тогда

D0x [xP ln (x)] =

Г(р + l)xp

-|> (x )+v( p+1)-v{p - q +>

B(y-x«)f(y)dy = ДхД (a<X0<x), любой

функции f

Принимаяf = (x —y)—q—1, находим, что

x8(у - x0 )dy ( v ?-1

lixy)- = ( l - Xo) ’ q < 0.

Если разделить обе части этого равенства на Ц-q), то получим

Dq S(x -x )Jx -x°Г1

axd(X X° ’ r(-q) '

Сравнивая полученные результаты, находим, что DtlH(x - x0 ) = Dqj{x - x0).

Как показывает опыт [1, 13, 15, 22, 25], наиболее полезные приложения дробного исчисления приходятся на нулевой нижний предел и половинный порядок, т.е. а = 0 и q = ±2. В этом случае символами полупроизводной и полуинтеграла функции f являются df2/dx2 и df/2/dxVl. Согласно определению Куранта-Гильберта

d1/2f _ 1 d Xf (y)dy _ d d~1/2f dxin -Jn dx 0 ^Jx - y dx dx~vl

Интегрирование по частям показывает, что

d1/2f _ 1 dXf(y)dy _ 1 f(0) 1 X(1)(y)x_

dx112 yfn dx l4X-~y 4П yjx -Jn 0 JX-

7

1/2 f (1)

Гр - q +1)

w(x b — d Г(Х)

(p > 0 и q < 0), где л) r(x) dx - пси функция.

5.3.9. функции хевисайда и Дирака. Функция Хевисайда является наиболее простой формой кусочно определенной функции

х < х0

H (х - х" )=|1, х > V

Функция Дирака (или дельта-функция) 8(x — x0) есть производная от функции Хевисайда, она везде равна нулю кроме x = x, где она бесконечна.

Дробная производная от функции Хевисайда для q < 0 и при а < x < x есть обычный оператор в соответствии с определением Летникова или Римана-Лиувилля:

D'.H(x-x0).-рЦI (<>0* , +

1 } r(-q)J (x - y) r(-q)J (x - y)q+1

f (0) + d-112 f

T(H1)4X dx-m '

Операторы полудифференцирования и полуинтегрирования — линейны

d±1/2 d±1/2 d±1/2

^ [ (x)+*(x)] = ^/( x)+s (x)

и однородны

d±1/2 d±1/2

[[f (f (x).

Применяются следующие правила:

d

d f (Cx) d

dx± 1/2 f (Cx x C± d (Cx f2 7dxx 1/2'

C =' 3 у 11 cx у

Vnl 2 2

d

r[xf (x)] = •

d

Tf (x) + T

1 d

-1± (1/2)

г f (x),

dx±m^Jy"Ji ~ dx±1/2Jy~' ^ 2 dx-1±(1/2) ■ а также частные случаи закона композиции

d±V1 x d_1±^1/2^

Jf (У)dy = ^-l±(l/2) f(x),

dx

j±1/2 >±1/2

dd

dx

l ,0+Dl,[ij.tx-xil

r(1 - q)

Г(-1 )i (x - У)'

при x > x().

Аналогично легко показать, что Dl [ fH (x - x0 )^ = H(x - x0 )Dlf, где а < xo < x-Дельта-функция Дирака 8(x — x() характеризуется следующим свойством

7 ±1/2, ±1/2

dx dx

d±1/2 d

f (x) =

d

:(l/2)±(l/2)

dx±(1/2)±(1/2)

f (x),

dx dx

d1±(1/2) f(0)

f (x) = Циу f (x) - f (0)

dx

Г(+1/2)x

1±(1/2) '

Ниже в таблице 5.1 приведены аналитические выражения полупроизводных и полуинтегралов наиболее известных элементарных и специальных функций [1].

X

v/2

85

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

86 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Таблица 5.1

Полупроизводные и полуинтегралы основных функций

f d1/2 f dxin d_1/2 f dx~xn

0 0 0

C C Enx 2CM V n

1 yfx 0 ^П

x0 = 1 1 уГП $

■Jx Х-Рп 2 -4Л-x 2

x 2 xe xe+ e+1

X $ 4x3'2 2\[ж

x32 -4Л-x 4 3 /— 2 —\1ж ■ x 8

x2 8x3'2 зП 16x5'2 ls-v/n

xn n = 0, 1, 2, ... К [4x]n (2n ')!\fnX [и!]2 [4x]”+(1'2) (2n + 1)уЛ

ln (x) ln (4x) •Jnx 2^x x[h(4x)-2]

yfX ln (x ) t-[-(4)+2] xln XL ^x j+ij

ln (x) Vx Vn X Eln ( 4 ]

K (x) •Jn 2^j x (1 - x) ■Jn arcsin (x )

E (x) 1 n(1 - x) 2 V x + + arcsin (x )

H (x - X0 ) H (x - x0 ) p(x - x0 ) 2J x - X0 , , v 0 x H (x x0 yjn

x"+(li) (2" + 1)!.y^r X1" 2[n!]2 |_4 J (2n + 2)!.,/ПГ x ]“ [(n + Г)!]2 L4 J

xp, p > -1 r( +1) xr-m r(p+2) г( + 1) x,+m <p+2)

■Jl + x 1 arctan (x) П+ -Л |x [1 + xjarctan (x) Ь+ r.

Vl - x 1 arctan h (x) •Jn -Jn px [1-x] arctanh(x) V*+ ,/n

1 Vl + x 1 \jnx [l + x] -^arctan ((x) yjn v '

f d1/2 f dx112 d _1/2 f dx~in

1 1 -^arctanh (x) yjn '

•JT-! yfnx [1 - x ]

1 1 + x -Jl + x -yfx arcsinh (x) ^fnx [1 + x]3/2 2arcsinh (x) ^[1 + x]

1 Vl - x + yfx arcsin (x) 2arcsin (x )

1 - x П [1- x]3'2 p[\- x]

1 1 + x 2 fx

[1 ± x]3/2 'Jnx [1 ± x]2 1 ± x V n

1 -Bx (-1/2,p + (1/2) Bx (1/2, p-(1/2))

[1 - *y 2хЛ[1 - x]p+(1/2) ■Л[1- x]p-(1/2)

1 Vx [1 - x] E (x )-[1 - x]K (x) x [1 - x ~\]n ■j= K (x) Vn

1 Vx [1+x] E (nx У12 (^ "j x^n [1 + x] 2"(1+X) p[l + x]

x \1 - x E (x) [1 - x]Vn EK (x)-E (x)] Vn

1 1+ In V1 ± x

Vx [1 ± x] 2 [1 ± x]3'2

yfx 1 ± x •Jn 2 [1 ± x]3'2 -+^ V1 ± x

>Jx ■Jn [2 + x] ■Jnx

[1 - x]2 4 [1 - x] 2 [1 - x]2

xp [ +2+2 ^+1/<'-« Г (p + 1) хрЦ'"]

[1 - x]+(3,2) r( p+3 > - 'if' Г [ p + 3 ^[1 - x]p+1

h - x x E (x)-K (x) Xyfn 7= E (x) -v/n

11 + x x (1+XE ]-x [ I+x ] iEEe Г-ЗО у П ^ 1 + x J

x , p > 1 [1 + x] p r(P + !) _p-(1/2),, rHf x Г(Р + 1) xP+(1/2) _ r(p+2)

xF ^ r, p +1; p +1; + x xF ^ r, p + 1; p + 3;+x

exp(x) + exp(x)erf (x) exp(x)erf (x )

exp(-x) -П -jn 4»w (x) РПdaw (x)

exp(x)erf (x) exp( x) exp(x) -1

daw (x ) Е[л exp(-x) [l - exp(-x)]

exp(x)erfc (x) i - exp(x)erfc (x) 1 - exp(x)erfc (x)

exp(x)erfc (—/x) i + exp(x)erfc l-yfx) y/nx v ' exp(x)erfc (-xfx) -1

1 нОМЕр | тОМ 4 | 2012 | рэнсит

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 87

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Глава 5.

f d1/2 / dx112 d-1/2 f dx~in

erf (x ) exp [-1 x ] /„ [ | x ] x x)[/, (x)+2. (21

exp(±x) JX ^ exp (± |)[x, (f )± Л (f)] h 1+

(i) ~n=exp i-~ 1 -Jnx V x 1 2>/X ierfcf I W x у

sin (X ) 'ijn.J0 () •JnXjJ (x)

cos (X) 1 -JnH0 (x) -Jnx 2 JnxH_1 (X)

sinh (X) () •JnX/ (x )

cosh (X ) 1 JnL0 (x) ~i= + —- -jnx 2 •JnxL_1 (x )

sin (X) -J~X n H- №) \x 2 4Пн0 (X )

cos (X ) -JX n J () \ x 2 -JnJ0 (X )

sinh (X ) -JX П L- (Х ) Vx 2 •JnJ0 (X)

cosh (X ) -JX n i (x) Vx 2 •Jnl0 (X)

1 - cos (X) X Ц- H (x ) •JnxH1 (x )

1 - cosh (X) X Ц- L (x) JnxL (x )

sin (x) "Kx+n H8"^) !Kx-2 j+eEftes^f)

cos(x) П+„( x+П )f £) “[x-4 )

sinh (x) daw(x) exp(x)erf (X) vn 2 exp(x)erf (x) daw(x) 2 -JJ

cosh (x) 1 daw (X) exp(x)erf (X) П. -Л * 2 exp(x)erf (X) daw (x) 2 + а

arcsin (X ) •Jn 2 [1 - x] ln (1- x)

arctan (X ) 1 1 П 2\1 + x ^[vm-1]

arcsinh (X ) VT7X •Jn 2 [1 + x] -y- in (1+x)

f d1/2 / dx112 d ~1/2 f dx~x12

arctanh (X ) 1 1 П 2yl-x VX[i ~41 - x J

J ((x) cos (X) •Jnx 2sin (X ) •Jn

J1 (x ) cos(x ) + ^ lto(x )-1 ■Kx3- 2 1 - cos(X

-Jx Jnx

JV((X ) xv/2 1 H„(ia,((^) 2Т(у + 1))1П ,/2x("2)*(,'4) x(v/2)-(l/4)

JxJ1 (x ) sin (X ) \fn 2 381 (X)-“>s(X) a

xv,2Jv (x ) fi )

/0 (x ) cosh (X ) •Jnx 2sinh (X ) •Jn

/1 (x ) -Jx cosh (X) - Vx sinh (X) -1 •ns» 21^1 - cosh (x <Jnx

iv((X) xv/2 i , 2vr(v +1)^ V2*<W2H1'4) 4'/2Lv-(1/2) () x(v/2)-(1/4)

'JXl1 (X ) sinh (X ) •Jn 2*Jx cosh (X) - 2 sinh (x) a

xv/2Iv (x ) Д“Н“ДЧ1,2)((1) S aswb^ (2)

exp (-x )„( x) exp(—2x) •Jnx erf (2X ) •Ti

H0 () sin (X ) •Jnx 2 |X - cos(X -Jn

H () X sin (x )-Si(X) JnxyI 2Si (X) -jnx

-fxH1 (x ) 1 - cos (X) •Jn x + 2 - 2VX sin (X)-2cos(X) vn

xvaHv (x ) xV)-(4 liv_,!lt(rx ) Г2 L0 (X)

L0 () sinh (X) •s/nx 2 j^cosh (X )-iJ a

L0 (x ) x sinh (X) - Shi (X) 'Jnx112 2Shi (X) -Jnx

4хц{4х) cosh (X) -1 -Jn 2 - x + 2VX sinh (X) - 2cosh (x) a

xv/2Lv (X) ■a аа^ч^{а)

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

88 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

Здесь: sin(x), cos(x), tan(x) — тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенс от аргумента x, arcsin(x), arccos(x), arctan(x) — обратные тригонометрические функции; sinh(x), cosh(x), tanh(x) — гиперболические функции

синуса, косинуса и тангенса от аргумента х, определяемые

. л\ e + в~х

формулами: slnh „ ’ cosh (х)- ^ ,

tanh(x) = (ex - e x ) / (ex + e j, arcsinh(x), arccosh(x),

arctanh(x) — обратимте гиперболические функции; с—константа;

H(x-х0) — функция Хевисайда: H( x - х0) ее exp(x) = e", exp (-х) = e-x,

п/2 1/\ п/2

K(x)= J , ^ , E(x)= J ^1 -x• sin2 (e')dd,

0 yjl - x ■ sin2 (0) о

J 0, x < x0 [l, x > Xo ’

JVQ, Ю — функции Бесселя и модифицированные функции Бесселя порядка v; H(), Lfy — функции Струве и модифицированные функции Струве порядка v; fies(x), gces(x) — вспомогательные функции Френеля, (0 < х < к):

fres( x) = gres(х) =

1 - S (X) (п 2 cos | — x 1- 1 - C(х)

1_ 2 J 12 J |_ 2 J

п 2 sin | — x 2

" i ^ ; ( П 2 Л " i „х ;

-- с (х) cos I —х 1 + --S (х)

_ 2 J 12 ) _ 2 J

sin I — x ' 2

C(x), S(x) — интегралы Френеля:

C (x) = J cos j — t21 dt, S (x) = J sin j — t21 dt,

2 x 00

erf(x) = —=|exp (-t2 )dt, erfc = |exp (-t2 )dt = 1 - erf(x), <n l x

daw(x) = exp(-x2) )exp(t2)dt

v ' 0 y ' — интеграл Досона,

Shi( X) -fi”^ dt . .

0 t — интегральный гиперболический синус,

Si(x) dt _

0 t — интегральный синус,

Г(х) = ftx~le~‘dt,(x > 0)

0 — гамма-функция.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленный здесь свод работ А.В. Летникова по теории дробного исчисления, опубликованный во второй половине 19 века и выявленный в результате длительной и кропотливой работы автора, принадлежит к числу сочинений высочайшей научной пробы. Тщательно прослежено первое появление, видоизменения и развитие идеи о дифференциальном исчислении с произвольными указателями, собраны все относящиеся сюда разрозненные факты в трудах Лейбница, Эйлера, Лапласа и Фурье, критически изучен первый опыт систематического развития оснований этого нового исчисления в нескольких мемуарах Лиувилля, предложены новые основания теории дробного дифференцирования и, вслед за теорией, даны приложения ее к теории функций, определенных интегралов и дифференциальных уравнений. Таким образом, представленная теперь в своей исходной полноте теория дробного исчисления может быть использована в современных исследованиях для новых плодотворных постановок проблем и приложений аппарата дробных операторов.

ПРИЛОЖЕНИЕ. Биографические материалы о личности, жизни и трудах А.вЛетникова. Москва, Типолитография И.Н. Кушнерева и Ко, Пименовская ул., дом Кушнеревой, 1888.

Отредакции. Материалы публикуются с неизбежными для журнала избранностью и сокращениями.

п1. некролог

Алексей васильевич летников

28 февраля, в 41/2 часа утра, скончался, после кратковременной тяжкой болезни, директор состоящего под Августейшим покровительством Его Императорского Величества Александровского коммерческого училища, основанного московским биржевым обществом, профессор высшей математики Императорского московского технического училища, доктор чистой математики Императорского московского университета, действительный статский советник Алексей Васильевич Летников.

От редакции. Похороны А.В. Летникова, вылившиеся в заметное по Москве событие, происходили при стечении многих сотен людей, поспешивших выказать покойному свое великое уважение. Были произнесены с десяток объемных и прочувствованных речей, зачитаны ряд телеграмм от власть предержащих и друзей. Из всего потока последних слов вниманию читателя предлагается речь Николая Егоровича Жуковского.

п2. речь профессора императорского технического училища н.е. жуковского НА ЦЕРЕМОНИИ похорон

Мы собрались пред этой могилою, сраженные горьким неожиданным событием — не стало Летникова! Мы лишились своего дорогого товарища, а многочисленные слушатели — своего незаменимого профессора. Глубокий математик, справедливо оцененный с.-петербургскою академией наук за свои обширные научные труды, Алексей Васильевич — слава технического училища, которому была посвящена большая часть его многополезной жизни. Даже сраженный тяжкою болезнью, за несколько дней до кончины, он не покидал мысли о своих учениках. зачем, жестокая смерть, ты так преждевременно похитила у нас этого человека, полного энергии и надежд, этого полезного деятеля, этого любящего отца теперь покинутой семьи?... Судьбы Божьи неисповедимы. Преклонимся перед Бесконечным и надолго сохраним в своем сердце светлый образ честного деятеля. Прощай товарищ!

п3. биография

Алексей Васильевич Летников, происходивший из дворян, родился 1 января 1837 года. Получив образование в Константиновском межевом институте, 27 сентября 1856 г. он был выпущен на службу по межевому корпусу подпоручиком межевых инженеров с правом по чинопроизводству 1-го разряда, после чего, по распоряжению управляющего межевым корпусом, был причислен к офицерскому классу института для специальных занятий математическими науками и в течение двух лет слушал лекции на физико-математическом факультете московского университета; затем с половины 1858 г. до конца 1860 г. находился в Германии и Франции, куда с Высочайшего соизволения был командирован на казенный счёт для дальнейшего изучения математических наук; с 1861

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 89

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Приложение.

г. был утвержден преподавателем математики офицерского класса межевого института; в 1867 г. с преобразованием межевого корпуса, назначен младшим землемером 2-го разряда; в том же году со стороны Лейпцигского университета, за сочинение под заглавием “Об условиях интегрируемости некоторых дифференциальных уравнений”, удостоен ученой степени доктора философии; в 1868 г., по выдержании надлежащего испытания в физико-математическом факультете Императорского московского университета и, после публичного защищения написанной им диссертации под заглавием “Теория дифференцирования с произвольным указателем”, он по определению совета московского университета от 6 июня, утвержден в степени магистра чистой математики и в том же году 29 июня допущен к исправлению должности профессора высшей математики в Императорском техническом училище; с 3 ноября 1868 г. по 28 января 1869 г. состоял младшим землемером 1-го разряда; в 1869 г. 15 февраля был утвержден старшим преподавателем математики в Константиновском институте, в каковой должности оставался по 22 декабря 1883 г., а 17 февраля — профессором чистой математики в техническом училище; в 1874 г. 22 марта, по представлении и публичном защищении написанной им диссертации “Исследования, относящиеся к теории интегралов”, он, по определению совета московского университета, удостоен степени доктора чистой математики; в том же году был командирован за границу для обозрения политехнических институтов западной Европы и изучения их учебной части; с 21 октября 1879 г. по 15 августа 1880 г. исправлял должность инспектора технического училища; наконец 29 февраля 1884 г. назначен директором Александровского коммерческого училища, и в том же году 29 декабря избран Императорской академией наук в члены-корреспонденты по разряду математических наук. Кроме того, он был членом математического общества и почетным членом состоящего при техническом училище политехнического общества.

Из формулярного списка о службе Алексея Васильевича видно, что, быв выпущен в 1856 г. подпоручиком, 14 февраля 1860 г. он был произведен в поручики, а 9 марта 1862 г. — в штабс-капитаны; 27 июня 1868 г., с преобразованием межевого корпуса из военного в гражданское устройство, переименован в коллежские асессоры; 3 ноября 1870 г. произведен в надворные советники; 8 октября 1874 г. — в коллежские советники; 8 февраля 1877 г. — в статские советники; 11 февраля 1883 г. пожалован чином действительного статского советника. Полученные им награды были следующие: 28 ноября 1862 г. — орден св. Станислава 3-й степени; 19 апреля 1864 г.- св. Анны 3-й ст.; 25 декабря 1870 г. - св. Станислава 2-ой ст. с Императорской короной; 12 января 1873 г. - св. Анны 2-ой ст.; 25 декабря 1876 г. - св. Владимира 4-ой ст.; 29 декабря 1879 г. тот же орден 3-й ст. и 1 января 1887 г. - св. Станислава 1-ой ст.

Алексей Васильевич, помимо высокого положения, которое он, как математик, занимал в ученом мире, принадлежал к числу выдающихся педагогов. Он был человек в высшей степени религиозный, отличающийся правдивостью и сердечностью в отношениях к сослуживцам и учащимся, всегда отзывчивый к нуждам других, примерный семьянин, твердый охранитель установленного законом порядка, сторонник поддержания строгой дисциплины. Последние годы своей деятельности он всецело посвятил устройству Александровского коммерческого

училища, которого состоял директором; новое училище, отличающееся по своему составу от других подобных заведений, требовало особых соображений и трудов для сформирования его в соответствующем цели его назначения виде; утрата, понесенная с кончиною Алексея Васильевича делом распространения коммерческого образования, трудно вознагродима. Простудившись при перенесении училища в новое помещение, освященное 7 февраля, Алексей Васильевич занемог почти с следующего за тем дня, но не придал болезни своей значения и продолжал даже занятия — 13 числа читал лекцию в техническом училище и 16 числа был, в последний раз, ненадолго в классах Александровского училища. Между тем болезнь приняла острый характер — 18 числа был обнаружен образовавшийся уже брюшной тиф с различными осложнениями и, несмотря на все принятые меры, через три недели его не стало. Все знавшие Алексея Васильевича были поражены преждевременной и притом неожиданной кончиной его; глубокая неподдельная скорбь была видна на людях, принадлежащих к различным сферам, являвшихся массами к участию при совершавшихся панихидах и затем собравшихся к отданию покойному последнего долга при отпевании, совершенном 1 марта, после литургии в приходской церкви Никиты мученика на Старой Басманной, архимандритом Данилова монастыря о. Амфилохием, в сослужении протоиерея Казанского собора ДИ. Кастальского и семи священников, в т.ч. законоучителей Константиновского межевого института, технического и Александровского училищ, присутствовали представители учебного ведомства и торгового сословия, начальства, преподаватели и воспитанники названных 3 учебных заведений в полном почти составе, родители учащихся и множество других лиц; Никитская церковь, несмотря на свой большой размер, не могла вместить всех собравшихся к выносу тела из квартиры покойного; поэтому большая часть учеников (одно Александровское училище, бывшее в полном составе, имеет 255 учеников) была направлена в церковь, находящуюся при соседнем Константиновском институте, где была совершена также заупокойнаялитургия с панихидой. На гроб были возложены венки от московского биржевого общества, попечительского совета Александровского училища, от сослуживцев того же училища, от учеников того же училища, от товарищей-сослуживцев по техническому училищу, от студентов того же училища, от сослуживцев по межевому институту, от инженерного отделения того же института, от бывших учеников — межевых техников, от членов математического общества, от московской практической академии коммерческих наук, от В.К. Делла-Воса и других неизвестных лиц. Как из квартиры в церковь, так и по отпевании, в Алексеевский монастырь, на протяжении более трех верст, гроб, в предшествии архимандрита о. Амфилохия и в сопровождении массы собравшихся к погребению, был несен на руках настоящими и бывшими воспитанниками технического училища. Кроме двух “слов”, сказанных пред отпеванием законоучителями Александровского и технического училищ, по опущении гроба в могилу, представителями различных учреждений, в которых покойный принимал участие, — профессором технического училища Н.Е. Жуковским, воспитателем того же училища Н.П. Циркуновым, воспитанником того же училища А.Н. Державиным, членом математического общества В.В. Преображенским и преподавателем Александровского училища Т.М. Романовичем, было произнесено пять речей,

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

90 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

характеризовавших личность покойного и выражавших тяжесть понесенной потери. Телеграммы, свидетельствовавшие соболезнование, были получены от министра финансов ИА. Вышнеградского, управляющего межевой частью сенатора И.И Шамшина, попечителя варшавского учебного округа АЛ Апухтина и бывшего директора технического училища, ныне управляющего учебным отделом министерства путей сообщения В.К Делла-Воса

Алексей Васильевич оставил осиротевшую семью —вдову с 15-летним сыном и 5 дочерьми; далее оставил он Александровское училище на полпути его окончательного устройства; различные предположения, относящиеся к завершению развития деятельности этого заведения, о которых упоминалось при открытии нового училищного помещения, остались еще неисполненными - частию даже выработанными только в общих очертаниях; но всему, уже завершенному им, он дал прочное основание, установил порядок, показавший уже наделе свое достоинство. Дай Бог, чтобы посеянное им не было заглушаемо, а продолжало в дальнейшем приносить те же плоды; чтобы будущие преемники его и его бывшие сотрудники стремились к поддержанию начал, положенных в основание устроенного им дела, и тем же путем шли к достижению целей сформированного им заведения.

Собрание выборных московского биржевого общества, 14 и 31 марта 1888г., постановило ходатайствовать пред министром финансов об испрошении Высочайшего соизволения на постановление портрета А.В. Летникова в актовом зале Александровского коммерческого училища и на учреждении там же одной постоянной стипендии имени покойного для приходящего ученика.

Собрание выборных московского купеческого сословия, 1 апреля, положило также учредить в память А.В. Летникова одну постоянную стипендию для приходящего ученика в том же Александровском училище, на что и испросить установленное утверждение.

П4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОФ. А.В. ЛЕТНИКОВА В ЧЛЕНЫ-КОРРЕСПОНДЕНТЫ АКАДЕМИИ НАУК

(Написано акад. В.Г. Имшенецким)

“В большей части научных работ проф. Летникова обращает на себя внимание постоянство их направления к одной научной цели, выдержанное в течение многих лет и увенчавшееся полным успехом. В целом ряде статей своих, помещенных в различных томах Сборника Московского Математического Общества, он тщательно проследил первое появление, видоизменения и развитие идеи о так называемом дифференциальном исчислении с произвольными указателями.

Собрав все, относящиеся сюда, разрозненные факты в трудах Лейбница, Эйлера, Лапласа и Фурье, г. Летников критически изучил первый опыт систематического развития оснований этого нового исчислении, предложенный в нескольких мемуарах ЛиуБилля, который не сомневался в будущности новой теории и дал прекрасные образцы ея приложений к геометрии, механике и математической физике.

Но обратив внимание на некоторые несовершенства теории Лиувилля, г. Летников разобрал все заключения, высказанные но поводу ея различными математиками (Пикок, Келланд, Тарди, Робертс) и посвятил обширный критический этюд новому более строгому опыту установки теории, сделанному Грюнвальдом в 1867 г., который в изложении

Летникова получил упрощения и усовершенствования.

Однако, не довольствуясь этим, он в 1872 г. предлагает с своей стороны “Новые основания теории междупредельного дифференцирования” и, вслед за теорией, дает прило-жения ея к интегрированию некоторых дифференциальных уравнений, а в вступительной главе представляет, с новой точки зрения, как вопросы, обратные определенному интегрированию, тот ряд упомянутых выше интересных задач, которые Лиувилль решил c помощью дифференцирования с произвольным указателем.

Последующие труды г. Летникова, вполне

оправдывая его научные взгляды, в то же время доказывают плодотворность установленного им метода междупредельного дифференцирования, для которого он нашел прекрасные приложения в теории функций (тригонометрических и сферических), определенных интегралов и дифференциальных уравнений.

Прочная, научная постановка метода и развитие приложений междупредельного дифференцирования представляют

настолько замечательную научную заслугу, что было бы излишним входить в рассмотрение других научных трудов г. Летникова, имеющих, впрочем, несомненные достоинства”.

Подписали: В. Имшенецкий, В. Буняковский, О. Баклунд

10 ноября 1884 г.

(Архив Академии наук СССР, ф. № 2, оп. 17, № 7, л. 181.)

п5. Шапошников на. (мвту) памяти Алексея басильебича летникова. СПб, 1888,

(в сокращении).

7-го апреля 1888 года, в сороковой день по кончине профессора московского технического училища, Алексея Васильевича летникова, (кончавшегося 28 февраля 1888 года после непродолжительной, но тяжкой болезни, была отслужена в здании училища, в присутствии профессоров, служащих и воспитанников училища, законоучителем Н.С. Виноградовым панихида по умершему, духовное пение исполнил хор воспитанников училища. По окончании панихиды доцент по кафедре высшей математики НА. Шапошников прочел следующую речь:

Милостивые государи!

Прошло лишь несколько недель с тех пор, как немногочисленное, но сплоченное глубокими интересами, общество технического училища еще видело в среде своей мощную фигуру Алексея Васильевича Летникова.

Внезапная, преждевременная смерть скрыла от нас этот симпатичный, благородный, по истине величавый образ.

Неожиданность глубоко-горестного факта, грандиозность понесенной потери восстала перед нами роковым образом во всей ее импонирующей силе.

Имея ввиду главным образом очертить перед вами научную и педагогическую деятельность Алексея Васильевича и опасаясь утомить ваше внимание своей по неволе довольно сложной речью, я только в самых общих и кратких чертах коснусь биографических данных о покойном и также сжато рассмотрю его труды, потому что детальное обозрение их составило бы громадную задачу, совершенно не совместимую ни со временем, ни с другими условиями настоящей речи.

Смерть Алексея Васильевича Летникова последовала 28го Февраля 1888-го года, на 52-м году его жизпи. Родился он в 1837-м году 1-го января. Происхождение его из дворян.

Его дед был учителем математики. Отец же занимал незначительное место в московской казенной палате.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 91

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Приложение.

Родители Алексея Васильевича имели намерение вначале дать ему гимназическое образование и он был помещен во 2-ю московскую гимназию, но пробыл в ней только год, потому что недостаток средств его родителей не позволял им держать сына даже приходящим учеником гимназии.

Он был определен на казенный счет в Константиновскш межевой институт, где и получил свое основное образование.

В 1856-м году 19 лет от роду Летников окончил курс института и с этих пор началась его, тогда же определившаяся, специальная карьера, выразившаяся сначала в чрезвычайно сложной, систематической подготовке к научной и преподавательской деятельности, а затем в еще более широкой и плодотворной утилизации плодов этой подготовки.

замечательные способности Алексея Васильевича еще в его бытность в институте обратили на него особое внимание его непосредственных руководителей, из числа которых он впоследствии с особой признательностью вспоминал личность директора института, генерала Смецкого и преподавателя математики, Ламовского.

Особое значение для его последующей карьеры имело то обстоятельство, что в определении его деятельности принял живое, энергичное участие знаменитый русский администратор, Михаил Николаевич Муравьев, занимавший тогда пост управляющего межевым корпусом.

Благодаря личному содействию Муравьева, который решил привлечь Алексея Васильевича к преподаванию математики в межевом институте и дать ему для этого образцовую подготовку, Алексей Васильевич мог дополнить свое образование университетским курсом в Московском университете, а затем еще курсом политехнической школы в Париже.

Таким образом, немедленно по окончании курса в Константиновском межевом институте, Алексей Васильевич поступил вольным слушателем на физико-математический факультет Московского университета и здесь, слушая в течении двух лет лекции третьего и четвертого курсов, положил начало своему специально-математическому образованию под руководством известных профессоров Брашмана, Перевощикова и Давидова.

В апреле 1858-го года, перед самым концом университетских занятий Летникова, его покровитель Муравьев, придававший чрезвычайное значение повышению уровня математических занятий в межевом институте, испросил Высочайшее повеление об отправлении за границу одного или двух межевых офицеров, с назначением каждому по 2500 рублей в год.

На первый раз в июне того же 1858-го года был отправлен именно Летников, числившийся тогда по институту подпоручиком курпуса межевых инженеров.

Его послали в Париж, сроком на два года и поставили ему целью командировки - приобретение основательных современных сведений по чистой математике, геодезии, астрономии, теории вероятностей, механике и оптике, изучение педагогических приемов преподавания математики и обозрение разных специальных училищ. Главным образом рекомендовались Летникову школы политехническая и центральная, Французская коллегия и Сорбонская академия.

Центром личных занятий Алексея Васильевича сделалась именно политехническая школа, но и с другими высшими учебными заведениями он ознакомился вполне обстоятельно.

Занятия Летникова в Париже продолжались безпрерывно

в течении двух с половиной лет по декабрь 1860-го года. Здесь, находясь в самом центре тогдашней научно-математической деятельности, он слушал лекции знаменитых математиков Бертрана, Лиувилля, Пюизе, Серре и Шаля.

Французская школа положила прочный отпечаток на последующую преподавательскую деятельность самого Летникова. В читанных им самим лекциях по общему курсу высшей математики он является точным коментатором именно французского направления математических воззрений.

В своих подготовительных занятиях в политехнической школе Летников шел наиболее правильным путем, посвящая все время слушанию лекций и изучению знаменитых творений, но не отвлекаясь нисколько в сторону преждевременной самостоятельной деятельности. Его личное творчество в науке началось значительно позже, через шесть лет после возвращения из Парижа и начала преподавательской деятельности.

Таким образом в основу преподавательской деятельности Летникова были подожены курсы трех высших учебных заведений, в основу его научной деятельности десятилетняя подготовка в сфере высшей математики и ближайших к ней прикладных наук.

Немедленно по возвращении в Москву с 1-го января 1861-го года Летников был утвержден Муравьевым в должности преподавателя математики в офицерском классе Константиновского межевого ипститута, а еще в бытность за границей был ироизведен в поручики. Через три года Летпнков в чине уже штабс-капитана занял преподавательское место своего бывшего учителя Ламовского, который был переведен на инспекторскую должность.

Как я уже упомянул выше, самостоятельная научная деятельность Алексея Васильевича Летникова началась через 10 лет по окончании им курса в межевом институте, в 1866-м году, на 30-м году его жизни.

1866-й год был началом издания журнала Математического Сборника, издаваемого московским математическим обществом, которое не задолго до того было основано по инициативе Брашмана и Давидова и в котором Летников явился в числе первых по времени членов. Почти все последующие ученые труды Алексея Васильевича печатались также в Математическом Сборнике.

В первом томе Математического Сборника помещен мемуар Летникова: «Об условиях интегрируемости некоторых дифференциальныхуравнений». Вэтомисследованииавторисходит из весьма общего принципа, указанного Эйлером, и состоящего в определении зависимости между формой дифференциального уравнения первой степени и формой соответствующего этому уравнению интегрирующего множителя. Следуя отчасти по пути, указанному Дерптским профессором Миндингом, Летников обобщает некоторые результаты, полученные этим ученым, а затем, изолировав свои исследования по отношению к одной частной форме дифференциальнаго уравнения, имеющей важное значение, с большой обстоятельностью рассматривает вопрос об условиях интегрируемости этого уравнения. Одним из весьма частных последствий выводов Летникова является обстоятельная теория известного в науке уравнения Рикатти, в которой автор получает своим методом и весьма просто различные выводы, полученные до него другими учеными посредством приемов, не имевших общей связи.

Вышеуказанное исследование, которым автор дебютирует на научной сцене, по методу его стоит несколько в стороне от

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

92 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

последующих его исследовании, принявших со временем строго изолированное положение. Но по направлению иследований оно находится в связи с дальнейшими работами и впоследствии всецело поглощается дальнейшими его выводами.

общий характер исследования указывает на то, что Летников выступил на сцену уже совершенно зрелым ученым, детально изучившим общую научную литературу и усвоившим себе современные цели и ближайшие задачи науки. В то же время это исследование так же наглядно раскрывает и особенность научного таланта Летникова.

Эта особенность состоит в стремлении к обобщениям частных данных науки, но к обобщениям таким, которые для данного момента в историческом развитии науки представляются вполне возможными, которые имеют ближайшую цель в приложениях и совершенно чужды общей научной философии, а тем более метафизики.

Такое направление научных исследований характеризует и все последующие научные труды Летникова.

Став сразу и твердо на почву специальных научных изысканий, Летников почти одновременно выступает и на поприще педагогической литературы, по преимуществу в сфере анализа и аналитической геометрии, касаясь немного и курса элементарной математики. Во втором томе Математического сборника помещены его статьи: «О кривизне поверхности в данной точке», «Об общем доказательстве тригонометрических формул синуса и косинуса суммы» и «Критическая рецензия курса элементарной геометрии Руше и Комберуса».

Последние две статьи быми кажется единственными, в которых он посвящал свое внимание курсу элементарной математики.

Впрочем нужно заметить, что некоторые из рефератов его в математическом обществе, касавшихся педагогии математики, не были совсем напечатаны.

Темне менее известно, что междучленамиматематического общества Летников с наибольшим вниманием относился к вопросу об усовершенствовании приемов преподавания высшей и элементарной математики. Главным образом по его настоянию при Математическом сборнике был составлен приложенный в нескольких первых томах второй отдел сборника, включавший статьи педагогического характера.

Посвящая свое главное внимание бескорыстной научной и педагогической деятельности, Алексей Васильевич Летников мало заботился о личных отличиях. Но стремление расширить свою педагогическую деятельность, для которой у него был заготовлен запас несравненно болыший того, какой требовался для одного только межевого института, заставило его подумать о приобретении ученой степени.

В конце шестидесятых годов возникла мысль о преобразовании бывшего тогда ремесленного училища в высшее техническое училище. Таким образом в Москве открывалась новая кафедра высшей математики. Летников имел много шансов для того, чтобы занять ее. Недоставало только ученой степени. Для получения же ученой степени магистра, Летникову, как воспитаннику специального учебного заведения, требовалось идти окольным путем, - приобрести сначала степень доктора в одном из заграничных университетов и уже потом докторским дипломом открыть себе дорогу к русским ученым степеням. Этот по-видимому трудный и длинный путь не остановил Летникова.

Съездив на короткое время в Германию, он в Дрездене напечатал на немецком языке перевод своего первого научного

сочинения «Об условиях интегрируемости некоторых дифференциальных уравнений», с небольшими изменениями, и, по представлении этого трактата философскому факультету Лейпцигского университета, без труда был удостоен звания доктора философии этого университета.

Немедленно по возвращении в Москву Летников приступил к экзаменам в Московском университете на степень магистра чистой математики, а 6-го июня 1868-го года защитил диссертацию, напечатанную за тот же 1868-й год в третьем томе Математическаго сборника под заглавием «Теория дифференцирования с произвольным указателем».

29-го июня того же года Летников был допущен к исправлению должности профессора технического училища. В это время по межевому институту, который в 1867-м году был преобразован из военного устройства в гражданское, он числился младшим землемером 2-го разряда и преподавателем, и из военного чина штабс-капитана был переименован в соответствующий гражданский чин. В ноябре того же года он был назначен младшим землемером 1-го разряда.

Магистерская диссертация Алексея Васильевича положила начало той совершенно изолированной, специальной роли, которую он занял в истории математики, и от которой по существу не отклонялся до конца своей жизни. В небольшой, но важной, по ее историческому значению, книге, он изложил общие научные основания особого рода исчисления и оформил весьма общий принцип.

Основная идея дифференцирования с произвольным указателем настолько проста, что может быть сформулирована в кратких словах и в форме совершенно доступной для всех, имеющих самые элементарные сведения в дифференциальном и интегральном исчислении. Известно, что, имея какую либо функцию одного независимого переменного, мы можем путем последовательных дифференцирований составить произвольно длинный ряд производных этой функции, а с другой стороны, выполняя хотя символически последовательные интегрирования той же функции, можем представить себе ряд интегралов ее. Если условиться расширить понятие о порядке производной, то данную функцию можно рассматривать как производную нулевого порядка, а интегралы этой функции как производные отрицательных порядков.

Тогда, вообразив ряд символов, в котором начальная функция занимает центральное место, производные от нее располагаются в одном направлении, удаляясь от нее по мере возрастания порядка, а кратные иптегралы располагаются в обратном направлении, также удаляясь от начальной функции по мере увеличения числа интегрирований, можно поставить общий вопрос об интерполировании такого ряда с тою целью, чтобы составить общее выражение производной, в котором указателем порядка могло бы служить произвольное число, не только целое положительное, соответствующее операции обыкновенного дифференцирования, не только целое отрицательное, соответствующее обыкновенному иптегрированию, по вообще, какое угодно дробное, несоизмеримое, или даже мнимое.

На первый взгляд кажется, что задача такого рода, будучи во первых в значительной степени неопределенной, что и есть на самомделе, потомучто выбор способа всякого интерполирования всегда носит в себе большую долю произвола, есть в то же время задача чрезвычайно общего характера, решение которой, объединяя два разнородных исчисления, дифференциальное и

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 93

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Приложение.

интегральное, дает еще совершенно особые виды исчислений, еще более общего характера.

Легко убедиться в том, что самый первый шаг на пути указанного интерполирования может повести к весьма туманным математическим гаданиям. Дело в том, что, как известно, однократное интегрирование вносит в состав интеграла произвольное постоянное слагаемое - при интегрировании же многократном является в качестве дополнительной функции целый многочлен, в котором определенным является лишь один показатель степени. Раз уже известная нам операция интегрирования при целом ее порядке вводит такую произвольную дополнительную функцию, то естесственно предполагать существование подобных функций в производных других порядков и тогда виды таких функций представляются чрезвычайно гадательными.

Идея о производнойпроизвольного порядкавозниклав науке с самого начала развития дифференциального и интегрального исчисления. Ее возбудил Яков Бернулли, обратившийся по этому поводу за разъяснением к Лейбницу. Последний только вскользь коснулся этого вопроса, показав на частном примере, что подобная задача может иметь смысл. Эйлер, Лаплас, Фурье также сделали по этому поводу небольшие намеки. Эти великие ученые со свойственною им проницательностью видели то, что решение подобного вопроса выходит за пределы тех средств, которыми обладал современный им анализ.

Лиувилль был первым из ученых, сделавшим сколько нибудь серьезную попытку для решения вопроса. Но эта попытка была частной и довольно натянутой. После первых трудов Лиувилля, обративших все таки внимание ученых на новый вопрос, следовали в том же направлении труды Келленда, Тарди, Робертса, не имевше существенного значения, и наконец работа Грюнвальда, поставившего задачу наиболее общим и определенным образом.

Исследование Летникова, напечатанное почти годом спустя после исследования Грюнвальда, исходит из той же постановки вопроса. Есть много оснований думать, что Летников напал на основной принцип самостоятельно, независимо от Грюнвальда. Это вероятно во-первых ввиду чрезвычайной простоты основной идеи и также потому, что исследование Летникова отличается от работы Грюнвальда - и большей точностью, и большей полнотой. Во всяком случае однако исторический приоритет удерживается за Грюнвальдом.

Особым достоинством трудов Грюнвальда и Летникова нужно считать то, что вопрос поставлен ими в более узкие, чем прежде, рамки со стороны введения дополнительных функций, вследствие чего он сделался более определенным, а решение его более простым и удобным для приложений.

В диссертации Летникова, имеющей сравнительно небольшой объем, даны лишь общие основания теории дифференцирования с произвольным указателем, без указания применений этой теории.

Через год после изготовления диссертации Алексей Васильевич был утвержден в должности старшего преподавателя межевого института и вместе с тем в должности профессора технического училища.

Вследствие того, что исследование Летникова относилось к вопросу чрезвычайно общему, допускавшему разнообразные способы постановки и различные толкования, оно естественно могло вызвать недоразумения и возражения. Главным

противником Летникова явился Варшавский профессор Сонин, принадлежащий кчислунаиболееизвестныхрусскихматематиков. Сначала в отчетах Варшавского съезда естествоиспытателей,. а затем в Математическом сборнике Сонин с большой силой напал на труды Грюнвальда и Летникова и, выказав стремление подорвать их в самом их основании, указал новую постановку того же вопроса о дифференцировании с произвольным указателем. Полемика обоих ученых, выразившаяся в двух статьях 6-го тома сборника за 1873-й год, представляет любопытный пример столкновения двух выдающихся научных сил. С одной стороны мы видим блестящую по замыслу атаку, поддержанную остроумной постановкой вопроса на новую почву. С другой -спокойное, но сильное отражение с полным удержанием занятой раньше позиции. В своем ответе Сонину Летников отчетливо разграничивает поле сражения, делает противнику небольшую уступку, вынуждая с его стороны более существенные, и сразу разрешает возникшее недоразумение.

Упомянутая статья Летникова, составлявшая ответ на сделанные ему возражения, представляет единственный труд его по математической литературе, обнародованный им за шестилетний промежуток времени с 1868-го по 1874-й год. Эти шесть лет были им посвящены главным образом на выполнение важных исследований, составивших материал его докторской диссертации, опубликованной в 7-м томе сборника за 1874-й год. В это время он подготовлял новое и решительное усовершенствование излюбленной им теории.

Но в том же промежутке времени мы встречаемся с особым литературным трудом Летникова, трудом чрезвычайно интересным, имеющим громадное значение, и и то же время, не смотря на его общедоступность, сравнительно мало известным в публике. Я разумею здесь речь, прочитанную Летниковым на акте технического училища в 1871-м году «о системах реального образования».

Известно, что в конце шестидесятых и начале семидесятых годов вопрос о системах образования был одним из самых жгучих общественных вопросов. Всем, сознательно пережившим этот период времени, памятна та ожесточенная полемика, которая велась в это время между поборниками классическаго и реальнаго образования. Под давлением крайне резкого столкновения исчезали всякие следы нейтральной почвы. Все более или менее выдающиеся общественные деятели занимали определенные места в одном из двух противоположных лагерей. Борьба противников была тем более ожесточенной, чем более выказывалась в ней односторонность взглядов, а между тем именно односторонность и была характеризующей чертой возникшего столкновения.

Нужно было обладать исключительными умственными и нравственными силами, чтобы в эту эпоху занять твердую познцию, изолированную от всего окружающего, и среди двух ожесточенных армий провозгласить звучно и безаппелляционно слово примиряющаго синтеза. Честь этого слова всецело принадлежит именно Алексею Васильевичу Летникову. Чрезвычайно характерно то отношение, какое выказал к животрепещущему общественному вопросу специалист математик, не за долго перед этим сделавший экскурсию в мир самых идеальных представлений, наиболее удаленных от всех житейских тревог. Он, по усвоенной им привычке, взглянул на этот жгучий общественный вопрос как на важную задачу строгой науки, подлежащую точному решению по соединенным методам индукции и дедукции. С точки зрения

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

94

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

чистой математики субъективный элемент в решении этой задачи был нужен лишь по стольку, поскольку требовалось от исследователя кропотливая энергия в собирании данных и дисциплинированный ум в разработке этих данных.

обширная речь Летникова представляет образец блестящего научно-философского трактата.

В первой части ее автор занимается самым детальным, фактическим разбором всей сложной истории европейского образования, начиная с эпохи возрождения. он исследует подробно все важнейшие учебные заведения Франции, Германии, Бельгии и Швейцарии, указывая все их последовательные преобразованяя и разыскивая точные и общие поводы, вызывавшие эти преобразования.

В основание второй части речи он кладет априорный принцип, состоящий в том, что Россия в качестве молодого государства, начинающего свой культурно-исторический путь, имеет большую вероятность встретить успех на пути, уже проложенном, торном и изученном, нежели на новом, способном представить неизвестные и потому неотвратимые опасности. Этот принцип он применяет ко всем выводам и, смотря на него все таки как на произвольную гипотезу, тщательно проверяет историческими фактами каждое последствие, из него вытекающее.

В конце речи он извиняется перед публикой в том, что внес некоторую страстность в обсуждение вопроса. Такое самообвинение можно объяснить разве тем, что автор отнял у всех право на подобное обвинение его со стороны и почувствовал некоторую неловкость от неумеренного проявления своих сил.

После шестилетних подготовительных работ Летников защитил 22-го марта 1874-го года свою докторскую диссертацию, напечатанную за тот же год в седьмом томе Сборника под заглавием «Исследования, относящиеся к теории интегралов особого вида». В этом сочинении автор уже вполне овладевает тем математическим принципом, на разъяснение которого он был наведен своим бывшим наставником Лиувиллем, который в эпоху его магистерского диспута был у него почти отнят Грюнвальдом и который с этих пор становится уже неотъемлемой его собственностью.

чрезвычайно характерно то необычайное научное беспристрастие, с которым относится наш замечательный ученый к этой дорогою ценою приобретенной им собственности. Казалось бы, что в качестве самостоятельного творца вполне им оформленного учения о дифференцировании с произвольным указателем, он более других был способен увлекаться своим творением, придавать ему наибольшее научное значение.

Этого однако мы совершенно не видим. Диссертация Летникова представляет замечательный образец капитального научного исследования, в котором автор, совершенно маскируя перед читателем громадный, им выполненный труд, дает ему необыкновенно простое, точное и изящное выражение важного научного принципа, подвергает этот излюбленный им принцип суровой критике и, строго определив сферу его применения, раскрываетдлявсех желающих доступные пути для его эксплоатации.

В первой главе диссертации Летников рассматривает ряд задач, поставленных великими геометрами Абелем, Ампером, Гауссом, Лапласом, Пуассоном, и силой остроумного анализа разбивает воззрения Лиувилля на эти задачи, как на такие,

которые доказывают особое могущество нового метода. Летников показывает, что почти все эти задачи могут быть без особого затруднения решены обыкновенными средствами анализа. Сузив таким образом сферу необходимого применения нового принципа, он во второй главе облекает этот принцип в новую, вполне определенную и законченную форму. Наконец в третьей главе он раскрывает ту именно область анализа, в которой применение принципа может оказать существенную пользу. В этой последней главе он пользуется дифференцированием с произвольным указателем для исследования свойств функций - общих гипергеометрических и в частности сферических и Бесселевых, которые рассматривает как интегралы соответствующих им дифференциальных уравнений.

Докторская диссертация Летпикова принадлежит к числу сочинений, которыми русская математическая наука вправе гордиться.

Замечу еще, что эта диссертация написана чрезвычайно живым, увлекательным языком.

через два месяца после защиты докторской диссертации Алсксей Васильевич получает командировку налетнее вакационное время за границу для обозрения политехнических институтов и изучения их учебной части. Сослуживцам его по техническому училищу известно, с какою полнотою и тщательностью было выполнено им возложенное на него поручение.

Летом 1876-го года он снова командируется с ученой целью за границу и в Варшаву на съезд естествоиспытателей. На съезде были представлены им рефераты «об интегрировании линейного однородного уравнения с линейными коэффициентами» и «о приведении многократных интегралов». За тот же год в 8-м томе Математического сборника помещена им небольшая статья педагогического характера «об интегрировании двух известных уравнений».

Летом 1878-го года Летников посещает в Париже всемирную международную выставку. В конце того же года он печатает в Сборнике небольшую статью под заглавием: «общая формула для интегрирования линейного уравнения с постоянными коэффициентами и со вторым членом». Статья эта имеет существенное педагогическое значение.

С октября 1879-го года в течении 10 месяцев Алексей Васильевич исправляет должность инспектора техническаго училища - и при этом неоднократно замещает и директора училища во время выездов последнего из Москвы.

В 1881-м году Летников печатает во французском журнале: «Nouvelles Annales des Mathematiques» небольшое исследование «об общих свойствах фокусов кривых 2-го порядка».

С 1882-го года возобновляется, после очевидной предварительной подготовки, прежняя научно-литературная деятельность Летникова в том же направлении применений теории дифференцирования с произвольным указателем к исследованию интегралов частных видов гипергеометрического уравнения. За этот год в десятом томе Математического Сборника появляются один за другим два обширных мемуара его.

Первый из них, под заглавием «Новые изыскания о тригонометрических функциях», не имеет большого научного значения и может быть рассматриваем как этюд, раскрывающий в весьма доступной форме приемы практикуемого автором особого исчисления.

Второй мемуар «о различных выражениях сферических функций с произвольным указателем и о разложении их в

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Приложение.

95

ряды» имеет важное значение, как по существу развиваемой в нем теории, так и по изобилию известных приложений этой теории, делающих учение о сферических функциях одной из настоятельных потребностей для современного нам развития прикладных математических наук. В этом мемуаре Летников дает наиболее общее построение теории сферических функций и объединяет своим методом множество частных выводов, полученных за длинный период времени известными учеными Лапласом, Дирихле, Мёлером, Айвори, Гейне и другими.

В 1883-м году в одиннадцатом томе Сборника появляется новый обширный мемуар Летникова «Об определенных интегралах, содержащих функции, удовлетворяющие гипергеометрическому уравнению», мемуар, уступающий предыдущему по его непосредственному научному значению, но не менее предыдущего замечательный по единству и общностни метода. В этом мемуаре указывается новый путь, на котором с помощью принципа дифференцирования с произвольным указателем могут быть получены многие существенные результаты.

В конце 1883-го года Летников выходит в отставку по должности преподавателя межевого института , с ежегодной пенсией по тысяче рублей, но продолжает там же свои прежние преподавательские занятия из платы по найму.

29-го февраля 1884-го года он назначается по министерству финансов директором Александровского коммерческого училища.

29-го декабря того же года С.-Петербургская академия наук избирает его в члены-корреспонденты по разряду математичеоких наук.

В 1885-м году появилось в 12-м томе Сборника последнее из обнародованных им сочинений «О гиперсферических функциях и о разложении произвольной функции в ряды, расположенные по функциям гиперсферическим». В этом сочинении автор исследует новый вид функций, на которые только в самое последнее время было обращено внимание ученых, и которые представляют обобщение функций сферических.

В посмертных записках Летникова имеется еще обширный трактат, содержание которого мне в точности неизвестно, но который по слухам он намеревался поместить в записках академии наук.

Милостивые государи!

В предыдущем изложении я старался по возможностп кратко представить вам только самый общий очерк ученых трудов и отчасти педагогической деятельности нашего почившего сочлена по техническому училищу. я сознаю, что этот очерк слишком слаб для того, чтобы он мог в полной мере охарактеризовать перед вами хотя некоторые из сторон деятельностни такого колоссального деятеля, каким был Алексей Васильевич Летников. чтобы составить более приближенное к действительности представление об общем духовном образе покойного, нужно во многих направлениях расширить пределы выполненнаго мною очерка.

Нужно, кроме научных трудов Алексея Васильевича, рассмотреть детально те курсы лекций по всем главным отделам высшей математики, которые были им составлены, обработаны с величайшим педагогическим искусством и вполне определили ход преподавания математики в училище и в межевом институте.

Нужно вникнуть в значение того громадного труда той разветвлённой эрудиции, которые применены им к составлению

сборников практических упражнений для учеников.

Нужно с особым вниманием разобрать те из его лекционных курсов, которые были прочитаны им ad lbitum и в которых он, имея перед собой вольную аудиторию любителей, и не стесняемый программами, развивал всю силу своего таланта и знаний.

Нужно охарактеризовать его как устного лектора, в совершенстве владевшего неисчислимыми достоинствами детально обработанной словесной и символпческой речи.

Нужно проследить то умственное и правственное влияние, какое он оказывал на своих учеников.

Нужно оттенить ту роль беспристрастного критика, которую проявлял он по отношению к начинающим молодым исследователям, между которыми я сам по личному опыту знаю, чего стоила его нравственная поддержка в трудное время работы оригинальной, уклоняющейся от принятого направления, мысли.

Нужно подробно описать то необыкновенно деятельное участие, какое принимал Алексей Васильевич в переустройстве бывшего ремесленного учебного заведения и в последовательном развитии настоящего технического училища.

Нужно оценить его как члена совета и как товарища.

Нужно посвятить много труда, чтобы осветить личность его как общественного деятеля, повлиявшего в смысле плодотворной культуры не только на ближайшее к нему общество, не только на известный район, но на реальное образование во всей России.

Нужно наконец совместить все это с психологическим изучением его нравственного характера и дать его общий очерк, как человека.

Но подобная сложная задача не может входить в программу краткой публичной речи, и потому я, силою косвенных обстоятельств, по неволе вынужден замолчать.

П4. СЛУДСКИЙ ФА. ЖИЗНЬ И ТРУДЫ А.В. ЛЕТНИКОВА. СПб, 1888, (в сокращении).

Алексей Васильевич Летников родился в Москве 1-го января 1837 года. Он был сыном весьма небогатого дворянина Василия Дмитриевича Летникова, служившего в московской казенной палате (бухгалтером и казначеем) и жившего с семьей почти одною лишь службою. через несколько лет по рождении Алексея Васильевича обстоятельства заставили его отца выйти в отставку, и вскоре затем он умер. Хотя оставшееся после покойного семейство было немногочисленно, - состояло лишь из жены его екатерины Сергеевны, дочери юлии (14-ти лет) и сына Алексея (8 лет); но положение этой семьи, в материальном отношении, стало в высшей степени затруднительным. Случайных и скромных заработков матери и небольших тюбий с разных сторон едва хватало на пищу, одежду и квартиру. Воспитание дочери могло быть и было сочтено законченными. Но оставалось самое дорогое и главное - воспитать и образовать сына. Так как небогатые гражданские чиновники того времени воспитывали сыновей обыкновенно в гимназиях, то и екатерина Сергеевна решилась дать своему сыну гимназическое образование. В августе 1847 года поступил он во второй класс второй московской гимназии. Небольшая плата за учение была внесена, обмундирование сделано, но на покупку учебников денег не хватило. Мальчик, к счастью, обладал прекрасными способностями; он готовил уроки в самой гимназии перед приходом учителей по учебникам

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

96

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

своих товарищей, и учился хорошо. За 1847-48 учебный год его успехи оценены следующими баллами: из латинского языка, математики и географии по 5; из закона Божия, русского и немецкого языков по 4; из французского языка и каллиграфии по

3. В 1848 году перешел он в третий класс. Но мать ясно видела, что дело учения таким образом далее идти не может. Жила она в то время в бабушкином переулке, в убогой квартирке против Константиновского межевого института. Узнав, что это учебное заведение хорошее, и что туда нетрудно определить мальчика на казенное содержание, она решилась перевести и перевела Алексея Васильевича из второй московской гимназии в межевой институт.

определение мальчика в специальное учебное заведение ведет весьма нередко к печальным последствиям. Лишь благодаря счастливой случайности воспитание в межевом институте такого рода последствий для Летникова не имело. Это потому, что во главе межевого ведомства стоял в то время М.Н. Муравьев.

В 1848 году межевой институт был училищем второразрядным, долженствующим готовить исключительно землемеров. он считался заведением гражданским; но так как сам начальник ведомства Муравьев и директор института Н.П. Смецкий были из военных, то в институте, естественно, заведены были порядки полувоенные. Воспитанникам производилось строевое ученье; они получали военную выправку. Это неважное, по-видимому, обстоятельство повело к весьма важным для училища последствиям. Оно обратило на себя внимание покойного Императора Николая при посещении им заведения 15 апреля 1849 года. Оставшись чрезвычайно довольным институтом во всех отношениях, Государь, в знак особой милости, преобразовал его в заведение военное и при том перворазрядное. К существовавшим семи классам прибавлен был восьмой инженерный, где лучшие из воспитанников должны был получать высшее геодезическое образование. Этим воспитанникам был открыт таким образом прямой и правильный путь к более высокого рода деятельности. Директор института Смецкий признавал самым важным для заведения дело воспитания. Он крепко стоял за основательность учения, но считал нужным ограничивать его возможно тесными рамками. М.Н. Муравьев придавал одинаковое значение, как воспитанию, так и образованию. Вступив в 1842 году в управление межевым ведомством, он нашел уровень образования в межевом институте весьма невысоким и признал необходимым его поднять. Он нашел нужным расширить значительно институтские курсы математики и геодезии. В математике видел он не одну лишь вспомогательную для геодезиста науку; он считал ее наукою имеющею великую образовательную и даже воспитательную силу. Не сойдясь во взглядах с директором, но ценя в нем прекрасного воспитателя и не желая поэтому с ним расстаться, М.Н. Муравьев, как попечитель института по уставу, принял на себя все заботы по организации учебной части заведения. (...) И вскоре... Константиновский межевой институт уже в 1847 году стал de facto заведением перворазрядным.

Вот в каких условиях находилась та школа, где А.В. Летников получил свое воспитание. Он поступил сюда, как мы сказали, в 1848 году. Заняв сразу одно из первых мест в классе, он все более и более выдавался затем и своими способностями и своими успехами. С особой охотой изучал он математику у А.М. Ломовского, одного из известнейших московских учителей того времени. Он не ограничивался одним лишь усвоением

уроков; он читал с жадностью математические сочинения, имевшиеся в библиотеке института. А.М. Ломовский, убедившись в талантливости своего ученика, предоставил ему право широко пользоваться и своею собственной библиотекой. Весьма усердно занимался Летников и русской словесностью. Живое и увлекательное слово преподавателя археологии И.Е. Забелина глубоко западало ему в душу. Восемь лет, почти безвыходно, провел Алексей Васильевич в межевом институте; летние каникулы — в лагере под Перерой. В 1856 году кончил он курс подпоручиком межевых инженеров.

По окончании курса воспитанники института должны были служить несколько лет в межевом ведомстве за воспитание. Назначение им рода службы зависело от начальника ведомства. Чтоб производить это назначение возможно правильно, М.Н. Муравьев признавал необходимым знакомиться с учениками высших классов самым обстоятельным образом. Он изучал и их способности, и их наклонности. Признав в А.В. Летникове прекрасно дисциплинированного (умственно и нравственно) и весьма талантливого молодого человека, он заметил, что склад ума этого юноши - склад ума чистого математика. Межевое ведомство нуждалось преимущественно в геодезистах, и при том в геодезистах-практиках. Но Муравьев хорошо понял, что направить Алексея Васильевича на этот род деятельности значило бы загубить его способности, и при том извлечь из него для ведомства лишь малую долю возможной пользы. Он ясно видел, что Летников может стать превосходным преподавателем высшей математики в межевом институте, и решился дать ему это назначение.

Чтоб подготовиться к означенной деятельности, А.В. Летникову нужно было пополнить свое математическое образование. Для этого, по указанию Муравьева, он слушал два года (1856-58) лекции в московском университете. На физикоматематическом факультете большинство слушателей увлекали в то время чтения no теории вероятностей и небесной механике молодого профессора А.Ю. Давидова. Поражавшие глубиною и ясностью мысли, и проникнутые чувством меры и гармонии, эти неподражаемые лекции, можно сказать, очаровывали аудиторию. А.В. Летников был одним из наиболее ими очарованных!

Имея в виду, что незаурядному преподавателю высших отделов науки необходимо быть и научным деятелем, а для этого следует пожить и поработать там, где научная жизнь бьет живым ключом, М.Н. Муравьев в 1858 г. командировал А.В. Летникова на два года в Париж. Здесь, на месте деятельности Лапласа, Лагранжа, Коши, в созданной этими великими учеными школе, должен был закончить Алексей Васильевич свое математическое образование.

А.В. Летников посещал в Париже курсы знаменитой Ecole Polytechnique; бывал также на лекциях в College de France и в Sorbonne. Он слушал Шаля, Бертрана, Серре, Лиувилля, Пюизе (небесная механика), Делонэ (о паровых машинах) и Жамена Большую часть лекций он записывал и при том так обстоятельно, что его записками пользовались не одни лишь его русаше товарищи, но и французы. О той серьезности, с какою он относился к слушанию лекций, всего лучше свидетельствует следующий факт. В осеннем семестре 1859 года на первую лекцию знаменитого геометра Шаля собралось около пятидесяти слушателей. В числе их было трое русских, один поляк и один немец: остальные - французы. Вследствие высокой трудности следить за курсом, с каждою новою лекцией аудитория заметно пустела, и к концу семестра осталось всего

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

-------------------------------------------------------------------- ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 97

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Приложение.

три слушателя: двое русских, в т.ч. А.В. Летников, и один немец.

благодаря содействию Терквема, А.В. Летников изучил весьма обстоятельно устройство парижской политехнической школы; им было добыто множество литографированных курсов этого заведения. Он познакомился также и с некоторыми другими учебными и учеными учреждениями. Весьма нередко присутствовал он на производящихся в Сорбонне (публично) испытаниях на ученые степени; посещал довольно часто публичные заседания парижской академии наук. Он присутствовал во всех тех заседаниях, в которых шел известный печальный спор между академиками Леверье и Делонэ, вызванный резкими нападками первого из них на деятельность Bureau des longitudes. Он с такою горячностью следил за прениями, что к концу заседаний приходил в совершенное изнеможение, как бы после тяжелой физической работы.

чтоб подготовиться наилучшим образом к предстоящей педагогической деятельности, А.В. Летников штудировал в Париже пользующиеся европейской известностью учебники по математике высшей и низшей. здесь развились его симпатии к французским методам преподавания. чтоб стать на уровень современного состояния науки и приобрести, таким образом, возможность сделаться научным деятелем, он изучал сочинения классические, по преимуществу по математическому анализу.

Все эти многочисленные занятия оставляли еще А.В. Летникову значительный досуг. Он имел достаточно времени, чтоб ознакомиться обстоятельно с французской литературой. Приехав в страну, пережившую недавно величайшие исторические события, положившие начало ее новой жизни, он не преминул познакомиться с означенными событиями по известнейшим специальным сочинениям. Поселившись в центре страны, в грациозной и грандиозной ее столице, он занялся изучением чудного города. Его интересовали ж одни лишь учреждения и памятники, но и самый народ. Его пленили известные привлекательные стороны французского ума и характера. Они были симпатичны его душе; они коренились в зародыше, в его натуре. Он пользовался случаем, чтобы, вращаясь между парижанами развить эти особенности в себе самом. Несмотря на веселый от природы нрав А.В. Летникова, вихрь многочисленных парижских развлечений и удовольствий так мало его захватывал, что его образ жизни возбуждал удивление товарищей. Он дозволял себе лишь одно увлечение: каждую неделю отправлялся в theatre italien, где пели в то время Тамберлик, Грациани, Альбони, Пенко и др.

Глубокие симпатии к французам и Франции не ослабляли в А.В. Летникове ни на минуту его привязанности ко всему русскому и любви к России. Он аккуратно являлся на богослужения в парижскую православную церковь; по субботам он был постоянным гостем в доме тогдашнего настоятеля нашей церкви — почтеннейшего отца Васильева.

В Париже сблизился А.В. Летников с двумя из пребывавших там русских ученых: с В.К. Делла-Восом и К.Н. Коростелевым (бывшим в то время адъюнктом Ришельевского лицея, а затем профессором Новороссийского университета). Здесь возникла та искренняя дружба, которая связывала его с Виктором Карловичем до самой смерти.

В декабре 1860 года возвратился А.В. Летников из-за границы в Москву, и был назначен немедленно преподавателем в инженерном классе Константиновского межевого института.

1863 год есть один из важнейших в жизни А.В. Летникова:

в июле месяце этого года он сделался семьянином, женившись на молодой девушке из того же круга небогатых чиновников -Екатерине Квинтилиановне Протогеновой.

В 1867 году А.В. Летников получил степень доктора философии в Лейпцигском университете за диссертацию: “Uber die Bedingungen der Integrabilitat einiger Differential Gleichungen”.

В следующем году, по выдержании в Москве экзамена и защите диссертации “Теория дифференцирования с произвольным указателем” приобрел он степень магистра чистой математики.

В 1868 году, по случаю преобразования межевого корпуса из военного в гражданское устройство, А.В. Летникову пришлось расстаться с военным мундиром. Из штабс-капитанов он был переименован в коллежские асессоры.

В том же самом году открылось А.В. Летникову и желанное более широкое поле деятельности. Московское ремесленное учебное заведение было преобразовано в Императорское техническое училище, и здесь учреждена была кафедра высшей математики. Алексей Васильевич явился одним из претендентов на означенное место. Так как он успел уже приобрести репутацию превосходного преподавателя и при том человека предававшегося всякому своему делу всей душой, то был предпочтен другим конкурентам. Он остался на службе и в межевом институте.

Человек науки, А.В. Летников всецело был ей предан. Но наукою, в полном смысле слова, считал он одну лишь чистую математику. Он постоянно имел в виду, что по Началам Евклида учились мы сами, и будут учиться наши отдаленнейшие потомки, а Альмагест Птоломея давно уже стал лишь великим историческим документом. Только в чистой математике видел Алексей Васильевич бесспорные и вечные из доступных нашему разумению истин; искание их считал он наиболее достойным поклонника истины. Вся его плодотворная ученая деятельность была посвящена разработке математического анализа. Благоговейно относился он к великим трудам по прикладным математическим наукам - к трудам Архимеда, Галилея, Ньютона, Эйлера, Лапласа, Лагранжа и др.; сам он преподавал и теоретическую механику и теорию вероятностей; но ни одной статьи по прикладной математике написано им не было. Правда, в первой главе его диссертации на степень доктора чистой математики (об этой диссертации речь будет еще впереди) содержится решение нескольких весьма интересных задач по механике и физике; но механикаи физика служат здесь лишь канвою для математического узора. Константиновский межевой института интересовался по преимуществу прикладными математическими науками, в особенности геодезией и астрономией. Если его благодарный и лучший воспитанник не посвятил себя служению означенным наукам, то конечно не по одному лишь недостатку расположения к ним. Нет, он не имел для того и надлежащих способностей. Прикладные математические науки представляют собою системы знаний, опирающиеся на более или менее произвольные основания. Строить что либо на таких основаниях А.В. Летников решительно не мог: мысль об их неустойчивости парализовала его силы.

Если уже к прикладной математике относился А.В. Летников с некоторым скептицизмом, то не мог он, разумеется, признавать несомненными истины наук трактующих о человеке и обществе. Сознавая чрезвычайную важность этих наук, он живо ими интересовался и старался с ними

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

98 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ознакомиться по доступным для неспециалистов сочинениям и журнальным статьям. Высоко ценя и здесь элементы научные, он глубоко скорбел о том, что господствующие теперь в означенных науках учения страдают недостатком трезвости.

В настоящее время в высшей степени трудно, даже невозможно, оценить вполне ученую деятельность А.В. Летникова. Лишь будущее развитие науки выяснит надлежащим образом роль его, как научного деятеля.

Но и теперь уже нельзя не отметить того факта, что труды Алексея Васильевича по дифференцированию с произвольным указателем нашли себе ценителя и продолжателя в лице П.А. Некрасова. В статье “общее дифференцирование (Мат. Сб., т. XIV, вып. I), посвященной памяти Л.В. Летникова, П.А. Некрасов разрабатывает теорию дифференцирования с произвольным указателем, на новых более широких началах. Труды Алексея Васильевича вызвали это исследование и дали для него основную идею и даже самый план. Нужно ожидать, что и область приложений означенного дифференцирования в недалеком будущем значительно расширится, благодаря тем основам, которые положены А.В. Летниковым.

Все ученые труды А.В. Летникова, за исключением первого и сравнительно неважного, напечатаны па русском языке. об этом следует, конечно, пожалеть: будучи напечатаны на одном из общеупотребительных европейских языков, они доставили бы автору в западной Европе такую же почетную известность, какою он пользовался в отечестве. Но можно и утешиться: в своих трудах Алексей Васильевич оставил, капитальное наследство почти исключительно математикам русским, дорогой ему России!

ЛИТЕРАТУРА

1. Oldham KB, Spanier J. The Fractional Calculus. N.Y, Academic Press, 1974, 234 р.

2. Самко СГ, Килбас АА, Маричев оИ. интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника, 1987, 688 с.; Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Elsevier, 2006, 523 p.

3. Нигматуллин РР, Потапов АА. Дробные операторы и их приложения (итоги Межд. симп. “Дробная производная и ее приложения”). Нелинейный мир, 2009, 7(2):154-155; Baleany D, Kiryakova V 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and Its Applications (FDA’08), 5-7 Nov. 2008. Fractional Calculus & Applied Analysis, 2009, 12(1):113-114.

4. McBride AC. Fractional Calculus and Integral Transforms of Generalized Functions. San Francisco, Pitman Press, 1979, 179 p.

5. Nishimoto K. Fractional Calculus. V. 1-5: Koriyama (Japan), Descartes Press Co., 1984, v1, 195 p.; 1987, v 2, 189 p.; 1989, v 3, 202 p.; 1991v 4, 158 p.; 1996, v 5, 193 p.

6. Miller KS, Ross B. Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. N. Y, Wiley, 1993, 384 p.

7. Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications. N.Y, Wiley & Sons, 1994, 360 p.

8. Чукбар КВ. Стохастический перенос и дробные производные. ЖЭТФ, 1995, 108(5):1875-1884.

9. Rubin B. Fractional Integrals and Potentials. Harlow, Longman, 1996, 409 p.

10. Podlubny I. Fractional Differential Equations. N.Y, Academic Press, 1999, 368 p.

11. Hilfer R (ed.) Applications of Fraction Calculus in Physics. Singapore, World Scient. Publ. Co., 2000, 472 p.

12. Данилов ЮА. Лекции по нелинейной динамике. М., Постмаркет, 2001, 184 с.

13. Потапов АА. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М., Логос, 2002, 664 с.

14. Климонтович ЮЛ. Введение в физику открытых систем. М., Янус-К, 2002, 284 с.

15. Потапов АА. Фракталы в радиофизике и радиолокации: топология выборки. Изд. 2, перераб. и доп. М., Университетская книга, 2005, 848 с.

16. Потапов АА. Фракталы, хаос, рекурсия. Высшее образование сегодня. 2003, 4:18-26.

17. Нахушев АМ. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, Изд. КБНЦ РАН, 2000, 299 с.; Нахушев АМ. дробное исчисление и его применение. М., Физматлит, 2003, 272 c.

18. Кобелев ЯЛ, Кобелев ЛЯ, Климонтович ЮЛ. Аномальная диффузия с памятью, зависящей от времени и координат. ЛАН, 2003, 390(5):605-609.

19. Псху АВ. Уравнения в частных производных дробного порядка. М., Наука, 2005, 199 с.

20. Нахушева В.А дифференциальныхуравнения математических моделей нелокальных процессов. М., Наука, 2006, 173 с.

21. Потапов АА. Фрактальные модели и методы на основе скейлингав фундаментальных и прикладных проблемах современной физики. Сб. тр. “Необратимые процессы в природе и технике”. Подред В.С. Горелика иАН. Морозова. М, МГТУ им НЭ. Баумана,2008,25407.

22. Учайкин ВВ. Метод дробных производных. Ульяновск, Артишок, 2008, 512 с.

23. Бабенко ЮИ. Метод дробного дифференцирования в прикладных задачах теории тепломассообмена. СПб, Изд. НПо “Профессионал”, 2009, 584 с.

24. Anastassiou GA. Fractional Differentiation Inequalities. N.Y, Springer, 2009, 686 p.

25. Потапов АА. о фрактальных радиосистемах, дробных

операторах, скейлинге, и не только В кн.: Фракталы и дробные

операторы. С предисл. акад Ю.В. Гуляева и чл.-корр. РАН СА Никитова. Казань, изд. ФЭН АН РТ, 2010, с. 417-472.

26. Potapov AA. The Textures, Fractal, Scaling Effects and Fractional Operators as a Basis of New Methods of Information Processing and Fractal Radio Systems Designing. Proc. SPIE, 2009, 7374:73740E-1-73740E-14 (http:// spie.org/x648.html?product_id=829032).

27. Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. London, Imperial College Press, 2010, 368 p.

28. Летников АВ. Теория дифференцирования с произвольным указателем. Машем, сб, 1868, 3:1-68.

29. Летников АВ. Об историческом развитии теории дифференцирования с произвольным указателем. Матт. сб, 1868, 3(2):85-112.

30. Летников АВ. К разъяснению главных положений теории дифференцирования с произвольным указателем. Матт. сб, 1873, 6(4):413-445.

31. Летников АВ. Исследования, относящиеся к теории интегралов вида Jл-»)' 7(»)*. Матем. сб., 1874, 7(1):5-205.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ФИЗИКЕ

ОЧЕРКИ ПО РАЗВИТИЮ 99

ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ... Литература

32. Letnikov AV Recherches relatives a la theorie des integrals de la forme "l(x - “>'(u'>du. Bull. Sd. Math. Astron. J., 1874, 7:233-238.

33. Летников АВ. Новые изыскания о тригонометрических функциях. Матем. сб, 1882, 10:227-312.

34. Летников АВ. Об определенных интегралах, содержащих функции, удовлетворяющие гипергеометрическому уравнению. Матем. сб, 1883, 11(3):327-414.

35. Летников АВ. О гиперсферических функциях и о разложении произвольной функции в ряды, расположенные по функциям гиперсферическим. Матем. сб, 1885, 12(2):205-282.

36. Летников АВ. Об интегрировании уравнения . Матем. сб, 1888, 14(2): 205-215.

37. Летников АВ. О гипергеометрических функциях высших порядков. Матем. сб, 1888, 14(2):216-222.

38. Летников АВ. О приведении многократных интегралов. Матем. сб., 1888, 14(3):303-328.

39. Сонин НЯ. Сообщение о дифференцировании с произвольным указателем. Тр. 2 съезда русских естествоиспытателей. 1870, 2:18-21.

40. Сонин НЯ. О дифференцировании с произвольным указателем. Матем. сб., 1872, 6(1):1-38.

41. SonineN. Recherches surles Functions Cylindriques etleDevelopment des Fonctions Continues en Series. Math Ami, 1880, 16:1-80.

42. Сонин НЯ. Обобщение одной формулы Абеля. Зет., матем. общ. Новорос. общества естествоитытателей. 1884, 5:143-150.

43. Sonine N. Sur la Generalization d une Formule d Abel. Acta Math, 1884, 4:171-176.

44. Сонин НЯ. исследования о цилиндрических функциях и тециальных полиномах. М., ГТТИ, 1954, 243 с.

45. Некрасов ПА. Общее дифференцирование. Матем. сб., 1888, 14(1):45-168.

46. Некрасов П.А. Приложение общего

дифференцирования к интегрированию уравнений вида . Матем. сб, 1888, 14(1):344-393.

47. НекрасовПА.Приложениеобщегодифференцирования к задаче о приведении многократных интегралов (в связи с интегрированием уравнения Лапласа). Матем. сб., 1888, 14(1):410-426.

48. Nekrassov PA. Ueber Lineare Differentialgleichungen, Welche Mittelst Bestimmter Integrale Integrist Werden. Math. Ann., 1891, 38:509-560.

49. Ross B. A Brief History and Exposition of the Fundamental Theory of the Fractional Calculus. Lecture Notes in Mathematics. V 457. N.Y, Springer Verlag, 1975, p. 1-36.

50. Потапов АА. Краткое историческое эссе о зарождении и становлении теории дробного интегродифференцирования. Нелинейный мир, 2003, 1(1-2):69-81.

51. Machado JT, Kiryakova V, Mainardi F. Recent history of fractional calculus. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(3):1140-1153. (doi:10.1016/j.cnsns.2010.05.027).

52. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent. II. Geophys. J. R. Astr. Soc. 1967, 13:529-539.

53. Caputo M. Elasiita e Dissipacione. Bologna, Zanichelli, 1969.

54. Podlubny I. Geometric and Physical Interpretation of

Fractional Integration and Fractional Differentiation. Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002, 5(4):367-386.

55. Ворошилов АА, Килбас АА. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частными производными Капуто. Дифференциальные уравнения, 2006, 42(5):595-609.

56. Бабенко ЮИ. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Л., Химия, 1986, 144 с.

57. Нахушев АМ. Уравнения математической биологии. М., Высшая школа, 1995, 301 с.

58. Kolwankar KM, Gangal AD. Fractional Differentiability of Nowhere Differentiable Functions and Dimensions. Chaos, 1996, 6(1):505-513.

59. Kolwankar KM, Gangal AD. Holder Exponents of Irregular Signals and Local Fractional Derivatives. Pramana-J. Physics (Indian Academy of Sciences), 1997, 48(1&2):49-68.

60. Kolwankar KM, Gangal AD. Local Fractional Fokker-Planck Equation. Phys. Rev. Lett., 1998, 80(2):214-217.

61. Потапов АА. Дробные операторы и скейлинг во фрактальной электродинамике, и широкополосные фрактальные антенны в исследовании высокочастотных резонансов и плазмонов. Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2011, 14(3):54-77.

62. Лазоренко ОВ, Потапов АА, Черногор ЛФ. Фрактальные

сверхширокополосные сигналы. В кн.: информационная безопасность: методы шифрования.. С предисл. акад.

Н.А. Кузнецова. Под ред. Е.М. Сухарева. Кн. 7. М., Радиотехника, 2011, с. 151-187.

63. Рехвиашвили СШ, Потапов АА. Мемристор и целочисленный квантовый эффект Холла. Радиотехника и электроника, 2012, 57(2):207-210.

64. Панасенко СВ, Потапов АА, Черногор ЛФ. Результаты применения алгоритмов теории оптимального обнаружения и оценивания для анализа солитона огибающей. Радиотехника и электроника, 2012, 57(3):330-338.

65. Potapov AA Application of the Fractal Theory and ScalingEffects during Processing of Low-Contrast Images and Super Weak Signals in the Presence of Intensive Noise. Abstracts Int conf “Zababakhin Scientific Talks”, devoted to E.I. Zababakhin’s 95-th anniversary (1620 April, 2012, Russia, Snezhinsk, Chelyabinsk region). Snezhinsk, RFNC-VNIITF, 2012: 311-312. (http://wwwvniit£ru/zst).

66. Потапов АА. Фракталы, скейлинг и дробные операторы в обработке информации (Московская научная школа фрактальных методов в ИРЭ им. ВА Котельникова РАН, 19812011 гг.). Сб). тр>. “Необратимые процессы в природе и технике”. Под ред . В.С Горелика и АН Морозова. М., МГТУ им. Н.Э. Баумана и Физический институт имени П.Н. Лебедева РАН, 2012, IM5-121.

67. Потапов АА. Фрактальный метод и фрактальная парадигма в современном естествознании. Воронеж, ИПЦ “Научная книга”, 2012, 109 с.

Потапов Александр Алексеевич

д.ф.-м.н, гл.н.с,, действительный член РАЕН,

Институт радиотехники и электроники

им. В.А. Котельникова, Российская академия наук,

11/7, ул. Моховая, 125009 Москва, Россия

+7 495 629 3406, potapov@cplire.ru, www.potapov-fractal.com

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

100

FRACTALS & FRACTIONAL CALCULUS IN PHYSICS

ESSAYS ON THE DEVELOPMENT OF FRACTIONAL CALCULUS IN THE A.V. LETNIKOV’S WORKS

Potapov A.A.

Dr Sci.Phys&Math, Chief Research Fellow, Academician of Russian Academy of Natural Sciences Kotel’nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Russian Academy of Sciences, http://www.cplire.ru 11/7, Mokhovaya str., 125009 Moscow, Russian Federation potapov@cplire.ru; www.potapov-fractal.com

The aim of the work is to rescue from oblivion the results to create a rigorous and complete theory of fractional calculus, obtained in the second half of the 19th century, the outstanding Russian mathematician and a patriot of Russia Alexei Vasilyevich Letnikov, a talented organizer of mathematical education in Russia and the founder of the School of Mathematics at the Moscow Higher Technical School (now Moscow State Technical Bauman University). His highest mathematical scholarship (on the basis of Moscow University and the Paris Ecole Polytechnique and the Sorbonne), impeccable honesty and integrity earned respect and love for young scientists, many of which played a prominent role in the history of Russian science. Represented by the main code of Letnikov’s works: master’s dissertation, well-known debate on the pages of Mathematics Collection of the Moscow mathematical society (now the journal of Russian Academy of Sciences), as well as his doctoral dissertation, completed a rationale of the fractional calculus - heritage, rescued from under the waters of Lethe long and painstaking work of the author of these essays. It also present a modern view of the early 21st century on this calculus, which is the only and necessary mathematical apparatus is rapidly evolving in the last decades, fractal physics. Also includes biographical materials, which demonstrate the personal nobility A.V. Letnikov and its beneficial effects on the mathematical thought and the scientific community in Russia.

Keywords: integrodifferentiation of fractional order, fractional operators, fractional calculus, fractals, fractal physics

UDC 537.86:519.22

Bibliography - 67 references Received 23.04.2012

RENSIT, 2012, 4(1):3-102___________________________________

REFERENCES

1. Oldham KB, Spanier J. The Fractional Calculus. N.Y, Academic Press, 1974, 234 p.

2. Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI. Integraly i priozvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilopheniya [Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications]. Minsk. Nauka i tekhnika Publ., 1987, 688 с.; Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ. T heory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Elsevier, 2006, 523 p.

3. Nigmatulin RR, Potapov AA. Drobnye operatory i ikh prilozheniya [Fractional operators and their applications] Nelineyny mir, 2009, 7(2):154-155; Baleany D, Kiryakova V. 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and Its Applications (FDA’08), 5-7 Nov. 2008. Fractional Calculus & Applied Analysis, 2009, 12(1):113-114.

4. McBride AC. Fractional Calculus and Integral Transforms of Generalized Functions. San Francisco, Pitman Press, 1979, 179 p.

5. Nishimoto K. Fractional Calculus. V 1-5: Koriyama (Japan), Descartes Press Co., 1984, v1, 195 p.; 1987, v. 2, 189 p.; 1989, v. 3, 202 p.; 1991v 4, 158 p.; 1996, v. 5, 193 p.

6. Miller KS, Ross B. Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. N. Y, Wiley, 1993, 384 p.

7. Kiryakova V Generalized Fractional Calculus and Applications. N.Y, Wiley & Sons, 1994, 360 p.

8. Chukbar KV. Stokhastichesky perenos i drobnye proizvodnye [Stochastic transport and fractional derivatives]. JETF, 1995, 108(5):1875-1884 (in Russ.).

9. Rubin B. Fractional Integrals and Potentials. Harlow, Longman, 1996, 409 p.

10. Podlubny I. FractionalDifferentialEquations. N.Y, Academic Press, 1999, 368 p.

11. Hilfer R (ed.) Applications of Fraction Calculus in Physics. Singapore, World Scient. Publ. Co., 2000, 472 p.

12. Danilov YuA. Lektsiipo nelineynoy dinamike [Lectures on nonlinear dynamics]. Moscow, Postmarket Publ., 2001, 184 p.

13. Potapov A.A. Fractaly v radifipike i radiolokatsii [Fractals in radiophysics and radar]. Moscow, Logos Publ., 2002, 664

p.

14. Klimontovich YuL. Vvedenie v fipiku otkrytykh sistem [Introduction to the physics of open systems]. Moscow, Yanus-K Publ., 2002, 284 p.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

FRACTALS & FRACTIONAL CALCULUS IN PHYSICS

ESSAYS ON THE DEVELOPMENT OF FRACTIONAL CALCULUS... References.

101

15. Potapov A.A. Fractaly v radiofiyike i radiolokatsii: topologiya vyborki [Fractals in Radiophysics and Radiolocation: topology of sample]. Moscow, Universitetskaya kniga Publ., 2005, 848 p.

16. Potapov A.A. Fraktaly, lhaos, rekursiya [Fractals, chaos, recursion]. Vysshee obrayovanie segodnya, 2003, 4:18-26 (in Russ.).

17. Nakhushev AM. Elementy drobnogo ischisleniya i ikhprimenenie [Elements of fractional calculus and their application]. Nal’chik, KBNTS RAN Publ., 2000, 299 p.; Nakhushev AM. Drobnoe ischisleniye i ego primenenie [Fractional calculus and their application]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003, 272

p.

18. Kobelev YaL, Kobelev LYa, Klimontovich YuL. Anomal’naya diffusiya s pamyat’yu, zavisyaschey ot vremeni i koordinat [Anomalous diffusion with memory, depending on time and coordinates]. DAN, 2003, 390(5):605-609 (in Russ.).

19. Pskhu AV Uravneniya v chastnykh proiyvodnykh drobnogo poryadka [Partial differential equations of fractional order]. Moscow, Nauka Publ., 2005, 199 p.

20. Nakhusheva VA. Differenyial’nye uravneniya matematicheskikh modeley nelokal’nykh processor) [Differential equations of mathematical models of non-local processes]. Moscow, Nauka Publ., 2006, 173 p.

21. Potapov A.A. Fraktal’nye modeli i metody na osnove skeylinga v fundamental’nykh i prikladnykh problemakh sovremennoy fiziki [Fractal models and methods on the basis of scaling in fundamental and applied problems of modern physics]. Sb. nauchn. tr. «Neobratimyeprocessy vprirode i tekhnike». Gorelik VS & Morozov AN (eds). Moscow, MGTU im.Baumana Publ., 2008, 2:5-107.

22. Uchaykin VV Metod drobnykh proiyvodnykh [The method of fractional derivatives]. Ul’yanovsk, Artishok Publ.,

2008, 512 p.

23. Babenko Yul. Metod drobnogo differenyirovaniya vprikladnykh yadachakh teorii teplomassoobmena [The method of fractional differentiation in applications of the theory of heat and mass transfer]. St.Petersburg, NPO Professional Publ.,

2009, 584 p.

24. Anastassiou GA. Fractional Differentiation Inequalities. N.Y, Springer, 2009, 686 p.

25. Potapov A.A. O fraktal’nykh radiosistemakh, drobnykh operatorakh, skeylinge i ne tol’ko... [On the fractal radio systems, fractional operators, scaling, and more...]. In: Fraktaly i drobnye operatory [Fractals and fractional operators]. With a foreword Acad. Gulyaev YuV and Corr.-Memb. RAS Nikitov SA. Kazan’, FEN AN RT Publ., 2010, pp. 417-472.

26. Potapov AA. The Textures, Fractal, Scaling Effects and Fractional Operators as a Basis of New Methods of Information Processing and Fractal Radio Systems De-signing. Proc. SPIE, 2009, 7374:73740E-1-73740E-14 (http://spie.org/x648.html?product_id=829032).

27. Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Intro-duction to Mathematical Models. London, Imperial College Press, 2010, 368 p.

28. Letnikov AV Teoriya differentsirovaniya s proizvol’nym ukasatelem [The theory of differentiation with an arbitrary index]. Matem. sb., 1868, 3:1-68 (in Russ.).

29. Letnikov AV Ob istoricheskom razvitii teorii differentsirovaniya s proizvol’nym ukasatelem [On the historical development of the theory of differentiation with an arbitrary index]. Matem. sb., 1868, 3(2):85-112 (in Russ.).

30. Letnikov AV K razyasneniyu glavnykh polozheniy teorii differentsirovaniya s proizvol’nym ukasatelem [To explain the main tenets of the theory of differentiation with an arbitrary index]. Matem. sb., 1873, 6(4):413-445 (in Russ.).

31. Letnikov AV Issledovaniya, otnosyaschiesya k teorii integralov vida 1(x-uy'f(u')du [Investigations concerning the theory of integrals of the form ]. Matem. sb., 1874, 7(1):5-205 (in Russ.).

32. Letnikov AV Recherches relatives a la theorie des integrals de la forme 1(x-u)-f. Bull. Sci. Math. Astron. J., 1874, 7:233-238.

33. Letnikov AV. Novye izyskaniya o trigonometricheskikh funktsiyakh [New research on trigonometric functions]. Matem. sb., 1882, 10:227-312 (in Russ.).

34. Letnikov AV. Ob opredelennykh integralakh,

soderzhaschikh funktsii, udovletvoryayuschie

gipergeometricheskomu uravneniyu [On definite integrals containing the functions that satisfy the hypergeometric equation]. Matem. sb., 1883, 11(3):327-414 (in Russ.).

35. Letnikov AV. O gipersfericheskikh funktsiyakh i o razlozhenii proizvol’noy funkstii v ryady, raspolozhennye po funktsiyam gipersfericheskim [About the hyperspherical functions and the decomposition of an arbitrary function in series, located on the hyperspherical functions.]. Matem. sb., 1885, 12(2):205-282 (in Russ.).

36. Letnikov AV. Ob integrirovanii uravneniya... [The integration of the equation...]. Matem. sb.,1888, 14(2): 205215 (in Russ.).

37. Letnikov AV. O gipergeometricheskikh funktsiyakh vysshykh poryadkov [On hypergeometric functions of higher orders]. Matem. sb.,1888, 14(2):216-222 (in Russ.).

38. Letnikov AV. O privedenii mnogokratnykh integralov [The reduction of multiple integrals]. Matem. sb., 1888, 14(3):303-328 (in Russ.).

39. Sonin NYa. Soobschenie o differentsirovanii s proizvol’nym ukazatelem [The report on the differentiation of an arbitrary pointer]. Tr. 2-go s’eyda russkikh estestvoispytateley [Proc. of the 2nd Congress of Russian Naturalists]. 1870, 2:18-21 (in Russ.).

40. Sonin NYa. O differentsirovanii s proizvol’nym ukazatelem [Differentiation of an arbitrary pointer]. Матем. сб, 1872, 6(1):1-38 (in Russ.).

41. Sonine N. Recherches sur les Fonctions Cylindriques et le Development des Fonctions Continues en Series. Math. Ann., 1880, 16:1-80.

42. Sonin NYa. Obobschenie odnoy formuly Abelya [Generalization of one Abel’s formula]. Zap. matem. obsch. Novoross. obsch. estestvoispytateley. 1884, 5:143-150 (in Russ.).

рэнсит | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

102 POTAPOV A.A.

FRACTALS & FRACTIONAL CALCULUS IN PHYSICS

43. Sonine N. Sur la Generalization d une Formule d Abel. Acta Math, 1884, 4:171-176.

44. Sonin NYa. Issledovaniya o tsilindricheskikh funktsiyakh i spetsial’nykh polinomakh [Studies on the cylindrical functions and special polynomials]. Moscow, GTTI Publ., 1954, 243 p.

45. Nekrasov PA. Obschee differentsirovanie [General differentiation]. Матем. об, 1888, 14(1):45-168 (in Russ.).

46. Nekrasov PA. Prilozhenie obschego differentsirovaniya k integrirovaniyu uravneniy vida... [The application of the general differentiation to integration of equations of the form...]. Матем. об., 1888, 14(1):344-393 (in Russ.).

47. Nekrasov PA. Prilozhenie obschego differentsirovaniya k zadache o privedenii mnogokratnykh integralov (v svyazi s integrirovaniem uravneniya Laplasa) [The application of general differentiation to the problem of reduction multiple integrals (in connection with the integration of Laplace’s equation)]. Матем. об, 1888, 14(1):410-426 (in Russ.).

48. Nekrassov PA. Uber Lineare Differentialgleichungen, Welche Mittelst Bestimmter Integrale Integrist Werden. Math. Ann, 1891, 38:509-560.

49. Ross B. A Brief History and Exposition of the Fundamental Theory of the Fractional Calculus. Lecture Notes in Mathematics. V 457. N.Y, Springer Verlag, 1975, p. 1-36.

50. Potapov A.A. Kratkoe istoricheskoe esse o zarozhdenii i stanovlenii teorii drobnogo integrodifferetsirovaniya [A brief historical essay on the origin and development of the theory of fractional integrodifferentiation]. Nelineyny mir, 2003, 1(1-2):69-81 (in Russ.).

51. Machado JT, Kiryakova V Mainardi F. Recent history of fractional calculus. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(3):1140-1153 (doi:10.1016/j. cnsns.2010.05.027).

52. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent. II. Geophys. J. R. Astr. Soc. 1967, 13:529-539.

53. Caputo M. Elasticita e Dissipacione. Bologna, Zanichelli, 1969.

54. Podlubny I. Geometric and Physical Interpretation of Fractional Integration and Fractional Differentiation. Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002, 5(4):367-386.

55. Voroshilov AA, Kilbas AA. Zadacha Koshi dlya diffuzionno-volnovogo uravneniya s chastnymi proizvodnymi Kaputo [The Cauchy problem for the diffusion-wave equation with partial Caputo’s derivatives]. Differentsial’nye uravneniya, 2006, 42(5):595-609 (in Russ.).

56. Babenko YuI. Teplomassoobmen. Metod rascheta teplovykh i diffuyionnykh potokov [Heat-mass-exchange. The method of calculation of heat and diffusion flows]. Leningrad, Khimiya Publ., 1986, 144 p.

57. Nakhushev AM. Uravneniya matematicheskoy biologii [Equations of mathematical biology]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1995, 301 с.

58. Kolwankar KM, Gangal AD. Fractional Differentiability of Nowhere Differentiable Functions and Dimensions. Chaos, 1996, 6(1):505-513.

59. Kolwankar KM, Gangal AD. Holder Exponents of Irregular Signals and Local Fractional Derivatives. Pramana-J. Physics (Indian Academy of Sciences), 1997, 48(1&2):49-68.

60. Kolwankar KM, Gangal AD. Local Fractional Fokker-Planck Equation. Phys. Rev. Lett., 1998, 80(2):214-217.

61. Potapov AA. Drobnye operatory i skeyling vo fraktal’noy elektrodinamike i shirokopolosnye fraktal’nye antenny v issledovanii vysokochastotnykh rezonansov i plazmonov [Fractional Operators and Scaling in Fractal Electrodynamics, and Wideband Fractal Antennas in the Researches of High Frequency Resonances and Plazmons.] Fiyika volnovykh protsessov i radiotekhnicheskie skhemy, 2011, 14(3):54-77 (in Russ.).

62. Lasorenko OV Potapov AA, Chernogor LF. Fraktal’nye sverkhshirokopolosnye signaly [Fractal ultrabroadband signals]. In: Information security: encryption methods. With a pref. by acad. Kuznetsov NA. Ed. Sukharev EM. Book 7. Moscow, Radiotekhnika Publ., 2011, 151-187.

63. Rekhviashvili SSh, Potapov AA. Memristor i tselochislenny kvantovy effekt Kholla [Memristor and the Integral Quantum Hall Effect]. Radiotekhnika i elektronika, 2012, 57(2):189-191 (in Russ.).

64. Panasenko SV Potapov AA, Chernogor LF. Rezul’taty primeneniya algoritmov teorii optimal’nogo obnaruzheniya i otsenivaniya dlya analiza solitona ogibayuschey [Results of Applying the Algorithms Based on the Theory of Optimal Detection and Optimal Estimation to Analysis of the Envelope Soliton]. Radiotekhnika i elektronika, 2012, 57(3):301-309 (in Russ.).

65. Potapov AA. Application of the Fractal Theory and Scaling Effects during Processing of Low-Contrast Images and Super Weak Signals in the Presence of Intensive Noise. Proc. Int. conf. “EI Zababakhin Scientific Talks”(16-20 April, 2012, Russia, Snezhinsk, Chelyabinsk region). Snezhinsk, RFNC-VNIITF, 2012:311-312 (http://www.vniitf.ru/zst).

66. Potapov АА. Fractaly, sleyling i drobnye operatory v obrabotke informatsii [Fractals, scaling and fractional operators in information processing] (Moscow scientific school of fractal methods in Kotel’nikov IREE RAS, 19812011). Works Coll. “Irreversible processes in nature and technology”. Gorelik VS, Morozov AN (eds.). Moscow, Bauman MSTU&Lebedev PI RAS, 2012, IV:5-121.

67. Potapov АА. Eraktal’ny metod i fraktal’naya paradigma v sovremennom estestvoynanii [Fractal method and fractal paradigm in modern natural science]. Voronezh, Nauchnaya kniga Publ., 2012, 109 p.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ