CC BY
240fyanofeufr жсаНамигеасага afazœuj/z
УДК 330.8
ОЧЕРК ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
В ЭКОНОМИКЕ
В. П. КАРЕВ,
кандидат технических наук, независимый оценщик
г. Москва Е-таИ:ре1го\1ск945@уапйех.ги.
Автор представил развернутый очерк об истории развития математических методов в экономике, о возникновении и развитии теории вероятности и статистики, актуарной и финансовой математики. В статье показано, как развитие экономики происходило на фоне борьбы между сторонниками математических методов и их противниками, включая вульгарных толкователей математических теорий в экономике.
Ключевые слова: математика, метод, теория вероятности, статистика, финансы.
Принято считать, что математические методы анализа макроэкономических процессов впервые применены лейб-медиком короля Людовика XV Франсуа Кенэ (1694—1774гг.), французским экономистом, основоположником школы физиократов. К экономическим исследованиям Ф. Кенэ — знаменитый доктор-хирург приступил уже на склоне лет. Первые его статьи по этому предмету были напечатаны в Энциклопедии Денни Дидро в 1756 г. под рубриками «Fermiers» и «Grains». В 1758 г. он напечатал Экономическую таблицу с объяснениями. В ней была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику на основе принципа незыблемости и справедливости абсолютной монархии — гаранта порядка и законов. Основа общественной организации — класс земледельцев, создающий чистый доход и содержащий все другие классы; класс ремесленников, перерабатывающий добытое классом земледельцев в более пригодную для удовлетворения потребностей форму; класс собственников, ничего не создающий и не пере-
рабатывающий, а только пользующийся чистым доходом. Чистый доход от земли составляет основу всех рассуждений Ф. Кенэ. Он находил справедливым предоставить четыре седьмых этого дохода в пользу собственников, одну седьмую — в пользу духовенства и две седьмых — в пользу государства.
Но все-таки первым исторически и литературно верифицированным экономистом с математическим уклоном Ф. Кенэ не был. Он был лишь третьим. А первым следует признать Луку Барто-ломео де Пачоли (1445—1517 гг.) — итальянского математика, одного из основоположников современных принципов бухгалтерии и бухгалтерского учета методом двойного счета.
Подростком Лука был отдан на обучение в мастерскую художника Пьеро делла Франческа. Здесь его заметил великий итальянский зодчий Леон Батиста Альберти, который в 1464 г. рекомендовал молодого человека богатому венецианскому купцу в качестве домашнего учителя. В Венеции Л. Пачоли посещает лекции знаменитого математика Доменико Брагадино в школе Риальто. В 1470 г. он закончил свою первую книгу, которую написал для своих воспитанников, — учебник коммерческой арифметики с изложением изобретенной им системы двойного счета в бухгалтерии. В этом же году он оставил Венецию и перебрался в Рим, где был принят Альберти и поселился в его доме. Однако через два года Л. Пачоли покинул Рим и принял монашеский постриг, став монахом-францисканцем и одним из крупнейших математиков Европы конца ХУв. До конца жизни он преподавал математику в лучших университетах Италии.
Вторым по хронологии следует отметить английского торговца, статистика и экономиста Уильяма Петти (1623—1687 гг.). В предисловии к Политической арифметике он указывал, что его способ исследования необычный, ибо, вместо того чтобы употреблять слова только в сравнительной и превосходной степени и прибегать к умозрительным аргументам, он вступил на путь выражения своих мнений на языке чисел, весов и мер. Далее он пишет, что давно стремился пойти по этому пути, чтобы «показать пример политической арифметики».
Политическая арифметика содержала статистические данные, их анализ и выводы об умножении человечества в целом, росте города Лондона и о смертности в Дублине по метрикам 1631 г.,об экономическом состоянии Лондона, Парижа и Рима. Петти производит статистические вычисления и сопоставления на основании собранных им цифр, например о населении земного шара в разные периоды времени, о периодах удвоении населения, о сравнительном богатстве разных стран и т.п. Получается, что второй по хронологии экономист Петти — точно первый статистик.
Другой знаменитой книгой Уильяма Петти стал «Трактат о налогах и сборах» (1662г.). Здесь он одним из первых формулирует гипотезу, что ценность предметов определяется количеством затраченного на их производство труда. «Деньги подлежат общему закону ценности; они ускоряют и облегчают обмен, но богатство страны не заключается в одних деньгах; их излишек так же вреден для народного богатства, как и недостаток» [7].
Тем самым У. Петти уже в XVII в. интуитивно определяет одну из возможных предпосылок возникновения инфляции.
Книга французского экономиста, философа и математика Антуана Огюста Курно (1801—1877 гг.) «Исследование математических принципов теории богатства», опубликованная во Франции в 1838 г., является его главным вкладом в экономическую науку. В этой работе впервые использованы количественные методы для анализа конкуренции между товарами при различных рыночных ситуациях. Автор составляет кривую спроса с количествами в виде ординат и ценами в виде абсцисс, определяет цену, при которой обороты достигают максимума, специально изучает случай монополии. Он исследует также влияние налогов на товары, производимые монополистически, конкуренцию производителей на рынке, совокупное действие последних на различных ступенях изготовления товара, образование общественного дохода и изменение его международным взаимодействием рынков.
В последующие годы происходила интенсивная математизация экономической теории. Например, в книге Уильяма Джевонса(1835—1882 гг.) «Об общей математической теории политической экономии» (1862 г.) изложена одна из первых версий теории полезности.
Уильям Джевонс был одним из самых разносторонних экономистов своего времени. Его в равной степени увлекали теоретические проблемы экономической науки и прикладной анализ рынков угля и золота, а также статистические исследования. Он внес большой вклад в разработку теории индексов, а также попытался создать теорию экономического цикла, основанную на периодичности солнечной активности. Заложив основы современной логики, У. Джевонс продемонстрировал необычайно широкий кругозор, выходящий за рамки экономической теории. Интересно, что в его трактате о логике даже не нашлось места для методологических проблем экономической теории. Хотя Д жевонс не оставил специальных трудов по истории экономической мысли, ему принадлежит наиболее подробное для своего времени и наиболее уважительное к своим предшественникам и современникам описание исторического развития математической теории предельной полезности у разных авторов прошлого и настоящего.
В историю экономической мысли У. Джевонс вошел в первую очередь как автор книги «Теория политической экономии», выход которой одновременно с основными трудами К. Менгера (1840—1921 гг.) — основателя австрийской школы экономики и Л. Вальраса (1834—1910 гг.) — основателя лозаннской школы ознаменовал начало маржиналистской революции в экономике. Маржинализм — принцип снижающейся предельной полезности.
Современный историк экономической науки М. Блауг заметил: «только Кларк и Бем-Баверк сумели внести фундаментальный вклад в экономическую теорию XIX века без использования ими знания математики» [1]. Досадно, что М. Блауг не упомянул еще одного выдающегося противника математических методов в экономике XIXв. австрийца Карла Менгера.
Альфред Маршалл (1842—1924гг.), английский экономист, основатель Кембриджской школы политической экономии. Образование получил в Кембриджском университете, в 1885—1908 гг. возглавлял кафедру политической экономии того же университета.
Основы его теории изложены в изданных в 1890 г. Принципах политической экономии, на протяжении многих десятилетий служивших основным учебником по экономической теории в ряде стран.
В этом труде были обобщены достижения раннего маржинализма и заложено начало неоклассической политической экономии. Альфред Маршалл ввел понятие эластичности спроса, характеризующее количественную зависимость спроса от трех факторов: предельной полезности, рыночной цены и денежного дохода, используемого на потребление. Его идеи легли в основу микроэкономики. Как основатель микроэкономики Маршалл сыграл роль аналогичную роли Дж. М. Кейнса— основателя макроэкономики. Маршалл выдвинул на первый план теорию цены вместо трудовой теории стоимости.
Леон Вальрас (1834—1910 гг.) — французский экономист, лидер лозаннской школы маржинализма, один из крупнейших экономистов Х1Хв. Впервые ввел высшую математику как обязательный элемент экономической науки, предложил концепцию и первую математическую интерпретацию общего экономического равновесия и общий критерий рыночного равновесия — спрос равен предложению, ввел и описал понятия четырех рынков — труда, капитала, финансового, потребительских благ и услуг. Исследованием творчества ученого занимаются Центр междисциплинарных исследований Валь-раса — Парето (г. Лозанна); Международная ассоциация Вальраса и Центр Огюста и Леона Вальрасов (г. Лион). Имена Л. Вальрасаи В. Парето как друзей и соратников просто неразделимы. Удивительно, но в 1890-хгг. против использования Л. Вальрасом математических моделей в курсе политической экономии выступало подавляющее большинство его коллег по Лозаннскому университету.
Итальянский экономист и социолог В. Парето (1848—1923 гг.), один из лидеров лозаннской школы маржинализма, в своей работе по исследованию экономики итальянских домохозяйств отметил, что в Италии 20 % домохозяйств получают 80 % доходов и тем самым создают основную долю национального богатства.
Почти через двадцать лет после смерти Парето в 1923 г. выводы этой работы своеобразно интерпретировал англичанин Ричард Кох. Результаты анализа Р. Коха отражены в книге «Принцип 20/80: секреты достижения больших результатов при затрате меньших усилий». В этой книге Кохом сформулировано и названо в честь Парето эмпирическое правило: «20 % усилий дают 80 % результата, а остальные 80 % усилий — лишь 20 % результата». Так что принцип Парето имеет к самому Парето весьма отдаленное отношение, так же, как книга Коха весьма далека от экономики и математики. Результаты серьезного математического анализа [2] показали, что этот принцип ближе к сатирико-шутливым законам
Мерфи и Паркинсона, чем креальному описанию естественно-природных законов, в том числе и экономических.
А ведь важнейшим научным достижением как в экономике, так и в математике стал сформулированный Парето принцип оптимальности, который, по словам самого Парето, гласит: «Всякое изменение, которое не приносит убытков и которое некоторым людям приносит пользу (по их собственной оценке), является улучшением». Таким образом, признается право на все изменения, которые не приносят никому дополнительного вреда.
Оптимум, по Парето, гласит, что благосостояние общества достигает максимума, а распределение ресурсов становится оптимальным, если любое изменение этого распределения ухудшает благосостояние хотя бы одного субъекта экономической системы. Иными словами, оптимальность, по Парето, — такое состояние системы, при котором значение каждого частного критерия, описывающего состояние системы, не может быть улучшено без ухудшения положения других элементов. Подобное решение задачи многокритериальной оптимизации в отличие от глобально-оптимальных решений часто называют Парето-оптимальным.
Не только в лозаннской школе экономики встречались противники математических моделей. Старая и заслуженная австрийская школа, разрабатывавшая теоретическое направление в рамках маржинализма, провозгласила отказ от математических методов, подчеркивая роль самоорганизующейся силы рыночного ценового механизма. Основой данного подхода является утверждение, что сложность человеческого поведения и постоянное изменение характера рынков делает математическое моделирование в экономике исключительно сложным (если вообще возможным). В этой ситуации в сфере экономической политики главными становятся принципы свободной экономики и экономический либерализм. Впрочем, отрицание математики не помешало австрийской школе взрастить великого экономиста Нобелевского лауреата Фрица фон Хайека.
В 1911 г. американским экономистом Ирвингом Фишером (1867—1947 гг.), представителем неоклассического направления в экономической науке, была опубликована работа «Покупательная сила денег», в которой он привел вывод своей знаменитой формулы Фишера:
МУ=Р0, где ^—денежнаямасса;
V— скорость обращения денег;
Р — уровень товарных цен;
О — количество обращающихся товаров.
В соответствии с этой формулой уровень цен определяется по формуле:
Р = МУ/0,
а количество денег в обращении (денежная масса) по формуле:
М = Р0/У.
Исходя из данной формулы, Фишер делает вывод, что стоимость денег обратно пропорциональна их количеству. Формула Фишера позволяет объяснить явление инфляции с точки зрения нарушений в сфере бумажно-денежного обращения. Экономическая трактовка формулы М=Р0/У. чем больше созданный в стране национальный продукт, тем больше денег должно находиться в обращении. С увеличением физического количества товаров и их цен приходится наращивать денежную массу и, наоборот, по мере уменьшения количества товаров и их цен следует сужать денежную массу. В условиях инфляции масса денег в обращении оказывается чувствительной по отношению к уровню цен. Для нормального функционирования товарооборота и денежного обращения приходится увеличивать денежную массу в соответствии с ростом цен. Несоблюдение этого принципа ведет к сбоям в функционировании товарно-денежной системы, дефициту денег в обращении. Таким образом, впервые была построена математическая модель экономики, учитывающая влияние инфляции.
Несмотря на известные трудности послеоктябрьского периода, экономическая наука в России также постоянно развивалась, а многие ее результаты стали достоянием мировой культуры.
Николай Дмитриевич Кондратьев (1892— 1938 гг.) — советский экономист, основоположник теории больших циклов экономической конъюнктуры (кризисы длинной волны). Согласно ставшей классической теории больших циклов Кондратьева, «... войны и революции возникают на почве реальных, и прежде всего экономических, условий... на почве повышения темпа и напряжения конъюнктуры экономической жизни, обострения экономической конкуренции за рынки и сырье. Социальные потрясения возникают легче всего именно в период бурного натиска новых экономических сил». Описанные Кондратьевым большие циклы в экономике с периодом в 45—60 лет иначе называются длинными волнами в экономике.
Василий Васильевич Леонтьев (1905 — 1999гг.) — советский и американский экономист, выехавший из СССР в 1928г. в Китай в качестве специалиста по экономике железнодорожного транспорта. В 1931г. переехал в США. Один из создателей теории межотраслевого анализа, лауреат Нобелевской премии
по экономике (1973г.). Этой награды он был удостоен «заразвитие метода «затраты—выпуск» и за его применение к важным экономическим проблемам».
Межотраслевой баланс — экономико-математическая модель межотраслевых производственных взаимосвязей в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимые для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.
Теоретические основы межотраслевого баланса были разработаны в СССР в 1923—1924 гг. Станиславом Густавовичем Струмилиным (1877—1974гг.), советским экономистом и статистиком, академиком Академии наук СССР. Под его руководством в Госплане СССР была разработана первая в мире система материального баланса. Он внес ряд коренных улучшений в постановку и методологию бюджетных исследований (1924г.), первым построил бюджетный индекс производительности труда.
В 1930-егг. В. В. Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры для исследования экономики США после кризиса 1929г. Во время Второй мировой войны межотраслевой баланс составлялся им для координации работы промышленности США по снабжению своей армии и армий союзников по ленд-лизу—крупнейшей военно-экономической акции США.
Ленд-лиз — государственная программа, по которой США передавали в аренду своим союзникам вооружение, боеприпасы, технику двойного назначения, продовольствие и стратегическое сырье, включая нефтепродукты. Концепция этой программы давала президенту США власть помогать любой стране, чья оборона признавалась жизненно важной для его страны. Закон о ленд-лизе предусматривал:
— поставленные материалы (машины, различная военная техника, оружие, сырье, другие предметы), уничтоженные, утраченные и использованные во время войны, не подлежат оплате;
— переданное в рамках ленд-лиза имущество, оставшееся после окончания войны и пригодное для гражданских целей, будет оплачено полностью или частично на основе предоставленных Соединенными Штатами долгосрочных кредитов (в основном беспроцентныхзаймов) [3]. Также Леонтьевым была решена задача, называемая «Leontiefs paradox», — наблюдение, опровергнувшее теорию Хекшера — Олина при анализе внешней торговли США за 1947 г. Разрешение парадокса Леонтьева состоит в том, что корректное
исследование требует не двухфакторной, а многофакторной модели внешней торговли. Леонтьев предположил, что доля капиталоемких товаров в экспорте будет расти, а трудоемких — сокращаться. В действительности же при анализе торгового баланса США доля трудоемких товаров не сокращалась. В этом и состояла суть парадокса. Разрешение парадокса Леонтьева состоит в том, что трудоемкость товаров, экспортируемых из США, довольно велика, но цена труда в стоимости товара значительно ниже, чем в аналогичных товарах, производимых в Европе и других странах, и импортировать трудоемкие товары из США выгоднее, чем производить дома.
Евгений Евгеньевич Слуцкий (1880 — 1948 гг.) — выдающийся российский и советский математик, статистик и экономист. Провел анализ модели поведения потребителя и вывел «уравнение Слуцкого», смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Е. Е. Слуцкий — один из создателей современной теории случайных функций (распределений в функциональных пространствах). Он также вел работы по параметрам корреляции (условие и теорема Слуцкого), а в последние годы жизни работал над составлением таблиц функций от нескольких переменных.
Леонид Витальевич Канторович (1912— 1986 гг.) — советский математик и экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1975 г. «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов». Пионер и один из создателей линейного программирования.
В 1938 г. Канторович консультировал фанерный трест по проблеме эффективного использования лущильных станков и сформулировал решение как задачу максимизации линейной формы многих переменных при наличии большого числа ограничений в форме линейных равенств и неравенств. Модифицировав метод разрешающих множителей Лагранжа для ее решения, он сделал вывод, что к подобным задачам сводится колоссальное количество проблем экономики. В 1939 г. он опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой описал задачи экономики, решаемые с помощью открытого им математического метода, тем самым заложил основы линейного программирования.
Слуцкий и Канторович были в большей степени математиками, чем экономистами. В конце XIX — начале XXв. математика, соответствуя стремительно растущим общественным потреб-
ностям и потребностям развивающихся наук — химии, физики, экономики и инженерных наук, наконец-то создала адекватные им прикладные математические направления, и в первую очередь математическую статистику.
Необходимо коротко упомянуть о возникновении теории вероятности и статистики. Сразу после возникновения теории вероятностей (Паскаль, Ферма, XVII в.) — изучения бросания костей, монет и прочих невинных забав — вероятностные модели стали использоваться при обработке статистических данных. Также Блезом Паскалем изучалась частота рождения мальчиков и девочек по нескольким департаментам Франции и в г. Париже. Было установлено, что в среднем в мирные годы во Франции XVIIв., в том числе и в Париже, на 1 ООО новорожденных рождались 511 мальчиков и 489 девочек, и, таким образом, вероятности появления мальчиков и девочек отличались от 0,5. Но самое интересное, что после окончания войн, в которых принимала участие французская армия, количество рождаемых мальчиков увеличивалось до 528, а количество рожденных девочек падало до 472. Была выдвинута гипотеза, что мальчики ввиду их более активного образа жизни имеют больше шансов не дожить до детопроизводящего, чем девочки дожить до детородного возраста, и природа компенсирует тем самым более высокую естественную убыль мальчиков. А война как предельный вариант интенсивного сокращения количества мальчиков и, соответственно, количества потенциальных семейных пар вызывала смещение усредненных вероятностных характеристик с 511/489 до 528/472. Аналогичная ситуация была выявлена и для парижских приютов с их нищетой и большими криминальными рисками для дальнейшей жизни мальчиков.
Однако собранные статистические данные, относящиеся к последующим войнам от начала XVIII в. и вплоть до Первой мировой войны 1914—1918гг., не подтверждали этого, поэтому большинство статистиков-демографов скептически относились к этому исследованию. Возможно, это определялось относительной кратковременностью и географической разбросанностью войн в Европе. Но длительная четырехлетняя Первая мировая война вновь вызвала пересмотр этого вопроса, и оказалось, что явление это действительно имеет место. Из появившихся по этому вопросу демографических исследований выводы Б. Паскаля, в частности, были подтверждены в работах советских ученых-статистиков В. Паевского [6] и С. Новосельского [5].
Стоит упомянуть имена математиков, внесших наибольший вклад в теорию вероятности и математическую статистику.
Томас Байес (1702—1761 гг.) — английский математик и пресвитерианский священник. Математические интересы Т. Байеса относились к теории вероятностей. Он сформулировал и решил одну из основных задач этого раздела математики (теорема Байеса). Работа, посвященная этой задаче, была опубликована в 1763 г., уже после его смерти. Формула Байеса, дающая возможность оценить вероятность событий эмпирическим путем, играет важную роль в современной математической статистике и теории вероятностей. Другая крупная его работа — «Очерки к решению проблемы доктрины шансов». Используется терминология: байесовская вероятность, байесовские сети доверия, байесовская оценка решения и др.
В 1794 г. немецкий математик Карл Гаусс (1777— 1855 гг.) разработал метод наименьших квадратов, один из наиболее популярных ныне статистических методов. Он применил его при расчете орбиты астероида Церера для борьбы с ошибками астрономических наблюдений.
Карл Пирсон (1857—1936 гг.) — выдающийся английский математик, статистик, биолог и философ, основатель математической статистики, разработал теорию корреляции, тесты математической статистики и критерии согласия. С его именем связаны кривые Пирсона; распределение Пирсона и др.
Уильям Сили Госсет (1876—1937 гг.) — выдающийся ученый-статистик, более известный под своим псевдонимом Стьюдент. Окончив университет в 1899 г., он поступил на работу на пивоваренный завод Arthur Guinness Son & Со в Дублине. Это было передовое предприятие, и Госсет смог применить свои знания в области статистики при выведении на полях самых урожайных сортов ячменя и при варке пива. Госсет как статистик совершенствовал знания, проведя два года (1906—1907 гг.) в биометрической лаборатории Карла Пирсона. Госсети Пирсон были в хороших отношениях, и Пирсон помогал Госсету в математической части его исследований. Так, Пирсон был причастен к публикациям 1908 г. (принесшим славу Стьюденту), но придавал мало значения этому открытию. У руководства компании были проблемы с исследователями — сотрудниками компании, поэтому Госсет избрал себе псевдоним Стьюдент, чтобы скрыть себя от работодателя, и далее публиковал свои работы под этим псевдонимом.
Рональд Фишер (1890—1962) — английский статистик, биолог и генетик. Андерс Халд охарактеризовал его как «гения, едва не в одиночку заложившего основы современной статистики», а Ричард Докинз назвал «величайшим последователем Дарвина». Колоссальный вклад был внесен им в развитие сов-
ременной прикладной математической статистики. Скажем, основным методом оценки статистической значимости корреляций типа «два на два» до сих пор является «точный тест Фишера» (Fisher's exact test).
Андрей Николаевич Колмогоров (1903— 1987 гг.) — выдающийся советский математик, академик Академии наук СССР, лауреат Сталинской премии, Герой Социалистического Труда, один из основоположников современной теории вероятностей. Им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории алгоритмов, теории турбулентности и ряде других областей математики и ее приложений.
Современный этап развития статистических методов можно отсчитывать с 1900 г., когда англичанин К. Пирсон основал журнал «Biometrika». Первая треть XX в. прошла под знаком параметрической статистики. Изучались методы, основанные на анализе данных из параметрических семейств распределений, описываемых кривыми семейства Пирсона. Наиболее популярным было нормальное распределение. Для проверки гипотез использовались критерии Пирсона, Стьюдента, Фишера. Были предложены методы максимального правдоподобия, корреляционного анализа, регрессионного анализа, дисперсионного анализа, сформулированы основные идеи планирования эксперимента и т.д.
Не только достижениями математической статистики математики одарили специалистов. Практически параллельно зародилась и около ста лет функционирует родственная математической статистике наука эконометрика, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей.
Экономика и ее основные институты — рынки труда и капитала, финансов и потребления — многолики. Для обслуживания каждого из них или некоторых возможных сочетаний этих рынков создаются и развиваются новые направления в математике.
Финансовая математика — это прикладная наука, описывающая корпоративные финансы, инвестиционные и кредитно-финансовые операции и возникающие при этом денежные потоки, финансовые и фондовые рынки математическим языком.
Потребность в овладении основами финансовых вычислений высока в условиях рыночной экономики, где исключительно важным свойством денег является их временная ценность. Временная ценность денег связана, во-первых, с наличием инфляции, во-вторых, с обращением капитала и, наконец, с рисками вложения денег в те или иные виды бизнеса. В частности, деньги, относящиеся к различным моментам
времени, неравноценны (сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие, в свою очередь, менее ценны, чем сегодняшние при равенстве их сумм).
Одной из основных для финансового менеджера является задача эффективного вложения денежных средств с учетом их временной ценности. Для решения задач, связанных с проблемой «деньги—время», разработаны специальные модели и алгоритмы, позволяющие оценить будущие доходы и риски их получения с позиции текущего момента. Данные модели и алгоритмы составляют предмет финансовой математики.
Основными задачами финансовой математики являются:
- классическая финансовая математика или математика кредита (проведение процентных расчетов; вопросы, связанные с различными долговыми инструментами: векселями, депозитными сертификатами, облигациями; анализ потоков платежей, применяемый в банковском деле, кредитовании, инвестировании);
- стохастическая финансовая математика, включающая расчет безарбитражной или справедливой цены финансовых инструментов;
- проведение актуарных расчетов, составляющих математическую основу страхования;
- эконометрические расчеты, связанные с прогнозированием поведения финансовых рынков. Методы количественного анализа финансовых
операций используются в банковских и страховых расчетах, при оценке привлекательности инвестиционных проектов, в анализе операций с недвижимостью, в финансовом менеджменте, поэтому владение ими исключительно важно для специалиста в сфере управления финансами.
А с другой стороны, есть ли такая наука — финансовая математика? Что она включает в себя,
Список литературы
кроме элементарных подсчетов сложных процентов, стоимости опционов, анализа волатильности и начисления дивидендов на акцию? После знакомства с замечательными работами Гарри Марковица [4] и Джеймса Тобина [8,9], за которые их авторы получили Нобелевские премии, можно с уверенностью сказать, что такая наука есть. А после знакомства с прекрасным двухтомником выдающегося российского математика А. Н. Ширяева «Основы стохастической финансовой математики» [10] этот вывод станет еще увереннее.
Практически каждая из перечисленных задач финансовой математики стала самостоятельным научным направлением в математике.
Так, актуарная математика — общепринятое название научного направления, изучающего применение математических методов и моделей в страховании. Вместе с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами актуарная математика образует более широкую область знаний — актуарную науку, которая является теоретической базой страхового бизнеса. Актуарная математика широко использует общие математические теории, в особенности теорию вероятностей и статистику, однако ее нельзя рассматривать как одну из глав прикладной математики. Это самостоятельное научное направление со своим предметом, методами и сферой применения.
Актуарные расчеты — система экономико-математических и статистических методов исследования, с помощью и на основании которых страховщик рассчитывает страховой тариф при различных видах страхования. Актуарные расчеты строятся на определении вероятности страхового случая и при учете других статистических величин, концентрации рисков и пр.
1. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе / пер. с англ. М.: Мир, 1994.
2. Василенко Т. Миф о 80/20. Организация времени, эффективность, успех, развитие. URL: http://www.improvement. ru/zametki/pareto/.
3. Закон о ленд-лизе. История США в документах. URL: http://www.grinchevskiy.ru /zakon-o-lend-lize.php.
4. Марковиц Г., Манн А., Маршак Т. Отраслевые экономико-математические модели. Анализ производственных процессов / подред. Н. П. Бусленко. М.: Советскоерадио, 1966.
5. Новосельский С. А. Влияние войны на половой состав рождающихся. Вопросы демографической и санитарной статистики (Избранные произведения) / под ред. А. М. Меркова. М.: Медгиз, 1958.
6. Паевский В. В. Об изменении полового состава родившихся во время и после войны // Бюллетень Петроградского губстатотдела, 1924. № 6.
7. Петти У. Грактат о налогах и сборах. Библиотека деловой и экономической литературы. URL: http://ek-lit.narod. ru/pettsod.htm.
8. Тобин Д. Вызовы и возможности // Реформы глазами американских и российских ученых. М.: Российский экономический журнал, Фонд «За экономическую грамотности, 1996.
9. Тобин Д. Глобальная экономика: кто у руля? // Проблемы теории и практики управления, 1999. № 1.
10. ШиряевА. Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.
