CC BY
177
• Обобщенный прием решения линейных уравнений и их систем.
• Обобщенный прием решения квадратных уравнений.
• Обобщенный прием решения рациональных уравнений с одной переменной.
• Обобщенный прием решения дробно-рациональных уравнений с одной переменной.
• Обобщенный прием решения иррациональных уравнений с одной переменной. Основными методами решения уравнения являются: разложение на множители; замена переменных; сведение к системе уравнений и неравенств; функциональный; графический.
Основными процессами, сопровождающими обучение, являются:
1) постепенное возрастание классов уравнений, приемов их решения, преобразований, применяемых при решении;
2) установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более общих приемов преобразований, упрощение описания и обоснования решения.
В результате взаимодействия этих процессов изученный материал должен представляться учащимся в сравнительно компактном виде, не затрудняющем, а, наоборот, облегчающем усвоение нового. Необходимость установления такого взаимодействия обусловливает применяемые в линии уравнений методические приемы, в частности, распределение материала по ступеням обучения. Одним из важных профессиональных умений учителя является умение устанавливать содержательные связи по реализации линии между учебным материалом разных классов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дяченко, С.И. Задачи с параметрами в контексте содержательно-методической линии // Актуальные проблемы обучения математике, физике и информатике в школе и вузе. Материалы 2-ой межрегиональной научно-практической конференции учителей. Пенза, 2011. - С. 115-120.
2. Дяченко, С.И. Линия задач с параметрами в школьном курсе математики // Вестник ТГПИ. - 2010. - № 1. С. 72-77.
3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Под ред. Е.И.Лященко. -М.: Просвещение, 1988. - 223 с.
4. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / Сост. В.И.Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.
УДК 372.8 ББК 74.262
Е.С. Столбцова
ОБУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАМ СТОХАСТИКИ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ПРЕЕМСТВЕННОСТИ МЕЖДУ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛОЙ
Аннотация. В статье рассмотрены вопросы совершенствования математического образования при обучении стохастике на основе принципа преемственности. Выявлены основные аспекты принципа преемственности при обучении математике между начальной и средней школой.
Ключевые слова: принцип преемственности, стохастика, аспекты преемственности.
E.S. Stolbtsova
ELEMENTS OF TRAINING ON THE BASIS OF THE PRINCIPLE STOCHASTIC CONTINUITY BETWEEN PRIMARY AND SECONDARY SCHOOLS
Abstract. The paper contains the improvement of mathematics education in teaching stochastics based on the principle of continuity. The basic aspects of the principle of continuity in teaching mathematics between an elementary and middle school.
Key words: the principle of continuity, the stochastic aspects of continuity.
Одним из аспектов модернизации содержания математического образования является включение в школьные программы элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, что обусловлено ролью вероятностно-статистических знаний в общеобразовательной подготовке современного человека. Цель изучения элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в средней школе была определена академиком Б.В. Гнеденко: «ознакомление школьников с закономерностями более широкого типа, чем классический детер-
минизм, а именно - со статистическими закономерностями» [1].
Изучение элементов стохастики позволяет получить знания и умения, которые помогают воспринимать и анализировать статистические сведения, встречающиеся человеку в современных средствах массовой информации, дает возможность делать выводы и принимать решения в ситуациях, с которыми он сталкивается в повседневной жизни, способствует развитию личности, совершенствованию коммуникативных способностей, умению ориентироваться в общественных процессах.
Представления о стохастической природе большинства явлений окружающего мира крайне важны для изучения смежных дисциплин: основные закономерности физики, химии, биологии, гуманитарных дисциплин трудно выразить без использования языка вероятностных понятий. Наличие стохастических знаний и представлений становится важным условием социализации [7].
Знакомство с вероятностно-статистическими подходами к анализу разнообразных явлений существенно меняет общие взгляды учащихся. Они открывают для себя, что многие вопросы не имеют однозначного ответа, что из одних и тех же статистических данных можно сделать различные выводы, каждый из которых будет верным с некоторой вероятностью. Изучение элементов стохастики обогащает систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов, содействует формированию современного научного мировоззрения, особых философских взглядов, овладению специфической методологией, характерной для многих разделов современной науки.
Внедрение элементов стохастики в курс математики средней школы в виде одной из сквозных содержательно-методических линий влечет за собой необходимость пропедевтической работы в начальной школе. Исследования Л.С. Выготского, О.С. Медведевой, В.В. Давыдова, Б.Г.Гейдмана, А.Г. Рубиной, А.П.Тонких и др. показывают, что развитие у учащихся способностей к комбинациям и перестановкам предметов намного эффективнее начинать в начальной школе.
Возможность включения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьный курс математики была обоснована в ряде диссертационных исследований семидесятых и восьмидесятых годов прошлого столетия. Рассматривались различные аспекты этой проблемы: совместное изучение элементов комбинаторики и стохастики; выделения в школьном курсе математики сквозной стохастической содержательно-методической линии, изучение комбинаторики с помощью графов, разработка методики обучения решению стохастических и вероятностных задач [2-5]. Названные исследования ориентировались на учеников основной и средней школы, тем не менее, во всех работах отмечалась целесообразность решения стохастических задач в начальной школе как основы сознательного использования учащимися средней школы вероятностно-статистических правил и формул.
Новый этап исследований, связанных с включением стохастических и вероятностных задач в школьный курс математики относится к девяностым годам двадцатого века. Он знаменуется усилением развивающей функции математического образования и появлением работ, в которых выявляется роль стохастических и вероятностных задач в развитии мышления учащихся. В рамках создания системы непрерывного образования важным становится обеспечение преемственности на всех этапах этой системы и, в частности, - в обучении элементов стохастики между начальным и средним звеном общеобразовательной школы.
Исследования О.С. Медведевой, В.В. Давыдова, Б.Г. Гейдмана, А.Г. Рубиной, В.Д.Селютина, А.П. Тонких показывают, что формирование вероятностно-статистических представлений целесообразно начинать в начальной школе, так как с возрастом у человека формируется консервативное мышление, затрудняющее восприятие многих понятий комбинаторики, стохастики, статистики. Младшие школьники могут быть ознакомлены с такими сторонами действительности, ситуациями и фактами, которые позволяют акцентировать их внимание на особенностях явлений, имеющих ярко выраженную стохастическую природу [6].
Результаты анализа современных учебников математики для начальной школы позволяют констатировать, что тенденция включения стохастических задач в процесс обучения младших школьников математике активно реализуется в массовой школьной практике. Материалы данной тематики присутствуют в учебниках математики, однако они не являются систематическими и не формируют целостного представления о данном разделе математики.
Таким образом, в настоящее время возникли противоречия между недостаточным уровнем развития знаний выпускников школы в области стохастики и социальным заказом общества, государственными требованиями к этому уровню, образовательным потенциалом стохастики и явной недостаточностью его использования в процессе обучения математики в начальной школе. Становится актуальным определение особенностей пропедевтического преподавания элементов стохастики на уроках математики в начальной школе.
Вытекающая из вышесказанного проблема исследования состоит в решении ряда противоречий между:
- недостаточным уровнем развития знаний выпускников школы в области стохастики и социальным заказом общества, государственными требованиями к этому уровню;
- образовательным потенциалом стохастики и явной недостаточностью его использования в процессе обучения математики в начальной школе;
- потребностью обеспечения учителей начальных классов методикой формирования первоначальных стохастических представлений школьников на основе принципа преемственности и недостаточной разработанностью данной проблемы.
Разрешение названных противоречий мы рассматриваем в контексте решения проблемы исследования: выявление теоретических, методических и организационных условий преподавания элементов стохастики на основе принципа преемственности между начальной и средней школой, разработка модели, направленной на реализацию принципа преемственности в обучении учащихся начальной и средней ступеней школы при формировании первоначальных вероятностно-статистических представлений школьников.
Проблема обеспечения преемственности между всеми звеньями образовательной системы никогда не оставалась без внимания. В исследованиях отечественных и зарубежных специалистов выявлены педагогические аспекты преемственности, которая рассматривается как
- принцип построения системы образования (Н.Х.Вессель, Я.А.Коменский, М.М.Пистрак);
- принцип обучения (Ю.К. Бабанский, С.М. Годник, И.Т. Огородников и др.);
- условие совершенствования образовательного процесса (Ш.И.Ганелин, А.В.Полякова, Н.А.Цирулик, Г.И.Щукина);
- общепедагогическая закономерность (И.И. Прокопьев, А.Г. Мороз и др.).
Осуществлению преемственности в содержании, формах и методах обучения посвящены
работы М.Ф. Воробьёва, К.Р. Исаевой, С.С. Постовалова и др. Пути реализации принципа преемственности в начальной школе изучались В.И.Вдовиченко, A.M. Кухта, А.А. Люблинской. Дидактические основы преемственности в обучении между учебными предметами начальной и средней школы разрабатывались коллективом исследователей под руководством Ш.И. Ганелина, в трудах Л.В. Занкова, Е.С. Никифоровой, Н.С. Рождественского и др.
Психологические основы преемственности изучены Б.Г.Ананьевым, А.В.Брушлинским, С.Л.Рубинштейном. Проблемы преемственности с позиции динамики развития личности исследуются в работах Л.С.Выготского, В.В.Давыдова, Л.В.Занкова, Д.Б.Эльконина.
Однако, остаются недостаточно исследованы особенности, педагогические условия и методическое обеспечение реализации принципа преемственности в обучении учащихся элементам стохастики. Необходим поиск новых путей и средств рассматриваемого процесса при переходе учащихся из начальной в основную ступень общего образования как базовой основы развития их математических способностей. Элементы стохастики вошли в обязательный минимум содержания основных образовательных программ и были окончательно разработаны требования, определяющие необходимый уровень стохастических знаний, умений и навыков, которыми должен овладеть каждый школьник на рубежных этапах учебного процесса в любом среднем общеобразовательном учреждении независимо от его типа и направления.
Преемственность в пределах изучения одного предмета подразумевает систематическое и последовательное изучение теоретического материала этой дисциплины, когда в каждом последующем звене продолжается закрепление, расширение и углубление тех знаний, умений и навыков, которые составляли содержание учебной деятельности на предшествующем этапе [5]. В этом определении преемственности делается важное указание на необходимость обеспечения связей между различными этапами обучения.
Методисты выделяют три аспекта преемственности, два из которых непосредственно связаны с содержанием школьного курса математики и способами изложения этого содержания, третий - касается форм и методов организации учебного процесса в начальной школе и их влияния на успешность последующего обучения школьников [7].
Первый аспект заключается в необходимости обеспечения последовательности и систематичности при изучении курса математики в начальной школе: изучение любой темы начального курса математики должно быть построено таким образом, чтобы оно в явном виде опиралось на ранее усвоенный школьниками материал, и все связи, которые можно обнаружить между данным материалом и предварительно изученными темами, активно реализовывались. При изучении нового материала предметом сознания учащихся должно быть то из ранее изученного, что органично связано с новым.
Второй аспект - обеспечение преемственности между начальным и основным звеном обучения. Изучение математики в начальных и средних классах необходимо рассматривать, прежде всего, как подготовку к изучению последующих курсов алгебры, геометрии, физики, химии и других предметов. Этап подготовки, соответственно, должен рассматриваться как единый курс математики.
Третий аспект обеспечения преемственности при обучении математике в начальных классах связан с необходимостью формирования навыков учебной деятельности у младших школьников, при этом весьма важным остается мотивационный компонент.
Основными признаками реализации принципа преемственности в обучении учащихся начальной и основной ступеней школы выступают: принятие общей для этих ступеней основной идеи, цели и содержания образования, методов, организационных форм обучения, методики оценки результативности обучения; обеспечение самореализации школьника[5].
Модель реализации принципа преемственности в обучении учащихся начальной и основной ступеней школы может быть представлена взаимосвязанными компонентами:
- целевым, в состав которого входят социальный заказ, цели и задачи обучения стохастике в школе; (понимание учителем целей обучения стохастике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике, осознание места данного раздела в ряду других тем является важным компонентом методической готовности учителя к успешной профессиональной деятельности);
- содержательным, включающим знание концептуальных основ стохастической содержательно-методической линии (общей структуры курса, основополагающих идей и принципов данного раздела математики; знание целей изучения данной дисциплины в школе, воспитательно-развивающего потенциала и способа его реализации) и содержания данного раздела математики в методическом проецировании на школьное обучение (содержательной основы стохастики, результатов обучения, которыми должен овладеть выпускник начальной и средней школы). Умения осуществлять компетентный анализ содержания программ, учебников математики; перспективное планирование; анализ логической структуры темы; отбор материала для формирования первоначальных вероятностных представлений младших школьников.
- организационно-методическим, вбирающим субъектов, комплекс педагогических условий, методы, средства и формы обучения (знание этапов и средств формирования первоначальных представлений о случайных событиях, о вероятностях событий, форм организации учебно-воспитательного процесса в связи с конкретным содержанием и умений применять их на практике. Владение методическими приемами работы над заданиями вероятностного характера, умениями осуществлять отбор материала, его систематизацию и переработку в интересах развития и совершенствования личности младшего школьника).
ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ СТОХАСТИКЕ
ЦЕЛИ
обеспечение всесторонней информацией об изучаемом разделе математики формирование необходимых теоретических знаний в области стохастики обеспечение знаний, умений и навыков решения стохастических задач
СОДЕРЖАНИЕ
фундаментальные понятия, законы и теории стохастики
приложения понятий, законов и теорий стохастики
задания стохастического характера
ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ
ФОРМЫ
традиционные инновационные
МЕТОДЫ
информационно-рецептивный репродуктивный
проблемный эвристический исследовательский деятельностный
СРЕДСТВА
наглядные литература технические (ИТО)
Рис.1. Структура методической системы
Методическую система обучения элементам стохастики представляет совокупность процесса обучения и его результатов, включающую компоненты: целевой (цели и задачи обучения); содержательный (содержание обучения); технологический (методы, средства, технологии обучения); организационный (формы обучения); результативный (виды и способы контроля, конечный результат обучения, основные итоги) (Рис. 1).
Социальный заказ общества согласуется с основной целью проектируемой методической системы - формирование у школьников первоначальных вероятностно-статистических представ-
лений. Модель научно-методической системы формирования профессиональной компетентности студентов затрагивает все структурные звенья педагогической системы: цели, содержание, формы, методы и средства обучения и контроля, деятельность обучающих и обучающихся, образовательную среду.
Возможности, которые дает систематическое изучение стохастической содержательно-методическая линия, представлены в таблице 1.
Таблица 1.
Стохастическая содержательно-методическая линия
Стохастическая содержательно-методическая линия дает возможность
в начальной школе в 5 - 6 классах в 7 - 9 классах в 10 - 11 классах
получить первоначальные представления о статистических данных и случайных ситуациях; получить представление о простейших свойствах стохастических явлений, обработке статистических данных; получить представление о статистических закономерностях в реальном мире и различных способах их изучения; получить представление о возможностях изучения статистических закономерностей математическими методами;
получить представление о сборе и оформлении сведений; получить представление о наличии в окружающем мире случайных явлений и возможностях их изучения с помощью математики; получить представление о том, что статистические закономерности проявляются в массовых, многократно повторяющихся явлениях и процессах; понимать закономерности, проявляющиеся в поведении эмпирических характеристик; понимать основную идею выборочного метода;
приобрести первоначальный опыт в проведении простых статистических экспериментов и сравнении их исходов; понимать, что статистические характеристики и простейшие способы представления данных позволяют делать практические выводы, играющие роль в повседневной жизни, производстве и в науке; понимать особенности выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер; делать предположения о степени доверия получаемым выводам; познакомиться с идеей проверки статистических гипотез, выдвигать статистические гипотезы и проверять их с помощью компьютера;
научиться записывать и сравнивать исходы простого статистического эксперимента, регистрировать результаты наблюдений; научиться самостоятельно проводить статистические эксперименты и простейшие статистические исследования; осознать свойство статистической устойчивости частоты; понимать, как использование компьютера расширяет возможности хранения и обработки статистической информации; осуществлять выбор средств статистического анализа реальной ситуации, проводить самостоятельно рассуждения для сравнения статистических совокупностей;
научиться находить необходимую информацию в простых таблицах, каталогах и на диаграммах; овладеть различными способами регистрации статистических данных; понимать, как использование компьютера расширяет возможности хранения и обработки статистической информации; научиться пользоваться базой данных компьютера; использовать линию накопленных частот и гистограмму для нахождения частоты; вычислять вероятность совместного наступления двух независимых событий;
освоить решение простых задач на перечисление научиться представлять статистическую информацию в виде несложных таблиц и диаграмм; диаграммы, таблицы, моду, преобразовывать формы представления статистических данных; вычислять моду, среднее арифметическое, медиану статистиче- осознать свойство статистической устойчивости среднего арифметического, линии накопленных частот и гистограм-
среднее арифметическое и размах для получения выводов из имеющихся данных; ских данных, представленных таблицей и диаграммой; анализировать статистические данные с целью получения некоторых практических выводов, выдвигать простейшие гипотезы практического характера; мы;
использовать систематический перебор вариантов при решении комбинаторных задач; конструировать несложные алгоритмы систематического перебора вариантов для решения комбинаторных задач. содержательно оценивать статистическую информацию, выраженную с помощью процентов или долей числа; использовать находить частоты результатов наблюдений, пользоваться таблицами частот; воспринимать частоту как оценку вероятности; находить и сравнивать вероятности в простых случаях. использовать свойства частоты, оценивать вероятность по частоте; находить вероятности в классической схеме, прогнозировать частоту по вероятности; находить некоторые геометрические вероятности; сопоставлять решение вероятностной задачи с реальной ситуацией; использовать правило умножения для нахождения числа возможных вариантов, находить число возможных перестановок. прогнозировать возможные результаты наблюдений по математическому ожиданию, графикам функции и плотности распределения; устанавливать статистическую зависимость двух признаков и оценивать тесноту их взаимосвязи; применять начальные формулы комбинаторики для решения задач.
Данные требования определяют содержательную ориентацию учителя при обучении школьников стохастике.
Реализация принципа преемственности предусматривает:
- определение общих и специфических целей образования на его последовательных ступенях;
- определенный порядок и последовательность в освоении и изложении содержания обучения, построение единой содержательно-методической линии;
- связь и согласованность каждого компонента методической системы образования (целей, задач, содержания, методов, средств, форм организации);
- постепенный переход от более простой ступени обучения к другой, логически связанной с предыдущей, ступени, обеспечивающий эффективное поступательное развитие ребенка, готовящий его к успешному переходу на следующую ступень образования. При этом проблема преемственности рассматривается как условие для предоставления равновероятной возможности ученикам с разным уровнем подготовки к школе выбрать оптимальную траекторию личностного развития.
Эффективность подготовки школьников в области формирования первоначальных стохастических представлений, будет достигнута, если подготовка построена на общих теоретических основаниях как система непрерывного педагогического образования на основе принципа преемственности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятности. - М.: Наука, 1988. - 449 с.
2. Дограшвили, А. Я. Формирование у учащихся умений и навыков решения стохастических и вероятностных задач при обучении математике в восьмилетней школе: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Тбилиси, 1976. - 30 с.
3. Кабехова, Л. М. Методика построения единого курса "Начала стохастики с элементами комбинаторики" для 9 класса средней школы: дис. ... канд. пед. наук. - Л., 1971. - 228 с.
4. Каменкова, Н. Г. Элементы стохастики в начальной школе: Учеб. пособие. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 1999. - 44 с.
5. Москалева, Р. Н. Реализация принципа преемственности в обучении учащихся начальной и основной ступеней школы с углубленным изучением математики Автореф. дис. ... канд. пед. наук - Магнитогорск, 2007. - 24 с.
6. Стойлова, Л. П. Способы решения стохастических задач // Начальная школа. 1994. - №1. - С.84-86.
7. Селютин, В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: Дис. ... д-ра пед. наук. - М., 2002. -344 с.
8. Цулина, И. В. Методические особенности курса «Элементы теории вероятности» для учащихся старших классов, Автореф. дис. ... канд. пед. наук, - М., 2010. - 20 с.
УДК 517.91: 518.1 ББК 22.193
В.Н. Кузнецов., О.Н. Папко
МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
Аннотаця. В статье представлен обзор методов анализа устойчивости систем дифференциальных уравнений. При заданных параметрах выполняется анализ устойчивости системы Лоренца, описывающей динамику небольших городских систем, входящих в состав метрополии.
Ключевые слова: Дифференциальные модели экономики, исследование устойчивости, разностные схемы.
V.N. Kuznetsov., O.N. Papko
METHODS OF ANALYSIS OF ECONOMIC STABILITY DIFFERENTIAL MODELS
Absrtact. The article provides an overview of methods for analyzing the stability of systems of differential equations. Given the parameters are performed stability analysis of the Lorenz system, describing the dynamics of small urban systems are part of the metropolis.
Key words: Differential model of the economy, the study of stability, finite difference schemes.
Анализ устойчивости в смысле Ляпунова дифференциальных моделей требуется проводить в различных разделах науки и техники.
Классические методы во многих случаях сводят анализ устойчивости решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) общего вида к анализу устойчивости линейных систем. Отсюда вытекает важность исследования систем линейных дифференциальных уравнений в целом и компьютерного анализа их устойчивости, в частности. Рассмотрим систему линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов
^ = аг, (1)
где А =
dt
- квадратная матрица постоянных коэффициентов.
Пусть Р (К ) = а 0Кп + а {кп +...+ап - некоторый многочлен, причём а 0, а1,..., ап - действительные числа и а 0 > 0. Образуем матрицу п х п :
а1 а0 0 ... 0
M =
0 0 0 ... ап
По главной диагонали этой матрицы откладываются коэффициенты
ке от этих элементов расположены коэффициенты с убывающими номерами, влево - с возрастающими. При этом полагается аг = 0 , если г < 0 или г > п . Такая матрица М называется матрицей Гурвица. Главные диагональные миноры этой матрицы будут иметь вид
г. Вправо по стро-
a
a
1 n
а
а
n1
nn
a3 a2 a1 ... 0
a5 a4 a3 ... 0
