Обтекание сферы и кругового цилиндра в приближении Озеена Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦЛГИ Том XXXI 2 000

Же 1—2

УДК 532.5.032

ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ И КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ПРИБЛИЖЕНИИ ОЗЕЕНА

А. В. Кашеваров

На основе точных решений уравнений Озеена, предназначенных для описания медленных течений вязкой несжимаемой жидкости при числах Рейнольдса Ле « 1, получены картины обтекания сферы и кругового цилиндра при Яе ~ 1. Проведено сравнение с результатами численных решений полных уравнений Навье — Стокса и экспериментальными данными.

Для решения задач медленного стационарного обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью при числах Рейнольдса Ле « 1 часто используют приближение Озеена [1], [2]. Оно заключается в линеаризации уравнений движения путем приближенного учета в них конвективных членов. Для случаев сферы и кругового цилиндра уравнения Озеена имеют точные аналитические решения, формально существующие при произвольных числах Яе [3]. Хотя не следует ожидать пригодности этих решений при сколько-нибудь больших числах Яе ~ 1, построение на их основе моделей течения все же представляет некоторый интерес [2].

Насколько известно автору, до сих пор не были получены картины обтекания сферы и кругового цилиндра в приближении Озеена на основе точных аналитических формул [3]. Картины течения, представленные в работе [3], неверны [2], так как предсказывают существование вихревой зоны за телом при произвольно малых числах Яе. В [3] расчеты не могли быть сделаны с приемлемой точностью, так как полученные выражения для функций тока весьма сложны, и картины течений могут быть рассчитаны только с помощью современных ЭВМ.

Однако с появлением ЭВМ и быстрым развитием методов вычислительной гидродинамики интерес к точным решениям приближенных линеаризованных уравнений Навье — Стокса неуклонно снижался. Основное внимание стало уделяться приближенным численным решениям полных уравнений Навье — Стокса. Несмотря на то, что задача построения моделей течения в приближении Озеена потеряла свою актуальность, представ-

ляется целесообразным устранить некоторый пробел в теории и получить картины обтекания сферы и кругового цилиндра при Яе ~ 1 в этом упрощенном случае, сравнив их с имеющимися численными решениями полных уравнений Навье — Стокса.

1. Вначале остановимся коротко на результатах работы [3], проверив сделанные в ней выкладки для случая сферы, так как возможны опечатки.

Уравнения Озеена [1], [3] могут быть записаны в векторной форме в виде

Здесь и — возмущение скорости, отнесенное к скорости набегающего потока их, направленной вдоль оси х декартовой системы координат; р —

ае = Яе/2, где число Яе определено по радиусу Я сферы или цилиндра. Уравнения (1.1), (1.2) удовлетворяются при

Здесь / = (1,0,0) — единичный вектор, а функции % и Ф в свою очередь удовлетворяют уравнениям

В сферической системе координат (г, 0, є), введенной так, чтобы ее ось совпадала с осью х декартовой системы координат, уравнение (1.4) имеет решение

Здесь = агг, ц, = соб0, Вт — постоянные интегрирования, Рт(\1) — полиномы Лежандра. Функция Хт(^) выражается через модифицированную функцию Бесселя Кт^у2(0

(1.1)

с1іуи = 0.

(1.2)

-у

возмущение давления, отнесенное К рУд, (р — плотность жидкости),

(1.3)

дх-2ге§ = 0;

(1.4)

Дер = 0.

(1.5)

Вихрь ш равен

со = пЛ и = х і.

(1-6)

00

X = ехр(ц£) ^5отхт(^)^т(ц).

(1.7)

Уравнение (1.5) имеет решение

и=0 Г

(1.8)

где Ап — постоянные интегрирования.

Из (1.3), (1.7), (1.8) после некоторых преобразований можно получить выражение для радиальной составляющей скорости возмущения иг в виде, удобном для определения постоянных Ап, Вт

/1 = 0

т=0

№)■

Здесь

ф-

т

т +

Хот(^) 12/и +1 2т +1 ’

Функции /¡„ „(£) являются коэффициентами в разложении

00

ехр 04)ад)=£/*»(ад00-

(1.9)

я = 0

Используя выражение для произведений полиномов Лежандра [4], можно записать функции /т в виде, отличающемся от [3],

/т,»-(2и + 1)2^ ат+п_] 2т + 2п-2] + \(?т+п-2^

1

N = тт {т,п}, а<

фи(4) = (2я + 1)

(27-1)!? 7! ’

4+1/2(^)-

Здесь /и+1/2(^) — модифицированная функция Бесселя первого рода

полуцелого порядка. Представление для /т п [3] (имеется неточность

в верхнем пределе суммы) получится, если теперь применить известную формулу удвоения для гамма-функции.

Для угловой составляющей скорости возмущения можно записать

ме — бш 0^ я=1

,"+2 2

т = О

Здесь (ср. [3])

/и,я

:-Хи

£/я + 1, п 8т-\,п 8т,п

^ 2т+ 1 £, J

Функции £т „(%) являются коэффициентами в разложении

ехр 04)/”(1;) = ,Д)Р„'(ц).

и = 1

Дифференцируя (1.9) по ц, можно легко получить, что (ср. [3])

/« ,«+1

2и + 3 2и -1

Несмотря на отличающиеся от [3] представления для ^т п и gm n, их

числовые значения совпадают с соответствующими значениями, рассчитанными по формулам [3].

Используя граничные условия на поверхности сферы, можно найти постоянные Вт из решения системы [3]

1^». »(*) = *

т = О

6,

О, » = 2,3,..., Ьт, п (ае) = Фт, и (ае) + (и + О'*'»,, И (эе). Окончательно для безразмерной функции тока имеем

(1.10)

г2-

1

Р0(ц)-Р2(ц)

1V1 „ [ 1 А , ч / ч] ря+т

~2 ф«.«(а»-) ---------------2«~+1-•

ти=0л=1 -<

(1.11)

2. Расчет картины течения по (1.11) представляет собой непростую вычислительную задачу, которую, вероятно, нельзя было успешно решить в начале пятидесятых годов. Так, приведенная в [3] картина обтекания при Яе = 0,5 неверна, так как предсказывает существование вихревой зоны за сферой, между тем, как будет показано ниже, вихрь в приближении Озеена появляется при значительно больших числах Яе.

При современном уровне вычислительной техники и наличии развитого программного обеспечения решение указанной вычислительной задачи не встречает принципиальных затруднений, хотя реализация этой задачи на ЭВМ довольно трудоемка и вычисления приходится проводить с особой тщательностью. Уже при сравнительно небольших числах Re > 3 для получения достоверной в рамках приближения Озеена картины течения за сферой требуется квадратичная REAL * 16 точность, обеспечивающая до 33 верных значащих цифр.

Наибольшую трудность при решении вычислительной задачи представляло бы определение постоянных Вт, если бы в настоящее время не существовало библиотечных программ решения систем линейных алгебраических уравнений. Одна из таких программ была модифицирована для получения квадратичной точности.

Естественно, при решении системы (1.10) число неизвестных Вт было ограничено конечной величиной и равнялось числу уравнений. При Re = 5 учитывалось двенадцать, а при Re = 10 — шестнадцать постоянных Вт. Учет большого количества членов ряда в (1.11) был вызван ухудшением его сходимости с увеличением числа Re. Кроме того, при больших Re матрица системы (1.10) становится плохо обусловленной, что вынуждает проводить вычисления с квадратичной точностью. В процессе вычислений приходится оперировать с близкими по абсолютной величине числами разного знака, что приводит к потере точности. Так, ряд (1.11) знакопеременный в диапазоне углов, соответствующем вихревой зоне, и его члены попарно близки по абсолютной величине. В результате точность расчетов у получается не хуже трех значащих цифр.

На рис. 1, а, б приведены рассчитанные картины обтекания сферы при Re = 5 и 10 соответственно. Незамкнутые линии тока соответствуют ц/ = 0,1; 0,2; 0,4; ...; 1,0. Линия тока, примыкающая сзади к поверхности сферы у = 0, определяет границу вихревой зоны.

Как видно, при Re = 10 у задней поверхности сферы уже имеется развитая вихревая зона, в то время как в реальных условиях вихрь только на-

б)

Рис. 1. Картины обтекания сферы в приближении Озеена для различных чисел Яе: а — Яе = 5; б— Яе = 10

чинает появляться при этом числе Яе [2]. Более того, и при Яе = 5 заметна небольшая вихревая зона позади сферы.

При рассмотрении обтекания сферы и цилиндра обычно интересуются такими параметрами, как протяженность вихревой зоны за телом г1, угловая координата начала отрыва потока 05 (см. рис. 1), а также числом Не*, при котором появляется вихрь в поле течения.

На рис. 2, а сплошными линиями представлены зависимости л)(Яе), полученные на основе точного решения уравнений Озеена, штриховыми нанесены зависимости [5], обобщающие результаты различных работ, в которых численно решались полные уравнения Навье — Стокса, а также экспериментальные данные. Результаты, относящиеся к сфере, обозначены буквой 5, а к цилиндру — буквой с.

Рис. 2. Зависимости параметров вихревой зоны за сферой и круговым цилиндром от числа Яе в приближении Озеена в сравнении с данными экспериментов и численных решений полных уравнений Навье — Стокса :

а — протяженность вихревой зоны п(Ке);б— угловая координата начала отрыва потока 0г(Ке)

Как видно, рост протяженности вихревой зоны с увеличением Яе в приближении Озеена происходит быстрее, чем в действительности. Кроме того, по данным [2], [5] вихрь впервые появляется в поле течения при Яе* «10, а точное решение уравнений Озеена дает значительно меньшее число Яе*.

В качестве критерия появления вихревой зоны в приближении Озеена использовалось полученное из (1.6) выражение

V о [>л(1-т)_ 2т +1

т\ 2 5Сл|(®) 2/и + 33е^'”+1 I'

171 = 0 I -I

Оно определяет знак компонента вихря юЕ на поверхности сферы в окрестности задней критической точки, причем знак изменяется при появлении вихревой зоны. Для правильного определения знака необходима точность расчета, по крайней мере, в одну верную значащую цифру. При числах Ле, близких к Яе„, величина этого выражения мала, что требует учета членов ряда высокого порядка малости.

Найденное таким образом критическое число Рейнольдса составляет Яе* =3,81, что меньше, чем в [2], [5]. Однако в работе [6], где численно решены полные уравнения Навье — Стокса при обтекании сферы, существование вихревой зоны обнаружено уже при Яе = 5. Данные [6] показаны на рис. 2, а крестиками. Кроме того, в [6] приведена ссылка на старую экспериментальную работу Ниси и Портера (1926 г.), в которой Яе, =4. Это, вообще говоря, требует вернуться к рассмотрению задачи обтекания сферы в строгой постановке.

На рис. 2, б приведены зависимости 05(Яе) для угловой координаты начала отрыва потока за телом. Обозначения те же, что и на рис. 2, а. В приближении Озеена вихревая зона оказывается не только длиннее, но и шире, чем в строгой постановке задачи об обтекании сферы.

На рис. 3 приведены зависимости коэффициента сопротивления сферы сх(Яе) в приближении Озеена (сплошная кривая) и рассчитанная по фор-

Рис. 3. Зависимость коэффициента сопротивления сферы сг(Яе) в приближении Озеена в сравнении с экспериментальными данными

муле [7], аппроксимирующей экспериментальные данные (штриховая). Коэффициент сопротивления в приближении Озеена

(2.1)

Определенный по (2.1) коэффициент сх практически совпадает с экспериментальными данными при Яе = 1, но с ростом числа Яе все более отличается от них.

3. В отличие от сферы случай кругового цилиндра, обтекаемого в приближении Озеена, был более изучен. Следует упомянуть работу [8], в которой течение Озеена изучалось на основе выведенного интегрального уравнения во всем диапазоне чисел Яе, вплоть до Яе -» оо. Однако основное внимание в [8] было уделено расчету коэффициента сопротивления, а картины обтекания отсутствуют.

Приведем конечный результат [3] для функции тока

Здесь г, 9 — полярные координаты, а функция Фтп выражается через модифицированные функции Бесселя

Этот результат следует из более ранней работы Факсена (см. ссылку в [3]), в которой получено решение в виде функциональных рядов. Члены одного ряда содержат неизвестные коэффициенты Ап, члены другого — Вт. В [3] удалось с помощью граничных условий выразить А„ через Вт и получить систему уравнений для определения последних. Однако картины течения, рассчитанные в [3], весьма неточны. Опираясь на решение [3], в [9] было найдено, что вихри появляются в поле течения лишь при Яе, =1,51, а не при любых Яе, как утверждалось в [3].

Впервые картины обтекания цилиндра в приближении Озеена были получены в [10], но на основе решения Факсена. Неизвестные коэффициенты Ап, Вт определялись в [10] приближенно из условия минимизации

У= г-

(■

\

т-0 п = \

Ф/и,и І-^да + 1 К-т-\)\1т-п ^т+п/ ^иДЛя-л-1

Постоянные Вт определяются из решения системы

на поверхности цилиндра интеграла |(^оо + и) Л. Высокая степень при-

С

ближения позволила получить в [10] надежные результаты. Так, число Яе, лишь немного, в третьем десятичном знаке, превосходит найденное в [9].

Картины течения около кругового цилиндра, рассчитанные в настоящей работе по точным формулам [3] и аналогичные картинам [10], приведены на рис.4, а и б соответственно для Яе = 5 и 10. Линии тока соответствуют тем же значениям ц/, что и для сферы.

а)

б)

Рис. 4. Картины обтекания кругового цилиндра в приближении Озеена для различных чисел Яе:

а — Яе = 5;б—Яе=10

Расчет картин обтекания цилиндра по формулам [3] более прост, чем для сферы, так как вычисления можно проводить с двойной точностью.

Зависимости характеристик вихря о(Яе) и 0л(Яе) для кругового цилиндра также приведены на рис.2,а и б соответственно.

По сравнению со случаем сферы согласие между параметрами вихря, полученными из точных решений уравнения Озеена, с экспериментальными данными и расчетными значениями из численного решения уравнений Навье — Стокса можно считать хорошим, особенно для угла отрыва 0Л.

Критическое число Яе„, найденное в настоящей работе, подтверждает результаты [9], [10], в реальных же условиях Яе, « 2,5 [2], [5]. Последний результат более надежен, чем для сферы, так как, кроме экспериментальных и расчетных данных, имеются значения Яе», полученные теоретически, например, Яе, = 2,78 [11]. Хотя Ниси и Портер, по утверждению [10], получили Яе, = 1,6.

Зависимость коэффициента сопротивления сх(Яе) для кругового цилиндра, обтекаемого в приближении Озеена, уже приводились ранее [9], [10]. Для этого случая имеется приблизительно такое же превышение над экспериментальными данными, что и для сферы. Так, при Яе = 15 оно составляет « 80%.

Таким образом, приближение Озеена дает качественно верные картины обтекания сферы и кругового цилиндра при Яе > 1. Более хорошие количественные результаты имеются для цилиндра.

1. Лам б Г. Гидродинамика.— М., Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит. —

1947.

2. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Мир,— 1967.

3.Tomotika S., Aoi Т. The steady flow of viscous fluid past a sphere and circular cylinder at small Reynolds numbers// Quart. J. Mech. Appl. Math.— 1950. V. 3, N 2. (Рус. пер.: ТомотикаС., АойТ. Установившееся движение сферы и цилиндра в вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Re.— Механика. 1952, № 2(12).)

4. Г р а д ш т е й н Н. С., Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит.— 1962.

5. PruppacherH. R., Le Clair В. P., HamielecA. Е. Some relations between drag and flow pattern of viscous flow past a sphere and a cylinder at low and intermidiate Reynolds numbers//! Fluid Mech.— 1970. V. 44, N 4.

6. RimonY., С h e n g S. I. Numerical solutions of a uniform flow over a sphere at intermidiate Reynolds numbers//Phys. Fluids.— 1969. V. 12, N 5. Pt. 1.

7. A b r a h a m F. F. Functional dependence of drag coefficients of a sphere on Reynolds number//Phys. Fluids.— 1970. V.13. N 8.

8. Miyagy T. Oseen flow past a circular cylinder//.!. Phys. Soc. Jap.— 1974. V. 37, N6.

9. Y a m a d a H. On the slow motion of viscous liquid past a circular cylin-der//Rep. Res. Inst. Appl. Mech. Kyushu Univ.— 1954. V. 3, N 9.

10. A b a n e S. M. Calculation of Oseen flows past a circular cylinder at low Reynolds numbers// Appl. Sci. Res.— 1978. V. 34, N 4.

11. Ranger К. B. The critical separation Reynolds number for streaming flow past a circular cylinder//Int. J. Multiphase Flow.— 1984. V. 10, N 2.

Рукопись поступила 14/1V1998 г.