CC BY
36
■_____УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXVII 199 6
№1-2
УДК 533.6.011.8
ОБТЕКАНИЕ ДВУХ ПЛОСКИХ ПЛАСТИН ГИПЕРЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
А. И. Ерофеев
Методом Монте-Карло численно решается задача об обтекании двух плоских параллельных пластин гиперзвуковым потоком разреженного одноатомного газа. Проводится сопоставление полей течения и коэффициентов трения с соответствующими характеристиками изолированной пластины. Показано, что сильное влияние на структуру течения и расход газа через канал, образованный пластинами, оказывает температура пластин.
1. Постановка задачи. Метод расчета. Исследование обтекания двух плоских параллельных пластин гиперзвуковым потоком разреженного газа представляет интерес для изучения как интерференции, так и формирования течения в канале [1—3]. В данной работе основное внимание уделяется изучению течения газа во внутренней области между пластинами, и с этой целью численно исследуется зависимость структуры течения, коэффициентов сопротивления и расхода газа через канал от параметра разреженности, температуры поверхностей, числа Маха, относительного расположения пластин. Проводится сопоставление полей течения и коэффициентов трения рассматриваемой конфигурации с соответствующими характеристиками изолированной плоской пластины.
Решение задачи проводилось методом прямого статистического моделирования, подробное описание которого дано в [4]. Здесь отметим только, что в этом методе реальное течение потока разреженного газа моделируется движением ансамбля частиц в некоторой расчетной области. Расчетная область разбивается на ячейки, размер которых должен быть меньше местной длины свободного пробега частиц и может варьироваться в различных зонах течения. В рассматриваемом случае (рис. 1) выделялись три зоны течения: внутренняя — между пластинами (зона 1), внешняя — вблизи входного сечения канала (зона 2), остальная внешняя область (зона 3). В начальный момент времени область течения заполняется частицами, поступательные скорости которых определяются по начальной функции распределения, как
правило, соответствующей невозмущенному состоянию газа в потоке. Затем последовательно на каждом шаге по времени Л проводятся свободное перемещение частиц и столкновение между ними, причем сталкиваться могут лишь частицы, Рис. 1 находящиеся в одной геометри-
ческой ячейке. При движении частиц в расчетной области они могут сталкиваться с твердыми поверхностями, а также вылетать за пределы области. Вылетевшие частицы исключаются из дальнейшего рассмотрения, а на каждом временнбм шаге с границ области проводится вбрасывание частиц в соответствии с граничной функцией распределения. По прошествии некоторого количества шагов в системе устанавливается квазистацио-нарное состояние, с этого момента начинается сбор необходимой информации о полях течения, о потоках импульса и энергии на поверхности и других выходных параметрах.
В данной работе решение проводилось одним из вариантов метода Монте-Карло [5], в котором вероятность столкновения частиц в ячейке за время Ш определяется соотношением
где ст(#) — полное сечение столкновения, g — относительная скорость пары частиц, — объем ячейки. Сечение столкновения определялось по модели сфер переменного диаметра [6], основывающейся на степенном потенциале взаимодействия частиц (г) = л/га. Для этой модели зависимость коэффициента вязкости от температуры описывается соотношением со = 0,5 + 2/а. В дальнейшем будет
принято а =10; при этом значении а зависимость ц. от хорошо аппроксимирует температурную зависимость коэффициента вязкости азота при > 300 К, в интервале температур = 300 - 20000 К погрешность аппроксимации справочных данных [7, 8] не превышает 6%. В качестве параметра разреженности будет использоваться число Рейнольдса Лео = р/ ц(?о), где ил — плотность и скорость газа в невозмущенном потоке, Ь — характерный линейный размер, |х(То) — коэффициент вязкости, определяемый по температуре
торможения То- Соотношения между различными параметрами подобия для модели сфер переменного диаметра имеют вид
где = — скоростное отношение.
Ниже рассматривается обтекание одноатомным газом двух пластин нулевой толщины, температура которых полагается постоянной и равной Tw. Вектор скорости набегающего потока параллелен пластинам. Предполагается полностью диффузное отражение частиц от поверхности с коэффициентом аккомодации равным единице. Длина пластин — L, расстояние между ними — Н, рассматриваются два варианта геометрии: L / Н = 2,83 и 5,0. При числах Re0 < 50 1раница расчетной области по координате Y располагалась на расстоянии YX>0,7L, что позволяло определять потоки энергии и импульса на внешней по отношению к каналу стороне пластин. При больших числах Re0 1раница расчетной области максимально приближалась к пластинам; критерием правильного моделирования условий на входе в канал в этом случае служило отсутствие зависимости коэффициентов расхода и сопротивления от величины Y^.
2. Результаты расчетов. Рассмотрим сначала зависимость от параметров задачи интегральных характеристик течения — коэффициентов сопротивления внутренней СХ1 и внешней СХ2 сторон пластин и коэффициента расхода Kq = Qc / Qf, где Qc — расход газа, прошедший через канал, (2, — расход газа в невозмущенном потоке через площадку с поперечным размером Н. На рис. 2 даны зависимости безразмерных коэффициентов сопротивления пластин = (Reo) = cxi / еж (/ = 1,2; С&о — величина коэффициента сопротивления при свободномолекулярном обтекании) при значениях параметров: Sx = 10, L/H- 5,0, tw =0,1 (кривые 1, 3), tw =1,0 (кривые 2, 4), tyf = Ту> / Т0 — температурный фактор. На рис. 3 представлены результаты расчетов Кд как функции Re0 при Sx = 10,0, L/H = 2,83, (кривая 1 — tw =0,1; 2 — tw =1,0) и L/H = 5,0 (3 — tw =0,1; 4 — tw =1,0). Из приведенных данных следует, что зависимости ^(Reo), iT?(Reo) имеют немонотонный характер.
Представляет интерес сопоставление результатов зависимости cx; (Reo), полученных в данной работе, с результатами расчетов для
10г Re в
0
10г Re о
1
10
1
Рис. 2
Рис. 3
изолированной пластины. В последнем случае, как следует из работ [5, 9], при заданном значении скоростного отношения максимальные значения зависимости сх(11ео) слабо зависят от температуры поверхности, причем при меньших значениях и максимум достигается при меньших значениях Кед. Из рис. 2 видно, что в случае обтекания двух пластин максимальное значение сх2 при ^ = 1,0 почти на 20% больше значения, полученного при =0,1. По-видимому, причиной является более сильное возрастание в этом случае плотности в зоне течения на входе в канал (см. рис. 4). Следует отметить также, что при ^ =0,1 значения сх2 близки к результатам, полученным для изолированной пластины и отмеченным на рис. 2 звездочками (£„ = 9,13, ^ = 0,1 [5]). Что же касается коэффициента сопротивления внутренних сторон пластин, то можно отметить, что интерференция привела к существенному его возрастанию (примерно в два раза при числах Лео < 10) по сравнению со случаем изолированной пластины.
Обратимся теперь к анализу зависимости от параметров задачи коэффициента расхода Кд. Известно [10],что в свободномолекулярном пределе при диффузном отражении значений Кд не зависит от температуры стенок канала, а определяется его геометрической формой. На рис. 3 свободномолекулярное значение Кд отмечено
отрезками прямых слева. Столкновения между молекулами газа внутри канала при больших числах Кп приводят к увеличению потока газа на стенке, а следовательно, и к увеличению обратного потока частиц через входное сечение канала по сравнению со свободномолекулярным
случаем. Этот эффект при малой частоте столкновений качественно одинаков для каналов с «горячими» и «холодными» стенками, поэтому и в том и в другом случае следует ожидать уменьшения расхода газа через канал при увеличении числа Кео-
Для дальнейшего качественного анализа зависимости К9(Иео) необходимо привлечение данных о полях течения. Рассмотрим сначала случай ^ = 1,0. На рис. 4 приведены зависимости среднего по сечению канала значения плотности газа от длины и»(х) для разных чисел Яе0
(Х/Я = 5,0, = 10,0). Построение
зависимости л*(х) в случае <^=1,0 оказывается возможным из-за не очень существенного изменения
Рис. 4
плотности поперек канала почти на всей его длине. Так, при Re<) = 200 лишь в выходном сечении x/L = 1 плотность газа на плоскости симметрии и у стенки различается примерно в 1,8 раза, а в других сечениях (x/L = 0; 0,25; 0,5; 0,75 ) изменение плотности поперек сечения не превышает 20%. В нижней части рис. 4 представлено также изменение плотности и(х) на линии симметрии (Г = 0) в зоне течения перед каналом. В верхней части рис. 4 кривая 1 соответствует расчету при Rc0= 0; 2 — 2,8; 3—28; 4 — 97; в нижней части: 1 — Reo= 28; 2 — 48,5; 3 — 97; 4 — 200. Из рис. 4 следует, что с увеличением числа Re0 максимальное значение и* смещается к входному сечению канала, достигая при Re0 = 100 величины, соответствующей плотности газа за прямым скачком уплотнения. По-видимому, формирование «пробки» плотного газа вблизи входного сечения и определяет уменьшение потока на входе в канал и, соответственно, уменьшение расхода газа через канал. После образования скачка уплотнения перед входным сечением можно считать, что течение газа в канале определяется соотношением разности сил давления на входе и выходе из канала и силой трения, обусловленной внутренними поверхностями пластин. Для отношения ЭТИХ СИЛ Cpf, полагая, что условие на выходе канала соответствует условию истечения газа в вакуум, можно записать следующее соотношение:
ApH Н
Cpf~ Fx *Lcxl-
Из этого соотношения и зависимости сх1 от Reo (см. рис. 2) видно, что с увеличением числа Re0 сру увеличивается, это и приводит к возрастанию расхода газа через канал. Из других особенностей течения газа в канале при = 1 отметим, что средняя скорость потока
внутри канала для Re0 > 0 меньше местной скорости звука а = ■yjyRT . В выходном сечении, в котором вычислялась только компонента скорости х, число Мх =UX / а при наибольших числах Reg оказалось близким к единице: Мх— 0,98 (Re0 = 100), 1,06 (Reo = 200), а в других случаях — меньше единицы.
Обратимся теперь к анализу течения газа в канале с «холодными» стенками. На рис. 5 приведены результаты расчета полей плотности в пята сечениях канала: x/L = 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1,0 при значениях параметров L/H = 5, Sn = 20, tw = 0,1 и числах Re0= 7(a), 28(6), 210(e). Масштаб изменения п/п„ указан сверху для каждого значения Rc0. Из сравнения рис. 4 и 5 следует, что характеры изменения полей плотности в каналах с «холодными» и «горячими» стенками качественно различаются. В случае = 0,1 при малых числах Reg (рис. 5 а), когда интерференция захватывает все пространство канала, максимум плотности смещен вниз по течению в противоположность случаю
а ю о ю о ю о ю о 5п/п.
і і і і_________і_і і____і_і і_і_і і—і—і
а)-
а 10 о , ю о 10 а . т о ід
■ і ■ і__1__і 1__1______________і і___і_______г I_________I_і
б)
( / Ґ (
^ ... ... к 1
0 2 0 2 0,2 0 2 0 2 і_і_I ■ і ■ і і_і і і_і. і_і_і
6)
0,25 0,50 0,75 1,0 х/Ь
Рис. 5
іу, -1,0. Отметим, что при обтекании канала с «холодными» стенками уже при Нео = 7 условия на входе практически не отличаются от условий в невозмущенном потоке, при этом Кд = 1. С увеличением числа Лео происходит постепенный переход от течения, в котором интерференция охватывает всю область канала, к такому режиму обтекания, когда на значительной части канала со стороны входа интерференция отсутствует (рис. 5, в) . Действительно, проведенные в данной работе расчеты обтекания изолированной пластины под нулевым углом атаки при ^ = 20, ^ = 0,1, 11е0 = 93 показали, что угол наклона скачка уплотнения, идущего от передней кромки, составляет величину Ь = 15° {\%Ь = 0,25). Близкие к этому результаты получены в работах [2, 11]. Для канала с Ь/Н = 5 это означает, что пересечение линий максимальной плотности в скачках, идущих от передних кромок пластин, будет происходить на расстоянии х/Ь =0,38, что согласуется с данными рис. 5 в: при х/Ь < 0,25 поле плотности в канале еще соответствует полю плотности для случая обтекания изолированной пластины, а при х/Ь = 0,5 имеет место развитое взаимодействие скачков.
Эти эффекты можно проследить и при анализе распределения потоков импульса и энергии вдоль поверхности канала. На рис. 6 приведены результаты расчетов локального коэффициента трения Су
на внутренней стороне канала с Ь/Н = 5 при = 20, ^ = 0,1 и 1Ц)= 56 (точки 1), 105 (2), 210 (3). Здесь же приведены результаты расчета су на внешней поверхности при 11е0 = 56 (4) и на поверхности изолированной пластины при Лео = 93 (5). Отметим, что две последние кривые ложаться на одну линию, что характерно для обтекания пластины под нулевым углом атаки. Действительно, в этом случае
(см., например, [11]) результаты расчетов коэффициента трения, полученные для пластин различной длины, т. е. при разных числах Re0, практически лежат на одной кривой. Из рис. 6 видно, что для Re0 = 210 при x/L = 0,5 происходит резкое возрастание коэффициента трения (также возрастают давление и поток тепла), что может быть связано с «падением» на поверхность возмущенной зоны, возникшей при взаимодействии скачков, идущих от передних кромок пластин, образующих канал. Таким образом, при обтекании «холодного» канала в диапазоне чисел Re0 < 200 можно проследить картину перехода от интерференции пластин в режиме обтекания, близком к свободномолекулярному, до режима обтекания с зарождением взаимодействия скачков уплотнения.
Автор выражает благодарность В. С. Галкину за обсуждение результатов работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wilmoth R.G. Interference effects on the hypersonic, rarefied flow about a flat plate // Proc. 16th Intern. Symp. Rarefied Gas Dynamics: Pasadena. —
1988.
2. Yasuhara М., Nakamura Y., Tanaka J. Monte-Carlo simulation of flow into channel with sharp leading edge // Proc. 16th Intern. Symp. Rarefied Gas Dynamics: Pasadena. — 1988.
3. Wilmoth .R.G. Adaptive domain decomposition for Monte-Carlo simulations on parallel processors // Proc. 17th Intern. Symp. Rarefied Gas Dynamics: Aachen. — 1990.
4. Б e p д Г. Молекулярная газовая динамика. — М.: Мир. — 1981.
5. Белоцерковский О. М., Ерофеев А. И., Яниц-кий В. Е. О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1980. Т.20, N5.
6. Ерофеев А.И. О моделировании межмалекулярного взаимодействия при решении уравнения Больцмана методом Монте-Карло //
Изв. АН СССР, МЖГ. - 1977, N6.
7. Теплофизические свойства технически важных газов при высоких температурах и давлениях. Справочник. — М.: Энергоатомиздат, 1989.
8. Гордеев О. А., Калинин А. П., Коков А. Л. Потенциалы взаимодействия, упругие сечения, интегралы столкновений компонентов воздуха для температур до 20 000К (Методы определения, рекомендуемые данные). Обзоры по теплофизическим свойствам веществ №5(55). — М.: ИВТ АН СССР. — 1985.
9. Гусев В. Н., Ерофеев А. И., Климова Т. В. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания теп простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа // Труды ЦАГИ. — 1977. Вып. 1855.
10. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. — М.: Наука. —
1967.
11. Власов В, И., Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины потоком разреженного газа // Труды ЦАГИ. — 1979. Вып. 1974.
Рукопись поступила 30/11995 г.
