CC BY
119
УДК 624.012:624.046
А. Н. Бамбура, Е. В. Дорогова
ОБЩИЙ МЕТОД ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ ПО ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ
UDC 624.012:624.046
A. N. Bambura, E. V. Dorogova
GENERAL METHOD OF EVALUATING STRESS-STRAIN STATE AND BEARING CAPACITY OF PRE-STRESSED REINFORCED CONCRETE ELEMENTS WITH CIRCULAR SECTION BY USING THE DEFORMATION MODEL
Аннотация
Изложены основные предпосылки и допущения деформационной модели железобетона, на базе которых предложен инженерный метод расчета напряженно-деформированного состояния и несущей способности элементов круглого сечения. Приведены результаты оценки точности и надежности разработанного расчетного аппарата для оценки напряженно-деформированного состояния и несущей способности обычных и предварительно-напряженных железобетонных элементов круглого и кольцевого сечений при произвольном армировании.
Ключевые слова:
несущая способность, напряженно-деформированное состояние, круглое и кольцевое сечения, уравнения равновесия, погрешность решения.
Abstract
The basic premises and assumptions for the deformation model of reinforced concrete are stated in the paper. The engineering method for computing stress-strain state and bearing capacity of elements with round section is proposed on the basis of these premises and assumptions. The paper presents the results of the assessment of accuracy and reliability of the developed computational tools for evaluating stress-strain state and bearing capacity of typical and prestressed reinforced concrete elements of annular and circular sections with random reinforcement.
Key words:
bearing capacity, stress-strain state, annular and circular section, equilibrium equations, solution error.
В ГП НИИСК за последние 30 лет выполнен широкий комплекс экспериментально-теоретических исследований, которые послужили основой прикладной деформационной теории железобетона [1-3]. В рамках этой теории
©Бамбура А. Н., Дорогова Е. В., 2014
разработаны расчетные зависимости и алгоритм оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) железобетонных элементов прямоугольного, таврового, двутаврового и круглого сечений на базе реальных диаграмм
деформирования бетона и арматуры (вышесказанное отображено в новых национальных нормативных документах Украины: ДБН В.6.2-98:2009 и ДСТУ БВ.2.6-156:2010 [4, 5]).
В последние годы в ГП НИИСК, согласно Постановлению Кабинета Министров Украины от 23 мая 2011 г. № 547 «Про утверждение Порядка применения строительных норм, разработанных на основе национальных технологических традиций, и строительных норм, гармонизированных с нормативными документами Европейского Союза» и распоряжению Кабинета Министров Украины от 10 июля 2010 г. № 1436 «Об утверждении Концепции реализации государственной политики по нормативному обеспечению строительства в Украине на период до 2015 г.», разработан ДСТУ-НБ БК 1992-1-1:2010. Данный нормативный документ фактически является переводом с английского языка на украинский Еврокода-2 (БК 1992-1-1:2004). В прошлом году разработано Национальное приложение к указанному ДСТУ, которое вступит в силу с 01.07.14 г. Таким образом, будет открыта возможность проектирования железобетонных конструкций по Европейским нормативным документам. В то же время в Еврокоде-2 и, соответственно, в ДСТУ-НБ БК 1992-1-1:2010 не приведены рекуррентные зависимости для расчета железобетонных конструкций различных сечений, в том числе круглых.
Целью работы является разработка расчетных зависимостей и алгоритма по определению напряженно-деформированного состояния и несущей способности внецентренно сжатых и изгибаемых железобетонных элементов круглого сечения на основе предпосылок деформационной модели железобетона [2] и зависимости (3.14) Еврокода-2.
Расчетный аппарат по определению напряженно-деформированного состояния и несущей способности предварительно напряженных железобетон-
ных элементов круглого сечения разработан на основе следующих гипотез и допущений деформационной модели железобетона:
- за расчетное принимается усредненное сечение, которое отвечает средним деформациям бетона и арматуры по длине блока между трещинами (если такие есть);
- для расчетного сечения считается справедливой гипотеза плоских сечений;
- деформации обычной или прирост деформаций в предварительно-напряженной арматуре одинаковые с окружающим бетоном как при растяжении, так и при сжатии;
- связь между напряжениями и деформациями сжатого бетона принимается в виде диаграмм, приведенных на рис. 1;
- работа растянутого бетона не учитывается;
- связь между напряжениями и де формациями арматуры принимается в виде диаграмм, приведенных на рис. 2 и 3. При этом:
а) для обоих видов (обычной и предварительно-напряженной) арматуры при 8s > eud напряжения os = 0;
б) при определении напряжений в предварительно-напряженной арматуре учитываются начальные деформации этой арматуры 8s0.
За критерий исчерпания несущей способности расчетного сечения принимается:
- достижение фибровыми деформациями сжатого бетона предельных значений 8cui (см. рис. 1) или обрыв всех растянутых стержней арматуры (достижение предельных значений деформаций растяжения арматуры 8ud);
- исчерпание несущей способности расчетного сечения в результате потери устойчивости деформирования, потеря равновесия между внутренними и внешними усилиями (достижение максимума на диаграмме «момент -кривизна (прогиб)» или «сжимающая сила - деформации»).
Ос
£с! еси1 е,
Рис. 1. Диаграмма «напряжение - деформации» сжатого бетона \\ст5
£$0 £и<1ис1
Рис. 2. Диаграмма состояния арматуры, имеющей физическую площадку текучести
Рис. 3. Диаграмма состояния высокопрочной арматуры: А - идеализированной; В - расчетной Строительство. Архитектура
При этом принято следующее правило знаков: для сжатого бетона и арматуры знак положительный, при растяжении - отрицательный.
В рамках статьи приведен расчетный аппарат, основанный на полной диаграмме деформирования бетона (см. рис. 1), которая описывается уравнением
а с = /с
кц - П
1 + (к — 2)п
(1)
где п = £с / Ъи £с1 - деформации при максимальных напряжениях (согласно [6, табл. 3.1]); к = 1,05£Ст • |^с11 / /ст (/Ст
согласно [6, табл. 3.1]).
Предлагается инженерная методика оценки напряженно-деформированного состояния железобетонных элементов круглого сечения, в которой используется численное интегрирование системы уравнений равновесия. При этом возможна реализация двух форм равновесия (рис. 4).
Разобьем сжатую зону железобетонного элемента круглого сечения на т слоев (см. рис. 4), перпендикулярных оси действия момента.
а)
б)
в)
Рис. 4. К определению напряженно-деформированного состояния расчетного сечения: а - поперечное
сечение элемента; б - НДС при первой форме равновесия (все сечение сжато); в - НДС для второй формы равновесия (часть сечения сжата)
Для сечения с диаметром г1 при второй форме равновесия (см. рис. 4, в) и высоте сжатой зоны х1 расстояние от наиболее сжатой точки сечения до середины произвольного слоя 7сп определяется по следующей зависимости:
г<т = *1((п - 1) + 0,5)/т, (2)
где т - количество слоев разбивки; п - порядковый номер рассматривае-
мого слоя.
Высота слоя разделения
и = X
СП ■
т
(3)
Ширина любого слоя разделения в пределах сечения (при 0 < гсп < 2г1)
Ьсп =
7 — 7 сп сп •
(4)
Таким образом, площадь каждого слоя может быть определена по зависимости
2 X,
Асп = '
m
(5)
Напряжения в арматуре, диаграмма деформирования которой представлена на рис. 2, в зависимости от достигнутых деформаций £ можно найти по следующим формулам: - при 0 < £?<
- при < £* < £иё
= /уё .
(6)
(7)
При использовании для армирования железобетонных конструкций высокопрочной арматуры без предварительного натяжения, диаграмма деформирования которой представлена на рис. 3, в зависимости от достигнутых деформаций £ напряжения определяются по формулам:
- при 0 < ^ < ^0 = /уё / Ее
£Я ' ЕУ;
- при < £ < £иё 0 = /уё
(/ ^ 1ук
У
- / ё
8 Уё
0
5иё 0
(8)
. (9)
Напряжения в предварительно-напряженной арматуре, диаграмма деформирования которой представлена на рис. 3, в зависимости от достигнутых деформаций £8 £ = £я0 + Де8) можно найти по следующим формулам: - при 0 < < £Р0 = /рё / Ер
£Я ' ЕР ;
- при £р0 < £я < £иё
О = /рё +
( / ^ /рк
У*
- /
рё
5р0
5иё 5р0
(10)
(11)
где - деформации от предварительного натяжения арматуры; Д£8 - приращение деформаций, вызванное прило-
жением нагрузки к конструкции.
При этом предполагается, что при создании предварительного напряжения в арматуре деформации не будут превышать £р0.
Согласно гипотезе плоских сечений деформации произвольного стержня или слоя армирования будут равны
£81 = X (Х1 -
где X - кривизна в сечении; х1 - высота сжатой зоны; - расстояние от наиболее сжатой грани сечения до рассматриваемого стержня или слоя армирования.
Используя гипотезу плоских сечений и зависимость (1), нетрудно определить напряжение в середине каждого слоя:
0 сп /с
кПсП - П2сп 1 + (к - 2)Псп '
(12)
где Псп =
;с1
•; £Сп - деформации сере-
дины слоя бетона, £сп = X (х1 - гсп).
Учитывая сказанное, уравнения для второй формы равновесия (см. рис. 4), без учета работы бетона на растяжение, принимают вид:
х—^ т 20 X, Г~
У —^л/2
т
- г +
сп сп
+ У п=1оЛ1 - N = 0;
(13)
т
п=1
2о х. (х. - г
сп 1 \ 1 с,
т
2пх - +
сп сп
+
Уп=0А(X! - -М = 0. (14)
Поскольку при первой форме равновесия все сечение является сжатым, то на т слоев разделяется все сечение. В результате величины 2сп и ксп будут определяться по следующим зависимостям:
А = 2, 2 = Щ»-1) + 0.5] (15)
псп ~ 1 сп • \ /
т т
5
сп
С использованием зависимостей (12) и (15) уравнения для первой формы равновесия, без учета работы бетона на растяжение, принимают вид:
уг-^т 4а х г 2"
/ —1 V 1 сп сп
п1 т
+ >п=*аЛ = N; (16)
/ - п=1 V 1 сп сп
п1 т + > "^ЛА. х — *„) — М = 0. (17)
При изгибе N = 0, а при внецен-тренном сжатии М = Щх1 - г1 + е), где г1 - радиус круга; е - эксцентриситет приложения внешней силы относительно центра тяжести сечения.
Решение полученных систем нелинейных уравнений, согласно деформационной методике, находится подбором по параметрам деформированного состояния: ес(1) и X (или ес(2)). После этого нетрудно найти деформации на любом расстоянии х от нейтральной оси, а значит, с помощью гипотезы плоских сечений найти напряжения в бетоне и арматуре. Таким образом, решение систем уравнений (13)...(14) и (16)...(17) позволяет выполнить оценку напряженно-деформированного состояния сечения при любой нагрузке.
Приведенные системы нелинейных уравнений для первой и второй форм равновесия и методика расчета дают возможность не только выполнить оценку напряженно-деформированного состояния изгибаемых и внецентренно сжатых железобетонных обычных и предварительно-напряженных элементов круглого сечения, но и, используя критерии исчерпания несущей способности, определить их несущую способность.
Аналогично выполняется оценка
напряженно-деформированного состояния изгибаемых и внецентренно сжатых, обычных и предварительно-напряженных железобетонных элементов кольцевого сечения.
Оценку точности (достоверности) разработанного аппарата для расчета по первой группе предельных состояний железобетонных элементов круглого и кольцевого сечений [3, 9-11] произведем на основе сопоставления несущей способности опытных образцов с элементами, подсчитанными по формулам расчетного аппарата с дальнейшим анализом полученных данных методом математической статистики. Как правило, такое сопоставление выполняется для каждого опытного образца отдельно, а о достоверности методики расчета судят по величинам статистического среднего X, среднеквадратического отклонения о, коэффициенту вариации Су. Для указанного сопоставления были применены результаты экспериментальных исследований, в которых имеются все необходимые для этого данные.
Учитывая сказанное, для оценки точности расчетного аппарата использованы экспериментальные данные, полученные при участии автора публикации, данные заводских испытаний, проведенных в ЭКБ НИИСК, и данные [7, 8]. В отобранных для сопоставления экспериментальных образцах при испытании варьировались в достаточно широком диапазоне следующие факторы:
- прочность бетона от 14,4 до 80,4 МПа;
- прочность арматуры и прокатных труб с прочностью металла от 240.290 МПа до высокопрочной проволоки Вр - 1400 МПа;
- изгиб и внецентренное сжатие при эксцентриситете приложения нагрузки от центрального сжатия до двух внешних радиусов;
- форма сечения - круг и кольцо с разной относительной толщиной стенки;
- технология изготовления образцов - вибрирование, центрифугирование и натяжение арматуры на свеже-уложенный бетон;
- армирование без предварительного и с предварительным напряжением, смешанное армирование и трубобетон;
- процент армирования от 1,5 до 17,5 %.
Таким образом, можно утверждать, что для анализа принята достаточно представительная выборка. Всего было рассмотрено 34 элемента.
Известно, что, с точки зрения статистики, такое количество вполне достаточно для того, чтобы сделать обос-
Анализ данных, приведенных в табл. 1, показывает, что расчетный аппарат достаточно хорошо отражает процесс, который моделируется. Так, математическое среднее отношение составляет 1,01 при коэффициенте вариации
Оценку надежности разработанной методики расчета выполняем на основе
нованные выводы, поскольку при выборке случайных величин, превышающей 30 элементов, значения параметров нормального распределения случайной величины будут приближаться к значениям параметров генеральной выборки. Результаты статистической обработки
величины отношения N(М)са1 (1) приве-
N (М )ех
дены в табл. 1. Как видно из таблицы, среднее значение указанного отношения близко к 1, а коэффициент вариации составляет 11,9 %.
всего 11,9 %. Кроме того, расчетный аппарат обеспечивает и достаточно высокую точность определения несущей способности - вероятность ошибки, которая превышает 15 %, составляет всего около 20 % случаев (табл. 2).
статистической обработки отношения подсчитанной несущей способности
Табл. 1. Результаты статистического анализа
Показатель N (М )аат N (М )ех N (М Ь(2) N (М )ех
Среднеарифметическое значение отношений 1,009 0,66
Среднеквадратическое отклонение 0,119 0,0652
Коэффициент вариации, % 11,9 9,9
Примечание — Ы(М)ех - опытная несущая способность испытанных образцов при внецентренном сжатии или изгибе; N(M)ca¡(1) - расчетная несущая способность испытанных образцов при среднеопытных значениях характеристик материалов; NMЛa/(2) - расчетная несущая способность испытанных образцов при расчетных значениях характеристик материалов
Табл. 2. Обеспеченность точности расчетного аппарата
Показатель Обеспеченность точности при величине погрешности
Погрешность, % ± 5 ± 10 ± 15 ± 20
Точность, % 33 60 79,0 91,0
элементов к соответствующим экспериментальным данным N(М)са1 (2) . При
N (М )ех
этом достаточным считается, если подсчитанная таким образом несущая способность будет отличаться в меньшую сторону от экспериментальной на 3о.
Результаты статистической обработки величины отношения N(М)сд1 (2)
N (М )ех
приведены в табл. 1, из которой видно, что среднее значение указанного отношения составляет 0,66, а коэффициент вариации - 9,9 %.
При этом надежность определяем на основании количества стандартов между средними значениями отношений N(МЬ (1) и N(МЬст . Используя
ЖМ)ех ()ех
данные табл. 1, имеем
п 1,01 — 0,66
п =-= 3,53 .
' 0,099
Соответственно, надежность расчетного аппарата составляет около 0,99979, что превышает необходимую величину 0,99865.
Таким образом, можно сделать вывод, что разработанный расчетный аппарат по оценке несущей способности железобетонных элементов кругового и кольцевого сечений достаточно хорошо отражает моделируемый процесс и обеспечивает необходимую надежность таких конструкций.
Сопоставление результатов определения несущей способности железобетонных элементов круглого сечения по «точной» и по «упрощенной» методикам (см. уравнения (13) и (14), (16) и (17)) показало, что максимальная погрешность в расчетах, если разделение сжатой зоны принять т = 40 слоев, не превышает 1 %, что, с точки зрения практики, вполне удовлетворительно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Методические рекомендации по уточненному расчету железобетонных элементов с учетом полной диаграммы сжатия бетона / А. Бамбура [и др.]. - Киев : НИИСК, 1987. - 25 с.
2. Бамбура, А. К построению деформационной теории железобетона стержневых систем на экспериментальной основе / А. Бамбура, А. Гурковский // Строительные конструкции : межведомств. науч.-техн. сб. - Киев : НИИСК, 2003. - № 59. - С. 121-130.
3. Деформационная модель и алгоритм определения напряженно-деформированного состояния расчетного сечения железобетонных элементов / А. Бамбура [и др.] // Строительство, материаловедение, машиностроение : сб. науч. тр. - Днепропетровск : ПГАСА, 2009. - Вып. 50. - С. 19-25.
4. ДБН В.6.2 -98 : 2009. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. - Киев, 2009.
5. ДСТУ Б В.2.6 -156 : 2010. Бетонные и железобетонные конструкции из тяжелого бетона. Правила проектирования. - Киев, 2010.
6. ДСТУ-Н Б EN 1992-1-1:2010. - Киев, 2010.
7. Чеканович, М. Г. Несущая способность железобетонных элементов, обжатых путем натяжения арматуры на свежеуложенную смесь : автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Киев, 1993. - 18 с.
8. Ефименко, В. И. Несущие конструкции из стальных труб, заполненных центрифугированным бетоном : дис. ... д-ра техн. наук / В. И. Ефименко. - Кривой Рог, 2006. - 171 с.
9. Дорогова, Е. В. Оценка несущей способности предварительно-напряженных железобетонных элементов круглого сечения по деформационной модели / Е. В. Дорогова // Строительные конструкции : межведомств. науч.-техн. сб. - Киев : ГП НИИСК, 2010. - Вып. 73. - С. 774-780.
10. Бамбура, А. Н. Несущая способность железобетонных элементов кольцевого сечения по деформационной модели / А. Н. Бамбура, Е. В. Дорогова // Строительные конструкции : межведомств. на-уч.-техн. сб. - Киев : ГП НИИСК, 2011. - Вып. 74. - С. 180-188.
11. Бамбура, А. Н. Несущая способность железобетонных элементов кольцевого сечения по упрощенным диаграммам деформации бетона и арматуры / А. Н. Бамбура, Е. В. Дорогова // Строительные конструкции : межведомств. науч.-техн. сб. - Киев : ГП НИИСК, 2012. - Вып. 76. - С. 382-391.
Статья сдана в редакцию 24 июня 2014 года
Андрей Николаевич Бамбура, д-р техн. наук, заведующий отделом, Государственный научно-исследовательский институт строительных конструкций. E-mail: [email protected]. Елена Викторовна Дорогова, научный сотрудник, Государственный научно-исследовательский институт строительных конструкций. E-mail: [email protected].
Andrei Nikolayevich Bambura, DSc (Engineering), Department Head, State Research Institute of Steel Structures. E-mail: [email protected].
Elena Viktorovna Dorogova, research fellow, State Research Institute of Steel Structures. E-mail: [email protected].
