Общие приближенные решения основных задач пространственной нелинейной теории упругости в аналитических многомерных функциях матричной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ

УДК 539.3

ОБЩИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В АНАЛИТИЧЕСКИХ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЯХ МАТРИЧНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Канд. физ.-мат. наук, доц. НИФАГИНВ. А., асп. СЕВРУКА. Б.

Белорусский национальный технический университет

Широко применяемая методика решения плоских задач линейной теории упругости, базирующаяся на физически ясно интерпретируемых представлениях компонент вектора перемещений и тензора напряжений через аналитические функции комплексной переменной и их производные [1-3], позволяет построить эффективный математический аппарат для нахождения замкнутых решений основных краевых задач, включая смешанные задачи. Дальнейшее развитие этот аппарат получил в теории интегралов типа Коши и сингулярных интегральных уравнений, которые использовались для решения многих важных в теоретическом и прикладном аспектах задач [4, 5]. Сочетание этих подходов с различными вариантами метода возмущений [6, 7] дало возможность распространить указанную методологию на краевые задачи механики упругих сред с нелинейными законами деформирования, а также упругопластические задачи.

В то же время попытки найти аналитические решения (точные и приближенные) пространственных задач теории упругости [8-10] не получили дальнейшего развития, что, на наш взгляд, объясняется недостаточной проработанностью методов теории функций многих комплексных переменных для решения конкретных задач. В [11, 12] построен компактизи-рующий изоморфизм между евклидовым пространством Е3 и комплексным пространством С , введена новая структура матричной комплексной переменной Гамильтона - Кели, пространственные аналитические функции этой

переменной (так называемые многомерные комплексные потенциалы), а также дифференциальные операторы в С . В данной работе получены общие решения основных трехмерных задач физически нелинейной теории упругости в представлениях матричных комплексных потенциалов матричной переменной, которые используются для формулировки краевых задач в перемещениях и напряжениях.

Рассмотрим элемент пространства С2 в виде комплексной матрицы

A = I

,=1

a e = d (2) p p

D к2'( a, )"

a1 + ia2

a3 + ia4

\

y-a3 + ia4 a1 - ia2

. (1)

Сопряжение введем по формуле

A = 'I a , = D к ( a , ) = D (к2) (a1, -a2, -a3, -a4 ), (2)

,=1

где a, - скаляры пространства En (n = 2,3, 4) ; e- матрицы Гамильтона - Кели; e' - комплексно-сопряженные матрицы. Таким же образом получим к = D к2)(x ,) - независимую матричную переменную Гамильтона; Дк) = = D к2)( fq (x, )), ,, q = 1, n - матричную функ-

д ( л А цию переменной Гамильтона; n— = D^

дк

,дх

\ Р J

оператор матричной производной и комплексные матричные образы дифференциальных

операторов; V = В (к2)

дх

V р /

матричныи ком-

д2

плексныИ оператор Г амильтона; Акк = _

дк дк

матричныИ комплексный оператор Лапласа;

д 4

А кк =

„ —г - матричный комплексный би-

дк2 дк2

гармонический оператор; div () =

3 ( д д ^

3 —(•) + (•)—

дк дк

матричный комплексный оператор дивергенции.

Отметим, что в силу некоммутативности операции матричного умножения для функций и операторов из (1) следует, что АВ = В А . Всего можно сформировать восемь различных произведений, однако их количество сокращается за счет операции сопряжения (2). В силу указанного различаются дифференцированные слева и справа:

—/(к) =

дк v ’

(

д (к)

дк

Л-

В то же время далее за основу примем левые производные

—/(к); — / (к); —/(к); —/(к), дк ' ’ дк ’ дк ^ ’ дк ’

учитывая, что — Т (к) = /" (к)—.

дк '“'дк

Кроме того, структура матричной переменной, функции и оператора в С выбирается так, что круговым перестановкам индексов координат — х — х2 — х3 — х4 — в Е4 соответствуют круговые перестановки элементов — к! —

в C2, где кр = В к2)(хр, хр

——к

к

к

р+1 ’

Хр+ 2, Хр+3

), р, р + т = 1,4. Отсюда вытекает,

что круговым перестановкам при вырождении

к,

= В к2)( ^ Х2 , Х3,С)

— к — к2 — к3 — к4 —

/^2

в С соответствуют круговые перестановки координат — х1 — х2 — х3 — 0 — в пространстве Е3. Для того чтобы упорядочить последовательности аргументов и функций, примем обозначения

Л (кр ) = О К2) (/р (кр ), /р+1 (кр ),

Л+2 (кр ), /р+3 (кр )) . (3)

Транслируя известные условия сопряжения гармонических функций - условия Моисила -Теодореску [13] из областей действительного пространства Е3 в С2, получим условие

—/(к) = 0. дк

(4)

которое принимается за условие аналитичности функции /(к) в О с С2. Тогда аналитическую в области О функцию будем называть многомерным С2-потенциалом. Для получения общих решений основных пространственных задач физически нелинейной теории упругости обобщим эти уравнения на случай Е4 . В векторной записи с учетом расслоения базиса е±, р = 1,4 для смещений (/ = 1,4) уравнения Навье запишутся в тензорной форме

1

г,]] 1 - 2у

Тензор деформаций

в, і = 0, і, і = 1,4.

(5)

ві =

І, І = 1,4. (6)

Уравнения совместности деформаций Сен-Венана

ЛА (в, ) = 0, /, , = 14, (7)

где Л11 (в,) - первый инвариант тензора деформаций.

Аналогично можно записать пару систем уравнений в напряжениях - уравнения равновесия Коши и совместности Бельтрами. Связь между основными уравнениями задач теории упругости осуществляется с помощью закона Гука. Следуя гипотезе о существовании упругого потенциала [14], примем закон связи между напряжениями и деформациями:

(8)

где в, - тензор деформаций; с - шаровой тензор; Sii - девиатор напряжений; к (с0) - функция среднего напряжения с0; g (Т02) - функция

интенсивности касательных напряжений Т0, характеризующая отклонение от закона Гука; К, О - модуль объемного сжатия и модуль сдвига.

Таким образом, оставаясь в рамках малых деформаций (6), для ряда материалов наблюдается нелинейный характер диаграммы зависимости между деформациями и напряжениями (8), так называемая физическая нелинейность. При этом для большинства сред соблюдается пропорциональность между средним напряжением с0 и средним удлинением в0. Поэтому функцию среднего напряжения можно положить к (с0) = 1. Разлагая функцию интенсивности касательных напряжений в ряд по четным степеням Т0 и ограничиваясь для определенности первыми двумя членами ряда, получим квадратичный закон упругости (8) при

г(?02 ) = 1 + Я 2 То2.

(9)

Здесь постоянная g2, характеризующая физическую нелинейность материала, определяется экспериментально. Решение пространственной статической задачи физически нелинейной теории упругости заключается в совместном интегрировании уравнений равновесия (5) и совместности деформаций (7) при соответствующем законе упругости (8).

Применим к соотношениям (5)-(9) приближенный аналитический метод решения, который, следуя [6], назовем методом разложения по параметру нагружения.

Введем малый безразмерный параметр

Ч Я 1

л = — < 1, где а - интенсивность внешнего

О

сжимающего усилия. Будем искать решение сформулированной выше задачи в виде рядов по положительным степеням параметра Л:

и, = £и<п>Лп; в, =£б<->Г; с, = 1^.(1°)

Тогда уравнения равновесия в произвольном приближении будут с учетом круговой перестановки ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^

1 -V дв

(«+1)

' ю

(«+1)

(п+1)

1 - 2v д х

д Хг,

д Хо

іV (и+1)

+ К________ = - р(и-1)

20 1 ’

(11)

где К,(п+Г) - компоненты вектора объемных сил К(”+:); Р, 1 - составляющие фиктивных объемных сил Р(”+1)(/' = 1, 2, 3);

(и-1) = дп1г+1 дл1г+1 дп

13

0Х1 2 дх2 2 0Х3

Р (0)= 0, К1(І) = 0, I > 2.

(12)

Здесь

(п-1)

П і -- Я

№-|,)!

В Г’-3 8Ів("-1’I; (13)

(^ІГ1)2 = у V -3 (в1 !-,2 + в2":-,' + В(3Г1

-В

(п-1)в( п-1) ( п-1)в(п-1)

(14)

В(«-1) +В(яЧ) +В(я-)‘ 12 _гь13 23

Итак, правые части (11) на каждом этапе являются известными функциями, вполне определенными на предыдущих шагах. Таким образом, напряженно-деформированное состояние при п > 0 представляет сумму

с(”)= с0 (”) іі ІІ

-с* (п). (15)

и>0

и>0

и>0

При этом первые слагаемые справа в (15) соответствуют общему решению однородной системы дифференциальных уравнений равновесия линейной теории упругости и поэтому могут быть выражены в виде гармонических и бигармонических функций, на основе известных представлений для задачи в перемещениях в форме Буссинеска - Галеркина. Вторые слагаемые представляют собой частное решение неоднородной системы (11) с правой частью (12). Для их определения в качестве исходного этапа можно взять обобщение формулы Гурса - Аль-манси [11] для бигармонических функций через комплексные аналитические матричные функции

0 1 ( ^ Х2 , Х3 )= 0 к 1( 0 к10 Ф 1 ( 0 к1 )) +

(16)

+ (0 Ф1 (0 к )0 к)0 к + 0 X (0 к)+ 0 Х1 (0 к1).

Еще два соотношения получатся с учетом щений находятся по известным величинам ди-

круговой перестановки. Затем строятся выра- вергенции и ротора.

жения для компонент напряжений, деформаций Без учета индексных перестановок выпи-

и поворотов. Составляющие вектора переме- шем представления для компонент с через

комплексные С2-потенциалы:

В к)(с 2?-с « с (2), с 2'3), с (п)) = 0к10 ф ('”'(к1) + 0X (' (к) + 00О В <2)(с £-с « с <"), с (3'), с М) = 0 к20 ФІ"Г+Х 2“)'+ (Р

которые совместно с

Є1с 1 0 Ф (П )(0 к1) + 0 Ф 1(”)(0 к1) ^ 0 Ф(2И )(0 к2) + 0 Ф 2( ”)(0 к2) ) +

+2(0к/ф(' (0к1) + 0Ф 1(п)(0к1)•0к1 V V ^ (17)

-^ 0 к 2 • 0 Ф 2 (0 к 2 ) + 0 Ф 2(”Г(0 к2) • 0 к 2 1 + +2 |0 х (” ^ (0 к1) + 0 х(п Г (0 к1) ]-(0 х2п Г (0 к2) + 0 х2”Г (0 ^) ]] + 0 Я (:-2)

21 0 к/ Ф (П) (0 к1) - 0 Ф ' (0 ^1)0 к1 |-| 0 V Ф 2”) (0 к2) - 0 ф2П) (0 к 2 ) 0 к 2 1 +

+2 0XК(0к1) + 0X((0к1)У0х2”Г(0к2) + 0Х(2иГ(01

у V

0 я (п-2Х

Л 12 5

1

чК-с„ ) = 31| 0 к1 • 0 Ф (”) (0 к1) + 0 Ф (п) (0 к1).0 к1 |-| 0 к • 0 ф2” ) (0 к,) + 0 Ф« (0 к,) • 0 к2 I-

- 0X!”Г(0к1) + 0X("Г(0к1)|+ 00'"-!)

0 Ф1” )(0 к1) + 0 Ф (”) (0 к1) |+| 0 ф2” )(0 к2) + 0 ф2” ) (0 к2)

0,„ (”) Ґ 0.

0я

полностью решают задачу в напряжениях.

Заметим, что в последних формулах верхние правые индексы в скобках указывают на порядок приближения, левые - на характер вырождения. Добавочные члены с индексами п - 2

определяются через решения на предыдущих этапах и интерпретируются как известные.

Переведя действительное решение для перемещений из Е3 в С на основе (16), (17), получим

7 - 8 V

0ф(п)(0к)- 0ф^' (0к)0к- 0х1 п)' (0к)+ 0B1n-2’

(18)

Или каждую координату вектора перемещений выразим через свои комплексные потенциалы:

т (”) т> ( 7 - 8v 0 1п V 0 \ 0 1п У (0—\0 0 1п У (0—\ , 0 т, (п-

2 ц и 1 ’ е1 = ке |- ф ( к)- ф1 ; ( к) к- х ( к) + В1

о (п) ті7 8V 0 (п

2 ц и 2 е1 = 1т | —-— ф

3

7 - 8 V 0

! 0 \ 0 (п) (0—\0 0 (п) I 0—\ , 0 Г,

( к)- Ф1 ; ( к) к- Xі ; ( к)+ В:

ф1 п)(0 к)-0 ф(п)'(0 к)к-0 у1 п)'(0 к)+ 0 В.

что полностью решает задачу нелинейной теории упругости в перемещениях. Здесь введены обозначения:

0х 1n’'(()к )= 0х(пг 10т~-

А т V т Л. і

8 О -V)

0Ф(,п>'(0кт) ;

(19)

Ф

(0к) = -ддг10Ф110к1) +0Ф2-(0к-)); 0х!0к) = -дгг!0X1 (0к1)+0Ь(0-));

д0 к

0 ф( 0 к) = -ддг°Ф3 (0 к=); 0 *( 0 к) = -^°Ь (0 к).

Используем (6) для нахождения комплексных представлений для деформаций и поворотов:

ц(в(п)+ в в 33 ) е1 =2 (1 -2 V) Яе (0 ф1п) (0 к) + 0 В1п-1)

2 ц(в( 1l’-в(2n2’-в33’) е1

= Яе

°Ф(п) (0к)-6Яе| "к^ ГФ

0„ д 1 0____________(п)

д0 к

'(0 к) - 30 х( п)"(0 к) + В

п-2)

4 Й1 е4 =-3- (0 к°ф1п)'(0 к)- °ф1п(0 к)0 к+ 0 В 3п-2)

4 цв11 е1 = Яе ( (5 - 8v)0ф1 п) (0 к)-20 к°ф( п) (0 к)-30 х(п) (0 к)-

0 в (п-1) 11

Полученные общие решения основных пространственных задач физически нелинейной теории упругости необходимы для формулировки и решения краевых задач. Использование квазиконформного отображения позволит обобщить их для трехмерных областей с регулярной граничной поверхностью и произвести оценку напряженно-деформированного состояния конструкций с концентраторами напряжений.

с(0)=

( г 3 >

- “Г +1 г

V /

( ,,3 1

В качестве модельной задачи рассмотрим напряженное состояние изотропного физически нелинейного пространства с шаровой полостью радиуса г0 при воздействии всестороннего растяжения усилиями интенсивности а. Переходя к сферическим координатам (г, 0, ф), на основе представлений (17) получим для задачи в напряжениях при двух членах разложения:

9 „3 2

с №= (2||2| -----------------

(1)= г0 я2 д (1+v) +(1+v)г0 д я2;

гг 1802г3(-1 + V) 1802(1 -v)г9’

с(1)=-4г3 + я2 д3(1+v) - г09 д3Я22

; 99 9 г3 16 О2 г3(1 -V) 2О2(1 -V)г9'

3

Решение совпадает с уже известным [15] при соответствующем выборе параметра нагружения.

В Ы В О Д

Разработка современных математических методов в механике сплошных сред со сложной реологией может служить теоретической основой создания эффективных алгоритмов и пакетов прикладных программ как важной составляющей математического обеспечения систем автоматизированного проектирования для отраслей машиностроения, приборостроения и др.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. - 5-е изд. - М.: Наука, 1966.

2. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. - М.: Наука, 1970.

3. Бицадзе, А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А. В. Бицадзе. - 3-е изд. - М.: Наука, 1984.

4. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. - 3-е изд. - М.: Наука,

1968.

5. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М.: Физматизд, 1963.

6. Клюшников, В. Д. Математическая теория пластичности / В. Д. Клюшников. - М.: Изд-во МГУ, 1979.

7. Савин, Г. Н. Метод возмущения упругих свойств в механике твердых деформируемых тел / Г. Н. Савин, Ю. Н. Немиш // ДАН СССР. - 1974. - Т. 216, № 1. -

C. 53-55.

8. Александров, Л. Я. Пространственные задачи теории упругости / Л. Я. Александров, Ю. И. Соловьев. -М.: Наука, 1978.

9. Александрович, А. И. Применение теории функций двух комплексных переменных в теории упругости / А. И. Александрович. // ДАН СССР. - 1977. - Т. 232, № 3. - С. 542-544.

10. Мельниченко, И. П. Кватернионные переменные и гиперкомплексные потенциалы в механике сплошной среды / И. П. Мельниченко, Е. М. Пик // Прикладная механика. - 1973. - Т. 9, вып. 4. - С. 45-50.

11. Богачев, Ф. А. Описание решений пространственных задач теории упругости через бигармонические функции / Ф. А. Богачев // Проблемы прочности и пластичности / Изд-во Новгородского ун-та. - 1996. - Вып. 45. - С. 63-71.

12. Penrod, D. D. Analogue of complex formulas of for three-dimensional problems of the theory of elasticity /

D. D. Penrod // Quart. Appl. Math. - 1966. - V. 23, № 4. -P. 312-322.

13. Ганнинг, Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, Х. Росси. - М.: Мир,

1969.

14. Каудерер, Г. Нелинейная механика / Г. Кауде-рер. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

15. Левчук, О. И. О влиянии физической нелинейности материала на напряженное состояние среды с упругим сферическим включением при равномерном нагружении / О. И. Левчук // Прикладная механика. - 1989. - Т. 34, вып. 11. - С. 46-51.

Поступила 13.01.2006