Общие корректные расширения обыкновенной дифференциальной операции с пространства пробных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им*. Н.И. Лобачевского, 2009, № 3, с. 138-144

УДК 517.9

ОБЩИЕ КОРРЕКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ОБЫКНОВЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ОПЕРАЦИИ С ПРОСТРАНСТВА ПРОБНЫХ ФУНКЦИЙ

© 2009 г. Д-И. Ильинский, А.В. Калинин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 24.02.2009

Рассматривается задача об описании общих линейных корректных расширений линейных обыкновенных дифференциальных операций с постоянными коэффициентами с пространства пробных функций. Приводятся выражения для соответствующих обратных операторов.

Ключевые слова: дифференциальная операция, корректная задача, расширение дифференциальных операций.

Введение

Вопросам теории корректных задач для линейных дифференциальных операций общего вида посвящена весьма обширная литература. Среди основополагающих работ в этом направлении следует отметить работы М.И. Вишика [1], Л. Хёрмандера [2, 3]. Существенное конструктивное продвижение, связанное с описанием и построением различных корректных сужений и расширений линейных дифференциальных операций общего вида, осуществлено в работах А.А. Дезина [4, 5] и ряда других авторов. В частности, в этих работах рассмотрены и обыкновенные дифференциальные операции с постоянными коэффициентами, ряд результатов для которых носит в определенном смысле окончательный характер. Однако здесь же выделены и некоторые нетривиальные вопросы, связанные с простейшими обыкновенными дифференциальными операциями, среди которых рассмотрен вопрос об описании произвольных корректных расширений дифференциальных операций с пространства пробных функций. В настоящей работе приведено описание обратного оператора для общего линейного корректного расширения обыкновенной дифференциальной операции с пространства пробных функций, подтверждающее предположение, сделанное в ра-

а

боте [4] для дифференциальной операции —.

ах

В п.п. 1-4 настоящей работы уточняется терминология и приводятся вспомогательные результаты, содержание многих из которых хорошо известно, в форме, удобной для дальнейшего использования.

1. Основные функциональные пространства

и их свойства

Пусть Р(а) - дифференциальная операция с

постоянными коэффициентами:

N Л к

р(а )= Е ак-

к=0 Лх

где ак е Я, к = 0,...,N, ам Ф 0 . Через Р () обозначается формально сопряженная дифференциальная операция следующего вида:

N а к

Р* (Л )= I (-1) к ак .

к=0 ах

Пусть О = (а, Ь), -да < а < Ь < да . Через ^2 (П) обозначается вещественное гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций, определенных на О; Э(О) - пространство пробных функций; Н {р{с1 ); 0) =

= { е{(О): Р{^)и е^2(О)}, где включение

Р{<1) е ^2 (О) понимается в смысле теории распределений, то есть существует функция g е ^2 (О) такая, что для любой пробной функции ф е Э(О)

Ь Ь

|g(х)ф(х)оХ = |ы(х)Р* ()ф(х)оХ , (1)

а а

при этом по определению считаем, что Р(/ ) = g . Н(Рр/ ); ^) - гильбертово пространство со скалярным произведением

ь ь

(/> 8)н(р) = 1 /8^х + 1р(V р( . (2)

а

а

О

Через НррС); О) обозначается замыкание в пространстве Н ((); О) пространства пробных функций Э(О) по норме пространства

о

Н ((); О). Очевидно, пространство Н ррС); О) является гильбертовым со скалярным произведением (2).

Аналогично определяется пространство

О

Н (Р (); О) с соответствующим скалярным произведением.

В работе будет использоваться утверждение, являющееся частным случаем неравенства Хёрмандера [2, 3, 6], сформулированное в следующей лемме.

Лемма 1. Пусть П = (а, Ъ) - конечный интервал действительной прямой, Р(с!) - произвольная дифференциальная операция с постоянными коэффициентами. Тогда существует положительная постоянная с(Р, П) > 0 такая, что для любых функций ф е Э(О) справедливо

неравенство

Ь Ь

|ф2 (х)Ох < с(Р,О) • |(р(0)ф(х))2 Ох (3)

а а

Следствиями леммы 1 являются леммы 2 и 3.

Лемма 2. При том же самом значении постоянной с(Р, П) > 0 для любых функций

о

и є Н(р(); П)

справедливо неравенство

ь

Лемма 3. Существует с’(Р,П) > 0 такая, что при всех и є Н(();п)

справедливо неравенство

'(Р, П)(|

1МН Н (р(а );П) 1 “

= < и є Ь2 (О): |Р(сі)и(х)ф(х)іх =

I а

= |и(х)Р* (сі)ф(х)іх = 0 Уф є Э(О)!

Через Кег1 ({с!); обозначается ортого-

нальное дополнение к ядру Кег (Рр/); О)

Кег1 (р{с1); П) =

= |м е ^2 (^): |иус!х = 0Уу е Кегрр); П)|.

Легко можно убедиться в том, что Кег((); О) и Кег1 р); О) являются замкнутыми подпространствами Ь2 (П), причем ядро Кег(р); О) - конечномерное подпространство размерности N в котором можно выделить ортонормированный базис {, у2 ,..., } :

0, і Ф у

Справедливы следующие утверждения о характеризации ортогонального дополнения к ядру.

Лемма 4. Пусть М= {р*(сі)ф, фє Э(^)}, М - замыкание М в Ь2 (П). Тогда

Кег1 рр ); П)=М.

(7)

|м2 (х)Сх < с(Р, О) ■ |(р{<С)и(х))2 сіх . (4)

постоянная

о

(5)

Через Кег(р); О) обозначается ядро дифференциальной операции Р(с1). В соответствии

с (1)

Кег{Рр); О) = { е Ь2 (О) : Рр)и = 0} =

ъ

(6)

Лемма 5.

Кег1 (р(С); о) = |и = Р (С)у, гдеу є Н(р (с); о).

2. Максимальный оператор и его свойства

Результаты предыдущего пункта позволяют сделать вывод, что определен линейный оператор

Р(с/): Ь2 (О) ^ Ь2 (О) с областью определения Р) = Н(Рр); П). Этот оператор будем называть максимальным оператором для дифференциальной операции Рр).

Известно [4, 5], что область определения Н(р);О) всюду плотна в Ь2 (О), а множество значений максимального оператора совпадает с Ь2 (О) (максимальный оператор сюръективен).

Доказательство сюръективности этого оператора может быть проведено многими способами [4, 5]. В этой работе приводится доказательство в форме, наиболее удобной для изложения рассматриваемых вопросов, основанное на вспомогательной задаче:

Для любой функции / є Ь2 (О) определить

функцию и є Н(р (сі);о), удовлетворяющую

ь

ь

а

а

2

С

а

при всех v є H(p (d); Q ) интегральному равенству

bb JP* (d)w(x)P* (d)v(x)dx = Jf (x)v(x)dx . (В)

откуда

bb Ju2dx = Jfwdx < I

ІІІ2

ML <

II WL2

<

V^ll/II l2 IК (d )w

L2

^VCcT^II f||

ITl/IIL

ІІІ2

Теорема 2 доказана.

l2 .

Теорема 1. Вспомогательная задача (В) имеет единственное решение и є H(p* (d);q).

Доказательство. Равенство (В) можно записать в виде a(w,v) = l(v). В рассматриваемом случае выполнены все условия теоремы Лакса -Мильграма [7]. Коэрцитивность билинейной формы a(y) основывается на утверждении леммы З.

Рассмотрим задачу

и є Hp(d);Q)n Ker1 (p(d);Q) (9)

для f е L2 (Q). Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. При всех f е L2 (Q) существует и единственным образом определяется решение задачи (9) u = T_l (f) є H((d); Q)n Ker1 ((); Q), где соответствующий разрешающий оператор Tl : L2 (Q) ^ L2 (Q) линеен и ограничен.

Доказательство. Из определения (1) следует, что решение и є H (p(d); О) при всех ф є D(Q) удовлетворяет равенству bb Ju( x) P* (d )р( x)dx = J f (x)p(x)dx. (10)

aa

Сопоставляя (В) и (10), заключаем, что

u( x) = P* (d )w( x) (11)

при всех ф є D(Q) является решением уравнения (10). В силу леммы 5 найденное частное решение уравнения (10) ортогонально ядру оператора P(d).

Следовательно, определен разрешающий оператор : L2 (Q) ^ L2 (Q), ставящий в соответствие

каждой f е L2 (Q) решение м є H(P(d);Q)n

n Ker1 (p(d); Q). Очевидно, что Tl - линейный оператор, ограниченность которого следует из (11), если положить v = w. Действительно, с учетом (4), (11) получаем

В частности, из теоремы 2 следует сюръек-тивность максимального оператора.

Следует отметить, что приведенное доказательство теоремы 2 без изменений может быть использовано для доказательства соответствующей теоремы для произвольной линейной дифференциальной операции Р(д) с постоянными коэффициентами с частными производными.

3. Корректные сужения максимального оператора

Определение. Сужение максимального оператора Р(сі) на подмножество М с Н (р(сі); П) будем называть корректным линейным сужением и обозначать Рм (С), если выполняются следующие условия:

(i) область определения Э(РМ (С)) = М -линейное многообразие* в Н (р{сС); О);

(ii) оператор Рм (): Ь2 (^) ^ Ь2 (^) сюръ-ективен и инъективен;

(iii) обратный оператор Р^-1 (С): Ь2 (О) ^ ^ Ь2 (О) ограничен.

Определение. Пусть М с Н(р(сі);п) - линейное многообразие такое, что Рм (сі) - корректное линейное сужение максимального оператора. Тогда задача

Рм (сі) = /, и є М (12)

об определении и при / е Ь2 (О) будет называться линейной корректной задачей.

Пусть (12) - линейная корректная задача. Тогда при всех / е ^2 (О)

и = рМ (с!)/.

Пусть П0 : ^2 (О) ^ ^2 (О) - оператор проектирования на ядро Кег (Р(с1); О) оператора Р(().

Поскольку П0 : Ь2 (О) ^ Ь2 (О), Рм! : Ь2 (О) ^ ^ ^2 (О) — линейные ограниченные операторы, то операг°р Ьм = ЯоРд-1 ): Ь2 (О) ^ Ь2 (О) -

L2 " IIl2

В настоящей работе под линейным многообразием понимается любое непустое подмножество Н(р(с1);О), замкнутое относительно операций сложения двух элементов (функций) и относительно умножения элементов на действительные числа.

а

а

a

a

линейный ограниченный оператор с областью значений

Я(ЬМ) с Квр);О). (13)

Таким образом, для каждой линейной корректной задачи (12) определен линейный ограниченный оператор Ьм : Ь2 (ОД ^ Ь2 (ОД с областью значений (13) такой, что

П0и = ьы (/), / є ^2 (^) •

Теорема 3. Любая линейная корректная задача (12) может быть сформулирована в виде

Р(а) = / , и єН(р(а );О), (14)

П0и = X/, (15)

где П0 - оператор проектирования из Ь2 (П) на Кег{({а);О), Ь:Ь2(О) ^ Ь2(О) - линейный ограниченный оператор с областью значений

К(Ь) с Кег(();О). (16)

Обратно, для любого линейного ограниченного оператора Ь: Ь2 (О) ^ Ь2 (О) с областью значений (16) задача (14), (15) - линейная корректная задача и ее решение записывается в виде

и = 71(/) + Ь(/), (17)

где TL : Ь2 (П) ^ Ь2 (П) - оператор, определяющий решение задачи (14), ортогональное ядру Кег ); О).

Доказательство. Достаточно доказать вторую часть теоремы. Так как Ь(/) є Кег ррС); О) при всех / є Ь2 (О), Т± (/) є Н((); О) - решение уравнения (14), ортогональное ядру Кег ({а); О), то выражение (17) действительно определяет и є Нр{с); О) , удовлетворяющее (14), (15).

Определим линейное многообразие М с Н(();О) как множество значений оператора + Ь

М = К(Г± + Ь). (18)

С учетом (17) заключаем, что Рм (а) -линейный оператор, отображающий

М с Н((/);О) на Ь2 (П) (сюръективность). Инъективность следует из того, что решение задачи Р(а) = 0, и є Н(р{С);О), П0и = 0 тривиально.

Таким образом, каждому линейному ограниченному оператору Ь: Ь2 (О) ^ Ь2 (О) с областью значений (16) соответствует линейная корректная задача (12), где линейное многообразие М определяется (18). Теорема 3 доказана.

Замечание. Теорема 3 показывает, что множество всех корректных задач (12) изоморфно семейству линейных ограниченных операторов Ь: Ь2 (О) ^ Ь2 (О), удовлетворяющих (16).

Конструктивное описание произвольного корректного линейного сужения может быть дано с помощью обратного (разрешающего) оператора. В работах [4, 5] описание корректных сужений с помощью обратного оператора использует в качестве частных решений решения соответствующей задачи Коши с однородными начальными условиями. В настоящей работе приводится соответствующее описание обратного оператора, использующее в качестве частных решений решения, ортогональные ядру Кег ((); О).

Разложим правую часть равенства Пои = По (р-1 (а)/) по базису пространства Кег [р{с1); О)

N

П0 и = X аі (/>і ,

(19)

і=1

где а м (/) = (Рм1 {а)/, V,) - линейные ограниченные функционалы от /.

По теореме Рисса о представлении линейного ограниченного функционала, (19) может быть записано следующим образом:

N Ь.

Пи = ^ V,- (х) |дм (х)/(х)^х, (20)

І = 1

где дгМ (х) є Ь2 (ОД.

Заметим, что если д” (х) = 0, і = 1,...,N, то из (20) следует, что П0м (х) = 0. Это соответствует задаче о нахождении решения, ортогонального ядру оператора Рм (а). В этом случае для любой

функции / є Ь2 (П) иКег ± (х) = Т± (/). В силу

того, что любая функция и є Ь2 (П) представима в виде

и (х) = иКег (х) + иКег 1 (х) , где иКег є Кег(р(а);П), иКе)х єКеГ"(ра);0), то справедливо представление 3-1/

Мі

N Ь

и(х) = рм\а)/ = т±(/) + хV,-}/ах. (21)

І=1 а

Таким образом, справедлива следующая теорема о виде обратного оператора для корректного линейного сужения.

Теорема 4. Для любого корректного линейного сужения Рм (а) максимального оператора

а

P(d) обратный оператор PjM1(d) допускает представление в виде (21) при соответствующем выборе е L2 (О).

Обратно, любому набору q е L2 (Q), i = 1,..., N , соответствует линейная корректная

N b

задача (12), где М = {TL (f) + £ v* jqjdx,

i=1 a

f e L (Q)> .

4. Правильные корректные сужения

Определение. Корректное линейное сужение PM (d) будем называть правильным корректным сужением, если D(Q) с M.

Пусть и = ф . Тогда из равенства (21) следует, что для любого ф е D(Q)

N b

ф=tl (p(d )ф)+Z v (x) 1 (x)p( )ф(х)<* .

i-l a

b

Поэтому

ь

|ф(X)Vj (х)оХ = | q М (х) Р(с1 )ф( х)оХ,

а а

где {}}= - ортонормированный базис ядра.

Следовательно, при всех ф е Э(О)

ь ь

| ф( x)Vj (х)оХ = 1Р*()? f (х)ф( х)оХ

и по основной лемме вариационного исчисления [2]

Р* кМ (х) = V (х). (22)

Таким образом, общий вид обратного оператора, соответствующего правильному корректному сужению Рм (), выражается формулой (21) при условии (22).

Теорема 5. Для любого правильного корректного сужения обратный (разрешающий)

оператор представляется в виде (21), где дгМ (х)

удовлетворяют (22).

Обратно, если для линейного корректного сужения обратный оператор представляется в виде (21), (22), то это сужение будет правильным.

5. Общее расширение операции Р(С)

с пространства пробных функций Э(О)

В работе А.А. Дезина [4] обсуждается вопрос об описании произвольных линейных

корректных расширений дифференциальной операции Р() с пространства пробных функций на некоторое подпространство М с Ь2 (О) в предположении, что включение М в Н(();О) (МсН(();о)) может и не выполняться, но при этом соответствующее расширение Рм (d) обладает следующими свойствами:

(1) область определения М с ^ (О) - линейное многообразие в Ь2 (П);

(и) Рм() - линейный оператор, определенный на М, со значениями в ^ (П), с М;

(111) оператор рм (С): Ь2 (О) ^ Ь2 (О) сюръ-ективен, инъективен и обратный оператор Р]И () ограничен.

Лемма 6. Для произвольного линейного корректного расширения Рм () оператора Р(с1) на линейное многообразие М справедливо

О

включение Н(();0)с М .

Доказательство. Возьмем любую функцию

О

и еН(р(С);О). Тогда существует последовательность пробных функций {фи с ®(ОД ,

сходящаяся к u:

IIи -ф

ИІІИ (P, П)

G.

Следовательно,

->G и

||p(d ) - P(d )ф

->0.

пЩ

Отсюда в силу ограниченности оператора Р]И () следует, что

Рм1 (а)р(а)ф„ > Рм1()р(а)

в Ь2 (О).

Так как на пространстве пробных функций рм )ф = Р( )ф , то

№)ф„ = Фп ”^°° >и в ^2 (О) .

Таким образом, в силу единственности предела в гильбертовом пространстве

РМ-1 ()Р(<І )и = и .

Следовательно, м є М. Лемма 6 доказана.

В работе [4] выдвинуто предположение о

представлении оператора РМ1 (с/) в частном

a

a

п——ГО

случае, когда Рм () = —. Получим представ-

dx

ление для произвольного дифференциального оператора Рм (d) с постоянными коэффициентами.

Возьмем любую функцию / є Ь2 (П). Пусть есть произвольное линейное корректное расширение Рм (d) оператора ра) и ру {а) - соответствующий обратный оператор. Тогда из (12) следует

и (х) = Рм1()/ .

*

Рассмотрим оператор проектирования П0 на ядро Кег(р ();о) оператора Р (а). Тогда р-1 )/ = Р-1 ()(п7)+ Р-1 ^)(/ - П*/).

Первое слагаемое правой части представляет собой результат действия оператора Р^1 (d) на

функцию из ядра Кег(р (d);О), которое имеет ортонормированный базис }. Поэтому

N

конечный

* * * ~ -1

[м

М//І (/■ V* )~? (А*.

І=1

РМ

(а)(/ - я*./-)=Рм1 (а)р(аК

= Т±М + Е V(х) |4^ (х)Р(()(х)^ =

і=1

при условии Р* (<і )дгм (х) = уг- (х). Следовательно,

рм

(а)(/ - п*/)=р^ (а )р(а )^ =

'о

N Ь

= Т± (/ - я*./)+ X V I<7гМ (х)(/ - я*./)Л =

+

V і=1 J

N Ь N Ь

+I V 1 9гМ/х -I V 1(/’V* =

= Тх (/) - I (/, V; Жх (V,-) +

*=1

N Ь N„b

+1 V 1/х -I(/, V К 1Ъ V ах •

^=1 а * =1 а

Таким образом, обратный оператор Р^1 (с/) для общего линейного корректного расширения с пространства пробных функций представляется в виде

N

Рм( )/ = X & с/, V* ) +

і=1

N Ь

+ тх (/) + X vi І^іМ/Л >

(23)

і=1

где функции (х) и £г- (х) удовлетворяют

соотношениям

р* км (х) = VI-(х),

£

а

В частном случае, когда Р(а) = —, из (23)

с1х

может быть получено выражение -1

Рассмотрим второе слагаемое. Очевидно, f - П0 f є Кег1 (р* (<і); о). По теореме о характеризации ортогонального дополнения к ядру

О

существует функция w є Н р(а); О) такая, что / - П*0/ = Р{сі V.

О

Но Э(О) с Н(р(а); П )с: М . Следовательно, можно считать, что здесь действует правильное корректное сужение. Тогда, применяя формулу (21), получим

( ~ м \ а

(ІХ

V

ь 1

/ = ^1 (х) 1 /(х) • г-----------ах + ТХ ) +

а ыо - а

1

+ -Т— I^1М (х^./(х) • Лх, л/о - а а

которое после преобразований принимает вид

^ ~ м \ а

(ІХ

/ = -{/(?)а?- ^(Х){/(?)а? , (24)

і=1

і=1

где д( х) - некоторая функция из Ь2 (О).

Полученное выражение (24) для вида обратного оператора совпадает с предположением работы [4].

Заметим, что не для любого оператора, определенного формулой (24), существует обратный оператор (который в контексте нашей задачи будет являться прямым, а оператор (24) -обратным к нему). Пусть и(х) = 0. Тогда ь ь

|/+ ч(X) I/= 0 . Дифференцируя по

X а

Ь

х, получаем f (х) = д'( х) | f .

а

Из последнего равенства следует, что функция q(x) должна лежать в пространстве

а

а

X

а

а

а

а

Н 1(0) . Проинтегрируем последнее равенство в

пределах от а до Ь:

ь ь

|/($№ = ((Ь) - q(a)//(5^5 .

а а

Откуда

ч(Ь) - ч(а) =1. (25)

В частности, если функция д(х) є Н (О) и

(а V1

удовлетворяет (25), то оператор I — I не яв-

dx

M

ляется разрешающим оператором ни для какого линейного корректного расширения.

Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (регистрационный номер 2.1.1/3927).

Список литературы

1. Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений // Тр. Моск. мат. о-ва. 1952. Т. 1. С. 187-246.

2. Хёрмандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. 131 с.

3. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. 380 с.

4. Дезин А.А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач // Тр. Мат. инст-та им. В.А. Стекло-ва. 2000. Т. 229. С. 9-175.

5. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980. 207 с.

6. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1071 с.

7. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 511 с.

8. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. 96 с.

9. Калинин А.В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике. Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2007. 319 с.

10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 572 с.

11. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 588 с.

GENERAL CORRECT EXTENSIONS OF AN ORDINARY DIFFERENTIAL OPERATION FROM THE TRIAL FUNCTION SPACE

D.I. Ilyinskiy, A.V. Kalinin

The problem of description of general linear correct extensions of linear ordinary differential operations with constant coefficients from the trial function space is considered. Expressions for the appropriate inverse operators are presented.

Keywords: differential operation, correct problem, extension of differential operations.