Общие билинейные дискретные модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.8

ОБЩИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ А.М. Шмырин, И.А. Седых, А.П. Щербаков

Рассмотрены матрицы структуры связей билинейной окрестностной системы и на их основе разработаны общие билинейные окрестностные модели, учитывающие связи узлов системы

Ключевые слова: дискретная система, управление, окрестностная система

Введение

Во многих прикладных задачах степень влияния узлов системы друг на друга может быть нечеткой, а структура связей узлов системы - нефиксированной. Для решения таких задач в процессе построения модели объекта необходимым является использование определенного элемента, отвечающего за структуру. Таким элементом является специально разработанная матрица структуры связей. Модель на основе матрицы структуры позволяет описывать различные классы окрестностных систем, в частности, четко- и нечетко-окрестностные, а также изменять структуру модели посредством изменения элементов матрицы структуры для улучшения результатов идентификации и управления.

1. Билинейная окрестностная модель

В [2] введены и исследованы окрестностные модели, развивающие общие подходы теории систем и являющиеся обобщением для многих дискретно-пространственных моделей.

Формально окрестностная модель представляет собой ориентированный граф с двумя видами дуг. Дуги первого вида задают связи узлов по состояниям, второго - по управляющим воздействиям. Множество узлов, исходящие дуги первого (второго) типа которых входят в данный узел, называется окрестностью этого узла по состояниям (управлениям). Предполагается, что все данные, передаваемые от узла к узлу по дугам этого графа, представляют собой векторные значения (состояния узлов или управляющие воздействия). Принимая данные от других узлов, узел меняет свое состояние по заданной функции.

Шмырин Анатолий Михайлович - ЛГТУ, д-р техн. наук, доцент, e-mail: [email protected]

Седых Ирина Александровна - ЛГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: [email protected] Щербаков Артем Петрович - ЛГТУ, аспирант, e-mail: [email protected]

Простейшим классом нелинейных моделей являются билинейные, допускающие наличие произведения состояния на управление и линейные члены с состоянием и управлением [2].

В [3] введено обобщенное определение окрестностной модели, в соответствии с которым, билинейная окрестностная модель описывается набором N5 = (И, X, V, О), где [4, 6]: N = (А, Ох, Оу) - структура окрестностной модели, А = {а1,а2,...,ап} - множество узлов, Ох - окрестности связей узлов по состояниям, Оу - окрестности связей узлов по управлениям. Для каждого узла а{ е А определена своя окрестность по состояниям Ох \а1 ] с А и

п

управлениям Оу [а1 ] с А; Ох = и Ох [ai ],

г'=1

n

n

I *

Оу = и Оу [а1 ]; X е Я - блочный вектор

'=1

состояний окрестностной модели, каждый блок которого X[а']е Яр' - вектор состояний в узле

п

пХ т'

а' системы, ' = 1,...п ; Vе Я - блочный

вектор управлений окрестностной модели, каждый блок которого V[ai] е Ят' - вектор управлений в узле а{ системы, ' = 1,...,п ; О(х, V) = 0 - функция пересчета состояний окрестностной модели, где х е ХО , V е ХО , ХО - множество состояний узлов, входящих в окрестность Ох, VO - множество управлений узлов, входящих в окрестность Оу,. Функция О(х, V) = 0 задается формулами (1) - (3).

Каждому узлу а{ е А соответствует система, состоящая из с = pi уравнений.

2 [а,, а у ]Х[а у ] + 2 wv [а,, а у ]¥[а} ] +

а)е°х [а, ] а^о, [а1 ]

+ 2 2 ["!«[а,' а}, а^ ,1]Х[ау ] +... (1)

а^^Ох[а, ] а1 еО,[а1 ]

+ [а, , а] , ак ],[ак , т, ]Х[а] ]] = О,

где а,,а у,ак е А (,, у, к = 1,...,п) - узлы системы, X[ау ] е , V[а у ] е Лту - состояние и управление в узле ау системы;

[а,, а у ] е Лсхр ,

[о,, а у ] е Л ■ ,

[а,, ау, °к ] е Лсхру (^ = 1,..., т,) - матрицы-параметры; Ох [а, ], О, [а, ] - окрестности узла а, по состоянию и управляющему воздействию соответственно; ,[ак,5] (я = 1,...,mi) -координаты вектора управлений V[ак ] в узле ак .

Если обозначить wx [,, у] = wx [а,, а у ],

Wv [i, ]] = wv [а, , а] ], Wsvx [i, j, к] = WSvx [а,, а] , ак ],

X[,] = X[а,], V[i] = V[а,], ,[к,я] = ,[ак,я], то система (1) примет вид:

2 w x [,, ]]Х [ у] + 2 [,, j]V [ у] +

ауеОх [а, ] ауеОч[а1 ]

+ 2 2 [,, у, к]у[к,1]Х [у] + ... (2)

ajеOx[а,] акеО,[а1]

+ Wm¡Kx [,, у, к],[к, т, ]Х[у]] = О,

Модель (2) в более короткой записи [2]:

2 w x [,, у ]Х [ у ] + 2 Wv [,, у V [ у] +

ауеOx] ауеО,[а, ]

+ 2 Ww[,,у,кV[к]Х[у] = О,

ajеOx ]

акеО, [а, ]

(3)

где wvx [,, у,к] е Л^хтк - блочные матрицы параметров, (,, у, к =1,...,п).

2. Матричная форма билинейной окрестностной модели

Запишем систему уравнений (3) в матричной форме. Для этого определим следующие матрицы: матрица параметров для состояний Wx = [{Wx [а,, а у ]}] = [^ [,, у ]}],

(,, у = 1,..., п); матрица параметров для управлений Wv = [{ Wv [а,,а у ]}] = [{wv [,, у]}], (,, у = 1,..., п); блочная матрица параметров билинейной части модели для произведения пар управлений-состояний Wvx [,]}], где

Wvx М=[^ [,, а у, ак ]}] = [^ [,, у, к ]}], (,, у,к = 1,...,п), , - номер узла.

Таким образом, Wvx - трехмерная матрица, состоящая из элементов wvx [,, у, к ], т.е.

Wvx =[{Wvx [,, у, к]}].

Определим операцию блочного транспонирования ВТ для матрицы Wvx по следующей формуле:

WvBxT=т,ВТ [,]}]=[^ВТ [,, у, к ]}]= = [^ 0/,,, к ]}], (4)

где ,,у,к = 1,...,п .

Зададим также операцию * умножения блочной матрицы на вектор:

WBT * V = [^ВТ [,] -V}], (5)

где «■» - обычная матричная операция умножения матрицы на вектор.

Тогда система (3) в матричной форме будет иметь вид:

Wx -Х + Wv -V + (^ВТ *V)-Х = 0. (6)

3. Пример билинейной окрестностной модели

Рассмотрим билинейную окрестностную модель, состоящую из двух узлов а1, а2, т.е. множество узлов А = {а1, а2} . Каждый узел а, имеет состояние Х[а, ] е Лр', на каждый узел а, подается управляющее воздействие V[а, ] е Лт , , = 1,2.

Векторы состояний и управлений данной модели соответственно равны:

Х =

Пусть состояние Х[1] узла а1 зависит от состояния Х[2] узла а2 и управления V[1] в

■ Х ы" " Х [1]" , V = "V [а1]" V [1]"

_ Х [а2]_ Х [2]_ .V [а2]_ V [2]_

узле

Х[2] узла

- от

Ох [а2 ] = [ах, а2};

состояния Х[1] и управления V[2].

Тогда окрестности по состоянию управлению для каждого узла имеют вид:

Ох [а1 ] = {аl, а2};

О,, к ] = Ц}; О, [а 2 ] = К}.

Пусть векторы состояний и управлений для каждого узла имеют единичную размерность, т.е. = 1, mi = 1, (, = 1,2).

Тогда система уравнений (2) примет вид: 'wx [1,1] - Х [1] + w x [1,2] - Х [2] + + w, [1,1] - V [1] + Wlvx [1,1,1] - ,[1,1] - Х [1] +

+ Wlvx [1,2,1] - ,[1,1] - Х [2] = 0; w x [2,1] - Х [1] + w x [2,2] - Х [2] + + Wv [2,2] - V [2] + Wlvx [2,1,2] - ,[2,1] - Х [1] + + Wlvx [2,2,2] - ,[2,1] - Х [2] = 0.

а1 ; а состояние

а

2

(8)

В соответствии с (3), система уравнений

Wx [1,1] • X [1] + Wx [1,2] • X [2] +

Wv [1,1] V [1] + wи: [1,1,1] V [1] • X [1] +

+ Wvx [1,2,1] V[1] • X[2] = 0;

Ч [2,1] • X [1] + ^х [2,2] • X [2] + + Wv [2,2] • V [2] + Wvx [2,1,2] • V [2] • X [1] + + ^ [2,2,2] V[2] • X[2] = 0, где Wvx V, j, к] = [i, ], к]], V[к] = \у[к,1]], так как mi = 1, (i, j, к = 1,2).

Пусть pi = 1, mi = 2 , ^ = 1,2). В данном случае функция О из системы уравнений (2) примет вид:

К [1,1] • X [1] + Wx [1,2] • X [2] + + w V [1,1] • V [1] + w1vx [1,1,1] • v[1,1] • X [1] + + w1vx [1,2,1] • v[1,1] • X [2] +

(9)

+ w2vx [1,1,1] • v[1,2] • X [1] + + w2vx [1,2,1] • v[1,2] • X [2] = 0; Wx [2,1] • X [1] + Wx [2,2] • X [2] + Wv [2,2] • V [2] + w1vx [2,1,2] • ^2,1] • X [1] + + w1vx [2,2,2] • v[2,1] • X [2] + + w2vx [2,1,2] • ^2,2] • X [1] + + w2vx [2,2,2] • ^2,2] • X [2] = 0.

В более сокращенной форме вид системы уравнений (9) совпадает с (8), но ^ 1л j, к] = [^ [i, j, к] w 2vx [i, j, к ]], V[к] = ^[к,1] v[k,2]]Т .

Запишем систему (8) в матричной форме (6). Для этого определим матрицы параметров:

" Wx [1,1] Wx [1,2]"

_Wx [2,1] Wx [2,2]

" Wv [1,1] Wv [1,2]" Wv [2,1] Wv [2,2]

Ж =

х

Ж, =

Wvx =Жх [1] Wvx [2]] =

Wvx М =

~Wvx [1] _Wvx [2]

Wvx [/,1,1] Wvx Р,1,2] _Wvx [/,2Д] Wvx Е/,2,2]

Тогда блочная матрица подробной записи имеет вид:

" Wvx [1,1,1] Wvx [1,1,2] " _Wvx [1,2,1] Wvx [1,2,2]_

" Wvx [2,1,1] Wvx [2,1,2] Wvx [2,2,1] Wvx [2,2,2]

(i = 1,2). в более

Ж =

ЖВТ =

ЖВТ * V =

• V;

• V

ЖВТ * V =

ЖВТ * V =

" Wvx [1,1,1] Wvx [1,1,2]"

_Wvx [2,1,1] Wvx [2,1,2]_

" Wvx [1,2,1] Wvx [1,2,2] _Wvx [2,2,1] Wvx [2,2,2]_

Умножим ЖВ блочно на вектор V :

" Wvx [1,1,1] Wvx [1,1,2] "

_Wvx [2,1,1] Wvx [2,1,2]_ " Wvx [1,2,1] Wvx [1,2,2]

_Wvx [2,2,1] Wvx [2,2,2]_

Wvx [1,1,1]^[1] + Wvx [1,1,2]V[2] _Wvx [2,1,1]V [1] + Wvx [2,1,2]V [2]_ " Wvx [1,2,1]V [1] + Wvx [1,2,2]V [2] Wvx [2,2,1]V [1] + Wvx [2,2,2]V [2]_ ~Wvx [1,1,1]^ [1] + Wvx [1,1,2]V [2] _Wvx [2,1,1] V [1] + Wvx [2,1,2]V [2] Wvx [1,2,1]V[1] + Wvx [1,2,2]V[2] " Wvx [2,2,1]^ [1] + Wvx [2,2,2]V [2]_

При умножении матрицы ЖВ * V на вектор X получаем систему:

~Wvx [1,1,1] V [1] + Wvx [1,1,2] V [2]

_Wvx [2,1,1]V [1] + Wvx [2,1,2]V [2] Wvx [1,2,1Г[1] + Wvx [1,2,2]V[2] " Wvx [2,2,1]V [1] + Wvx [2,2,2]V [2]_

(ЖВТ * V) • X =

"Кх[1,1,1Г[1] + Wvx[1,1,2]V[2]) • X[1] _(Wvx [2,1,1]К[1] + Wvx [2,1,2]V[2]) • X[1] (Wvx [1,2,1]^[1] + Wvx[1,2,2]V[2]) • X[2] "

(Wvx [2,2,1]V [1] + Wvx [2,2,2]V [2]) • X [2]_ Учитывая, что: Жх • X + Жу • V =

" wх [1,1] • X[1] + Wx [1,2] • X[2] " _Wx [2,1] • X[1] + Wx [2,2] • X[2] " Wv [1,1] • V[1] + Wv [1,2] • V[2]" Wv [2,1] • V[1] + Wv [2,2] • V[2]_

получаем систему уравнений:

(ЖВТ * V) • X =

• X;

+

+

а матрица Ж^

Т

(10)

Wx =

Wv =

^ =

Wx [1,1] - Х [1] + Wx [1,2] - Х [2] +

+ Wv [1,1] V[1] + Wv [1,2] V[2] +

+ Wvx [1,1,1] V [1] - Х [1] +

+ Wvx [1,1,2] V[2] - Х[1] + + Wvx [1,2,1] V[1] - Х[2] + + Wvx [1,2,2] V[2] - Х[2] = 0;

w x [2,1] - Х [1] + w x [2,2] - Х [2] +

+ Wv [2,1] V[1] + Wv [2,2] V[2] + + wvx [2,1,1] V[1] - Х[1] + + wVx [2,1,2] V[2] - Х[1] + + Wvx [2,2,1] V[1] - Х[2] + + wVx [2,2,2] V[2] - Х[2] = 0.

Система (10) идентична (8) при равенстве нулю следующих коэффициентов: wv [1,2],

Wvx [1,1,2], Wvx [1,2,2], Wv [2,1], Wvx [2,1,1], Wvx [2,2,1].

Таким образом, для рассматриваемого примера матрицы параметров имеют вид:

^ [1,1] Wx [1,2]"

_w x [2,1] w x [2,2]

"Wv [1,1] 0 "

0 Wv [2,2]

" Wvx [1,1,1] 0" _Wvx [1,2,1] 0"

4. Матрицы структуры связей билинейной окрестностной модели. Общая матрица структуры

Структуру N = (А, Ох, О,) билинейной окрестностной модели N3 = ^, Х ,У, G) можно задать с помощью матриц структуры Лх, Л,,

Л« [1, 4].

Определим матрицы структуры связей Лх = [{^ [,, у]}], Л, = [{г, [,, у]}], (,, у = 1,..., п) следующим образом:

Г1, а у е Ох [а, ]

гх[i, у] = ^ у ,

[0, иначе

Г1, ау е О, [а, ]

г,[i, у] = ^ у .

[0, иначе

Заметим, что матрицы структуры Лх, Л, являются матрицами смежности узлов состояниям и управлениям соответственно.

Матрица структуры связей для билинейной части модели Л,х = [{Лта [,]}], где Лт[,]=[{г,х[,,у,к]}], (,,у,к = 1,...,п), , - номер узла (уравнения), является блочной и определяется через специальную операцию х

0 [2,1,2]" 0 Wvx [2,2,2]

по

Л =

Л =

л,Х [,] =

(, = 1,2).

блочного умножения матриц Лх и Л,: Л,х = Л, хЛх по следующей формуле:

г,х [,, у, к ] = г, [,, к ] - Гх [,, у]. (11)

Таким образом, структура билинейной окрестностной модели может быть задана тройкой N = (А, Лх, Л,). Так как матрица Л получается на основе матриц Лх и Л,, то в описание структуры ее вносить не нужно.

Для билинейной окрестностной модели, состоящей из двух узлов, матрицы структуры связей Лх и Л, будут иметь вид:

_ Гх [1,1] Гх [1,2] " Гх [2,1] Гх [2,2]_ _ г, [1,1] Г, [1,2]" _г, [2,1] Г, [2,2]" Определим блочную матрицу Л, Л,х =[Л,х [1] Л,х [2]];

_ г,х [,,1,1] г,х [,,1,2]"

_г,х [,,2,1] г,х [,,2,2]" Матрица Л,х в более подробной записи имеет вид:

" г,х [1,1,1] г,х [1,1,2]" _г,х [1,2,1] г,х [1,2,2]" " г,х [2,1,1] г,х [2,1,2] _г,х [2,2,1] г,х [2,2,2]_ С учетом формулы (11):

_ г, [1,1] - Гх [1,1] г, [1,2] - Гх [1,1]" _г, [1,1] - Гх [1,2] г, [1,2] - Гх [1,2]_ _ г, [2,1] - Гх [2,1] г, [2,2] - Гх [2,1] _г, [2,1] - Гх [2,2] г, [2,2] - Гх [2,2]_

Для приведенного в пункте 3. примера матрицы структуры связей имеют вид:

Лх =

Объединим рассмотренные выше матрицы структуры билинейной окрестностной модели Лх, Л,, Л,х в общую матрицу структуры связей Л :

Л = [Лх Л, Лх ]. (12)

Тогда структуру билинейной

окрестностной модели N можно задать с помощью общей матрицы структуры Л : N = (А, Л).

5. Билинейные нечетко-окрестностные модели

Во многих прикладных задачах степень влияния узлов друг на друга может быть

Л=

Л=

"1 1" ; Л = "1 0" ; Д = "1 0" "0 1"

1 1 0 1 1 0 0 1

Гх р, У ] =• Гу [I, у] = ■

нечеткой и имеет возможность изменяться в процессе решения задач для достижения лучших результатов идентификации и управления системами.

Рассмотрим билинейную нечетко-окрестностную модель, в которой связи между узлами системы являются нечеткими. Определим матрицы структуры связей для данной модели Ях = [I, у]}], Яу = [{/у [I, у]}], (I, у = 1,...,п) следующим образом: \тх [1, у ] а у е Ох [а,] [0, иначе

\т [I, у], а у е Оу [а, ]

[0, иначе

где тх [I, у], т [I, у] е [0,1] - значения функции принадлежности нечеткой связи узла а у с

узлом а, по состоянию и управлению соответственно.

Матрица структуры связей для билинейной части модели Яух находится по формуле (11), а общая матрица структуры Я - по формуле (12).

Рассмотрим пример составления общей матрицы структуры Я для билинейной нечетко-окрестностной модели из двух узлов. Пусть заданы матрицы структуры связей Ях, Я,:

Ях =

Общая матрица структуры Я будет иметь следующий вид:

"0,5 0,4" "0,9 0 "

, Яу =

0,8 1 ' у 0 0,6

Я =

0,5 0,4 0,9 0 0,45 0 0 0,48 0,8 1 0 0,6 0,36 0 0 0,6

Ях

-V—

Яух

6. Общая билинейная окрестностная модель

Определим вид общей билинейной окрестностной модели, учитывающей структуру связей, с четкими или нечеткими связями между узлами системы.

Для этого сначала зададим операцию поэлементного матричного умножения <.

Пусть А, В е ЯпХт . Матрица С = А < В ,

Се ЯпХт равна поэлементному произведению матриц А и В , если ее элементы вычисляются по формуле:

су = а у • ьа , 1 = 1,...п , у = т .

С учетом введенной операции, система (6) для общей билинейной окрестностной модели в матричной форме будет иметь вид:

(Ях <ЖХ)• X + (Яу <Жу)■¥ +

+ ((Яух < ^ух)ВТ *Г)• X = 0,

где Ях, Яу, Яух - матрицы структуры, являющиеся блоками общей матрицы структуры Я, отражающие характер связей узлов системы; Жх, Жу, Жух - матрицы параметров системы; V - вектор управлений билинейной окрестностной системы; X - вектор состояний билинейной окрестностной системы; < - поэлементное матричное умножение, «•» - обычное матричное умножение, * -умножение блочной матрицы на вектор, ВТ -блочное транспонирование.

7. Пример общей билинейной

окрестностной модели

Рассмотрим общую билинейную окрестностную модель с нечеткими связями, состоящую из двух узлов: А = {аг, а2} .

Пусть заданы матрицы структуры связей Я, Я:

Я =

Тогда матрица структуры Яух равна:

"0,5 0,4" "0,9 0,7"

, Яу =

0,8 1 у 0,3 0,6

Я„„ =

0,45 0,36

0,35 0,28

0,24 0,3

0,48 0,6

Общая матрица структуры Я имеет вид: Я =

""0,5 0,4" "0,9 0,7"

|_0,8 1 0,3 0,6

Ж =

0,45 0,35 0,24 0,48 0,36 0,28_|_ 0,3 0,6 Блочная матрица параметров Жух для рассматриваемого примера имеет вид: " ^ [1,1,1] ^ [1,1,2] " ^ [1,2,1] ^ [1,2,2]_ " ^ [2,1,1] ^ [2,1,2] ^ [2,2,1] ^ [2,2,2]

Последовательность выполнения операций над матрицами при формировании билинейной части модели происходит следующим образом: "0,45 • ^[1,1,1] 0,35 • ^[1,1,2] 0,36 • ^ [1,2,1] 0,28 • ^ [1,2,2]

0,24 • ^ [2,1,1] 0,48 • ^ [2,1,2] 0,3 • ^ [2,2,1] 0,6 • ^ [2,2,2]

Я < Ж =

(Rvx ® Wvx )T =

0,45 • WvX[1,1,1] 0,35 • WvX [1,1,2] 0,24 • Wvx [2,1,1] 0,48 • Wvx [2,1,2] 0,36 • Wvx [1,2,1] 0,28 • Wvx [1,2,2] 0,3 • Wvx [2,2,1] 0,6 • Wvx [2,2,2]

(Rvx ® Wvx )T * V =

0,45 • Wvx [1,1,1] 0,35 • Wvx [1,1,2] 1 TV[1] 0,24 • Wvx [2,1,1] 0,48 • Wvx [2,1,2]J ' |_V[2]

0,36 • Wvx[1,2,1] 0,28 • Wvx[1,2,2] 1 TV[1] 0,3 • Wvx [2,2,1] 0,6 • Wvx [2,2,2] J ' |_V[2]

(Rvx ® Wvx )T * V =

0,45 • Wvx[1,1,1]V[1] + 0,35 • Wvx [1,1,2]V[2] 0,24 • Wvx [2,1,1]V[1] + 0,48 • Wvx [2,1,2]V[2]

0,36 • Wvx [1,2,1]V[1] + 0,28 • Wvx [1,2,2]V[2] 0,3 • Wvx [2,2,1]V[1] + 0,6 • Wvx [2,2,2]V[2]

((Rvx ® Wvx )T * V)• x =

0,45 • Wvx[1,1,1]V[1] + 0,35 • Wvx[1,1,2]V[2] 0,24 • Wvx [2,1,1]V [1] + 0,48 • Wvx [2,1,2]V [2] 0,36 • Wvx [1,2,1]V[1] + 0,28 • Wvx[1,2,2]V[2]! ГX[1]" 0,3 • Wvx [2,2,1]V[1] + 0,6 • Wvx [2,2,2]V[2] J ' [_X[2]

((Rvx ®Wvx)T *V) • x =

(0,45 • Wvx [1,1,1]V [1] + 0,35 • Wvx [1,1,2]V [2]) • X [1] + (0,24 • Wvx [2,1,1]V [1] + 0,48 • Wvx [2,1,2]V [2]) • X [1] + + (0,36 • Wvx [1,2,1] V [1] + 0,28 • Wvx [1,2,2] V [2]) • X [2] + (0,3 • Wvx [2,2,1] V [1] + 0,6 • Wvx [2,2,2]V [2]) • X [2]

Заключение

Таким образом, рассмотрены матрицы структуры связей билинейной окрестностной системы и на их основе разработаны общие билинейные окрестностные системы, учитывающие связи узлов системы.

Литература

1. Роенко С.С. Общая билинейная окрестностная модель на основе матрицы структуры и алгоритмы идентификации и функционирования систем [Текст] / С.С. Роенко // Системы управления и информационные технологии. - 2013. - № 2.1(52)- С. 169-172.

2. Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Шмырина О.А. Билинейные окрестностные системы. - Липецк: ЛЭГИ, 2006. - 131 с.

3. Шмырин А.М., Седых И.А. Классификация билинейных окрестностных моделей // Вестник Тамбовского университета. - 2012. - Т.17, вып. 5. - С.1366 -1370.

4. Шмырин, А.М. Общая билинейная окрестностная модель на основе матрицы структуры [Текст] / А.М. Шмырин, С.С. Роенко, И.А. Седых // Информационные технологии моделирования и управления. - 2013. - №4 (82). - С. 373-378.

5. Подвальный, С.Л. Моделирование промышленных процессов полимеризации / С.Л Подвальный. Москва, 1979.

6. Подвальный, С.Л. Решение задач градиентной оптимизации каскадно-реакторных схем с использованием сопряженных систем [Текст] / С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9. - № 2. - С. 27-32.

7. Подвальный, С.Л. Проблемы разработки интеллектуальных систем многоальтернативного моделирования [Текст] / С.Л. Подвальный, Т.М. Леденева А.Д. Поваляев, Е.С. Подвальный // Системы управления и информационные технологии. - 2013. - Т. 9. - № 3-1. - С. 19.

8. Подвальный, С.Л. Интеллектуальные системы моделирования: принципы разработки [Текст] / С.Л. Подвальный, Т.М. Леденева // Системы управления и информационные технологии. - 2013. - № 1(51). - С. 4-10.

Липецкий государственный технический университет

GENERAL BILINEAR DISCRETE MODELS A.M. Shmyrin, I.A. Sedykh, A.P. Shcherbakov

Matrixes of structure of communications of bilinear neighborhood system are considered and on their basis the general bilinear neighborhood models considering communications of knots of system are developed

Key words: discrete system, managing, neighborhood system