Общая схема вычисления рядов с положительными членами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Машиностроение U компьютерные технологии

Сетевое научное издание

http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278 УДК 517.521

Общая схема вычисления рядов с положительными членами

Кандаурова И.Е.1'* "m&an6591@mailju

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Ссылка на статью:

// Машиностроение и компьютерные технологии. 2018. № 04. С. 32-44.

Б01: 10.24108/0418.0001381

Представлена в редакцию: 21.03.2018

© НП «НЭИКОН»

Обсуждается метод сопряжения двух рядов, позволяющий устанавливать признаки сходимости знакоположительных рядов, а также получать оценки остаточных членов таких рядов и формировать способы улучшения сходимости исследуемых рядов. Метод охватывает широко известные признаки сходимости (необходимый признак, признаки Коши и Даламбера и др.), а также менее известные признаки сходимости рядов, связанные с сопряжением рядов (в частности, признак Куммера и признак Ермакова). Он позволяет получать и новые признаки сходимости. На основе метода сопряжения сформулированы три общих признака сходимости. Использование метода для оценки скорости сходимости и улучшения сходимости иллюстрируется примерами.

Ключевые слова: числовой ряд с положительными членами; метод сопряжения рядов; достаточный признак сходимости; преобразование Куммера; остаточный член ряда; улучшение сходимости рядов

Введение

Общая теория рядов имеет давнюю историю и берет свое начало со времени возникновения дифференциального и интегрального исчислений. Тремя основными вопросами в теории рядов являются: исследование сходимости, оценка остаточного члена и улучшение сходимости рядов [2,3,6]. Универсального решения перечисленных вопросов нет, поэтому поиск новых приемов решения указанных задач остается актуальной проблемой и на сегодняшний день. Более того, вопросы улучшения сходимости и оценками остаточных членов рядов имеют все возрастающую роль не только в задачах математической физики, но и инженерной практике [5].

Один из возможных подходов к решению указанных задач — использование метода сопряжения двух рядов, который позволяет установить некоторые общие признаки сходимости рядов с положительными членами, а также получить соответствующие оценки остаточных членов и предложить способы улучшения сходимости [6]. Соответствие между способом улучшения сходимости ряда и тем или иным признаком сходимости основа-

но на одном преобразовании рядов, предложенных Куммером [1,6,9]. Это преобразование мало известно. Однако с помощью этого преобразования можно получить как частные случаи известные признаки сходимости рядов: признаки Даламбера, Коши, Раабе, Гаусса, интегральный признак Коши и др. [3,5]. Также можно получить новые практически полезные признаки [8,10]. Отметим, что в рамки этого преобразования по сути дела укладываются и сама схема Куммера, и признак Ермакова, и другие признаки, вытекающие из теории сопряжения рядов [4,8]. Для каждого признака сходимости, который можно получить из преобразования Куммера, удается установить и соответствующие оценки остаточного члена ряда. Если ряд сходится медленно или оценки остаточного члена получаются грубыми, для каждого выбранного признака можно подобрать соответствующие способы улучшения сходимости [7,8]. В частности, известное преобразование степенных рядов, предложенное Эйлером, является простым следствием способа улучшения сходимости рядов, соответствующего признаку Даламбера [7,10].

Статья посвящена обсуждению преобразования Куммера и его приложениям. Изложение основано на элементарной теории рядов, а также на некоторых фактах из теории специальных функций [4].

1. Таблица сходимости

ад ад

Рассмотрим два ряда ^аи, . Полагаем, что первый ряд с положительными

n = 0 n=0

членами задан, а второй ряд с вещественными членами может быть выбран соответствующим образом по нашему усмотрению.

Введем обозначение Ak = —. Если существует конечный или бесконечный предел

ak

последовательности {Ак}, то обозначим его через A : lim A = A . В общем случае этот

к^ад

предел не существует, но во всяком случае существуют (конечные или бесконечные) нижний lim А = А и верхний пределы limA = А последовательности {Ак}. Критерием

к^ад к^ад

существования предела А является равенство А = А = А.

Из определений верхнего и нижнего пределов следует, что для любых положительных чисул ех и е2 можно найти настоллько большое N , что

< Ак <

Умножим обе части последнего неравенства на ak > 0 и суммируем по к от m до некоторого числа n , где n > m > N :

n n __n

(А-е) a <z Ъ <( А+е) a. (2)

к=т к=т к=т

А-е< А < А + е2, к > N. (1)

Поскольку члены ряда ^ аи положительны, конечный или бесконечный предел

n

n=0

R = lim ^ак = ^ак всегда существует, однако предел lim ^b может и не существо-

n^w — — n^w;

k=m k=m k=m

вать. Введем обозначения Bm = lim ^ ^, Bm = lim^ ^ . Переходя в неравенствах (1) к

k=m k=m

пределу при n ^ w, получаем:

(A-&)Rm <^^ <Bm <(A + ^^ (m>tf). (3)

Пользуясь неравенствами (3), можно иногда, зная Bm или B, судить о сходимости

w

или расходимости ряда ^ а . Например, если Вт для любого достаточно большого т

n

n = 0

есть конечная положительная величина и А > 0, то, выбрав е1 столь малым, что А — 8> 0

B,

w

, из (2) получим R < ~m . Следовательно, ряд ^ аи сходится.

A — n=0

w

Если — = да, а А > 0, то из (3) заключаем, что Я = да, т.е. ряд ^ая расходится. В

п=0

других случаях неравенства (3) не позволяют делать вывод о сходимости или расходимо-

да

сти ряда ^ а . Например, если А < 0 и Вт ^ -да, неравенства (3) позволяют лишь утвер-

п=0

Вт »

ждать, что Я > — , и вопрос о сходимости ряда ^ аи остается открытым.

А — 81 п=0

Рассматривая подобным образом все случаи (сходимости, расходимости, неопределенности), а также учитывая и невозможные случаи в неравенствах (3), можно составить

таблицу сходимости. Ограничимся для простоты частным случаем А = А = А и Вт = -т = Вг. В этом случае неравенства (3) принимают вид

(А — 8,)Ят < Вт < (А + е2)Ят . Результаты представлены в табл. 1. Соотношения, записанные в первом столбце этой таблицы, предполагаются выполненными при любом достаточно большом т .

Таблица 1 Таблица сходимости

w

n

n

A = —w —w<A<0 A = 0 0<A<+да A = +w

Bm =—w не определено расходится расходится невозможно невозможно

— w<В <0 m сходится сходится не определено невозможно невозможно

0 < B <+w m невозможно невозможно не определено сходится сходится

B = +w m невозможно невозможно расходится расходится не определено

2. Общие признаки сходимости

В дальнейшем вместо предела последовательности {A} , A = ~, будет удобнее

ak

рассматривать предел последовательности A (l) = -b-, k = 0,1,2,K , где l — параметр.

ak+i

Тогда неравенства (1) принимают вид

A(l)-1 Ak (l) < A(l) + в2, (4)

где A(l) = lim A (l), A(l) = lim A (l). Неравенства (3) заменяются при этом неравенствами

k^w k^w

(A(l)-Si)Rm+1 < Bm < Bm < (A(l) + S22Rm+1, (5)

а в таблице сходимости нужно будет вместо A , A и A писать соответственно A(l), A(l) и A(l) (если A(l) = A(l) ).

Используя неравенства (5), можно составить таблицу, аналогичную табл. 1. Эта таблица дает следующие признаки сходимости:

w

1) если A(l) > 0 и Вт < ю , то ряд ^ ая сходится, если же —ю < A(l) < 0 и Вт = —ю,

n=0

то этот ряд расходится;

ю

2) если A(l) < 0 и Вт > —ю, то ряд ^ ая сходится, если же 0 < A(l) < ю и Вт = +ю,

n=0

то он расходится;

w

3) если A(l) > 0 и B < w или A(l) < 0 и Bm > -w, то ряд ^a сходится, если же

n=0

0 < A(l) < w и B = w или - w < A(l) < 0 и Bm = -w, то этот ряд расходится.

Заметим, что эти признаки содержат, в частности, известный необходимый признак

w

сходимости, утверждающий, что если ряд ^ an сходится, то liman = 0, или в альтерна-

n

n=0

w

тивной формулировке: если limаи = а > 0, то ряд ^аи расходится. Действительно, пусть

n=0

lim a = а> 0. Выделим из последовательности \an} подпоследовательность a }, сходя-

и^ад к

щуюся к а . Последовательность {bn} определим так:

b =Н' n=nk;

bn \ 0,

0, n ^ nk.

Тогда A = lim

' О

k ^w

a

V nk У

= - — < 0 . В то же время при указанном выборе последователь-а

w

ности Ь} имеем Bm = -w . Поэтому согласно признаку 3) ряд ^аи расходится.

n=0

Из признаков сходимости, сформулированных выше, путем соответствующего вы-

ад

бора вспомогательного ряда ^Ъп можно получить как частные случаи известные призна-

п=0

ки сходимости знакоположительных рядов (признаки Коши, Даламбера, Раабе и др.).

3. Оценки остаточных членов

Три сформулированных выше признака позволяют не только установить сходимость

ад

знакоположительного ряда ^аи, но и получить оценки его остаточного члена, т.е. оце-

n=0

ад

нить скорость сходимости ряда. Отметим, что если сходимость ряда ^ аи установлена на

п=0

основании одного из трех признаков, то числа А(1) и А(1) отличны от нуля.

Выберем числа ех и е2 так, что е < \А(1)| и е2 < |А(/)| . Затем выберем число N так,

что неравенства (4) и (5) выполняются при к > N и т > N . Тогда согласно неравенствам (5) заключаем следующее:

a) еоли сходимость ряда установлена на основании признака 1), т.е. А(1) > 0, то

В * - т > N); (6)

A(l) + s2 A(l) -s,

б) если сходимость ряда установлена по признаку 2), т.е. A(l) < 0, то

Bm ^ Rm+i B {m > N); (7)

A(l) -s A(l) + s

в) если сходимость ряда установлена по признаку 3), то при - да < A(l) < 0

A(l) -s A(l) + s

при 0 < A(l) < да

B' *Rm+i ^^^ {m > N), (8)

B~ ^Rm+i {m > N). (9)

A(l) + s m+' A(l) -s В оценках (6)-(9) используются значения пределов, которые не всегда удобны. Более практичным является вычисление точной верхней и нижней граней, и оценкам (6)-(9) можно придать соответствующую форму. Отметим, что из определения величин R и

A (l ) вытекает следующее представление:

да 1

Rm+l =S bk —. (9a|)

k=m Ak (l)

Если A(l) > 0, то, начиная с некоторого номера N , имеем A (l) > 0 и, следовательно, b > 0 . В этом случае из равенства (9a) получаем оценку остаточного члена ряда:

Bm <Rm+l (m >N). (10)

sup Ak (l) m+l inf Ak (l)

k >m

k >m

ад

Таким образом, если сходимость ряда ^ аи установлена на основании признака 1), то

п=0

верна оценка остаточного члена (10).

ад

Если сходимость ряда ^ аи установлена по признаку 2), то его остаток оценивается

п=0

с помощью неравенств

в- <ят+1 <—^ т>м, (11)

inf A, (l) m+l sup Ak (l)

k>m k>m

где число N подобрано так, что Ак (I) < 0 при к > N (тогда числа Ьк отрицательны).

w

Если сходимость ряда ^аи установлена с помощью признака 3), то при A(l) > 0

n

n=0

имеем оценку (10), а при A(l) < 0 — оценку (11). Однако в этом случае вместо оценок (10) и (11) удобно пользоваться менее точными, но более простыми оценками, полученными следующим образом.

Пусть A(l) Ф 0. Положим p(m, l)= supA(l) — A (l)|. Можно выбрать число m столь

k > m

"" m

большое, что (m, l) < |A(l)| . Это всегда возможно, так как lim (m, l) = 0 . Тогда при k > будем иметь

A(l) -ф(m,l)< Ak(l) < A(l) + ф(m,l). Отсюда получаем оценки

B- < Rm+l < _ B:t A , если A(l) > 0; (12)

A(l) + ф( m, l) m+1 A(l) -ф( m, l)

АП,Вт,( j\ < Rm+l < АПЛ \ , если A(l) < 0. (13)

A(l) -ф( m, l) A(l) + ф( m, l)

Оценки (12) и (13) повторяют неравенства (8) и (9) при е1 = е2= p(m, l).

Общие признаки сходимости, рассмотренные выше, позволяют выводить из них единым методом известные и новые достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. А общие оценки остаточных членов позволяют по выбранному признаку, с помощью которого установлена сходимость того или другого ряда, написать соответствующую оценку остаточного члена этого ряда. Кроме того, для каждого признака сходимости ряда можно также предложить и соответствующий способ улучшения сходимости ряда. Именно в тех случаях, когда не удается получить достаточно точную оценку остаточного члена ряда, возникает необходимость в улучшении сходимости ряда.

4. Некоторые частные случаи общих оценок

Рассмотрим некоторые частные случаи оценок (10) и (11), соответствующих признаку 3), в предположении монотонности последовательности {Ак(/)} начиная с некоторого номера.

Если А(/) > 0 и последовательность {Ак(/)} при к > т положительная и монотонно возрастающая, то согласно (10)

И и

* Я», . (14)

А(/) т+г Ат (/)

Если А(/) > 0 и последовательность \Лк(/)} при к > т монотонно убывающая, то согласно (10)

И и

^ < Ят+1 . (15)

Ат (/) т+/ А(1)

Если А(1) < 0 и последовательность {Ак(/)} при к > т монотонно возрастающая, то согласно (11)

И и

—^ < Я , <—^. (16)

Ат (/) т+/ А(/) ( )

Если А(1) < 0 и последовательность {Ак (/)} при к > т отрицательная и монотонно

убывающая, то

И и

т < Ят+1 <—^ . (17)

А(1) Ат (/)

Покажем на примере смысл и удобство введенного выше параметра /.

ад ^

Пример. Рассмотрим оценку остаточного члена ряда - . Положим Ъи = гп+1 -

П=1 п

где ^ = —, и проведем вычисления для произвольного целого / > 0 . Тогда 2п

ъ _ 1 1 _ 2п +1 . (/) = (2п + 1)(п +1)3

Ъп Чп +1)2 + 2п2 2п2 („" ' Ап (/)

2(п +1)2 2п2 2п2 (п +1)2' ^ 2п2 (п +1)2

Следовательно,

Функция

А(/) = 11Ш Ап (/) = 1 , Вт = 11Ш (^ - Zm )= 1

2т2 '

( 2 х +1)( х + / )3 /г (х) = ( )( )

2х2 (х +1)2

на интервале (0, +ад) является возрастающей при / = 0 и убывающей при / = 1 (для проверки достаточно вычислить производную функции). Поэтому последовательность {Ат (0)} положительная и монотонно возрастающая, а последовательность {Ат (1)} поло-

жительная и монотонно убывающая. Следовательно, согласно (14) при I = 0 получаем оценку

т^ < *п <((п 1 :)2з (п > 1), (18)

2п ( 2п +1) п

а согласно (15) при l = 1 — оценку

1 < Rn+i <А- (n > 1),

()n +1)( n +1) n+1 )n

т.е.

1 <R < (n>)). (19)

(2п - 1)п п 2(п -1)

Сравним точность оценок (18) и (19). Простым подсчетом убеждаемся, что

(п +1)2 111

-- <-7 и -7 <7-— при п > 2 .

(2п +1) п3 2 (п-1)2 2п (2п -1) п

Поэтому при п > 2 лучшими являются верхняя оценка (18) и нижняя оценка (19). Ясно, что вместо (18) или (19) выгоднее пользоваться оценкой

1 (п +1)2

7-Г" < Кп < ^-ГТ ( п > 2 ).

(2п-1)п п (2п +1) п3 4 7

Рассмотренный пример показывает, что при одной и той же выбранной последовательности {Ъп} различные значения индекса I могут давать оценки, не перекрывающие друг друга.

5. Улучшение сходимости рядов

ад

Пусть дан знакоположительный ряд ^ аи и некоторый вспомогательный сходящий-

ад

ся ряд ^ Ъп. Рассмотрим величины

n

n=1

n

n=1

и

Rm = Z an (20)

Bm =Z Ъп , (21)

n = m

Пусть существует предел lim — = А, причем А ^ 0 и А ^ад . При этих условиях 3) ряд

n^ an

ад

Z a по признаку 3) сходится. При этом имеет место следующее очевидное тождество:

ад

n=m

О ад

к,=Вг+2

-Л п=т

ъ_

А а.

а„,

(22)

п у

которое называется преобразованием Куммера.

Тождеством (22) можно пользоваться для улучшения сходимости знакоположитель-

ад ад

ного ряда. Для этого нужно к данному ряду 2 ап подобрать такой ряд 2 _ , остатки ко-

п=1

п=1

торого В были бы известны. Тогда суммирование исходного ряда сводится к суммированию ряда в правой части (22). При этом указанный ряд тем быстрее будет сходиться, чем

быстрее отношение — будет стремиться к своему пределу А .

ап

Последовательное применение преобразования (22) после нескольких шагов может привести к сильному улучшению сходимости, а иногда даже к вычислению суммы ряда (20).

Ъ

(

Пусть 40) = , Л = 11ш А(п0), В(т0) = 2 _

ап^ад ^^

и и—»и

и а(1) =

п п

1(0) Л

1

V А0 у

а. Тогда, согласно (22)

имеем

п(0) ад

Я = В7- + 2 44 .

Л0 п=т

(23)

Ъ

(1)

Обозначим далее Я(1) = 2 а(1), А(1) = , где остатки В(1) = 2 Ъ(1) снова известны. Пусть

^ т ^^ п 5 п (1) 5 т ^^ п ->

а

А = 11ш А^ (А * 0 и А * ад), а(2) =

(2) _

1

V А1 У

1(1Л в(1) ад

а<п), тогда Я(1) = + 2а(2) и на основании

А1 п= т

(23) имеем

0(0) Г>(1) ад

Я = —^ + —^ + 2 а(2) А А ^

•Л10 1 п=т

Последовательно применяя преобразование Куммера к ряду Я = 2 а Р +1 раз, получа-

п=т

ем

Р ^(к) ад

где

Ак) =

Ъ( к)

а

(к)

я =2 --г-+2 а

к=0 Ак п=т

Ак = 11ш А(пс), (Ак * 0 и Ак * ад) и

( р+1)

а

( р+1) _

\ - апр) '

АР у

а

( Р )

ад

ад

ад

п=т

ад

п^ад

писать в виде

д.к) р вк) ш

Полагая А— = 1 -е(к), где 11ше(к) = 0, равенство Я = Ев— + Еа(р+1) можно заЛ п п^ю т Л п Ак к =0 Ак п=т

Р Т)(к) ю р

Ят = 1^ + Е ап П Чк

к=0 Ак п=т к=о

Может оказаться, что для некоторого к все е^) = 0, и мы получаем точную сумму

ю

ряда Ят = Е ап ,

Если ряд Е аи подчиняется признаку 3), то всякое преобразование типа (22) опре-

п=0

ю ю

деляется выбором некоторого ряда Е Ъп . В то же время ряду Е Ъп соответствует некото-

п ' г г ^^ / , п

п=0 п=0

рый конкретный достаточный признак сходимости ряда Е аи , получаемый из признака

ю

ап

п=0

3). Именно в этом смысле будем говорить о том, что всякому признаку сходимости, получаемому из признака 3), соответствует свой способ улучшения сходимости ряда.

ю

При последовательном применении к последовательности Яот = Е аи можно каждый

п=т

этап улучшения сходимости строить на одном и том же признаке сходимости (т.е. выбирать Ъ = Ъ1 = Ъя2) = К ), но может оказаться целесообразным для разных этапов выбирать разные признаки сходимости. В результате могут быть предложены различные приемы улучшения сходимости одного и того же класса рассматриваемых рядов.

Заключение

В статье изложена одна общая схема исследования знакоположительных рядов на основе единого подхода, позволяющего связать между собой различные признаки сходимости, оценки остаточных членов рядов, способы улучшения их сходимости. Общая схема, с одной стороны, охватывает известные достаточные признаки сходимости рядов (в частности в нее укладываются схема Куммера, признак Ермакова и другие признаки, вытекающие из теории сопряжения рядов), а с другой, позволяет получать другие новые практически полезные признаки. Преимуществом рассматриваемой схемы является то, что для каждого ряда, сходимость которого установлена по некоторому признаку, удается установить и соответствующие оценки его остаточного члена. Кроме того, когда ряд сходится медленно или оценки остаточного члена получаются грубыми, для каждого выбранного признака могут быть получены соответствующие способы улучшения сходимости.

п=т

Список литературы

1. Kummer E. Eine neue Methode, die numerische Summen langsam convergirender Reihen zu berechnen // J. fur die reine und angewandte Mathematik. 1837. Bd 16. H. 3. S. 206-218.

2. Апарина Л.В. Числовые и функциональные ряды: учеб. пособие. 2-е изд. СПб.: Лань, 2012. 155 с.

3. Власова Е.А. Ряды: учебник / Под ред. В.С. Зарубина и А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 611 с.

4. Введение в теоретико-числовые методы криптографии: учеб. пособие / М.М. Глухов, И.А. Круглов, А.В. Пичкур, А.В. Черемушкин. СПб.; М.: Лань, 2011. 394 с.

5. Григорьев Е.А. Числовые и функциональные ряды. Теория и практика. М.: Научный мир, 2004. 215 с.

6. Муратов Л.М. Об улучшении сходимости рядов // Известия высших учебных заведений. Математика. 1978. № 4. С. 53-57.

7. Салехов Г.С. К теории вычисления рядов // Успехи математических наук. 1949. Т. 4. Вып. 4(32). С. 50-82.

8. Смирнов В.И. Курс высшей математики: учебник. 21-е изд. Т. 2. М.: Наука, 1974. 655 с.

9. Сорокин Г.А. О некоторых преобразованиях рядов // Известия высших учебных заведений. Математика. 1984. № 11. С. 34-40.

10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник. 8-е изд. Т. 2. М.: Физматлит, 2006. 863 с.

Mechanical Engineering & Computer Science

Electronic journal

http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278

Mechanical Engineering and Computer Science, 2018, no. 04, pp. 32-44.

DOI: 10.24108/0418.0001381

Received: 21.03.2018

© NP "NEICON"

The General Scheme for Calculating Series with Positive Terms

I.E. Kandauriva1'* 'mskan^ ligmailJU

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: numeric series with positive terms; method of the series conjugation; sufficient condition of the convergence; Kummer's transformation; remainder series term; refinement of the series convergence

The general theory of series has a long history and originates from the time of the emergence of differential and integral calculi. The three main questions in the theory of series are: the study of convergence, the estimation of the remainder term, and the convergence improvement [2,3,6]. There is no universal solution to these issues. Therefore, the search for new methods of solving these problems remains an urgent problem for today. Moreover, the problems of improving the convergence and estimating the remainder terms of the series have an increasing role not only in problems of mathematical physics, but also in engineering practice [5].

One of the possible approaches to solving these problems is the use of the method of conjugation of two series, which allows us to establish some general criteria for the convergence of series with positive terms, and to obtain corresponding estimates of the remainder terms and to suggest ways of improving convergence [6]. The correspondence between the method of improving the convergence of a series and one or another criterion of convergence is based on a single transformation of the series proposed by Kummer [1,6,9]. This transformation is little known. However, using this transformation, it is possible to obtain, as particular cases, known criteria for the convergence of series: the d'Alembert, Cauchy, Raabe, Gauss, integral Cauchy, etc. [3,5]. It is also possible to obtain new practically useful criteria [8,10]. We note that, in the framework of this transformation, the Kummer scheme itself, and the Ermakov criterion, and other indications, which follow from the theory of conjugation of series [4, 8], actually fit themselves. For each criterion of convergence, which can be obtained from the Kummer transform, it is also possible to establish corresponding estimates of the remainder term of the series. If the series converges slowly or the estimates of the remainder are rough, for each chosen characteristic, appropriate ways of improving convergence can be selected [7, 8]. In particular, the well-known transformation of power series proposed by Euler is a simple consequence of the method for improving the convergence of series corresponding to the d'Alembert test [7, 10].

The article is devoted to the discussion of the Kummer transformation and its applications. The presentation is based on the elementary theory of series, and also on some facts from the theory of special functions [4].

References

1. Kummer E. Eine neue Methode, die numerische Summen langsam convergirender Reihen zu berechnen. J. fur die reine und angewandte Mathematik, 1837, Bd 16, H. 3, S. 206-218.

2. Aparina L.V. Chislovye i funktsional'nye riady [Numerical and functional series]: a textbook. 2nd ed. S.-Peterburg: Lan' Publ., 2012. 155 p. (in Russian).

3. Vlasova E.A. Riady [Series]: a textbook / Ed. by V.S. Zarubin, A.P. Krishchenko. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2000. 611 p. (in Russian).

4. Vvedenie v teoretiko-chislovye metody kriptografii [Introduction to theoretical and numerical methods of cryptography]: a textbook / M.M. Glukhov, I.A. Kruglov, A.V. Pichkur, A.V. Cheremushkin. S.-Peterburg; Moscow: Lan' Publ., 2011. 394 p. (in Russian).

5. Grigor'ev E.A. Chislovye i funktsional'nye riady. Teoria i praktika [Numerical and functional series. Theory and practice]. Moscow: Nauchnyj Mir Publ., 2004. 215 p. (in Russian).

6. Muratov L.M. Improvement of the convergence of series. Soviet Mathematics, 1974, vol. 22, no. 4, pp. 44-48.

7. Salekhov G.S. On the theory of the calculation of series. Uspekhi matematicheskikh nauk [Advances in Mathematics], 1949, vol. 4, no. 4(32), pp. 50-82 (in Russian).

8. Smirnov V.I. Kurs vysshej matematiki [Course of higher mathematics]: a textbook. 21st ed. Vol. 2. Moscow: Nauka Publ., 1974. 655 p. (in Russian).

9. Sorokin G.A. Some transformations of series. Soviet Mathematics, 1984, vol. 28, no. 11, pp. 41-48.

10. Fikhtengol'ts G.M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniia [Course of differential and integral calculus]: a textbook. 8th ed. Vol. 2. Moscow: Fizmatlit Publ., 2006. 863 p. (in Russian).