CC BY
39
УДК 532.135
ОБЩАЯ МОДЕЛЬ РЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И.В. Елюхина, Т.С. Кочурин, Р.А. Апакашев,
И.А. Берсенева, Г.Ф. Кузнецов, Н.В. Широкова
Обсужден общий подход к вискозиметрическому описанию неньюто-новских сред в системе коаксиальные вертикальные цилиндр-цилиндр. В качестве примера выделены различия в поведении вязкоупругих образцов с преобладанием свойств жидкости или твердого тела при движении в них зонда по инерции или в процессе развития течения при действии момента.
Ключевые слова: коаксиальные цилиндры, нестационарная реометрия.
Часто в реометрии используют установки, где течение жидкости инициируется, например, относительным движением вокруг вертикальной оси симметрии концентрических круговых цилиндров (рис. 1). В зависимости от предельных величин свойств объектов их частными вариантами являются плоское или напорное течение, система дисков или длинных цилиндров, крутильный вискозиметр и пр. При этом спектр требований к модели описания варьируется от чрезмерно упрощенных до полных математических формулировок (например, по ротационному методу см. [1-8] и мн. др.). Поэтому удобно иметь в распоряжении общую модель таких гидродинамически подобных систем, конкретные ситуации которой характеризуются путем изменения числовых значений ее коэффициентов, ответственных за кинематику и геометрию потока. Помимо прочего, такое позволяет развить единые теоретические основы параметрической идентификации, включая процедуры поиска оптимальных опытных условий.
Математическое описание основано на следующих общих теоремах динамики исследуемого жидкого образца и соприкасающихся с ним абсолютно твердых тел.
I. Уравнения для жидкости:
1) уравнение баланса массы (скалярное)
У-У = 0;
2) уравнение баланса импульса (векторное)
ВУ
р-^7 = ¥0 + ¥п; ¥0 = рё; ¥п = У - Т; Т = -р1 + а ;
г ! III > > к > к і к
і > к
і і і > Г Ні
‘ II і 1__ ' ►
О
Л
Я 2 I
-----5И
Рис. 1. Схема методов
(1)
Иі
3) реологическое уравнение состояния (тензорное): например,
3.1) модель Ньютона
о = 2урО,
3.2) модель Бингама-Шведова
а = (2у'р + «то / //п)о при П0 > сг0; Б = 0 при 7/а < <т0,
3.3) верхняя конвективная модель Максвелла
V
<т + Л о = 2урО.
II. Уравнения для внешнего (/ = 1) и внутреннего (і = 2) сосудов: уравнения баланса момента импульса
а,, =Р1і/Кі,
где момент сил, приложенных со стороны жидкости Ні
\ссрг\ (Ь + 2х\\(гч
Р = (-!)*
-2лЯ{
Я,
о
10 ((Я!-Я2-Л)-і=2) (а ^С7^\н1((н1-И)-І=2)
йг
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) •(7)
III. Начально-краевые условия:
1) начальные условия
f = 0:3r=3<p=3z=0; (8)
варианты:
а) а-а0, daldT=0, б) а = О, daldT^0,
в) t g (0, t0): Pf Ф 0 для а) или 6), t>tQ \ Pf = 0. (9)
Граничные условия
r = 0 (ze [0;#j - H2 _ ^],z e [^1 3r = «9^, = fifi9z ldr = 0;
r = R2 (zz[H1-H2-h;H1-h]): 3r=3z = 0, S(p=a2R2;
r = (z e [0^]): 5r = .9Z = 0, 9V = ;
z = 0 (rcfO;^]): .9r = ,9Z =0, &9=d[r\
z-H\ (r g[O;]):3r = 3Z = 0,3^ =a\r (a-2) и d,9r ldz = 83/p ldz = 3z =0 (a = 1);
z = Hi ~H2 -h ъ z = H\-h (r g [0;i?2]): =3Z = 0, 3^ =a2r. (10)
В модели (1)—(10) a - число торцов (в частности, а = 1 для случая свободной поверхности);
Ay - ij-я компонента некоторого тензора А; 7/д =(^АуАу /2)1/2 - второй инвариант А;
D = 0,5^УУ + VVr] - тензор скоростей деформации; Н\ - высота столба жидкости (геометрические характеристики - см. рис. 1); F0 + Fn - результирующая внешних сил: объемных и поверхностных на единицу объема и поверхности; К - момент инерции пустой подвесной системы относительно оси цилиндра; Y(Sr,$p,9z) - вектор скорости; р -давление; Т-тензор напряжения
Коши; Р-£ = Р + Pq + Pf - суммарный момент внешних сил относительно оси вращения (при их наличии); Pq =Ре + Рт - момент сил, действующих на систему и в отсутствии среды, Ре - упругий момент (например, кручения подвеса), Рг - момент сил сопротивления (обусловленных наличием газовой среды вокруг прибора и пр.; Рт =0 при i = 2 ); Pf - переменное внешнее воздействие (в режиме затухающих колебаний Pf = 0 ); - угловое смещение сосудов из равновесного
(при колебательном режиме) или начального положений; g - ускорение свободного падения; Л
- время релаксации; v - кинематическая вязкость; v' - пластическая вязкость; р - плотность; <т0 - предел текучести; а - тензор избыточных напряжений; рассматривается осесимметричный случай, р = const, (10) отвечает отсутствию вала для i- 2 при z е [ Я] - /г; Я] ] (в группе цилиндр-цилиндр h ~ 0 ); V • - дивергенция; DI Dt - субстанциональная производная; индекс V
- верхняя конвективная производная.
Возможны и иные, чем в модели (6)—(10), варианты реализации потоков в геометрии рис. 1, в частности, течение в кольцевом канале, вызванное осевым градиентом давления. При проскальзывании образца на поверхности цилиндров вводится скорость скольжения Vs, в общем случае являющаяся функцией напряжения сдвига, например, степенной ([9-11] и пр.). Так, если поддерживается неподвижным внутренний, а вращается с угловой скоростью со внешний длинные цилиндры, то для зоны I (см. рис. 1) в условиях (10) 3<p(R2)=3s2, 9ф (Щ )= а>Щ -i9^j, 3S -=Ъосг(р,
где Ь, с - модельные коэффициенты. Проскальзывание между слоями образца (например, при его существовании при одинаковых скоростях сдвига или напряжениях в различных микроскопических состояниях) описывается моделями с неаффинными деформациями [12]. При численном моделировании вязкопластичности в (1), (2), (4), (6)—(10) использованы основные регуляризован-ные модели [13-15]. В целом численное решение аналогично таковому в [16], т.е. отвечает ситуационным задачам для 1) осесимметричных течений (модель (1)—(10)); 2) традиционных допущений (как, например, для случая крутильной вискозиметрии в [17]); 3) упрощенных моделей: 3.1) с нестационарным неоднородным распределением в одном направлении (вектор состояния системы помимо времени зависит только от одной координаты) и 3.2) для стационарных случаев.
Численное решение проводится в случае 1 с использованием МКО [18], БШРЬЕ, БШТРЬЕО [18], БШТРЬЕС [19] алгоритмов, в случаях 2 и 3 - МКР: для 2 методами расщепления [20] с переходом в т.ч. с целью распределенных вычислений и развития унифицированного базового ресурса к задачам типа 3.1, где применяется метод прямых (например, [21-23]), в т.ч. с фиксацией границ подстановкой [24], в рамках которого проводится качественный анализ уравнений. Точные решения, адекватные для практических приложений, находятся для стационарного вращения или установившегося режима колебаний (например, регулярного режима в ньютоновском случае). Ряд частных решений, полученных при определенных допущениях, в частности, для областей I -III (см. рис. 1), предельных случаев, когда Щ -» оо, #2 -> 0 и пр., и которые могут быть использованы в начальном приближении, имеется, помимо уже отмеченных источников, например, в [25-35] и мн. др. Так, для зоны I, заполненной ньютоновской средой, при рассмотрении нестационарных задач: регулярных режимов крутильных малых колебаний или переходных процессов, например операторными методами, решение гидродинамической задачи включает цилиндрические функции: 9^ = С\1\ + С2/ц, где 1\,К\ - функции Бесселя первого и второго рода первого порядка. Константы интегрирования С\,С2 определяются из граничных условий и в т.ч. являются нулевыми в пределах внешней или внутренней задач соответственно, т.е. для вращающегося в безграничной жидкости зонда присутствует только второе слагаемое. Для стационарного вращения решение имеет вид 9р = Сгг + С4 /г, ив формулу для расчета скорости среды, заполняющей длинный цилиндр, входит только первое слагаемое. При отсутствии инерционного слагаемого в уравнении движения (2) решения могут быть получены в терминах напряжений, и в
9 9
общем варианте реостабильных сред д(г аг(р) / <Эг = 0, иг(р =С5/г , где аг(р вводится как функция скорости сдвига, после интегрирования которой выражается 9^.
Для нестационарных экспериментов, в которых не проводится построение кривой течения и оценка выполняется из прецизионных измерений параметров колебаний, точные решения, с достаточной степенью точностью отражающие протекающие процессы, могут быть получены для линейных, прежде всего ньютоновских, сред. В периодических течениях линейно вязкоупругих сред в вискозиметрические уравнения вместо ньютоновской вводится комплексная вязкость, а с помощью методики [36] система измерения свойств в терминах эффективной вязкости, усредненной по характерному промежутку времени и смачиваемой поверхности вискозиметра, легко распространяется на нелинейные образцы, в т.ч. и на переходные режимы колебаний.
Модель адаптирована, в частности, к исследованию неньютоновских свойств металлических расплавов крутильным вискозиметром и биологических сред с проскальзыванием ротационным методом, описанию свойств псевдоожиженного слоя в системе цилиндр-диск при наличии осевого движения ожижающего агента, в опытах с затухающим течением по инерции к измерению слабо упругих свойств оксидных расплавов и такой модельной жидкости, как вода.
Пример. Особенности поведения вязкоупругих и упруговязких сред в вискозиметрах инерционного типа.
Для измерения упругих свойств служат нестационарные эксперименты, когда предпочтительным, в т.ч. с позиций чувствительности, является режим вынужденных колебаний. При отсутствии внешнего воздействия для внутренней гидродинамической задачи, например, крутильного вискозиметра [17], такие условия малоэффективны для наблюдения слабо упругих свойств, например, в связи узким диапазоном частот колебаний, более длительных и включающих значительные периодические составляющие переходных процессов и пр. (см. [37]). При движении зонда в жидкости, в частности, возрастает глубина проникновения течения для псевдопластич-ных, вязкоупругих сред, т.е. размеры сосуда, отвечающие безграничной жидкости, когда к тому же при работе в таком режиме после преодоления предела текучести движение не возобновляется, на чем с другой стороны основывается линейка приборов с постепенным нарастанием момента. Вискозиметры инерционного типа [38] обладают тем преимуществом, что позволяют продемонстрировать само наличие даже весьма слабо выраженных упругих свойств, хотя и не свободны от иных особенностей, связанных со сложностью адекватного учета существенных факторов в теории эксперимента, поддержания устойчивого вращения, отфильтровкой эффектов, обуславливающих возвратные потоки, но не определяемых упругими свойствами, анализом нормальных
компонент тензора напряжений и т.д. Модели течения в подобных системах достаточно изучены (см., например, [39-44], ссылки в них, в [37] и мн. др.), а здесь обратим внимание на различия в поведении материалов с преимущественно вязким или упругим характером (например, для последних складываются напряжения, вызываемые этими компонентами), существенные именно для таких опытов. Далее рассмотрим линейные среды, нулевые в т.ч. по напряженному состоянию начальные условия, управление в опыте моментом, а не угловой скоростью, интерпретацию поведения для наглядности выполним в рамках двухэлементных моделей. При этом вязкостные, геометрические характеристики фиксированы, изучаются проявления сдвиговой упругости в опытах с крутильным движением зонда, цилиндра в т.ч. и бесконечно малой высоты, в жидкости, в общем случае ограниченной стенками иного коаксиально расположенного сосуда.
Известно (см., например, ссылки по течениям неньютоновских сред в [37]), что после приложения к идеально твердому телу Гука напряжения следует мгновенная деформация, а при его снятии мгновенно восстанавливается первоначальная форма. Для идеально вязкой жидкости Ньютона деформация возрастает постепенно, линейно, а при снятии нагрузки сохраняется. В вязкоупругом материале, или вязкоупругой жидкости, напряжения сдвига в вязком и упругом элементах равны, а деформации аддитивны. При возникновении напряжения деформация скачкообразно увеличивается ввиду наличия упругости, а затем постоянно растет в связи с наличием вязкости. При мгновенном снятии напряжения деформация мгновенно снижается до некоторой далее независимой от времени величины. Упруговязкий материал, или вязкоупругое твердоподобное тело, обладает способностью удерживать свой вес без видимых искажений формы по сравнению с первыми, для которых требуется ограничение стенками. В вязком случае энергия, обуславливающая растекание, например, по горизонтальной поверхности, полностью переходит в теплоту и не восстановима, а бесконечно тонким слой стать не может в связи с наличием поверхностного натяжения объекта. Упруговязкие среды не обнаруживает беспредельного невосстанав-ливаемого вязкого течения в отличии от вязкоупругих, когда аналогично чисто вязкой жидкости проявляет непрерывное установившееся течение заданном напряжении. В первом случае деформированный образец может «релаксировать» при поддерживаемом постоянным напряжении, а во втором случае общая деформация равна сумме таковых, обусловленных вязкой и упругой компонентами. Различие в характере поведения этих систем проявляется и в упомянутых опытах.
При существенно выраженной вязкой компоненте: чисто вязкой среде или ее предельных случаях упруговязкого тела при высоких временах запаздывания в или вязкоупругой жидкости при малых временах релаксации Я при постоянном внешнем моменте угловая скорость вращения со растет до некоторого постоянного значения щ (кривая 1 на рис. 2), когда внешний момент М ~ const уравновешивается таковым со стороны жидкости Р (без учета иных потерь). В случае выраженной упругой компоненты: в пределе при малых временах запаздывания или более высоких, но не в предельном случае модели идеальной жидкости, временах релаксации, для жидкоподобных систем угловая скорость со колеблется около значения щ, асимптотически приближаясь к нему (кривая 2 на рис. 2), а для твердоподобных угловая скорость стремится к нулю (кривая 3 на рис. 2). Эта важная особенность в различии поведения позволяет построить не только теорию выявления типа образца, но идентификации его свойств по параметрам затухающих колебаний, следуя таковому, например, в крутильной вискозиметрии. Экстремумы на рис. 2 отвечают случаю Р ~ М: начиная от момента времени t ~ 0 величина Р постепенно возрастает и для чисто вязкой жидкости (см. рис. 2) затем остается постоянной, равной М, когда как упругая компонента в переходных процессах обуславливает дополнительный рост напряжения.
Важным также представляется то обстоятельство, что предыстория деформирования влияет на выбор времени прекращения действия момента для раскрутки среды. Так, при достаточно кратковременной длительности его приложения различным временам Т выхода на режим с М = О отвечают различные кривые затухания, т.е. для корректной идентификации свойств объекта следует рассматривать и диапазон от запуска до отключения М. Из рис. 3, отвечающего вязкоупругой жидкости, видно, что чем большее напряжение реализовывалось в среде на момент прекращения внешней нагрузки, тем более интенсивны возвратные упругие реакции и больше амплитуда колебаний со. Также отметим, что время выхода на стационарный режим вращения при действии М соизмеримо с таковым для процедуры затухания при его отсутствии (см. рис. 3), а для твердоподобной среды в диапазоне наблюдаемых свойств обычно это выход на ре-
жим с со = 0. Для такого материала даже при включенном моменте М угловые отклонения a (ос = со) в установившем режиме с уменьшением времени запаздывания стремятся к начальному положению (на рис. 4 кривая 1 для меньшего в, чем кривая 2), a a, отвечающие рис. 3, отмечены на рис. 5. При периодической, например, гармонически изменяющейся величине М, помимо прочего, по процессам до установившегося режима с постоянными параметрами колебаний можно выполнить качественное заключение об отношении характерного времени жидкости к вынуждающей частоте и оптимизировать условия эксперимента для лучшей наблюдаемости требуемых эффектов (см., например, кривую 3 на рис. 4 для относительно высоких X). Выявленные особенности использованы при развитии системных основ теории экспериментов с инерционным вискозиметром над вязкоупругими средами, а также при развитии иных подходов к интерпретации таких опытных данных, например, при действующем моменте.
Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал (проект № 07-02-96016).
Литература
1. Savarmand, S. Analysis of the vane rheometer using 3D finite element simulation / M. Heniche, V. Bechard, F. Bertrand, P.J. Carreau // J. of Rheol. - 2007. - V. 51, № 2. - P. 161-177.
2. Fan, Y. Tangential flow and advective mixing of viscoplastic fluids between eccentric cylinders / Y. Fan, N. Phan-Thien, R.I. Tanner // J. Fluid Mech. - 2001. - V. 431. - P. 65-89.
3. Comparini, E. Regularization procedures of singular free boundary problems in rotational Bingham flows / E. Comparini // Z. Angew. Math. Mech. - 1997. - V. 77, № 7. - P. 543-554.
4. Ancey, C. Solving the Couette inverse problem using a wavelet-vaguelette decomposition /
C. Ancey // J. Rheol. - V. 49. - P. 441^160.
5. Er-Riani, M. Multiquadrics method for Couette flow of a yield-stress fluid under imposed torques / M. Er-Riani, A. Naji, C. Nouar, O. Sero-Guillaume // Int. Workshop on MeshFree Meth. -2003.-6 p.
6. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности / Под ред. X. Суинни, Дж. Голлаба. - М.: Мир, 1984. - 344 с.
7. Уилкинсон, У.Л. Неньютоновские жидкости: Гидродинамика, перемешивание и теплообмен / У.Л. Уилкинсон // М.: Мир, 1964. - 216 с.
8. Шрамм, Г. Основы практической реологии и реометрии/ Г. Шрамм // М.: КолосС, 2003. - 312 с.
9. Yoshimura, A. Wall slip corrections for couette and parallel disk viscometers / A. Yoshimura, R. Prud’homme // J. Rheol. - 1988. - Y. 32, № 1. - P. 53-67.
10. Yilmazer, U. Slip effects in capillary and parallel disk torsional flows of highly filled suspensions / U. Yilmazer, D.M. Kalyon // J. Rheol. 1989. - V. 33, № 8. - P. 1197-1212.
11. Barnes, H. A. A review of the slip of polymer solutions, emulsions and particle suspensions in viscometers: its cause, character, and cure / H.A. Barnes // J. Non-Newton. Fluid Mech. - 1995. - V. 56. -P. 221-251.
12. Johnson, M. A model for viscoelastic fluid behavior which allows non-affine deformation / M. Johnson, D. Segalman // J. Non-Newt. Fluid Mech. - 1977. - № 2. - P. 255-270.
13. Beverly, C.R. Numerical analysis of three-dimensional Bingham plastic flow / C.R. Beverly, R.I. Tanner // J. Non-Newt. Fluid Mech. - 1992. - V. 42. - P. 85-115.
14. Papanastasiou, T.C. Flows of materials with yield / T.C. Papanastasiou // J. Rheol. 1987. -V. 31, № 5. - P. 385-404.
15. Bercovier, M. A finite-element method for incompressible non-Newtonian flows / M. Bercovier, M. Engleman // J. Comp. Phys. - 1980. - V. 36. - P. 313-326.
16. Elyukhina, I. Software for oscillating-cup viscometiy / I. Elyukhina, G. Vyatkin // J. of Phys.: Conf. Series. -2008. -V. 98: http://www.iop.Org/EJ/article/1742-6596/98/2/022011/jpconf8_98_02201 l.pdf.
17. Швидковский, Е.Г. Некоторые вопросы вязкости расплавленных металлов / Е.Г. Швид-ковский // М.: ГИТТЛ, 1955. - 206 с.
18. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости /
C. Патанкар // М.: Энергоатомиздат, 1984. - 124 с.
19. Van Doormaal, J.P. Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows / J.P. Van Doormaal, G.D. Raithby // Numerical Heat Transfer. - 1984. - V. 17. - P. 147-163.
20. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Д. Андерсон, Дж. Танне-хилл, Р. Плетчер // М.: Мир, 1990. - Т. 1. - 384 с.
21. Холодниок, М. Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холодниок,
A. Клич, М. Кубичек, М. Марек // М.: Мир, 1991. - 368 с.
22. Коздоба, Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности / Л.А. Коздоба // М.: Наука, 1975. - 228 с.
23. Torres, G.A. Method of straight lines for a Bingham problem as a model for the flow of waxy crude oils / G.A. Torres, C. Turner // E. J. Diff. Eq. - 2005. - № 130. - P. 1-15.
24. Landau, H.G. Heat conduction in a melting solid / H.G. Landau // Quart. Appl. Math. - 1950. -
V. 8.-P. 81-94.
25.Kestin, J. Theory of oscillating type viscometers: The oscillating cup. Part I / J. Kestin, G.F. Newell // Z. Angew. Math. Phys. - 1957. - V. 8. - P. 433^49.
26. Beckwith, D.A. Theory of oscillating type viscometers: The oscillating cup. Part II /
D.A. Beckwith, G.F. Newell // Z. Angew. Math. Phys. - 1957. - V. 8. - P. 450-465.
27. Azpeitia, A.G. Theory of oscillating type viscometers III: A thin disk / A.G. Azpeitia,
G.F. Newell // Z. Angew. Math. Phys. - 1958. - V. 9a. - P. 97-118.
28. Azpeitia, A.G. Theory of oscillating type viscometers IV: A thick disk / A.G. Azpeitia,
G.F. Newell // Z. Angew. Math. Phys. - 1959. -V. 10. - P. 15-34.
29. Newell, G.F. Theory of oscillating type viscometers V: Disk oscillating between fixed plates / G.F. Newell // Z. Angew. Math. Phys. - 1959. -V. 10. - P. 160-174.
30. Ильюшин, A.A. Задачи и упражнения по механике сплошной среды / А.А. Ильюшин,
B.А. Ломакин, А.П. Шмаков // М.: Изд-во МГУ, 1979. - 200 с.
31. Ламб, Г. Гидродинамика / Г. Ламб // М.: Гостехиздат, 1947. - 928 с.
32. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, В.М. Лифшиц // М.: Наука, 1988. - 736 с.
33. Котляр, Я.М. Методы математической физики и задачи гидроаэродинамики / Я.М. Котляр // М.: Высшая школа, 1991. - 208 с.
34. Papanastasiou, T.C. Viscous fluid flow / T.C. Papanastasiou, G.C. Georgiou, A.H. Alexandrou //CRC Press, 1999.-418 p.
35. Lai, W.M. Introduction to continuum mechanics / W.M. Lai, D. Rubin, E. Krempl // Pergamon Press, 1993. - 556 p.
36. Елюхина, И.В. Аналитический метод для оценки нелинейных свойств жидкостей крутильным вискозиметром / И.В. Елюхина, Г.П. Вяткин // ИФЖ. - 2008. - Т. 81, № 3. - С. 518-523.
37. Елюхина, И.В. Исследование неньютоновских свойств высокотемпературных жидкостей / И.В. Елюхина // Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. - 140 с.
38. Апакашев, Р.А. Определение предела прочности и модуля сдвига воды при малых скоростях течения / Р.А. Апакашев, В.В. Павлов // МЖГ. - 1997. - № 1. — С. 3-7.
39. Moroi, Т. Viscoelastic flow due to a rotating disc enclosed in a cylindrical casing. Influence of aspect ratio / T. Moroi, M. Itoh, K. Fujitae/a/. //JSMEInt. J. -2001. -V. 44, № 3.-P. 465^473.
40. Khalili, A. Flow induced by an asymmetrically placed disk rotating coaxially inside a cylindrical casing / A. Khalili, R.R. Adabala, H.J. Rath // Acta Mech. - 1995. - V. 113. - P. 9-19.
41. Huang, X. Viscoelastic flow between eccentric rotating cylinders: unstructured control volume method / X. Huang, N. Phan-Thien, R.I. Tanner // J. of Non-Newt. Fluid Mech. - 1996. - V. 64, № 1. -P. 71-92.
42. Muitea, B.K. The flow in a cylindrical container with a rotating end wall at small but finite Reynolds number / B.K. Muitea // Phys. Fluids. - 2004. - V. 16, № 10. - P. 3614-3626.
43. Williams, R.W. On the secondary flow induced by spheres and discs rotating in elastico-viscous liquids / R.W. Williams // Rheol. Acta. - 1980. - V. 19. - P. 548-573.
44. Bhatnagar, R.K. Numerical investigations of flow of a viscoelastic fluid between rotating coaxial disks / R.K. Bhatnagar, J.V. Zago // Rheol. Acta. - 1978. - V. 17. - P. 557-567.
Поступила в редакцию 28 июня 2008 г.
THE GENERAL MODEL OF A RHEOMETRIC FLOW IN THE VERTICAL CYLINDRICAL GEOMETRY
The general approach to a viscometric description of the non-Newtonian fluids in the system of coaxial vertical cylinder-cylinder is considered. As an example, the differences in a behavior of the viscoelastic samples with domination of liquid or solid properties when the probe in it moves mechanically or in the processes of a flow evolution because of the torque effect are marked.
Keywords: coaxial cylinder, non-stationary rheometry, non-Newtonian fluid, inertial viscometer.
Elyukhina Inna Vladimirovna - Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor of Theoretical Mechanics Department, South Ural State University.
Елюхина Инна Владимировна - доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики, Южно-Уральский государственный университет.
e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Kochurin Timofei Sergeevich - Student, South Ural State University.
Кочурин Тимофей Сергеевич - студент, Южно-Уральский государственный университет.
Апакашев Рафаил Абдрахманович - доктор химических наук, профессор кафедры химии, Уральский государственный горный университет.
Apakashev Rafail Abdrakhmanovich - Dr. Sc. (Chemistry), Professor of Chemistry Department, Ural State Mining University.
Berseneva Irina Aleksandrovna - Cand. Sc. (Engineering), Reader of Machines and Technology of Plastic Metal Working Department, South Ural State University.
Берсенева Ирина Александровна - кандидат технических наук, доцент кафедры машин и технологии обработки материалов давлением, Южно-Уральский государственный университет.
Kuznecov Gennadii Fedorovich - Dr. Sc. (Engineering), Professor of General and Experimental Physics Department, South Ural State University.
Кузнецов Геннадий Федорович - доктор технических наук, профессор кафедры общей и экспериментальной физики, Южно-Уральский государственный университет.
Shirokova Natalia Vladimirovna - Post-Graduate Student, Ural State Mining University.
Широкова Наталья Владимировна - аспирант, Уральский государственный горный университет.
