CC BY
22УДК 532.54:541.13
ОБРАЗОВАНИЕ ЗАРЯДА В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ В СЛУЧАЕ СЛАБОГО ЭЛЕКТРОЛИТА
В. Н. Прибылов
1
Решена задача об образовании электрического заряда в диэлектрической жидкости, расположенной между двумя электродами. Получены простые формулы для плотности электрического заряда, электрического потенциала и тока.
Ключевые слова: ион, плотность заряда, электрический потенциал, ток.
The problem of electric charge formation in a dielectric fluid placed between two electrodes is solved. Some simple formulas are derived for the electric charge density, the electric potential, and the current.
Key words: ion, charge density, electric potential, current.
В ряде работ изучалась электризация диэлектрических жидкостей при течении в каналах (см. [1-7]). Вывод соотношений на границе раздела из баланса потоков частиц дан в работе [8]. Основной причиной электризации являются электрохимические реакции на стенках. В работе [4] рассматривалась электризация, возникающая вследствие приложенного внешнего электрического поля. При этом оказалось, что имеется входной участок канала, где плотность электрического заряда меньше нуля. При дальнейшем движении вдоль канала эта величина становилась положительной и выходила на свое асимптотическое значение. В некоторых теоретических моделях предполагалось, что имеет место слабое возмущение границей концентрации ионов в жидкости [1-3]. Тогда после некоторых упрощений удавалось получить аналитическое решение. В работе [3] учитывалось влияние диффузии вдоль канала на ток электризации. Случай, когда стенки канала имеют разные электрохимические свойства, рассмотрен в [2, 6]. Для некоторых практически важных моделей применялись численные методы расчета [6, 7].
В настоящей работе рассматривается образование объемного заряда в неподвижной диэлектрической жидкости, которая расположена между двумя плоскими электродами — катодом и анодом. Задача решается в одномерной постановке, все функции зависят только от х. Ось х перпендикулярна к электродам. Плоскость катода параллельна плоскости анода. Анод расположен при х = Н, катод — при х = —Н. Примесный электролит, который присутствует в небольшом количестве в любой диэлектрической жидкости [1], предполагается слабым. Система уравнений и граничных условий имеет вид
Здесь е, k, е — заряд протона, постоянная Больцмана, диэлектрическая проницаемость жидкости; T — температура; E, ф — напряженность и потенциал электрического поля; и0 — равновесная концентрация ионов в объеме жидкости; K, Ks — константы равновесия реакций диссоциации и рекомбинации и окислительно-восстановительной реакции; и, и к — концентрации недиссоциированных молекул примесного электролита и молекул вещества, образующегося в результате восстановительной реакции; D — коэффициент диффузии ионов; индекс ' означает дифференцирование по x; и± — концентрации положительных и отрицательных ионов.
Можно считать, что и = const, так как электролит слабый. Предположим, что образующиеся в результате реакции на электродах молекулы уже присутствуют в растворе в избытке по сравнению с ионами. Для водных растворов подобные реакции протекают в насыщенном растворе хингидрона [9]. Поэтому можно считать, что Uk = const.
1 Прибылов Владимир Николаевич — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. физико-химической гидродинамики НИИ механики МГУ, e-mail: [email protected].
(1)
(2)
Введем безразмерные величины:
* x * n± _ ehE . ep ..
X=h- t = W Е=1г' V'W (3)
Далее верхний индекс * опускается. Исключая напряженность поля E, из (1) получим (в безразмерной форме)
. n+ — n
[(п++п_У+ (n+-n_)'] =0, п+п- = 1, р" =--(4)
Здесь De = pd/h — число Дебая, pd = (ekT/8ne2n°')l/2 — дебаевский радиус. Будем считать, что число Дебая достаточно велико.
Введем малый параметр S = 1/2De2 ^ 1. Разложим величины n±, p по этому малому параметру:
n± = 1 + §n±i, p = po + Spi. (5)
В нулевом приближении по S из уравнений (4) имеем n+ = n- = 1, p0' = 0. Используя граничные условия для p, находим
А /-, Л Л ep0
В первом приближении по S из второго уравнения (3) получим
n+i + n-i = 0. (6)
Введем безразмерную плотность заряда по формуле q = n+i — n-i.
Из первого и третьего уравнений (4), используя разложение (5) и формулу (6), имеем
Р1 + | = Cix + С2, p'i = -q/2De2. (7)
Из определения q и соотношения (6) следует q = —2n-i. Последнее граничное условие (2) в безразмерной форме имеет вид
П
n-\x±i = l~ó-, Г] ~ 1.
Здесь величина Sn/2 показывает, насколько n- на стенке отличается от единицы вследствие электрохимической реакции.
При этом граничные условия для q, pi будут следующими:
q\x=±i = П, pi\x=±i = 0. (8)
Используя соотношения (8), из первого уравнения (7) получим
q п
Pl + - = -. 2 2
Продифференцируем дважды последнее уравнение. Тогда из второго соотношения (7) находим
q" — 2q = 0. (9)
Решение уравнения (9) ищется в виде q = ао ехр (\/2 х) + а\ ехр ( — у/2 х). Подставляя последнее соотношение в уравнение (9) и используя первые граничные условия (8), получим
г] ch(\/2 х)
ao = ai = ^wf' 9 = (10)
Для pi, p имеем
¥>i=»7-§, V = + + )• (П)
На рис. 1 представлена зависимость величины д (д = д/п) от х. Видно, что величина д симметрична относительно х = 0. При движении от катода к аноду она уменьшается от 1 на аноде до 0,579 при х = 0, а затем увеличивается.
Зависимость <д ( ф\ = ф\/п) от х дана на рис. 2. Величина также симметрична относительно х = 0 и возрастает от 0 на катоде до 0,541 при х = 0, а затем убывает.
На рис. 3 представлена зависимость величин фо, ф от х. При этом предполагалось, что п = 1; 5 = 0,2; А = 2. Кривая 1 обозначает фо, кривая 2 — величину ф. Видно, что наличие объемного электрического заряда приводит к увеличению потенциала.
Электрический ток, текущий через 1 см2 в направлении оси х, равен 3 = е(1+ —1-). Введем безразмерный ток по формуле 3 * = 3Н/еЬп°. Тогда 3* = 30 + 5.3*. После несложных вы числений (верхний индекс * опускается) получим 3 = — [А + 5(2ф1 + д )].
Я
V 1 у
\ 0,8 /
0,6
0,4
0,2 | | 1 1
-1
-0,5
0
0,5
1
Рис. 1. Зависимость величины д от х
Ф1
/ 0,4 \
/ 0,3 \
/ 0,2 \
/ 0,1 / 1 л \
-] -0,5 0 0,5 1 л:
Рис. 2. Зависимость величины ф1 от х
Рис. 3. Зависимость величин фо, ф от х
Из соотношений (10), (11) следует, что 3\ = 0.
В первом приближении по 5 токи, связанные с наличием электрического поля и диффузии плотности электрического заряда, равны и направлены в противоположные стороны, поэтому 3\ = 0. Тогда имеем
еф0
3 = —А = — -—. Вольтамперная характеристика межэлектродного промежутка является линейной. кТ
Таким образом, решена задача об электризации жидкости, расположенной между двумя электродами — анодом и катодом. В предположении, что число Дебая достаточно велико, получены простые формулы для плотности электрического заряда, потенциала и тока. Вольтамперная характеристика межэлектродного промежутка является линейной. Исследованы зависимости плотности электрического заряда и потенциала электрического поля от координаты и параметров задачи.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 07-01-00026.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прибылов В.Н., Черный Л.Т. Электризация диэлектрических жидкостей при течении по трубам // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1979. № 3. 42-47.
2. Прибылов В.Н. Электризация диэлектрических жидкостей с примесью слабого электролита в плоском канале // Коллоид. журн. 1989. 51, № 3. 500-506.
3. Полянский В.А., Прибылов В.Н. Влияние продольной диффузии на ток электризации жидких диэлектриков при течении в канале // Коллоид. журн. 2004. 66, № 3. 372-375.
4. Прибылов В.Н. Электризация в плоском канале с заданным внешним электрическим полем // Сб. докл. VIII междунар. конф. "Совр. проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей". СПб., 2006. 9-12.
5. Прибылов В.Н. Электризация слабопроводящих жидкостей при течении в каналах и трубах: Канд. дис. М., 2005.
6. Панкратьева И.Л. Особенности электризации слабопроводящих сред при течении в плоском канале, стенки
которого обладают разными электрохимическими свойствами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 4. 60-62.
7. Полянский В.А., Панкратьева И.Л. Исследование распространения импульса концентрации ионов в неполярной диэлектрической жидкости // Сб. докл. VI междунар. конф. "Совр. проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей". СПб., 2000. 95-100.
8. Gogosov V.V., Polyansky K.V., Polyansky V.A., Shaposhnikova G.A., Vartanyan A.A. Modeling of nonstationary processes in channels of EHD pump //J. Electrostatics. 1995. 34. 245-262.
9. Киреев В.А. Курс физической химии. М.: Химия, 1975.
Поступила в редакцию 19.11.2008
УДК 534-18
ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
В.А. Гончарук1, Ю. А. Кухаренко2
Статья посвящена теоретическому исследованию распространения колебаний в анизотропных случайно-неоднородных средах, таких, как гранулированные материалы и пористые среды, в окрестности областей с большими начальными напряжениями. Авторами получено точное уравнение для среднего значения деформаций среды. Для работы с возникающими бесконечными рядами использована диаграммная техника Фейнмана, развитая в квантовой теории поля. В статье продемонстрирована зависимость спектра колебаний от напряженного состояния среды.
Ключевые слова: нелинейная случайно-неоднородная среда, диаграммная техника, спектр колебаний.
This paper is concerned with the theoretical study of vibration propagation in anisotropic stochastic inhomogeneous media such as granulated material and porous media, in the area of high initial tension. An exact equation for the mean deformation of media is derived. The Feynman diagram technique developed in quantum field theory is used to deal with appeared infinite series. A stress dependence of the vibration spectrum is shown.
Key words: nonlinear random inhomogeneous medium, diagram technique, vibration spectrum.
1. Введение. Большое количество реальных сред не являются однородными. Кроме того, зачастую распределение неоднородностей в среде неизвестно. В данной работе авторы предполагают распределение неоднородностей заданным некоторой случайной функцией, относительно которой известны необходимые для расчетов характеристики (среднее значение, дисперсия и т.д.).
2. Уравнения распространения малых возмущений. Уравнения движения упругой среды имеют вид
д2щ да и , ,
где щ — компоненты вектора смещения, ¡г — компоненты внешней силы, р — плотность среды, а и — компоненты несимметричного тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа, определяемого производными упругой
диг
энергии по дисторсии ——.
дхк
1 Гончарук Вячеслав Анатольевич — асп. каф. вычислительной механики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vya-goncharuk@yandex. ru.
2 Кухаренко Юрий Александрович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. Ин-та физики земли, e-mail: vya-goncharuk@yandex. ru.
