CC BY
15
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2016. № 1-2 27
УДК 517.95
А.В. Дюжева1
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПО ВРЕМЕНИ УСЛОВИЕМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
В статье рассмотрен вопрос о разрешимости обратной задачи восстановления правой части линейного гиперболического уравнения с условиями интегрального по времени переопределения. Граничные условия изучаемой задачи являются нелокальными и представляют собой условия смещения. Получены условия на входные данные, выполнение которых гарантирует существование единственного решения поставленной задачи.
Ключевые слова: обратная задача, нелокальные условия, интегральное переопределение, обобщенное решение, гиперболическое уравнение.
Введение
В области QT = (0,1) х (0,Т), где 1,Т < ж, для уравнения
пи - (а(х)их)х + с(х, г)п = Н(х)/(х, г) (1)
поставим следующую задачу:
найти пару функций (п(х,Ь),Н(х)), удовлетворяющих уравнению (1), начальным данным
п(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, (2)
граничным условиям
пх(0,г) = а1(г)п(0,г) + р^п&г), (3)
пх(1,г) = а2(г)п(0,г) + в^(г)п(1,г) ( )
и условию переопределения:
т
¡К (г)п(х,г)А = Е(х). (4)
0
Функции а(х), Е (х), с(х,Ь), / (х,Ь), @г(Ь), К (г) заданы в областях [0,1], Qт
и [0, Т] соответственно, кроме того, будем считать, что 0 < ао ^ а(х) всюду в [0,1].
х© Дюжева А.В., 2016
Дюжева Александра Владимировна ([email protected]), кафедра математики и бизнес-информатики, Самарский университет, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
Обратные задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений изучались во многих работах. Отметим статьи [1; 4] и список литературы в них. Работ, посвященных исследованию разрешимости обратной задачи для гиперболического уравнения, существенно меньше. Отметим наиболее близкие к тематике данной статьи работы [3; 6; 10].
В предлагаемой статье рассматривается обратная задача с интегральным по времени условием переопределения и с нелокальными граничными условиями. Найдены условия на входные данные, обеспечивающие существование единственного решения поставленной задачи.
1. Формулировка основного результата
Введем понятие решения задачи (1)—(4).
Пусть /0т к (г)/ (х,г)йг = о Ух е [о, /], к (Т) = к '(Т) = о
Тогда функцию к(х), подлежащую определению, можно выразить через и(х,г) и известные функции, входящие в уравнение (1) и условия (4), если считать их достаточно гладкими. А именно справедливо следующее соотношение:
Г т
к(х) = С-1(х)[ Н(х,г)и(х,г)скЬ - (а(х)Е'(х))'], (5)
0
где обозначено
а(х)=[ К(х)/(х,г)л, н(х,г) = к''(х) + с(х,г)К(х).
0
Действительно, предполагая, что и(х,г) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2), (4), умножим соотношение (1) на К (г) и проинтегрируем по г от 0 до Т. Получим
К(Т)щ(х, Т) - К'(Т)и(х, Т)+
+ [ (К''(г) + Кс)иЛ - (аЕ')' = Н(х) ( К(х)/(х,г)А.
00
Учитывая свойства функции К (г), приходим к (5).
Обозначим ) = {у(х,г) : у(х,г) е W1(QT),у(х,Т) = 0}. Пусть у(х,г) е
е W2(QT). Используя известную процедуру [5], выведем равенство
Г г1
/ / (—и^у^ + а(х)ихух + ахиху + сиу)йх&+
00
Т Г1
_ _ ; а(х)ихУх + ах,их
00
+ [ а(о)у(о,г)[а1(г)и(о,г) + в1(г)и(/,г)]вг-
0
[ а(/)у(/,г)[а2(г)и(о,г) + ¡з2(г)и(/,г)]з,г = [ [ н/ув,хЖ. (6)
ио Jо и о
Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(4) будем называть пару функций (и(х,г), Н(х)) таких, что и(х, о) = о, выполняется тождество (6) для всех функций у(х,г) е WW2l(Qт), и справедливо (5), понимаемое как равенство в Ь2(о,/).
Основной результат работы состоит в доказательстве существования единственного обобщенного решения поставленной задачи. Пусть выполняются следующие условия:
(1) с е с (дт), / е с (дт), а е с [о,/], Е е с2[о,/];
(ii) ai, в е С 1[0,T],a(0)^i(t) + a(l)a2(t) = 0, ai(t)fa(t) + a2(t)!3i(t) > 0, a[(t)@2(t) + a>2(t)@[(t) > 0,
(iii) K е O2[0,T], f) K(t)f (x,t)dt = 0 Ух е [0,l], K(T) = K'(T) = 0. Заметим, что при выполнении этих условий найдутся числа со > 0, A > 0, y > 0 такие, что
max\c(x,t)\ ^ с0, max\f(x,t)\ ^ y,
Qt Qt
max \ai(t), ai(t), pi(t), ¡3[(t)\ < A.
[0,T] ,i=1,2
Введем еще некоторые обозначения.
B = max\H(x,t)\, c1 = max{c0,A}, m0 = min{a0,1}, с = c1/m0. Qt
Теорема. Пусть выполняются условия (i)—(iii) и справедливы следующие соотношения:
ecT _ 1
G2(x) > G0 > 0, yB - < 1.
cG 0
Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(4).
2. Доказательство теоремы
Доказательство проведем по следующей схеме: сначало построим последовательность приближенных решений, затем покажем, что последовательность сходится в (Цт)• И на заключительном этапе покажем, что ее предел и есть искомое решение.
Будем искать приближенное решение задачи (1)-(4) из соотношений
Г г1
/ / + аи^Ух + ахи^ + cunv)dxdt+
./о ./о
+ [ а^^О^а^и1^) + 13^)^(1,^-
о
- [ а(1^(1^)[а2^)ип(0^) + /32^)ип(1,^ = [ [ hnfvdxdt, (7)
./о Jо ./о
Нп = (С(х))-1[( Hun-1dt - (аЕ')']. (8)
о
Положим и°(х^) =0. Тогда из (8) найдем Н1(х) = — (а(х)Е'(х))'0(х) и подставим ее в (7) для п = 1.
Заметим, что полученное для п = 1 равенство (7) представляет собой тождество, с помощью которого определено обобщенное решение задачи (1)-(3) в случае известной правой части.
В [11] было доказано существование единственного обобщенного решения и(х^) £ Ш2(ЦТ) этой задачи. Следовательно, найдено и1(х^). На следующим шаге найдем Ь2(х) и продолжим процесс для п = 2,...
Заметим, что в силу условий теоремы каждый раз hn(x)f (х,Ь) £ Ь2(Цт).
В результате этих действий мы получим последовательность приближенных решений [ип(х^)^п(х)}.
Покажем, что ип ^ и, Нп ^ h при п ^ ж в Ш2 (Цт) и Ь2(0,1) соответственно.
Обозначим:
п п п— 1 п 7 п ип— 1
г = и — и , г = h — h .
Тогда справедливо соотношение:
,-T /' l
/ / + + ахгХу + егпу)ЗхА+
ио J о
+ [ а(0)у(0,г)[а1(г)гп(0,г) + в1(г)гп([,г)]зг- (9)
о
[ а(1)у(1,г)[а2(г)гп(0,г) + в2(г)гп(1,г)]ЗЬ = [ ( гп3юдх&, ио Jо Jо
С т
гп = С-1[ Нгт-1сИ]. (10)
о
Равенство (9) можно трактовать как тождество, определяющее обобщенное решение задачи (1)-(3) для уравнения (1) с правой частью гп/. Как было замечено, эта задача однозначно разрешима и справедлива оценка [11]:
е°Т - 1 е°т - 1
(11)
Из (10) с учетом условий теоремы следует неравенство
„п||2 ^ В и п-1||2 ^ В || п—1\ |2
\K\\Uo,T) < G И^-^ит) < G Wzn-l\wi 0 0
Тогда из (11)
ecT - 1
\\zn\ \Wl(Qt) < YB---\\zn-1\\w2i(QT)• (12)
Так как по условию 7 В е с0-1 < 1, то в силу признака Даламбера ряд ^ П=1 \ \гП\\ сходится равномерно. Для гп получим
В есТ — 1 \\гП\\ь2(о,т) ^ ^ С \\гП \\ь2(о,1).
Таким образом, в силу признака Даламбера ряд ^гп также сходится равномерно.
Заметим, что ип, кп являются частичными суммами этих рядов, и, стало быть, последовательности {ип}, {кп} сходятся соответственно в W2l(Qт) и Ь2 (0,Т) к и, к.
Переходя к пределу в (7)-(8), убеждаемся в существовании обобщенного решения задачи. Единственность решения следует из полученных оценок и доказанной в [11] единственности решения прямой задачи.
Литература
[1] Cannon J.R., Yanping Lin An Inverse of Finding a Parameter in a Semi-Linear Heat Equation // Journal of mathematical analysis and applicatijns.1990. № 145. P. 470-484.
[2] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М: Из-во иностр. лит., 1961, 120 с.
[3] Денисов А.М. Обратная задача для гиперболического уравнения с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент // Труды Института математики и механики УрОРАН. 2012. Т. 18. № 1.
[4] Камынин В.Л. Об обратной задаче определения младшего коэффициента в параболическом уравнении при условии интегрального наблюдения // Мат. заметки. 2013. Т. 94. Вып. 2.
[5] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
[6] Павлов C.C. Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18. Вып. 2.
[7] Павлов С.С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18. Вып. 1.
[8] Сафиуллова Р.Р. Обратная задача с неизвестным составным внешним воздействием при составном переопределении // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13. Вып. 2.
[9] Савенкова А.Е. Обратная задача с интегральным условием переопределения для гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2014. № 3(114). С. 83-92.
[10] Сафиуллова Р.Р. Линейная обратная задача для гиперболического уравнения с неизвестной правой частью специального вида // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15. № 2, С. 48-69.
[11] Пулькина Л.С., Дюжева А.В. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. 2010. № 4(78). С. 56-64.
References
[1] Cannon J.R., Yanping Lin. An Inverse of Finding a Parameter in a Semi-Linear Heat Equation. Journal of Mathematical Analysis and Applicatijns, 145, 1990, pp. 470-484 [in English].
[2] Gording L. Zadacha Koshi dlia giperbolicheskikh uravnenii [Cauchy problem for hyperbolic equations]. М: Iz-vo inostrannoi literatury, 1961, 120 p. [in Russian].
[3] Denisov A.M. Obratnaia zadacha dlia giperbolicheskogo uravneniia s nelokal'nym kraevym usloviem, soderzhashchim zapazdyvaiushchii argument [Inverse problem for hyperbolic equation with non-local boundary condition, containing retarded argument]. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki UrORAN [Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences], 2012, Vol.18, no.1 [in Russian].
[4] Kamynin V.L. Ob obratnoi zadache opredeleniia mladshego koeffitsienta v parabolicheskom uravnenii pri uslovii integral'nogo nabliudeniia [On inverse problem of definition of lower coefficient in the parabolic equation on condition of integrated supervision]. Mat.zametki [Mathematical Notes], 2013, Vol. 94, Issue 2.
[5] Ladyzhenskaya O.A. Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary value problems of mathematical physics]. М.: Nauka, 1973, 407 p. [in Russian].
[6] Pavlov S.S. Nelineinye obratnye zadachi dlia mnogomernykh giperbolicheskikh uravnenii s integral'nym pereopredeleniem [Nonlinear inverse problems for multidimensional hyperbolic equations with integrated overdetermination]. Matematicheskie Zametki YaGU [Mathematical Notes of Yakutsk State University], 2011, Vol. 18, Issue 2 [in Russian].
[7] Pavlov S.S. Obratnaia zadacha vosstanovleniia vneshnego vozdeistviia v mnogomernom volnovom uravnenii s integral'nym pereopredeleniem [Inverse problem of reconstruction of external action]. Matematicheskie Zametki YaGU [Mathematical Notes of Yakutsk State University], 2011, Vol.18, Issue 1 [in Russian].
[8] Safiulova R.R. Obratnaia zadacha s neizvestnym sostavnym vneshnim vozdeistviem pri sostavnom pereopredelenii [Inverse problem with unknown complex external action]. Matematicheskie Zametki YaGU [Mathematical Notes of Yakutsk State University], 2006, Vol. 13. Issue 2 [in Russian].
[9] Savenkova A.E. Obratnaia zadacha s integral'nym usloviem pereopredeleniia dlia giperbolicheskogo uravneniia [Inverse problem with integral condition of overdetermination for a hyperbolic equation]. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik of SamSU. Natural Science Series], 2014, no. 3(114), pp. 83-92 [in Russian].
[10] Safiulova R.R. Lineinaia obratnaia zadacha dlia giperbolicheskogo uravneniia s neizvestnoi pravoi chast'iu spetsial'nogo vida [Linear inverse problem for hyperbolic equation with unknown right member of a special form]. Matematicheskie Zametki YaGU [Mathematical Notes of Yakutsk State University], Vol. 15, 2008, no. 2, pp. 48-69 [in Russian].
[11] Pulkina L.S., Duzheva A.V. Nelokal'naia zadacha s peremennymi po vremeni kraevymi usloviiami Steklova dlia giperbolicheskogo uravneniia [Nonlocal problem for ] Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения // Вестник СамГУ, 2010, № 4(78), С. 56-64.
A.V. Duzheva2
INVERSE PROBLEM WITH INTEGRAL IN TIME OVERDETERMINATION AND NONLOCAL BOUNDARY
CONDITIONS FOR HYPERBOLIC EQUATION
In this article, we consider a question of sovability of an inverse problem for a linear hyprbolic equation. Properties of the solution of an associated nonlocal initial-boundary problem with displacement in boundary conditions are used to develop an existence result for the identification of the unknown source. Overdetermination is represented as integral with respect to time-variable.
Key words: inverse problem, nonlocal conditions, integral overdetermination, generalized solution, hyperbolic equation.
Статья поступила в редакцию 28/1/2016. The article received 28/I/2016.
2Duzheva Alexandra Vladimirovna ([email protected]), Department of Mathematics and Business Informatics, Samara University, 34, Moskovskoye Shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
