Обработка данных, полученных по результатам взаимных измерений вторичного эталона времени и частоты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3:529.7

ОБРАБОТКА ДАННЫХ, ПОЛУЧЕННЫХ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ВЗАИМНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ВТОРИЧНОГО ЭТАЛОНА ВРЕМЕНИ И ЧАСТОТЫ

Ю.П. Хрусталёв1, В.М. Акулов2, А.А. Ипполитов3, Л.Н. Курышева4

1,3Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

3,4Восточно-Сибирский филиал Всероссийского научно-исследовательского института физико-технических и радиотехнических измерений, 664056, г. Иркутск, ул. Бородина, 57.

Предлагается методика обработки результатов взаимных измерений, выполняемых в групповых эталонах (эталонах времени и частоты). Методика предполагает применение математических моделей, позволяющих наряду с результатами измерений использовать прогнозы. Параметры прогнозирующих моделей (моделей авторегрессии - скользящего среднего) вычисляются из условия минимума суммы квадратов разности результатов измерений и их прогнозов.

Ил. 3. Табл. 1. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: эталон времени и частоты; метод наименьших квадратов; модели авторегрессии; оптимальное оценивание; прогнозирование.

PROCESSING DATA OBTAINED AS A RESULT OF RECIPROCAL MEASURING OF SECONDARY STANDARD OF TIME AND FREQUENCY

Y.P Khrustalev, V.M. Akulov, A.A. Ippolitov, L.N. Kurysheva

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.

East-Siberian Branch of All-Russian Research Institute of Physico-technical and Radio Engineering Measurements, 57 Borodin St., Irkutsk, 664056.

The article proposes a procedure to process the results of reciprocal measurements performed in group standards (time and frequency standards). The procedure implies the use of mathematical models involving the use of forecasts along with measurement results. Parameters of predictive models (autoregressive models of moving average) are calculated from the condition of the quadratic sum minimum of the difference between measurements and their forecasts. 3 figures. 1 table. 10 sources.

Key words: time and frequency standard; least square method; autoregressive models; optimal estimation; prediction.

Одной из основных задач, стоящих перед вторичными эталонами времени и частоты, является формирование автономных шкал времени. Наличие таких шкал и каналов сличения между ними создаёт возможность формирования группового эталона единиц времени и частоты, функционирующего на территории государства. При этом вторичные эталоны сами являются групповыми, поскольку в их составе эксплуатируются несколько мер - водородных стандартов частоты и времени. Схема взаимных измерений позволяет сравнивать показания отдельных мер и находить относительные разности частот.

Задача обработки данных, получаемых в процессе функционирования групповых эталонов, заключается в получении оценок вектора состояния эталона по

результатам выполняемых в нём взаимных измерений. Под вектором состояния будем понимать значения относительных отклонений частоты каждой из мер от приписанного ей значения. Обозначим этот вектор

символом У. Таким образом, имеем УТ = [у1,у2,---,ук ], где k - количество мер, входящих в состав эталона. Результаты измерений получаются как разность частоты опорного хранителя (меры) и каждого из остальных элементов группового эталона, то есть

= Уоп - у; =1 к-Естественно, что по результатам измерений мы можем найти только оценки вектора состояния в мол

мент ^ то есть У(г), причём нас интересуют только

1Хрусталёв Юрий Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники, тел.: (3952) 405107, e-mail: [email protected]

Khrustalev Yuri, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Computing Machinery, tel.: (3952) 405107, e-mail: [email protected]

2Акулов Владислав Михайлович, начальник отдела, учёный хранитель вторичного эталона времени, частоты и шкалы времени, тел.: (3952) 467330, e-mail: [email protected]

Akulov Vladislav, Head of Department, Academic keeper of secondary standard of time, frequency and time scale, tel.: (3952) 467330, e-mail: [email protected]

3Ипполитов Александр Александрович, аспирант, тел.: 89021763181, e-mail: [email protected] Ippolitov Alexander, Postgraduate, tel.: 89021763181, e-mail: [email protected]

4Курышева Людмила Николаевна, начальник метрологического сектора, тел.: (3952) 467330, e -mail: [email protected] Kurysheva Lyudmila, Head of Metrological Sector, tel.: (3952) 467330, e-mail: [email protected]

оптимальные в определённом смысле оценки. При таком подходе задача обработки данных в эталонах времени и частоты сводится к широко известной проблеме оценивания состояния по результатам измерений [1]. Чаще всего под критерием оптимальности понимают критерий, обеспечивающий минимум суммы квадратов отклонений оценок вектора состояния от их истинного значения.

При решении задачи фильтрации оптимальные оценки находятся с помощью фильтра Калмана. Применяя методы декомпозиции фильтра и понижения его размерности, можно получить субоптимальный фильтр, основанный на использовании для оценивания состояния вектора Y(t) его прогнозов, вычисленных с помощью моделей временных рядов - моделей авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС). На связь фильтра Калмана с уравнениями АРПСС указывалось ещё в монографии В.С. Пугачёва [2]. Результаты моделирования показали высокую эффективность таких оценок [3]. Проблема, однако, заключается в том, что для построения подобных алгоритмов необходимо иметь ряды оценок относительных отклонений частот от приписанных им значений. Параметры моделей находились затем с помощью широко известной методики Бокса-Дженкинса. В алгоритмах, реализующих субоптимальную фильтрацию, такие оценки были получены с использованием результатов внешних сличений эталона, то есть использовалась информация о сличении мер времени и частоты относительно более высокостабильной меры - государственного эталона единиц времени и частоты. В настоящей работе делается попытка отказаться от такой информации и пользоваться только результатами взаимных измерений, выполненных в процессе "ведения" вторичного эталона.

Л

Оценки относительных отклонений частоты Yоп опорного элемента (хранителя частоты) при субоптимальной фильтрации находятся из следующего соотношения (подробнее см. в [3]). k-1

Ч + Y i (1)

Yоп = Z gi

i—1

k-1

gi

i—1

Уоп +

Yi(1) - y

(1)

где gi - вес /-го хранителя, Уг(1) - прогноз /-й составляющей вектора У, вычисленный с упреждением на один шаг.

В выражении (1) опущен индекс I, поскольку подразумевается, что эти оценки справедливы для каждого такта обработки данных. Веса gi выбираются обратно пропорционально дисперсии прогнозов, причём веса нормированы таким образом, что их сумма равна единице.

Как упоминалось выше, прогнозы вычислялись на основе одномерных моделей АРПСС, построенных по рядам у;(г), г = 1,к. Поскольку результаты измерений, получаемых в моменты времени I (I = 1, 2,...),

представляют собой разности относительных отклонений частоты = уоп - уг), то мы имеем дело с недоопределённой системой уравнений для каждого из моментов I Такие системы не имеют единственного решения. Поэтому в работе [4] был предложен следующий подход к решению данной проблемы: найти оценки относительных отклонений частот мер времени и частоты, входящих в состав группового эталона, получаемых на основе прогнозирующих моделей (по формуле (1)), так, чтобы сумма квадратов 3 отклонений прогнозов измерений от результатов измерений,

получаемых для моментов (г = 1,к), была минимальной. Так как прогнозы вычисляются с использо-

л

ванием моделей АРПСС для каждого из рядов Уг( 1), представляющих собой оценки относительных отклонений частоты в моменты для каждого из элементов группового эталона, то речь идёт о минимизации функционала 3 всех точках принадлежащих интервалу [г = 1,к]. При такой постановке проблемы одновременно решаются две задачи:

• "подгоняются" параметры моделей АРПСС для каждого из временных рядов, описывающих процессы отклонений частоты водородных генераторов;

л

• находятся оценки значений частот Уг( 1).

При известной структуре моделей (порядки р авторегрессии (АР) и порядки ц скользящего среднего (СС)) удаётся найти решение поставленной задачи.

Бокс и Дженкинс разделяют задачу построения моделей АРПСС на два этапа. Вначале решается задача идентификации структуры модели - определения параметров р и д. Для этого применяется понятие "близости" или "похожести" теоретических автокорреляционных функций процессов АРПСС их оценкам, найденным по эмпирическим временным рядам. Затем ищутся оценки параметров моделей методом их "подгонки". В нашем случае такой подход невозможен, так как мы располагаем только результатами косвенных измерений. Действительно, выбрав в качестве опорного элемента первый стандарт частоты (что не меняет общности рассуждений), получим следующую систему уравнений:

X = А • У, (2)

где A —

1 -1 0 1 0 -1

10

0

0 0

-1

- матрица наблюде-

ний.

Ранг матрицы А равен к-1, что не позволяет непосредственно найти вектор У из уравнения (2), то есть мы имеем дело с недоопределённой системой. Отсутствие рядов оценок уг(г) не позволяет непосредственно воспользоваться методикой Бокса-Дженскинса для определения структуры моделей. В [4] был предложен следующий метод решения поставленной задачи.

Л

Л

Полагая порядки АР и СС минимальными для всех элементов группового эталона ф = 0, q = 0), последовательно повышаем их, решая при этом оптимизационную задачу. Очевидно, что, как и в регрессионном анализе, увеличение р и д не может привести к росту функционала J(р), где р - обобщённый вектор параметров моделей [4]. С учётом того, что для реальных данных порядки р и д не превышают трёх, можно сконструировать алгоритм, доставляющий минимум среднему квадрату остатков. При этом под средним квадратом будем понимать значение функционала J(P), делённого на число степеней свободы Y■

k

у = N • к- £а; , ;=1

где а. - число параметров модели АРСС для ¡-го временного ряда.

Однако, как нетрудно заметить, при pi = qi = 3 , то

есть даже для группового эталона, включающего всего два хранителя, оптимизационную задачу необходимо решать 256 раз. При увеличении числа мер в групповом эталоне трудоёмкость подобного алгоритма стремительно возрастает. Поэтому, несмотря на теоретическую значимость, практическая ценность такого алгоритма невелика. Подробнее вопрос о его применении рассмотрен в [5].

Не решает возникшей проблемы и использование принципа "дополнительной суммы квадратов", применяемого при построении алгоритмов "пошаговой регрессии" [6]. Хотя при этом число "прогонов" оптимизационной задачи может быть уменьшено.

Принципиально иной подход заключается в построении предварительных оценок относительных отклонений частоты элементов группового эталона с последующим их уточнением на основе соотношения (1). При этом для получения начальных оценок находится решение уравнения (2) с помощью псевдообратной матрицы A+. Известно, что такое решение доставляет сумме квадратов минимум отклонения оценок составляющих вектора состояния У(г) при минимальной его норме.

Псевдообратная матрица A+ может быть найдена с помощью скелетного разложения матрицы [7]:

Ь11 ^ Ь1Г Ь21 ^ Ь2Г

A = B • C =

Ьт1 ^ Ьт

(3)

С11 с12 ••• с1п

_сг1 сг2 •'■ с2п _

где ранги сомножителей В и С равны рангу произведения, гв = гс = г ■ Тогда

А+ = С+ • В+ = С • (С • С')~] • (В' • В)-1 • В ■ (4) В качестве столбцов матрицы В берутся первые г столбцов матрицы А (г = к -1):

В =

1 -1 0

1 0 0

Элементы матрицы С найдутся из решения матричного уравнения (3). Например, при размерности матрицы А, равной 2x3, получаем матрицы

(5)

1 -1" "1 0 -1"

в = ; С =

1 0 0 1 -1

А+ = 1 3

С учётом того что

21 = Уг

имеем

■У2 ;

1 1 - 2 1 1 - 2

г2 = У1 - У3 ,

(6)

у = А+ • г =

(7)

У1 - У2 + У1 - Уз - 2 •(У1 - У2)+ У1 - Уз _ У1 -У2 -2•(У1 -Уз) Таким образом, оценка состояния опорного элемента, равная

77 = 2У1 ~ У2 - Уз

3

или, с учётом (6),

7 1 3

у 1 =1 •Е ^ ■ (8)

3 I=1

Оценки состояния других элементов могут быть найдены либо непосредственно из соотношения (6), либо с помощью простого пересчёта результатов измерений для данного момента времени t:

Л Л

у ;(1) = у 1(1) - г;© ■ (9)

Полученные результаты легко обобщаются для произвольной размерности матрицы А^

Временные ряды, построенные по формулам (7), (8) можно использовать для идентификации структуры моделей АРСС, то есть для определения параметров p и q. Для этого достаточно построить для каждого временного ряда автокорреляционные (АКФ) и частные автокорреляционные (ЧАКФ) функции и использовать методику Бокса-Дженкинса, основанную на сопоставлении выборочных АКФ и ЧАКФ их теоретическим значениям при конкретных p и q. При этом необходимо помнить, что исследуемые временные

Л

ряды (ряды оценок у;(1)) содержат погрешности, которые неизбежно повлекут за собой погрешности в оценивании автокорреляционных (и, соответственно, частных автокорреляционных) функций.

Рассмотрим погрешность оценки значений относительных отклонений частоты опорного генератора. Из равенств (6) (при общем числе элементов в групповом эталоне, равном к) следует:

к

Е У. У1 К .=2

=1 У1 -

(к -1)

к

к

(10)

и

X

В случае, если рассматриваемые линейные процессы не коррелированы, автокорреляционная функция суммы процессов равна сумме автокорреляционных функций [8]. Первый член в выражении (10) опрел

деляет смещение оценок ¥1(г), что не вносит изменений в АКФ временного ряда. Второй член с ростом к при независимых временных рядах стремится к нулю и, стало быть, также не вносит существенной погрешности в определение порядков р и ц. Однако при малых к, а в реальности приходится иметь дело именно с такой ситуацией, влияние этой составляющей погрешности может существенно исказить оценку порядков р и д. Впрочем, сама методика Бокса-Дженкинса, основанная на понятии "близости" теоретических и выборочных автокорреляционных и частных автокорреляционных функций, не даёт точного ответа на вопрос о структуре модели, а предполагает лишь нахождение приближённых значений порядков авторегрессии и скользящего среднего. Поэтому следует оценивать порядок р и ц только приближённо, используя несколько альтернативных структур моделей. Таким образом, предлагается следующая методика построения оценок относительных отклонений частоты элементов группового эталона времени и частоты:

1. По имеющимся результатам взаимных сличений элементов группового эталона находим оценки их относительных отклонений от приписанных значений по формулам (8), (9) для каждого момента t (г = ).

2. По найденным временным рядам строим их динамические модели (модели АРПСС), предварительно идентифицируя их структуру.

3. Найденные оценки параметров моделей используем в качестве начальных оценок при минимизации функционала (1). Оценки относительных отклонений частоты водородных стандартов, найденные при решении оптимизационной задачи, принимаем в качестве решения задачи статической обработки данных.

Как видно из формул (1) и (9), для получения несмещённых оценок в предлагаемой методике достаточно выполнения условия

Е

Уг(1) - у г

= 0,

в то время как в алгоритме, использующем расчётные формулы

л 1 л л

¥; = - Е ^ и ¥. = ¥1 - , к

условия несмещённости оценок более жёсткие: 1

к

•Е У г = 0

(в обоих случаях приведённые формулы применяются для г = 1,М).

Сопоставление приведённых выше соотношений даёт основание говорить о преимуществе предлагаемой методики по сравнению с алгоритмом среднего арифметического.

Наличие детерминированных трендов во временных рядах усложняет задачу построения прогнозиру-

ющих моделей. Учесть детерминированную составляющую можно, включив в модель АРПСС член в0 и работая с разностными рядами либо непосредственно включая в модель детерминированные функции. В [9] показано, что в общем случае сходимость процесса подгонки параметров не обеспечивается. Чаще всего ряды относительных отклонений частот содержат линейные тренды. Для их идентификации можно использовать алгоритм субоптимальной фильтрации (1), учил

тывая при вычислении прогнозов ¥г(1) только линейную составляющую

л тр ¥

(к) = ъ}г+ь°,

(11)

где к - номер такта, для которого вычисляется прогноз

л тР л сЛ

(здесь и далее через ¥г и ¥г обозначаются детерминированная и случайная составляющая соответствующей оценки).

Начальные оценки ъг0 и ъг1 могут быть найдены с использованием метода наименьших квадратов (МНК). При этом нельзя забывать, что для недоопре-делённых систем находятся МНК-оценки, доставляющие минимум норме вектора решения [7], а они далеко не всегда соответствуют реальной ситуации. Поэтому в качестве начальных оценок (то есть значений

коэффициентов ъг0 и ъг1 ) желательно использовать априорную информацию, полученную по результатам внешних сличений.

Таким образом, предлагается следующая методика обработки результатов взаимных измерений, выполняемых в процессе ведения эталонов времени и частоты:

1. Учёт детерминированных (линейных) трендов рядов относительных отклонений частоты водородных генераторов.

1.1. Если имеются результаты внешних сличений, то оценки параметров линейных функций (ъ0, Ъ1) находятся из анализа этих данных.

1.2. Если этой информации нет, проводится регрессионный анализ результатов взаимных измерений, то есть строятся уравнения парной регрессии для всех рядов {у1(г)-уг(г)). Проверяется гипотеза о

равенстве нулю коэффициентов ъг1. Если гипотеза не

отвергается хотя бы для одного из рядов с индексом ],

полагаем ъ\ = 0,Ъ1} = 0. В противном случае считаем,

что линейная регрессия отсутствует у элемента группового эталона, для которого модуль коэффициента

минимален.

1.3. Из уравнений

недоопределённой системы линейных

ъ\-ъ1 = Ъ\1 г = 1,...,п -1

(12)

с учётом полученной на этапе 1.2 оценки Ъ1 = 0 находим оценки линейных трендов частоты для всех элементов эталона.

л

ъ

2. Устраняем влияние трендов из рядов взаимных измерений.

3. По полученным скорректированным рядам измерений находим МНК-оценки значений относительных отклонений частоты опорного элемента для всех I. Эти оценки совпадают со средним значением

для каждого момента I. Оценки относительных отклонений частоты для всех остальных элементов группового эталона (водородных стандартов) находятся по формуле (9).

4. Найденные ряды МНК-оценок относительных отклонений частот водородных генераторов используем для построения моделей АРСС по методике Бокса-Дженкинса. Построенные модели используем в качестве первого приближения в процедуре минимизации функционала [10]

2 Л -

(л л А

¥J,l(t)-¥J,1+Д/)

2

(13)

N п-1

I = Е Е

J=1г=1 _

5. Полученные ряды оценок корректируются с учётом трендов, удалённых на этапе 2.

Ниже приведён пример обработки данных, полученных в процессе "ведения" государственного вторичного эталона времени и частоты ВЭТ1-5 ВСФ ВНИИФТРИ. Данные представлены четырьмя рядами сличений водородных стандартов (ВС) эталона:

ВС226-ВС225 (ряд №1).

ВС226-ВС227 (ряд №2).

ВС226-ВС228 (ряд №3).

ВС226-ВС221 (ряд №4).

Графики результатов взаимных измерений за 90 дней приведены на рис. 1.

Пусть известны параметры линейного тренда частоты опорного генератора (ВС226), полученные в результате внешних сличений вторичного эталона с Государственным эталоном времени и частоты с помощью системы ГНСС: л тр

¥1 (г) = 74,24372-0,03905 • г (г = 1,2,.,90) (данные представляют собой относительные отклонения частоты, взятые с умножением на 11015).

Решение системы линейных уравнений (12), полученных методом линейного регрессионного анализа

рядов измерений, представленных на рис. 1, с учётом

л тр

линейной функции ¥1 (г) , позволяет определить оценки параметров детерминированных функций для рядов, соответствующих генераторам ВС226 (опорный генератор), ВС225, ВС227, ВС228, ВС221 (для ряда ВС227 подгонялась квадратичная функция). В рассматриваемом случае получены модели: л тр

¥2 (г) = 42,23188-0,11779• г;

л тР

¥з (г) = -78,2389 + 0,0333-(ь34,9708)2;

л тР

¥4 (г) = -1,33149 + 2,70163• г;

тр

¥5 (г) = -46,9604-0,1084 • г;

(г = 1,2,. ,90)

На рис. 2 представлены ряды результатов взаимных измерений после удаления из них детерминированных трендов.

Рис. 1. Ряды взаимных измерений ВС

Рис. 2. Ряды взаимных измерений ВС после удаления детерминированных составляющих

Partial Autocorrelation Function y4_average (Standard errors assume AR order of k-1)

ш

■ 1

1 ■

■

1

■

■ I

1 ■ 1 1

Рис. 3. Выборочные АКФ и ЧАКФ оценок ряда 4 (ВС228) по среднему арифметическому

порядок скользя

Оценки метода наименьших квадратов при заданной матрице наблюдений А для опорного элемента

л

(ряд ¥1, соответствующий стандарту ВС226) находятся как среднее результатов измерений для каждого момента времени (. Оценки для остальных стан-

л

дартов при известных ¥1(г) находятся немедленно из результатов измерений при всех (. По полученным рядам оценок вычисляются автокорелляционные функции и частные автокорелляционные функции, позволяющие идентифицировать структуру моделей АРСС. На рис. 3 приведены графики этих функций для водородного стандарта ВС228.

Таким образом, получены следующие параметры структуры моделей для рядов относительных отклонений частоты водородных стандартов:

Р1=2; р2=1; рз=1; Р4=1; Р5=1;

Я1=0; Я2=0; Яз=0; Я4=0; Я5=0,

где р, - порядок авторегрессии; q¡ щего среднего.

Структура моделей АРСС и их начальные оценки используются затем при минимизации функционала и, в результате чего получаются оценки стохастической составляющей рядов относительных отклонений часты. Окончательный результат получается суммированием стохастических составляющих с детерминированными трендами, оцененными на этапе 1.3.

Если отсутствует информация о детерминированных трендах (то есть речь идёт о формировании автономных шкал времени), необходимо анализ данных начинать с пункта 1.2. При этом минимальный наклон линейной составляющей имеет ряд №3 (ВС226-ВС228). Будем считать, что водородный стандарт ВС228 не имеет детерминированной составляющей. Дальнейший анализ данных аналогичен вышеописанному. Разумеется, качество оценок при этом будет ниже.

Временные ряды (фрагменты)

x10-15 нс

Взаимные измерения Внешние сличения Оценки с использованием моделей АРПСС МНК-оценки

Номер измерения ВС226-ВС225 ВС226-ВС227 ВС226-ВС228 ВС226-ВС221 ВС226-БУ ВС225-БУ ВС227-БУ ВС228-БУ ВС221-БУ ВС226-БУ ВС225-БУ ВС227-БУ ВС228-БУ ВС221-БУ ВС226-БУ ВС225-БУ ВС227-БУ ВС228-БУ ВС221-БУ

16 20,5 138,9 32,5 121,9 79,6 59,1 -59,3 47,1 -42,3 71,31 50,81 -67,58 38,81 -50,58 70,71 50,21 -68,18 38,21 -51,18

17 18,5 140,7 32,3 128,8 67,8 49,3 -72,9 35,5 -61,0 73,01 54,51 -67,68 40,71 -55,78 72,24 53,74 -68,45 39,94 -56,55

18 16,5 141,5 29,0 120,7 74,3 57,8 -67,2 45,3 -46,4 71,44 54,94 -70,05 42,44 -49,25 69,96 53,46 -71,53 40,96 -50,73

19 27,7 142,9 26,4 127,4 74,1 46,4 -68,8 47,7 -53,3 75,07 47,37 -67,82 48,67 -52,32 73,55 45,85 -69,34 47,15 -53,84

20 36,6 141,4 21,8 118,5 73,6 37,0 -67,8 51,8 -44,9 74,05 37,45 -67,34 52,25 -44,44 72,60 36,00 -68,79 50,80 -45,89

21 41,5 144,9 21,1 120,7 70,8 29,3 -74,1 49,7 -49,9 75,52 34,02 -69,37 54,42 -45,17 74,86 33,36 -70,03 53,76 -45,83

22 40,5 144,2 16,4 123,8 78,9 38,4 -65,3 62,5 -44,9 74,41 33,91 -69,78 58,01 -49,38 74,50 34,00 -69,69 58,10 -49,29

23 42,4 147,0 16,1 121,1 69,7 27,3 -77,3 53,6 -51,4 75,09 32,69 -71,90 58,99 -46,00 75,14 32,74 -71,85 59,04 -45,95

24 40,3 145,9 12,7 117,7 72,9 32,6 -73,0 60,2 -44,8 72,92 32,62 -72,97 60,22 -44,77 73,47 33,17 -72,42 60,77 -44,22

25 37,2 146,7 9,7 118,5 75,7 38,5 -71,0 66,0 -42,8 71,98 34,78 -74,71 62,28 -46,51 72,90 35,70 -73,79 63,20 -45,59

26 36,8 147,9 5,9 121,2 78,5 41,7 -69,4 72,6 -42,7 72,10 35,30 -75,79 66,20 -49,09 73,19 36,39 -74,70 67,29 -48,00

27 38,6 149,0 11,1 120,0 69,9 31,3 -79,1 58,8 -50,1 73,94 35,34 -75,05 62,84 -46,05 74,93 36,33 -74,06 63,83 -45,06

28 36,6 149,5 8,8 133,7 80,1 43,5 -69,4 71,3 -53,6 75,87 39,27 -73,62 67,07 -57,82 77,28 40,68 -72,21 68,48 -56,41

29 37,4 151,0 3,9 119,5 77,3 39,9 -73,7 73,4 -42,2 73,93 36,53 -77,06 70,03 -45,56 74,31 36,91 -76,68 70,41 -45,18

30 38,9 152,2 2,6 118,0 76,4 37,5 -75,8 73,8 -41,6 73,98 35,08 -78,21 71,38 -44,01 74,69 35,79 -77,50 72,09 -43,30

Качество оценок будем определять как снижение суммы квадратов отклонений (найденных по результатам взаимных измерений) значений частоты опорного генератора с соответствующими значениями, полученными при внешних сличениях вторичного эталона. При использовании прогнозирующих моделей и известных параметрах линейного тренда у опорного генератора сумма квадратов отклонений снижается на 9%. При отсутствии априорной информации этот показатель значительно ниже (порядка 1%).

Фрагмент таблицы, в которой приведены результаты взаимных измерений (ВС226-ВС225 и т.д.) и внешних сличений (ВС226^ и т.д.) вторичного эталона, а также оценки, найденные с использованием моделей АРПСС и МНК-оценки, приведены в таблице. Выводы:

1. Уменьшение суммы квадратов отклонений оценок относительных значений частоты от их значений, получаемых при внешних сличениях эталона, можно

трактовать как повышение стабильности частоты эталона за счёт применения более сложных алгоритмов обработки данных.

2. Небольшой процент повышения стабильности частоты не должен смущать исследователей, так как, во-первых, внедрение алгоритмов не требует капитальных затрат, а во-вторых, стабильность современных эталонов времени и частоты настолько высока, что даже небольшое повышение стабильности сулит серьёзный экономический эффект.

3. Решение задачи обработки результатов взаимных измерений в режиме накопления данных (то есть задачи, рассмотренной в настоящей работе) позволяет решить проблему построения прогнозирующих моделей (моделей АРСС) по результатам косвенных измерений с неполной матрицей наблюдений. Это в свою очередь позволяет перейти к решению задачи фильтрации, то есть к обработке результатов измерений в темпе их поступления.

1. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерения. 2-е изд. М.: Либроком, 2011. 416 с.

2. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. М.: Физматлит, 2002. 496 с.

3. Хрусталёв Ю.П., Спиридонова Е.В. Алгоритмы обработки измерительной информации, получаемой в процессе хранения единиц времени и частоты // Техника средств связи. Серия «Радиотехнические измерения». М. 1986. С. 58-72.

4. Хрусталёв Ю.П. Статическая и динамическая обработка данных, получаемых в процессе ведения эталонов времени частоты // Измерительная техника 2004. № 6. С. 20.

5. Ипполитов А.А. Построение стохастических моделей динамических систем при неизвестной их структуре // Вине-

Библиографический список

ровские чтения: труды IV Всерос. конф. Ч. 1. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2011. С. 136-141.

6. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Вып. 1. М.: Финансы и статистика, 1986. 366 а

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

8. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных данных / пер. с англ. М.: Мир, 1989. 540 с.

9. Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983. 384 с.

10. Хрусталёв Ю.П. Построение динамических стохастических моделей систем с неполной матрицей наблюдений // Вестник ИрГТУ. 2010. № 6. С. 15-20.