CC BY
54
Обоснование толщины подкладочного слоя в шинирующих дуговых протезах
Жолудев С.Е.
д.м.н., профессор, зав. кафедрой ортопедической стоматологии ГОУ ВПО УГМА, г. Екатеринбург, [email protected]
Кандоба И.Н.
к.ф-м.н., старший научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, [email protected]
Тарико О.С.
заочный аспирант кафедры ортопедической стоматологии ГОУ ВПО УГМА, врач-стоматолог стоматологической клиники «Реал-Дент», г. Екатеринбург, [email protected]
Резюме
В работе рассматриваются проблемы применения подкладочных материалов при протезировании шинирующими конструкциями дуговых протезов у пациентов с заболеваниями пародонта. Основное внимание уделяется вопросам определения значений упругих параметров и формы (распределения толщины) подкладочного слоя, которые бы позволили существенно снизить негативное воздействие на ткани протезного ложа жевательной нагрузки и увеличить сроки пользования протезом. Результаты математического и численного моделирования показывают, что в большом числе случаев, во-первых, оптимальные значения упругих параметров этого слоя достаточно близки к соответствующим свойствам известных материалов, во-вторых, за счет распределения толщины подкладочного слоя можно значительно снизить воздействие вертикальной нагрузки на ткани протезного ложа.
Ключевые слова: шинирующий дуговой протез, подкладочный слой, контактная граница, напряженно-деформированное состояние, оптимальная форма.
RATIONALE FOR THICKNESS OF THE UNDERHAYMENT
to the ARC SPLINTING DENTURES
Zholudev S.E., Kandoba I.N., Tariko O.S.
Summary
We examine the problem of the using lining materials in prosthetic with arc prostheses splinting constructs in patients with periodontal diseases. We focus on determining the elastic parameters and the shape (thickness distribution) of the underlay that would allow to significantly reduce the negative impact of chewing load on the fabric prosthetic bed and increase the time of using the prosthesis. Results of the mathematical and numerical modeling show that in many cases, firstly, the optimal values of elastic parameters of this layer is fairly close to the corresponding properties of known materials, and secondly, due to the distribution of thickness of the underlay, we can significantly reduce the vertical load on the tissue of the prosthetic bed.
Keywords: splinting arc prosthesis, underlay, contact boundary, the stress-strain condition, the optimal shape.
Введение
Во многих клинических случаях у пациентов с заболеваниями пародонта врачу-ортопеду приходится проводить планирование конструкции зубных протезов таким образом, чтобы не только восполнить уже отсутствующие зубы, но и провести шинирование сохранившихся. Актуальной проблемой, возникающей при практической реализации такого подхода, является уменьшение негативного воздействия на ткани протезного ложа жевательной нагрузки и уве-
личение жизненного цикла протеза. Одним из способов решения этой проблемы является использование мягких подкладок между базисом протеза и подлежащей слизистой оболочкой.
Данная работа примыкает к исследованиям [2, 3]. Основной целью этой работы является обоснование с помощью средств математического и численного моделирования рекомендаций для выбора значений упругих параметров материала подкладочного слоя и индивидуального определения его оптимальной формы. Здесь под оптимальной формой подкладочного слоя понимается то рациональное распределение его толщины, которое позволяет минимизировать вертикальную нагрузку на протезное ложе.
1. Математическая модель задачи определения напряженно-деформированного состояния системы «зубы-протез-челюсть
Ответ на вопрос о степени воздействия жевательной нагрузки на ткани протезного ложа может быть получен в результате анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) зубного ряда, восстановленного с помощью шинирующего дугового протеза.
Рассмотрим математическую постановку задачи о моделировании сложной медико-биологической системы зубов, мягких и костных тканей челюсти, шинирующего дугового протеза. Такая зубочелюстная система (ЗЧС) может рассматриваться как неоднородная конструкция, подверженная воздействию заданной внешней статической нагрузки. Эта конструкция представляет собой объединение конечного числа упругих однородных сегментов, обладающих различными механическими свойствами. При этом можно считать, что часть внешней границы конструкции жестко закреплена, а к другой ее части прикладывается заданная статическая нагрузка.
При таких условиях формализация задачи и применение аппарата механики сплошной среды позволяют описать распределение напряжений и деформаций в сегментах
40
проблемы стоматологии. 20ц. № 1
конструкции с помощью дифференциальных уравнений. В исследуемой здесь задаче особый интерес представляет распределение напряжений и деформаций, возникающих на контактных границах сегмента, соответствующего подкладочному слою. Корректность применения математических и численных методов моделирования дает основание полагать, что решение этих дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях достаточно адекватно отражает реальное распределение напряжений и деформаций на контактной границе указанного сегмента.
Поскольку воздействие жевательной нагрузки на слизистую оболочку протезного ложа определяется в основном значениями напряжений и деформаций в несущем (фронтальном) сечении протеза, подкладочного слоя, зубного ряда, слизистой оболочки и костных тканей, то достаточно исследовать плоскую неоднородную упругопластическую задачу. Решение этой задачи имеет достаточно общий характер и позволяет провести требуемый анализ распределения напряжений и деформаций на контактной границе сегмента подкладочного слоя. На рис. 1 отображена геометрическая модель плоского фронтального сечения фрагмента ЗЧС, построенная на основе рентгенограммы.
На рис. 1, 2 серым цветом отображены сегменты твердых тканей зуба; розовым - сегменты слизистой оболочки; оранжевым - сегменты периодонта; красным - сегменты губчатой кости; светло-голубым - сегмент седловидной части дугового протеза (далее, для краткости, просто протеза); желтым - сегмент покладочного слоя. Форма контуров различных тканей на рис. 1 взята из практики и соответствует строению зубочелюстной системы конкретного пациента.
Упругие механические свойства различных однородных сегментов задаются двумя параметрами - модулем Юнга (ц) и коэффициентом Пуассона (V). Значения этих параметров для различных тканей и материалов индивидуальны. В данном исследовании губчатая кость пациентов рассматривается как однородный материал, т.е. считается, что в ней расстояния между включениями во много раз больше размеров этих включений. Значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона для различных тканей ЗЧС [4] и материалов приведены в табл. 1.
Рис. 1. Геометрическая модель фрагмента плоского сечения зубочелюстной системы
у контуров сегментов твердых тканей зашинированных зубов и сегмента протеза (см. рис. 1).
Функциональная нагрузка, прилагаемая через зубы и протез, передается через периодонт на губчатую кость и через подкладочный слой на слизистую оболочку протезного ложа. При этом предполагается, что на внешнем контуре сегмента губчатой кости (на рис. 1 отображена темно-синим цветом) отсутствуют какие-либо смещения, а на границах смежных сегментов отсутствуют относительные сдвиги. Функциональная жевательная нагрузка моделируется с помощью внешней статической нагрузки, задаваемой набором внешних сил, приложенным к внешней части контуров сегментов твердых тканей зубов и сегмента протеза. Для каждой силы указывается направление, серединная точка элементарной площадки приложения, величина силы и длина элементарной площадки приложения силы (см. рис. 2). Эти данные позволяют однозначно задать граничные условия для системы дифференциальных уравнений, решение которой описывает НДС плоского сечения исследуемого фрагмента ЗЧС.
Рис. 2.
Фрагмент модели плоского сечения ЗЧС.
Моделирование функциональной статической нагрузки
Таблица 1.
Значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона
Материал Ц (кг/мм2) V
Твердые ткани зуба 1470 0,31
Периодонт 20 0,35
Губчатая кость (при нормальной относительной плотности) 750 0,45
Материал седловидной части дугового протеза (Этакрил) 2850 0,39
Моделирование шин различных типов в рамках плоской геометрической модели плоского сечения фрагмента ЗЧС осуществляется путем создания контактных точек (отрезков) контуров соседних сегментов твердых тканей зубов и сегмента протеза. Например, шинирование с помощью проволочной шины моделируется наличием контактных точек
2. Математическая постановка задачи оптимизации упругих параметров и формы подкладочного слоя и методы ее решения
Содержательно задача оптимизации упругих параметров и формы подкладочного слоя заключается в следующем. Фиксируются вариант шинирования зубного ряда, форма седловидной части дугового протеза и жевательная нагрузка на зубы и протез. Требуется определить значения упругих параметров материала и форму подкладочного слоя, для которых напряжения, возникающие на контактной границе «подкладка-слизистая», будут, во-первых, минимальны и, во-вторых, наиболее равномерно распределены на этой контактной границе. По нашему мнению [2], выполнение этих требований позволяет значительно уменьшить негативное влияние вертикальной нагрузки на слизистую оболочку протезного ложа.
Рассмотрим математическую постановку этой оптимизационной задачи. Зафиксируем геометрическую форму
однородных упругих сегментов (твердые ткани зубов, периодонт, слизистая, губчатая кость, седловидная часть дугового протеза), образующих неоднородную конструкцию, описывающую геометрическую форму плоского сечения ЗЧС. С помощью набора контактных точек контуров сегментов смежных зубов и протеза зафиксируем способ шинирования зубного ряда. Зададим на части внешней границы контуров сегментов зубов и протеза напряжения, моделирующие один из возможных вариантов воздействия жевательной нагрузки на восстановленный с помощью такого шинирующего дугового протеза зубной ряд.
Рассмотрим сегмент ю(уГ) плоского сечения седловидной части протеза (см. рис. 3), где через у и Г обозначены контактная граница этого сегмента с сегментом слизистой оболочки и его внешняя граница соответственно. Параметризуем контур у с помощью натурального параметра зе[0,Ду)], где ¿(у) - длина контура у. На отрезке [0,Ду)] определим некоторую гладкую функцию й*(5). К каждой точке 5е[0,Ду)] значение этой функции полагается к*(я) равным длине отрезка, расположенного на внутренней нормали п^) к контуру у в точке 5 (см. рис. 3). Такая функция к*(я) определяет некоторый контур у*, который совместно с контуром у задает некоторый дополнительный сегмент ю(у,у*), определяющий форму подкладочного слоя.
Зафиксируем контуры у, и Г некоторую положительную величину & Зададим в точках контура Г напряжения / значения которых определяются некоторой внешней статической нагрузкой. Задача оптимизации заключается в определении такой гладкой функции й*(5), 5е[0,Ду)], значений модуля Юнга (ц*) и коэффициента Пуассона (V*) - упругих параметров сегмента ю(у,у*), для которых выполняются следующие условия:
I) X h(s)ds<S; (1)
II) При замене части сегмента ю(у,Г) дополнительным сегментом ю(у,у*) обеспечивается одновременное достижение минимальных значений следующих показателей:
>И) = ^ , (2)
Рис. 3. Несущее плоское сечение седловидной части дугового протеза
G(h*,id*,v*)=§f(s)-V(h*,^.*,v*))2 ds , (3)
Значение показателя V(h*,^.*,v*) определяет среднее значение напряжения f на контактной границе у, а значение показателя G(h*,^*,v*) - среднее значение разброса значений напряжений на контактной границе у. Одновременная минимизация показателей (2) и (3) при некоторых достаточно адекватных реальности предположениях относительно свойств контура у позволяет совместно минимизировать в точках этого контура значения напряжений и добиваться их наиболее равномерного распределения их значений на контактной границе «подкладка-слизистая». Условие (1) накладывает ограничение на площадь допустимого поперечного сечения прокладочного слоя, т.е. ограничение на объем материала этого слоя. Отсутствие этого ограничения приводит либо к полной замене материала седловидной части протеза материалом подкладочного слоя, либо к возникновению недопустимой подвижности седловидной части протеза.
С точки зрения математической сформулированная выше задача относится к классу многокритериальных задач оптимизации конструкций. Как правило, в таких задачах удается найти некоторое компромиссное решение, например, оптимальное по Парето решение. Здесь предлагается от такой многокритериальной оптимизационной задачи перейти к задаче минимизации при ограничении (1) одного показателя
J{h*,yL*,v *)=aV(h*,yL*,v *))+(1-а )G(h*,\i*,v*), (4)
где ае[0,1] - числовой параметр в оптимизационной задаче, определяющий величины приоритетов при минимизации показателей (2) и (3) - чем ближе значение параметра к нулю, тем больший приоритет отдается достижению наиболее равномерного распределения напряжений на контактной границе «подкладка-слизистая», чем ближе к единице - минимизации среднего значения напряжений на этой границе. При а=1/2 формируются определенные паритетные условия для одновременной минимизации обоих показателей (2) и (3).
Поскольку в исследуемой здесь оптимизационной задаче форма конструкции описывается функцией h*(s), то для решения задачи минимизации показателя (4) могут быть использованы известные методы решения таких задач оптимизации [1].
3. Результаты численного моделирования
Для построения геометрической модели плоского несущего сечения фрагмента ЗЧС использовалась рентгенограмма реального пациента (см. рис. 1, 2). Предполагалось, что седловидная часть дугового протеза изготавливалась из пластмассы горячей полимеризации -Этакрил. Значения упругих параметров этого материала (модуля Юнга и коэффициента Пуассона), приведенные в таблице 1, были получены в результате испытаний по сертифицированной методике образцов этого материала на универсальной испытательной машине Zwick Z2.5 (см. рис. 4) в Институте машиноведения Уральского Отделения РАН.
42
проблемы стоматологии. 20п. № 1
При этом численно исследовалась ситуация, когда все зубы ряда зашинированы с помощью шины из проволоки флекс (см. рис. 1).
При численном моделировании НДС плоского сечения ЗЧС (см. рис. 1) рассматривались несколько возможных вариантов направлений и точек приложения внешних сил. Эти варианты обусловливаются особенностями механизмов функционирования зубочелюстной системы. На рис. 2 представлен один из возможных вариантов воздействия внешней нагрузки в виде набора векторов внешних сил, для каждого из которых указаны параметры соответствующей силы (величина силы и длина элементарной площадки ее приложения).
Результаты численного решения описанной выше задачи минимизации показателя (4) показывают:
Во-первых, в большом числе случаев оптимальные значения упругих параметров (модуля Юнга и коэффициента Пуассона) подкладочного слоя оказываются достаточно близкими к значениям соответствующих параметров известных материалов. В частности, в большом диапазоне значений величины S в изопериметрическом ограничении (1), для изготовления подкладочного слоя может быть рекомендован материал Mucopren Soft (ц=4.83 106Па, v=0.45).
Во-вторых, использование подкладочного слоя и конструирование формы его плоского сечения с использованием оптимальной функции h*(s) (решения поставленной выше однокритериальной оптимизационной задачи) (см. рис. 3) позволяет существенно уменьшить как значения напряжений на контактной границе «подкладка-слизистая», так и
Рис. 4. Экспериментальное определение значений упругих параметров материала на универсальной испытательной машине ZwickZ2.5
величину разброса их значений на этой контактной границе. В отдельных случаях путем рационального выбора значения параметра а в показателе (4) удается за счет формы плоского сечения подкладочного слоя, описываемой функцией h*(s), уменьшить в несколько раз (иногда - на порядок) значения обоих показателей (2) и (3) по сравнению с ситуацией, когда подкладочный слой отсутствует.
Выводы
Результаты математического и численного моделирования напряженно-деформированного состояния зубочелюстной системы, в которой зубной ряд восстановлен с помощью шинирующего дугового протеза, свидетельствуют о возможности применения в большом числе клинических случаев рассмотренной в работе методики протезирования с использованием подкладочного слоя. При этом, результаты численных экспериментов с использованием реальных данных показывают, что как упругие параметры материала подкладочного слоя, так и форма его поперечного сечения (распределение его толщины) являются ресурсами, за счет рационального (или оптимального) использования которых, можно добиться значительного снижения негативного воздействия функциональной жевательной нагрузки на слизистую оболочку протезного ложа.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 0901-00523 и Программы Президиума РАН «Математическая теория управления» (Проект 09-П-1-1013).
ЛИТЕРАТУРА
1. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980, 255 с.
2. Жолудев С.Е., Кандоба И.Н., Тарико О.С. Математическое обоснование применения подкладочного слоя в шинирующих дуговых протезах при заболеваниях пародонта, сочетающихся с концевыми дефектами зубного ряда. Уральский медицинский журнал. - № 8 (73), 2010. - С. 26-28.
3. Кандоба И.Н., Коледа П.А., Жолудев С.Е. Оптимизация формы накладки (pinlay). Моделирование упруго-напряженного состояния зуба. Проблемы стоматологии. - № 5, 2007. - С.19-23.
4. Олесова В.Н., Арутюнов С.Д., Воложин А.И., Ибрагимов Т.И., Лебеденко И.Ю., Левин Г.Г., Лосев Ф.Ф., Маль-гинов Н.Н., Чумаренко Е.Н., Янушевич О.О. Создание научных основ, разработка и внедрение в клиническую практику компьютерного моделирования лечебных технологий и прогнозов реабилитации больных с челюстно-лицевыми дефектами и стоматологическими заболеваниями. Монография - М.: МГМСУ, 2010. - 143 с.
