Обоснование метода Галеркина для интегро-дифференциальных гиперсингулярных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

152 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

MSC 46Е99

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ

С.И. Эминов, В.С. Эминова

Новгородский государственный университет, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41, Великий Новгород, 173003, Россия,

e-mail: eminovsiQmail.ru

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, приближения Галеркина, гиперсингулярные уравнения.

Многие задачи теории дифракции и теории упругости описываются уравнением вида

1 д_

п дт

-1 г

'-1

д

dt

д- ^ (т) а (t) In )

u (t) dt +

i

-i

K (т, t) u (t) dt

f (т),

(1)

где а (т) - гладкая функция, удовлетворяющая условию: 0 < а0 < а (т) < b0 при всех т, u (t) - неизвестная функция, ядро K (т, t) является непрерывной функцией или имеет логарифмическую особенность. В работе [1] был исследован частный случай уравнения (1),когда функция а (т) постоянна. Исследование уравнения (1) сводится к изучению гиперсингулярного интегро-дифференциального оператора

(Au) (т)

1 д_

п дт

i

' u (t)

д_

dt

ln

1

It - т I

dt,

1 < ^ 1.

Оператор A является симметричным положительно-определенным оператором в гильбертовом пространстве L2 [-1,1] и имеет плотную область определения D (A) [1]. Положительная определенность означает, что для любой функции u из области определения D (A) оператоpa A справедливо неравенство

(Au, u) > y2 (u, u) , y > 0.

Введем энергетическое пространство Ha симметричного положительно- определенного оператора A, как гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой

[u, v] = (Au, v),

[u]2 = (Au, u).

Используя положительную определенность оператора A несложно доказать, что для любого u из области определения D (A) операто pa A справедливо неравенство

1N < [u] < - \\Au\\.

i

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 153

Положительно-определенный оператор A имеет ограниченный обратный A С В следующей теореме этот результат усиливается.

Теорема 1. Оператор, обратный к положительно определенному оператору A задается формулой

(A-\f) (т) = 1 Jj (t)ln

т — t

1 — Tt + л/l — т2у/1 — t2

dt.

н является вполне непрерывным в пространстве L2 [—1,1].

Из этой формулы следует, что оператор A-1 является интегральным оператором с логарифмическим ядром. Теорема 1 позволяет доказать эквивалентность исходного уравнения, уравнению Фредгольма второго рода в энергетическом пространстве оператора A. Далее введем в рассмотрение систему функций

фп (т)

(-)

\лн J

1/2

sin [n arccos (т)]

(-)

\nn J

1/2

Vi — т2 Un (т) ,

n = 1,2, 3,...

Здесь (•, •) означает скалярное произведение в L2 [—1,1], a U (т) - полиномы Чебышева второго рода: U1 (т) = 1, U2 (т) = 2т, U3 (т) = 4т2 — 1 и т. д. Имеет место теорема.

Теорема 2. Система функций

фп (т)

2

nn

sin [n arccos (т)] ,

n = 1, 2, 3,...

является полной в энергетическом пространстве Ha н ортонормированной.

Кроме того, введенные функции удовлетворяют известным условиям Мейкснера на ребре. Используя теоремы 1 и 2 получен следующий результат.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) имеет единственное решение в энергетическом пространстве Ha- Тогда приближенное решение, построенное методом Галеркина на основе базисных функций фп (т), сходится к точному решению в иространстве Ha-

Литература

1. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. - 1993. - 38, Вып.12. - С.2160-2168.

2. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970.

GROUND OF GALERKIN’S METHOD FOR INTEGRO-DIFFERENTIAL HYPERSINGULAR EQUATIONS

S.I. Eminov, V.S. Eminova

Novgorod State University,

Bolshaya Sankt-Peterburgskaya Str., 41, Velikii Novgorod, 173003, Russia, e-mail: eminovsiQmail.ru

Key words: integral-differential equation, Galerkin’s approximations, hypersingular equations.