Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для волнового уравнения с ненулевой начальной скоростью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95;517.984

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С НЕНУЛЕВОЙ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ

А. П. Гуревич1, В. П. Курдюмов2, А. П. Хромов3

1 Гуревич Александр Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]

2Курдюмов Виталий Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]

3Хромов Август Петрович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]

В статье методом контурного интегрирования резольвенты оператора, порожденного спектральной задачей, соответствующей смешанной задаче для волнового уравнения с комплексным потенциалом, дается обоснование метода Фурье двух смешанных задач с нулевой начальной функцией и ненулевой начальной скоростью. Краевые условия таковы, что эти две задачи вместе со смешанной задачей с закрепленными концами исчерпывают весь класс смешанных задач с указанными начальными условиями, для которых оператор соответствующей спектральной задачи в методе Фурье имеет регулярные краевые условия. В отличие от работы В. А. Чернятина, предложенный метод не использует уточненной асимптотики собственных значений и никакой информации о собственных функциях. На начальные данные рассматриваемых задач накладываются минимальные требования. Существенно используется прием А. Н. Крылова ускорения сходимости рядов Фурье.

Ключевые слова: метод Фурье, формальное решение, спектральная задача, резольвента. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-1 -13-29

ВВЕДЕНИЕ

Традиционно обоснование метода Фурье в задачах математической физики опирается на доказательство равномерной сходимости ряда, представляющего формальное решение задачи, и рядов, получающихся из него почленным дифференцированием нужное число раз. Впервые строгое обоснование метода Фурье, основанное на такой точке зрения, было дано В. А. Стекловым [1, с. 224] и в последующем именно так проводилось обоснование метода Фурье для большинства задач математической физики. Законность указанных операций дифференцирования приводит к завышению требований на исходные данные задачи, не вызванные самой ее постановкой. Выход из этого положения намечен А. Н. Крыловым [2] в его исследованиях по ускорению сходимости рядов Фурье и им подобных. Суть его приема состоит в том, что вопрос о дифференцировании ряда Фурье решается путем разбиения его на два ряда, один из которых точно суммируется (и тем самым в этом случае не надо прибегать к почленному дифференцированию), а второй ряд сходится настолько быстро, что его можно почленно дифференцировать. В. А. Чернятин [3] приемом А. Н. Крылова с применением уточненной асимптотики собственных значений и собственных функций исследовал ряд задач методом Фурье и значительно ослабил условия гладкости, и в ряде случаев эти условия гладкости стали минимально возможными. Переход от формального решения к новому виду, вытекающему из исследований А. Н. Крылова и В. А. Чернятина, есть качественно новый шаг, позволяющий с исчерпывающей полнотой исследовать краевые задачи методом Фурье и ставящий много вопросов и в теории функций.

В [4] А. П. Хромов предложил новый способ использования приема А. Н. Крылова, опирающийся на метод Коши - Пуанкаре интегрирования по спектральному параметру резольвенты оператора, порожденного спектральной задачей по методу Фурье, который получил свое дальнейшее развитие в [5,6].

В настоящей работе, в отличие от [4-6], где начальные условия смешанных задач для волнового уравнения

d2u(x,t) d2u(x,t) , , , ,

-dtr- = - q(x)u(M)

имеют вид

u(x, 0) = p(x), ut(x, 0) = 0, (1) мы рассмотрим такие начальные условия:

u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = ^(x). (2)

В результате, используя резольвентный подход в методе Фурье, мы получим классические решения двух смешанных задач с начальными условиями (2) при минимальных условиях на ^(x) и краевыми условиями

uX (0, t) + aiu(0, t) + в1 u(1, t) = uX(1, t) + a2 u(0, t) + в2 u(1, t) = 0 (3)

для одной из них и

uX(0, t) + eux(1, t) + aiu(0, t) + ei u(1, t) = au(0, t) + u(1, t) = 0 (4)

для другой, притом, что в условиях (4) 1 + ав = 0. Эти две задачи вместе со смешанной задачей с условиями (2) и закрепленными концами (u(0,t) = u(1,t) = 0) исчерпывают весь класс смешанных задач для волнового уравнения с начальными условиями (2), для которых оператор соответствующей спектральной задачи в методе Фурье имеет регулярные краевые условия. В случае краевых условий u(0, t) = u(1,t) = 0, начальных условий (2) и вещественной q(x) классическое решение смешанной задачи при минимальных требованиях на ^(x) получено в [3]. Для комплекснозначной q(x) оно может быть получено резольвентным методом, приведенном в настоящей статье. Классические решения смешанных задач для волнового уравнения с начальными условиями (1) с краевыми условиями (3), (4) или u(0, t) = u(1, t) = 0 при минимальных требованиях на ^(x) и комплекснозначной q(x) получены в [4-6].

Исследование смешанных задач с начальными условиями (2) наталкивается на дополнительные, по сравнению с [4-6], трудности, некоторые из которых преодолеваются представлением ^(x) в виде суммы двух функций, одна из которых обращается в ноль вместе со своей производной в точках 0 и 1, а другая принадлежит области определения оператора, определяющего спектральную задачу в методе Фурье.

1. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ (3)

Рассмотрим задачу

d2u(x,t) d2u(x,t) , , ,

-^ = - q(x)u(x, ^ (5)

uX(0, t) + a1u(0, t) + в1 u(1, t) = uX(1, t) + а2 u(0, t) + e2u(1, t) = 0, (6)

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = ^(x), x e [0,1], t e (-ro, ro), (7)

где q(x) e C[0,1] — комплекснозначная функция, а1, а2, в1, в2 — комплексные числа. Естественные минимальные требования для классического решения здесь такие: ^(x) e C1 [0,1] комплекснозначная, причем

ф'(0) + «1^(0) + в1^(1) = 0, ф' (1) + а2 ф(0) + в2 ф(1)=0. (8)

Задача (5)-(6) с условиями (1) рассмотрена в [5].

Для формирования эталонной смешанной задачи (см. [7]) мы привлекаем оператор L0: L0y = —y''(x), y'(0) = y'(1) = 0. Отметим, что оператор L0 самосопряженный, его собственными значениями являются (см. [8, с. 365]) числа А°п = n2п2, n = 0,1,..., а соответствующими ортонор-мированными собственными функциями: ^0(x) = 1, (x) = V2 cos nnx (n = 1, 2,...).

1.1. Преобразование формального решения

Метод Фурье связан со спектральной задачей для оператора Ь:

Ьу = —у'' (ж) +

Ц. (у) = У'(0) + у(0) + в!У(1) = 0, (у) = у'(1) + «2у(0) + &у(1) = 0.

Теорема 1. Собственные значения Лп = рП (Л = р2, Яе р ^ 0) оператора Ь при достаточно больших п простые и имеют асимптотику рп = пп + еп, где п = п0, п0 + 1,..еп = 0(1/п).

(Это известный факт, см., например, [9, с. 74].)

Обозначим через 7п окружности тП = {р||р — пп| = 5}, 8 > 0 достаточно мало, и через 7п — образ тп в Л-плоскости. Пусть ДА = (Ь — ЛЕ)-1, где Е — единичный оператор, Л — спектральный параметр, есть резольвента оператора Ь. Формальное решение задачи (5)-(7) по методу Фурье представим в виде (см. [10,11])

«(ж,£) = — — / (Да-- ¿Л — V — /(Да—- ^Л, (9)

2пг У р ^^ 2пг У р

7г п^пс

где 7Г = {Л | |Л| = г}, г > 0 фиксировано и таково, что внутри 7г находятся все собственные значения оператора Ь, не попавшие внутрь 7п при п ^ п0, контуры 7г и 7пс не пересекаются. Отметим, что теперь в формальном решении не фигурируют явно ни собственные значения, ни собственные функции.

Выполним теперь преобразования ряда (9) с использованием эталонной задачи.

Лемма 1. Имеет место представление

^(ж) = ^(ж) + ^2 (ж), (10)

где (ж) е С 1[0,1], ^(0) = ^(1) = (0) = (1) = 0, ^(ж) е С2[0,1], ^2(ж) е Бь (область определения оператора Ь).

Доказательство. Имеем ^(ж) = (^(ж) — (ж)) + (ж) = ^1(ж) + (ж), где (ж) е С2[0,1] и удовлетворяет условиям ^(0) = ^(0), ф^(1) = ^(1) (^ = 0,1) (в качестве ^2(ж) можно взять, например, многочлен третьего порядка, удовлетворяющий этим условиям). Поскольку ^(ж) удовлетворяет условиям (8), то этим условиям удовлетворяет и (ж) и, следовательно, (ж) е ^^. □

Лемма 2. Пусть д0 — фиксированное число, не являющееся собственным значением оператора Ь и 7 — один из контуров 7г, 7п при п ^ п0 (д0 вне 7). Тогда

/(Да ^2)-- ^ = /--(Да^)-- ^Л,

3 р 3 Л — Д0 р

7 7

где д = (Ь — Д0Е)^2.

Доказательство аналогично приведенному в [5, лемма 1].

Теорема 2. Формальное решение задачи (5)-(7) представимо в виде

и(ж, £) = и0 (ж, £) + и1 (ж, £) + и2 (ж, £), (11)

где

«0 (ж,£) = — ^ (/ + £ Л (ДА(12)

V п>пс!п ) р

«1 (ж,*) = — 2п N + £ /) (Да^ — ДАа

Пг \7г п^пС7„ /

\7г п^п°7„ у

ДА = (Х0 — АЕ) 1 — резольвента оператора Ь0. Доказательство. По лемме 1 имеем:

А — до

, „ , Б1П рь (Да д)-«а,

и(х'*>=— и + £

\7г п^п°7„

(Да )

б1п рЬ Р

«А — ^ I/ + Е

, , Б1П рЬ

(Дафг)-- «А. (13)

Р

Отсюда, применяя лемму 2 ко второму слагаемому и выполняя очевидные преобразования с первым, получаем (13). □

Замечание. Функция и0(х,Ь) есть формальное решение эталонной задачи:

д и(х Ь) = д и(М), ^(х, 0) = 0, и!(х, 0) = ф1(ж), иХ(0,Ь) = <(М) = 0. (14) дЬ2 дх2

1.2. Вспомогательные утверждения

Обозначим через (х, р) и ¿2(х, р) решения уравнения у''—д(х)у+р2у = 0 с начальными условиями (0, р) = 1, ¿1 (0, р) = 0, ¿2(0, р) = 0, ¿2 (0, р) = 1. Тогда (х, р) являются целыми функциями по р и даже по А, где А = р2.

Теорема 3. Для Да и Я°а имеют место формулы

где

Да/ = (х,р)(/, г1) + ^2 (х,р)(/, ¿2) + mр/,

ДА/ = V?(х, р)(/, ¿0) + «0(х, р)(/, ¿0) + М0/,

оо

(—1)

(х,Р) = д(ру {[—-в1г3-5 (1,р)и2 (г2 ) +(г3 -7 (1, р) + в2¿3-5 (1, р))и1 (г2^ г1(х, р) +

+ [^1 ¿3-7 (1,р)^2(^1) — (¿3-7 (1,р) + (1,р)) ^1(^1)] ¿2(х,р)} (^ = 1, 2),

1

Д(р) = и1 (¿1 )^2 (¿2 ) — ^(¿2 )^2 (¿1), (/,*) = / / (С )^(С) «С,

(15)

Мр? / =

^0(х,р) = —■

Мр/ = )

0

¿0(х,р) ¿0(х,р) ¿0 (С,р) ¿0 (С,р)

р Б1П р

-, ^0(х, р) = — соб рх,

¿1 (х, р) ¿2 (х, р)

¿1(С,р) ¿2(С,р)

/ (С) «С,

/(С) «С, ¿0(х, р) = сов рх, ¿0(х, р) =

Б1П рх р '

Этот результат, как и следующая лемма, доказаны в [5, теоремы 3, 4, лемма 2]. Лемма 3. При р е 7„ имеют место асимптотические формулы:

V(7)(х,р)= (х, р) + 0(р7-2), 47)(х,р)= (х, р) + 0(р7-1), ^ =0,1, 2, где V7(х, р) = -—уv(x,р) и оценки О(^) равномерны по х е [0,1]. Теорема 4. Для (х,р) ^ = 1, 2, имеют место формулы

*(х,р) = соврх + у к.(х,с)сов

0

(16)

1

х

х

sin px f sin pZ

Z2(x,p) =--+ K2(x, Z)-dZ,

pp

0

где Kj(x,Z) непрерывно дифференцируемы по x и Z, причем K2(x, 0) = 0.

(17)

Замечание. Формулы (16), (17) хорошо известны как формулы операторов преобразования (см. [12, с. 17, 23]).

Лемма 4. Имеют место формулы

x x

z1(x,p)=cos px +— sin p(x — Z) cos pZq(Z) dZ +—2 sin p(x — Z)Fi (Z, p) dZ, p p2

00

x x

sin px 1 f 1 f

z2(x,p) =--h — sin p(x — Z)sin pZq(Z) dZ + — sin p(x — Z)F2(Z,p) dZ,

p p p

00

(18) (19)

где

Fi(Z,p) = q(Z)

F2(Z,p) = q(Z)

sin pZKi (Z,Z) + J sin prKlT (Z,T) dT 0

с

— cos pZK2(C,C ) + /«» pTK2 T (C,T)dT

0

Доказательство. Докажем формулу (18). Используя метод вариаций произвольных постоянных и формулу (16), получим:

x x

z1 (x, p) = cos px +— sin p(x — Z)q(Z)z1 (Z, p) dZ = cos px +— sin p(x — Z)q(Z) [cos pZ+ pp

00

Z

+ J K1 (Z, t) cos pT dT] dZ-

0

Отсюда следует (18). Формула (19) получается аналогично, но с использованием формулы (17). □ Лемма 5. Имеют место формулы

где

^(x), / sinp(x — Z) cos pZq(Z) dZ I = _(p1 (x), cos px),

"} \ 1

^(x), / sin p(x — Z) sin pZq(Z) dZ I = _(p2 (x), sin px), 0p

Pj = Pj 1(x) + Pj2(x) + Pj3(x), j = 1 2, pii(x) = —q(x) / Z) dZ,

(20) (21)

x 1

P12(x) = 2(x) / q(Z) dC Pi3(x) = 4 (Z)

,Z — xV (Z + x q -тг- + q

dZ,

P21 (x) = P11 (x), P22(x) = P12(x), P23(x) = 4 (Z)

Z + /Z — x

dZ-

x

Z

x

1

1

q

2

Доказательство. Докажем формулу (20) (формула (21) доказывается аналогично). Так как sin p(x — Z) cos pZ = 2 [sin p(x — 2Z) + sin px] и sin p(x — 2Z) = sin px cos 2pZ — cos px sin 2pZ, то

■ (x), / sin p(x — Z) cos pZq(Z) dZ | = ^ ^ I ■ (x) sin px | / cos2pZq(Z) dZ | dx—

0

0

,0

1 / x \ 1

— J ^1(x)cos px i J sin2pZq(Z) dZ I dx + J (x) sin px I y q(Z) dZ | dx. (22)

0 \0 /0 \0

В каждом из слагаемых в правой части (22) проведем интегрирование по частям и учтем, что (0) = ф1(1) = 0. Тогда правая часть (22) будет иметь вид

1 x 1 x

2p J (x)dxy q(Z) cos p(x — 2Z) dZ — рУ Ф1(x)d^ q(Z) cos PZdZ+ 0 0 0 0

Так как

+ 2p f ■ (x) cos pxd^y q(Z) dZ-00

x x

q(Z) cos p(x — 2Z) dZ = 2 q ( )cos pt dr =2

0

q l x—T ) cos pT dT +

+ / q ( x^^ )cos pz dZ

x 0

Í q ( x — ) cos pT dT + í q ( ——Z J cos pZ dZ

0

x — T \ l x + T

q 1 —+ q

cos pT dT,

(23)

то для первого слагаемого в (23) получим

1 x 1 а

2p J (x)dxy q(Z )cos p(x — 2Z) = 4"/ ■(x)dx J 0 0 0 0

xT

I +

+q

x + T 2

cos pT dT = — I cos pxdx

4p J

0

,Z — xV (Z + x q —ir- + q

dZ = _ (p13 (x), cos px) p

отсюда и из (23) следует (20).

Лемма 6. При р е тП имеют место оценки

□

01(x), / sinp(x — Z)Fj (Z,p) dZ I = O

j = 1, 2,

где ^ (£, р) из леммы 4.

Для доказательства следует изменить порядок интегрирования левой части, провести интегрирование по частям во внутреннем интеграле и учесть, что ^(С, р) = 0(1) равномерно по с е [0,1]. □

Из лемм 4-6 получаем следующий результат.

Лемма 7. Если р = пп + д и д е 70, то

(01 ,Z1 — zf) =

1

(nn + р)2

[(Р1(Z) cos PCcos n<) — (P1(Z) sin K,sin n^Z)] + O

1

x

x

0

x

1

1

x

1

p

1

3

n

(ф 1,22 - 4) = (-[(Р2 (С) СОв ДС, вШ ППС) + (р2 (С) ЯШ —С )] + О ( П4

(ПП | —) у П

где оценки О(^) равномерны по — е у0• Лемма 8. £сли р = пп + — и — е уо, то

(ф 1) = —1— [(Р3(С)с^ —С, ят ппс) - (рз(С^т —С )], (24)

ПП + —

(ф 1,22) = 7-1-Го [(Р4 )сОЙ —С' СОЙ ППС) - (Р4 (С) —С, ЯШ ппс)] , (25)

(ПП + —)2

где

Р3 (С) = -Ф ' (С) + Ф i (С )*i (С,С) -J Ф i (т )*' z (т,С ) dT,

z

Р4 (С) = Ф! (С) - Ф1 (0*2 (С,С) + / Ф1 (т)*2с (T,Z) dT.

z

Доказательство. На основании формулы (16) имеем:

(ф i,z i) = (ф i(С), cos рС)+ i(С), J *i(С,т)cos рт dr

Проводя интегрирование по частям в первом слагаемом и во втором множителе второго слагаемого, учитывая ф i(0) = ф i(1) = 0, получим:

(ф i,z i) = 1 (Рз(С),sinрС) • Р

Отсюда следует (24). Формула (25) получается аналогично с использованием формулы (17) и условия *2 (x, 0) = 0. □

Аналогично леммам 3-5 из [5] доказываются две следующие леммы.

Лемма 9. Если g е C[0,1] и р = пп + д, то

(g,z i) = (Р5(С)cos дСcos п<) - (Р5(С)sin дС sin ппС),

(g,z2) = —1— [(Р6(С)cos дС sinппС) + (Р6(С)sin ДС,cos ппС)], пп + д

где Р5(С) = g(Z) + /g(T)*i (т,С) dT, рб(С) = g(Z) + /д(т)*2(т,С) dT.

zz

Лемма 10. Обозначим через 0(ж) функцию cos x или sin x. Пусть f (x) е L2[0,1] и f (x, д) = = f (x)0^x), где д е yó и вп(д) = (f(x, д), 0(пта)). Тогда справедлива оценка

П2 i

Е п 1вп (д)1 ^ с

п

n = ni

П2 i

Е П2'

где постоянная С не зависит от п 1, п2 и — е уо•

1.3. Исследование и0 (х, 1)

Теорема 5. Функция мо(ж,£) из (12) есть классическое решение эталонной задачи (14)

n = ni

Доказательство. Из (12) и (15) по теореме вычетов получаем:

те i

u0(x,t) = 1)t + 2 } —(^i(Z),cosnnZ)cosnnxsinnnt,

nn

n=1

x+t

откуда по формуле 2 cos nnx sinnnx = sinnn(x +t) — sinnn(x — t) = nn f cos nnrdr, следует, что

x—t

x+t

uo (x,t) = iy ф (t) dT,

x— t

те

ф (x) = (ф1, 1) + (Z), cos nnZ )cos nnx. (26)

n=1

Так как скалярные произведения в (26) имеют оценку an/n, где J2 ||2 < то в силу неравенства Коши - Буняковского ряд в (26) сходится абсолютно и равномерно на всей оси и, следовательно, ф(x) G C(—м, м). Покажем, что ф(x) G C1 (—м, м). Сначала отметим, что в силу полноты в L2[0,1] ортонормированной системы 1, v^cosnnx, n = 1, 2,..., ряд (26) сходится к ф1(х), поэтому ф(x) = (x) при x G [0,1]. Так как ф(x) является четной и 2-периодической, то остается убедиться, что ф/(x) непрерывна в точках 0 и 1, но этот факт следует из условия ф'х (0) = ф'х (1) = 0. Следовательно, u0(x,t) — решение задачи (14). □

1.4. Исследование ui (x, t)

По теореме 3, учитывая, что Mp/ и Mp/ являются целыми функциями по Л, имеем:

1 í í г, л0 i ^ sin pt

где

^ 2П J ^^ — - Л = S «n(x,t),

n^no y P n^nQ

а„(х,*) = -У 2й1п[VI(х, , ¿1)+ )-

тП

-^0(х,р)(^1 ,¿2) - ^20(х,р)(^1,г20)] ¿р. (27)

Лемма 11. Ряды (х,*) и (х, *) (? = 0,1, 2) сходятся абсолютно и равномерно по

х е [0,1] и * е [-Т, Т] при любом Т > 0. '

Доказательство. Имеем:

Л (х, р) = ^ (х, р) + Л2 (х, р), (28)

где Л(х, р) — выражение в квадратных скобках в (27),

Л (х, р) = (^1 (х, р) - V2(х, р))(^1, ¿1) - (^2(х, р) - V2(х, р))(^1, ¿2), Л(х, р) = V2(х, р)(^1, ¿1 - ) + V0(х, р)(^1, ¿2 - ).

Обозначим через вп (р) любой из функционалов

±(Р (С) сое рС сое ), ±(р (Z) сое р^ п<), ±(р (Z)sin рС сов ), ±(р (Z)sin р^ п^ ^ = 1, 2, 3,4.

Тогда по лемме 7 и 8 имеем:

(^1 ) = —1—(впЫ+ впЫ), , ¿2) = 7-1—Го (впЫ + вп(р)) ,

пп + р (пп + р)2

1 - z 0) = 1, z2 - z0) =

1

(nn + д)2 1

(nn + д)3

Теперь, используя лемму 3 и очевидные оценки

(вп(д) + вп (д)) + O

(вп(д)+ вп(д))+ O -7

(x, p) = O(pj-i), v^j(x, p) = O(p), j = 0,1, 2,

— níJ-1"

,0(j)

из представления (28) получаем:

|J (x,p)| = O(nj-2)

—т (|вп (д)| + |вп (д)|) + O(nj-1) +

|nn + д| |nn + д |2

(|вп (д)| +

+ |вп (д)|)+ O(nj-1)

(|вп (д)| + |вп(д)|) + O(n-3)

+O(nj)

|nn + д|3

_ |nn + д|2 (|вп (д)| + |вп(д)|) + O(n-4)

+

= O(nj-3 вп (д))+ O(nj-4),

(29)

32

где вп(д) = |вп(д)| и оценки O(-) равномерны по x е [0,1] и д е 70. Отсюда

п=1

j (x,t)| = í O(nj-3 )7n (д) jdMj + [ O(nj-4) |^д|, j = 0,1, 2.

Yo

Yo

Если ] = 0,1, то отсюда |аПХ(х,г)| = О(п 2) и тем самым ^ Х(х,г)| сходится равномерно по

х е [0,1] и г е [-т,т].

Далее, из (29) следует оценка

(j)

К**(x,t)| = O(n-1)en(д) Ж,

Yo

и тогда по лемме 10

П2 П2

Е |аП, L2 (x,t)| = Е O(n-1)7(д) Ид| = I O

n = ni

Yo

n=ni

n2)'

где оценки О(^) равномерны по х е [0,1] и г е [—Т,Т]. Тем самым утверждение леммы получено для рядов ^ «П Х (х, г). Аналогично (даже проще) исследуются ряды ^ «П (х, г) (^ = 0,1, 2). □

Так как

ui(x,t) = / (Ra- RAdA + Е an(x,í),

2nW P

Y n^no

sin pt

то из леммы 11 следует

Лемма 12. Ряд u1 (x,t) допускает почленное дифференцирование дважды по x и t при x е [0,1] и t е (-га, га).

1.5. Исследование u2 (x, t)

По теореме 3, учитывая, что Mpf есть целая по A, имеем:

sin pt

Е Л I V^(Rag)^1 dA = Е bn(x,t), ^ 2пг J A - до p '

n^no

n^no

где

bn(x,t) = I 22sinpt [vi(x,p)(g,zi) + V2(x,p)(g, Z2)] dp. (30)

2m J p2 - до

Yn

1

3

n

1

1

n=ni

Лемма 13. Ряды £ bj ^ (x,t) и £ 6¡j'j (x,t), j = 0,1,2, сходятся абсолютно и равномерно по x е [0,1] и t е [—T, T] при любом T > 0.

Доказательство. Обозначим через /п (р) еще и такие функционалы

±(Pj (С )cos рС, cos nnz), ±(pj (z)sin рС, sin nnC), j = 5,6. Тогда по лемме 9

(g, zi) = в„ (р) + в„ (р), (g, z2 ) = —1—(/п (р) + вп (р))-

nn + р

В силу оценок

v1j) (x,p) = O(pj-1), v2j) (x, p) = O(p), j = 0,1, 2, (31)

легко следующих из леммы 3, для квадратной скобки J(x, p) в (30) получаем:

jjW)| = O(nj-1) [|вп (р)| + |вп (р)|] + O(nj) [1вп (р)1 + |вп(р)|] = O (nj-1 Дп (р)) ,

~ 40

где /п(р) = £ |/п(р)| и оценки O(-) равномерны по x е [0,1] и р е д0. Отсюда следует оценка

1

j (x,t)| = í O (V-3 /п (р)) |^р|, j = 0,1, 2.

Теперь завершение доказательства проводится так же, как и в лемме 11. □

Таким образом, имеет место

Лемма 14. Ряд и2(х,Ь) допускает почленное дифференцирование дважды по х и Ь при х е [0,1] и Ь е (-го, го).

1.6. Классическое решение задачи (5)-(7)

Теорема 6. Формальное решение и(х,Ь) задачи (5)-(7) является классическим решением при ф(х) е С1 [0,1] и выполнении условий (8).

Доказательство. Для формального решения (9) по леммам 1 и 2 в силу аналитичности Мр/ по А имеем:

u(x,t) = I (RA^)SinPt dA - Y^ I [v1(x,p)(^1,Z1) + V2(x, p)(^1 ,Z2)]x

2n J p ' 2ni J

sin pt 1 / 1 sin pt ÍA .or>.

X-«A - > — --(x,p)(g,zi) + v2(x,p)(g,z2)J-«A. (32)

p ^ J A - po p

На основании оценок (31) по леммам 8-10 получаем, что ряды в (32) и ряды, получающиеся из них почленным дифференцированием один раз по x или по t, сходятся абсолютно и равномерно (для второго слагаемого см. также доказательство леммы 11). Таким образом, процедура ускорения сходимости рядов не требуется. Поэтому u(x,t) удовлетворяет граничным условиям и условию u(x, 0) = 0. Покажем, что выполняется и условие ut(x, 0) = ф(х). Почленно дифференцируя в точке t = 0 ряд (9), получим:

ut(x, 0) = ~ I / + V /I (ДАф) dA. (33)

4(x, 0) = -2L U + £ / ) dA.

Так как ряд (33) сходится равномерно и является разложением функции ф(х) в ряд Фурье по системе собственных и присоединенных функций (с. п. ф.) оператора X, биоротагональная к которой, в силу регулярности краевых условий оператора полна в Х2[0,1], то м^(х, 0) = ф(х). Докажем теперь, что и(х,Ь) удовлетворяет уравнению (5). По леммам 12 и 14 формальное решение на основании теоремы 2

д2 д2

и теоремы 5 дважды непрерывно дифференцируемо. Обозначим через М оператор М = Тогда

Muo (x, t) = 0. (34)

Далее имеем:

Mui(x,t) = -и + Е /) M ((Ra^i - RAdA =

\Yr n^noY

qM í(Ra* )sinpt dA - 2L E ÍM ((Ra* - RA* )—) dA = 2ni Yr p 2ni nii^ v p У

= q(x) Г (Ra^1)s^ dA - Л E í M fj(x,p)Si^P dA,

2ni J p 2ni ^ J \ p

Yr n^noY,

где J(x, p) определено в (28). Но

, xsin pt\ sin pt M ( Vj (x,p)- = -q(x)vj (x,p)-, (35)

M(v0 (x,p)sinp^) =0.

Значит,

Y

Теперь в силу формулы (35) и леммы 2 имеем

/ +£/)

Yr n^noYn у

Mu1 (x,t) = ( f + Е / | (Ra* ^dA. (36)

M"2(x,t) = -U + £ Л A^M I dA =

/+Е./ )

+ E M (V (x,p)(g,Z1) + V2(x,p)(g,Z2)]sinp^) dA =

ntn ^ / A - до v p У

1 ( ) 1 sin pt 2П7 1У + J A - до '

Vr n^n° Yn /

= (/ + ^ /) A-^ [V1 (x,p)(g,Z1) + V2(x,p)(g,Z2)] sippt dA =

ni \Yr д0 p

= ix (/ + E /) A^(RAg)51^ dA = IX (/ + E /) (Ra*dA.

\Yr n^noYW \Yr n^noY„ J

Отсюда и из (34) и (36) следует Mu(x,t) = -q(x)u(x,t). □

2. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ (4)

Рассмотрим следующую задачу:

д2 д2 u(x,t) „ ч „ г „ ч

—dt^ = Qxi - q(x)u(x,t), x е [0,1], t е (-ra, ra), (37)

< (0, t) + в< (1, t) + «1u(0, t) + в1 u(1, t) = 0, (38)

au(0,t) + u(1, t) = 0, (39)

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = *(x), (40)

где q(x) е C[0,1] — комплекснозначная функция. Естественные минимальные требования для классического решения следующие:

*(x) е C1 [0,1], (0) + в*'(1) + «1 *(0)+ в1 *(1) = а*(0)+ *(1) = 0. (41)

Задача (37)-(39) с начальными условиями (1) рассмотрена в [6].

При применении метода Фурье здесь, по сравнению с задачей (5)-(7), возникают новые трудности из-за возможной кратности собственных значений, которые преодолеваются резольвентным методом.

2.1. Вспомогательные утверждения

По методу Фурье с задачей (37)-(40) связывается спектральная задача для оператора Ь:

Ьу = —у'' (х) + ?(х)у(х), (42)

Ц. (у) = у'(0) + ву' (1) + «1У(0) + в1 у(1) = 0, и2(у) = ау(0) + у(1) = 0. (43)

Будем изучать задачу (37)-(40) при дополнительном условии: 1 + ав = 0. Это условие необходимо и достаточно для регулярности краевых условий оператора Ь (см. [9, с. 73]).

Теорема 7. Собственные значения оператора Ь образуют две последовательности: АП = рП2 и АП = рП2 (А = р2, Яе р ^ 0) и имеют асимптотику: рП = 2пп + + еП, рП = 2пп + (2 + еП (п = по, по + 1,...), где , 2 = —г 1п(й ± V— 1),

" = — тт+1 • £п = от, еп = 0(1).

(Это известный факт, см., например, [9, с. 74].) Мы привлекаем еще спектральную задачу для оператора Ь0:

Ьо = —у'' (х), (44)

и0 (у) = у'(0) + ву' (1) = 0, и0 (у) = ау(0) + у(1), (45)

который участвует в формировании эталонной смешанной задачи.

Теорема 8. Для резольвенты Да оператора Ь, определенного в (42), (43), и резольвенты ДА оператора Ь0, определенного в (44), (45), имеют место формулы

Да / = VI (х, р)(/, ) + ^(х, р)(/, ¿2) + (Мр / )(х), (46)

ДА / = ^0 (х, р)(/, ¿0) + V,0 (х, р)(/, ¿0) + (Мр0/)(х),

где

(х, р) = {[^(¿2)(в^2(1,р)+ в1^2(1,р)) — (¿2)^2(1,р)] ¿1 (х, р) +

+ [и (¿1 )^2(1, р) — ^2(¿1) (в^2(1, р) + в1 ¿1(1, р))] ¿2(х, р)},

^2(х, р) = ^(ру {[ ^2(¿2) (в^1(1,р) + в^1 (1,р)) + (¿2)^1(1,р)] ¿1 (х, р) +

+ [—и (¿1 )*! (1,р) + ^2 (¿1) (в^1(1,р) + в1^1(1,р))] ¿2 (х,р)},

А(р) = и1 (¿1 )и2(г2) —и1 (¿2)и2 (¿1), А(р)=0, г>0, г>0 — те же, что и г>ь г>2, но взяты для оператора Ь0; , ¿2, Мр, ¿0, ¿0, Мр0 — те же, что и в п. 1; для А0(р) из определения V2(х,р) справедлива формула А0(р) = и0(¿0)^0(^0) — ^0(^0)и20(¿0) = — [а + в + (1 + ав)собр], А0(р) =0, А = р2, Яе р ^ 0. Этот результат приведен в теоремах 3, 4 из [6].

Обозначим теперь через 7П объединение двух непересекающихся окружностей {р||р — (2пп + )| = = (. = 1, 2), если = С2, или один такой контур, если = С2, ^ > 0 достаточно мало, через 7п обозначим образ 7П в А — плоскости, число п0 (см. теорему 7) и г > 0 таковы, что контуры 7Г и 7п (п ^ п0) удовлетворяют аналогичным условиям из п. 1 с той лишь разницей, что теперь при п ^ п0 внутри 7п находятся Ап и АП (которые могут совпадать).

Нам потребуются некоторые результаты, аналогичные доказанным в п. 1. Лемма 1 имеет место и для ф(х), удовлетворяющей условиям (41), и в ее формулировке (х) £ , где теперь Ь — оператор, определенный в (42), (43); дословно, уже для резольвенты оператора Ь из (42), (43) доказывается и лемма 2. Сохраняется также и лемма 3 — этот результат доказан в [6, лемма 2]. Леммы 7-9 имеют место и для случая, когда р = 2пп + р (р £ 70 — объединение двух окружностей). В этом

случае все равенства в формулировках сохранятся, а доказательства дословно повторяются, если в них параметр п заменить на 2п. Именно так в этом пункте мы понимаем формулировки этих лемм. Лемма 10 имеет место и для функционалов цп(д) = (f(x, д), 0(2пта)), где д е 7о. Этот результат доказан в [6, лемма 5]. Леммы 11, 13 также сохраняются, а их доказательства дословно повторяются с использованием лемм 7-10 (в новой редакции), если теперь в леммах 11, 13 под Yn, vj(x, р), vó(x, р) понимать величины, определенные в этом пункте (функционалы вп(д) в доказательствах этих лемм определяются аналогично с той лишь разницей, что в них параметр п из sin ппС, cos ппС заменяется на 2п). Для формального решения сохраняется формула (9) и представление (11), т.е. u(x,t) = uó(x,t) + ui(x,t) + u2(x,t); uó(x, t) есть формальное решение задачи

= , u(x, 0)=0, ut (x, 0)= фl (x), (47)

uX(0, t) + в«Х(1, t) = au(0, t) + u(1, t) = 0; (48)

для ui (x,t) и u2(x,t) в силу лемм 11 и 13 имеют место леммы 12 и 14. Лемма 15. Если р = 2пп + д, то

(ф, zó) = - 2пп1+ [(ф'(С) cos дС sin 2ппС) + (ф'(С) sin дС, cos 2ппС)], (ф i,z0) = (2пп + д)2 [(ф i(С)cos ДС cos2nпС) - (ф '(С) sin ДС, ^п2ппС)] • Для доказательства следует провести интегрирование по частям в (ф i,z0). □

2.2. Исследование u0 (x, t)

Положим Ор(ф1 )(x) = v ó(x, р)(ф i, zó) + v0(x, р)(ф i, z0). Лемма 16. Имеют место формулы

J(Я°,Ф i )(x) dA = У ОДф i )(x) dA, (49)

Y Y

í (RA Ф i )(x)si^dA = í Ор(ф i )(x)s^dA, (50)

рр

YY

где y есть либо yr, либо yn при n ^ nó.

Эта лемма очевидна, поскольку (М^фi)(x) — целая по A. □

Обозначим

^n(x) = -У О(Ф i)(x) dA, w(x) = E ^n(x).

Y™ n^nc

Лемма 17. Ряд (x) сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке из (-га, га).

Доказательство. Обозначим через Пп(д) любой из функционалов:

±(ф i(С) cos ДС, sin 2ппС), ±(ф '(С) sin ДС, cos 2ппС) ±(ф i(С) cos ДС, cos 2ппС), ±(ф '(С) sin дС sin 2ппС).

Тогда при р = 2пп + д по лемме 15 для д е % имеем:

(фь ziÓ) = 1, (Пп(Д) + ППЫ) (ф ь z0) = jz—^^ (ПП (Д) + ПП (Д)). 2пп + д (2пп + д)2

Поэтому на основании очевидных оценок: v 1 (x^) = О ^^, vó(x, р) = О(1) получаем

Ор (ф i) (x) dA

= I O ( ППпы) |dд|,

Yo

где пП(р) = £ |пП(р)|. Значит, по лемме 10 (в которой функционалы обозначены через пП(р), т.е. 1

Пп (р) = (/(х,р),0(2ппх))),

Е

Здх )(x) dA

= O

2 Л Л

En 1 / id^ = o

n=ni / ~

/ Yo

«2 i n = ni

Отсюда следует абсолютная и равномерная сходимость ряда £ / Op(^)(x) dA. Обозначим

Ф 1 (x) = -(^1 )(x) dA + "(ж).

□

Лемма 18. Функция Ф1 (х) £ С (—го, го) и Ф 1(х) = (х) при х £ [0,1].

Доказательство. По лемме 17 Ф 1(х) £ (—го, го). Пусть х £ [0,1]. На основании формулы (49) получаем:

Фi(ж) = -

h (I + E/1 (R0 ^ )(x)dA-

\Yr n^noY™ J

\7т

Так как этот ряд сходится равномерно (см. доказательство леммы 17), то в силу полноты в Ь2[0,1] системы с.п.ф. оператора ЬД (оператор Ь0 определен в (44), (45)) Ф1 (х) = ф1(х). □

Лемма 19. Имеет место формула

Op(^ )(x)sinpt = 1 / Op(^ )(Z) dZ.

P 2

(51)

x—t

Доказательство. Имеем:

sin pt 1 .

cos px-= — [sin р(ж + t) — Sin р(ж — Í)J ,

p 2p

Sin px Sin pt 1

--= —2 [cos p(x — t) — cos p(x + Í)J.

p p 2p2

Обозначим через v1 (p) первую квадратную скобку из определения v1(x, р) и через v2(p) — вторую. И 1 / , , sin pZ , N cos pZ

ПустЬ F(Z'P) = ВД («1—

Легко получаем

x+t

sin pt /

V0(x, p)-— = F(x + t,p) — F(x — t,p) = FZ(Z,p) dZ =

P J

x—t

x+t x+t

= 2д0(р) / («1 (P)cos PZ + V2(P)s~pP^) dZ =2/ v°(Z'p) dZ'

x t x t

(52)

Аналогично получается -и°(х, р)ё1П р =- г>°(С, р) dZ.

р2

х-£

Отсюда и из (52) следует (51).

Аналогично лемме 10 из [6] докажем следующий результат. Лемма 20. Имеют место формулы

1

Ф1 (—x) = lT^e l-(1 — "в)Ф 1(x) — 2вФ1 (1 — x)

Ф1 (1 + x) = J—1ав [—2аФ 1 (x) + (ав — 1)Ф 1 (1 — x) | .

□

(53)

(54)

n = ni

Л. П. Г/ревлч и др. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для волнового уравнения Доказательство. По формуле (50) и лемме 19 получаем:

x+t

/(R^O^dA = /Ор X^^dA = 2/ J Op (^i)(C) dCdA,

Y y y x —t

где y есть либо yr, либо yn (n ^ n0). Тогда

x+t

uo(x,t) = 1 (-I У + E /) / Op(ф!)(Z) dZdA. (55)

n^noY™ / x—t

На основании леммы 17 ряд в (55) и ряд, полученный из него почленным дифференцированием один раз, сходится абсолютно и равномерно по x е [0,1] и t е [—T, T] для любого T > 0, и, кроме

x+t / \ x+t

uo(x,t) = 1 У (-(/ + Е /) Op(^i)(C)dAdZ = 1У Фi(Z)dZ. (56)

x—t \уг n^noY J x—t

Отсюда в силу (48) получим:

Фi(t) - Фi(-t) + в (Фi(1+1) - Фi(1 - t)) =0, (57)

t i+t

a J Фi(Z) dZ + J Фi(Z) dZ = 0. (58)

—t i—t

Дифференцируя (58), найдем a(Фi(t) + Фi(-t)j + Фi(1 + t) + Фi(1 - t) = 0. Отсюда и из (57)

получаем (53) и (54). □

Лемма 21. Функция Фi(x) е Ci(-га, га).

Доказательство. Формулы (53) и (54) дают однозначное продолжение Фi(x) на всю ось c ее значений на [0,1]. По лемме 18 Фi(x) е Ci [0,1]. Тогда по лемме 20 Фi(x) непрерывно дифференцируема всюду, кроме, быть может, точек x = n, где n — целое. Для доказательства непрерывности Ф'i(x) в целых точках продифференцируем (53) и (54):

-Ф! (-x) = —[(1 - ав)ФЧ (x) + 2вФ1 (1 - x)] , (59)

Ф^(1 + x) = 1 +1ав [-2аФi(x) + (1 - ав)Фi(1 - x)] . (60)

Так как по лемме 18 Фi(x) = ^i(x) при x е [0,1] и ф/(0) = ф/(1) = 0, то из (59), (60) следует, что Ф'i(x) непрерывна в точках 0 и 1. Теперь, предполагая, что этот факт имеет место и для всех x = -n, -n + 1,..., n + 1, по индукции из равенства (59), записанного для x = (n + 1) ± 0, получаем непрерывность Ф^(x) при x = -(n + 1), а из (60), записанного в этих точках,- непрерывность Ф'i(x) при x = n + 2. □

Теорема 9. Функция u0(x,t) есть классическое решение эталонной задачи, определенной условиями (47), (48).

Доказательство. Из (56) по лемме 21 следует, что u0(x,t) удовлетворяет уравнению струны. Далее из (56) следует, что u0(x, 0) = 0, u0t (x, 0) = (x) при x е [0,1]. Наконец, из (58) следует, что au0(0,t) + u0(1, t) = 0 и из (57) следует, что u0x (0,t) + ви0ж (1,t) =0. □

2.3. Классическое решение задачи (37)-(40)

Теорема 10. Формальное решение u(x,t) задачи (37)-(40) является классическим решением при ^(x) е Ci [0,1] и выполнении условий (41).

Доказательство. Для формального решения в силу формул (13) и (46) имеем представление (32), т. е.

u(x, t) = —

1

(Ra^)

sin pt

dA — £

n^no

1

2ni

[vi (x, p)(^i ,Z1) + V2(x,p)(^i,Z2)j

sin pt

dA-

7n

E

n^no

1

2П

1

A — po

В силу оценок г^Х(х,р) = 0(р^-1), г^Х(х, £) = ) = 0,1), следующих из леммы 3, по леммам 8-10 получаем, что ряды в (61) и ряды, получающиеся из них почленным дифференцированием один раз по х и сходятся абсолютно и равномерно. Поэтому м(х,£) удовлетворяет граничным условиям и условию и(х, 0) = 0. Проверка условия м£(х, 0) = ф(х) проводится так же, как и в доказательстве теоремы 6, учитывая при этом полноту системы с.п.ф. оператора Так же, как и в теореме 6, доказывается для м(х,£) справедливость уравнения (37). □

Результаты В. П. Курдюмова получены в рамках выполнения государственного задания Ми-нобрнауки России (проект № 1.1520.2014К), результаты А. П. Хромова получены при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00238).

[vi (x,p)(g, zi) + V2(x,p)(g,Z2)] Sinpt dA.

(61)

Библиографический список

1. Стеклов В. А. Основные задачи математической 6. физики. М. : Наука, 1983. 432 с.

2. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. М. ; Л. : 7. ГИТТЛ, 1950. 368 с.

3. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производ- 8 ных. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1991. 112 с.

4. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Резольвентный 9 подход для волнового уравнения // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55, № 2. С. 51-63. ю 001: 10.7868/Б0044466915020052.

5. Корнев В. В., Хромов А. П. Резольвентный под- 11. ход к методу Фурье в одной смешанной задаче

для волнового уравнения // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55, № 4. С. 621-630. 001: 12. 10.7868/Б0044466915040079.

Корнев В. В., Хромов А. П. Резольвентный подход в методе Фурье для волнового уравнения в несамосопряженном случае // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55, № 7. С. 1156-1167. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Смешанные задачи для гиперболических уравнений первого порядка с инволюцией // Докл. АН. 2011. Т. 441, № 2. С. 151-154.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1971. 538 с. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с. Расулов М. Л. Метод контурного интеграла. М. : Наука, 1964. 462 с.

Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д : Изд-во Рост. ун-та, 1994. 160 с.

Марченко В. А. Операторы Штурма - Лиувиля и их приложения. Киев : Наук. думка, 1977. 392 с.

p

p

Justification of Fourier Method in a Mixed Problem for Wave Equation with Non-zero Velocity

A. P. Gurevich1, V. P. Kurdyumov2, A. P. Khromov3

1 Gurevich Alexandr Petrovich, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., Saratov, Russia, 410012, [email protected] 2Kurdyumov Vitalii Pavlovich, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., Saratov, Russia, 410012, [email protected] 3Khromov Avgust Petrovich, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., Saratov, Russia, 410012, [email protected]

In the paper, using contour integration of the resolvent of the corresponding spectral problem operator, justification of Fourier method in two mixed problems for wave equation with trivial initial function and non-zero velocity is given. The boundary conditions of these problems, together with fixed endpoint conditions, embrace all cases of mixed problems with the same initial conditions for which the corresponding spectral operators in Fourier method have regular boundary conditions. The problems are considered under minimal requirements on initial data. A. N. Krylov's idea of accelerating Fourier series convergence is essentially employed.

Key words: Fourier method, formal solution, spectral problem, resolvent.

The results by V. P. Kurdyumov have been obtained in the framework of the national task of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project no. 1.1520.2014K), the results by A. P. Khromov have been supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00238).

References

1. Steklov V. A. Osnovnye zadachi matematicheskoi fiziki [The main tasks of mathematical physics]. Moscow, Nauka, 1983, 432 p. (in Russian).

2. Krylov A. N. O nekotorykh differentsial'nykh uravneniiakh matematicheskoi fiziki, imeiush-chikh prilozheniia v tekhnicheskikh voprosakh [On some differential equations of mathematical physics with applications in technical matters]. Leningrad, GITTL, 1950, 368 p. (in Russian).

3. Chernyatin V. A. Obosnovanie metoda Fur'e v smeshannoi zadache dlya uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Justification of the Fourier method in a mixed problem for partial differential equations]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1991, 112 p. (in Russian).

4. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. The resolvent approach for the wave equation. Comput. Math. Math. Phys., 2015, vol. 55, iss. 2, pp. 227-239. DOI: 10.1134/S0965542515020050.

5. Kornev V. V., Khromov A. P. Resolvent approach to the Fourier method in a mixed problem for the wave equation. Comput. Math. Math. Phys., 2015, vol. 55, iss. 4, pp. 618-627. DOI: 10.1134/S0965542515040077.

6. Kornev V. V., Khromov A. P. A resolvent ap-

yflK 517.54

proach in the Fourier method for the wave equation: The non-selfadjoint case. Comput. Math. Math. Phys., 2015, vol. 55, iss. 7, pp. 1138-1149. DOI: 10.1134/S0965542515070088.

7. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. Initial-boundary value problems for first-order hyperbolic equations with involution. Doklady Math., 2011, vol. 84, no. 3, pp. 783-786.

8. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym dif-ferentsial'nym uravneniiam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1971, 538 p. (in Russian).

9. Naimark M. A. Linear Differential Operators. New York, Ungar, 1967; Moscow, Nauka, 1969, 828 p.

10. Rasulov M. L. Metod konturnogo integrala [The method of the contour integral]. Moscow, Nauka, 1964, 462 p. (in Russian).

11. Vagabov A. I. Vvedenie v spektral'nuiu teoriiu differentsial'nykh operatorov [Introduction to the spectral theory of differential operators]. Rostov-on-Don, Rostov Univ. Press, 1994, 106 p. (in Russian).

12. Marchenko V. A. Sturm - Liouville Operators and Applications. Kiev, Naukova Dumka, 1977, 332 p. (in Russian).

О НОВОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА С УСЛОВИЕМ НА ЛУЧЕ В СЛУЧАЕ БЕСКОНЕЧНОГО ИНДЕКСА

Р. Б. Салимов

Салимов Расих Бахтигареевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Казанский государственный архитектурно-строительный университет, [email protected]

Для решения однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом и условием на луче предлагается новый подход, основанный на приведении рассматриваемой задачи к соответствующей задаче с условием на действительной оси и конечным индексом. Требуется определить функцию Ф(^), аналитическую и ограниченную в комплексной плоскости z, разрезанной по положительной действительной полуоси L+, если выполняется краевое условие Ф+(£) = G(t^-(t),t е L+, где Ф+(£), Ф-(£) - предельные значения функции Ф(з), при z ^ t соответственно слева и справа, коэффициент G(t) - заданная функция, для аргумента которой справедливо представление argG(t) = v-tp + v(t), t е L+, здесь v-, p — заданные числа, v- > 0, 1/2 < p < 1, причём ln |G(t)|, v(t) — функции, удовлетворяющие условию Гёльдера. Принимается, что G(t) = 1 при t е (-то,0). Для устранения бесконечного разрыва arg G(t) используются функции E + (z) = eSa+iß)zP, 0 < arg z < п, E-(z) = = e(a-tß)z, —п ^ arg z < 0, путём соответствующего подбора действительных чисел а, ß.

Ключевые слова: краевая задача Римана, аналитическая функция, бесконечный индекс. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-1 -29-33

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть D — область в плоскости комплексного переменного, границей которой служит L+ — положительная часть действительной оси. Требуется определить функцию Ф(з), аналитическую и