Обоснование и развитие метода решения задач фильтрационного теплообмена Текст научной статьи по специальности «Математика»

(Отдел. горных наук). Горное производство и наука на рубеже веков. М., 1996.

9. Boguslavsky Emil I. The concepts of and development of geothermal resources of Russia. 1997 Annual Meeting. California, 1997.

10. Богуславский Э.И. Основные концепции оценки и освоения тепловых ресурсов недр. Горный журнал, № 11, 1998.

11. Boguslavsky Emil. The Influence of Geothermal Reservoir Parameters on the Economics of Field Development. Geothermal: the Glean & Green Energy Choice for the World. Transactions, volume 22, 1998.

12. Emil I. Boguslavsky, Anna B. Vainblat, Lev A. Pevzner, Anatoly A. Smyslov, Bilat N. Khakhaev. Development of geothermal resources of Moskow artesian basin. “Proceedings of the World Geothermal Congress”, 1995. Florence, Italy, 18-31 May 1995, Volume 1.

13. Богуславский Э.И., Вайнблат А.Б., Дядькин Ю.Д., Смыслов АА., Певзнер Л А., Самхан И.И., Хахаев Б.Н. Ресурсы геотермального теплоснабжения. Журнал “Разведка и охрана недр”, № 7. - М.: Недра, 1996.

14. Boguslavsky E., Vainblat A., Daukeev G. and other. Geothermal resources of sedimentary basins in the Republic of Kazakhstan. Proceedings of the European Geothermal Conference Basel ’99, Vol. 1. № 17, 1999.

15. Богуславский Э.И., Певзнер ЛА., Хахаев Б.Н. Перспективы развития геотермальной технологии. Разведка и охрана недр. № 7-8. - М.: Недра, 2000.

16. Васильев Ю.С., Елистратов В.В., Мухаммадиев ММ. Возобновляемые источники энергии и

гидроаккумулирование. Уч.пособ., СПб, Изд. СПбГТУ, 1995.

17. Дядькин Ю.Д. Разработка геотермальных месторождений. - М.: Недра, 1989.

18. Дядькин Ю.Д. Освоение тепловой энергии недр при умеренном геотермическом градиенте. Горный журнал, №

4, 1998.

19. Елистратов В.В., Масликов В.И. Разработка экологически безопасных технологий переработки промышленно-бытовых отходов. VI Горно-Г еологич.Форум "Природные ресурсы стран СНГ" СПб, Изд. РАЕН,1998.

20. Карта ресурсов геотермального теплоснабжения территории СССР. Масштаб 1:10 000 000. ІБогуславский

Э.И., Вайнблат А.Б., Гашева ИМ., Дядькин Ю.Д., Моисеен-ко У.И., Негров О.Б., Остроумова ИМ., Троицкая Е.Б. Изд. Министерство Геологии СССР, 1991.

21. Vladimir Kononov, Boris Polyak, Boris Kozlov. Geothermal Development in Russia: Country Update Report 1995-1999. Proceedings World Geothermal Congress 2000. Kyushu - Tohoku, Japan, 2000.

22. John W. Lund, Derek H. Freeston. World-wide direct uses of Geothrmal Energy 2000. Proceedings World Geothermal Congress 2000. Kyushu - Tohoku, Japan, 2000.

23. Pevzner L. A., Boguslavsky E. I., Vainblat A. B., Smyslov A. A., Khakhaev B. N.. Low potential geothermal resources of central regions of Russia. International Geological Congress. Beijing, China, 1996.

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------------------

Богуславский Э.И. — профессор, доктор технических наук, зав. кафедрой, Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет).

Елистратов В.В. - профессор, доктор технических наук, зав. кафедрой, Санкт-Петербургский государственный технический университет.

------Ф

^------

---------------------------------------- © Н.Н Смирнов, 2005

УДК 541.1 Н.Н. Смирнов

ОБОСНОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ТЕПЛООБМЕНА

Семинар № 15

Яаибольшее развитие исследования ческих методов добычи полезных ископаемых,

нестационарного фильтрационного методов геотермодинамического воздействия

теплообмена получили в 80-е годы. Это был на нефтяной пласт, создания и реализации пропериод интенсивного развития геотехнологи- ектов новых ресурсосберегающих технологий

комплексного извлечения энергоресурсов недр, создания геотермальных циркуляционных систем с коллекторами различного типа.

Научно-обоснованный выбор технологических решений требовал разработки методов расчета процессов, связанных с выделением, поглощением и передачей энергии в подземных условиях. Многообразие и сложность природных структур определили появление большого количества работ с различными постановками сопряженных задач фильтрационного теплообмена. Подробный обзор моделей и методов расчета выполнен автором в работе [1].

Для многих технологических решений зона теплоотбора представлена гетерогенной средой. Прикладной характер рассматриваемых задач требует при их более полной и корректной формулировке обеспечение простоты полученных решений. Здесь наиболее рациональны приближенные методы решения.

С точки зрения постановки, физическая модель процесса теплообмена при фильтрации в гетерогенной среде, учитывающая термическое сопротивление структурных элементов среды более обоснована, чем гомогенные модели [2, 3]. При этом одним из основных допущений является выбор регулярной укладки элементов простейшей формы (шаров, неограниченных пластин или цилиндров).

Система уравнений включает уравнение теплового баланса для жидкой фазы с внутренними источниками теплоты, обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности для твердых тел простейшей формы и условия однозначности.

Система уравнений в безразмерном виде:

Безразмерные

величины:

Y =1

50 5© _дЭ

----+ — = G—

dFo дХ dY

дЭ д2Э Г дЭ dFo ~ ду2 Y дY ’

Fo = о; X > 0; 0=Э = 0, X = 0; F > о; © = 1,

(1)

Y = 0; F > 0; Э

o дY

Y = 1; X > 0; F > 0;

= 0

(3)

(4) (5)

Э = 0 - условие I рода дЭ

(6)

дY

= Bi(0 - Э) Y - условие III рода

X =

R 2и

G =

Rupn с п

y = У;

R

Bi = a R / ХП

Рв св

а = (Г +1)(1 - m)/(R ■ m);

э= (Т - т); ©=-(t - т)

Fo =ап т/R

(ta - TH )

где:х, у- координатні, ап, Х рп, сп- коэффициенты температуропроводности, теплопроводности, плотность и теплоемкость твердой фазы; а, рв, св- коэффициент теплоотдачи, плотность и теплоемкость жидкой фазы; Я - радиус элемента или половина толщины пластины; Г -постоянное чис;ло, для пластины Г = 0, (у = у) для цилиндра Г=1 (у = г ) для шара Г =2 (у = г); т-проницаемость среды; г-время; Т, ґ -температура твердой и жидкой фазы; ст- площадь поверхности теплообмена на единицу объема среды.

Для нахождения теплового потока в уравнении (1) необходимо решить соответствующее форме элементов гетерогенной среды дифференциальное уравнение теплопроводности (2) с краевыми условиями первого или третьего рода. Постановка граничных условий второго рода с заданием теплового потока на границе раздела фаз реальной среды не имеет смысла.

Обобщение известных решений одномерных задач теплопроводности для простейших тел (неограниченной пластины, неограниченного цилиндра и шара) представлены в [4]. При этом для нахождения решения использовано обобщенное конечное интегральное преобразование М. Д. Михайлова, которое объединяет конечные преобразования Фурье и преобразование Ханкеля для сплошного цилиндра.

1

(2) f (и) =1^Г Wr (n¿)f (#)d#

(7)

где f(t) - функция, удовлетворяющая условиям Дирихле при £, = 0^1.

Число ^ = v/l (где v - характеристическое число; l. - характерный размер тела) является корнем характеристических уравнений:

Wr (м) = 0 ; Vr (м) = 0 - для граничных условий первого и второго рода;

Wr (м) = м - для граничных условий третьего Vr (м) Bi рода.

anx

П

2 .

Обобщенные функции ШГ,- и УГ- равномерно сходятся на интервале £ от [0;1].

Для решения дифференциального уравнения теплопроводности (2) в зависимости от формы элементов среды применяется одно из преобразований:

для пластины при Г=0, косинус-

преобразование Фурье

К (4) = сов4. Уо (£) = віп^;

для цилиндра при Г=1, конечное преобразование Ханкеля

КД4) = (4). ^(4) = ./,(#);

для шара при Г=2, обобщенное синус-преобразование Фурье

»■«) = У!& =

В гетерогенной среде изменение температуры на границе раздела фаз определяется процессом. При таких условиях решение для распределения температуры в структурных элементах среды, как и для теплового потока на их границе, имеет интегральный характер.

Обобщенное решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях для граничных условий первого рода

3(7, Го) = 0(Г) - (8)

-X

2КГ (ц7) _5_

1 мУг (Мп ) ^

I ©(ГОехр[-мЖ - Го,)] ¿я0.

(9)

■|®(е,)ехр[-ц,2 (Б, - Б,,)] ,

в общем виде = Хп 53 Ч = Я д7

(10)

Ч =

для граничных

(Ґо - ТН )ХП х

Я

у=1

условии

X2^|®(ро.)ехр[-Ц (Р0 - Ро.)] &*.

Ч

для граничных условий III рода

■ (Ґо - ТН )ХП х

Я

(12)

га !В»'2 д "

'Х Ы:+- г Н дЕо!в(ро-^ [-я2(ро- "о-,] ^*’0-. (12)

С учетом полученных выражении (11) или (12) уравнение конвективного переноса тепла примет вид

^ + (13)

д"о ах

га а "о

= СХ Рп д’/©("о* )еХР \_-Н1 ("о - "о. )]

п=1 С" о

¥п = 0, X > 0, 0 = 3 = 0;

X = 0, ¥0 > 0, 0 = 1,

где Я„=2 - для граничных условий I рода,

(14)

2ВІ2

[ + ВІ2 + (1 - г)вЦ

- I I I рода.

где ^п - корень характеристического уравнения МГ(^п); для граничных условий третьего рода

9(7, Р: ) = ©( )-

" Щ (м,У)________Ш_________а

Х мл (м) \м„! + Б1! + (1 - Г)Б1] д"

где ^п - корень характеристического уравнения

^ (м„) = м.

Уг (м) Б1

Учитывая, что ЖГ (7 ) = -Уг (7) определяем тепловой поток от элементов гетерогенной среды:

рода

(11)

"о* - переменная интегрирования.

Использование классических решений [5] для теплового потока при произвольном изменении температуры поверхности твердой фазы сводит систему уравнений к интегродиффе-ренциальному уравнению. Точные решения задач в постановке, аналогичной (1)-(6), получены в [6, 7, 8, 9] для слоя пластин и шаров.

Использование в инженерной практике этих решений, полученных в виде несобственных интегралов от сложных функций, имеет свои неудобства. Их трудно распространить на сложную комбинированную структуру зоны фильтрации, многомерные случаи и т.д. В работе [Ю] автором был предложен метод решения уравнений переноса теплоты при фильтрации и проиллюстрирован на примере задачи о теплообмене в системе параллельных трещин. Показано, что взаимный теплообмен между жидкостью и твердой фазой можно описать дифференциальной аппроксимацией интеграла Дюамеля, описывающего нестационарную теплоотдачу от структурных элементов фильтрующей среды. В результате для описания процесса получено двумерное уравнение, включающее члены со второй производной по времени, аналитическое решение которого позволяет рассчитывать эволюцию тепловой волны при одномерной фильтрации и полностью

п

I

совпадает с точными решениями [6, 7, 8, 9] в аналогичной постановке.

Рассмотрим применение метода для решения обобщенного уравнения. Будем считать, что "источник" в правой части уравнения конвективного переноса теплоты (1) не равен нулю с момента прихода гидродинамической волны в данную точку х, т.е. при т = х/и. Обозначив текущее время т* = т - х/и или в безразмерном виде "о* = "о - X. перепишем уравнение (13) и условия однозначности (14) в новых переменныхХ- "о*

Ц = СХр. -4т)в(С Ы- А (г; - г;]

|®(р;, )exp / (f; - f; ]]<

3F„

0 0

1 5® 1 d2®

(18)

*2

(15)

Fo* < 0; X >0; ® = 3 = 0; X = 0, Fo >0, ® = 1. (16)

Замена интеграла Дюамеля дифференциальными соотношениями обоснована, с одной стороны, длительностью изучаемых процессов, а значит, возможностью изучения асимптотического поведения искомой функции, с другой

- существованием асимптотического разложения для интегралов такого вида.

Функция ®(f0. ] и функция в аргументе

/ * \ * * экспоненты f\F0= F0„ - F0 удовлетворяют условиям теоремы Лапласа [11] а именно: ®(Fo* ] и f(Fo, ] аналитичны и непрерывны;

интеграл теплового потока абсолютно сходится, так как его значение в любой интервал времени ограничено значениями энтальпий в каждом элементе гетерогенной среды; f (Fo * ] достигает максимума в точке f0* = F0*, причем

f (Fo * ]- f (Fo * ] > h везде вне h>0 (h - бесконечно малая величина).

Поэтому интеграл в (15) имеет асимптотическое разложение [11]

Fo

|®(* )exp [/ (Fo* - Fo*. ]]< =

0 . (17)

exp [H„ f (F*)]^ (-1)kk! ®(k)(F*)

= H2 ^ / H

M„ k=0 H-„

Сохраняя первые два члена разложения и, учитывая, чтоf(Fo *)=0, получаем

м ЗР м дР

г . О Г . О

При больших значениях ^!п основной вклад в интеграл дает окрестность точки максимума функции Х"о ). Поскольку значение этой функции для рассматриваемого класса задач тем больше, чем больше время процесса, то ясно, что при малых значениях ^!п разложение также будет справедливо, но уже при большем значении времени. Оценка интеграла по отрезку вне окрестности точки максимума дает величину порядка 0(ехр(-^2п "о )) В работе [1о] было принято, что порядок ошибки 0(ехр(-^!п "о ))—о,о1, если ^!п "о >4,6. С учетом разложения интеграла Дюамеля уравнение (15) примет вид

— = P

дх £

1 5® 1 Э2 ®

5® 1 5® B д2 ®

- + -

dF* AG dX A dF*

P

A =Z-PT- B = E-T

(19)

(20)

(21)

Здесь: _

»=1 м. .=1 м.

В работе [1о] выражение (2о) было названо автором "эквивалентным" уравнением теплопроводности. Поскольку оно имеет второй порядок, к имеющимся краевым условиям необходимо добавить еще одно - по времени

р* ^ га, х > о, © = 1. (22)

Естественным условием является тот факт, что значение энтальпии зоны фильтрации - конечное, и при достаточно больших временах процесса изменения температуры фаз уже не происходит. Решение задачи (2о)-(22) получено с помощью операционного метода Лапласа [11] , и зависимость для температуры теплоносителя имеет вид

®(X,F ) = 1 --* 0 2

erfc

(23)

[F* - AGX + exp I —F* I erfc [ F* + AGX"

_ 24BGX ] [ в 0 ] _ 2^1BGX _

Для температуры структурных элементов гетерогенной среды можно записать

F

или

5(X,Y,F*) = ©(X,F*) - Kl ™ + K.

dFo

2 яг*2 dFo

где

K

_V PW (M, Y) , K 2^ ■> -- K 2

iP„Wr (m ,Y)

(24)

(25)

П= MV(M) Ш M„Vr(M)

Выражение для теплового потока

42,

q =

,R ÖY,

,R

dF„

dFo

*2

(26)

При этом очевидно, что Л = dK1

= dY

B =dK 2

37

Температуру твердой фазы 9 и тепловой поток д можно вычислять, используя выражение (23) и выполняя операцию дифференцирования или, сделав замену произ-

водных их разностной аппроксимацией, использовать поле значений для температуры жидкой фазы.

Применение метода в теории тепломассо-переноса, а также наиболее общие проблемы

сведения подобных систем к уравнению с одной зависимой переменной освещены в работах [12, 13].

Наиболее широкое применение метод эквивалентного уравнения теплопроводности получил при решении прикладных задач в области горной теплофизики: исследование теплового режима в коллекторах геотермальных циркуляционных систем и породных аккумуляторах для отбора тепла от горячих дымовых (пожарных) газов; анализ температурных полей нефтяных залежей с неоднородным строением пластов, а также температурных полей и условий извлечения энергоресурсов из зон обрушения над отработанным угольным пластом при наличии движущейся границы входных условий, а также фазовых или химических превращений. Идея метода была реализована при разработке скважинной энерготехнологии термохимической переработки угольных пластов в комплексе с извлечением геотермальных ресурсов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

52©

Y=1

1. Дядькин Ю. Д., Гендлер С. Г., Смирнова Н.Н. Геотермальная теплофизика. Санкт-Петербург, Наука, 1993. 256 с.

2. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. - М.: Наука, 1978. 336 с.

3. Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах. - М.: Недра, 1972, 276 с.

4. Аксельруд Г.А. Решение обобщенной задачи о тепломассообмене в слое. Инж. - физ. журн. 1966. Т. 11, № 1. С. 28-34.

5. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964. 487 с.

6. Китаев Б.И. Тепломассообмен в плотном слое. - М.: Металлургия, 1972. 430 с.

7. Ромм Е.С. Об одном случае теплопереноса в трещиноватой горной породе // Проблемы разработки месторождений полезных ископаемых Севера. Л., 1972. С. 92-96.

8. Романов В.А., Смирнова Н.Н. Теплообмен при вынужденной конвекции в слабопроницаемой среде. Инж. - физ. журн. 1977, т. 33, № 2. С. 305-310.

9. Романов В.А. Нестационарный теплообмен в гетерогенной среде. Инж.- физ. журн. 1975. Т. 29, № 3. С. 522-526.

10. Смирнова Н.Н. Решение уравнений переноса тепла при фильтрации методом сведения к эквивалентному уравнению теплопроводности // Физическая гидродинамика и теплообмен: Сб науч. тр. Новосибирск, 1978. С. 61 - 68.

11. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1965. 678 с.

12. Буевич Ю.А. К теории переноса в гетерогенных средах // Инж. - физ. журнал. 1988. Т. 54. № 5. С. 770-779.

13. Нустров В.С., Сайфулаев Б.Н. Метод эквивалентного уравнения в теории тепломассопереноса. Инж. - физ. журнал. 1988. Т. 54. № 5. С. 779-786.

— Коротко об авторах

Смирнов Н.Н. - доцент кафедры «ОТФ», С-Пб ГТИ (ТУ).

~ © В.А. Шестаков, 1 .ф. Каган.

А.С. Мусукаев, Р.А. Малыгин, 2005

УДК 622.011.1:622.188