CC BY
48
Механика деформируемого твёрдого тела
УДК 539.376+539.434
ОБОБЩЁННАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЛЗУЧЕСТИ И ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ БАЛКИ В УСЛОВИЯХ ЧИСТОГО ИЗГИБА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ К ОЦЕНКЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ
В. П. Радченко, М. В. Шершнева, В. В. Цветков
Самарский государственный технический университет,
443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]
Предложена обобщённая стохастическая модель ползучести и длительной прочности балки в условиях чистого изгиба в терминах «обобщённая нагрузка», «обобщённое перемещение», «время». Балка рассматривается как единое целое (специфический образец). Установлена полная аналогия между кривыми ползучести одноосного образца при постоянном напряжении и обобщёнными кривыми ползучести балки в координатах «кривизна балки — время» при постоянном изгибающем моменте. На основе этой аналогии сформированы стохастические уравнения состояния балки. Разработана методика оценки показателей надёжности балки при изгибе в условиях ползучести по параметрическим критериям отказа в условиях существенного разброса данных. Приведены результаты 'расчётов и даны рекомендации по назначению ресурса.
Ключевые слова: ползучесть, длительная прочность, стохастическая обобщённая модель балки, чистый изгиб, надёжность, параметрический критерий отказа, вероятность безотказной 'работы.
1. Постановка задачи. Несмотря на существенный разброс экспериментальных данных для деформации ползучести даже в лабораторных условиях, вопросам построения стохастических моделей реологического деформирования и разработке на их основе методов решения стохастических краевых задач уделяется недостаточное внимание в силу ряда причин. Во-первых, для построения феноменологических стохастических уравнений ползучести необходима полная трёхмерная информация о реологических характеристиках материала, получение которой экспериментальным путём крайне проблематично. Во-вторых, в полную систему уравнений для стохастической краевой задачи должны входить стохастические уравнения состояния для материала. Однако в настоящее время стохастическая теория реологического деформирования и разрушения в условиях сложного напряженного состояния развита слабо, особенно для процессов разупрочнения материала. Здесь
Владимир Павлович Радченко (д.ф.-м.н., проф.), зав. кафедрой, каф. прикладной математики и информатики.
Мария Викторовна Шершнева, аспирант, каф. прикладной математики и информатики. Виталий Владимирович Цветков, студент, каф. прикладной математики и информатики.
можно отметить лишь работы для одноосного напряженного состояния [1—5]. В-третьих, сдерживающим фактором разработки методов решения стохастических краевых задач являются физическая и стохастическая нелинейности определяющих уравнений ползучести и длительной прочности, что не позволяет в должной мере развивать аналитические и численные методы решения. Здесь имеются решения лишь на стадии установившейся ползучести [6-9] и единичные работы посвящены решению краевых задач с учётом третьей стадии ползучести [10].
Очевидно, что оценка показателей надёжности на основе детерминированных моделей или решений детерминированных краевых задач ползучести является первым (и явно недостаточным) приближением величины ресурса элементов конструкций по параметрическим критериям отказа.
В силу отмеченных обстоятельств в работе [11] предложен метод оценки надёжности элементов конструкций в условиях ползучести на основе обобщённых стохастических моделей, позволяющий в определённой мере преодолеть указанные выше трудности. Суть данного подхода состоит в следующем. Рассматривая конструктивный элемент как единое целое (специфический образец, хотя и сложной структуры), можно установить связь между входными (нагрузки) и выходными (перемещения, деформация, углы закручивания и т.п.) параметрами, аналогично тому, как строятся модели ползучести для одноосного растягиваемого образца. Тогда для конкретизации связи между входными параметрами (обобщённая нагрузка) и выходными характеристиками (обобщённые перемещения) можно использовать уже имеющиеся одноосные модели реологичского деформирования. Такой подход основан на полной аналогии кривых ползучести для растягиваемого одноосного стержня и соответствующих диаграмм в координатах «обобщённое перемещение — время» конструктивного элемента как целого при постоянных температурносиловых нагрузках, что убедительно показано в работах [12-15] при построении соответствующих детерминированных моделей.
В общем случае выбор обобщённого перемещения в качестве наблюдаемой величины неоднозначен, носит неформальный характер и определяется целями и задачами исследования; осуществлять его следует так, чтобы при постоянной обобщённой нагрузке получить для элемента конструкции обычную «кривую ползучести» в координатах «обобщённое перемещение — время», при этом эти кривые могут быть получены либо экспериментально в лабораторных условиях или при натурных испытаниях, либо в результате численного эксперимента решением соответствующей краевой задачи.
Наличие адекватной обобщённой реологической модели элемента конструкции открывает новые возможности для оценки надежности по параметрическим критериям отказа, что продемонстрировано в [11] на примере ползучести толстостенной трубы. Целью данной работы является обобщёние полученных в [11] результатов применительно к ползучести балки в условиях чистого изгиба.
2. Построение обобщённой стохастической модели балки в условиях чистого изгиба. Рассмотрим балку прямоугольного сечения размера Ь х Л, (Ь — ширина, Л, — высота сечения), находящуюся в условиях чистого изгиба моментом о- Не нарушая общности подхода, рассмотрим случай отсутствия у материала балки первой стадии ползучести и в качестве базовой одноосной
реологической модели растягиваемого образца используем стохастическую модель энергетического типа [5,11]
где С, Ь\ —случайные, а п, гп\ —детерминированные параметры; <то и <т — соответственно номинальное и истинное напряжения, со — параметр повре-ждённости; Ь — параметр, контролирующий процесс разупрочнения материала, при этом в частных случаях для ряда материалов гп\ = 0 и Ь = Ь\.
Для определения времени до разрушения £ = используется критерий разрушения энергетического типа
где La —случайная, а гпа —детерминированная величина (в частных случаях возможно выполнение гпа = 0 и А* = La)-
Таким образом, из модели (1)-(3) следует, что индивидуальные деформационные свойства конкретного образца определяются набором случайных величин С, L\ и La, а стохастические свойства совокупности образцов — законами распределения этих случайных величин. Это, в свою очередь, означает, что каждая реализация кривой ползучести растягиваемого образца может быть описана при помощи задания конкретных значений случайных величин
С, Li, La и детерминированных параметров п, mгпа-
При построении обобщённой модели балки в качестве выходного параметра (обобщённого перемещения) можно использовать кривизну балки %р, вызванную ползучестью, а в качестве обобщённой силы — момент Qo- Поскольку материал балки не имеет первой стадии ползучести, то и первая стадия ползучести у балки как целого (специфического образца) в координатах «кривизна хр — время t» при действии постоянного изгибающего момента, появление которой связано с перераспределением нормальных напряжений по высоте балки, будет незначительной и ей можно пренебречь. С использованием отмеченной выше аналогии кривых ползучести «деформация ползучести — время» при do = const и «кривизна балки хр — время t» при Qo = const для одноосного образца обобщённая стохастическая модель балки в условиях чистого изгиба может быть получена из (1)—(3) в следующем виде:
где <5о и Я — номинальное и фиктивное значения крутящего момента, С и 1^1 — случайные, апи гп\ —детерминированные величины.
Критерий разрушения балки будет иметь вид
р = Сап, а = <то(1 + из), Со = Lap,
L = Ll(a0)mi, р{ 0) = 0, 0) = 0,
(1)
(2)
при этом
А*(<7о) = LA(ao)mA
(3)
Xp = CQn; Q = Q0(l+ujy, со = LQxp~, L = Li(Q0)mi] XP(0) = 0; u(0) = 0,
(4)
где
L*a = LA(Q0)m*
(6)
где La —случайная, а тд — детерминированная величина, a t* — время разрушения. Из (4)—(6) следует, что для материала балки введена такая же гипотеза, что и для одноосного образца: свойства материала в пределах одного конструктивного образца (балки) являются постоянными, но они меняются от одного образца к другому. Данная гипотеза позволяет описывать тренд механических свойств материала, из которого изготовлена балка, не учитывая высокочастотных их флуктуаций в пределах одного образца [2,5,11].
Из сравнения моделей (1)—(3) и (4)—(6) следует, что схема построения обобщённой модели балки при изгибе аналогична методике построения стохастической модели для одноосного образца, и если для модели (1)—(3) исходными данными являются экспериментальные кривые одноосной ползучести в координатах «деформация ползучести — время» при <то = const, то для балки такой информацией являются обобщённые кривые ползучести в координатах «кривизна хр — время t» при Qo = const, получить которые можно либо экспериментально, либо из решения соответствующей краевой задачи для чистого изгиба балки по известным стохастическим соотношениям для материала, из которого изготовлена балка.
Если имеется возможность получения необходимой статистической информации путём эксперимента над «образцами» (балками), то стохастическая информация о свойствах материала вообще не нужна. Однако этот путь — трудоёмкий и в условиях ползучести трудно осуществимый. Поэтому в настоящей работе соответствующая статистическая информация получена в результате численного эксперимента решением соответствующей краевой задачи о ползучести балки на основании известной информации о материале. В связи с вышеизложенным целью дальнейших исследований является разработка адекватного численного метода решения краевой задачи о ползучести балки в условиях чистого изгиба.
3. Решение краевой задачи ползучести балки в условиях чистого изгиба и проверка его адекватности. Изложим методику решения краевой задачи о ползучести балки прямоугольного сечения при чистом изгибе моментом Qo. Запишем уравнения равновесия
где Qо — приложенный к балке изгибающий момент, сШ = Ъйу — элемент площади поперечного сечения; <то(у,£)—нормальное номинальное напряжение по высоте балки (—/г/2 ^ у ^ Л./2), и условие совместности деформаций
е(у, ¿) —упругая деформация, р(у, ¿) —деформация ползучести; % = %(£) — кривизна нейтральной оси; у — расстояние до нейтральной оси. Предполагается симметрия свойств материала по диаграмме «растяжение - сжатие».
(7)
=ух(*),
где е(у,£) — полная деформация, которая представляется в виде
£(У,1) = е(у,г) +р(у,Ь),
(9)
Здесь и далее многие величины в расчётных формулах зависят от координаты у. Данный факт отмечается простановкой у как аргумента, при этом учитывается, что зависимость соответствующей величины от у получается за счёт различных напряжений cro(y,t).
Учитывая, что e(y,t) = ao(y,t)/E (Е — модуль Юнга), и подставляя (9) в (8), получим
Л, *) = «(*)• (10)
Умножая обе части (10) на ydF = by dy и интегрируя полученное соотношение по у, имеем
^ rh/2 rh/2 rh/2
— ba0(y,t)ydy + Ър(у, t)y dy = x(t) / by2dy,
& J-h/2 J-h/2 J-h/2
откуда с учётом (7) находим
О h f^/2
X® = Wt + 1 V{y,t)ydy, (11)
EJ J J_h/2
rh/2
где J = / by2dy = bh?/12 — осевой момент инерции площади сечения от-
J-h/2
носительно нейтральной оси.
Зная теперь величину кривизны % = x(t), из (10) определяем величину нормального напряжения
Му, t) = E[vx(t) - р(у, i)]. (12)
Для реализации данной методики необходимо иметь уравнения состояния материала, которые принимаются в виде (1)—(3), при этом в детерминированном варианте случайные величины С, L\ и La заменяются на их математические ожидания с, а\ и ад соответственно.
Методика (7)—(12) реализована численно шагами по времени.
В связи с тем, что алгоритм (7)—(12) в дальнейшем являлся инструментом численного эксперимента для получения обобщённых кривых ползучести в координатах «хр — t» при Qо = const, сначала была установлена адекватность данных численного решения детерминированной краевой задачи на основании (7)—(12) экспериментальным данным. Для этого были использованы экспериментальные данные по ползучести балки прямоугольного сечения длиной 200 мм (Ь = 10 мм, h = 20 мм) из сплава Д16Т при температуре 250 °С [16]. Для определения параметров с, п, ai, m i, а а и гпа детерминированной модели (1)—(3) были использованы результаты одноосных испытаний этого сплава [16], которые приведены на рис. 1 сплошными линиями. По этим экспериментальным данным были определены все параметры детерминированной модели материала Д16Т (Т = 250 °С): с = 2,5 • 10“15 МПа-га; п = 5,41; ol\ = 0,94 МПа-"74-1; гп\ = —0,43; ад = 19,72 Н/мм2; гад = 0. На рис. 1 штриховыми линиями показаны результаты расчёта по одноосной модели (1)—(3) ползучести этого сплава.
Далее на основе одноосной модели ползучести материала численно была реализована методика расчёта ползучести балки (7)—(12) при двух значениях момента <5о = {78480,4; 68670,3} Н-мм. На рис. 2 штриховыми линиями приведены результаты расчёта по предложенной методике кривизны балки во времени, а сплошные линии — результат эксперимента [16]. Как видно, наблюдается хорошая коррелированность расчётных и экспериментальных данных, что свидетельствует о правомерности использования методики (7)—(12) в качестве рабочего инструмента для получения данных численного эксперимента.
Рис. 1. Экспериментальные (сплошные линии) и расчётные (штриховые линии) диаграммы ползучести сплава Д16Т при растяжении (Г = = 250 °С): 1 — сто = 98,1 МПа; 2 — сто = 88,3 МПа; 3 — сто = ”8,48 МПа; 4 — сто = 73,6 МПа.; 5 — сто = 68,7 МПа.
Рис. 2. Экспериментальные (сплошные линии) и расчётные (штриховые линии) значения кривизны балки из сплава. Д16Т (Г = 250 °С) для различных значений момента.: 1 — Qo = 78480,4 Н-мм; 2 — Qo = 68670,3 Н-мм
4. Построение обобщённой детерминированной модели ползучести балки в условиях чистого изгиба. Рассмотрим теперь схему построения обобщённой стохастической модели балки из стали 12Х18Н10Т при температуре 850 °С при чистом изгибе. Все детерминированные и случайные параметры модели (1)-(3) для стали 12Х18Н10Т (Т = 850 °С) приведены в работах [4, 11,14]. В частности, в [4,11] приведены статистические экспериментальные данные по ползучести 21 образца при чистом растяжении. Номинальные напряжения сто принимали значения 39,24; 49,05; 58,86; 78,48 МПа. Результаты эксперимента приведены в табл. 1. Здесь ро = р(0 + 0)—начальная скорость
Таблица 1
Результаты эксперимента и результаты расчёта случайных величин С, а
п/п № обр. а о, МПа ро, час 1 11, час Pi С ■ 10й а А-с
1 5 0,00080 35 0,048 6,365 0,198 2,277
2 И 0,00081 40 0,085 6,435 0,223 4,932
3 16 ОП О А 0,00080 47 0,152 6,365 0,208 11,820
4 13 оУ,24 0,00084 66 0,234 6,673 0,142 18,916
5 30 0,00084 67 0,110 6,673 0,111 5,537
6 32 0,00081 68 0,125 6,435 0,124 6,751
7 24 0,0023 18 0,080 8,947 0,119 4,951
8 22 0,0019 20,5 0,090 7,391 0,141 6,061
9 23 0,0019 21,5 0,110 7,391 0,143 8,134
10 27 49,05 0,0019 22,5 0,093 7,391 0,125 6,137
И 26 0,0021 24 0,130 8,169 0,114 9,312
12 29 0,0017 28 0,120 6,613 0,120 8,558
13 28 0,0014 30 0,080 5,446 0,117 4,983
14 15 0,0037 6,7 0,065 8,031 0,194 5,701
15 31 0,0027 14 0,047 5,861 0,051 2,968
16 17 к о о а 0,0023 15 0,073 4,992 0,127 5,691
17 7 о&,&о 0,0023 16 0,050 4,992 0,069 3,266
18 14 0,0033 20 0,170 7,163 0,073 14,758
19 21 0,0023 20,5 0,090 4,992 0,087 6,737
20 39 ТО А О 0,0110 6 0,130 9,510 0,048 13,177
21 37 /о,4& 0,0045 6 0,118 3,890 0,146 18,796
установившейся ползучести, t\ и р\—экспериментальные значения времени и деформации ползучести в момент разрушения.
Осреднённые экспериментальные кривые ползучести для стали 12Х18Н10Т (Т = 850 °С) приведены сплошными линиями на рис. 3 [14].
На основе этих экспериментальных данных по методике [14] определены параметры детерминированной модели типа (1)—(3), которые имеют значения: с = 6,65 • 10-9 МПа-™; п = 3,2; а = а\ = 0,128 МПа, гп\ = гпа = 0; А* = а а = 7,442 Н/мм2. Расчётные значения деформации ползучести для стали 12Х18Н10Т (Т = 850 °С) по детерминированной модели типа (1)-(3) приведены на рис. 3 штриховыми линиями.
Теперь с использованием детерминированной модели ползучести для стали 12Х18Н10Т была решена детерминированная краевая задача для балки по методике (7)—(12) при пяти значениях изгибающего момента Qq = {65400; 52316,7; 39240; 32700; 26160} Н-мм. Результаты расчёта кривизны балки (численный эксперимент) приведена на рис. 4 сплошными линиями. Эти данные являлись исходной информацией для построения детерминированной обобщённой модели балки (4)—(6) в условиях чистого изгиба, при этом параметры этой модели определялись аналогично случаю одноосной модели (1)—(3) по методике [14] и имели следующие значения: с = 9,34- 10-2О(Н• мм)_п; п = 3,3; а\ = 5,1 • 10-3 (МПа)-"74-1; гп\ = —0,155; ад = 712,5 Н/мм2; шг = 0.
Результаты расчёта по обобщённой модели (4)—(6) при найденных параметрах приведены на рис. 4 штриховыми линиями. Наблюдается хорошее соответствие данных численного эксперимента и расчётных данных по обобщённой детерминированной модели (4)—(6).
є — е(0), %
Рис. 3. Экспериментальные (сплошные линии) и расчётные по модели (1)-(3) (штриховые линии) кривые ползучести стали 12Х18Н10Т (Г = = 850 °С): 1 — сто = 38,24; 2 —ст0 = 49,05; 3 — ст0 = 58,86; 4 —ст0 = 78,48 МПа.
Рис. 4. «Экспериментальные» (сплошные линии) и расчётные (штриховые линии) значения кривизны балки из стали 12Х18Н10Т (Г = 850 °С) для различных значений момента.: 1 — Qo = 65400 Н-мм; 2 — Qo = 52316,7 Н-мм; 3 —
Qo = 39240 Н-мм; 4 — Q0 = 32700 Н-мм; 5 — Q0 = 26160 Н-мм
5. Построение обобщённой стохастической модели ползучести балки в условиях чистого изгиба. Для построения стохастического варианта обобщённой модели балки (4)—(6) необходимо иметь набор отдельных реализаций зависимости хр = Xp{t) ПРИ фиксированных значениях момента Qo = const. В силу отсутствия статистической экспериментальной информации такого вида она была получена в результате численного эксперимента.
Предварительно была построена стохастическая модель ползучести (1)— (3) для материала 12Х18Н10Т поданным табл. 1. Поскольку параметры mi = = riiA = 0 и п = 3,2 берутся из соответствующей детерминированной модели, необходимо построить выборки случайных величин С, L = L\ и А* = La- Величина С для каждой реализации (каждого образца) из табл. 1 определялась по формуле
С = Po/o-q,
где ро = р(0+0). Для определения случайных величин L и La проинтегрируем соотношения (1) при do = const:
p(t) =-----р— ln 11 — no-Q+1 LCt\. (13)
nL(To
После нахождения величины С для каждой реализации величина Ь для каждой кривой ползучести (13) определяется из условия прохождения графика функции (13) через точку (р 1^1), т.е. из решения уравнения (13) относительно Ь при известных р^г) = р\, £ = ¿1, С, <то, п.
Для определения последней величины А* = вычислим величину работы истинного напряжения на деформации ползучести с учётом (1):
A(t) = f adp = y (l — nCL(jQ+lt) Jo L L
— 1 /га
- 1
(14)
Таблица 2
Коэффициенты корреляции случайных величин С, L, L*,
С L т * ЬА
С 1 -0,046 0,005
L 1 -0,04
Т * ЬА 1
Тогда значение критической работы А* = La для каждого образца находится из (14) при t = t* и известных L, С, <то, п.
Результаты расчётов величин С, L и La для стали 12Х18Н10Т при температуре 850 °С приведены в табл. 1 в трёх правых столбцах, тем самым заканчивается построение одноосной стохастической модели для этой стали.
Как отмечено выше, для построения обобщённой стохастической модели балки необходимо иметь совокупность кривых ползучести отдельных реализаций \р = xp(t) при нескольких значениях момента Qo = = const. Для их получения поступали следующим образом. В стохастической модели для стали 12Х18Н10Т случайным образом генерировались выборки величины С, L\ и La и с учётом детерминированных величин п = 3,2; гп\ = гпа = 0 решалась N раз (в расчётах принималось N = 21) детерминированная краевая задача по модели (7)—(11) при нескольких фиксированных значениях Qo = = const (Qo = {39240; 32700; 26160} Н-мм). При этом законы распределения для случайных величин С, L\ и La из табл. 1 не строились, а использовалась упрощённая схема. Поскольку эти случайные величины не коррелированы (см. табл. 2), из каждого столбца для С, L\ и La табл. 1 случайным образом выбирали каждый раз по одному значению этих величин и они далее использовались в решении краевой задачи.
Таким образом, при каждом значении Qo = const было получено (численным экспериментом) по 21 реализации = xp(t). В качестве иллюстрации на рис. 5 приведены результаты численного эксперимента для двух значений момента Qo- Далее для каждой выборки из 21 графика хр = Xp(t) при Qo = = const по методике, аналогичной рассмотренной выше для одноосной модели (1)—(3), при известных детерминированных значениях п = 3,3; гп\ = —0,155; гпа = 0 (см. пункт 4) определены выборки случайных параметров С, L\, La уже для обобщённой модели (4)—(6), при этом использовались соотношения
■р —
1
nLQo
ln 11 — nQiQ+lLCt \,
A(t) = - (1 -nCLQ^+H)
1j L
— 1 /га
- 1
(15)
(16)
где L = Ll(Qo)ml, которые определены из (4)-(6) аналогично тому, как были получены соотношения (13) и (14) из (1)-(3). В качестве примера в табл. 3
Рис. 5. Обобщённые кривые ползучести балки при чистом изгибе из стали 12Х18Н10Т (Г = = 850 °С) в координатах «\р — t» в условиях стационарного нагружения: a.) Qо = 39240 Н-мм;
б) Q0 = 32700 Н-мм
Таблица 3
Результаты численного эксперимента и результаты расчёта случайных величин С, L, Ь*А для обобщённой модели балки при Qо = 32700 Н-мм
№ п/п Хо'час 1 t*, час X* С • 101У L • 103 La
1 0,000074 115,8 0,015 0,94 3,83 587
2 0,000075 131,2 0,023 0,95 4,08 1035
3 0,000087 108,3 0,026 1,10 4,49 1208
4 0,000076 89,4 0,021 0,96 6,43 1058
5 0,000078 96,6 0,012 0,99 3,88 454
6 0,000081 70,4 0,012 1,02 6,69 514
7 0,000077 79 0,012 0,97 6,03 498
8 0,000103 161,1 0,037 1,30 2,35 1578
9 0,000086 70,7 0,008 1,09 3,32 285
10 0,000085 185,9 0,022 1,08 1,48 799
И 0,000098 47,5 0,007 1,24 5,82 261
12 0,000077 109 0,015 0,97 4,03 599
13 0,000064 114,1 0,013 0,81 4,54 513
14 0,000095 78 0,011 1,20 3,57 409
15 0,000069 122,7 0,017 0,87 4,39 712
16 0,000058 81,1 0,006 0,73 3,98 212
17 0,000058 121,1 0,012 0,73 4,59 469
18 0,000083 133,9 0,018 1,05 2,71 691
19 0,000057 161,5 0,012 0,72 2,15 427
20 0,000112 103,5 0,033 1,42 3,73 1655
21 0,000045 262,9 0,015 0,57 1,48 526
приведены результаты расчёта величин С, Ь\ и Ьд для обобщённой модели балки при <5о = 32700 Н-мм. Здесь Хо = Хр(0 + 0)> — время разрушения,
X* = ХР{£*) — кривизна в момент разрушения. Используя эти данные (по 21 реализации для трех значений можно найти выборочные значения математического ожидания, дисперсии, корреляционных моментов второго и более высокого порядков и прогнозировать случайные процессы для величин ХР{^) и А(1) по формулам (15) и (16) соответственно. Однако эти соотношения стохастически нелинейны относительно случайных величин С и Ь и их нельзя использовать, например, в существующей методике оценки надёжности
В. В. Болотина на основе пространства состояния качества, разработанной
для стохастически линейных моделей и адаптированной в [4,11] для процесса ползучести.
В связи с вышеизложенным выполним линеаризацию (15) и (16) аналогично случаю одноосной модели [4,11].
Формальное разложение в ряд Тейлора нерационально, так как логарифмический и степенной ряды сходятся крайне медленно и в соответствующем ряде для достижения заданной точности необходимо удерживать большое количество членов с последующей стохастической оценкой каждого члена при степенях t. Поэтому в настоящей работе, аналогично [4,11], применяется метод аппроксимации функций 1п(1—х) и (1—x)~l/n—1 степенными полиномами до степеней х4 и х3 соответственно с использованием интегрального метода наименьших квадратов.
Тогда с учётом разложений выражения кривизны (15) и работы (16) принимают вид:
Xp(t) = CQftt + 0,911 C2LnQ20n+1t2 - l,906C3L2n2Q3on+2t3+
+3,061C'4L3n3Q4ra+3i4, (17)
A(t) = 0,348nQ%+lCt - 0,239n2Q20n+2C2Lt2 + l,068n3Q3ra+3C3L2i3. (18)
Выражения (17) и (18) являются стохастически линейными относительно
С, а также новых случайных величин C2L, C3L2, С4Ь3, выборки которых можно найти непосредственно, если известны выборки случайных величин С и L, а затем найти математическое ожидание, дисперсии и корреляционные моменты случайных величин С, C2L, C3L2 и С4Ь3 и далее определить все статистические оценки функций хр = Xp(t) и А = A(t) в аналитическом виде.
Так для математического ожидания и дисперсии функции xp(t) имеем
М(ХР) = А\М[С] + A2M[C2L\ + A3M[C3L2} + А4М[С4Ь3}, (19)
дисперсия кривизны xp(t) определяется по классической формуле
S2(xP) = А2 $с + AISC2l + А1$с3Ь2 + A1S14l3 +
+ ‘ï[A\A2KCiC2L + А\А^КссзЬ2 + AiA±KCtC4,L3 + А2АзКС2Ь^сза2 +
+ AiA±KC2LCALs + АзА^Кс З£2,с4£з]- (20)
Здесь М[-\ —оператор математического ожидания; S'2, Sç, Sç2L, Sc3l2 1 S2c4L3 -дпсперспп соответствующих параметров; Ксс2L, КссзЬ2, Кс^с±ьз, КС2Ь с3ь21 Kc2L c4l3i Кс3ь2 с4ь3 — корреляционные моменты; А\ = QqÎ, А2 = = 0,911 nQ%n+1t2, А3 = -l,906n2Q^ra+2i3, А4 = 3,061 n3Q%n+3t4.
С использованием данных табл. 3 и ещё двух аналогичных таблиц вычислялись математическое ожидание, корреляционные моменты и дисперсия для функции хр = Xp(t) в рассматриваемой модельной задачи, которые приведены в табл. 4 и 5.
6. Оценка надёжности балки в условиях ползучести по деформационному критерию отказа. Основной количественной характеристикой надёжности является вероятность безотказной работы. Она в данном случае определяет
Таблица 4
Математические ожидания и дисперсии случайных величин С, Ь, С2 Ь, С3Ь2, САЬг и Ь*А для обобщённой модели балки
Сл. вел. С L CAL CdL'A CALA т * ЬА
Мат. ож. 9,85 • 1(Г2и 4,02 • 10-3 4,11 • 10~41 1,98 • 10-“ 1,06- ю-83 689
Дисп. 4,02 • 10~4и 2,19 • 10-ь 4,52- 10-82 2,91 • 10-124 1,64- 10-1ЬЬ 1,54 • 105
вероятность того, что та конструкции (балки) условие прочности
для элемен-выполняется
Xp(t) < х?,
Таблица 5
Коэффициенты корреляции случайных величин С, Ь, С2Ь, С3Ь2, С4Ь3 для обобщённой модели балки
где х* — назначенный ресурс по предельно допустимой накопленной кривизне балки.
Функция надёжности P(t), описывающая вероятность безотказной работы на отрезке [0, t], равна вероятности пребывания случайной функции xp(t) в допустимой области (0;Хр) на этом отрезке времени [4,11]:
С C'ZL САЬ'Л
С 1 0,709 0,548 0,454
C'ZL 1 0,964 0,907
C:iL’z 1 0,985
C4L:i 1
P(t)=P{xP(r)e(0,xP), тє[0,*]}.
(21)
В связи с тем, что согласно модели (4)—(6) кривизна балки от ползучести является неубывающей функцией, функция x(t)i покинув в некоторый момент времени область (0,х*)> затем в эту область возвратиться не может. Поэтому для вероятности безотказной работы P(t) на отрезке времени [0, t\ имеет место более простая формула
P(t)=P{Xp(t)G( 0,хр)}.
В отличие от общего случая (21), когда вычисление случайной функции требует рассмотрения выбросов случайного процесса, здесь достаточно вычислить вероятность нахождения случайной функции xp(t) в заданной области в рассматриваемый момент времени.
Применим данную методику к оценке надёжности балки из модельного материала 12Х18Н10Т (Т = 850 °С) при Qo = const, кривизна которой описывается соотношением (17), а математическое ожидание и дисперсии случайной функции хр = Xp(t) —соответственно соотношениями (19) и (20).
При известном математическом ожидании и дисперсии вероятность безотказной работы P(t) вычисляется по формуле
P(t) =
1
\/2irSx(t) Jo
х* f-(x - МІХРШ)2\ j exp 9<?2 )dx,
zbx(t)
(22)
где М[хр] — математическое ожидание, а —дисперсия кривизны балки от ползучести хр = ХРС0-
Вероятность Р(£) можно использовать для назначения ресурса балки. Назначенный ресурс Т* определяют так, чтобы вероятность обеспечения Т* была
равна заданному (конкретному) значению Р* вероятности безотказной работы. Для расчёта времени отказа при заданном значении вероятности Р* по формуле (22) необходимо иметь функции математического ожидания и дисперсии для деформации ползучести, которые легко находятся из линеаризованной модели по формулам (19) и (20).
В качестве модельного примера в табл. 6 приведены результаты расчёта времени отказа балки при предельно допустимой величине %* = 0,005 и значениях вероятности 0,9; 0,95 и 0,99.
Математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты случайных величин, необходимые для расчётов, представлены в табл. 4 и 5.
Анализ данных табл. 6 позволяет сделать вывод, что рекомендуемая величина вероятности безотказной работы должна составлять 0,99, поскольку все «экспериментальные» (результат численного эксперимента) значения времени отказа отдельных реализаций лежат правее расчётного значения времени отказа, а при вероятностях 0,95 и 0,9 имеются по 1-2 выброса за пределы назначенного ресурса.
Таблица 6
Расчетные по обобщённой модели (tpac4) и экспериментальные (численный эксперимент) (i,,KCII) значения времени отказа балки при чистом изгибе
Qo, H-mm Pit) £расч 5 Час ^ЭКСП 5 час
0,99 18,9 28,7; 28; 23,6; 25,4; 28,7; 23,5; 25,8;
39240 0,95 20,5 23,7; 26,5; 30,2; 20,3; 28,8; 33,6; 23,6;
0,9 21,5 31,4; 38; 36,5; 28,6; 42,7; 20,3; 57
0,99 35,5 56,4; 55; 46,6; 48,8; 63,8; 45,3; 49,2;
32700 0,95 38,8 43,6; 49,4; 55,3; 38,7; 53,8; 63,4; 44,2;
0,9 40,8 59; 72,6; 68,7; 53,1; 78,6; 37,9; 104,3
0,99 76,4 120,3; 107,5; 100,2; 106,5; 124,6; 99,5; 107,2;
26160 0,95 83,7 91,6; 104,9; 114,9; 84,5; 114,9; 136; 94,5;
0,9 88,2 126,6; 154,3; 147,5; 111,9; 164,8; 80,8; 217
Выводы. Выполненные исследования обосновывают целесообразность разработки обобщённых стохастических моделей элементов конструкций, демонстрируют эффективность их применения для оценки надёжности конструкций по параметрическим (деформационным) критериям отказа в условиях ползучести. На конкретном примере ползучести балки показано, что рекомендуемая назначаемая вероятность безотказной работы должна составлять величину порядка 0,99.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10-01-0064-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самарин Ю. 77. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов// Изв. АН СССР. МТТ, 1974. №1. С. 88-94. [Samarin Yu. P. Use of stochastic equations in the theory of creep of materials // Izv. AN. SSSR. MTT, 1974. no. 1. Pp. 88-94].
2. Самарин 70. 77. Стохастические механические характеристики и надёжность конструкций с реологическими свойствами / В сб.: Ползучесть и длительная прочность конструкций. Куйбышев: КПтИ, 1986. С. 8-17. [Samarin Yu. P. Stochastic Mechanical Properties and Reliability of Structures with Rheological Properties / In: Creep and Long-Term Strength of Structures. Kuibyshev: KPtI, 1986. Pp. 8-17].
3. Радченко В. 77. Прогнозирование ползучести и длительной прочности материалов на основе энергетического подхода в стохастической постановке // Пробл. прочности, 1992. №2. С. 34-40; англ. пер.: Radchenko V. P. Prediction of creep and creep-rupture strength of materials on the basis of an energy approach in a stochastic formulation // Strength of Materials, 1992. Vol. 24, no. 2. Pp. 153-161.
4. Шершнева М. В. Метод расчёта ресурса стержневых конструкций на основе энергетического варианта ползучести и длительной прочности // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. №1(26). С. 141-149. [Shershneva М. V. Calculation method for frame construction life prediction on the basis of creep and endurance of energy type // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2012. no. 1(26). Pp. 141-149].
5. Радченко В. П., Симонов А. В., Дудкин С. А. Стохастический вариант одномерной теории ползучести и длительной прочности // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2001. №12. С. 73-84. [Radchenko V.P., Simonov А. V., Dudkin S. А. Stochastic version of the one-dimensional theory of creep and long-term strength // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2001. no. 12. Pp. 73-84].
6. Радченко В. П., Попов П.П. Стохастические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости// Изв. вузов. Машиностроение, 2006. №2. С. 3-11. [Radchenko V.P., Popov N. N. Stochastic characteristics of stress and strain fields in steady-state creep of stochastically inhomogeneous plane// Izv. Vuzov. Mashinostroenie, 2006. no. 2. Pp. 3-11].
7. Коваленко Л. В., Попов 77. П., Радченко В. 77. Решение плоской стохастической краевой задачи ползучести// ПММ, 2009. Т. 73, №6. С. 1009-1016; англ. пер.: Kovalenko L. V, Popov N. N., Radchenko V. P. Solution of the plane stochastic creep boundary value problem// J. Appl. Math. Mech., 2009. Vol. 73, no. 6. Pp. 727-733.
8. Исуткина В. 77. Разработка аналитических методов решения стохастических краевых задач установившейся ползучести для плоского деформированного состояния: Авто-реф. дисс. . .. канд. физ.-мат. наук. Самара, 2007. 18 с. [Isutkina V. N. Development of analytical methods for solving stochastic boundary value problems of steady-state creep for a flat strain state: Abstract of Ph.D. Thesis (Phys. & Math.). Samara, 2007. 18 pp.]
9. Попов П.П., Радченко В. П. Аналитическое решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы // ПММ, 2012. Т. 76, №6. С. 1036-1044. [Popov N. N., Radchenko V. P. Analytical solution of the stochastic boundary-value problem of steady-state creep for a thick-walled tube// Prikl. Mai. Mekh., 2012. Vol. 76, no. 6. Pp. 1036-1044].
10. Попов 77. П., Радченко В. 77. Нелинейная стохастическая задача ползучести неоднородной плоскости с учётом повреждённости материала// ПМТФ, 2007. Т. 48, №2. С. 140-146; англ. пер.: Popov N.N., Radchenko V. P. Nonlinear stochastic creep problem for an inhomogeneous plane with the damage to the material taken into account // J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2007. Vol. 48, no. 2. Pp. 265-270.
11. Радченко В. П., Шершнева М. В., Кубышкина С. П. Оценка надёжности элементов конструкций в условиях ползучести на основе обобщённых стохастических моделей// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. №3(28). С. 55-71. [Radchenko V. P., Shershneva М. V, Kubyshkina S. N. Evaluation of the reliability of structures under creep for stochastic generalized models // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2012. no. 3(28). Pp. 55-71].
12. Самарин 70. 77. Метод исследования ползучести в конструкциях, основанный на концепции черного ящика/ В сб.: Теоретике-экспериментальный метод исследования в конструкциях. Куйбышев: КуАИ, 1984. С. 3-27. [Samarin Yu.P. The method of investigation for creep in structures a based on black-box concept / In: Theoretical and experimental method of research in construction. Kuibyshev: KuAI, 1984. Pp. 3-27].
13. Ерёмин 70. А., Кайдалова Л. В., Радченко В. 77. Исследование ползучести балок на основе аналогии структуры уравнения состояния материала и элементов конструкций // Машиноведение, 1983. №2. С. 67-74. [Eremin Yu. A., Kaidalova L. V, Radchenko V. P.
Investigation of creep in beams a based on analogy of structure equation of material and structural elements state// Mashinovedenie, 1983. no. 2. Pp. 67-74].
14. Радченко В. П., Ерёмин Ю. А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. М.: Машиностроение-1, 2004. 264 с. [Radchenko V. Р., Eremin Yu. A. Rheological Deformation and Fracture of Materials and Structural Elements. Moscow: Mashinostroenie-1, 2004. 264 pp.]
15. Радченко В. П., Кубышкина С. Н. Математическая модель реологического деформирования и разрушения толстостенной трубы// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ,-мат. науки, 1998. №6. С. 23-34. [Radchenko V.P., Kubyshkina S. N. A mathematical model of rheological deformation and fracture for thick-walled pipe // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 1998. no. 6. Pp. 23-34].
16. Соснин О. В., Горев Б. В., Никитенко А. Ф. Энергетический вариант теории ползучести. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1986. 95 с. [Sosnin О. V, Gorev В. V., Nikitenko A.F. Energy variant of creep theory. Novosibirsk: Inst, of Hydrodynamics, USSR Acad, of Sci., 1986. 95 pp.]
Поступила в редакцию 04/IX/2012; в окончательном варианте — 27/XI/2012.
MSC: 74S60; 74K10, 60H30
GENERALIZED STOCHASTIC MODEL OF CREEP AND CREEP RUPTURE BEAMS IN PURE BENDING AND ITS APPLICATION TO THE ESTIMATION OF RELIABILITY
V. P. Radchenko, M. V. Shershneva, V. V. Tsvetkov
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.
E-mails: radchasamgtu.ru, mary-sofyaamail.ru, vi.v.tsvetkoffamail.ru
Generalized stochastic model of creep and creep rupture beams under pure bending in terms “generalized load”, “generalized displacement”, “time” is offered. Beam is considered as a single entity (the specific model). The complete analogy between the curves of uniaxial creep sample under constant stress and generalized creep curves beams in the curvature of the beam coordinates “curvature beams - time” under the constant bending moment is determined. On the basis of this analogy the stochastic equation of state beam is formed. Method of reliability estimating of the beams bending under creep on parametric criteria of failure in a significant scatter of the data is developed. Calculation results and recommendations for lifelength assigning are presented.
Key words: creep, rupture strength, stochastic generalized model beams, pure bending, reliability, parametric failure criterion, the probability of failure-free operation.
Original article submitted 04/IX/2012; revision submitted 27/XI/2012.
Vladimir P. Radchenko (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.
Mariya V. Shershneva, Postgraduate Student, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.
Vitaliy V Tsvetkov, Student, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.
