CC BY
7многочлен Qs можно привести к виду Qs(yi, ...,yn)=yj + ...+ yl_x + где ks + 1 = ПОД • 14M(s) • N(s)n~2 + 8 ОД • iV(s)ra "2.
Отсюда следует, что
к8 7 1 lim - = — --
s^oc (11 M{s) + 1) • 22ОД • (2N{s))n~2 11 2п~2
Кроме того, имеет место равенство Kn(d\,d2, d3, d3,..., d3) = Kn(d2, d\,d3, d3,..., d3) (мы можем перенумеровать переменные). Поэтому ограничение L(s) < M(s), наложенное нами ранее, на самом деле несущественно для вычисления указанного предела. Отсюда следует, что
jt^- Kn(di,d2, ds, ds,..., ds) > 1 . .
dbdX-юо dM™'2 ^11 2n~2' 1 )
Очевидно, что для любого j € {1,... ,п} имеет место неравенство
— i) djy dj+1) • • •) dn ) ^ Kn(d\,..., dj-i, dj + 1, dj+1,..., dn), откуда с учетом (13) получим
Kn(d1,d2,d3,d3,...,d3) 7 1 lim -- ^
(¿1,^2,^3^-00 dld2d" 2 11 2га 2
Утверждения теоремы вытекают из последнего неравенства при п = 2 и п = 3 соответственно. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 13-014)0755.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Greuel G.-M., Lessen С., Shustin Е. Plane curves of minimal degree with prescribed singularities // Invent. Math. 1998. 133, N 3. 539-580.
2. Гусейн-Заде C.M., Нехорошее H.H. Об особенностях типа Лк на плоских кривых фиксированной степени // Функц. анализ и его прил. 2000. 34, вып. 3. 69-70.
3. Kollar J. An effective Lojasiewicz inequality for real polynomials // Periodica math. hung. 1999. 38, N 3. 213-221.
4. Astashov E. On algebraic hypersurfaces of fixed degree in C™ with prescribed singularities / Proc. Int. miniconf. "Qualitative theory of differential equations and applications" (16 June 2012). M.: MESI, 2013. 5-19.
5. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: МНИМО. 2009.
6. Steenbrink J. Intersection form for quasi-homogeneous singularities // Compos. Math. 1977. 34, N 2. 211-223.
Поступила в редакцию 11.04.2014
УДК 512.628.2
ОБОБЩЕННЫЕ СЕПАРАНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
М. А. Лимонов1
Пусть / (Е К {у} — элемент кольца дифференциальных многочленов от одной дифференциальной переменной у с одним дифференцированием S. Для любой переменной уk многочлен g = 5n(f) можно представить в виде g = Аиун + до-, где до не зависит от у]~.
1 Лимонов Максим Амирьянович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: matemaksQya.ru. 5 ВМУ, математика, механика, №6
Если у]~ — старшая переменная д, то А]~ является сепарантой многочлена /. Для больших пик установлена формула для А]~ и продемонстрировано ее применение.
Ключевые слова: дифференциальный многочлен, сепаранта, обобщенная сепаранта, квазилинейный многочлен.
Let / G К{у} be an element of the ring of differential polynomials in one differential variable у with one differential operator S. For any variable yk, the polynomial g = 5n(f) can be represented in the form g = АкУк + go, where go does not depend on у к. If у к is the leader of g, then Ak is a séparant of the polynomial /. A formula for Ak is obtained for sufficiently-large numbers n and к and some applications of this formula are presented.
Key words: differential polynomial, séparant, generalized séparant, quasilinear polynomial.
Хорошо известно, что если / — дифференциальный многочлен, то все его производные "линейны" по старшей переменной (все определения см. ниже). В частности, в случае одной дифференциальной переменной и одного дифференцирования п-ю производную / можно записать в виде
= Sfyn+i + g, где I — порядок многочлена /, Sf — сепаранта /, а многочлен g зависит от переменных, порядок которых меньше п + 1. Таким образом, у всех производных / есть общая постоянная часть при старшей переменной. Мы исследуем аналогичное свойство для переменных, порядок которых предшествует старшей переменной, а также в случае любого числа дифференциальных переменных и дифференцирований.
Дадим несколько стандартных определений и обозначений из дифференциальной алгебры [1].
Определение 1. Пусть 1Z — коммутативное кольцо с единицей. Отображение 5 : 1Z —> 1Z называется дифференцированием, если для любых элементов а и b кольца 1Z выполнены следующие условия:
1) ё(а + Ъ) = 5(a) + 5(Ъ) — линейность;
2) 5(аЪ) = а5(Ъ) + Ъ5(а) — правило Лейбница.
Пусть дано некоторое ассоциативное коммутативное кольцо 1Z с единицей. Оно называется дифференциальным кольцом, если на нем задан набор дифференцирований, коммутирующих между собой.
Элементарный дифференциальный оператор может быть записан однозначно в виде 9 = ё3^ ... 5т ■ Порядком такого оператора называется ord0 := Множество элементарных дифференци-
альных операторов образует моноид в. Идеал I С 7Z называется дифференциальным идеалом,, если в/ Ç I.
Напомним понятие кольца дифференциальных многочленов. Рассмотрим поле /С и набор независимых дифференциальных переменных V = {v\,... ,vn}. Тогда кольцо дифференциальных многочленов представляет собой всевозможные конечные суммы слагаемых вида a{0iVj1)%1(92Vj2)%'2 ••• (9rVjr)%T, ifc — неотрицательные целые числа, где € В, а € /С. Это кольцо многочленов от бесконечного числа переменных вида 9vi над полем /С. Осталось определить дифференцирование такого многочлена. В силу линейности и правила Лейбница достаточно определить дифференцирование на каждой переменной (на элементах поля дифференцирование у нас будет тождественно нулевым). Пусть ôi(9vj) = (6i0)vj. Кольцо дифференциальных многочленов от переменных {v\,..., vn} над полем /С будем обозначать через K{vi, ...,vn}.
Определение 2. Порядком переменной ord0i>i назовем ord0. Порядком многочлена назовем максимальный порядок переменной, входящей в него.
Рассмотрим поле К характеристики 0, набор независимых дифференциальных переменных г>1,..., vn, набор дифференцирований 5\,..., 5т, кольцо дифференциальных многочленов K{v i,...,vn}. Рассмотрим многочлен / € K{v\,... ,vn}, для любой переменной 9vi наш многочлен можно представить в виде g = Aqv.9vî + go, где многочлен go не зависит от 9vi. По данному многочлену / и дифференциальному оператору А = ... 5г™ необходимо определить явно, чему равен "коэффициент" Aqv. у многочлена А(/).
Заметим, что дифференциальные операторы линейны. Следовательно, нам достаточно решать данную задачу для случая, когда / является мономом. Введем мультииндексы для более компактной записи: vjt(h,...,im) ■= ¿Г • • • <%* fa). Тогда ô*1 ... (vjt(bl,...,bm)) = vjt(ai+bl,...,ат+ьт)- Теперь наша задача переписывается в следующем виде: нам дан моном / = vkl. .. vkr. Л, к нему
применяется оператор А = S1^ ... 5г™, и нам требуется найти "коэффициент" при Vj,(j1,...jm) = v.
Лемма 1. Пусть моном g записан в виде g = b...;im 1) • • • Vjr,(ii r,...,im r) (переменные могут повторяться). Тогда
и т
(д) = ^2 ~\Х\УЗк,(ч,к+вк,г2,к,---,гт,к)
з^о, 1 г' к= 1
...5™{д) ^^ ... Х\_У]к,{Ч,к+в1>к,--;гт,к+вт,к)-
01,1 • • • • ^тД----•>«!/■ , ,
к= 1
Доказательство. Первая формула следует непосредственно из правила Лейбница, а вторая получается по индукции из первой.
Лемма 2. Пусть огёД = п, огё/ = I, = огск; = р и выполнено условие 2р > п + 21.
Тогда Аи не зависит, от, у.
Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда после дифференцирования в каком-то мономе Д(/) переменная у встречается не меньше, чем во 2-й степени. Воспользуемся формулой из леммы 1. Пусть УЫ^к+31к^тк+3гк) = у и = у. Тогда получаем
т т т
ОТ^]к,(ч,к+Э1,к,---,гт,к+Эг,к) = + «1,* + • • • + гт,к + вг^к = г^к + в3,к < I + ^2
.7=1 .7=1 .7=1
т т т
= + «м + • • • + гт>4 + вт>4 = ^2 Ъ* + I] < 1 + I]
.7=1 .7=1 .7=1
Но мы приходим к противоречию с тем, что
т
2р = 01&УЫКк+31к^т к+3г к) + ^21 + + < 2/ + п.
.7 = 1
Следующая лемма была доказана нами для случая одного дифференцирования и одной дифференциальной переменной в статье [2]. В связи с громоздкостью обозначений и выкладок мы приведем только ее формулировку. Само доказательство можно получить, сгруппировав слагаемые в лемме 1 или проделав шаги, как в доказательстве леммы 4 из [2].
Лемма 3. Пусть т{у \,...,уп} — кольцо дифференциальных многочленов с п независимым,и переменными и т дифференцированиями. Рассмотрим многочлен / € К{у\,... ,уп}, огё/ = I, дифференциальный оператор А = ... = п, и переменную у = огск; = р. Тогда
если 2р > п + 21, то многочлен Д(/) можно представить в виде Д(/) = Ав,и(9у) + до, где до не зависит, от, у и
Л \ гчЭ /^Зт-гт,] ¡¡гт-От-гт,]) / \ /1\
^ 'СЬ -6т \дУНг1. г л)- (1)
А.....г„ ,1 V Мг1,],-,гт,3) /
Замечание. Суммирование ведется по всем возможным переменным, которые входят в /. Предполагается, что если к > п, то С^ = 0.
Посмотрим, что нам дает эта формула для случая одной дифференциальной переменной У\ и одного дифференцирования 5. Пусть и = Выражение из леммы 3 приобретает следующий вид:
5п(Л = А$у(ду)+д0,А$у = ШЛ .
VI ^ ^ 1 /
Формула (1) стала достаточно компактной и простой. Для дальнейшей работы нам следует перейти к удобным обозначениям для случая одного дифференцирования и одной дифференциальной переменной.
Определение 3. Кольцо называется обыкновенным дифференциальным кольцом, если на нем задано одно дифференцирование.
Определение 4. Пусть К — обыкновенное дифференциальное поле. Кольцом дифференциальных многочленов от одной неизвестной над К называется кольцо многочленов от счетного числа переменных К[уо,... ,уп,...] (обозначается К{у}), у которого дифференцирование 5 удовлетворяет условию = Уг+1 и 5 и, будучи ограниченным на К, совпадает с дифференцированием поля К. Дифференцирование 5, заданное таким способом, однозначно продолжается на К {у} по линейности и правилу Лейбница.
Далее мы будем считать, что поле К, над которым рассматриваются многочлены, является алгеброй Ритта с тождественно нулевым дифференцированием. Для удобства будем обозначать п-ю производную многочлена / через 5п(/) = /(га). Также нам потребуются понятия порядка многочлена и сепаранты.
п
Пусть М = Л у"4, где ец ^ 0, причем ап > 0. Тогда, согласно определению порядка дифференте)
циального монома, п является порядком М.
Определение 5. Будем говорить, что переменная у^ старше переменной у^ (обозначение: уг >-Уз), если г >
Определение 6. Для элемента / кольца К{у} определим сепаранту Sf как частную производную по старшей переменной. Для элементов поля полагаем ее нулем.
Определение 7. Многочлен, не равный нулю, называется квазилинейным,, если его сепаранта принадлежит полю К.
Будем обозначать скобками () и [ ] соответственно алгебраический и дифференциальный идеалы, порожденные элементами, заключенными внутри скобок.
Далее мы будем использовать букву п для обозначения порядка дифференцирования и букву I для порядка многочлена.
Напомним, что мы можем представить многочлен д в виде д = до + Ад^Ук, где до не зависит от ук, а многочлен укАд,к получается из многочлена д нахождением всех мономов, зависящих от переменной у^, и вынесением последней переменной за скобки. Доказательство следующей теоремы и следствия из нее представлены в [2, лемма 4 и утверждение 1].
Теорема. Пусть / — дифференциальный, многочлен и огё/ = I. Тогда для любых кипе условиями верно следующее равенство:
1 / яр \ (к-1+з)
л . . -V Гк~1+э I —1 - \ду )
Здесь мы по умолчанию полагаем = 0 для отрицательных к.
Следствие 1. Пусть / — дифференциальный, многочлен, огё/ = п> 2 к.
Тогда
1) огёА^п)>п+1_к < к + 1;
2) выполнено следующее равенство:
к
¡(п) = ^А^п),п+1_гуп+1_г + <2,
г=0
где огё<5 < п + I — к.
Определение 8. Пусть / € К {у}, огё/ = I, и п € М, 0 ^ к € Ъ, таковы, что п > 2 к. Обобщенными сепарантами многочлена / будем назвать многочлены Sfnk= (¿М
3=0 К 31
В частности, при к = 0 обобщенная сепаранта совпадает с обычной: ¿>/^,0 = Sf =
к
Из доказанного выше следует, что = ^ Sf,n¿ уп+1-г + Я, где 2А; < п € N, огё<5 < п + I — к.
í=0
Таким образом, мы получили, что старшие производные дифференциального многочлена линейны не только по своей старшей переменной, но и по переменным с меньшим порядком. Кроме того, эта формула описывает, как выглядят мономы в /(-га\ содержащие переменные высоких порядков, что может быть использовано в изучении дифференциальных многочленов. Мы получили также обобщение этой формулы для общего случая нескольких дифференциальных переменных и нескольких дифференцирований, которое мы не приводим здесь из-за громоздкости.
Следствие 2. Пусть / € К {у}, где К — поле нулевой характеристики, и огё/ = I. Если в
идеале [/] содержится квазилинейный многочлен, то /,
Ё1 дуь
Доказательство. Пусть <?€[/] — квазилинейный многочлен порядка т. Его можно записать в
п
виде д = = до+Ут, где до не зависит от переменных порядка выше, чем т—1. Предположим,
г=0
что п < 2т — 21. Тогда 2к = 2(п + I — т) < п, где к = п + I — т. По следствию 1 и определению
обобщенных сепарант мы можем для любого т — I ^ р ^ п каждый многочлен представить в к
виде = ^ SfípííУp+l-í + Q, где к = р + 1 — т, огё<5 < р + 1 — к = т. Все многочлены ] <т — 1,
г=0
дЛз)
не зависят от переменных ут и старше, следовательно, -= 0. Имеем
ОУт
1 =
9д 9ут
^ дут . ^ ду 1=0 г=т—1
п „ п
г=т—1
г=0
01 дуо'
Ё1
ду1
(2)
Вторая сумма в правой части (2) принадлежит идеалу
Г д£_
•> ' ду0 ■
дуь
, так как
— ^ С, з=о
к-1+З п
К)
дУз)
(к-1+3)
Если п > 2т — 21, то мы можем продифференцировать д к раз (к определим позже), и от этого многочлен не перестанет быть квазилинейным. Положим т' = т + к, п' = п + к. Возьмем теперь к таким, чтобы выполнялось неравенство п' < 2т! — 21. Следствие доказано.
Отметим, что это следствие не является необходимым условием присутствия квазилинейного многочлена в идеале. Например, в идеале [У\+Уо\ имеется квазилинейный многочлен, если и только если п ф 2 [3], однако условие следствия выполняется для этого идеала при всех п.
Наличие в дифференциальном идеале квазилинейного многочлена оказывается связанным с существованием у этого идеала конечного лексикографического дифференциального стандартного базиса [3, 4]. В настоящее время неизвестен алгоритм, проверяющий по образующим идеала, есть ли в нем квазилинейный многочлен. Поэтому такие результаты, как доказанное следствие, представляются важными для построения алгоритмов дифференциальной компьютерной алгебры.
Покажем еще одно применение обобщенных сепарант. Как известно, любой дифференциальный идеал является алгебраическим идеалом, порожденным бесконечным количеством многочленов. Встает вопрос: может ли конечно-порожденнный алгебраический идеал содержать в себе дифференциальный идеал? Ответ оказался отрицательным в случае, если алгебраический идеал не совпадает со всем кольцом.
Лемма 4. Пусть I = [д\,д2, ■ ■ ■ ,дп) € К{у} ~ нетривиальный алгебраический идеал, поле К имеет характеристику 0. Тогда для, любого / ф 0 € К{у} идеал [/] ^ I.
Доказательство. Доказательство будем вести индукцией по степени многочлена /. База: = 0, тогда / = а, [/] = [а] = (1), (1) £ I.
Предположим, что мы доказали лемму для всех многочленов степени не выше к — 1, докажем ее для степени к. Пусть с^ / = к, огё/ = I и предположим, что [/] С I. Пусть щ = тах(огск/г), рассмот-
г к
рим п » По (например, п > 2по). Тогда по следствию 1 можем записать = ^ Sf,n^yn+l-i + <3,
г=0
где 2к < п € N, огё<5 < п + I — к. Тогда, так как € I и огЛуп+1^ > по , каждая обобщенная сепаранта ¿>/,га,г € I. Заметим, что ¿>/,га,г = ^ Сгп 1+3 {^р^
Рассмотрим подпространство пространства К {у}, натянутое на векторы
' '—7-1- ' ( Я? \ Ч"'?') '—7-1- '
Рассмотрим в нем векторы вида ^ Сп 3 ( д - ) • Из НбЗ&ВИСИМОСТИ Сп Кс1К мно™
3=0 v щ '
гочленов от п следует, что если у нас будет достаточно большое количество векторов, то через них можно выразить любой порождающий элемент.
Следовательно, так как для любого достаточно большого п обобщенная сепаранта лежит в /,
то каждое слагаемое в сумме ^ Сп 3 принадлежит /, т.е. для любого г ^ 0 нашему
идеалу I принадлежит = (б/)1-^, что невозможно по предположению индукции, так как
,дУ1)
deg Sf < deg /. Переход доказан.
Следствие 3. Пусть идеал 3 содержит некоторый дифференциальный идеал. Тогда условие ,] С I, где I — некоторый алгебраический конечно-порожденный идеал, может быть выполнено тогда и только тогда, когда I = (1).
Доказательство напрямую следует из предыдущей леммы, так как любой дифференциальный идеал содержит идеал вида [/].
С использованием обобщенных сепарант нам также удалось решить в [2] следующую задачу: дан дифференциальный многочлен / € К {у} с условием [/,5/] = (1), требуется алгоритмически проверить, верно ли равенство [/] + (5/) = (1). Условия такого вида впервые появляются в работе Е. Р. Колчина [5], который ввел понятие экспоненты дифференциального идеала и вычислил возможные значения экспоненты дифференциального идеала [/] — наименьшего значения т, такого,
что С I, где / — дифференциальный многочлен первого порядка. Однако при отсутствии
сингулярных решений ([/, ¿>/] = (1)) Колчин решил эту задачу лишь при дополнительном условии [/, 5/] ф (1), доказав, что в этом случае экспонента [/] равна 1, т.е. этот идеал радикален. В то же время Д. В. Трушин в работе [4] доказал, что при условии [/, 5/] = (1) равенство [/] + (5/) = (1) эквивалентно существованию в идеале [/] квазилинейного многочлена.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kolchin E.R. Differential algebra and algebraic groups. N.Y.: Academic Press, 1973.
2. Zobnin A., Limonov M. Algorithm for checking triviality of "mixed" ideals in the ring of differential polynomials // Programming and Computer Software. 2015. 41, N 2. 84-89.
3. Zobnin A. Admissible orderings and finiteness criteria for differential standard bases / Proc. Inter. Symp. Symbolic and Algebraic Computation. N.Y.: ACM, 2005. 365-372.
4. Трушин Д. В. Идеал сепарант в кольце дифференциальных многочленов // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, вып. 1. 215-227.
5. Kolchin E.R. On the exponents of differential ideals // Ann. Math. Ser. 2. 1941. 42, N 3. 740-777.
Поступила в редакцию 23.06.2014
УДК 517.518.47
АСИМПТОТИКА КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
А. Ж. Ыдырыс1
Излагается общий метод нахождения асимптотики вблизи нуля кратных тригонометрических рядов, коэффициенты которых удовлетворяют определенным условиям монотонности.
Ключевые слова: кратные ряды, сумма кратных рядов с монотоннымикоэффициентами.
1 Ыдырыс Айжан Жумабайкыз — докторант каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aizhanydQgmail.com.
