Обобщенные решения краевой задачи для уравнения теплопроводности на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.954

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 3

А. С. Волкова

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ГРАФЕ

Введение. Рассматривается краевая задача для уравнения теплопроводности на произвольном геометрическом графе Г. Необходимость замены интегральными тождествами классических постановок краевых задач обобщенными определяет для решений соответствующие аналоги соболевских пространств, являющиеся плотными множествами в ^(Г х [0,T]),T < ж. Для исследуемой краевой задачи в таких пространствах доказывается теорема об однозначной разрешимости. Изучается задача граничного управления - управляющие воздействия задаются в граничных узлах графа. Указан алгоритм построения управляющих воздействий, основанный на решении задачи граничного управления в классе достаточно гладких функций.

Основные понятия и обозначения. Рассмотрим связный компактный граф-дерево Г с корнем £0, множеством узлов V = {£о,£ь ..., £m} и множеством ребер Ж = {71,72, ...,7т}; длина каждого ребра равна 1. Здесь и ниже мы придерживаемся обозначений, принятых в монографии [1]. Узел называется граничным, если он принадлежит только одному ребру (граничное ребро), все остальные узлы и ребра - внутренние; множество граничных узлов обозначим через дГ, J (Г) - множество внутренних узлов: V = д Г U J (Г). Обозначим через Г0 объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, Гт = Г0 х (0,T), дГт = дГ х (0,T) и Г{4о} = Г0 х {t0} - сечение области Гт плоскостью t = t0, t0 G (0,T).

Естественным образом вводится частичная упорядоченность на Г: для двух точек ai и a2 определено отношение ai ^ a2, если ai лежит на единственном пути, соединяющем корень £0 с a2. Обозначим через [ш, w] = {z G Г : ш ^ z ^ w} и если [ш, w] -ребро 7, то ш - начальная точка 7, w - конечная точка 7; объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, - через Го: Го = Г \ V; под Го понимается несвязное объединение всех ребер - замкнутых отрезков. Для каждого внутреннего узла £ обозначим через R(£) множество ребер, выходящих из £. Для любого узла £ G V длина пути, соединяющего корень £0 с £, является целым неотрицательным числом, обозначим его через 7| и назовем порядком узла £. Пусть V= {£ G V : |£| = v} - множество узлов порядка v.

Занумеруем узлы графа Г так: дГ = {£0,£1, ...,£p}, £P+1 G V(1), а £j, j > p +1 -в порядке возрастания |£j |, J (Г) = {£P+1,£P+2, ...,£m}. Аналогично пронумеруем ребра: 7Й, k = 1,р+ 1, - граничные ребра (7^+1 = [£о, £P+i]), Ik = [£к^ £к], к = p + 2,m,kj < к -внутренние ребра. Каждое ребро 7 G Ж параметризуется отрезком [0,1]. Ориентацию на ребрах удобно выбрать следующим образом: если 7 = [ш, w], то узлу ш соответствует число 1, узлу w - число 0.

Пусть Г - произвольный связный компактный граф, содержащий циклы. В каждом цикле фиксируются ребро и ему принадлежащий узел. Формальное разъединение графа по таким узлам, оставляющее граф связным, превращает его в «дерево». Ориентация и параметризация, а также нумерация узлов и ребер полученного графа приведены выше. Внутреннего узла произвольного графа может быть более одного входящего

Волкова Анна Сергеевна — аспирант, 394036, Воронежский государственный университет; e-mail: [email protected].

© А. С. Волкова, 2013

в него ребра в отличие от внутреннего узла графа-дерева, имеющего только одно входящее в него ребро. Так же как для множества Д(£) ребер, выходящих из внутреннего узла £, через г(£) обозначим множество ребер, входящих в узел £.

Через ¿2(Г), Ьэ(Гт) введем пространство функций, интегрируемых с квадратом на Г и Гт соответственно, через ^^(Г) - пространство функций и(х) € ¿2(Г) с обобщенной производной первого порядка. Аналогично запишем пространство ^^2(Гт).

Сужение функции /(х,€) на ребро будем обозначать через /(х,€)1к. Интеграл от функции /(х,;) по области Гт понимается как сумма вида

/т ,,

/(х^хА = / /(х,;)

к=11к х(0,Т)

Как ^22,1(Гт) запишем пространство функций и(х,Ь) € Ь2(ГТ), имеющих обобщенные производные первого и второго порядка по х и обобщенную производную первого порядка по которые принадлежат Ь2(ГТ). Норму ||-||^2,1(гт) в ^|'1(Гт) определим скалярным произведением

Г[диду д2и д2у\ Гт

Обозначим через ^^^Гт) пространство функций и(х,Ь) € Ь2(Гт), обладающих обобщенными производными первого порядка по х, которые принадлежат ¿2(Гт). Норму ||-||^1,0(Гт) в ^21,0(Гт) определим скалярным произведением

[ ( диду\ (и, у)ш1,о{Гт) = у (ш; + ——^ дх&.

Гт

Запишем через Ш2(Гт) пространство функций и(х,Ь) € ¿2(Гт) с обобщенными производными первого порядка по х и по которые принадлежат ¿2(Гт). Норму

^1{гт) в ^2"(Гт) определим скалярным произведением

Гт

Через У(Гт) обозначим пространство, состоящее из всех элементов ш2'°(Гт), имеющих конечную норму вида

\Му2 (Гт) = т'а 'Гпах^ 1и(х,;)11ь 2 (Г) +

ди

дх

■ (1)

Ь2(Гт )

У2'° (Гт) состоит из всех элементов и € У2 (Гт), сильно непрерывных по ; в норме ¿2(Г), т. е. таких, что Ци(х,; + Д;) — и(х, ¿)||т2(г) ^ 0 при Д; ^ 0 равномерно на (0, Т).

Введем необходимые подпространства пространств и У2(Гт).

Обозначим через П(Гт,^Г)) множество элементов пространства Ш^'1(Гт), чьи следы определены на всех сечениях Г{4о} как функции класса ^21(Г) и непрерывны

по t G (0,T) в норме ^2"(Г), а также выполним следующие соотношения [2, 3]*-1:

Е Е i е J(r), t е (О, Т). ,2,

ъ еяш Yj &(«)

Запишем ^(Гт,J(Г)) - множество функций из 1(Гт,J(Г)), обращающихся в нуль на дГт. Пусть ^22>1(ГТ,J(Г)), W^^t,J^)) - замыкания 1(Гт,J(Г)), ^(Гт,J(Г)) по норме ^22,1(Гт) соответственно.

Обозначим через П(Гт, J(Г)) множество элементов пространства ш2'0(Гт), чьи следы найдены на всех Г{4о| как функции класса ^(Г) и непрерывны по t G (0, T) в норме ¿2(Г), а также выполним соотношения (2); Q0(Гт, J(Г)) - множество функций из П(Гт, J(H), обращающихся в нуль на дГт; (Г т, J(Г)), W21;g (Гт, J(Г)) - замыкания П(Гт, J(Г)), П0(Гт, J(Г)) по норме W^^^t) соответственно.

Примем, что П(Гт,J(Г)) - множество элементов пространства ^^(Гт), чьи следы установлены на всех Г{4о| как функции класса ^(Г) и непрерывны по t G (0,T) в норме ¿2(Г), а также выполним соотношения (2); П0(Гт, J(Г)) - множество функций из П(Гт, J(^), обращающихся в нуль на дГт; ^21(Гт, J(Г)), W1 0(Гт, J(Г)) - замыкания (Гт,J(Г)), 0(Гт,J(Г)) по норме W2(Гт) соответственно.

Через V2(Гт, J(Г)) обозначим пространство, состоящее из всех элементов W21'0(ГT,J(Г)), имеющих конечную норму (1); V21'0(Гт,J(Г)) - состоит из всех элементов u G V2(Гт,J(Г)), сильно непрерывных по t в норме ¿2(Г); V21о0(Гт,J^)) -пересечение ^1'0(ГТ, J(^) и W21;00(Гт, J(Г)).

Краевая задача для уравнения теплопроводности на графе. Для уравнения

(L0u)(x,t) = ^ - ^ф^ = f(x,t) (3)

рассмотрим задачу нахождения решения u{x,t) в области IV, удовлетворяющего начальному

u |i=0 = p(x), x G Г, (4)

и краевому условию

u |агт = 0, (5)

здесь f (x,t) G Ь2(Гт).

Определение 1. Решением класса W2' (Гт) уравнения (3) называется функция u(x,t) G W^^^t, J^)), удовлетворяющая почти всюду в Гт уравнению (3).

Определение 2. Решением класса W^'1^-!*) краевой задачи (3)-(5) называется функция u(x,t) G W22'д(Гт,J(Г)), являющаяся решением уравнения (3) и равная p(x) при t = 0.

Замечание 1. Равенство u(x,t) = y>(x) при t = 0 понимается, как стремление к нулю \\u(x,t) — y(x)||i2(r) ^ 0 при t ^ 0. Это имеет смысл для элементов W2 ¿"(Гт, J(O), так как они определены для любого t G (0, T) как элементы ^(Г) и непрерывны в норме ¿2(Г) по t.

Используем далее идею, предложенную в гл. III [4]. Краевую задачу (3)-(5) переформулируем как задачу решения операторного уравнения

Au = {f; . (6)

*) Существование таких функций при фиксированном 4 6 (0, Т) показано в [2, 3] для случая графа-звезды, это справедливо и для произвольного графа.

В (6) A - оператор, сопоставляющий u(x,t) пару элементов Lou и u(x, 0), так что

Au = {L0u; u(x, 0)} . (7)

Оператор A действует из пространства Ь2(Гт) в гильбертово пространство W, являющееся прямым произведением пространства ) и W^1 о(Г, J(r)). Элементами W служат пары {g(x, t); ф(х)} с g(x,t) € Ь2(Гт), ф € W210(r,J(r)), а скалярное произведение получаем по равенству

({д',ф'}Лд",Ф"})^ = I g'g"dxdt + J ^^dx.

Гт Г

В качестве области определения D(A) оператора A возьмем элементы вида ф(х) + t 2 / Lü(x,r)dT, где ф G D(Д), w{x,t) G D(A) для почти всех t из (0, Т) и f^- е L2(I>). о х

Под D(A) понимается совокупность обобщенных решений из W^r) задачи

0 =/(*), и |эг= 0 (8)

для f (х) € ^(Г). Отметим, что если в (8) f = f(x,t) € ^(Гт), то решение u(x,t) задачи (8) вместе с и 9 д^'^ принадлежит Ь2(Гт)- Для и и любого v G И^'^Гт, •ДГ))

справедливо равенство

d4<Mvdxdt = - í tt{x,t)dv{x,t)

J dx2 J dx dx

Гт Г

уравнение —= / удовлетворяется для почти всех (ж, t) G Гт- Кроме того, функции t t 2 f = f f(x,r)dT соответствует решение u(x,t) задачи (8), равное / и(х,т)с1т, (—= о ох

2 t л t 2 t Л

/ u(x,r)dT = f и (ж, г) dr = f f(x,T)dr = /), причем u(x,t) будет элементом х о 0 х о

W210(r, J(r)), непрерывно зависящим от t.

t

Ввиду этого элементы v(x,t) = ф(x) + f u>(x,r)dr, составляющие D(A), при любом

о

t G (0, T) принадлежат £>(Д), 0 = 0 + / f^dr и f = §§ + / f^dr суть элементы

о о

Ь2(Г), непрерывно зависящие от t, G Ь2(Гт)- Оператор А на v(x,t) вычисляется таким образом:

Í д2ф Г д2и 7 , Аг; = {и - -j—r - / -т-ijdT] ф 1 dx2 о dx2

Множество D(A) плотно в ¿2(Гт), так как D(A) составляет плотное множество в ¿2(Г). Лемма 1. Оператор A допускает замыкание.

Доказательство. Чтобы доказать, что оператор A допускает замыкание, необходимо показать следующее: если vm € D(A),m = 1, 2,...,vm ^ 0, в норме ¿2(Гт) и Avm = {fm, фт} ^ {f, ф} в норме W, то f = ф = 0. Убедимся в справедливости этого утверждения.

Возьмем произвольную достаточно гладкую функцию п(х,£), равную нулю на дГ и при £ = Т, и соответствующий ей интеграл / Ь^хсМ. Преобразуем последний

Гт

с помощью интегрирования по частям:

11,0ут1]г1хгМ = ! Ут - ^^ - I Ътг)с1х |(=о •

В данном равенстве можно перейти к пределу по m ^ 0: f Lovmr dxdt ^ f frdxdt,

г^ г^

aV

I vm (-|í - |ф) dxdt 0, / Vmr]dx |t=o= / fm'n dx f ípr](x,0)dx. В результате v ' г г г

j fn dxdt = — J yr(x, 0) dx

г

получим

для любой n(x, t) с указанными выше свойствами. Отсюда выводится тождественное равенство нулю функций f и у, так как множество пар {r(x,t),r(x, 0)} плотно в Ьг(Гт) х W^0(T, J(r)). Итак, оператор А допускает замыкание А. Лемма доказана.

Для описания области определения D(A) и вычисления А на элементах D(A) преобразуем интеграл вида f (Lqv)2dxdt с помощью интегрирования по частям, где v(x,t)

есть произвольный элемент D(A), а t - любое из (0, T):

(Lqv)2 dxdt

— ^ 2 — 2 dt

dv\ ( d2v\

dt

dx2 /

+

dx2 J

dxdt

г4

Далее находим 2

+

dv(x, t)

dx

+

ь2(г)

d2vY dx2 J

dxdt +

fdvy fd2vY 1 dt) + 1 dx2)

dv(x, t) dx

dx

dxdt = dv(x,0)

dx

ídv(x,0) V dx

dx.

¿2(г)

+ J (L0v)2 dxdt. (9)

Из (9) следует, что сходимость Аут (ут € О (А)) в ' влечет сходимость ут в нормах и эир Н'Н^Чг)- Это доказывает, что элементы области определения В(А) за-

мыкания А оператора уже элементов О (А), а именно: они принадлежат И^о (Гт, -^(Г)), непрерывно зависят от £ в норме о(Г,^Г)) и для них справедливо равенство (9). Оператор А на таких элементах определен тем же равенством (7), т. е.

Ау = {£<0«; у(х, 0)} .

Из (9) следует, что процедура замыкания А сводится к замыканию области значений М(А) в "УУ, так что М(А) = М(А) и на М(А) существует ограниченный обратный оператор А . Покажем, что к И(А) в "УУ нет ортогонального дополнения. Тогда А установлен на всем т. е. уравнение

Аи = и;ср}

2

2

2

2

однозначно разрешимо при любом {/; ф} € 'Ж Тем самым будет доказана следующая теорема, аналогичная теореме 2.1 гл. III [4].

Теорема 1. Задача (3)-(5) однозначно разрешима в ,7(Г)); если / €

¿2(Гт), а ф € W2 о (Г, J(Г)). Решение п(х,Ь) непрерывно зависит от Ь в норме ^21(Г).

Доказательство. Необходимо показать, что в к М(А) нет ортогонального дополнения, т. е., что из тождества

[ Щх) ^.0)(Ь = о> (10)

] дЬ } дх дх

гт г

где V - произвольный элемент О (А), а {ш, ф} € W, вытекает, что ш = 0 и ф = 0. Для этого по функции ш построим функцию

( /А-1ш(х,г)3,г, Ь > Ь1,

Ф,Ь) = < ¿1

I 0, Ь<Ь1,

где Ь1 - какое-либо из (0,Т). Ясно, что v(x, 0) =0 и v(x,t) € О(А). Подставив v(x,t) в (10), получим

Г

¿1 г

(второй интеграл в левой части (10) равен нулю в силу представления функции v(x, Ь)), откуда в результате интегрирования по частям по переменной х следует

т 2

д2v \ , 1 Л . , .¿=т

II {Ш ^-¡1^1x^0. (11)

¿1 г г

Так как Д-у \ь=ь1= 0 и произвольно, то из (11) вытекает, что = 0 и Д-у = 0, а потому и ш = Д^г = 0. В силу этого обстоятельства тождество (10) для любой функции v(x,t) € О(А) с отличной от нуля v(x, 0) € О(А) примет вид

Г дф(х) ду{х, 0)г]х = о

] дx дx

г

Так как ф € Wl0(Г, J(Г)), а О(А) плотно в Wl0(Г, J(Г)), то из (12) следует, что ф = 0.

Итак, доказано, что ш = ф = 0, т. е. М(А) = 'Ж Непрерывная зависимость от Ь в норме W21(Г) решения п^,Ь) определяется его принадлежностью О(А). Теорема доказана.

Определение 3. Обобщенным решением класса Ь2(Гт) краевой задачи (3)-(5) называется функция n(x,Ь) € Ь2(ГТ), удовлетворяющая тождеству

Г (дц д2ц \ Г Г

/ и ( — + —2 ) йхА + / фг](х, 0)йх = — (13)

г^ г г^

при любой п € W22'01(ГT, J(Г)), равной нулю при Ь = Т.

Теорема 2. Задача (3)-(5) не может иметь более одного обобщенного решения из Ь^(Гт).

Доказательство. Если и есть обобщенное решение задачи (3)-(5) с / = р = 0, т. е. если для и верно тождество (13) с / = р = 0, то оно заменой Ь на —Ь преобразуется в тождество вида (10) с ф = 0. Роль ш здесь играет и, а V - функция п, причем множество п в (13) даже шире, чем V в (10). Ввиду этого и выведенного из (10) заключения ш вытекает, что и = 0, если р и / в (13) равны нулю. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь задачу (3)-(5) для р € Ь2 (Г) и / € Ь2д(Гт) (пространство Ь2д(Гт) состоит из всех элементов Ь\(Г'т) с конечной нормой ||/1|^2 г(гт) = т

/(/ /2(x,t)п(x,t)dx)dt).

0Г

Определение 4. Обобщенным решением краевой задачи (3)-(5) класса У2Х'0(Гт)

называется функция и(х,£) € У2 0 (Гт, ^(Г)); удовлетворяющая интегральному тождеству

/и(х, Ь)(1х — [ (рг/(х,0)с1х + [ (—и-^- + —— —^ ] ¿хсМ = [ /г]г1хгМ (14) } ] \ дЬ дхдх) }

Г Г Гт Гт

для любого Ь € (0,Т) при любой п € 0(Гт, ^(Г)).

Для обобщенного решения и € У2Х 00(Гт,^(Г)) краевой задачи (3)-(5) справедливо следующее энергетическое соотношение:

2

\ \\u(x,t)\\12{Г) +

дu

дx

= J fudxdt + ^- \\u(x,0)\\2L2{r). (15)

L2(rt) J 2

rt

Замечание 2. Тождество (14) формально выводится с помощью интегрирования по частям в соотношении

j L<0u • ndxdt = j f'qdxdt rt rt

и условия (4), а также определяется п G W2 0(Гт, J(Г)). Энергетическое равенство (15) получается из равенств

j L<0u • udxdt = j fudxdt

rt rt

благодаря интегрированию по частям и учету обращения u(x,t) в нуль на дГт.

Из (15) можно вывести априорную оценку для «энергетической» нормы решения, т. е. нормы ||u\\y2(rT). Для этого правую часть (15) мажорируем величиной

max ||и(х, т)||Ь2(г) ||/||Ь2(Г4) + - \\u(x, 0)\\

и выведем из (15) два следствия:

12

< max ||м||ыг) ||/||L2(rt) + тт ||м(ж,0)||Ь2(г) . (17)

L/Ti ч С ¿j

2 (Г t)

Извлечем из обеих частей (16) и (17) квадратный корень и сложим результаты. После этого в правой части тах ||и|^2(г) и Ци(х, 0)||^2(г) заменим на большую величину

||и|у2(гт) и полученное неравенство сократим на (||и||у2(гт))1/2. Возводя данное неравенство в квадрат, придем к оценке

ь2(г4) + 2 Им(ж' °)11ь2(г) 1 • (18)

Докажем следующую теорему об однозначной разрешимости.

Теорема 3. Задача (3)-(5) имеет обобщенное решение из У2100(Гт,^(Г)) при р €

Ь2(Г), / € Ь2,1(Гт) '

Доказательство. Для доказательства существования аппроксимируем р в ¿2 (Г) функциями рт,т = 1,2,..., из 0(Г), / в ¿2(Гт) функциями /т, т = 1,2,..., из Ь2(Гт). В силу теоремы 1 задача (3)-(5) имеет решение ит из Ш22 '01(Гт), соответствующее рт и /т. Разности ит — ир суть решения из Ш22 '01(Гт) задачи (3)-(5), отвечающие рт — рр и /т — /р. Для них справедливо (15), а потому и оценка (18), т. е.

\\ит -ир\\у2{Гт) < (1 + а/2)2 [\\frr, - и\\ь2{Тг) + ^||мт(ж,0) -ир(х,0)\\Ь2{г)^ .

Она показывает, что {ит} сходятся в норме У1 0°(Гт). В силу полноты пространства У^Гт) предельная для них функция и будет элементом их У^^Гт). Кроме того, для

и будут справедливы соотношение (15) и тождество (14), которые получаются из этих соотношений для ит в результате предельного перехода по т ^ ж. Единственность в У^100(Гт) есть следствие теоремы 2. Теорема доказана.

О задаче граничного управления тепловыми процессами в классе Ш22(Гт). Рассмотрим уравнение (3) с граничным условием

и |эГт = м(Ь). (19)

Соотношения

и(х, 0) = р(х), (20)

и(х,Т ) = р(х) (21)

определяют начальные при Ь = 0 и финальные при Ь = Т состояния системы (3), (19). Пусть функции р(х),р(х)€ Ш1 ^(Г, 7(Г)).

Задача граничного управления системой (3) в классе Ш22(Гт) состоит в определении времени Т и управляющей функции /л(Ь) € Ь2(0,Т) из граничного условия (19) такой, чтобы в момент времени Ь = 0 выполнялись начальные условия (20), а в момент времени Ь = Т - финальные условия (21).

Рассмотрим последовательности начальных {рп(х)}п>1 и финальных {рп(х)}п>1 условий: рп(х), рп(х) € С 1[Г] и рп ^ р, рп ^ р в норме пространства Ш2 0(Г, ^(Г)).

Пусть для фиксированного п решена задача граничного управления системой (3), состоящая в определении времени Т и переводе системы (3) из начального состояния рп(х) в финальное состояние рп (х). Обозначим ее решение через /лп(Ь): /лп(Ь) € С (Г). Переходя к пределу при п в последовательностях {рп(х)}п>1, {рзп(х)}п>1 в норме пространства Ш2 0(Г,7(Г)), получаем функцию ц*(Ь), являющуюся решением задачи граничного управления в классе Ш|(Гт).

Заключение. На примере краевой задачи для уравнения теплопроводности на графе было введено понятие ее обобщенного решения и получены условия однозначной разрешимости в терминах принадлежности начальных и финальных функций соболевскому пространству W2 (Г) специального типа. Рассмотрена задача граничного управления - управляющие воздействия задаются в граничных узлах графа. Указан алгоритм построения управляющих воздействий, основанный на решении задачи граничного управления в классе С2 и предельном переходе в норме W2(Г).

Литература

1. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007. 384 с.

2. Волкова А. С. Обобщенное решение краевой задачи для эллиптического уравнения на графе // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2012. № 1. С. 28—29.

3. Волкова А. С. Обобщенные решения для эллиптического уравнения в задачах граничного управления на геометрическом графе // Процессы управления и устойчивость: труды 43-й междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 14-20.

4. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Физматлит, 1973. 408 с.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.