Обобщенные пространства Гёльдера на сфере , и их связь с дифференциальными свойствами гармонических в шаре функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 3-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

УДК 517.518 DOI 10.23683/0321-3005-2017-3-1-8-13

ОБОБЩЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЁЛЬДЕРА НА СФЕРЕ Hj(Sn_1), Hj(Sn_l, p)

И ИХ СВЯЗЬ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ШАРЕ ФУНКЦИЙ

© 2017 г. Б.Г. Вакулов1, Г.С. Костецкая1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

HOLDER GENERALIZED SPACES ON THE SPHERE Hj(Sn_{), Hj(Sn_b p)

AND THEIR CONNECTION WITH THE DIFFERENTIAL PROPERTIES OF HARMONIC FUNCTIONS IN THE BALLS

B.G. Vakulov1, G.S. Kostetskaya1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Вакулов Борис Григорьевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: [email protected]

Костецкая Галина Сергеевна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: [email protected]

Boris G. Vakulov - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Differential and Integral Equations, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Galina S. Kostetskaya - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Differential and Integral Equations, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: galina. kostezkaya@gmail. com

В настоящее время проведено большое число исследований по обобщению классических задач математической физики. Хорошо известны задачи Дирихле для шара в случае непрерывных граничных значений. В работе рассматривается решение задачи Дирихле в случае гладких граничных значений. Гладкость на сфере определяется в терминах обобщённых пространств Гёльдера старших порядков. Для определения старших порядков гёльдеровости используются дробные степени оператора Бельтрами - Лапласа и эквивалентные им операторы сферических сверток с растущими мультипликаторами Фурье - Лапласа, имеющими заданную асимптотику на бесконечности. Приведены условия независимости этих пространств (с точностью до эквивалентности норм) от выбора такого мультипликатора как в безвесовом, так и весовом (для степенного веса) случае. Эти пространства часто являются классами корректности для многомерных интегральных уравнений первого рода. Получена также оценка типа Зигмунда, оценивающая скорость сходимости по радиусу оператора Пуассона к граничному значению из обобщённого класса Гёльдера. Доказаны необходимые условия принадлежности обобщённому пространству Гёльдера старшего порядка в случае его характеристики из класса Бари - Стечкина.

Ключевые слова: обобщенные пространства Гёльдера старших порядков, мультипликатор Фурье - Лапласа, оператор Пуассона.

At present a great number o f studies has been made to generalize classical problems on mathematical physics. The Di-richlet problems _ for a ball in the case of continuous boundary values are well known. This paper considers a solution of the Dirichlet problem in the case of smooth boundary values. Smoothness on a sphere is defined in terms of generalized Holder spaces of higher order. To determine the Holder higher orders _ fractional powers of the Beltrami-Laplace operator and their equivalent operators of spherical convolutions with growing Fourier-Laplace multipliers having a given asymptotic at infinity are used. We provide some conditions _ for the independence of these spaces (with the accuracy up to the equivalence of norms) from the choice of such a multiplier in both weightless and weight (for the power weight) case are given. These spaces are o ften correctness classes for multidimensional integral equations of the _ first kind. We also obtained an estimate of the Zyg-mund type, which evaluates the rate of convergence in the radius of the Poisson operator to the boundary value _ from the generalized Holder class. The work proves the necessary conditions _ for belonging to the generalized Holder space of the highest order in the case of its characteristics from the Bari-Stechkin class.

Keywords: top order Holder generalized spaces, Fourier-Laplace multiplier, Poisson operator.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

При решении интегральных уравнений первого рода часто возникает вопрос о построении классов корректности. Для многих типов такого рода уравнений такими классами являются пространства Гёльдера. Поэтому свойства этих пространств и различные их обобщения в последнее время получили широкое распространение в математических исследованиях. Пространства Гёльдера старших порядков можно определять разными способами. Например, с помощью старших разностей или принадлежности производных порядка целой части числа классу Гёльдера порядка дробной части этого числа.

В настоящей работе рассматриваются пространства обобщенной Гёльдеровости старших порядков на единичной сфере в п -мерном евклидовом пространстве, определяемые с помощью мультипликативных производных, и условия их независимости от выбора растущего мультипликатора. Получены необходимые условия принадлежности функций указанным пространствам в терминах пуассонов-ских аппроксимаций. Показана связь этих условий с решением задачи Дирихле для шара в случае граничных значений из этих пространств.

Основные обозначения, вспомогательные сведения и формулы

Используются стандартные обозначения гармонического анализа на сфере (см., например, [1-4]).

Рассматриваются гармонические продолжения Рг/ функции в шар Ы = 1, Рг - оператор Пуас-

сона

1

(Pf X) = — J

1 - r2

Cn Vi Ix'r -a Г

-f (c)dc,

I I , x 2л

r = x , x = ^-7, Cn =

lxl rf n

n/2

2

Справедлива формула для сферической свертки [1]

J f (x •o)v(p)do =

Обозначим через риссов потенциал на сфере

(Kаf)(x)= -^7 J f(c)dc

У n-i(a) ¿Jx-a|n-1-a' x g Sn-i, a> 0, a^ n-1,n + 1,....

In 1 X-C|

1

K af = ■

J -f (o)da,

J I n-1-a J v 7

Yn-1(a)| x-с |

а = n-1, n +1,..., Yn-i(a) - известная константа

r

у n-1(a) = 2<Vn-1)/2-

a

r

n -1 -a 2

Дадим определение модуля непрерывности функции/ заданной на сфере

ffl(f, t) = sup |f (с) - f (x)|.

| x-с | <t x, ceS,j

Справедливо неравенство

a(f,Xt) + -Xja(f,t). Нам понадобится формула [4]

(2)

I ^ ^и, ы е «п.1. (3)

|ы-С|>5 | Ы -С |р 8 и'

Мультипликатором Фурье - Лапласа по сферическим гармоникам называются собственные числа оператора сферической свертки, вычисляемые по

1

формуле кт = \Sn-2\Jk(t)Pm(t)(1 - t2)(n_3)/2dt,

где

Рт ) - известные полиномы Лежандра; к) -ядро сферической свертки.

Нам также понадобится известное числовое неравенство

1 1

bс

<

c | a - b | (a + b)

Or

a-1

a, b > 0,

(4)

где c не зависит от a, b.

2n

(n-1)/2 1

r

n - J 2

-Y J f (t)(Tty)(x)(1 -12)(n-3)/2dt, (1) 1 I -1

где (Tt)(x) - средние по сфере, например, при n > 3

1

(Ttf)( x) = ■

is„_ 21 (1 -12)(n_2)/2 x.;==t I x |= 1, -1 < t < 1 .

J f (v)dSa,

О сферической свёртке с мультипликатором, имеющим степенной характер убывания

Рассмотрим оператор К сферической свёртки с мультипликатором {кт}т=о (по сферическим гармоникам).

Удобно ввести обозначение для класса

мультипликаторов {кт}^=0, кт , т = 0, 1 ,...,

2

1

a

a

S

n-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

кт ф 0, т > р, по сферическим гармоникам, до- Здесь оператор Ок имеет мультипликатор

пускающим при т ^ ж асимптотику

кт = Е с}тх~] + а(тх~*_Е), Со ф 0,

]=о

при некотором 8> 0; Хе Я1, N = 0,1,2,... Справедлива [3, 4]

Лемма 1. Пусть {km}еW_xN п +1

n+1

D 0f = f.

X> 0,

В случае к = 0 будем писать Нф = Иф. Справедлива

Теорема 1. Пространства Нф (£п_1 ), феФ0,

N >

2

_ X . Тогда Кф = аф(х) + |к(х • а)ф(а)ёа, и а = 0 при X > 0;

где J | к (х -ст)| dc<<»

Sn—1

a = lim km при X = 0.

Если N > n — 1 —X, то к(t) представимо в виде

X—и+1

не зависят от выбора оператора О (с точностью до эквивалентности норм), если его мультиплика-

п + 1

тор принадлежит классу Жк N, N >

2

. Здесь

Ф° - класс Бари - Стечкина [5, 6].

Доказательство.

Независимость классов

Ск(«5П_1) от выбора Ок была доказана в [3, 4]. Пусть и - операторы с мультипликато-

к (t) =

(1 _ г) 2 £(г), Х> 0;

2_п

(1 _ г) 2 1(г), X = 0, где £(г) е С([—1,1]) , причем

Х_п+1 2 2

рами

{dm 1, и {dm}; dm}dmbw

r к ,N

N >

n +1

Тогда в силу леммы 1

В{/ = Л1 / + ВхВк/ + а0Щ/, где оператор В:

¿(1) =

¿(1) =

л

lim kmm при X> 0 и

У и—1(X)

2—n 2^

имеет мультипликатор

km

m m=0 •

7 * _ k rn

- lim m(km — a) при X = 0.

Уn—1(1)

0, при m = 0,1,2,..., p — 1;

N

Z-7 + o

1

N+2

при m > p.

Если N > n +1, то

г=1 т V т

Число р выбирается так, что для всех т > р

N

Кф = J к (х • c)9(c)dc + £ bjKJ+Xy, если X > 0,

j=0

N

И Кф = Ь0ф + J к (х • с)ф(с)^с + X b jKJ+Хф,

-Vi J=1

если X = 0. Здесь k(t) е С1([-1,1]) , b0 = lim km.

m

выполнялись d2 N a

J- = a0 +1^7 + 01

d m i=1 m

соотношения: 1

/2

lm

N+s

m

(это всегда возможно,

так как

к} к} е ^к N); оператор имеет

Основные результаты

Наряду с обычными пространствами Гёльдера И ^п_1) старших порядков X > 1 на сфере в теории функций рассматриваются и обобщённые про-занства Гёльдера [5-8]. Дадим точные определе-я.

Определение 1. Через Нф (£п_1) , к = 0,1,..., обозначим класс функций /(а) е Ск ^п_1) таких,

кш =

тт

мультипликатор 1 2

ёт _а0ёт, при т = 0,1,2,.,р _ 1; 0, при т > р. Совершенно аналогично получаем

Ок/ = Л2/ + В2Ок/ + Ь0Ок/ . Очевидно, что для доказательства независимо-

странства Гёльдера [5-8]. Дадим точные определе- сти классов Нф(^п_1) от выбора Ок достаточно ния.

показать ограниченность операторов В^, В2 в пространствах Иф (£п_1) , а для функций Л1 / , Л2 / -липшицевость (Гёльдеровость 1-го порядка). Последнее очевидно в силу того, что ядра операторов

Л1 и Л2 из Сж ([_1,1]), а ф е Ф0.

что (ö^f, h) < офф) ;

ii ®(dkf, h)

Lt + sup—-— "C h>0p ф(h)

\\Нф

2

m ^xi

2

S

n—1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Ограниченность операторов В1, В2 очевидна в силу формулы (1), причем, вообще, справедлива оценка <(Вг/, к) < с<в(/, к), г = 1, 2. Теорема доказана.

Определение 2. Пусть р(х) = П|х ~ а-

iß™

m=0

j=1

dm * 0,

с мультипликаторами

Vm } « dm}

из Wb

k, N ■

N > n + 1, dm * 0, m = 0,1,2,.

d

i =1, 2 . Тогда в силу леммы 1 < г

Jdm J m=0

жении мультипликаторов

{m /dm }, {dmldm }

NATURAL SCIENCE.

i =1, 2.

2017. No. 3-1 имеют вид

ы,ат е Бп-1, т = 0,1,...,£ ; Рт е Я .

Нф($п-1,,) = /: / е ОД-1), рОк/ е Нф(^-1)}.

Здесь Ок - оператор сферической свёртки с мультипликатором \ёт }, Жт ф 0, т = 0,1, ..., из

класса Жк м, N > п + 1.

Лемма 2. Пусть оператор имеет вид

N

А = £ с К3 / + Ц/ + с01, С3 - постоянные; Ь -

оператор сферической свёртки с непрерывно-дифференцируемым ядром. Тогда оператор А сохраняет обобщенный класс Гёльдера Нф (£п_1, р) , феф0.

Для доказательства утверждения леммы достаточно заметить, что оператор К - риссов потенциал порядка 3 - сохраняет класс Нф (£п_1, р) [7, 8]. Тем более это справедливо для оператора Ь .

С помощью леммы 2 доказывается

Теорема 2. Классы Нф(£П_1, р), феФ0, не зависят (с точностью до эквивалентности норм) от выбора оператора Ок, если его мультипликатор {Жт } из класса Жк N, N > п + 1, и т = 0,1, 2,...

операторы Аг,

N

А/ =Е сК/ + I аз (ы, С)/(с) жс .

3=1 5п_1

Здесь аг (I) еС1([-1,1]). Для доказательства теоремы достаточно показать, что оператор Аг, i=\, 2, сохраняет обобщенную Гёльдеровость с весом. А это следует из вида оператора Аг и леммы 2.

В заключение приведем также необходимое условие принадлежности функций классу

Нф(£п-1), феФ0, в терминах пуассоновских

аппроксимаций, что тесно связано с решением задачи Дирихле для шара в случае граничных значений из обобщённого пространства Гёльдера.

Теорема 3. Пусть / е С(^п-1) , тогда справедлива оценка \РГ/(ы) - / (х)| <

< с|ш(/,1 - г) + (1 - г) I Ж +

1—r t

+ (1 — r)2 J

®(f, t)

dt ;

(5)

Доказательство. Пусть D^ и - операторы

1—г I

Ы=1.

Доказательство. Введём Г1 > г. Оценим разность

\Рг/(Ы) _ /(Ы)| < \Рг/_ Рг1./| + |Рг, / _ /| = ^ + J2 .

Так как / е С(^п-1) , то Р / ^ / при г1 ^ 0 . Поэтому, выбрав г1 так, чтобы

Jl = \Рп/_/| <<(/,1 _г), (6)

получим оценку J1.

' п

соответственно

Г

и

I d 2 I

\~Y г принадлежат классу Wo N, N > n + 1.

Jd m J m=0

Поэтому (лемма 1) справедливы представления Dkf = aoDkf + 4D27 ; Dkf = boDk f + ADk f, где ao , bo - константы в асимптотическом разло-

' ' ' i1 , 'm '

Ввиду того, что

х = рт, имеем х

{Prf )( х') — Pf )( х')

J

1 — r '

2%"/2 s ,|х'r — с|

n—1 I

= 1,

Г

х') = ■

J {f (a) — f (х')}

2л

1 — r2

n/2

(7)

1 — rz

х r — a

х r — a

Выберем k > 1. С учетом (7) для Ji имеем

2

х

n

2

X

X

n

n

s

n—1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

Г

J <-

2 Л J Щ(/, I х'-СТ |)(1 - Г!2) +

2л n [|х'—ст|<к(1 г) 1 х'Г1 -СТ Г 2

+ J </■ ,|x'-CT|)(1 - Г2) ^Ст +

Ьх'-СТ < Гх'-СТ + (Г1 - Г ) < х' Г -ст + — х'-СТ <

к

I , I 1м I 1 I , I

< X Г1 -СТ + --|х Г -СТ = --|х г — ст|

к -1'

к-1'

имеем

II I n

|х'—ст|<к(1-г) | хг -Ст |

| х' r -ст | к 1 ■ < -

CP(f ,| х'-СТ |)(Г12 - Г2)

| гх'-ст | к -1

+ J

J if \К

^'-Ст^к(1-г) | хГ1 -Ст |

da + (1 — г ) х Учитывая (12), из (11) получаем

1

1

х J ф(/,|х-ст d j ——- -——-

| х'-ст | <к(1-г) j | Г1х-Ст | | гх-ст |

Uct\ =

= Il +12 + /3 +14 .

Оценим каждое слагаемое. В силу формулы (2) Il < cœ(f, к(1 — г)) х

1 - r

J I ' I

-ст|>к(1-г)| Г1х -Ст |

dCT< cœ(f ,1 - г). (8)

(9)

®(/,| х'-ст |)

dCT.

Аналогично получаем 12 < СЮ(/,1 _ Г ) .

Оценим 1з. 1 з < с(г1 _ г) |

|х'_а|>к(1_г) | Г1х'_СТ |П

Используя тот факт, что

| х'_а |> к(1 _ г) > к(1 _ Г1), а также неравенство

треугольника | х'_а |<| гх'_а | +1 Г1 х'_х'|, получаем

Следовательно,

il 1 1

|х'—ст|>к (1-г ) | хг -Ст | | Г1х-СТ |

< c(1 - г)(г1 - г) х

/1+1 г1х'-ст | Y11 г1х'-ст |

®(/,| х'-СТ |)

х J -

|х'—ст|>к (1—г )

| гх'-ст | j | гх'-ст |

| х'Г1 -СТ | к

n+1

(11)

dCT.

Очевидно, что х'—ст <-х' г — СТ . Тогда в

1 1 к — 1 1 1

силу оценок

I4 < c(1 - r)2 J

®(/,| х'-СТ |)

—ст|>к-гк | х' Г -CT |

n+1

< ~(1 - r)2

J

®(f ,| х'-СТ |)

| х—Ст| >к(1-r) | х'-СТ |

n+1

dCT<

dCT <

(12)

(13)

| х'-СТ |<| r—х'-ст | + — | x'-ст | .

к

к

| х'-ст |<-1 x' r— -ст |. Поэтому (с учетом форму-

к -1

лы (3))

i \ г ю( f ,| х'-СТ |) , 'з < c(r— - r ) J ( " dCT<

|х'-ст|>к(1-r) | х -Ст |

< C(1 - r) Jf dt . (10)

1-r t2

В заключение проведем оценку I4. Ввиду оценки (4) имеем

14 < С(1 - r )(r— - r ) X

x j ю(/,| х'-ст |)(| гх'-ст | +1 r— х'-ст |)n-1 ^

< ~1jf dt. (1 _ , )2.

1_r t

Учитывая (6), (8)-(10), (13), приходим к (5).

Теорема 4. Если f е Hj(Sn_1) , феф0, то

(PrDkf){x') _ (Dkf)(x)| < cj(1 _ r) . (14)

Доказательство. (14) содержательно для k = 0. Пусть феФ°. Так как ф2 сФ0 , то (14) следует из

(5).

Теорема 4 была известна для случая k = 0, j(t) = t , 0 < X < 1 [9]. Близкое к теореме 4 утверждение рассмотрено в [10], в случае n = 3.

Литература

1. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов н/Д. : Изд-во РГУ, 1984. 208 с.

2. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. London; N.Y. : Gordon and Breach., Sci. Publ, 1993. 1002 p.

3. Вакулов Б.Г., Самко С.Г. Об эквивалентных нормировках в пространствах функций дробной гладкости на сфере типа CX (Sn4), HX (Sn_1) // Изв. вузов. Математика. 1987. № 12. С. 68-71.

4. Samko S.G., Vakulov B.G. On equivalent norms in fractional order functions spaces of continuous functions on the unit sphere // Fract. Calculus and Appl. Analysis. 2000. Vol. 3, № 4. P. 401-433.

5. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М. : Наука, 1980. 307 с.

6. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. общ-ва. 1956. Т. 5. С. 483-522.

7. Вакулов Б.Г. Оператор типа потенциала на сфере в обобщенных классах Гёльдера // Изв. вузов. Математика. 1986. № 11. С. 66-69.

n

2

X

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

8. Вакулов Б.Г. Сферические операторы типа потенциала в обобщенных пространствах Гёльдера с весом на сфере // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 4. С. 5-10.

9. Plessis Du.N. Spherical fractional integrals // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 84, № 1. P. 262-272.

10. Джафаров А.С. Некоторые применения теории наилучших приближений функций посредством конечных сумм к изучению структурных свойств гармонических в шаре функций // Спец. вопросы функционального анализа и их применение. Баку, 1968. С. 58-96.

References

1. Samko S.G. Gipersingulyarnye integraly i ikh prilozheniya [Hyper-singular integrals and their applications]. Rostov-on-Don: Izd-vo RGU, 1984, 208 p.

2. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. London; New York: Gordon and Breach., Sci. Publ, 1993, 1002 p.

3. Vakulov B.G., Samko S.G. Ob ekvivalentnykh normirovkakh v prostranstvakh funktsii drobnoi gladkosti

na sfere tipa CX (Sn-1), HX (Sn-1) [On equivalent normalizations in spaces of functions of fractional smoothness on a sphere of type CX (Sn-1), HX (Sn-1) ]. Izv. vuzov. Matematika. 1987, No. 12, pp. 68-71.

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

4. Samko S.G., Vakulov B.G. On equivalent norms in fractional order functions spaces of continuous functions on the unit sphere. Fract. Calculus andAppl. Analysis. 2000, vol. 3, No. 4, pp. 401-433.

5. Guseinov A.I., Mukhtarov Kh.Sh. Vvedenie v teor-iyu nelineinykh singulyarnykh integral'nykh uravnenii [Introduction to the theory of nonlinear singular integral equations]. Moscow: Nauka, 1980, 307 p.

6. Bari N.K., Stechkin S.B. Nailuchshie priblizheniya i differentsial'nye svoistva dvukh sopryazhennykh funktsii [Best approximations and differential properties of two conjugate functions]. Tr. Mosk. mat. obshch-va. 1956, vol. 5, pp. 483-522.

7. Vakulov B.G. Operator tipa potentsiala na sfere v obobshchennykh klassakh Gel'dera [The operator of potential type on a sphere in generalized Holder classes]. Izv. vuzov. Matematika. 1986, No. 11, pp. 66-69.

8. Vakulov B.G. Sfericheskie operatory tipa potentsiala v obobshchennykh prostranstvakh Gel'dera s vesom na sfere [Spherical operators of potential type in generalized Holder spaces with weight on a sphere]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 1999, No. 4, pp. 5-10.

9. Plessis Du.N. Spherical fractional integrals. Trans. Amer. Math. Soc. 1975, vol. 84, No. 1, pp. 262-272.

10. Dzhafarov A.S. [Some applications of the theory of best approximation of functions by means of finite sums to the study of the structure properties of harmonic functions in a ball]. Spets. voprosy funktsional'nogo analiza i ikh primenenie [Special questions of functional analysis and their application]. Baku, 1968, pp. 58-96.

Поступила в редакцию /Received_17 апреля 2017 г. /April 17, 2017