Обобщенные функции, асимптотически однородные относительно однопараметрической группы в начале координат Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 17-35.

УДК 517.5

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, АСИМПТОТИЧЕСКИ ОДНОРОДНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ В НАЧАЛЕ

КООРДИНАТ

Ю.Н. ДРОЖЖИНОВ, Б.И. ЗАВЬЯЛОВ

Аннотация. В работе получено полное описание обобщенных функций, асимптотически однородных в начале координат относительно мультипликативной однопараметрической группы преобразований, у которой вещественные части всех собственных значений инфинитезимальной матрицы положительны, в том числе и в случае критических порядков. Полученные результаты применяются для построения асимптотически однородных решений дифференциальных уравнений, символами которых являются квазиоднородные многочлены относительно этой группы в некритическом случае.

Ключевые слова: обобщенные функции, однородные функции, квазиасимптотика, дифференциальные уравнения в частных производных.

1. Введение

Данная работа является обобщением нашей статьи [1]. Пусть U = {Uk, k > 0} — мультипликативная однопараметрическая группа линейных преобразований Rn, так что Ukkk2 = Ukl Uk2, причем предполагаем, что реальные части собственных значений генератора группы положительны. Пусть также S — некоторое пространство основных функций ( S(Rn),D(Rn) и т.п), инвариантное относительно Uk, —(к) — положительная непрерыв-

ная функция при k > 0 и f е S' (как обычно, штрихом сверху обозначено пространство соответствующих обобщенных функций).

Определение 1.1. Мы говорим, что f обладает квазиасимптотикой в нуле (на бесконечности) относительно р(к) по группе Uk, если для любой -0(t) е S и некоторой g е S'

—k-(f(Ukt),^(t)) --► (g(t),^(t))

Q(k) k k^<x

(p(k)(f(Ukt),^(t)) ---^ (g(t),^(t))) . (1Л)

В этом случае также говорят, что f асимптотически однородна на S по группе U = {Uk, к > 0} в нуле (на бесконечности) и пишут f е AO-U(S) (соответственно f е AOU(S)). В одномерном случае, когда Uk есть умножение на к, будем писать f е AO-1(F) и f е AO^(S) соответственно.

Yu. N. Drozhzhinov, B.I. Zavialov, Generalized functions asymptotically homogeneous with respect to one-parametric group at origin.

© Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. 2013.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 10-01-00178, и грант РФ НШ 2928.2012.1.

Поступила 25 апреля 2012 г.

Если д = 0, то мы говорим, что f (£) обладает тривиальной квазиасимптотикой по группе и. Если для f Е Б' выполнено соотношение (1.1), и д = 0, то функция ^(к) обязательно является автомодельной (правильно меняющейся) функцией. Напомним, что положительная непрерывная функция ^(к), к > 0, называется автомодельной, если для любого а > 0 и некоторого а Е К

^(ак)

-»■ аа

^(к) к-

равномерно на компактах по а, см. [6]. Число а называется порядком автомодельности £. Порядок а автомодельной функции £?(к), участвующей в (1.1), называется порядком асимптотически однородной обобщенной функции. Отметим, что любая автомодельная функция ^(к) порядка а может быть представлена в виде

е(к) = ка£(к), к> 0, (1.2)

где Ь(к) - автомодельная функция нулевого порядка (медленно меняющаяся функция). Мы допускаем комплексный порядок автомодельности (следовательно, и комплексные автомодельные функции), имея в виду, что комплексная автомодельная функция имеет представление (1.2) с а Е С.

Заметим, что если ^(к) в соотношении (1.1) имеет порядок а, то д является однородной обобщенной функцией степени а Е С по соответствующей группе преобразований аргумента

д(и*) = к“д(*), к > 0.

Иногда такие функции называют "квазиоднородными"порядка а относительно группы и, см. [8].

Асимптотически однородные функции хорошо изучены в пространстве 5+ — обобщенных функций из пространства Шварца 5' с носителями на положительной полуоси. Функция f (г) Е 5+ асимптотически однородна в нуле относительно автомодельной функции р(к) порядка а, если

1г

Рйf(к> -Г С7-“+‘(г) в ■

где fN(г) ядро дробного (дифференциирования) интегрирования Лиувилля. Напомним, что f (г) асимптотически однородна в нуле относительно автомодельной функции р(к) порядка а, тогда и только тогда, когда существует число N > —а + 1, такое что ее N-я первообразная непрерывна и обладает обычной асимптотикой относительно гмр( 1).

Отметим, что ик может быть представлена в виде ик = е1п кЕ, где Е — некоторое линейное преобразование Кп. В работах [3], [4] дается описание асимптотически однородных на бесконечности (в [1] в нуле), обобщенных функций, в случае, когда матрица Е имеет строго диагональный вид, ее собственные значения вещественны и одного знака. В частном случае, когда собственные значения матрицы Е еще и одинаковы (соответствующая группа преобразований — группа растяжений Кп), полное описание однородных обобщенных функций относительно такой группы дано в [2].

Основная цель данной работы получить полное описание асимптотически однородных обобщенных функции в нуле относительно мультипликативных однопараметрических групп преобразований, у которых вещественные части всех собственных значений инфини-тезимальной матрицы группы и положительны. При этом, в матрице Е наряду с нормальной составляющей может присутствовать еще и нильпотентная часть. Основным инструментом такого описания служит, так называемое, обобщенное сферическое представление обобщенных функций [5], которое описывается во второй секции. Это представление сводит изучение асимптотических свойств обобщенных функций в нуле относительно группы {ик, г > 0} к исследованию радиальных асимптотических свойств обобщенных функций, заданных на специальных пространствах основных функций.

Асимптотически однородные обобщенные функции на этих специальных пространствах изучаются в секции 3. Там же дается описание обобщенных функций из 5'(КП), асимптотически однородных вдоль траекторий, определяемых мультипликативной однопараметрической группой. Отметим, что некоторые утверждения секции 3 мы приводим без доказательства, так как они в идейном плане близки к доказательствам соответствующих утверждений работ [1], [5] и легко могут быть воспроизведены в новой ситуации.

Наконец, в последней секции доказывается теорема о делении обобщенной функции на многочлен однородный относительно группы ик, и полученные результаты применяются для построения асимптотически однородных решений дифференциальных уравнений, символами которых являются однородные многочлены, в некритическом случае.

2. Обобщенное сферическое представление обобщенных функций

Обобщенное сферическое представление в наиболее подходящей для нас форме введено в [5]. Для удобства читателей мы повторим здесь основные моменты его построения.

Пусть в (а следовательно и в Сп) действует вещественная непрерывная мультиплика-

тивная группа линейных преобразований и = {ик = е1пкЕ, к > 0}. Оператор Е - генератор этой группы представляется в виде

Е = Н + N; Н = М + гЬ, (2.1)

где Н - нормальная, а N - нильпотентная составляющие этого оператора. Оператор Н имеет вид Г ■ кр, где к его собственные значения, а р - проекторы на соответствующие собственные подпространства. При этом М = ^ ■ И,е кр, а Ь = ^ ■ 1т кр. Отметим, что все эти операторы коммутируют друг с другом. Соответствующие этим операторам однопараметрические группы обозначим

Нк = е1п кН; Мк = е1п кМ; £к = ег 1п кЬ; N = е1п кМ, (2.2)

так что

ик = Нк ■ N = Мк ■ £к ■ N

Пусть

а = (аь ... ,а„), а* = ^ + г^, г = 1,...,п; ^ > 0, (2.3)

собственные значения Е с учетом кратности, так что ^, V собственные значения М и Ь соответственно. Так как группа и вещественна, то наряду с каждым комплексным собственным значением аг = найдется комплексно сопряженное собственное значение

а = — г^. Положим

П П

^ = (^1,...,^га), V = (^1,...,^га), |^| = ^ аг = ^ ^ > 0. (2.4)

г=1 г=1

Пусть Г — замкнутая бесконечно гладкая поверхность в Кп, охватывающая начало координат, и такая, что каждая траектория, группы {ик, к > 0} пересекает эту поверхность только в одной точке и по не касательному направлению. Такие поверхности будем называть допустимыми. Нетрудно показать, что класс допустимых поверхностей не пуст, в частности, в качестве такой поверхности можно взять достаточно сжатый по некоторым осям эллипсоид. Введем в обобщенные сферические координаты по формуле

£ = ^(г, е) = иге, е Е Г,г> 0. (2.5)

Пусть функция <^(£) Е 5(Кп). Тогда при преобразовании (2.5) она перейдет в функцию

^(г, е) = ^(иге), заданную на Г х К+. Это отображение обозначим £, так что

( : ^ ^ ^(г, е) = ^(иг е), г Е К+, е =(е1,...,еп) Е Г. (2.6)

Возникает вопрос, какому пространству принадлежит функция ^(г, е)? Нетрудно ви-

деть, что при г > 0 функция ^(г, е) бесконечно дифференцируема и убывает при г ^ +то

вместе со всеми производными быстрее любой степени 1, а в нуле обладает специальным асимптотическим разложением. Для того чтобы описать образ отображения Z, и обосновать соответствующую замену переменных введем некоторые определения.

Положим

Ju = (Л :(a,j) = Л, j е Z+}, (2.7)

Ел - пространство многочленов Q(t), однородных относительно группы (Hfc, k > 0}, степени Л, так что Ел = (Q(t) : Q(Hfct) = кЛ^(£)}. В пространствах Ел определим операторы Ал, действующие по формулам

АлФ(£) = gradQ(t)Nt = ^ ^ , Q(t) G Ел, (2.8)

fc=i ^=i k

где элементы нильпотентной матрицы, соответствующей оператору N Операторы Ал нильпотентны.

Вернемся к обобщенным сферическим координатам. Формально асимптотическое разложение ^(r, е) = ^(Ure) в окрестности нуля имеет вид

^(г, е) =

^(Urе) ~ ^ гЛ[Сл,о(е) +ln гСл,1(е) +------Нпга(Л) гСл,га(л)(е)]. (2.9)

ЛeJ

Здесь Сл,о(е) след на Г многочлена из пространства Ел, а

Сл,т(е) = -1 А^Сл,о(*) m!

, m = 1,...,n(A), (2.10)

t=eer

п(Л) — некоторые целые числа. Придадим этим наблюдениям строгий математический смысл.

Пусть Г допустимая поверхность в Кга. Пространство Б (Г) - пространство бесконечно дифференцируемых на этой поверхности функций со стандартной топологией равномерной сходимости вместе со всеми производными. Соответствующую систему полунорм обозначим {■}.

Введем пространство Ж/., как пространство функций ^(г, е) бесконечно дифференцируемых при е Е Г и г Е , для которых при N = 0, 1,... существуют функции СА,т(е) Е Б (Г), Л Е 7, 0 ^ т ^ п(Л), такие, что

п(А)

(г, е) > гАУ^ САт(е)1пт геС10, + 00)) X

^(г,е) - ^ гл ^ Сл,т(е) lnm г е C[0, +то)) х S(Г) j

Re Л^М m=0 ' '

ЛeJ

^ п(Л)

[^(г,е) - ^ ГЛ ^ Сл,т(е) lnm г]

dr,

Re Л^М m=0 ЛeJ

r=0

Введем обозначение

Qq [^](r,e)= ^ гЛ^л[^](г,е), Qq [^](r,e)= ^ гЛ^л[^](г,е),

Re Л^ Re Л<q

^ ^ (2.11) п(Л)

^Л M(r,e) = ^ Сл,т(е)1пт r.

m=0

Топология на Ж/^ задается с помощью системы норм

(^) = 0тах вир< (1 + г)* ^Иг,е) - П(г)^*М(г,е)] | +

+ тах Ои{ СЛ,т(е)}, (2.12)

(2.13)

Здесь пространство многочленов, однородных относительно группы {Нк,к > 0}, степени Л, и пространство их следов на Г мы отождествляем и обозначаем одной и той же буквой £д. Топология в V наследуется топологией Ж/и. Нетрудно видеть, что V замкнутое подпространство пространства Ж/и. Отметим, что из соотношений (2.9), (2.10) и (2.8) для функций из V следует формула

Теорема 2.1. Отображение £, определяемое формулой (26) осуществляет изоморфизм пространств Б(Кга) и V.

Это утверждение позволяет для обобщенной функции / (£) Е Б;(Кга) ввести функционал /8(г, е), г > 0, е Е Г по формуле

так что /8(г, е) принадлежит V. По теореме Хана-Банаха мы можем продолжить / на все . Обозначим это продолжение ^(г, е) и назовем его обобщенным сферическим пред-

ставлением функции /(£) Е Б;(Кга), так что

ляется неоднозначно. Из формулы (2.15) следует

Утверждение 2.1. Пусть ^(к) - автомодельная функция порядка а. Для того чтобы обобщенная функция / (і) Е Б;(Кга) была асимптотически однородна в нуле относительно автомодельной функции ^(к) по группе преобразований и = {ик, к > 0}, необходимо и достаточно, чтобы ее обобщенное сферическое представление ^(г, е) было асимптотически однородным в нуле по г относительно рі(к) на V, где

тотически однородных обобщенных функций на пространствах V С . Этому мы предпошлем описание асимптотически однородных обобщенных функций в нуле на более общих специальных пространствах обобщенных функций.

(2.14)

(/..(г,е).^(г,е0 = (/(*),?(<)), где ^(К-е) = ^(г,е) Е V,

(^(г, е),^(г, е)) = (/8,^(г, е)), У^(г, е) Е V.

При этом

(/(ик= ае^иі (/ф^ВД) =

к

иетиг е)) = пг < к-е>^и е>)

(2.15)

к

Отметим, что обобщенное сферическое представление ^(г, е) функции / Е Б;(Кга) опреде-

Таким образом, для описания класса АО- и(Б(Кга)) нам достаточно описать класс асимп-

3. Асимптотически однородные обобщенные функции в нуле на 5;, Ж;, У^ и 3(КП)

Пусть 3 не более чем счетное (может быть пустое) множество комплексных чисел, такое, что в каждой полуплоскости {И,е г < а : г Е С,а Е К} содержится не более конечного

числа точек из 3. Каждому А Е 3 сопоставим целое неотрицательное число п(А) Е . Множества пар чисел (А, п(А)) будем обозначать 3 и называть допустимыми множествами. Условимся считать, что если п(А) < 0, то точка А Е 3.

Обозначим через 3; пространство функций 0(г) Е Сте(К+), быстро убывающих при г ^ вместе со всеми производными и таких, что для любого N Е и некоторых постоянных Са;ш, зависящих от 0,

г) - Пм [0](г)] Е ([0, +ТО))^^Т) - ^ [0](г)]

0,

г=0

где I = 0,..., N, а

п(А)

пМ[

(г)= Е Г^Е СА,т 1п” г,

Яе А<М т=0 АЄJ

п(А)

(3.1)

п

(Г)= £ Г^ СА,т ІП™ Г,

Яе А^М т=0

АЄJ

Верхний индекс 3 будем опускать, когда ясно о каком £7 идет речь. Топологию на £7 зададим с помощью системы норм

(0) = тах вирИ + г)

0^^м г>0

N

в

— ) |0(г) - п(г)Пм[0](г

+ тах |Са,™|.

Яе А<М,А€^ ’

т^п(А)

Здесь и далее функция п(г) бесконечно дифференцируема на [0, +то), финитна и равна 1 в некоторой окрестности нуля. Отметим, что 0(г) Е 3; имеет в нуле асимптотическое разложение

п(А)

0(г) - Е гЛ Е Са,™ 1пт г. (3.2)

Л^ т=0

Пространство ^ - пространство Фреше. Отметим также, что ^ инвариантно относительно растяжений аргумента.

В качестве примера обобщенных функций из £^ приведем функции

в

,

в Е С,

обобщающие функции из [2]. Для этого введем несколько определений и обозначений. Пусть а Е 3. Через 3 \ а обозначим множество пар 3 с выброшенной парой (а, п(а)), а через Рг 3 обозначаем множество вещественных чисел {И,е А : А Е 3}. Пусть (а, п(а)) Е </.

Введем отображение

га(ст)+1

г : <^(г) ^ 0(г) = <^(г).

(3.3)

Отображение осуществляет изоморфизм пространств £; и £д^. Отметим, что эти отображения коммутируют с растяжениями.

Пусть 7 Е С и 3 — допустимое множество пар. Положим

— {А Е 3 : К.е А — К.е ^},

(3.4)

Ясно, что , зависит только от И,е 7. Отметим, что , - конечное множество. Положим

{1, если И,е 7 ф Рг ,,

Л ДА, если И,е 76 Рг ,, (З.5)

А£ 3-у

где порядок, в котором перемножаются операторы Дд, каким-то образом зафиксирован. Дальнейшие результаты не будут зависеть от этого порядка. Нетрудно видеть, что

п(А)

Е гА^а[0](г) = 0, где ^а[0](г) = Е Са,™ 1птг. (3.6)

А€37 т=0

Обозначим через 50 пространство основных функций из 5+, обращающихся в нуль вместе со всеми своими производными в начале координат.

Утверждение 3.1. Пусть , допустимое множество и число в Ф С, такое, что

—в — 1 ф ,. Тогда существует единственное однородное степени в продолжение гв с 50

на 53. Это продолжение задается формулой

(г+ ,^(г)) = <

/ гв^<р(г) - П-яе в-і[^](г^ гіг,

если — Ив в — 1 Є Рг 3;

/ чга(А)+1°° / \

П (в+ш) / гв ^-в-1 ^(г) — П-Яе в-1 М(г)) ^г

АЄJ— в—1 0 \ /

если — Ив в — 1 Є Рг 3,

(3.7)

где <^(г) Є 5/, а П_яе д-1[^](г) определено в (3.1).

Отметим, что г+ мероморфная по в Є С обобщенная функция и в точках —Л — 1, Л Є 3, имеет полюса порядка п(Л) + 1. Так что в окрестности точки во + 1 Є — 3 функция (г+, ^(г)) разлагается в ряд Лорана

<г?^<г» ~ (в — в0)"(<«+і + - ■

где ^ = (—1)п( во 1)(п( —во — 1)) !С'_в0_1,га(_в_1). (3-8)

Введем в 5/ обобщенные функции

Аа,ш(г), т = 0,...,п(Л), аналоги дальта функций и их производных. Пусть (Л,п(Л)) Є 3 и 0(г) Є 5/, положим

(Аа,ш(г),0(г)) = СА,т, т = 0,...,п(Л), (3.9)

где СА,т соответствующие коэффициенты разложения (3.2).

Лемма 3.1. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка в, а ^(г) Є 5/ и ее носитель отделен от нуля, то есть существует число а > 0, так что впрр ^(г) С {г ^ а}. Тогда ^(г) имеет тривиальную квазиасимптотику в нуле относительно р(к).

Пользуясь идеями работ [1] и [5], нетрудно установить справедливость следующих теорем

Теорема 3.1. Пусть 3 допустимое множество, р(к) автомодельная функция порядка в, причем Ив в — 1 Є Рг 3 и число £ таково, что

Ив в — 1 — Ив £ Є ^+. (3.10)

Тогда, для того чтобы ^(г) Є АО_1 (5/), необходимо и достаточно, чтобы

^(г) = ВД + ВД, ^0,^1 Є 5/ (3.11)

где впрр отделен от нуля, а определяется следующим образом. Существуют числа А, N € Ъ+ и непрерывная при г > 0 функция 7(г), причем

7(г) ~ Аг^^р(-), г ^ +0, (3.12)

г

такие, что для любой основной функции <р € $/

1

N

^г

(Fi(r),^(r)) = J Y(r) (dr) [r ^(r) - ^Re 0-iM(r))]dr (З.1З)

Теорема 3.2. Пусть ] — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, причем И,в в — 1 Є Рг 3, и число £ Є С удовлетворяет условию (3.10). Для того чтобы ^(г) Є АО-1($/), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (3.11), где йирр ^о(г) отделен от нуля, а обобщенная функция ^\(г) для любой 0(г) Є определяется формулой

(Fi(r),^(r)) = J 7(r) ^dT) r ^A/^) (^(r) - ^Re e-i^KO)^ (3.14)

0

с некоторым N G Z+ и непрерывной функцией 7(r), удовлетворяющей асимптотическому соотношению (3.12). Здесь Aj определяется формулой (3.5).

Пусть Г допустимая поверхность в Rn. Пространство S(Г) - это пространство бесконечно дифференцируемых на этой поверхности функций со стандартной топологией равномерной сходимости вместе со всеми производными. Пусть Г покрыта конечным числом карт Ua, в каждой из которых действуют локальные координаты = (£j\... , £г-1). Тогда соответствующая система полунорм определяется как

Qn|^(e)} = maxmax sup |dj<^(£)|, (3.15)

где j — мультиндекс, а dj — соответствующий дифференциальный оператор.

Положим Wj = Sj® S(Г) (проективное тензорное произведение пространств Sj и S(Г)). Пространство Wj может быть реализовано как пространство функций 0(r, e) бесконечно дифференцируемых при e G Г и r G R+. Так, что для любого N G Z+ существуют функции Сл,т(е) G S(Г), Л G J, 0 ^ m ^ п(Л), такие, что

0(r,e) — [0](r,e) G CN^[0, +ro)) x S^)

t

dr ) [0(r,e) - ^N[0](r,e)]

= 0, 0 ^ і ^ N,

r—0

где ПN[^](г, е) введена в (2.11). Топология на Ж/ задается с помощью системы норм (2.12). Для 0(г, е) € Ж/ имеет место асимптотическое разложение (2.9)

п(А)

0(г, е) ~ Е гА Е СА,т(е) 1пт г = Е гА^А[0](г, е), г ^ 0, (3.16)

А£^ т<=0 А£^

которое можно дифференциировать по г сколь угодно раз. Точнее, для любого М € Ъ+ существует N € Ъ+ такое, что

Ям дТ) (0(г,е) - ^ [^](г,е))} = 0(гм), г ^ 0, £ = 0,...,М.

В пространстве Ж/ справедливы большинство утверждений аналогичных утверждениям в Б/. В частности, аналоги теорем 3.1 и 3.2.

Пусть ^(г) € Б/ и Ф(е) € Б'(Г). Тогда ^(г)Ф(е) € Ж/ определяется формулой

(^(г)Ф(е), 0(г, е)) = (^(г), (Ф(е), 0(г, е))е), 0(г, е) € Ж/.

Здесь и всюду далее нижний индекс е у (Ф(е), 0(г, е))е означает значение обобщенной функции Ф(е) € Б'(Г) на функции 0(г, е), рассматриваемой как основной из Б (Г) при фиксированном г.

В частности, если —в — 1 € ^, то

(г+ Ф(е), 0(г, е)) =

7 гв^Ф(е),^(г, е) — П-Яе в-^Кг, е)) йг, при — Ив в — 1 € Рг ;

С 7гвА/_в-1^Ф(е),^(г,е) — П-Яе в-1[0](г,е^ йг, (3.17)

при — Ив в — 1 € Рг /,

/ 1 \п(А)+1 в

где С = ПА^_в_Двй-Т+А] . Функция г+Ф(е) однородна по г степени в.

Пусть Ф(е) € Б'(Г), тогда

(ДА,т(г)Ф(е),0(г, е)) = (Ф(е),СА,т(е))е. (3.18)

В пространстве Ж/ обощенные функции асимптотически однородные в нуле в некрити-

ческом случае описываются следующей теоремой.

Теорема 3.3. Пусть ] — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, причем Ив в — 1 € Рг ^ и число £ € С таково, что

Ив в — Ив £ — 1€ 2+. (3.19)

Обобщенная функция ^(г, е) € АО-1 (Ж/) тогда и только тогда, когда

^(г, е) = *0(г, е) + Л (г, е), *Ъ(г, е), (г, е) € Ж/,

где йирр ^о(г) отделен от нуля, а ^\(г,е) представляется в следующем виде: существуют число N € Ъ+ и непрерывная по г функция 7(г, е) со значениями в Б'(Г), удовлетворяющая асимптотическому соотношению

7(г, е) ~ г^+^р(“)В(е), г ^ +0, (3.20)

г

с некоторой обобщенной функцией В(е) € Б;(Г), такие, что для любой 0(г, е) € Ж/

(^\(г,е),^(г,е)) = У ^7 (г, е), ^ Йг) (г-^(^(г,е) — Пяе в-1[^](г,е))^ йг. (3.21)

В пространстве Ж/ обощенные функции асимптотически однородные в нуле в критическом случае описываются следующей теоремой.

Теорема 3.4. Пусть ] — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, причем Ив в — 1 € Рг / и число £ € С таково, что выполнено условие (3.19). Обобщенная функция ^(г, е) € АО-1 (Ж/) тогда и только тогда, когда

^ (г, е) = *0(г, е) + Л (г, е), *Ъ(г, е), (г, е) € Ж/,

где впрр ^о(г) отделен от нуля, а ^\(г, е) представляется в следующем виде: существуют число N Є и непрерывная по г функция 7(г, е) со значениями в £;(Г), удовлетворяющая асимптотическому соотношению (3.20) с некоторой обобщенной функцией В(е) Є $;(Г), такие, что для любой 0(г, е) Є Ж/

(^1(г,е),0(г,е)) = ^ (^е^ ^г-^(А/з-)(0(г,е) - Пяев-і[0](г,е)^ гіг. (3.22)

о ' ' е

Определение 3.1. Пусть каждому Л Є 3 сопоставлено конечномерное линейное подпространство Ед Є Б (Г) и нильпотентный линейный оператор Ад, действующий в Ед, так что АП(Д)+1^ = 0, при Є Ед. Кроме того, если Л1, Л2 Є 3, причем Ив Л1 = Ив Л2, но 1т Л1 = 1т Л2, то

ЕДі П Ед2 = |0}.

Определим в Ж/ подпространство, полагая

/ = (0(г, е) Є Ж/: Сд,о(е) Є Ед, Сд,т(е) = ЛАГСд;о(е)}, (3.23)

т!

где Т = {Еа, А а : Л € 3}, и т = 0,... , п(Л). Топология в наследуется топологией Ж/. Нетрудно видеть, что У/,^ замкнутое подпространство пространства Ж/.

Следующая теорема в сочетании с теоремой (3.3) дает описание обобщенных функций из класса АО-1(У/,^) в некритическом случае.

Теорема 3.5. Пусть 3 — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, причем Ив в — 1 € Рг 3, и ^(г, е) € Ж/. Тогда, если ^(г, е) € АО-1(У/,^), то ^(г, е) продолжается до _Р(г, е) € АО-1(Ж/).

Для описания асимптотически однородных функций в нуле в критическом случае мы проведем некоторые вспомогательные построения, проясняющие структуру пространств

Так как А а нильпотентен, то в Еа существует базис

{ХА,т(е) € ^ £ =1,...,5а; т = 0,1,...,тА} (3.24)

такой, что при любом £ = 1,... , за,

ААХА,0(е)=0, ААХА,т(е) = ХА,т-1(е), 1 ^ т ^ тА. (3.25)

Пусть 0(г, е) € . Фиксируем Л € 3 ив асимптотическом соотношении (3.16) выделим

слагаемое, соответствующее этому Л,

п(А) 1

0(г,е)-------+ гА^А[0](г,е) + ..., где ^А [0](г,е) = ^ 1п™ г—г А^Сд^е). (3.26)

т!

т=0

Разлагая Сл,0(е) и ^а[^](г, е) по базису (3.24), нетрудно получить следующие соотношения:

йг'

= (гЙ“ )т[^А[0](г,е)],,0, Пусть 7 € С, напомним, что 37 = {Л € 3 : Ив Л = Ив 7}. Обозначим

Е = Еа = Ьш{хА,т(е) : Л € 37,£ = 1,..., за, 0 ^ т ^ тА} (3.27)

А€/7

Пусть

{хАт(е) € Б'(Г) : Л € 37,£ = 1,..., за, 0 ^ т ^ тА}, (3.28)

гі

[^д М(г,е)]„т = (гХ )Ы^](г,е)1т_ 1

— некоторое биортогональное семейство обобщенных функций из Б '(Г), то есть семейство со свойствами

(А (е), (е)) = . (3.29)

Л, Л' Є 37, = 1,..., дд,, 0 ^ т' ^ тд,, £ = 1,..., дд, 0 ^ т ^ тд,

где ^д.тт, — символ Кронекера. Выбор такого семейства неоднозначен. В дальнейшем мы этим воспользуемся.

Теперь мы можем дать описание асимптотически однородных функций на в кри-

тическом случае.

Теорема 3.6. Пусть 3 — допустимое множество, р(к) — автомодельная функция порядка в, причем Ив в — 1 Є Рг 3, и пусть в Ж/ задано подпространство . При

этом в Ед выберем базис {хдт(е)} как в (3.24)-(3.25), а в Б'(Г) биортогональную систему

{хдт(е)}, смотри (3.28)-(3.29). Пусть также задано число к Є С, удовлетворяющее

соотношению

Ив в — 1 — Не к Є ^+. (3.30)

Для того чтобы Е(г,е) Є АО-1(У/,^), необходимо и достаточно, чтобы на К/,^

Е(г, е) = Е0(г, е) + *1(г, е) + Е2(г, е), (3.31)

где Зо,^\ и ^2 удовлетворяют следующим условиям.

Е0(г, е) Є Ж/, имеет носитель отделенный от нуля.

Обобщенная функция ^1(г, е) Є Ж/ определяется следующим образом

(Л(г, е), 0(г, е))

(т1(г,е), ()Мг к(^(г,е) — ^Яе 0-1[^](г,е))) гіг, (3.32)

для любой 0(г, е) € У/^, с некоторыми N € ^+, функцией 71(г, е) непрерывной по г > 0 со значениями в Б'(Г) такой, что

(71(г,е),^(е)) = 0 в Б/ У<р(е) € Ев-1 = ф Еа, (3.33)

А€/в_1

71(г, е) ~ гм+кр(1)В1(е), г ^ +0, на Б (Г), (3.34)

г

с некоторой В1 (е) € Б;(Г).

Обобщенная функция Е2(г, е) € Ж/ представляется в следующем виде.

п\ т<Л+1 1

ЦЛ I1 л й

Мг,е)^(г,е)) = ^ Е Е /7Ат(г)(йг^

Ае/в_1 ^=1 т=1 0

УЛ £ ' /»

(^2(г,е),0(г,е)) = Е ЕЕ / 7Ат(г

Ае/в_1 ^=1 т=1 0

(^г-^Х/А,т(е) — гА(гйг)г-АХА*т-1(е),0(г,е) — ПЯе в-1[0](г,е)) ) ^ (3.35)

для любой 0(г, е) € У/,^, с некоторыми Я € ^+, непрерывными функциями 7Ат(г), удовлетворяющими асимптотическим оценкам

Т^т,(г) ~ СА,т,^г^+Кр( 1), г ^ +0, (3.36)

’ ’ Г

с некоторыми постоянными СА,т,^. Здесь мы считаем, что хА^+^е) = 0.

1

Опишем теперь обобщенные функции из Б;(Кга), асимптотически однородные в нуле вдоль траекторий, определяемых мультипликативной однопараметрической группой {Цк = еЕ 1пк, к > 0} линейных преобразований Мга. Генератор этой группы Е представляется в виде (2.1). Его собственные значения определяют вектор а, см. (2.3), со свойствами (2.4). Во второй секции мы ввели понятие обобщенного сферического представления Е(г, е) € Ж/ для обобщенной функций / € Б;(Кга), так что

(/(£),^(£)) = (Е(г, е), 0(г, е)), 0(г, е) = ^(Це), г> 0,е € Г,

где ^ € Б(Кга) а Г — допустимая поверхность.

Определение 3.2. Будем говорить, что пространства Б/ Ж/ и У/,^ сгенерированы группой {Ц, к > 0}, если функция 0(г, е) принадлежит пространству У/,^, в котором 3 определяется формулой (2.7), а соответствующие каждому Л € 3, числа п(Л) вычисляются из асимптотического разложения (2.9). При этом, сопостовляемое каждому Л из 3 пространство Еа есть пространство многочленов Я(£), однородных относительно группы {Нк, к > 0} степени Л, так что пространство У/,^ = У, пространству, определенному в (2.13). Будем так же говорить, что пространство Ж/ выбрано оптимально, если А^(А)

чго(А)+1 А

отличен от нуля, а АА = 0.

Теперь для описания асимптотически однородных обобщенных функциях, учитывая соотношение (2.16), мы можем воспользоваться теоремой 3.3 в некритическом случае и теоремой 3.6 в критическом случае.

В некритическом случае справедлива

Теорема 3.7. Пусть даны р(к) — автомодельная функция порядка а, причем

Ив а — |^| € Рг 3, (3.37)

и число £ такое, что

Ив (а — |^| — £) € ^+. (3.38)

Тогда для того чтобы /(£) € АО-и(Б(Кга)), необходимо и достаточно, чтобы

/(*) = />(*) + Л(*), /0,/1 € Б(Ега)

где йирр /о(£) отделен от нуля, а обобщенная функция /1(^) определяется следующим

образом: существуют число N € ^+, непрерывная по г функция 7(г, е) со значениями в Б'(Г), удовлетворяющая асимптотическому условию

7(г, е) ~ гм+|м|+^-1р(1)В(е), г ^ +0, (3.39)

г

с некоторой обобщенной функцией В(е) € Б;(Г), такие что

=

Для формулировки соответствующей теоремы в критическом случае нам понадобятся некоторые дополнительные построения.

Пусть Еа - пространство многочленов Я(£), однородных относительно группы {Нк, к > 0} степени Л. Аналогично ЕА - многочлены Р(£), однородные относительно группы {НТ, к > 0}, транспонированной к Нк, так что

Еа = Ш(£) : Я(Нк^) = кАЯ(^)}, ЕА = {Р(*) : Р(НТ*) = кАР(*)}. (3.41)

Если многочлен Я(£) однороден относительно группы {Нк, к > 0} степени й = а + гЬ, тогда он однороден относительно групп Мк и £к степеней а и гЬ соответственно.

Пусть Л G C. Положим

Ел = ф £«, ЕЛ = ф £. (3.42)

kEJ kEJ

Re K=Re Л Re K=Re Л

Согласно сказанному, все полиномы из Еа однородны относительно группы Мк степени Ив Л (аналогично, все полиномы из ЕА однородны относительно группы степени Ив Л).

В пространствах Еа и ЕА определим операторы Аа и А+, действующие по формулам

n П

АаЯ(*) = gгadЯ(£)М = ЕЕ, Я(*) € Еа, (3.43)

к=1 ^=1 к

А+Р (£) = NT (gгad Р (£))т = Е Е ^Цё• Р(‘)€ ЕА. (3.44)

к=1 ^=1 к

где £к^ элементы нильпотентной матрицы, соответствующей оператору N. Операторы Аа и а+ нильпотентны.

Пусть

Р(*) € ЕА, д(^) € Еа, Л € 3. (3.45)

Пользуясь правилом дифференциирования сложной функции, получим

д ) ^/.„ _ )-1 д

p(0 = Р(dt7)Q(t') = Р ('(Ml)-1 Q(M*t)

P(t)|OT-V = P(M- О.

Так как p(t) многочлен, матрица оператора М& - невырождена и все ее собственные значения положительны, то это возможно только при p(t) = const. Поэтому на ЕЛ х Ел можно ввести билинейную форму

д

<Р(t),Q(t) >= P(^)Q(t), Р(t) еЕЛ,^(^) G Ел, ЛеЗ. (3.46)

Отметим некоторые свойства этой билинейной формы.

1. Если p g ЕЛ1, Q g гЛ2 и Л1 = л2, то < p(t),Q(t) >= о.

2. Операторы Ал и A+ взаимно сопряжены относительно билинейной формы (3.46), так что

< Р(t), ^Qj(t) >=< [A+P](t),Q(t) >,

Р(t)G Е;, Q(t) G Ел, ЛеЗ. (3.47)

3. Операторы Ал и A+ оставляют инвариантными соответствующие пространства Ел и

С*

гЛ.

Операторы Ал и A+ можно продолжить на все S(Г). Для этого введем сдедующие определения.

Определение 3.3. Пусть заданы однопараметрическая группа B = {Bk , k > 0}, допустимая поверхность Г и число Л G C. Для любой <^(е) G S(Г) определим оператор продолжения (continuation) соп£в,л [<^](t) , как однородное относительно группы B степени Л продолжение функции <^(е) с Г на Rn\{0}.

Определение 3.4. Пусть заданы однопараметрическая группа B = {Bk , k > 0}, допустимая поверхность Г, число Л G C и обобщенная функция f (t) G S'(Rn), у которой supp f ограничен и отделен от нуля. Определим ее ограничение (restriction) на S(Г) формулой

(rest^[f](e),^(e)) = (f(t),c°ntB^^(е) gS(г). (3.48)

Заметим, что если <^(е) - след многочлена однородного относительно группы В степени Л, то

(ге5^В,А[/](е) , ^(е)) = (/(^ ^СФ. (3.49)

Пусть {хАт(е)} — канонический базис оператора Аа в Еа. Тогда

{ХА,т(е) , Л € 3А, 1 ^ £ ^ ЗА 0 ^ т ^ тА} канонический базис оператора А а в Еа. Построим специальное биортоганальное семейство {хАт} € Б'(Г). Пусть {Х'^ш(е)} — биортоганальное семейство многочленов к {хАт} в ЕА относительно билинейной формы (3.46) и обобщенная функция $(£) € Б;(Кга) с компактным носителем, отделенным от нуля, такая, что ($(£), 1) = 1, например $(£) = $(£ — £0), где £0 € Г. Теперь в качестве семейства {хА ^} можно взять семейство

(е). (3.50)

ХАт (е) = хАт+1, т =0,...,тА + 1,

хА*т(е) = ге^ОТк,Яе д Заметим, что при таком выборе

= Ад Х.Є ,т+1,

где, как и раньше, мы считаем Хдт^+^е) = 0. Теперь теорема 3.6 приобретает вид

Теорема 3.8. Пусть р(к) — автомодельная функция порядка а, причем

Ие а — |^| Є Рг 3, (3.51)

іо Є Г, и число £ Є С таково, что

Ие а — Ие £ — |^| Є ^+. (3.52)

Обобщенная функция / (і) Є АО-и (V) тогда и только тогда, когда

/(і) = /о(і) + /1(і) + /"2(і), /о, /1, /2 Є ^ (3.53)

где /о,/1,/2 удовлетворяют следующим условиям: впрр /о(і) отделен от нуля;

/1(і) представляется в следующем виде: существуют число N Є и непрерывная по г функция 71(г, е) со значениями в Б'(Г), удовлетворяющая асимптотическому соотношению

71(г,е) ~ гм+^+|м|-1 р(—)В(е), г ^ +0, (3.54)

г

с некоторой обобщенной функцией В(е) Є Б'(Г), и условию

(71(г, е), <^(е)) = 0, для всех <^(е) Є Еа_|м|, (3.55)

такие, что для любой 0(і) Є Б(Кга)

1

(/1(і),0(і)) = J ^7(г,е) ()М (г_^(0(г,е) — ^Яе а_|м|[0](г,е))^ Лг. (3.56)

о е

(/2(і), 0(і)) есть линейная комбинация по всем Л Є 3а-|м| и всем полиномам Рд, пробегающим некоторый базис Ед, слагаемых вида

1

/ 7(г)()Мг-"(ге5^М,Яе а-Н ((А+-|м|Рд)(^) —

о

Л д "I _ \

— г“-|м|(глг)г-а+иРд(—))5(і — іо) (е), (^(Ц.е) — ПКе а-|м|[0](г,е)^ Лг, (3.57)

где непрерывная функция 7(г) (зависящая от Л и полинома РЛ(е)) удовлетворяет асимптотическому соотношению

Y(г) ~ brN+|M|+^-1 p(^), г ^ +0, (3.58)

г

с некоторой постоянной b (зависящей от 7).

В заключении этого сектора мы заметим, что полное описание обобщенных функций, однородных относительно группы U дано в работе [10].

4. О делении обобщенной функции на многочлен с сохранением квлзилсимптотики и некоторые приложения

В качестве приложения приведенных выше результатов рассмотрим следующую задачу: Пусть заданы автомодельная функция p(k) порядка a G C, многочлен Р(t), однородный относительно группы {U, k > 0}, степени q G C, то есть такой, что

Р (Ufct) = kq Р (t), (4.1)

и обобщенная функция g(x) G AO^(S(Rn)). Когда дифференциальное уравнение

Р (5 )u(x) = g(x) (4.2)

имеет решение u(x) G AOjU (S(Rn), где p1(k) подходящая автомодельная функция?

Для решения такого рода задач нам понадобятся некоторые результаты о делении обобщенной функции на многочлен однородный относительно группы Ufc с сохранением квазиасимптотики.

Лемма 4.1. Пусть Г — допустимая поверхность относительно группы Uk и Р(е) — след однородного (относительно этой группы) многочлена степени q на Г, тогда для любой нормы Qn{•} на S(Г) существует норма QM{•} и постоянная C такие, что

Qn{^(е)} ^ CQm{Р(е)^(е)}, <^(е) G S(Г). (4.3)

Это утверждение следует из классической леммы Хермандера и следующей оценки. Пусть <^(t) — однородное (относительно группы Ufc) степени q продолжение функции <^(е) с Г в Rn и

QN{^(t)} = max sup |dj0(t)|,

|j|^Nter£

норма для функций, определенных в Rn. Здесь Г£ — е окрестность Г. Тогда существуют постоянные C и с, не зависящие от <^(е) G S(Г), такие, что

cQn{^(t)} ^ Qn{^(е)} ^ CQn{^(t)}.

Отсюда вытекает следующая

Лемма 4.2. Пусть Г — допустимая поверхность, Р(е), е G Г — след многочлена, однородного относительно группы {Uk,k > 0} и {7(к,е) G S'^^k > 0} — семейство обобщенных функций непрерывное по параметру k, причем

7(^е) 7о(е) в S'(Г).

Тогда существует семейство обобщенных функций

{a(k, е) G S,(Г),k > 0}, слабо измеримое по параметру k, так что

1. а(^е) -------> a0(e)вS/(Г);

fc^+0

2. Р(е)а(^е) = y(k,e).

Доказательство проводится точно по схеме доказательства леммы 5.1. работы [1], надо только воспользоваться предыдущей леммой.

Пусть 5/, Ж/ и VJF сгенерированы группой {Цк, к > 0}, причем пространство Ж/ выбрано оптимальным образом, см. определение 3.2. Пусть Р(£) — многочлен однородный относительно этой группы степени д, то есть Р(Ц£) = к9Р(£). Тогда он однороден той же степени относительно группы Мк = е1п кМ (группы чистых растяжек по соответствующим осям). Следовательно, существует мультиндекс т € ^+, такой, что д = (а, т). Обозначим через 3 + д множество {Л + д, Л € 3}. Докажем, что 3 + д С 3 , то есть 3 + д С 3 и п(Л) ^ п(Л + д).

Действительно, Р(£) = г9Р(е), и так как 5(Кга) выдерживает умножение на Р(£), то У/,^-выдерживает умножение на г9Р(е). Возмем функцию 0(г, е) € У/,^ такую, что

^А [0](г, е) = Са,0 (е) +-+ Са,п(А) (е) 1пп(А) г, Са,п(А) (е) ф 0.

Тогда

^А+д[Р(*)^(*)](г,е) = Р(е)СА,0(е) +------+ Р(е)Сд,п(А)(е) 1пп(А) г,

Р(е)СА,га(А)(е) ф 0.

А так как г9Р(е)^(г, е) € У/,^, то п(Л + д) ^ п(Л).

Из доказанного следует, что Ж/ выдерживает умножение на г9Р(е). В частности, если 0(г, е) € Ж/, то 01(г, е) = г90(г, е) € Ж/, причем

САт(е)= (С'-9^ еСл” Л — <7€3; (4.4)

I 0, если Л — д € 3.

Теорема 4.1. Пусть р(к) автомодельная функция порядка в € С, Р(£) — многочлен однородный относительно группы {Цк} степени д, и Е(г, е) € АО—к)(Ж/). Пусть так же

Ив (в — 1 + д) € рг 3. (4.5)

Тогда существует обобщенная функция 0(г, е) € Ж/, такая, что

1 0(г,е) € АО-,1р(к)(Ж/);

2. г9Р(е)0(г, е) = Е(г, е) в Ж/, то есть для любой 0(г, е) € Ж/

(0(г, е), Р(е)г90(г, е)) = (Е(г, е), 0(г, е)). (4.6)

Доказательство. Пользуясь теоремой 3.3, имеем Е = Е0 + Е1, где носитель Е0 отделен

от нуля, а Е1 определяется формулой

(^1(г,е),^(г,е)) = J (г, е), () (г-^(^(г,е) — Пяе в-1[^](г,е))^ ^г (4.7)

0 ' ' е с 7(г, е) удовлетворяющей асимптотическому соотношению

7(г, е) ~ ^+^р(-)В(е), г ^ +0, (4.8)

г

с некоторой обобщенной функцией В(е) € 5;(Г). Заметим, что можно считать, что носитель обобщенной функции, полученной в результате деления Е0 на многочлен Р, тоже отделен от нуля. Поэтому достаточно доказать теорему лишь для функции Е1. Для

0(г, е) Є Ж/ положим (0(г, е), 0(г, е)) =

^а(г,е), (Л-)^г г 9[^(г,е) — Пв-1+дМ(г,е)]) Лг

1

а(г,е), (-^)Мг-^[^(г,е) — Йя,. 1[^](г,е)А Лг, (4.9) уагу /е

где в1 = в + 9, £1 = £+9 Здесь семейство обобщенных функций а(г, е) — результат деления 7(г, е) на Р(е) — след многочлена на поверхности Г. Оно существует, согласно лемме 4.2, причем

а(г, е)

В(е)

где

В(е) Р (е)

г^+мг 9р(1), г ^ +0, (4.10)

г

В(е)

Р (е)

некоторая регуляризация отношения этих функций. Заметим, что интеграл в (4.9) корректно определен. Отсюда, согласно той же теореме 3.3, следует, что 0(г, е) Є АО-^^Ж/). Проверим соотношение (4.6). Пользуясь тем, что а(г, е)Р(е) = 7(г, е), имеем

(0(г, е),Р(е)г90(г, е)) = (0(г, е),Р(е)г90(г, е))

7(г, е), г-^г-в+1-9(г90(г, е) — Йв-1+д[г90](г,е))] Лг, (4.11)

Теперь достаточно заметить, что

Й0-1+9 [г9 ^](г,е) = г9 Йв-1[0](г,е)) (4.12)

и сравнить с формулой (4.7). Теорема доказана.

Отсюда получаем следующую теорему.

Теорема 4.2. Пусть р(к) автомодельная функция порядка а, Р(і) однородный относительно группы многочлен степени 9 и /(і) Є 5"(Кга) имеет квазиасимптотику в нуле по группе и относительно р(к). Тогда, если

Ие (а — |р.| + 9) Є Рг3, (4.13)

то существует обобщенная функция и(і) Є 5"(Кга), обладающая квазиасимптотикой в нуле по группе и относительно р1(к) = к9р(к), такая, что

Р (і)и(і) = / (і). (4.14) Эта теорема есть непосредственная переформулировка теоремы 4.1, в которой следует считать 0(г, е) Є V и воспользоваться тем фактом, что если 0(г, е) Є V, то г9Р(е)^(г, е) Є V. Теперь ответ на поставленный в начале секции вопрос дает следующая

Теорема 4.3. Пусть р(к) автомодельная функция порядка а, Р(і) — однородный относительно группы {ик, к > 0} многочлен степени 9 и д(ж) Є АОр^ (Б(Мга)).

Тогда, если

Ие (а + 9) Є Рг 3, (4.15)

то уравнение

Р (5 )и(х) = #(ж) (4.16)

имеет решение

и(х) Є АОЦ_Т (Б(Ега)), (4.17)

1

где pl(k) = kqp(k).

Утверждение теоремы, по сути, есть утверждение предыдущей теоремы, сформулированное в терминах преобразований Фурье.

Следствие 4.1. Если в условиях теоремы д(х) — однородна относительно группы Цт степени а, то есть

д(цТ х) =

то уравнение (4.16) имеет однородное относительно группы Цт решение степени а + д.

Действительно, согласно теореме 4.3 уравнение (4.16) имеет решение и(х) € АОЦ^+ч(5(Кга)). Так как многочлен Р(£) -однороден относительно группы {Ц, к > 0} степени д, то имеем

Отсюда

P (д )u(UkT ж) = ka+q д(ж).

P (д u(UT ж) = д(ж).

k«+9

(4.18)

Поскольку, в силу теоремы, существует

1

u(Uk ж)

«0(ж),

ka+q ' k

причем u0 (x) — однородная функция, то, переходя в (4.18) к пределу, получаем

Р (d )u0(x) = g(x).

Пример 4.1. Пусть в R4 действует группа

/ cos т — sin т 0 sin т cos т 0

0 0 cos т

0 0 sin т

(4.19)

Uk = k

V

где т = ln k. Отметим, что в переменных z1

О О

— sin т cos т

tl + it2,Z2

1О О1 ОО ОО

t3 + it4,Z3

т

0

1 О

О т

0

1

(4.20)

z l, z4 = z2, матрица

генератора этой группы имеет стандартную комплексную жорданову форму

E=

/1 + i 1 О О

О 1+i О 0

О О 1—i 1

О О О 1—i

(4.21)

Z+ и

4. Нетрудно проверить,

так, что 3 = {0,1 + г, 1 — г, 2,... }, в частности, Рг 3 что полином Р(£) = ^2^3 — ^1^4 однороден относительно группы {Цк} степени д =2. Рассмотрим ультрагиперболическое уравнение

52м 52м

= д(х).

5хз5x2 dx1dx4

Пусть g(x) G AOUT (S(Rn)), где p(k) — автомодельная функция порядка a G C, и

\

ln k.

(4.22)

UkT = k

т

(4.23)

cos т sin т 0 0

— sin т cos т 0 0

т cos т т sin т cos т sin т

\ —т sin т т cos т — sin т cos т )

Если Re a + 2 G Z+, тогда, согласно теореме 4.3, существует решение u(x) G AO^TP^S(Rn)). В частности, если g(x) = £(x) и p(k) = k-4, то существует фундаментальное решение уравнения (4.22), обладающее квазиасимптотикой относительно p(k) = k-2 вдоль траекторий, определяемых группой (4.23). Более того, согласно следствию к теореме 4.3, существует фундаментальное однородное относительно группы (4.23)

степени —2 решение уравнения (4.22). Такими решениями с точностью до коэффициентов являются обобщенные функции

u(x) = (x2x3 — x1x4 + i0)-1 или (x2 x3 — x1x4 — i0)-1, (4.24)

определенные в [2].

Пример 4.2. Рассмотрим уравнение

( д2 д2 \2 ( д2 д2 \

(,ax3ax2— sx^J u(x) = (sxf + sxfj(4/25)

Нетрудно проверить, что функция справа однородна относительно группы (4.23) степени a = —6. Замечая, что многочлен Р(t) = (t2t3 — t1t4)2 однороден относительно группы (4.20) степени q = 4, согласно следствию к тереме 4.3, получим, что существует решение уравнения (4.25) однородное относительно группы (4.23) степени a + q = —2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотически квазиоднородные обобщенные функции в начале координат // Уфимский мат. журн. 2009. T. 1. № 4. С. 33-66.

2. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Физматлит, 1959.

3. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотически однородные обобщенные функции по специальным групп преобразований // Мат. сборник. 200 (2009), №6. С. 23-66.

4. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотически квазиоднородные обобщенные функции в нуле и уравнения в свертках с ядрами, символы которых квазиоднородные многочлены // Доклады РА. 426 (2009), №3. С. 300-303.

5. Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Обобщенные функции, асимптотически однородные по траекториям, определяемым однопараметрическими группами // Известия РАН, сер. ма-темат., T. 76, № 3. С!. 39-91.

6. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. Наука. М.:, 1985.

7. Владимиров В.С., Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций. Наука. М.: 1986.

8. O. Grudzinski Quazihomogeneous Distribution. North-Holland mathematics studies 165, North-Holland-Amsterdam, 1991.

9. L. Hormander On the division of distribution by polynomials // Ark. math. 1958. V. 3. № 6. P. 555-568.

10. Yu.N. Drozhzhinov, B.I. Zavialov Homogeneous Generalized Functions with Respect to One-Parametric Group // p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. 2012, Vol. 4, No 1. P. 20-31.

Юрий Николаевич Дрожжинов,

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, ул. Губкина, 8,

119991, ГСП-1, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]

Борис Иванович Завьялов,

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, ул. Губкина, 8,

119991, ГСП-1, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]