CC BY
46
Обобщенное модальное управление в задаче синтеза дискретных систем 11
УДК 62-50
О. В. Слита, А. В. Ушаков
ОБОБЩЕННОЕ МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*
Рассматривается дискретный объект управления с неопределенностью в матрице состояния. Задача обеспечения инвариантности решается за счет использования свойств спектров собственных значений и собственных векторов матричной функции от матрицы с привлечением возможностей обобщенного модального управления. Приводится пример.
Ключевые слова: дискретный объект, неопределенность матрицы состояния, собственные векторы, обобщенное модальное управление.
Введение. При синтезе систем с применением классической теории управления используется положение о том, что математическая модель объекта известна и абсолютно точно описывает его поведение. Однако современные подходы к постановке и решению задач анализа и синтеза систем управления характеризуются наличием положения о неопределенности задания модели объекта [1—3], в частности, о неточности знания ее параметров. В настоящей работе рассматривается дискретный объект управления с неопределенностью матрицы состояния.
Постановка задачи. Рассмотрим дискретный объект управления (ОУ) следующего вида х(к +1) = (А + АЛ)х(к) + Ви(к) , у(к) = Сх(к) , (1)
пп т~>г пШ л ппхп
в котором х е К , и е К , у е К — векторы состояния, управления и выхода; А е К ,
В е Кпхг, С е КШхп — матрицы состояния, управления и выхода; АЛ — матрица состояния с неточно заданными параметрами.
При функционировании ОУ (1) в составе системы на его выходе у (к) воспроизводится
внешнее задающее воздействие g (к) с требуемыми показателями качества. Построим закон управления (ЗУ) в форме прямой связи по задающему воздействию с матрицей К^ и отрицательной обратной связи по вектору состояния с матрицей К. Предположим также, что переменные состояния и задающее воздействие доступны измерению. Тогда ЗУ принимает вид
и (к ) = Kgg (к ) - Кх(к). (2)
Объединив ЗУ (2) с ОУ (1), получим замкнутую систему вида
х(к +1) = ^х(к) + Gg(к) + ААх(к) ; у(к) = Сх(к) , (3)
где ^ = А - ВК, G = ВК§ .
Синтезируемый закон управления должен обеспечивать параметрическую инвариантность выхода системы у (к) к неопределенности АЛ задания матрицы состояния исходного дискретного объекта
у (к, g(к), ^, АЛ * 0) = у (к, g(к), ^, АЛ = 0). (4)
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0875).
Основной результат. Представим матрицу АЛ в виде суммы минимального числа матричных компонентов, каждый из которых характеризуется единичным рангом
p = argmin\ АЛ = V АЛ, & rankAA. = 11.
p I V j j J
С использованием выражения (5) член АЛх(к) в (3) можно записать в форме
(5)
АЛх(к) =
[АЛ11 АЛ12 - Мп]
х1(к ) х2(к )
xn (к)
[АЛ21 АЛ22 - АЛ2п ]
х1(к ) х2(к )
хп (к)
+ ••• +
[[ АЛ
п 2
АЛпп\
х1(к) х2(к )
хп (к )
(6)
Представим цепочку соотношений (6) в компактной форме. Для этого на левых сомножителях аддитивных векторно-матричных компонентов построим (п х p) -матрицу D в форме
D = row{D-, j = 1, p}
и введем в рассмотрение p -мерный вектор параметрического воздействия ^(к)
Z(к) = col {Z j (к), j = 1, p} компоненты которого Z j (к) задаются соотношениями
~ х1(к)
Zj(к)=
(7)
АЛ-1 АЛ- 2 - АЛ-п
х2(к )
хп (к)
= (АЛ)j х(к).
(8)
Здесь (АЛ)у — у-я строка матрицы АЛ. Используя (7) и (8), представим матрично-векторный компонент АЛх(к) как
АЛх(к) = £ С у (к) = Б С(к).
У=1
Перейдем к представлению системы (3) в форме
х(к +1) = Гх(к) + Gg (к) + DZ (к); ^(к) = Сх(к),
(9)
не содержащей матричных неопределенностей, но характеризующейся дополнительным параметрическим воздействием <^(к) на выход у (к).
Модель (9) позволяет переформулировать поставленную задачу обеспечения параметрической инвариантности как задачу обеспечения сигнальной инвариантности
У(к, F, g (к), С(к) * 0) = у(к, ^, g (к), С (к) - 0). (10)
Обобщенное модальное управление в задаче синтеза дискретных систем 13
Переходя к передаточным функциям, перепишем (10) следующим образом:
Y(z, g(z), Z(z) * 0) = Фж (z)g(z) + Ф^ (z)Z(z) = Фж (z)g(z), (11)
где g (z) — Z-преобразование задающего воздействия g (t), Z( z) — Z-преобразование параметрического воздействия Z(k), Фyg (z) — передаточная функция отношения „задающее воздействие — выход системы", Ф yq (z) — передаточная функция отношения „параметрическое воздействие — выход системы".
Очевидно, что равенство (11) при Z(z) * 0 выполняется, когда
фyz(z)= 0. (12)
Покажем, какими алгебраическими свойствами должны обладать матричные компоненты модели (9), чтобы выполнялось соотношение (12).
Утверждение. Для того чтобы система (9) обладала параметрической инвариантностью в смысле условия (10), достаточно, чтобы
1) столбцы Dj матрицы D были бы собственными векторами матрицы F ;
2) столбцы Dj принадлежали ядру матрицы C, т.е. чтобы выполнялось соотношение
CDj = 0. (13)
Доказательство. Если Dj является собственным вектором матрицы F, соответствующим ее собственному значению X j, то становится [4] справедливым равенство
fdj = xjdj .
Будем использовать свойство матричной функции от матрицы сохранять геометрический спектр собственных векторов исходной матрицы и иметь в качестве элементов алгебраического спектра собственных значений компоненты f (Xj) [4], тогда будет справедливо
соотношение
f (F)Dj = f (X j )Dj .
В решаемой задаче матричной функцией от матрицы F является резольвента f (F) = (zI - F) 1, входящая в выражение для передаточной функции Фyz. (z) :
Фyzj (z) = C(zl -F)-1 Dj = C(z-Xj)-1 Dj = (z-Xj)-1 CDj. (14)
Подстановка в соотношение (14) условия (13) приводит к выполнению соотношений (11), (12).
Для решения задачи синтеза параметрически инвариантной системы воспользуемся обобщенным модальным управлением [3, 5—7]. Рассмотрим сначала случай [5, 7], когда матрица управления B является матрицей полного ранга (rankB = n, n — размерность вектора состояния x(k) ОУ). Тогда задача параметрической инвариантности может быть решена с
помощью матрицы обратных связей K в форме K = B_1(AM - MЛ)М_1, где M = row (^, i = 1, n}, Л = diag (X,, i = 1, n}. В этом случае, задавая в качестве столбцов матрицы M столбцы матрицы D , можно обеспечить в системе желаемую структуру собственных векторов. Матрицу K получим, решив систему уравнений Сильвестра:
МЛ-AM = -BH , (15)
K = HM- .
В случае, когда rank B < n, уравнение (15) распадается на
DЛD - AD = -BHD, (16)
MЛ-AM = -BH , (17)
причем условием разрешимости уравнения (16) относительно матрицы HD является включение столбца Dj : (jI - A)) е ImB [6, 7]. Уравнение (17) при заданной наблюдаемой паре
(Л, H) решается относительно матрицы M. Матрица обратных связей K в этом случае находится следующим образом:
k = [hd H][d M]-1
Пример. Рассмотрим дискретный ОУ вида (1) с матрицами
q +1 q + 0,1 0,004837" "1 0,1 0,004837" "0,0001626"
A + AA = -2q -2q + 1 0,0951 , A = 0 1 0,0951 , B = 0,004837
4q 4q 0,9048 0 0 0,9048 0,09516
C = [2 3 1],
где
" 1 10" " 1"
AA = -2 -2 0 q = -2 [q q 0] = Dh (q)
4 4 0 4
представлена в параметризованном q виде (q = qo +Лq, с номинальным значением qo = 0 и
вариацией Лq), D = [1 -2 4] .
В результате синтеза ЗУ получим
" 0,9917 0,0928 0,003152" F = A - BK = -0,2206 0,8057 0,04867 -3,407 -3,092 -0,1244 Собственные значения дискретной матрицы F ^ = 0,8188, X2 = 0,6062, Х3 = 0,4968.
т
Матрица-столбец D = [1 -2 4] соответствует собственному значению = 0,8188. Условие CD = 0 выполняется, следовательно Ф^^ (z) = 0. Таким образом, дискретная система
обладает параметрической инвариантностью выхода. Экспериментально это можно проверить для любого внешнего воздействия g (k) .
список литературы
1. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters. London: Springer-Verlag, 1993.
2. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.
3. Никифоров В. О., Слита О. В., Ушаков А. В. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности. СПб: СПбГУ ИТМО, 2011.
4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.
5. Ушаков А. В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 43, № 3. С. 8—15.
6. Слита О. В., Ушаков А. В. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 24—32.
Исследование процессов позитивных систем
15
7. Слита О. В., Ушаков А. В. Достаточные алгебраические условия параметрической инвариантности выхода линейной стационарной системы в первом приближении // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 6. С. 16—22.
Ольга Валерьевна Слита
Анатолий Владимирович Ушаков
Сведения об авторах канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]
д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
УДК 62-51
В. В. Григорьев, В. И. Бойков, С. В. Быстров, А. И. Рябов, О. К. Мансурова
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПОЗИТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ*
Введено понятие качественной экспоненциальной устойчивости для класса динамических позитивных дискретных систем, на основе которой проводится оценка качества сходящихся и расходящихся процессов.
Ключевые слова: динамические системы, устойчивость, оценка качества, метод Ляпунова, модульные функции, позитивные системы.
Введение. Целью настоящей работы является расширение понятия качественной экспоненциальной устойчивости и неустойчивости на более широкий класс динамических систем, а именно на позитивные системы — системы сравнения, позволяющие анализировать различные виды устойчивости и неустойчивости многосвязных систем, оценивать качество сходящихся и расходящихся процессов.
Если свойство асимптотической устойчивости определяет сходимость или расходимость процессов в течение времени, то свойство экспоненциальной устойчивости определяет скорость сходимости или расходимости процессов, характеризуя тем самым быстродействие системы. Выполнение условий качественной экспоненциальной устойчивости позволяет судить о средней скорости сходимости или расходимости процессов, а также о текущих отклонениях поведения процессов от осредненного, что дает информацию о характере поведения переходных процессов (колебательность, перерегулирование).
Разработка аналитических и вычислительных технологий для анализа устойчивости и неустойчивости систем сравнения, и как следствие — многосвязных систем, а также качества процессов является практически необходимой задачей исследования. Современные аппаратные средства вычислительной техники и компьютерные технологии анализа поведения многосвязных динамических систем позволяют реализовать эффективные алгоритмы построения систем сравнения на базе функций Ляпунова, получаемых при синтезе многосвязных систем. Использование модульных функций Ляпунова значительно упрощает процедуры исследования поведения позитивных систем [1—3]. Полученные на основе этих функций условия
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 гг. (государственный контракт № 16.740.11.0553).
