CC BY
13
УДК 330.42: 519.7
УЗАГАЛЬНЕНА МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ РАЦ1ОНАЛЬНОТ ЕКОНОМ!ЧНОТ П0ВЕД1НКИ
© 2015
1ВАИ0В Р. В.
УДК 330.42:519.7
1ванов Р. В. Узагальнена математична модель рацюнальноТ eK0H0Mi4H0i поведшки
Основною метою роботи е побудова економко-математичноi модел поведши економiчного агента, схильного до самоорганiзацi¡. З урахуванням рацональностi економнно'1 поведши побудована динамiчна модель, у якш мотивацйним фактором обране вдхилення дшсного стану вд бажано-го, що супроводжуеться виникненням деяко1 величини «бажання...». Запропонована у формi системи диференфльних рiвнянь у частинних похiдних модель представлена як у просторi розмiщень, так i в просторi станв, що дозволяе дотджувати соцiально-економiчнi процеси, властив постш-дустр'шльнш економц й економц знань. При цьому, використат в просторi сташв полярн координати дозволяють о^нити не т'шьки клькш, але iякiснi показники. Отримано р'вняння збереження загальноi мотивацИяк балансмотивацш, «що примушуе» i «що компенсуе», сума яких при процеа, що встановився (стацонарному, з установленою динамiкою й т. п.) без екзогенного впливу залишаеться постшною величиною. Ключов'! слова: економiчна поведша, мотива^я, р'вняння збереження ресурав, р'вняння збереження мотивацИ. Рис.: 1. Формул: 11. Шбл.: 11.
1ванов Роман Вячеславович - кандидат ф'вико-математичних наук, доцент, доцент кафедри економ'то'1 юбернетики, Дн'тропетровський на-цональний ушверситет iм. О. Гончара (вул. Наукова, 13, Дн'тропетровськ, 49050, Украна) E-mail: [email protected]
УДК 330.42:519.7
Иванов Р. В. Обобщенная математическая модель рационального экономического поведения
Основной целью работы является построение экономико-математической модели поведения экономического агента, склонного к самоорганизации. С учетом рациональности экономического поведения построена динамическая модель, в которой в качестве мотивационного фактора выбрано отклонение действительного состояния от желаемого, что сопровождается возникновением некоторой величины «желания...». Предложенная в форме системы дифференциальных уравнений в частных производных модель представлена как в пространстве размещений, так и в пространстве состояний, что позволяет исследовать социально-экономические процессы, свойственные постиндустриальной экономике и экономике знаний. При этом, использованные в пространстве состояний полярные координаты позволяют оценить не только количественные, но и качественные показатели. Получено уравнение сохранения общей мотивации как баланс «принуждающей» и «компенсирующей» мотиваций, сумма которых при установившемся процессе (стационарном, с установившейся динамикой и т. п.) без экзогенного влияния остается постоянной величиной. Ключевые слова: экономическое поведение, мотивация, уравнение сохранения ресурсов, уравнение сохранения мотивации. Рис.: 1. Формул: 11. Библ.: 11.
Иванов Роман Вячеславович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры экономической кибернетики, Днепропетровский национальный университет им. О. Гончара (ул. Научная, 13, Днепропетровск, 49050, Украина) E-mail: [email protected]
UDC 330.42:519.7 Ivanov R. V. A Generalized Mathematical Model of Rational Economic Behavior
The main purpose of the publication is to build an economical-mathematical model of behavior of economic agent, prone to self-organization. Taking into consideration rationality of economic behavior, a dynamic model has been built, in which as a motivational factor deviation from the valid status towards the desired status has been allocated, which is accompanied by occurrence of a certain value of «desiring...». The model, proposed in the form of a system of partial-derivative equations, is presented as in space of locations so in the space of statuses, providing to explore the socio-economic processes inherent in the postindustrial economy and the knowledge-based economy. At the same time, polar coordinates used in the space of statuses provide to evaluate not only quantitative, but also qualitative indicators. An equation of preservation of overall motivation has been derived as the balance of «coer-cive» and «compensating» motivations, sum of which remains constant in a stable process (stationary, with the established dynamics, etc.) and without exogenous influence.
Keywords: economic behavior, motivation, equation of preservation of resources, equation of preservation of motivation. Fig.: 1. Formulae: 11. Bibl.: 11.
Ivanov Roman V. - Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Economic Cybernetics, Dnipropetrovsk National University named after O. Honchar (vul. Nau-kova, 13, Dnipropetrovsk, 49050, Ukraine) E-mail: [email protected]
Загострення загальнолюдських глобальних проблем викликае зростання обiзнаноí необхцно-ст координаци дш по 1х виршенню, визначення оптимальних варiантiв тактичного та стратепчного роз-витку, що базуються на врахуванш штерейв особисто-сп, суспкьства, держави, високо'1 ефективност пращ та якост життя [1].
Беззаперечно, що ефективне запровадження за-ходiв щодо покращення економiчного стану держави неможливо без дослцження вцносин мiж суб'ектами господарювання, 1х економiчноl поведшки, дослцження яко'1 значно активiзувалися протягом останшх роив.
При цьому увагу дослцниюв зосереджено на еко-номiчнiй поведшщ таких економiчних агенпв, як домо-господарства, фiрми, державш органи на рiзних ринках,
яК е мкцем peaAÍ3a^'i b^íb, motmbíb, особливостей еко-homÍ4hoi поведшки, що набувае особливо! гостроти та актуальное^ в умовах перманентних ринкових транс-формацш [2].
Саме це зумовлюе значимкть й актуальшсть до-слцження особливостей економiчноi поведшки, на-прямiв ii оптимiзацil зпдно Í3 загальною метою сталого яюсного розвитку нащонально! економжи, зростання добробуту населення та задоволення його потреб.
Питання щодо економiчноi поведшки в останш роки знаходяться у центрi уваги багатьох вггчизняних фахiвцiв, зокрема, О. Ватаманюка, Л. Демедюк, Т. Юзи-ми, Е. Лiбановоi, М. Литвак, I. Ломачинсько!, В. Манди-бури, Л. Миргородсько!, С. Панчишина, Д. Тюпи, О. Ша-мансько! та ш.
Але результати бкьшост з1 згаданих роб1т або ма-ють суто теоретико-економ1чну спрямован1сть, або ба-зуються на статистичному анал1з1 даних 1 соцюметрич-них досл1дженнях 1 не мктять строго формал1зованого зв'язку м1ж вих1дними даними та висновками [1], у той час як одним з головних шструменйв досл1дження влас-тивостей об'ектш, систем 1 процейв, зокрема економ1ч-них, можна вважати процедуру моделювання структури, повед1нки, ендогенно! або екзогенно! взаемоди зазначе-них одиниць шд впливом фактор1в р1зно! природи [3].
Квштесенщею розвитку метод1в математичного моделювання в останш десятил1ття можна вважати зростання м1ждисциплшарних 1 проблем-ноор1ентованих форм досл1джень, об'ектами яких най-част1ше стають системи, що характеризуються в1дкри-т1стю та саморозвитком [4].
Детальний анал1з ще! тези дозволив авторов1 [1] висунути гшотезу про те, що теор1я диференц1альних р1внянь - це найбкьш зручний та ефективний шстру-ментарш досл1дження поведшково! динам1ки еконо-м1чних агент1в не лише на еташ побудови модел1, але й на стади проведення обчислювальних експеримент1в. Вдалими прикладами застосування як1сного анал1зу моделей економ1чно! повед1нки у форм1 систем звичайних диференц1альних р1внянь
X, = ¥г(X!, х2..лп,г), (, = 1;п), (1)
де х - деяка юльюсна характеристика сощально-еконо-м1чного агента, що бере участь у процей, можна вважати роботи [5-7] та багато ш.
Але, на нашу думку, певним недолжом такого шдходу е необх1дшсть встановлення детальних струк-турних зв'язюв м1ж показниками з метою побудови ко-ректних форм залежностей типу (1), що школи значно ускладнюе задачу або унеможливлюе 'й розв'язок у за-пропонован1й форм1.
Питання ж можливост1 застосування яюсно! тео-рЦ систем диференц1альних р1внянь у частинних пох1д-них, яка б дала можливкть представляти властивост1 розв'язюв, не розв'язуючи сам1 р1вняння, також е про-блемним 1 до кшця не вивченим [8].
У робот1 [3] було встановлено 1зоморфний зв'язок м1ж стоком (джерелом) 1 точкою споживання (виробни-цтва), що дало шдстави для введення понять «економ1чне джерело» та «економ1чний стк», а також запропоновано концептуальну модель замкнено! економ1чно! системи у вигляд1 комбшаци економ1чного джерела та економ1ч-ного стоку з однаковими за модулем штенсивностями, що в1дпов1дае економ1чнш повед1нц1 в умовах автарки та отримало назву - «економ1чний диполь». Але строгого математичного опису зазначена процедура не отримала.
Метою представлено! роботи е переход, в1д концептуально! модел1, побудовано! на основ1 феноменоло-г1чного припущення про 1зоморфний зв'язок м1ж окре-мими повед1нковими процесами сощально-економ1чних агент1в з певними ф1зичними явищами, до економжо-математичного аналогу.
Нехай в деякому двовим1рному простор! (на необ-межен1й площин1) неперервно розподкеш однор1дн1
ресурси, необх1дн1 для життезабезпечення або, шак-ше кажучи, повноц1нного функц1онування сощально-економ1чного суб'екта або системи (шд однор1дн1стю у даному випадку маемо на уваз1 однор1дну «сум1ш» р1зно-ман1тних компоненпв; просторов! координати можуть в1дображати як розташування суб'екта, так ! його стан).
В1дносно розподкених у простор! ресурйв зроби-мо припущення, що в елементарнш його частин1 к!ль-к1сть ресурйв збер1гаеться незм1нною, що забезпечу-еться перманентним процесом замщення використаних однор1дних ресурйв та супроводжуеться !х в1дпов1дним рухом. В1дзначимо, що зазначений факт е 1манентною характеристикою замкнено! економ1чно! системи.
У цьому випадку виконання правила «збереження ресурйв» забезпечуеться р1внянням
— + р ЖуУ--
аг и
= 0,
(2)
де р - густина розподку ресурйв (юльюсть ресурйв на одиницю простору, на одну людину тощо); V - швид-к1сть, з якою ресурси перем1щуються у простор1; Ну -диференщальний оператор, який перетворюе векторне поле у скалярне. Р1вняння (2) будемо називати «р1внян-ня збереження ресурсш», яке не характеризуе ресурси як «неск1нченн1» або «невичерпаш», а лише показуе, що вони завжди мають бути розподкеш, навггь 1з неск1н-ченно малою густиною.
Традиц1йно економ1чна теор1я розглядае еконо-м1чну повед1нку шд кутом рац1ональност1. При цьому, рацюнальна економ1чна повед1нка визна-чаеться як ефективне (хоча й необов'язково оптималь-не) використання наявних ресурйв для досягнення по-ставлених цкей [9].
Зг1дно з щею концепц1ею у попереднк досл1дженнях [3] автором було обгрунтовано тезу про те, що ендоген-ною причиною перемщення ресурсш е величина «бажан-ня...» економ1чного агента М, яка у випадку споживання може приймати лише недодатш значення, а у випадку ви-робництва - лише невц'емш значення. При цьому, ресурси перемщуються в1д област1 з бкьшим (з урахуванням абсолютною величини та додатност1-в1д'емност1) до об-ласт1 з меншим «бажанням...». Тобто, !х рух спрямований на задоволення наявних потреб («бажання...» споживати або використовувати) за рахунок наявних можливостей («бажання» виробляти або пропонувати).
Так, у процей життед1яльност1 домогосподарства первинним мотиватором е намагання задоволення потреб для шдтримки життед1яльност1 (споживання), що спонукае використовувати власний людський каштал для «оргашзаци» потоку необх1дних ресурйв, а першо-черговим мотиватором функцюнування п1дприемства е створення товар1в та послуг (виробництво).
Тобто, змша абсолютно! величини та напрямку вектору швидкост1 руху ресурсш е протилежною напрямку збкьшення «бажанням...». При цьому, чим бкьше густина розподкених навколо ресурсш, тим менше необх1д-н1сть значних перемщень, тобто - менше змша швидко-ст1. Це означае, що змша швидкост е обернено пропорщ-ональною до величини густини розподкених ресурсш.
Таким чином, математична модель динамжи до-слцжуваного процесу може бути представлена у вигля-дi рiвняння:
dV 1
-=--grad M,
dt p
(3)
де оператор «градieнт» визначае напрямок зб ¡льшення мотивацiйного фактору «бажання...».
У випадку iснування додаткових екзогенних фак-торiв рiвняння (3) запишеться у формi:
dV
-= F--grad M,
dt p
(4)
dV
-j- = F — gradM.
(6)
Yf
Ya
D
O
E •
де F - безрозмiрна векторна величина зовншнього впливу в розрахунку до одинищ матерiального обсягу ресурсiв.
Таким чином, систему рiвнянь (2), (4) можна вва-жати математичною моделлю дослiджуваного процесу.
У випадку незмшного у часi та просторi розподку ресурсiв, густину якого будемо вважати деякою безроз-мiрною одиничною величиною, рiвняння (2) спрощуеть-ся до вигляду
divV = 0, (5)
а рiвняння (4) набувае форми
Xa
У рiвняннях (5), (6) безрозмiрнi в еличини V, M у загальному випадку е функцшми, що залежать вiд про-сторових змiнних та часу t.
Розглянемо ситуацiю, в якiй дослiджуваний дво-
вимiрний простiр е не простором розмщення,
а простором станiв соцiально-економiчного агенту (системи). Для цього доцкьно перейти вiд декартово! системи координат (x, y) до полярно! , якi, як ведомо, пов'язанi мiж собою рiвностями
x = r cos в; y = r sin в.
Нехай економiчна система знаходиться в деякому сташ, який описуеться двома характеристиками (координатами). Оберемо систему координат так, що початок вцлжу (0; 0) сшвпадае з щею точкою у просторi сташв.
Для простору сташв у полярнш системi координат введемо таю умови:
1) координата r називаеться «юльюсною»; '!! зна-чення вцповцае величинi вiдхилення вiд iснуючого стану, тобто вц точки (0; 0);
2) координата 0 називаеться «яюсною»; !! зна-чення характеризуе позитившсть-негатившсть (покра-щення-погiршення) стану при вцхиленш на величину r в1д точки (0; 0).
Прокюструемо графiчно зазначенi положення (рис. 1).
На рис. 1 точки О; А; В; C; D; E вцповцають окре-мим станам системи. Початок координат т. О е точкою рiвноваги. В1дршки ОА, OB, OC рiвнi (ОА = OB = OC), тобто в^илення вц стану рiвноваги для вцповцних станiв е однаковим. При цьому, для т. B вцхилення е максимально «позитивним» (покращення стану), у т. A «позитившсть» дещо зменшуеться, а в т. C характеризуемся максимальною «негатившстю» (погiршення стану) вцносно дослiджувано! множини станiв.
Рис. 1. Двов^рний npocTip сташв
Вiдрiзки ОD i OE також piBHi, але розташування точок D i E на oci вiдповiдаe нейтральному впливу на за-гальний якiсний стан системи.
Доцкьно припустити, що piBern позитивность нeгативностi (покpащeння-погipшeння) визначаеться величиною cos 0. Адже cos 0 = 1 (точки, розташоваш в додатному напрямку оа Ох; наприклад, т. В), cos п = -1 (точки, розташоваш у вц'емному напрямку ой Ох; на-ж 3ж
приклад, т. С), cos — = cos -j- = 0 (точки, розташо-ванi на осi Оу; наприклад, т. D i т. E).
Подiбна тригонометрична залежшсть характеризуе пpостip як вкесиметричний, тобто точки (стани), розташоваш симетрично вцносно осi Ох, е е^валентними з точки зору ккьюсного та яюсно-го вiдхилeння вц початку вiдлiку.
Отже, у полярних координатах (г; 0) система (6) набувае форми
vL + Yl. + YL YL. — v2 = F— M
Í + Vr + n Fr '
t r r в r r
vL + v vL + vA. YL + YlXL
с 1M
: Fe---в
r в
а рiвняння «збереження ресурсiв» (5)
— + Yt = о.
(7)
(8)
Тобто, для визначення динамжи системи необх1д-но сум1сно розв'язати р1вняння (7), (8), як1 мктять як нев1дом1 функц!! уг (г, в), у@ (г, в), М(г, в) при в1домих значеннях екзогенного впливу F , Fe.
У сво!х попередн1х досл1дженнях на шдстав1 фе-номенолог1чного п1дходу до вивчення економ1чно! пове-д1нки автором представлено! роботи були запропонова-н1 таю поняття, як «економ1чне джерело», «економ1чний ст1к» та «економ1чний диполь» [3].
Розвиток запропоновано! концепц!! сл1д вбачати в тому, що побудована у вигляд1 системи (7), (8) грунтовна поведшкова модель е аналог1чною до р1внянь динам1ки суцкьного середовища [10], що э шдставою для засто-сування в1дпов1дних наявних методик задля подаль-
A
С
B
x
r
ших дослцжень особливостей економiчноl поведiнки соцiально-економiчних агентiв.
Зокрема, з огляду на форму рiвняння (8), можна говорити, що iснуе така функцiя Ч (г, в), що
1 ёЧ 1 ёЧ
у„ =±-
. , Уа = ±- .
г 2вт в ё в г в ёг
Вибiр верхни або нижни знакiв е довкьним та здшснюеться на основi додаткових умов.
Постановка форм (9) у рiвняння (8) природньо пе-ретворюе останне на тотожшсть, а задача зводиться до системи (7), яка мiстить двi невiдомi функци Ч(г, в) та М(т, 9).
Функцiю Ч(г, в), з огляду на [10], будемо назива-ти «функщею руху» адже геометрично вона вцображае так званi «лiнiй течГ1», яю при усталеному русi сшвпада-ють з траекторiями, що дозволяе визначити топологш вiдповiдних перетворень, у нашому випадку, в просторi станiв.
Якщо дослiджуваний процес е усталеним 1 таким, що вцбуваеться або при вцсутносй екзогенних фак-торiв, або при 1х трансформаци в ендогенш (внутрiшня мотивацiя), то мае мкце умова Рт = Р9 = 0, а система (7) за допомогою елементарних перетворень зводиться до одного рiвняння
Л
(9)
Vz
М (г, в) +— = М о,
де
V = ^у2г +У2„
(10)
(11)
а М0 - стала величина, яка характеризуе мотивацiйну величину «бажання...» у сташ спокою (задоволення). Так, для домогосподарства задоволення потреб характери-зуеться величиною М0 = 0, а стратегш розвитку бiзнес-структури супроводжуеться значеннями М0 > 0.
Рiвняння (10) описуе зв'язок мiж полем швидко-стi матерiального руху та полем мотиваци. При цьому перший доданок у рiвняннi (10) будемо називати «зму-шуючим», а другий - «компенсуючим».
ВИСНОВКИ
У роботi розглянуто задачу кругообиу розподке-них у просторi ресурсiв, який супроводжуеться перма-нентним процесом '1х замiщення або вцтворювання.
Запропонований пiдхiд передбачае аналпичне ви-значення векторного поля швидкост змiн, якi вцбува-ються у просторЬ Це, своею чергою, дозволяе викори-стовувати вiдповiднi диференцiальнi оператори.
Застосування цього алгоритму з огляду на ращ-ональшсть економiчноl поведшки дозволили побуду-вати динамiчну модель (2), (4), в якш як мотивацшний фактор обрано вiдхилення дшсного стану сощально-економiчного агента в1д бажаного. Модель узгоджуеть-ся з принципом гранично'1 корисност (У. С. Джевонс, К. Менгер i Л. Вальрас) [11].
Запропонована модель представлена як у просто-рi розмщення, так i у просторi сташв. При цьому, засто-
сованi в просторi стану полярнi координати дозволяють оцiнити не лише кiлькiснi, а й яюсш показники.
Уведення простору станш дозволяе дослiджувати соцiально-економiчнi процеси, притаманш постшдустрь альнiй економiцi та економщ знань, в умовах яких на перше мiсце замiсть територiальних характеристик у гео-графiчних координатах виходять даш про '1х сощально-економiчний стан.
Застосування запропонованого ранше феномено-логiчного пiдходу дозволило ввести у розгляд «функцш руху» ресурйв, яка, як вiдзначалося вище, повшстю вь дображае геометричну структуру процесу, тобто е ефек-тивним шструментом якiсного та, як наслiдок, ккьюс-ного аналiзу.
Пiдстановка в систему (7), (8) значень компонент швидкост (9) дозволила отримати рiвняння (10), яке автор пропонуе штерпретувати як «рiвняння збереження загально'1 мотиваци» для стацюнарних процесiв, якi вц-буваються при вiдсутностi зовнiшнього макроекономiч-ного впливу.
Tрансдисциплiнарнiсть отриманих результатiв пiдтверджуеться тим, що побудована у вигля-дi системи (2), (4) поведiнкова модель е анало-гiчною до рiвнянь динамiки суцкьного середовища та рiвняння неперервностi середовища, а рiвняння (10) е аналогом рiвняння збереження енерги [10].
Отриманi результати е лопчним та, на нашу думку, коректним розвитком авторсько'1 концепци, яка ба-зуеться на трансцендентальному методi пiзнання.
Напрямки подальших дослiджень вбачаемо в за-стосуваннi побудовано'1 моделi у вивченнi поведiнкових стратегiй соцiально-економiчних агентiв та розширеннi й використанш побудовано'1 моделi за рахунок ураху-вання ефективностi застосування ресурсiв у процей замiщення-вiдтворення. ■
Л1ТЕРАТУРА
1. 1ванов Р. В. Щодо моделювання економiчно''' поведш-ки домогосподарств як вщкритоТ' соцiально-економiчно''' системи / Р. В. 1ванов // Бiзнес 1нформ. - 2014. - № 2. - С. 111-115.
2. Колодрубська Н. В. 1нституцюнальш змши та Т'хшй вплив на економiчну поведiнку суб'£ктiв господарювання / Н. В. Колодрубська // Актуальн проблеми економки. - 2011. -№ 1(115). - С. 16-25.
3. 1ванов Р. В. Концептуальна модель економiчно''' поведшки домогосподарства в умовах самозабезпечення / Р. В. 1ва-нов // Бiзнес 1нформ. - 2015. - № 10. - С. 137-141.
4. Буданов В. Г. Синергетическая парадигма. Синергетика образования / В. Г. Буданов. - М. : Прогресс-Традиция, 2007. -С. 174-209.
5. Оглiх В. В. Моделювання динамки розвитку ринку пра-ц за наявносп зв'язюв мiж пра^вниками / В. В. Ошх, Н. М. За-славська // Вкник ДНУ. - 2009. - Т. 17, № 10 (1). - С. 121-128.
6. 1ванов Р. В. Моделювання рацюнальноТ' дохщноТ' поведшки домогосподарства / Р. В. 1ванов // Економiчний проспр. -2014. - № 81. - С. 64-73.
7. Милованов В. П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация / В. П. Милованов. - М. : Эдиториал, 2001. - 264 с.
8. Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики / Г. Г. Малинецкий. - М. : Ком-Книга, 2005. - 312 с.
9. Лопатников Л. И. Экономико-математический словарь : словарь современной экономической науки / Л. И. Лопатников. - 5-е изд., перераб. и доп. - М. : Дело, 2003. - 520 с.
10. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лой-цянский. - М. : Наука, 2003. - 846 с.
11. Можайкина Н. В. Методологическая основа исследования домохозяйств / Н. В. Можайкина // Вкник мiжнарод-ного слов'янського уыверситету. - Харш, 2008. - Т. 11, № 1. -С. 45-49.
REFERENCES
Budanov, V. G. Sinergeticheskaya paradigma. Sinergetika obrazovaniya [Synergetic paradigm. Synergetics education]. Moscow: Progress-Traditsiia, 2007.
Ivanov, R. V. "Kontseptualna model ekonomichnoi poved-inky domohospodarstva v umovakh samozabezpechennia" [Conceptual model of economic behavior of household in terms of self-sufficiency]. Biznes Inform, no. 10 (2015): 137-141.
Ivanov, R. V. "Shchodo modeliuvannia ekonomichnoi poved-inky domohospodarstv yak vidkrytoi sotsialno-ekonomichnoi sys-temy" [As for modeling economic behavior of households as open socio-economic system]. Biznes Inform, no. 2 (2014): 111-115.
Ivanov, R. V. "Modeliuvannia ratsionalnoi dokhidnoi pove-dinky domohospodarstva" [Modeling the behavior of a rational income households]. Ekonomichnyiprostir, no. 81 (2014): 64-73.
Kolodrubska, N. V. "Instytutsionalni zminy ta yikhnii vplyv na ekonomichnu povedinku subiektiv hospodariuvannia" [Institutional changes and their impact on the behavior of economic entities]. Aktualniproblemy ekonomiky, no. 1(115) (2011): 16-25.
Lopatnikov, L. I. Ekonomiko-matematicheskiy slovar: slovar sovremennoy ekonomicheskoy nauki [Economics and Mathematics Dictionary: Dictionary of modern economic science]. Moscow: Delo, 2003.
Loytsianskiy, L. G. Mekhanikazhidkostiigaza [Fluid Mechanics]. Moscow: Nauka, 2003.
Malinetskiy, G. G. Matematicheskie osnovy sinergetiki [Mathematical Foundations of Synergetics]. Moscow: Kom-Kniga, 2005.
Milovanov, V. P. Neravnovesnye sotsialno-ekonomicheskie sistemy: sinergetika i samoorganizatsiya [Nonequilibrium socioeconomic systems: synergy and self-organization]. Moscow: Editorial, 2001.
Mozhaykina, N. V. "Metodologicheskaya osnova issledovaniya domokhozyaystv" [Methodological basis of household survey]. Vis-nyk mizhnarodnoho slovianskoho universytetu, vol. 11, no. 1: 45-49.
Ohlikh, V. V., and Zaslavska, N. M. "Modeliuvannia dynamiky rozvytku rynku pratsi za naiavnosti zviazkiv mizh pratsivnykamy" [The modeling of the dynamics of the labor market if relations between employees]. VisnykDNU, vol. 17, no. 10(1) (2009): 121-128.
<C
CQ 2
о
=т
о
о
<
о
Ш
