CC BY
132
УДК 621-865-8 В. Г. ХОМЧЕНКО
В. В. КЛЕВАКИН И. В. ЛАЗАРЕНКО А. С. ГОРБАТЫХ
Омский государственный технический университет
ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КИНЕМАТИКИ РОБОТА ТИПА RV-2AJ
ФИРМЫ MITSUBISHI ELECTRIC___________________________
Рассматривается составление обобщенной математической модели кинематики робота типа RV-2AJ японской фирмы Mitsubishi Electric, имеющего широкое применение в промышленности. Модель строится на основе специальных координат и преобразований Денавита—Хартенберга.
Ключевые слова: математическая модель кинематики, система координат, преобразования Денавита—Хартенберга, матрица переходов.
RV-2AJ
Робот RV-2AJ фирмы Mitsubishi Electric имеет достаточно удачную кинематическую компоновку. Четыре степени подвижности, первая из которых с вертикальной осью вращения, а три другие — с горизонтальной, обеспечивают переносное движение схвата в пространстве (рис. 1). Пятая степень подвижности является ориентирующей и осуществляет вращение ( ротацию) схвата вокруг своей оси. Конструкцией робота допускается определенное развитие последнего (пятого) подвижного звена, в частности, захватывающий орган робота может быть смещен относительно оси вращения последнего звена. В этом случае и последняя вращательная пара фактически становится переносной.
В технической литературе отсутствует математическая модель кинематики манитуляторов роботов такого типа, что затрудняет их использование как промышленности, так и в учебном процессе, ограничиваясь возможностями, заложенными фирмами-раз-работчиками в программном обеспечении роботов.
В настоящей статье ставится задача получения математической модели кинематики роботов, имеющих взаиморасположение кинематических звеньев и пар, подобное роботу RV-2AJ фирмы Mitsubishi Electric.
В основу получения математической модели кинематики робота положим специальные системы координат и преобразования Денавита-Хартенберга [1-5].
Введем необходимые обозначения кинематических звеньев и пар манипулятора робота (рис. 2, 3) в соответствии с правилами, предложенными Дена-витом и Хартенбергом. Неподвижному звену присвоим нулевой номер, первому подвижному звену, соединенному со стойкой, номер 1 и далее по порядку до пятого оконечного подвижного звена, на котором закреплен схват.
Кинематические пары обозначим символом Ai, у которого нижний индекс i равен меньшему из но-
Рис. 1. Робот ЯУ-2АЛ
меров звеньев, образующих данную кинематическую пару. Таким образом, индекс і, связанный с кинематическими парами, будет принимать значения от 0 до 4.
Важным в методологии Денавита-Хартенберга является выбор расположения осей и Х; специальных систем координат и их начала Оі (і = 0, ... 4). Ось Уі назначается так, чтобы система координат была правой.
Все оси (і = 0, ... 4) должны быть направлены по осям вращения кинематических пар (рис. 3). Начало координат О0 инерциальной (базовой) сис-
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
—¿?4 - —(V4
Рис. 2. Системы координат манипулятора робота RV-2AJ
Рис. 3. Кинематическая схема робота типа RV-2AJ
темы координат расположим на оси Ъ0 в основании манитулятора (рис. 2, 3). Так как ось пересекается с осью Ъ0, а ось Ъ4 — с осью Ъ3, то начала координат 01 и 04 необходимо расположить в точках пересечения названных осей координат (рис. 3). Оси Х1 и Х4 направляются перпендикулярно плоскостям, образуемым соответственно осями Ъ0, Ъ1 и осями Ъ3, Ъ4. Ось Ъ2 параллельна оси а ось Ъ3 — оси Ъ2. При таком взаиморасположении осей Ъ1, Ъ2 и Ъ3 оси Х2 и Х3 направим по оси симметрии звеньев 2 и 3 в сторону оси Ъ с большим индексом. Тогда начала координат 02 и 03 оказываются в точках пересечения упомянутых осей с осями Ъ2 и (рис. 3). Введенные системы координат позволяют определять положения четырех подвижных звеньев в неподвижной инерциальной системе координат О0Х0У0Ъ0.
Систему координат 05Х5У5Ъ5, связанную с пятым подвижным звеном и определяющую положение схва-та в инерциальной системе координат, следует расположить на этом звене особым образом. Начало координат 05 поместим в центр (в характерную точку) схвата (рис. 3), ось Х5 направим перпендикулярно оси Ъ4, так, чтобы она лежала в плоскости, образованной осью Ъ4и характерной точкой схвата. Ось Ъ5 расположим параллельно оси Ъ4 и сонаправленно с ней.
Так как сват на последнем звене может располагаться различным образом, то для задания его положения на этом звене необходимо иметь дополнительную систему координат, жестко связанную с ним. Закрепим на пятом звене вспомогательную систему координат 05уХ5уУ5уЪ5у так, что начало координат 05У совпадет с точкой У5 (рис. 2, 3), расположенной на оси Ъ4 на известном из конструкции манипулятора расстоянии Б5М от оси вращения четвертого звена, ось Ъ5У будет однонаправлена с осью Ъ4, а ось Х5У при угле поворота ф5 звена 5 вокруг своей оси, равным нулю, будет параллельна оси Х4 и одно-направлена с ней (на рис. 3 угол ф5 не равен нулю, поэтому направление оси Х5У не совпадает с направлением оси Х4).
Конструктивное положение схвата в системе координат 05Х5У5Ъ5 будем задавать углом фу между осями Х5у и Х5, расстоянием а5у между осями Ъ5у и Ъ5 и расстоянием Б5У между осями Х5У и Х5. Если конструктивное расположение свата на оконечном звене будет задано как-то иначе, например с помощью координат, то параметры фу, а5у и Б5У могут быть рассчитаны по достаточно простым формулам.
В основу методики Денавита-Хартенберга положено определение положения і-й системы координат
Значения параметров манипулятора робота
Таблица 1
Номер подвижного звена 1 2 3 4 5
Параметры
Фі Фі Ф2 Фз Ф4 Ф5
Si Si 0 0 0 S5
ai 0 a2 a3 0 a5v
Oj 0,5п 0 0 — 0,5п 0
в (1 — 1)-й (1=1, ..., 5) с использованием четырех параметров, а именно, с помощью:
1) угла ф1 поворота (1— 1)-ой системы координат вокруг оси до совпадения направлений осей Х1-1 и Х;;
2) перемещения на величину (1— 1)-ой системы координат по оси до совпадения осей Х1-1 и Х;;
3) перемещения на величину а; (1— 1)-ой системы координат по оси X. до совпадения начал координат (1 — 1)-ой и 1-ой системы координат;
4) угла а1 поворота (1— 1)-ой системы координат вокруг оси X. до совпадения направлений осей 2. и 2,-1-
Так как в рассматриваемом роботе все кинематические пары вращательные, то его обобщенными координатами будут углы поворота ф- (1=1, ..., 5), которые могут задаваться дискретно или быть функциями времени. Остальные три параметра Б1, а1 и а1 (1=1, ..., 5), определяющее положение 1-го звена относительно (1- 1)-го, в данном роботе имеют постоянные значения.
Значения этих постоянных параметров зависят, во-первых, от конкретной конструкции робота, а во-вторых, от принятого расположения систем координат.
Укажем значения четырех перечисленных выше параметров ф1, Б., а. Ь а- (табл. 1). В табл. 1 значения параметров, определяющиеся лишь принятым расположением систем координат, проставлены числами, а остальные параметры, которые могут меняться в зависимости от времени или быть различными для конкретной конструкции манипулятора данного типа — соответствующими символами. Параметр Б5 следует рассчитывать по формуле Б5 = Б5М + 85у. Применительно к роботу ЯУ-2ЛЛ конструктивные параметры имеют следующие значения, мм: Б1 = 300, а2 = 250, а3= 160, Б5М = 72.
Математической модели кинематики манипулятора робота типа ЯУ-2ЛЛ с использованием однородных координат будет являться произведение пяти результирующих матриц 4 X 4 перехода от 1-ой кинематической пары к (1- 1)-ой (1=1, ..., 5), то есть
где
M =м *м *м *м *м
05 01 12 23 34 45'
(1)
Cosjj - Sinjj * Cosai Sinjj * Sinai Cosji * ai Sinjj Cosji * Cosai - Cosji * Sinai Sinji * ai 0 Sinai Cosai Si
0 0 0 1
Шесть наддиагональных элементов матрицы M05 определяют положение схвата в инерциальной системе координат O0X0Y0Z0, при этом первые три элемента четвертого столбца есть координаты x05, y05, z05 характерной точки схвата O5, первый и второй элементы третьего столбца, а также первый элемент второго столбца — направляющие косинусы углов соответственно между осями Х0 и Z5, Y0 и Z5, Х0 и Y5‘
Предложенная математическая модель (1) в сочетании с табл. 1 позволяет по достаточно простой аналитической зависимости определять положение свата при любых конструктивных значениях параметров S., а. и a. (i= 1, ..., 5) и, главное, при различном расположении схвата на последнем подвижном звене. В случае позиционного или контурного управления полученная математическая модель может быть использована для решения прямой и обратной задач кинематики роботов данного типа.
Библиографический список
1. Шахинпур, М. Курс робототехники [Текст] / М. Ша-хинпур — М. : Мир, 1990. — 527 с.
2. Хомченко, В. Г. Мехатронные и робототехнические системы [Текст] : учеб. пособие / В. Г. Хомченко, В. Ю. Соломин. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2008. — 160 с.
3. Denavit, I. A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices [Текст] / I. Denavit, R. S. Hartenberg // «Journal of applied mechanics», v. 22. — 1955. — № 2. — P. 215-221
4. Denavit, I. Approximate synthesis of spatial linkages [Текст] / I. Denavit , R. S. Hartenberg // «Journal of applied mechanics», v. 27. - 1960. - № 1. - P. 201-206.
5. Фу, К. Робототехника [Текст] : пер. с англ. / К. Фу, Р. Гонсалес, К. Ли. - М. : Мир, 1989. - 624 с.
ХОМЧЕНКО Василий Герасимович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация и робототехника».
КЛЕВАКИН Владимир Викторович, ассистент кафедры «Автоматизация и робототехника». ЛАЗАРЕНКО Ирина Валерьевна, старший преподаватель кафедры «Автоматизация и робототехника». ГОРБАТЫХ Александр Сергеевич, аспирант кафедры «Автоматизация и робототехника».
Адрес для переписки: ЫНШ@ша11.ш
Статья поступила в редакцию 28.12.2011 г.
© В. Г. Хомченко, В. В. Клевакин, И. В. Лазаренко,
А. С. Горбатых
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
