Обобщенная функция неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2010, том 20, № 2, c. 93-103

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 681.519

© Е. Ю. Бутырский, И. А. Кувалдин, В. И. Тарханов, В. П. Чалкин

ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Одним из фундаментальных понятий теории сигналов, лежащей в основе теории фильтрации и обнаружения сигналов, является функция неопределенности. Она широко используется при выборе классов сигналов в связи, радиолокации, гидроакустике. В настоящей статье проведено обобщение и построение широкополосной функции неопределенности сигналов, определенной на двухпараметрической группе преобразований. Рассмотрены свойства и общие условия ее аппроксимации узкополосной функцией неопределенности.

Кл. сл.: функция неопределенности, двухпараметрическая группа преобразований, сигнал, разрешающая способность, соотношение неопределенности

ВВЕДЕНИЕ

При оценке точности измерения задержки и доплеровского сдвига, анализе узкополосных сигналов и их синтезе при различных ограничениях широко используется функция неопределенности (ФН) Вудворда [1-5]. Ее применение ограничивается тем, что она учитывает эффект Доплера лишь путем гетеродинного приближения, пренебрегая, по существу, доплеровским искажением модулирующей функции. Однако именно это искажение часто ограничивает возможности гидролокаторов и систем связи в гидроакустике. Вопрос построения широкополосной функция неопределенности (ШФН) рассматривался и с позиций теоретико-группового подхода [4, 6]. Были введены мультипликативная и антипараболическая функции неопределенности, рассмотрены их свойства, определены области применения и условия гетеродинной аппроксимации. Но если в радиолокации условия узкополосного приближения, как правило, выполняются, то в гидроакустике вследствие значительно более низкой скорости распространения колебаний, особенностей океанической среды, необходимости использования низких частот и широкополосных сигналов в гидролокаторах это не всегда имеет место. Эти ограничения вызвали потребность в существенной модификации широкополосной функции неопределенности для более точного описания характеристик современных гидроакустических средств.

Целью данной статьи является синтез функции неопределенности, определенной на произвольной двухпараметрической группе преобразований, а также рассмотрение условия аппроксимации некоммутативной группы прямым произведением двух коммутативных групп. В статье предложена

широкополосная функция неопределенности, связанная с биспектром. На основании этой связи может быть разработан алгоритм вычисления ШФН, в том числе для длинных гидроакустических волн.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ЗАДАННОЙ НА ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Положим, что на множестве R (или части его) задана двухпараметрическая группа преобразований G. Все двухпараметрические группы изоморфны группе линейного преобразования вещественной прямой, а их множество задается выражением [7]:

g(а, а): t ^ Lч + L(а)}, (1)

где L (.) — непрерывная, дифференцируемая и обратимая функция; а, а — параметры группы.

Двухпараметрическая группа G состоит из двух подгрупп Ga и Gа. Причем группа Ga является нормальной подгруппой группы G, а подгруппа Gа изоморфна факторгруппе G \ Ga. Преобразования времени (носителя сигнала) индуцируют преобразования сигнала с сохраняемой нормой:

ДО^ДМ]] (2)

а

Множитель в выражении (2) связан с энергетическими соотношениями, норма преобразованного сигнала по мере dL (t) должна быть равна норме

g(а, a): s(t) s

V«

исходного сигнала 5 (t) . С учетом (2) введем ФН, являющуюся аналогом ШФН, рассмотренной в [1]:

RG(а, а) =

1Г | ^ К

\/а

L

L(t) - L(a)

а

)dt.

Я

а а) = 4а | ^ (а/)е'2^(аМ/.

Я,

Я,

1 Г

г(а, а) = ^= I 5^)5 ыа М

1 t 1а

t ''

(а, а) = 4^ | Sм (/^* (а/)е'^1п(аМ/

Sм (/) = |)е'2^) dt.

равно энергии сигнала

Я

Ь) Симметрия по параметру а:

Яв(а-1, а) = Яв |а, L-1 L(a) I а

с) Симметрия по параметрам а и а одновременно:

RG{а-1, ^Ч-L(a)]} = Яв\а, V

' L(a)'

а

(10)

(3)

Если использовать спектральное представление сигнала на группе в по мере dL (t) = (t)dt, получим

(4)

К примеру, отметим, что когда нормальной подгруппой является мультипликативная подгруппа, тогда L^) = 1п (t), L- (.) = ехр(.), а ФН является мультипликативной широкополосной:

3. Объем под квадратом модуля ШФНГ. Для

получения выражения, описывающего объем

под \Яв(а, а)|2, воспользуемся одним из выражений (5). Обозначим интересующую нас величину через V

Vg =Ц| Яв (а, а)|2 £-1(а)ёа&а. (11)

G

Подставляя, в последнее выражение определение ШФНГ через спектры, и используя фильтрующее свойство дельта-функции, после несложных упрощений получаем

V =

I (V )| 2dv

| ^(и)|(и)&и

= ЕЕ

(12)

(5)

(6)

Рассмотрим основные свойства ШФН на группе G (ШФНГ).

1. Наибольшее значение. В силу проведенной нормировки наибольшее значение ШФНГ

по мере

dL ^ ) = % 1 (t) dt и достигается соответственно в точке (а, а) = (1, L- (0)). В этом можно убедиться, подставив значения параметров в выражение (3) или (4). В результате имеем:

где Еа, Еа — соответственно энергия сигнала 5 ^), введенная на базисе представлений нормальной подгруппы ва группы в и энергия сигнала 5 (t), введенная на подгруппе ва .

4. Преобразования сигнала, не изменяющие свойства ШФНГ. Такие преобразования дают множества сигналов, в пределах которых возможен выбор форм, наилучшим образом удовлетворяющих требованиям к проектируемому радиоэлектронному средству. Кроме того, терминология инвариантности позволяет представить результаты в более общем виде. Для получения такого обобщения используем понятие взаимной ШФН на группе в (ВШФНГ) Яв (а, а) :

:(а, а) = ||5^)|2 ^^^ =

в

да

I ^ (/)|2а/=Е%. (7)

2. Симметрии ШФНГ.

а) Симметрия по параметру а

Яв {а, L-1[-L(a)]} = Яв {а-1, L-1[аL(a)]}. (8)

Яв (а, а) =

Г15(t) Р'

-у/а

L-

) - L(a)

а

^ )dt,

(13)

Я.

Да, а) Sg(/)Р;(а/)е'2^1п(//

(9)

где 5 ^) — аналитический сигнал, определенный на нормальной подгруппе ва; р ^) — комплексная функция отклика фильтра; (/) = = ^ {Р ^)} — передаточная функция фильтра в базисе функций ехр {/2рр^ ^)] .

*

а

g

а) Если 5 (t) = sl [L- (L (t))] и p (t) = ■■p [L-1 (L (t))], то будет

гт иметь место соотношение

\RvG(a, a)| = Rj«, L-1(-L(a)] .

(14)

IRvg(«, a) = RvGi(a, a)|.

(15)

То есть ВШФНГ не изменится, если спектр сигнала и отклика (по мере нормальной подгруппы) умножить на exp jiklog ( f)}.

c) Если s1 (t) = s (t) exp jikL (t)}, p1 (t) = p (t)x x exp jikL (t)},

то:

\RvG(a, L- (0)) = RvCT(a, L-1(0)).

(16)

d) Для 51 (t) = ^¡кs[Д1 (кД^))] и р1 (t)^^/kpx х[ 171 (кД ^))] имеет место следующее равенство:

RyG (а, а) = RУG1 [а, Д1 (кД(а))]. (17)

e) Если 51, (f ) = f (f 1), р1, (f ) = = f ~1Р (f 1) , то получим:

^ (а, Д-1(0)) = ^Ч0))| =

= |RlvG (а, Д-1(0))|, (18)

где (.) — ВШФНГ, в случае если поменять местами сигнал и отклик в ФН RvG1 (.).

Таким образом, преобразование, сохраняющее энергию, не влияет на сечение Д (а) = 0 ВШФНГ,

если сигнал и отклик фильтра поменять местами.

Нетрудно показать, что для любых преобразований спектра сигнала 51 (f) = У!\п/'п~15 (fn) при вещественном п имеет место соотношение

Rg (a, L-1(0)) = R1G («, L-1(0)).

(19)

где RG (.) и R1G (.) — ШФНГ соответственно для s (t) и s1 (t) .

f) Если s1 (t) = L-

1 1

l_ L (t)] 5 L L (t)]

и P1 (t) =

= L-

RG(a,a) — ВШФНГ сигнала s1 (t) и фильтра (или сигнала) p1 (t).

b) Если P1g (f) = Pg (f) expjik log (f)},

^ (f ) = Sg (f) exp jik log (f)},

где log (.) берется по любому основанию, а k — const, то:

1 1

L L (t)] p L L (t)]

, то справедливо соотношение

(а, ДЧ0))| = ^(а"1, ^Ч0))| = = (а, Д-1(0))|. (20)

g) Объемы тел неопределенности для сигналов (f) и 5 (f 1) равны между собой. Что вытекает из равенства (20). Кроме того, для сигналов вида л[/5 (f 1) объем тела неопределенности всегда конечен и равен объему ФНВ. Из анализа ШФНГ вытекает, что V' зависит от

формы сигнала и что, если спектр содержит нулевую частоту, интеграл, определяющий Еа, расходится и V' не существует. Известно, что независимость объема для ФНВ от формы сигнала позволяет придать законченный физический смысл самому понятию "неопределенность", а также использовать это свойство для синтеза сигналов с заданными свойствами. Аналогичными "неестественными" свойствами обладает и ШФН, определенная и исследованная в работе [1]. Там же были определены условия, при которых можно добиться инвариантности объема ФН от формы сигнала.

В обзоре [1], приведены мнения различных авторов относительно поведения ШФН в окрестности нуля. Некоторые авторы полагают, ШФН представляет практический интерес только в окрестности оси задержек, т. е. для коэффициентов сжатия, близких к единице, вследствие чего объем также будет слабо зависеть от формы сигнала. Инвариантность объема ШФН возникает как следствие принятия гипотезы о невозможности распространения в среде постоянной составляющей и ни один источник не может излучать на нулевой частоте, так что верхний предел в определении объема ФН всегда конечен. Альтернативной точкой зрения на природу ШФН следует считать подход, основанный на постулировании факта конечности энергии сигнала по аддитивной и мультипликативной мерам [5]. Таким образом, существует несколько компромиссных путей для согласования выражения для объема с интуитивными взглядами на природу неопределенности, основанных прежде всего на ограничении области допустимых значений коэффициента сжатия или применении узкополосного приближения. Однако ни один из этих путей не разрешает в полной мере вопроса об инвариантности объема к форме сигнала. Все сказанное выше в полной мере относится и к определенной формулами (3) и (4) ШФНГ.

Сформулируем теорему единственности для ВШФНГ.

Представим ВШФНГ в следующем виде (что нетрудно сделать путем замены переменной):

Яв (а, а) =

Во временной области выражение, определяющее узкополосную ФН на прямом произведении подгрупп, описывается выражением

Rg (П, а) =

+ L(a)] р* (t1(t )dt, (21) в

(22)

или (а, а) = \1аЯ (а, а).

Теорема 1. Для того чтобы произвольная

функция двух переменных Я (а, а) принадлежала

классу ФН, необходимо и достаточно, чтобы она образовывалась следующим образом:

Sg (У1)Р;(/2) = IЯ/ а 1 е'2^(а)^Ша (21) в V /2 у

для любых / , не равных нулю, и чтобы интеграл | Я (а, а)&а существовал и не зависел от а.

Теорема 2. Если Я1(а, а) соответствует сигналу 51 ^) , Я2 (а, а) — сигналу 52 (t), то из равенства этих функций Е1 (а, а) = Я2 (а, а) следует равенство сигналов с точностью до константы 51 ^) = С52 (t), модуль которой равен единице.

Доказательство теорем 1 и 2 аналогично доказательству теорем для ШФН, приведенному в [1,

4].

Рассмотрим условия, при которых ШФНГ может быть аппроксимирована узкополосной ФН на двухпараметрической группе, являющейся прямым произведением двух коммутативных подгрупп в = ва х вь . Возьмем выражение (5) и представим а = 1 + \ . Тогда

Яв (3, а) =

= ТТТ/1 Sg (/[(1+р)/у 2ж/Ца «

Я

«I Sg (/ )Sg (/ + П)]е' 2^(а М/ = Яв (П, а).

Я

Таким образом, при условии, что Р/ ~ Р/е ~ 3/н ~ Р/е = П , преобразование гомотетии на группе в может быть заменено равномерным частотным сдвигом в области группового спектра. При этом ШФНГ может быть аппроксимирована узкополосной ФН на группе (ФНГ) вида

Яg (П, а) = | Sg (/ + П)]е'2^(аМ/. (21)

Определить условия аппроксимации ШФНГ узкополосной ФНГ можно также, если воспользоваться введенными выше понятиями числа степеней свободы сигнала N и базы сигнала на

группе. Число степеней свободы сигнала в базисе представлений нормальной подгруппы ва группы в определяется выражением вида

N =2/Т,

g ■> g g'

а база сигнала — В = 2ЯТ.. Очевидно, что

числа степеней свободы для сигнала, подвергнутого преобразованию гомотетии и не подвергнутого, должны отличаться не более чем на один отсчет, т. е.:

1а2/Т -2/Т |< 1.

| ^/g g ^ g|

Откуда получаем условие узкополосной аппроксимации:

|а -1 Ng = Р\Ng < 1.

(23)

В случае если используется понятие комплексной огибающей на группе, то условие доплеров-ской аппроксимации запишется как

|а -1|В = Р\В < 1.

g " g

(24)

Узкополосную аппроксимацию можно представить в виде диаграммы

L-1[аL(t) + L(a)] ^

[ L"1[ L(t) + L(a)],

| / + П.

(25)

Таким образом, двухпараметрическое преобразование, действующее в области времени, заменяется двумя однопараметрическими преобразованиями, действующими соответственно во временной и в частотной областях. С другой стороны, смысл аппроксимации заключается в том, что согласованный фильтр для принимаемого сигнала

может иметь вид Sg (/ ±П), а не ^JаSg (а/) .

Аппроксимация (25) с теоретико-групповой точки зрения отображает тот факт, что все двухпа-раметрические группы изоморфны или линейной группе преобразований вещественной прямой, или группе сдвигов плоскости. Применительно к сигналам линейное преобразование времени заменя-

ется трансляцией в плоскости (1, f) :

,(а, О):(1,/) ^(L-1[L(t) + Д(а)],/ + О). (26)

5. Параболическая фаза (время). Если Ш* (О,а)

( к ^

соответствует сигнал s (t) , то R I О +— Д (а), а

* I р

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УЗКОПОЛОСНОЙ ФНГ соответствует сигнал .у (t)

(t)ехр{/к[Д(t)]2} . Для до-

1. Мультипликативная ФН. Частным случаем узкополосной ФНГ, является мультипликативная ФН [1, 5]. В этом случае Д(1) = 1п(1), а Д (а) = 1п (а) (здесь а имеет смысл доплеровского параметра).

г dt

г (а, Ь) = [ .(1).* (аt )е' 2*ь ЫГ)—, М = R + , (27)

t

,(а,а): t ^ а1а.

(28)

R

(а, Ь) = | .(1 ).'

-pt +1

/2яЬ dt

е 1 —

2 '

(29)

Ь = / (а-1).

,(а, а):1^

а1

-р1 +1

(30)

казательства достаточно произвести прямую подстановку в определение ФНГ (21).

Если, к примеру, положить огибающую сигнала

в интервале времени

(

Д (т)

2

(

Д (т)

л

2

постоянной А, то новый сигнал будет представлять собой ЛЧМ-сигнал по мере dL (1 ) =

где Ь = р/т — частотный сдвиг, обусловленный параметром ускорения.

Мультипликативная функция неопределенности, реализованная на группе преобразований плоскости (:, /) с элементом преобразования

, (а, Ь), является аппроксимацией ШФН (5),

реализованной на группе преобразований времени следующего вида [4, 5]:

= А ехр{/к [ Д (1)]

2

Г

6. Параболическая фаза (частота). Если Rg(О, а) соответствует сигнал .(:), то

R,

Д-1 [ Д (а ) + — о), О

соответствует сигнал

2. Инверсная ФН. Если Д(1) = -1 1, имеем инверсную функцию неопределенности, задаваемую формулой

Функция неопределенности (29), является аппроксимацией ШФН, реализованной на группе преобразований следующего вида:

3. Наибольшее значение. ФНГ принимает в точке (0,1г1 (0)) наибольшее значение. Это нетрудно показать, подставив нулевые значения параметров в определение ФНГ.

4. Свойства симметрии.

Rg (О, а) = Ш* [-О, ^Ч^а))], (31)

Ш (О, а) = Ш [-О., ^Ч^а))] . (32)

{5* (/)ехр{/—/2}}. Доказательство можно получить прямой подстановкой в (32).

7. Инвариантность объема тела неопределенности. Объем тела неопределенности узкополосной ФН на группе преобразований, полученный прямым произведением двух подгрупп, не за-

I |2

висит от формы сигнала и равен Ш* (0, Д-1(0)) . Формально это утверждение записывается в виде

Ц| Ш*, (О, а)|2 £-1(а)ёа d0 = ^ (0, Д-1(0)|2. (33)

G

Последнее свойство обычно называют "принципом неопределенности", или "законом сохранения неопределенности". Суть его заключается в том, что общая потенциальная неопределенность одинакова для всех сигналов, обладающих одной и той же энергией (в данном случае энергия понимается в групповом смысле, т. е. по мере (1) dt). Это одно из наиболее важных свойств

функции неопределенности, т. к. оно означает, что все сигналы одинаково хороши (или плохи), если они сравниваются без учета условий, в которых сигнал распространяется.

8. Свойство самотрансформации. Инвариантность ФНГ относительно двойного преобразова-

I |2

ния Фурье: если Ш* (О, а) — есть ФНГ, то имеет место соотношение

1

1

III (П, а)|2 е'2^^* ^^(а^а =

= Я (П1, аА .

(34)

Доказательство этого свойства проводится аналогично предыдущему — путем прямой подстановки и использования фильтрующих свойств дельта-функции.

9. Преобразования ФНГ. Координатное преобразование унимодулярной матрицей

(

Л =

Л

g11 g12 V g21 g22 У

Л = 1.

Л = Р (Т1) Q (Р1) Р (Т2);

Р(Т) =

Q(Р) =

(1 -г11 0 1 ( 1 01 -Р 1

1 -

g 21

РТ) =

1 - g 22 g 21

(1 -т21 01

р1 = - g 21

5 р (t) = 5(Г )е 2

Х2(г)

5е (t) = 5(t) *е 23 ,

в). Знак свертки " *" следует понимать как групповую свертку по мере (г) dt. Другая интерпретация индуцированного преобразования (39) — это представление его как интегрального преобразования Френеля на группе ва, т. е. Frg {.}, а сигнал в данном случае представляется как сумма последовательно смещенных функций Френеля Frg .

Тогда

^ (1

(г) = Frg {5 (t)}.

(40)

(35)

Преобразование матрицей Л, сохраняющей объем "тела неопределенности", приводит к изменению ФНГ по следующему закону:

Л{Я* (П, а)} =

= ^ (gl1П + gl2L(а), ^ (g22П + g22L(a)). (36)

Рассмотрим, как изменяется сигнал при координатных преобразованиях ФН.

В случае когда g21 не равно нулю, матрица преобразования координат может быть представлена произведением простейших матриц [6]:

(37)

Матрица Р (t) индуцирует преобразование функции 5 (г), которое записывается в виде

(38)

и соответствует действию линейного частотного модулятора (по мере %-1 (t)). Матрица Q(Р) индуцирует преобразование

(39)

которое соответствует действию фильтра с квадратичной фазочастотной характеристикой (спектр понимается как спектр по неприводимым представлениям нормальной подгруппы ва группы

Последовательность операций по преобразованию функций является обратной последовательности операций по преобразованию координат. Результирующее преобразование функции 5 (г) , индуцируемое матрицей Л, записывается в виде

) х2(г) тг12 (г)

5а (t) = 5(1)е 2 * е 23 е 2 .

(41)

В случае, когда g12 не равно нулю, матрицу Л можно представить в виде

Л = Q(\)Р (Т1)Q\); (42)

Р =

1 - g 22 gl2 !

Т1 =- gl2, Р2 =

1 -

gl2

Тогда преобразование 5 (t), индуцированное преобразованием координат функции неопреде-

ленности, запишется как

Х2 (г) Ь2(г) ~

5а (г) = Ыг) * е 2/1 е

Х2(<) 2/2

(43)

Если g21 = g12 = 0, преобразование 5 (I) индуцируется матрицей

(k 0 1 0

Л = S(k)=

= Q(Рl )Р(т ЖР2)Р(-т),

(44)

где: т — произвольная постоянная; k = g22 = а111;

Р1 =

k2 - k

Т1 = I;

Р2 =

1 -1

Преобразования сигнала записываются следующим образом:

Г ХМ ,т1ь2(!) 1 Х2(г) .тЬ2(г)

5а (г) = Г 5(1) * е 2/3 е 2 Г* е 2/2 е' 2 . (45)

2

т

т

т

Выражение (45) показывает, что линейное изменение масштаба времени на группе Ga может быть осуществлено с помощью двух частотных модуляторов по мере % 1 (1) dt и двух фильтров с квадратичной фазочастотной характеристикой спектра 5* (/).

Фурье-преобразование функции . (1) также может рассматриваться как индуцированное координатным преобразованием. Если Е* {. (1)} =

= (/)' то Р* (О а)} = ^ (-О а)}. При

этом матрица преобразования координат записывается в виде

F =

( 0 1 ^

V"1 0,

Откуда получаем:

= P("1)Q(1)P("1).

Г ДмЛ iLSíl

sA (t) = \s(t)e 2 * e 2 Le 2 .

(46)

(47)

10. Эффективные ширина спектра и длительность сигнала ^, Т% . Квадраты ¥% и Т% определяются выражениями

T2 =-

1 dRe (Q, a)

E da2

F2 =-

1 dRe (Q, a)

E SQ2

(Q = L 1(0) = 0) = 1

=—j L2(t)s2(t)E 1(t)dt,

Eg G

(a = L 1(0) = 0) =

=E j (f_fg )2i ^ (f )i2f.

^g R

(48)

Выражения (48) совпадают с известными определениями, что и следовало ожидать.

11. Разрешающая способность по параметрам а и О. Разрешающая способность определяется в соответствии с формулами

1 П |2

T(a) = — j|Rg(0, a)| £_ 1(a)da,

Eg G

12

F(Q) = —j|Rg(Q, L (0)| dQ.

Eg R

(49)

(50)

це, а с прямоугольной огибающей 2/3. Аналогичные соотношения имеют место и в случае ФНВ (но мера dt).

12. Правило умножения.

а) Если Ш (О, а) есть функция неопределенности, соответствующая и (1), а (О, а) — функция неопределенности, соответствующая сигналу V (1), то для произведения этих сигналов

г (1) = и (1) V (1) функция неопределенности задается аддитивной сверткой ФНГ сигналов и (1) и V (1) по оси параметра О:

R

Мера способности к одновременному разрешению по параметру a и параметру Q для сигнала определяется произведением T (a)F (Q) . Для импульса вида sin fgL (t)J и гауссовой огибающей по мере Е -1 (t)dt произведение равно едини-

(О, а) = | Ши (О, а)(О - а)ёО . (60)

Ь) Если Ш (О, а) есть функция неопределенности, соответствующая и (/) , а (О, а) — функция неопределенности, соответствующая сигналу V (/) , то для произведения этих спектров

2 ( / ) = и ( / ) V ( / ) функция неопределенности задается групповой сверткой ФНГ сигналов и (1) и V (1) по оси параметра а :

Шг (О, а) = | Ш*и (О, а,) Rgv (О, *-1(а1)а)ёа1 . (79)

ВЗВЕШЕННАЯ ШФНГ

Введенные выше ШФНГ и ФНГ являются обобщением известных ФН, которые получаются как частный случай при введении конкретных групп преобразований или допущении узкополос-ности на группе. Таким образом, нет необходимости изучать конкретную ФН, все результаты можно получать, исследуя абстрактную двухпарамет-рическую ФН, реализованную на группе G. Такой подход, основан на разбиении множества сигналов {. (1)} на классы эквивалентности, в которых введены операции корреляционного сравнения, определения численных характеристик сигнала, преобразования Фурье и Гильберта. Если класс эквивалентности рассматривать как элемент некоторой группы изоморфной группе гомотетий, то на этой совокупности можно определить двухпараметри-ческую ФН.

Как уже было отмечено, объем тела неопределенности ШФН зависит от формы сигнала. Рассмотрим подход, позволяющий это исключить. Введем понятие взвешенной ШФН (ВШФН):

да

(а,г) = 4а | 5(а)5*(ааУ(а)е*°Ча. (71)

Яу (а,т) =

1 да

r| [5(г) * Я-1{у(ю)}]5

л/а

а

(72)

Для определения весовой функции V (ю) найдем объем ВШФН и потребуем, чтобы он был конечен и равен квадрату аддитивной энергии сигнала. Находим

уу =! S (ю))^®! S (ю)|2 у (ю)

2

ю

(73)

Из соотношения (73) видно, что, для того чтобы второй интеграл был конечен в аддитивном смысле, требуется соблюдение равенства

У (ю)|'

= 1.

ю

(74)

Для минимального влияния весовой функции на результат вычисления функции неопределенности необходимо, чтобы функция У (ю) была действительной. С другой стороны, ее временное представление также должно быть действительным. Исходя из свойств, преобразования Фурье, заключаем, что функция У (ю) четная. Отсюда для весовой функции имеем

(75)

У (ю) = Лю\.

С учетом (75) запишем соотношение, определяющее функцию неопределенности с весом У (ю) :

да _

Яу (а,т) = л/а I S(ю)S*(аю)е"°т ^^ю. (76)

слабое влияние на форму сечений ВШФН и ШФН. Последнее объясняется тем, что во временной области весовая функция имеет характер, близкий к 3 -импульсу, а в спектральной — монотонно возрастающий. Таким образом, весовая функция выполняет роль "окна", которое подавляет частоты, близкие к нулевым, и практически не влияет на высокочастотные составляющие.

Предлагаемый подход к модернизации ШФН с целью исключения влияния формы сигнала на ее объем нетрудно обобщить на случай произвольной двухпараметрической группы преобразований вещественной прямой. В этом случае взвешенная ШФНГ, выраженная соответственно через частотное и временное представление исходных сигналов, имеет вид

Яву(а, а)=

= I ^ (аю)е/юЬ(а)у/Щ&ю, Яву(а, а)=

Г15(|) ^ (| )5*

(79)

4а

vs (I) =

в

- ГТ-1

L-,

L(t) - L(а)

а

Ж

Необходимо отметить, что в понятие широко-полосности, используемое выше, укладывается класс сигналов, не сводимый к узкополосным на группе преобразований, т. к. множество последних не накрывает все множество сигналов. Поэтому использование ВШФНГ для синтеза широкополосных сигналов и оценки их свойств, будет вполне оправданным.

Найдем временное представление ВШФН. Для этого необходимо определить преобразование

Фурье от функции . Используя обобщенные

функции [12], находим:

v(t) = Я

ю\} = -42% |г|15.

(77)

Запишем дуальное к (76) определение ВШФН во временной области:

Яу (а, т) = I[5(г) *-л/2%\г\_1-5] Ыа -1

"*' * т |(78) а

СВЯЗЬ МЕЖДУ ШФН И БИСПЕКТРОМ

Рассмотрим взаимосвязь между широкополосной функцией неопределенности и третьим смешанным моментом. Для этого воспользуемся определением ШФН [1]:

Я(а,т) = л/0[S*(/)S(а/)е'2%т//.

(80)

В квадратных скобках имеем обобщенную свертку [12], которую можно отнести к разновидности преобразования Ватсона.

Анализ результатов, получаемых при вычислении ВШФН и ШФН, показывает, что для широкополосных сигналов весовая функция оказывает

Известно, что ШФН в определении (80) не удовлетворяет свойству самотрансформации и конечности объема тела неопределенности, что значительно отличает ее от классической трактовки ФН Вудворда и ограничивает использование ШФН в вопросах синтеза сигналов.

Принципиальная невозможность экстраполяции свойств узкополосной ФН на ШФН связана с фундаментальными отличиями их групповой структуры в области определения. Покажем, что

ШФН связана с третьим смешанным моментом и биспектром [7, 8]. Преобразуя выражение (80), получим

В(^, у2) = Ф(У1 +У2)Ф(У^ (у2).

(85)

Ш(а,г) = 4а 15*(еЬ(/))5(еЫа/))е<2'(«рМг/))d/. (81) рентности [8]:

Используя выражение (85) можно ввести нормализованный эквивалент--функцию бикоге-

Введем обозначения: V = 1п (/) , %1 = 1п (а ) , %2 = 1п (1). Тогда формула для вычисления ШФН будет иметь вид:

да

Ш(%1, %2) = еа5& | 51*+ + £2^. (82)

- да

Представляя ехр (V) как ехр(0^)ехр(0.5) , выражение (82) можно записать как

Ш(%1, %2) =

да

= | 51*^е0-5^^ + %1)еа5(%' +v)^V(V + %2)е^,

да

%2) =

да

= | Е*(V)Е(V + (V +

(83)

Г(^, V2) =

|B(Vl, V2)|•

Ф(Vl +V2)Ф(Vl)V (V2)

(86)

где V(v + %2) = е'2»«*"^; Е * (V) = 5* ^)еа5"; Е(V + %%) = + %1)еа5(у+'*). Функция, определяемая с помощью выражения (83), является смешанным моментом третьего порядка (или по определению Н. Винера третьим семиинвариантом). Ее фурье-преобразование является комплексной величиной и называется биспектром (в данном случае смешанный биспектр) [7, 8]:

В(^, V,,) = ЦR(£1,£2)e-,2*(v%(84)

Подставим в выражение (84) формулу (83). В результате получим эквивалентное определение смешанного биспектра B(v1, v2) :

B(Vl, V2) = {{{Е*(V)Е(V + (V + х

к

х е->' +v2íl)d%1d%2dv =

= | Е * (V) [| Е (V + % )е-2 d£1 ]| V (V + %2) х

х е-/2жv2%d%2dv =

= Ф(Vl +V2)Ф(V1)Ф(V2);

Ф(Vl) = Ж^) = Е№)}.

Таким образом, для взаимного биспектра можно записать выражение

Перед вычислением функции бикогерентности каждое из фурье-преобразований и каждый энергетический спектр в (86) должны быть оценены с помощью соответствующей весовой функции.

Таким образом, ШФН может быть представлена как смешанный биспектр. С точки зрения теории представлений такое соответствие следует из следующих соображений. ШФН является скрещенным произведением двух подгрупп, аддитивной и мультипликативной, которые действуют на носитель сигнала некоммутативно или могут быть сведены к действию линейной группы преобразований времени. Узкополосная функция неопределенности Вудворда реализуется на прямом произведении двух аддитивных подгрупп, действующих соответственно во временной и частотной областях и не сводимых к действию в одной области (во временной или частотной). Необходимо отметить, что имеет место соответствие между биспектраль-ным представлением и тем, что разбиение линейной группы по нормальной подгруппе, образующее факторгруппу, изоморфно мультипликативной подгруппе.

Предположим, что в области определения сигнала действует двухпараметрическая группа преобразований G с элементом преобразования * (а, а) и существует изоморфизм между нормальной подгруппой линейной группы и нормальной подгруппой N группы G, устанавливаемый отображением Д (.). Так как группы изоморфны,

то изоморфны и элементы преобразования этих групп, вследствие чего существует изоморфизм между факторгруппой линейной подгруппы и факторгруппой Gg \ N по ее нормальной подгруппе (предположим, что это группа N с с элементом преобразования * (а)). ШФН для G с учетом изоморфизма Д можно записать в виде

Ш(а, г) = 4^15*(/5(а/)е'2^(аМ/. (87)

SN (/) = | .(1 )е' ^(1) / % -1(1

(88)

где SN (/) — преобразование Фурье на подгруппе N, являющейся нормальной в группе G .

С учетом последнего выражения можно записать функцию неопределенности как третий момент на подгруппе N :

Я(%1, %2) ^Я*У)^V + (V + (89)

где %1 = 1п(а) , %2 = 1п[1п(а)], V = 1п(/).

Соответственно функция бикогерентности для группы, изоморфной линейной группе, может быть записана в виде

Г N (У1,У2) =

В (У1 ,У2)|

Ф N (У +У2)Ф N (Vl)УN (У2)

(90)

ВЫВОДЫ

Известно [8], что биспектры являются полезным инструментом исследования нелинейных процессов и систем. Понятие нелинейности системы трактуется как появление новых спектральных составляющих на выходе системы. В этом смысле, эффект Доплера можно рассматривать как проявление нелинейности канала распространения, а использование биспектров вполне правомочно.

Установленная связь между третьим смешанным моментом и широкополосной функцией неопределенности представляет собой не только интересный теоретический результат, но и дает конструктивный способ вычисления ШФН. Предложенный метод аппроксимации некоммутативной группы прямым произведением двух коммутативных групп может быть применен для анализа алгебры Клиффорда, широко используемой в представлении результатов современных физических исследований.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ТИИЭР. 1989. Т. 77, № 10. С. 72-78.

4. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. Теория и применение. М.: Сов. радио, 1971. 565 с.

5. ФрэнксЛ. Теория сигналов. М.: Сов. радио, 1974. 341 с.

6. Смоктий О.И., Фабриков В.А. Методы теории систем и преобразований в оптике. Л.: Наука, 1989. 308 с.

7. Бутырский Е.Ю. Способ вычисления широкополосной функции неопределенности // 1-я Санкт-Петербургская Международная конференция "Конверсионные технологии гидроакустики" ГА-94. Тезисы докладов. СПб., 1994.

8. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. М.: Недра, 1986. 399 с.

9. Бутырский Е.Ю. Функция неопределенности сигналов на группе преобразований // 50-я Научно-техническая конференция НТОРЭС им. А.С. Попова "Актуальные проблемы развития радиотехники и связи". СПб., 1995.

10. Сапрыкин В.А., Рокотов С.П. Теория гидроакустики и цифровая обработка сигналов. Петродво-рец: ВВМУРЭ им. А.С. Попова, 1991. 415 с.

11. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенная методом подвижного репера. М.: МГУ, 1963. 366 с.

12. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. (Обобщенные функции, вып. 1). М.: Физматгиз, 1953. 470 с.

Санкт-Петербургское отделение Института химфизики им. Н.Н. Семенова РАН (Бутырский Е.Ю., Чалкин В.П.)

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики (Кувалдин И.А.)

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (Тарханов В.И.)

1. Бовбель Е.И. и др. Некоторые свойства широкополосной функции неопределенности для детерминированных и стохастических сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. 1977. № 6. С. 33-55.

2. Вакман Д.Е. Сложные сигналы и принцип неопределенности в радиолокации. М.: Сов. радио, 1965. 304 с.

3. Коэн Л. Время-частотные распределения. Обзор //

Контакты: Чалкин Владимир Петрович, [email protected]

Материал поступил в редакцию 8.12.2009.

GENERALIZED UNCERTAINTY FUNCTION

Eu. Yu. Butyrsky1, I. A. Kuvaldin2, V. I. Tarkhanov3, V. P. Chalkin1

lSt. Petersburg Branch of Institute for Problems of Chemical Physics RAS 2St. Petersburg State University for Service and Economics 3St. Petersburg State Polytechnic University

One of the basic concepts of signals processing theory, lying in the grounds of signals filtering and detection theory, is an uncertainty function. It is broadly used for signal classes selection in communications, radiolocation and underwater acoustics. In this article it is generalized to build a wideband signal uncertainty function, defined on a two-parametric group of transformations. Some properties and general conditions of its approximation by a narrowband uncertainty function are considered.

Keywords: ambiguity function, two-parametric transformation group, signal resolution, uncertainty relation

Оригинал-макет подготовлен Беленковым В.Д.

Лицензия ИД № 02980 от 06 октября 2000 г.

Подписано к печати 25.05.2010 г. Формат 60 х 90)8. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 13. Уч.-изд. л. 10.3. Тираж 100 экз. Тип. зак. № 270. С 96

Санкт-Петербургская издательская фирма "Наука" РАН 199034, Санкт-Петербург, Менделеевская линия, 1 E-mail: [email protected] Internet: www.naukaspb.spb.ru

Первая Академическая типография "Наука", 199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12