Обобщение решения Лагранжа на случай псевдоцилиндров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.38

ОБОБЩЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЛАГРАНЖА НА СЛУЧАЙ ПСЕВДОЦИЛИНДРОВ

© 2008 г. Д.В. Тимошенко

Generalization Lagrange decision of system of Kirchhoff equations on a case of the pseudo-cylinders, supposing analogue in dynamics of a rigid body is received.

Задача нахождения точных решений системы уравнений Кирхгофа имеет исключительно важное значение в теории тонких стержней. Это связано с тем, что при конечных упругих деформациях стержня его конфигурация в деформированном состоянии существенно отличается от первоначальной, что почти полностью исключает прямое применение приближённого анализа, основанного на линеаризации исходной системы дифференциальных уравнений равновесия стержня. С помощью точных решений можно провести качественный анализ как при тех ограничениях, при которых эти решения получены, так и в их окрестности [1].

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Кирхгофа в векторной форме для случая, когда стержень деформируется только концевыми нагрузками:

— {М + Х) = {М + Х)ха>+ Р (еху), —г = гхсо, (1)

(¡Я йя

дифференцирование производится по дуговой координате 5 оси стержня в главных осях изгиба и кручения. Определим величины, входящие в систему (1): со ¿уз^ - вектор Дарбу оси стержня; Р -

модуль равнодействующей концевых сил; М ~ вектор-момент внутренних сил, воз-

никающих при деформации стержня; у ^ , у2, 7з ^ -единичный вектор вдоль концевой силы; е ^1,е2,е3 единичный вектор касательной к оси стержня; X С-1 • • ~ вектор, характеризующий форму оси стержня в исходном состоянии. В случае, когда хотя бы одна из компонент вектора X отлична от нуля, система уравнений (1) описывает деформации стержней, имеющих в исходном состоянии сложную геометрию и объединённых под общим термином псевдоцилиндры [2].

В [1] получена следующая зависимость между вектором М +1 и вектором ю :

м + х=в(}-а)0; (2)

где вектор ю° 4?01,а>°2,со°з соответствует вектору

ю в исходном состоянии; В - матрица жёсткости стержня (псевдоцилиндра). При малых деформациях матрицу В можно считать диагональной [1]. Из соотношения (2) и диагональности матрицы В вытекают следующие выражения для компонент вектора X [1]: Я, = . /=1,2,3, где Н, - диагональные

элементы матрицы В .

Система (1) совместно с соотношениями (2) допускает три интеграла:

уу = \, 41 + Л~2У = К, т-со-гр Ь-уУгн. (3)

В силу известной кинетической аналогии Кирхгофа система уравнений (1) также описывает движение около неподвижной точки тяжёлого гиростата, имеющего несомые тела. Кроме того, в последнее время делаются попытки применения системы (1) в исследованиях пространственной конфигурации биологических макромолекул, таких как ДНК и белки, которые по своим геометрическим характеристикам могут быть отнесены к псевдоцилиндрам [3, 4].

Всё вышесказанное делает актуальным задачу нахождения точных решений системы (1) в случаях, когда л, отличны от нуля.

Известно [5] частное решение системы (1), полученное при условиях В2= В3, Лд = 0 и специальных ограничениях на постоянные интегралов (3). Цель настоящей работы - получение общего решения сис-

темы (1) при условиях

B2= В3, \ , , (4)

о и

где \, а следовательно, и о\ предполагаются известными функциями дуговой координаты 5 оси псевдоцилиндра, либо константами.

Запишем систему (1) при условиях (4) в скалярной форме:

7\=72с°ъ- Гз®2 , 72= 7з°\~ 7^3, = 7^2 ~ 72°\ ,

Д Ж о> Р —

2 В2 где точка над компонентами векторов у и ю означает дифференцирование по дуговой координате 5. Система уравнений (5), (6) в случае выполнения условий (4) имеет дополнительный интеграл

С1, (7)

который можно интерпретировать как равномерное распределение избыточного кручения по длине стержня.

В отличие от классического способа интегрирования системы (5), (6), основанного на введении углов Эйлера, рассмотрим следующий: пространственная кривая, как известно из дифференциальной геометрии, однозначно (с точностью до положения в пространстве) определяется своими кривизной к и кручением г . Для криволинейного стержня (псевдоцилиндра) кривизна и кручение его оси определяются через компоненты вектора Дарбу следующими выражениями [1]:

Таким образом, найдя кривизну и кручение оси псевдоцилиндра, с помощью формул (8) и интеграла (7) определим компоненты вектора Дарбу как функции дуговой координаты 5.

Рассмотрим комплексную замену переменных

(9)

Система (5) с помощью замены (9) переходит в уравнение:

у + ¡щу -i\ 2Н--^|£у|2 jty = 0 ,

(10)

Аналогично система (6) переходит в уравнение: <5 + 1(о1со-1С1(о+1у = 0. (11)

При получении уравнения (10) учтён третий из интегралов (3). Из уравнений (10) и (11) можно исключить у ; в результате преобразований получим

S + iaS - hm +—\т\2S = 0 . 2м

(12)

где а = соу + С-в J^/e , h = 2H+ 4$ ^ +

2

В

В,

Сделав в уравнении (12) замену переменных

со

-ias/2

получим более простое уравнение

относительно функции у/ ^

1 2

где с = 2Н~— С] . Уравнение (13) является стационарным нелинейным одномерным уравнением Шре-дингера относительно функции . Его решение

можно искать в виде <// ^ = лХ§хР С/ ^ Функция

X ^ представляет собой угол поворота естественного

базиса оси псевдоцилиндра вокруг касательной к ней относительно главных осей изгиба и кручения. Величина а> ^ в этом случае примет вид

(14)

Используя определение величины <э ^ , получим

А—- а ]

Таким образом, кручение _ связано с х^ п0~ средством соотношения: / 2 =

- А] + хтогда о) С , можно представить следующим образом:

(3ХР--С1 + а ^ + / С г •

V 2 о )

Выделяя действительную и мнимую части уравнения (13), получим следующие уравнения для определения кривизны и кручения:

Уравнения (15), (16) имеют следующие решения:

С9

2 i к2<

(17)

где ли _ - эллиптический синус Якоби; ¡л - модуль эллиптической функции; ненулевые действительные параметры. Проинтегрировав г^ , по-

С2 А М

лучим = — С15+-^-п( — -,ws\ß ). Тогда

п 2 wa Ii/ I

С2 ^ wm

М.

ws\ß

где j=|

dt

0

1- xsn

неполный эллиптический интеграл третьего рода. Подставляя первое и второе соотношения (17) в (15), (16) соответственно, получим выражения для

коэффициентов: т = 2м>2у, с = м>2 +

С| =1бЛ<-^- /Г.

Поскольку к2 >0. условие 0 < /л < V < 1.

1, ,2

W-CW +—\ш\ W = 0

2

2

к

Функция лу? имеет действительный период, равный 4 К , где К - К ^ - полный эллиптический интеграл первого рода. Поэтому величины к^ и являющиеся функциями т2 {р^//имеют периоды 2К/\г. С помощью найденных величин к^ и г^ из соотношения (14) определяется и , а следовательно, на основании (9) и компоненты (вектора ю . С учётом интеграла (7) вектор ю определяется как функция дуговой координаты.

Величину у ^ найдём из уравнения (10):

7<> * «>р[ - i Ci + «> i\г О II Q - г О

ал

"> т Ж 4

Учитывая, что у2 ^ - Rc % ^ у3 (Im С ^

где u^j^k ^

i"

V

Интегрируя уравнения (18), получим

1/2

a« 3=--s-

2

C wm

3 П| tL ; WS

(2H + 2w1i:-lji+2wEi's\Jul, где ^ 4,1

C3=2PH-Cl+^i-

-P2 , mx — m + C2—P2,

' = —ц, функция - неполный эллипти-

после преобразований получим следующее разложение вектора у в естественном базисе (1,п,Ь) оси

Таким образом, определены шесть неизвестных системы уравнений (5), (6): компоненты векторов ю и у. Однако известное решение системы (5), (6) ещё не определяет вид оси псевдоцилиндра в деформирован-

Выразив вектор 1 касательной к оси псевдоцилиндра в компонентах цилиндрической системы координат и вычислив скалярные произведения

Таганрогский государственный педагогический институт

ческий интеграл второго рода, определяемый следующим образом: /•'V - //|"ля2 ф/ ¿¡7 .

о

Таким образом, найдены выражения для цилиндрических координат точек упругой линии псевдоцилиндра, что позволяет определить его пространственную конфигурацию. Отметим, что для приведения системы уравнений (5), (6) к уравнению Шредингера условие В2= В3 в рассмотренном случае ^ = Лд = 0 является существенным, поскольку в ходе преобразований неоднократно использовался интеграл (7), являющийся следствием этого условия. Найденное решение системы уравнений (1) в теории стержней можно интерпретировать как обобщение решения Лагранжа системы уравнений (1) для первоначально прямолинейных стержней на случай псевдоцилиндров. Кроме того, кинетическая аналогия Кирхгофа позволяет интерпретировать найденное решение в динамике твёрдого тела как обобщение решения Лагранжа системы уравнений движения тяжёлого гиростата на случай движения тяжёлого гиростата, имеющего несомые тела.

Литература

1. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев, 1979.

2. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М., 2003.

3. Кугушев Е.И., Старостин Е.Л. Математическая модель образования трёхмерной структуры ДНК // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 1997. № 77.

4. Козлов Н.Н., Кугушев Е.И., Сабитов Д.И., Энеев Т.М. Компьютерный анализ процессов структурообразования нуклеиновых кислот // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 2002. № 19. № 42.

5. Докшевич А.И. // Механика твёрдого тела. 1970. Вып. 2. С. 12-15.

2 июля 2007 г.

ном состоянии (упругую линию [1]). С этой целью рас-

вектора t и векторов еа, е , определённых выше, будем иметь

. _ й . _ Р^Н-и'}-2С1

р ~ ~~7 ; tw ' ра ~ ~~7 ; rw' ¿• = I«-4/0 (18)