CC BY
24
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2009. № 5
УДК 513,81
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ ШИЛЬТА © 2009 г. Ф.Г. Перетятькин
Южный федеральный университет, Southern Federal University,
ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090,
[email protected] [email protected]
Доказано обобщение теоремы Шильта о том, что совокупность локальных аналитических изгибаний окрестности точки на аналитической поверхности с ненулевой гауссовой кривизной линейно связна, а именно, показано, что достаточно, чтобы точка, в окрестности которой рассматриваются изгибания, не была точкой уплощения.
Ключевые слова: Шильт, изгибание, точка уплощения, Гауссова кривизна.
In the paper is proved the generalization of Shilt's theorem that the set of local analytical bendings of a vicinity of a point on an analytical surface with nonzero Gauss curvature is linearly coherent, that is enough that the point in which vicinity bendings are considered, was not a flat point.
Keywords: Shilt, bendings, flat point, Gauss curvature.
Известна теорема Шильта о том, что совокупность Введем на множестве вектор-функций на S в ок-локальных аналитических изгибаний окрестности рестности U р метрику следующим образом:
точки на аналитической поверхности с ненулевой гауссовой кривизной линейно связна [1]. Оказывается, Р(Х,У)= | птах
х(м1,м2) - уСм1,u2)
и будем рас-
что эта теорема верна и в существенно более общем (" -" >с''
случае, а именно: достаточно, чтобы точка, в окрест- сматривать топологию г, заданную этой метрикой. Пока-
ности которой рассматриваются изгибания, не была жем, что эта метрика полная. Пусть 4-/("'-"2) -фунда-
точкой уплощения. Это обобщение теоремы Шильта ментальная последовательность в этой топологии. Тогда
доказано в данной работе. _ жт | 1 2 , 1 2 1
^ \/г>03^еN такое, что хи(и1,и2)-хт(и\и )\<е,
1 „.2^тт Значит «Ь--1
1 ..2ч „/..1 2ч
Теорема. Совокупность локальных аналитических изгибаний окрестности точки, не являющейся точкой >ТУ,(м1,м2)еС/. (*). Значит ^(и\и2) рав
уплощения, на аналитической поверхности линеино связна [2]. номерно сходится, т.е. 3 Нт хи(м1,мх) = х(м1,мх)
Доказательство. Пусть 5" - аналитическая по- 00
„о .. где х - вектор-функция в пространстве <8, т>. Устре
верхность /'ел - некоторая точка на этой поверх- } 1 ' 1
•» *ТТ1 Ж / ф \ №1 Т* АЛЛТ/'АТТЛТТТТАЛ'РТГ ТТЛ ТТТ ТТТТШ
ности, не являющаяся точкой уплощения; г = г(и1,и2) - регулярная параметризация в окрест-
мим в (*) m к бесконечности, получим
р
xn (u1, u 2)-хСм1, u 2)
<еУ(и1,и2)^и0,\/n>N. Ста-
ности точки Р . Пусть (с!) - направление, в котором добыть -"2' сходится к 4»'-'О по метрике р.
,2 п т-. - Так как кривые v = const - геодезические линии на
а г/0. Введем в этой окрестности полугеодезическую систему координат (u,v) так, чтобы кривая и ~ их Длина дуги, то |ги(м,у0)| = 1 и годограф
v = vq , проходящая через точку /' , имела в ней на- вектор-функции ru(u,v0) - регулярная аналитиче-
правление (с!). Тогда первая квадратичная форма ская кривая у на единичной сфере
поверхности S имеет вид ds2 = du2 + G(u,v)dv2. „ x = cos«cos/?,
^ I, : <y = cosasin ¡3, (3)
Пусть внутренние координаты точки P-(u0,v0). То- \ z = sin a.
гда ruu(u0,v0) = r„°„/0, ив некоторой окрестности Внутренние уравнения годографа вектор-функции
гU(u,v0) будем записывать в виде а - а(и).
['> = /3(и),щ < и < м2. Выберем на 2 аналитическую
Up точки P имеют место соотношения
(rv0)2= G 2(u, v°)
(r„°)2=1
кривую у , близкую к у. расположенную в той же полусфере и не совпадающую с у. Ее радиус-вектор
~0
обозначим г и, а ее внутренние уравнения:
r°r0=0 , (2)
r°u* 0 °б°" ~
ruurv = а = а (и), ß = ß(u),u\ <и <и2 . Тогда угол между
где Р - однозначно определяется функцией С и ее ~0
, и - острый. Положим
частными производными 1-го и 2-го порядка. * ии *
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2009. № 5
(4)
\ а{ (и) = (1 - ()а(и) + / а (м),
(и) = а - О+ ( р(и),О < / < 1. Подставляя (4) в (3), получаем на £ семейство аналитических кривых у(, зависящее от г аналитически, причем Уо = У,У\ = у ■ Радиус-вектор кривой у, обозначим г0 (и).
Из (1), (3) следует, что г,°мм = (1-0гм°м +/>„„. Так
~о
как угол между векторами г^и и г ии
о
ггмм ^ 0,0 < / < 1, т.е. все регулярны. Положим
r° = ] r° (u)du , '
r,
о
r° xr°
tu tuu
r?„ X r,
о
G(m,V0) .
острый, то
(5)
(6)
rtu rtuu
Зададим для уравнения (1) начальные условия 0/
|r(u,Vo) = rt (u)
lrv (u, V0) = rtv (u)
(7)
Очевидно, что начальные условия (7) удовлетворяют (2).
Применим теорему Коши-Ковалевской для (1), (5), (6). Получим единственное аналитическое реше
ние этой задачи Коши: rt=rt(u,v), которое задает локальную аналитическую реализацию метрики ds2 = du2 +G2(u,v)dv2. Это изгибание нетривиально
в силу неконгруэнтности у ж у .
Таким образом, имеем связное семейство аналитических по параметру изгибаний г, = г, (и. у) окрестности точки P на S. Теорема доказана.
Замечание. Требование, чтобы точка PbS не являлась точкой уплощения, существенно. Н.В. Ефимовым [3] были построены примеры аналитических поверхностей с точками уплощения такие, что никакая окрестность точки уплощения не допускает нетривиальных аналитических изгибаний в классе аналитических поверхностей. Таким образом, полученный результат носит завершенный характер.
Литература
1. Shilt H. Über die isolierten nullstellen der Fläschen Krüm-
mung und einige Vertbiegkeitssatye // Compos. Math. 1937. Vol. 5, № 5. S. 232-283.
2. Климентов С.Б. Введение в теорию изгибаний // Дву-
мерные поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Ростов н/Д, 2007. С. 85-87.
3. Ефимов Н.В. Качественные вопросы теории деформаций
поверхностей «в малом» // Тр. мат. ин-та АН СССР им В.А. Стеклова. 1949. Т. 30. С. 25-29.
Поступила в редакцию
1 сентября 2008 г.
u
о
