Обобщение неравенства Гильберта на пространства lp Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 1. С. 52-58.

УДК 517.9

ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ГИЛЬБЕРТА НА ПРОСТРАНСТВА 1Р

М. Г. Лепчинский

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия [email protected]

В статье рассматривается обобщение известного неравенства Гильберта на случай суммируемых с р-й степенью последовательностей (р < 2). Полученный результат сформулирован в рамках операторного подхода. Также исследован случай р > 2, для которого удалось показать, что неравенство не выполняется.

Ключевые слова: неравенство Гильберта, линейный ограниченный оператор, неравенство Минковского в интегральной форме, упорядочивание функции, интегральное трранснерра-венство, неравенство Харди — Литтлвуда.

Введение

Знаменитое неравенство Гильберта [1], открытое в начале XX века, утверждает: существует такая константа С > 0, что для любых двух ненулевых суммируемых с квадратом последовательностей а = (а1,а2,а3,...) и Ь = (Ь1, Ь2, Ь3,...) имеет место неравенство

£

1 1 7 2 / те \ 2

ап.Ьт. ^

< С

п + т

п,т= 1

Изначально это неравенство было доказано с константой С = 2п, но позже удалось показать, что оно верно и с константой С = п. В дальнейшем были доказаны различные обобщения неравенства Гильберта для последовательностей из 12 (например, [2]).

В данной работе предложен подход, который позволяет обобщить указанное неравенство на случай последовательностей из пространства 1Р в рамках операторной интерпретации.

1. Основной результат

Рассмотрим линейный оператор на пространстве 1Р, заданный формальным степенным рядом

Н : 1Р Э (х1,х2, х3,...) ^ Х\Ь + х2Ь2 + х3£3 + ... , £ € [0,1].

Вопрос, который мы будем исследовать, заключается в том, в каком из функциональных пространств Ья (0,1) лежит сумма этого ряда.

Предложение 1. Неравенство Гильберта выполнено тогда и только тогда, когда оператор Н : 12 ^ Ь2(0,1) является ограниченным.

Доказательство. Предположим, что неравенство Гильберта выполняется. Возьмём произвольную последовательность х Е 12. Так как

|Нх(*)| = |х1* + Х2^2 + хэ^3 + ... | < |х^ + |х2|^2 + |хз|£3 + ■ ■ ■ = Н|х|(¿)

и х2 = |х^|2, то без ограничения общности можно считать, что последовательность х состоит из неотрицательных членов. В таком случае заметим, что

'0

„1 <х

(Hx(t))2 dt = ^

xnxm

n -

n,m=1

n + m + 1

если последний двойной ряд сходится. Но он действительно сходится в силу неравенства Гильберта:

/V» /V» /V» /V»

/ -7 < / -< C|Ы|2.

n + m + 1 n + m

n,m=1 n,m=1

Отсюда мы заключаем, что

l!Hx||!2(0,1) < C||x|2,

т. е. оператор H : l2 ^ L2(0,1) является ограниченным.

Теперь предположим, что оператор H : l2 ^ L2(0,1) является ограниченным. Рассмотрим произвольные последовательности a, b G l2 и докажем абсолютную сходимость ряда

те и

\ > anbm

^ n + m

n,m=1

Для этого будем без ограничения общности полагать ai, bi > 0 для i = 1, 2, 3, ... Рассмотрим an = (a1, a2, a3,..., an, 0, 0, 0,... ) и bn = (b1, b2, b3,..., bn, 0, 0,0,... ). Имеем сходимость an ^ a и bn ^ b в l2 при n ^ œ. Поэтому Han ^ Ha и Hbn ^ Hb в силу непрерывности оператора H. В таком случае при n ^ œ

(Han,Hbn) ^ (Ha,Hb) < ||H||2 ||a||2 ||b||2.

Но

/1 n n те ,

^ aiti ^ bj tj dt ^ ^ anb

- i=1 j=1 n,m=1

о — — —Лп + т +1

г=1 .7 = 1 га,т=1

3

откуда и следует неравенство Гильберта с константой С = — ||Н||2. □

Доказанное предложение, увязывающее выполнение неравенства Гильберта с ограниченностью оператора Н, даёт прямой путь к обобщению неравенства Гильберта на случай пространства 1р. А именно, мы установим справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Оператор Н : ^ (0,1), где —|— = 1, является ограниченным

Р Ч

при р < 2, и его норма не превосходит Г(1/ч).

Заметим, что указанное значение оценки нормы оператора Н в случае р = 2 соответствует точному значению в неравенстве Гильберта.

Для доказательства теоремы 1 мы будем исследовать сопряжённый оператор Н* : Ьр(0,1) ^ ¡д, заданный равенством

н*/ =( Г /(г)гп я

/ п=1

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть —|— = 1. Тогда верны следующие утверждения:

Р д

а) Оператор Н* : Ьр(0,1) ^ ¡д является ограниченным при р < 2, и его норма не превосходит Г(1/д).

б) Если д' < д, то последовательность Н*х может не лежать в ¡д

в) Если р > 2, то оператор Н* : Ьр(0,1) ^ ¡д' является ограниченным для д' > д

'* >

и не является таковым при д' = д

Замечание 1. Из того, что сопряжённый оператор Н* ограничен, сразу будет следовать, что оператор Н также ограничен и их нормы совпадают. Таким образом, теорема 1 следует из первого утверждения теоремы 2.

Нам понадобится несколько вспомогательных определений и фактов относительно перестановок функций [3].

Определение 1. Предположим, что функция / : (0,1) ^ К является измеримой. Будем говорить, что функция /* : (0,1) ^ К является возрастающей (убывающей) перестановкой функции /, если функция /* возрастает (убывает) на (0,1) и для любого с € К выполняется равенство

ц,{1 € (0,1) : /(Ь) < с} = ц,{1 € (0,1) : /*(£) < с},

где ^ — мера Лебега.

Замечание 2. Если /* — это перестановка /, то эти две функции неразличимы с точки зрения вычисления интеграла Лебега. В частности,

Г /(£) Я = Г /*(£) Я. ,/0 ,/0

Лемма 1. Для любой измеримой функции / : (0,1) ^ К существует её перестановка (как в возрастающем порядке, так и в убывающем).

Доказательство. Рассмотрим функцию д : (0,1) ^ К, заданную равенством

д(х) = ^{с € К : : /(Ь) < с} > х}.

Легко видеть, что функция д монотонно возрастает на (0,1). Заметим, что

д(х) < С ^ /1{г : /(Ь) <С}> х.

Отсюда следует равенство ^{х : д(х) < С} = ^{Ь : /(Ь) < С}, которое доказывает, что д — это возрастающая перестановка /. Для перестановки в убывающем порядке достаточно рассмотреть функцию д(1 — Ь). □

Приведём без доказательства факт, который понадобится нам при доказательстве основного результата.

Лемма 2 (неравенство Харди — Литтлвуда [3]). Предположим, f € ¿1(0,1), Л € С[0,1], функции Д* и Д* — это две перестановки функции f в убывающем и возрастающем порядке соответственно, а функция Л является монотонно возрастающей. Тогда выполнено транснеравенство

С Д*(*)Л(*) Л < Г Д(*)Л(*) л < Г Л*(*)Л(*) л. ./0 ./0 ./0

2. Доказательство основного результата

Пусть Д € ¿р(0,1). Заметим, что в силу оценки по модулю и неравенства Харди — Литтлвуда выполняется следующая цепочка неравенств:

-1

f (t)tn dt

/0

11

< / |f (t)|tndt O |f(t)|*tndt, 00

где |f |* — это возрастающая перестановка функции |f Ещё нам известно, что перестановка не меняет интеграла Лебега, поэтому нормы |f | и |f |* совпадают в пространстве Lp(0,1). Это означает, что без ограничения общности мы можем считать функцию f неотрицательной и возрастающей на (0,1).

Для удобства дальнейших выкладок сделаем замену t ^ 1 — t, а f (1 — t) переобозначим за f (t). Таким образом, f будет неотрицательной убывающей функцией на (0,1). Теперь продолжим функцию f на луч [1, значением 0 и будем трактовать её как элемент пространства Lp(0,

Доказательство. а). Пусть p < 2. Имеем

■а \ q \ 1/9 ( °° /г 1 \ q \ 1/9

\n J+ \ 1 ^ I \ л / / í Í'JA „-raí

" / f1 \У\ / ." / /"1

ЕЦ f(t)(1 — t)ndtjj < (E(l f(t)e-nídt

Подынтегральное выражение является монотонно убывающей функцией аргумента п, поэтому возможно оценить сумму через интеграл по этой переменной:

те / л 1 \ 9\ 1/9 /л те /л 1 \ 9 \ 1/9

<()е-"'л) <(х п <()е-"'л)) .

Сделаем замену переменных £ = т/п во внутреннем интеграле. Получим

лте / />«, 1 \ 9\ 1/9

I ап (у —Д (т/п)е-т ат

Заменяя во внутреннем интеграле верхний предел п на получаем такую оценку сверху:

лте / />те 1 \ 9\ 1/9

ап ( / —Д(т/п)е-т ат /о \./0 7 ;

Применим ко всему выражению неравенство Минковского в интегральной форме:

/ лте / />те 1 \ 9\ 1/9 />те / рте 1 \ 1/9

(1 ЧI пД(т/п)е-Т *)) < 0 П о *Д9**

Теперь в полученном интеграле делаем замену п = т/в и получаем следующее:

/те / рте \ 1/д рте / рте \ 1/д

е-т ¿тП вд-2т1-д /д (в^в) =у е-т т-1/р(т • П вд-2/д (в) ¿в) .

Первый множитель есть не что иное, как Г (1/д). Осталось убедиться, что второй множитель не превосходит ||/||ьр(0д).

Так как функция / является убывающей, то имеет место оценка

1 рв

1р{0,1) = I /р№ - / /Р(Ь) ¿ь > в • /р(в).

00 Поэтому в силу неравенства д > 2

1/д /г- те \ 1/д

\ 1/д / ¡-те \

вд-2/д(в) ¿в) = ц (в • /р(в))д-2 /д-р(д-2)(в) (в)

/г те \ 1/д

< / II/||р(д-2)/Р(в) ¿в) = ||/||ьр(0,1).

Докажем теперь утверждения б) и в). Рассмотрим функцию /(Ь), равную Ь-1/р11пЬ|-а (где а чуть больше 1/р) при Ь < 1/2 и нулю при Ь > 1/2. Функция / лежит в пространстве Ьр(0,1). Исследуем, в какую последовательность переводит её оператор Н*. В силу неравенства Бернулли имеем

ш) = [1/2 (1 — Ь)п(Ь> [1/п (1 — пЬ)(Ь

( ! )п ]0 Ь1/Р| 1п - У0 Ь1/Р| 1п

■•1/п р1/п

п

Ь-1/р11п Ь1-а(Ь — п Ь1/д 11п Ь1-а(Ь = 111 — I2

пп 0

После замены переменных Ь = е т и растяжения получаем

1/п те те

Iп = Ь-1/р11п Ь1-а(Ь = е-т/д т-а(т = д1-а е-вв-а(в

J 0 1п п •/ 1 1п п

ч

= д1-аг(^1 — а,11п п где Г(а,х) — верхняя неполная гамма-функция. Аналогично получаем, что

р 1/п / л\ а-1 п те

12п = п Ь1/д 11п Ь1-а(Ь = п 1 + - е-вв-а(в

10 \ д) ./(1+Ч) 1п

1\ а-1„( ( 1

=Ч1+д) Ч1—Ч1+д)1пТ

Для верхней неполной гамма-функции Г(а,х) известна асимптотика при х ^

[4]:

Г(а,х) - ха-1е-х. Поэтому из полученных выражений для 1! и 12п получаем

т 1 1-а (1 1 А -11п п д

1п — д - 1п п ) е ч —

д ) (1п п)ап1/д''

0

0

2 I 1\а-1 (( 1

in - п ( 1 + - -

+ ^ ln ^ -а e-(l+1) 1П'

С) \\ С/ / (С + 1)(1п п)аих/ч'

Таким образом, используя ранее полученное неравенство, имеем

,2

(H*f )n > in - in---

(q + 1)(ln n)an1/q'

Если взять произвольное с' < с, то из полученной нижней асимптотической оценки заключаем, что Н* f Е ¡д/. Это доказывает пункт б).

В случае р > 2 значение с оказывается меньше р, поэтому при — < а < —

р с

получаем Н* f Е ¡д. Осталось показать, что Н* f Е при с' > С. Действительно, по неравенству Гёльдера

(H*f )п = 11 f т <И < ||f ||М0Д) ■ Г (0,1) = llf Ньр(0,1),

откуда и следует требуемое утверждение. □

q

Список литературы

1. Michael Steele, J. The Cauchy — Schwarz Master Class: an Introduction to the Aart of Mathematical Inequalities / J. Michael Steele. — Cambridge : Cambridge Univ. Press, 2004. — 318 p.

2. Montgomery, H. L. Hilbert's inequality / H. L. Montgomery, R. C. Vaughan // J. London Math. Soc. — 1974. — Vol. 8, no. 2. — P. 73-82.

3. Lieb, E. H. Analysis: Graduate Studies in Mathematics / E. H. Lieb, M. Loss. — Vol. 14. — 2nd ed. — Providence : American Mathematical Soc., 2001. — 336 p.

4. Digital Library of Mathematical Functions. Incomplete Gamma Functions. [Электронный pecypc]. — URL: http://dlmf.nist.gov/8.11.i (дата обращения: 14.11.2015).

Поступила в 'редакцию 14-11-2015 После переработки 04-02-2016

Сведения об авторе

Лепчинский Михаил Германович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 1. P. 52-58.

HILBERT'S INEQUALITY GENERALIZATION TO lp SPACES M. G. Leptchinski

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia [email protected]

A generalization to famous Hilbert's inequality is considered for the case of summable with p-th degree sequences (p < 2). New result is obtained by means of the operator approach. It is shown that the inequality can't be extended to the case p > 2.

58

M. r. ^en^HHCKHH

Keywords: Hilbert's inequality, linear bounded operator, Minkowski's inequality integral form, function's rearrangements, integral inequality, Hardy — Littlewood inequality.

References

1. Michael Steele J. The Cauchy — Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge, Cambridge University Press, 2004. 318 p.

2. Montgomery H.L., Vaughan R.C. Hilbert's inequality. Journal of the London Mathematical Society, 1974, vol. 8, no. 2, pp. 73-82.

3. Lieb E.H., Loss M. Analysis: Graduate Studies in Mathematics. Vol. 14, 2nd ed. Providence, American Mathematical Society, 2001. 336 p.

4. Digital Library of Mathematical Functions. Incomplete Gamma Functions. Available at: http://dlmf.nist.gov/8.11.i, accepted 14.11.2015.

Article received 14.11.2015 Corrections received 04.02.2016