Обобщение Китайской теоремы об остатках Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. М. Давыдова, Е. Я. Федосеева

ОБОБЩЕНИЕ КИТАЙСКОЙ ТЕОРЕМЫ ОБ ОСТАТКАХ

Известная Китайская теорема об остатках (см., например, [1]) утверждает, что для заданных т > 2 натуральных чисел а^, г € 1 : т, каждые два из которых взаимно просты, и для произвольных целых остатков е^, г € 1 : т, существуют такие целые числа у и XI, г € 1 : т, что

Вводя матрицу

аіхі + Сі = У,і Є 1 : т.

( аі 0 ••• 0 -і \

А= 0 а2 0 ••• -1

1 0 0 • • • ат -1 )

эту систему можно переписать в виде

Ах

(1)

где X = (XI, Х2, • • • , хт, у) и Г = (-С1, -С2, • • • , -ет).

В терминах перманентов матриц мы выводим условия целочисленной разрешимости системы (1) в более общем случае, когда матрица А имеет базисную схему знаков, определенную в [2]. Более того, сопоставляя схеме матрицы А логическую пропозициональную формулу в виде конъюнктивной нормальной формы (КНФ) так, как это описано в [3], можно расширить представленный вывод условий целочисленной разрешимости системы (1) на случай, когда соответствующая КНФ является минимально невыполнимой. Заметим, что базисной схеме соответствует полиномиально проверяемая минимально невыполнимая КНФ [4].

Следующая лемма, доказанная и использованная в [1] для доказательства Китайской теоремы, оказывается существенной и в нашем выводе.

Лемма 1. Пусть даны натуральные числа а, Ь и е. Уравнение ах — Ьу = е разрешимо в целых числах х, у тогда и только тогда, когда свободный член е делится на наибольший общий делитель коэффициентов а, Ь.

г

1. Базисная матрица, согласно [2], определяется индуктивно по числу строк т.

Определение 1. При т = 1 базисной матрицей называется матрица со знаковой схемой (И—). Матрица В с числом строк т > 2 называется базисной, если она имеет структуру

Ві о

-о В=

\ о В2

где все элементы подстроки Ь1 (соотв. Ь2) неотрицательны (соотв. неположительны) и Ь1 = 0, Ь2 = 0. Если Ь1 (соотв. Ь2) состоит ровно из одного положительного

© И. М. Давыдова, Е. Я. Федосеева, 2007

(соотв. отрицательного) элемента, то матрица Bi (соотв. B2) пустая, иначе Bi (соотв. B2)—базисная матрица. Строка (61,62) называется ведущей. Размером базисной матрицы будем называть число строк. Матрицу со схемой (+—) будем называть простейшей.

Определение 2. Базисная матрица называется насыщенной, если как в ее ведущей строке, так и в ведущих строках всех ее базисных подматриц нет нулевых элементов.

Определение 3. Базисная матрица называется маргинальной, если в каждой ее строке есть ровно один отрицательный и ровно один положительный элемент.

Примером маргинальной базисной матрицы является матрица A из Китайской теоремы. Первая строка в A является ведущей, причем 61 = (ai); 62 = (0, • • • 0, -1). Все базисные подматрицы имеют аналогичную схему.

Легко показать [2], что для базисной матрицы B[M, N] выполнено |N | = |М | + 1. Выведем достаточные условия целочисленной разрешимости системы Bx = r с целочисленными элементами при условии, что B — либо маргинальная базисная матрица, либо насыщенная. Для этого нам понадобится понятие перманента матрицы. Напомним, что перманентом матрицы D[1 : n, 1 : n] называется

^ ; |diil 1 • • • \dnin |,

где Pn — множество всех перестановок чисел 1,...,n. Перманент матрицы D будем обозначать perm(D).

Лемма 2. Если B = B[1 : m, 1 : m +1] — базисная матрица, то существует решение x[1 : m +1] системы Bx = O такое, что x[j] = perm(B-j), j £ 1 : m + 1, где B-j — матрица B без j-го столбца.

Доказательство по индукции.

База индукции. При m =1 имеем B = (aii — ai2), где aii, ai2 > 0.

Очевидно, что xi = ai2 = perm(B-i), x2 = aii = perm(B-2) удовлетворяют уравнению aiixi — ai2x2 = 0.

Индуктивный переход. Пусть лемма верна, если размер базисной матрицы меньше m.

Надо проверить, удовлетворяет ли вектор x с компонентами x[j] = perm(B-j), j £ 1 : m + 1, системе

Bx = O.

В предположении, что B имеет структуру (1) и i —индекс ведущей строки, разобьем x

i2

на xi и x2 так, что проверяемые условия имеют вид

Bixi = O, 6ixi + 62x2 = 0, B2x2 = O,

где Bi = B[1 : i — 1,1 : i], B2 = B[i + 1 : m,i + 1 : m +1].

Так же как при выводе представления определителя блочно-треугольной матрицы, можно доказать, что если матрица имеет вид (1), то

perm(B-j) = perm(B-j) perm ^ , при j £ 1 : i; (3)

регш(В 3) = регш(В2 3) регш ^, при у € г + 1 : т +1. (4)

Используя (2), получаем

/регш(В21) \ , Ь х /регш(В21) \

В1 I • •• | = регш В2 В1 I ••• I = О,

Урегш(В2®) ) V 2/ урегш(В2г) )

так как вектор с компонентами регш(В-^ 3), у € 1 : г, по индуктивному предположению, — решение системы В1Х = О. Аналогично из (3) следует

-(«+1)) \ ч (регш(В2(г+1))

= О.

(т+1)ч

регт(В м , В

В2 I • • • І = регт ( , 1 ) В2

регт(

-(т

регт( 2 )

Вычисляя регт (В ) (соотв. регт (В22)) посредством разложения по строке 61 (соотв. 62), используя (2) (соотв. (3)), для строки і имеем:

(регт(В-1)\ ( регт(В-(

••• І + 62 I ••

регт( -і) регт( -(т

ВіА (62 А (62 А (в

регт 61 регт 2 - регт 2 регт 61

Определение 4. Пусть В —целочисленная базисная матрица, имеющая вид (1). Будем говорить, что для В и целого числа г выполнено условие кратности, если г кратно

Пусть г[1 : т] —целочисленный вектор. Под вектором Кі при любом і Є 1 : т будем понимать вектор Ді[1 : т] с компонентами

і {0Г /=

Лемма 3. Пусть В = В[1 : т, 1 : т +1] — целочисленная базисная матрица, имеющая вид (1), и і — номер ее ведущей строки. Система Вх = Кі разрешима в целых числах, если для В и гі выполнено условие кратности.

Доказательство. Систему Вх = Яі можно представить в виде

В1х[1 : і] = О, 61х[1 : і] + 62х[і + 1 : т + 1] = гі: В2х[і + 1 : т + 1] = О.

По лемме 2 целые х^ = регт(В—), і Є 1 : і, и х^ = регт(В—), і Є і + 1 : т + 1, удовлетворяют системам Віх[1 : і] = О и В2х[і + 1 : т + 1] = О. Более того, при любых целых числах Аі и А2 имеем

В1\1х[1 : г] = О и В2^2х[г + 1 : т] = О.

Рассматривая А1 и А2 как переменные при данных значениях х3-, у € 1 : т +1, получаем, что г-е уравнение имеет вид

А1Ь1х[1 : г] + А2^х[г + 1 : т + 1] = г*,

или согласно значениям х[1 : т +1] и определению перманента

(ВЛ л (Ь2

А1 регш I ь ) - А2 регш I в2

Из леммы 1 следует, что это уравнение разрешимо в целых числах А1Д2, если г* кратно

(В1

Ь1 В2

Отсюда следует, что при выполнении в силу однородности условия кратности, Аіх[1 : і] является целым решением системы Віх[1 : і] = О, а А2х[і + 1 : т +1] —целым решением В2х[і + 1 : т + 1] = О. Таким образом, вектор (Аіх[1 : і], А2х[і +1 : т +1]) является целым решением исследуемой системы. ■

2. Покажем, что для маргинальных базисных матриц В достаточное условие целочисленной разрешимости системы Вх = г совпадает с условием Китайской теоремы.

Определение 5. Элемент В [і, і] базисной матрицы В называется висячим, если В [і, і] =0 и при В [і, і] > 0 над ним пустая базисная подматрица, а при В [і, і] < 0 под ним пустая базисная подматрица.

Следующая лемма легко доказывается индукцией по размеру базисной матрицы.

Лемма 4. В каждом столбце базисной матрицы есть ровно один висячий элемент.

Теорема 1. Пусть В — маргинальная базисная матрица. Тогда для любой строки іо существует перестановка строк и столбцов такая, что новая матрица остается, базисной и строка іо становится ведущей в ней.

Доказательство индукцией по размеру базисной матрицы. При т =1 —очевидно. Пусть т > 2. Так как В — маргинальная базисная матрица, она имеет вид (1). Пусть і —номер ее ведущей строки, Ві = В[/і, /і], В2 = В[І2, */2]. Схематически имеем

/і /2

Ві О \ /і

6і 62 Іі

О В2 /2

В = І 6і 62 І і . (5)

у О В2 / /2

Так как т > 2, хотя бы одно из множеств /і или /2 не пусто. Предположим, что /і = 0 и іо Є /і. По индуктивному предположению строки из /і и столбцы из /і можно переставить так, что іо станет номером ведущей строки в Ві.

Предположим, что і —номер столбца в новом порядке, для которого 6і[і] > 0. Очевидно, что матрица

В2

6і[і]

О

62

В2

базисная. Для столбца і Є /і в матрице Ві по лемме 4 существует строка к Є /і такая, что В [к, і] —висячий элемент.

Пусть /і = {1, 2, • • • , і, і + 1, • • • , і}, /і = {1, 2, • • • , к — 1, к, к +1, • • • , і — 1}.

Если В [к, і] > 0, то сделаем перестановку строк и столбцов в матрице (4) так, что для столбцов получим порядок 1, 2, ••• ,і,/2,і + 1, ••• , і, для строк — порядок

1, 2, • • • , к — 1, і, /2, к, • • • , і — 1, где в /2 и /2 сохранен прежний порядок. Так как в строке і все элементы, не входящие в матрицу В22, равны нулю, перестроенная матрица имеет структуру базисной матрицы Ві с ведущей строкой іо и с встроенным базисным блоком В2, сохраняющим базисную структуру Ві.

Если В[к,і] < 0, то столбцы переставляются так же, как в случае В[к,і] > 0, а для строк получим новый порядок: 1, 2, • • • , к, і, /2, к +1, • • • , і — 1.

Если іо Є /2, то схема перестановок симметрична. I

Например, маргинальная базисная матрица А из Китайской теоремы по симметричной схеме перестраивается при іо = 2 в матрицу

0 2 • 0 0 —1

аз • • 0 0 —1

ат 0 — 1

V аі —1

Теорема 2. Пусть В = В[1 : т, 1 : т +1] — целочисленная маргинальная базисная матрица. Система Вх = г имеет целое решение при любом целочисленном векторе г, если все ненулевые элементы В попарно взаимно просты.

Доказательство. Докажем по индукции два утверждения

1. Пусть В = В[1 : т, 1 : т +1] —маргинальная базисная матрица и I = 1[1 : т +1] — вектор-строка, в которой ровно один ненулевой элемент. Перманент матрицы (В ) так же, как и матрицы (В) , равен произведению (т + 1) модулей ненулевых элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки.

2. Если из маргинальной базисной матрицы В[1 : т, 1 : т +1] вычеркнуть столбец, то перманент оставшейся матрицы равен произведению т модулей ненулевых элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки.

База индукции. При т = 1 имеем простейшую матрицу В = (01, -02), «1, «2 > 0.

1. Очевидно, что регш (В) равен а2 • |1[1]|, если 1[1] = 0, или а1 • |1[2]|, если 1[2] = 0.

2. Если из простейшей матрицы вычеркнуть любой столбец, то останется один элемент, а перманент одноэлементной матрицы равен модулю этого элемента.

Индуктивный переход. Пусть т > 2, и для всех маргинальных базисных матриц меньшего размера оба утверждения выполнены.

1. Рассмотрим маргинальную базисную матрицу В = В[1 : т, 1 : т +1] вида (4) с приписанной строкой I. Пусть у —номер ненулевого элемента в I, г —ведущая строка в В. Для определенности предположим, что у € 1 : г. Тогда имеем

B[1 : m, 1 : m + 1]

perm | i j = perm

( ( Bi O \ \

bi 62

O B2

V (0 j 0 ••• 0) j

= |l[j]| perm Perm(Bi[1 : i - 1,1 : i \ {j}]).

Если B2 — пустая матрица, то perm (B22) равен модулю элемента, составляющего 62 • Иначе, в силу маргинальности, строка 62 содержит ровно один ненулевой элемент. Поэтому к perm ( В2 ) можно применить первое индуктивное предположение. К perm(Bi[1 : i — 1,1 : i \ {j}]) можно применить второе индуктивное предположение.

Таким образом, perm ^В[1:т-Д:т+Ч j — это произведение (m + 1) ненулевых элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки. Случай матрицы (В) симметричен рассмотренному. Утверждение 1 доказано.

2. Рассмотрим маргинальную базисную матрицу B[1 : m, 1 : m + 1] вида (4) и вычеркнем из нее произвольный столбец j. Допустим j £ 1 : i. Тогда

perm(B[1 : m, 1 : m +1 \ {j}]) = perm ( 62 ) perm(B1[1 : i — 1,1 : i \ {j}]).

B2

Первый сомножитель по утверждению 1 является произведением ненулевых элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы (В2 ), а второй сомножитель, по индуктивному предположению доказываемого утверждения, равен произведению ненулевых элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы Bi[1 : i — 1,1 : i \ {j}]. Утверждение 2 доказано.

Заметим, что если все ненулевые элементы маргинальной матрицы B вида (4) попарно взаимно просты, то НОД (perm (B ) , perm (В22)) = 1, так как perm (В ) и perm (В22) —два произведения, состоящие из различных элементов матрицы по уже доказанному утверждению 1. Поэтому условие кратности выполнено для ведущей строки.

Приступим теперь к доказательству теоремы. Пусть M = 1: m, N =1: m +1 и B(io) —базисная матрица, полученная преобразованием маргинальной базисной матрицы B = B[M, N] по строке io £ M в соответствии с теоремой 1. По лемме 3 для любой io £ M система

B(io)x = Ri о (6)

разрешима в целых числах, если выполнено условие кратности для ведущей строки. Так как B(io) —маргинальная базисная матрица, из замечания следует, что эта система разрешима в целых числах, если все ненулевые элементы B(io) попарно взаимно просты. Но матрица B(io) отличается от B только перестановкой строк и столбцов. Поэтому все ненулевые элементы B(io) попарно взаимно просты.

Пусть xi0 = xi0 [N] —целочисленное решение системы (6). При перестановке столбцов матрицы B порядок их нумерации мог измениться, но множество N осталось тем же. Поэтому вектор xi0 удовлетворяет системе (6) и для матрицы B. Суммируя полученные равенства, имеем

]Г Bxi0 =53 Rio = r

ioeM i0EM

Вектор x = J^i0gM xi0 имеет целые коэффициенты и, по построению, Bx = r. ■

Заметим, что Китайская теорема является тривиальным следствием доказанной теоремы.

3. Покажем, что насыщенную базисную матрицу В[М, N], фиксируя в ней произвольную строку *о € М, можно свести к новой базисной матрице Н*0 так, что у Н*0 ведущей будет строка * о. При этом целочисленная разрешимость системы Вх = г окажется следствием целочисленной разрешимости всех систем Н*0у = Д*0, *о € М.

Для этого определим следующее преобразование матрицы В.

Определение 6. Пусть В[М, N] —базисная матрица и * о € М. Обозначим 7+ =

1?|В[*о, л > 0}, 70- = 0|В[*0, л < 0}, 1+ = {*|В[*, 7+]

1-

{*|ВМо-]

Н^ (В)-преобразованием матрицы В[М, N] по строке *о будем называть матрицу

^В[М \{* о}\ 1+ Н = | В[* о, 7+]

О

] О

В[* о, 7-]

В[М \{* о}\ /0-,Л,

(7)

Пример. Пусть имеется базисная матрица

В[М, N]

1+

1 2 3 4 5 6

( ац —а12 0 0 0 0 \ 1

«21 а22 —а2з -а24 0 0 2

0 0 азз -аз4 0 0 3 .

а41 а42 а4з а44 —а45 —а4б 4

0 0 0 0 а55 —а5в/ 5

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ведущей является строка 4

по второй строке (* = 2) 7+ = {1, 2, 5, 6}; ^

{3,4, 5, 6};

3; 1- -- 1; М +° } {* = {1,4, 5}; М ° } {* = {3, 4, 5};

((«и) (—а12) 0 0 \

(а41) (а42) (—а45) (—а4б)

0 0 (а55) (—а5б)

Н = (а21) (а22) 0 0 (—а2з) (—а24) 0 0

(азз) (—аз4) 0 0

(а4з) («44) (—«45) ( «46)

\ 0 0 («55) ( «56)у

Теорема 3. Если В[М, N] — насыщенная базисная матрица, то Н*0 (В)-преобразование матрицы В[М, N] является базисной матрицей при любой строке * о € М.

Доказательство. Матрицы В+ = В[М \ {*о} \ 1+, 7+] и В- = В[М \ {*о} \ I-, 7-]

являются, по построению, насыщенными базисными матрицами. Действительно, В+ получается из В вычеркиванием столбцов л € N, для которых В[* о, л] < 0, и строк * € {* о} и 1+ .В строках * € 1+ матрицы В ненулевые элементы могут быть только в вычеркиваемых столбцах. Это следует из базисности матрицы В. В каждой из оставшихся строк * € М\{* о}\ 1+ матрицы В оказались вычеркнутыми либо только нулевые элементы, либо только ненулевые элементы одного знака. В последнем случае из насыщенности следует, что в ведущих строках всех оставшихся базисных подматриц не окажется нулевых элементов. Таким образом, матрица В+ сохраняет базисную структуру

о

и удовлетворяет условию насыщенности. Для матрицы В- рассуждения аналогичны. Так как подстрока В[* о, 7+] (соотв. В[*о, 7—]) неотрицательна (соотв. неположительна) по определению множеств 7+ и 7—, матрица Н®0 (В) —базисная. ■

Теорема 4. Пусть В = В[М, N] —целочисленная насыщенная базисная матрица и г = г[М] — целочисленный вектор. Система

имеет целочисленное решение, если при каждом і о Є М для НІ0 (В)-преобразования матрицы В и числа гІ0 выполнено условие кратности.

Доказательство. Пусть Н[Ь, Т] — матрица, являющаяся НІ0 (В)-преобразованием базисной матрицы В = В[М, N] по строке іо Є М.

Из определения следует, что элементы строки І Є Ь матрицы Н определяются элементами некоторой строки і Є М. Пусть Ь — множество строк І Є Ь, элементы которых определяются строкой і. Для строки і о имеем |ЬІ01 = 1, а для остальных і Є М, по построению, 1 < |Ьі| < 2. Таким образом, размер матрицы Н не более, чем удваивается по сравнению с размером В.

Пусть ЬІ0 = {Іо}, где Іо —номер ведущей строки в матрице Н. Построим вектор Д'0 = Д'0 [Ь] с компонентами

Из леммы 3 следует целочисленная разрешимость системы Ну = Д'0, если выполнено условие кратности для матрицы Н и числа г[*о]. Пусть у®0 —целое решение этой системы. Построим матрицу С[М, Т], полагая для * € М

Очевидно, что для всех строк * = * о выполняется С[*,Т]у®0 =0, а для * = * о имеем С[* о,Т]у®0 = г[*о]. Из построения матрицы Н[Ь, Т] следует, что при сложении строк Н[Ь, Т] столбцы из матрицы В[М\{*о}\ 1+, 7+] (соотв. В[М\{* о}\ 1—, 7—]) удлиняются до столбцов матрицы В[М, N] нулями. При этом некоторые столбцы из В в матрице С повторяются.

Пусть N = {£ € Т|С[М, £] = В[М, л]}. Построим вектор х®0 N], полагая для л € N

Вх = г

С[і,Т]= £ Н[І, Т].

хі0 [І] = $3 УІ0 [*].

4Є№,-

Для этого вектора при і = і имеем

]ГВ[і,і]хІ0 [і] = £ ]Г С[і,%І0 [і] = С[і,Т]уі0 [Т] =0,

и, аналогично, при і = і

]Г В [і о, і]хі0 [і] = С [і о, Т ]уі0 [М ] = г[і о ].

Отсюда следует, что если условие кратности выполнено при каждом iо G M для соответствующих Hi0 (В)-преобразований и числа r[i о], то при каждом i о G M существует целочисленный вектор xi0 [N], удовлетворяющий условию

Bxi0 = Ri0.

Так как r = ^*0Ём R*o, для целочисленного вектора x = ^*0Ём xi0 имеем Bx = r. ■

Условия целочисленной разрешимости системы Bx = r в том случае, когда B — произвольная базисная матрица, выводятся аналогично выводам в теоремах 2 и 4. Только в общем случае Hi0 (В)-преобразование учитывает «лишние» нули в ведущих строках в отличие от насыщенных базисных матриц. Маргинальные и насыщенные базисные матрицы охватывают два крайних по сложности случая среди базисных матриц. В маргинальном случае при преобразовании размер матрицы не увеличивается, а в насыщенном увеличивается не более, чем в два раза (см. доказательство теоремы 4). Удвоение достигается, если в качестве новой ведущей строки берется строка с двумя висячими элементами. В ненасыщенной базисной матрице сохраняется оценка «не более, чем в два раза».

В заключение заметим, что соответствующие условия для матриц, схема которых описывается небазисными минимально невыполнимыми КНФ, определяются семантическим выводом КНФ. Сложность построения этих условий совпадает со сложностью вывода с точностью до подсчета перманента. Для «тяжелых» КНФ эта сложность экспоненциальна, а для КНФ с полиномиальным выводом она полиномиальна.

Мы благодарны Г. В. Давыдову за постановку задачи.

Summary

I. M. Davydova, E. Y. Fedoseeva. Generalization of the Chinese Remainder Theorem.

The derivation of the sufficient conditions for integer solvability of a system Ax = r in the case of the basic matrix A in terms of the submatrices permanents of A is presented. In the Chinese Remainder Theorem the matrix A is a particular case of the basic matrix. The derivation can be extended for the case when a propositional formula which describes the sign scheme of A is the minimal unsatisfiable CNF.

Литература

1. Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. М., 1961.

2. Давыдов Г. В., Давыдова И. М. Разрешимые матрицы. Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1993. Сер. 1. Вып. 1. С. 3-9.

3. Давыдов Г. В., Давыдова И. М. Числовые представления выполнимости // Записки научных семинаров ПОМИ РАН. Т. 241. 1997. С. 72-96.

4. Davydov G., Davydova I., Kleine H. An efficient algorithm for the minimal unsatisfiability problem for a subclass of CNF // Ann. Math. Art. Int. Vol. 23. 1998. P. 229-245.

Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.