CC BY
64
УДК 621.391:621.396.96
DOI 10.21685/2072-3059-2017-3-2
Д. И. Попов
ОБНАРУЖЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ
Аннотация.
Актуальность и цели. Объектом исследования являются методы и алгоритмы обнаружения стохастических радиолокационных сигналов на фоне нормального белого шума. Целью работы является синтез алгоритмов и построение соответствующих структурных схем обнаружения стохастических сигналов.
Материалы и методы. На основе многомерной плотности вероятности отсчетов сигнала в дискретные моменты времени введено описание последовательности стохастических сигналов с использованием функционала плотности вероятности. Методом исследования является статистический синтез алгоритмов обнаружения, использующий операции вычисления отношения правдоподобия.
Результаты. В результате вычисления отношения правдоподобия синтезирован адаптивный алгоритм обнаружения последовательности стохастических сигналов на фоне нормального белого шума и приведена структурная схема обнаружителя. В адаптивном линейном фильтре из наблюдаемого колебания формируется опорный сигнал, который умножается снова на принятое колебание, а затем интегрируется. Результаты интегрирования накапливаются в межпериодном накопителе.
Выводы. При априорной неопределенности статистических характеристик сигнала (корреляционной функции) определяется оценка соответствующей функции, преобразуемая в оценку обратной корреляционной функции, используемой при адаптации линейного фильтра. Предложенный модифицированный алгоритм обнаружения и соответствующая структурная схема обнаружителя аналогична энергетическому приемнику, в котором решающей статистикой является суммарная энергия принятых реализаций, предварительно пропущенных через адаптивный линейный фильтр.
Ключевые слова: адаптивный алгоритм обнаружения, корреляционная матрица, корреляционная функция, многомерная плотность вероятности, нормальный белый шум, обратная корреляционная матрица, обратная корреляционная функция, отношение правдоподобия, стохастический сигнал.
D. I. Popov
DETECTION OF STOCHASTIC RADAR SIGNALS
Abstract.
Background. The objects of the study are methods and algorithms for detecting stochastic radar signals against the background of normal white noise. The aim of the work is synthesize algorithms and design construction of appropriate structural schemes for detecting stochastic signals.
Materials and methods. On the basis of the multidimensional probability density of signal samples at discrete instants of time, a description of the sequence of stochastic signals using the probability density functional is introduced. The method of investigation is statistical synthesis of detection algorithms using the operations of likelihood ratio calculation.
Results. As a result of calculating the likelihood ratio, an adaptive algorithm for detecting the sequence of stochastic signals against the background of normal white noise is synthesized and a scheme of the detector is given. An adaptive linear filter generates a reference signal from the observed oscillation, which is multiplied again by the received oscillation, and then integrated. The integration results are accumulated in the inter-period storage.
Conclusions. With a priori uncertainty of statistical characteristics of the signal (correlation function), the corresponding function is determined. It is transformed into an estimate of the inverse correlation function used in linear filter adaptation. The proposed modified detection algorithm and the corresponding detector scheme are similar to the energy receiver, in which the decisive statistics is the total energy of the received realizations previously passed through the adaptive linear filter.
Key words: adaptive detection algorithm, correlation matrix, correlation function, multi-dimensional probability density, normal white noise, inverse correlation matrix, inverse correlation function, likelihood ratio, stochastic signal.
Введение
Обнаружение сигналов является первой задачей, решаемой при обработке разнообразных радиолокационных эхо-сигналов [1, 2]. Алгоритм обнаружения и структура соответствующего обнаружителя зависят от вида и статистических свойств поступающих сигналов [3, 4]. Широкое распространение при синтезе алгоритмов обнаружения получили так называемые квазидетер-минированные сигналы, т. е. детерминированные сигналы со случайными параметрами [5, 6]. Однако на практике от ряда целей поступают сигналы, имеющие шумоподобный (случайный) характер, например от вертолетов, дронов и т.п. Кроме того, в допплеровских метеорологических радиолокаторах получили применение стохастические (случайные) зондирующие радиосигналы [7]. Стохастические сигналы встречаются также в радиоастрономии, радиоразведке, пассивной локации, биоэлектронике и т.д. В связи с этим актуальна задача синтеза алгоритмов обнаружения стохастических сигналов.
1. Статистическое описание сигналов и шумов
Стохастический характер отраженных сигналов обусловлен либо применением стохастических зондирующих сигналов, например в допплеровских метеорологических радиолокаторах [7], либо множественным характером независимо и случайно расположенных элементарных отражателей радиолокационной цели, перемещающихся друг относительно друга и относительно радиолокатора. Сигнал от такой совокупности отражающих элементов на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей представляет собой нормальный случайный процесс [8], многомерная плотность вероятности которого имеет вид
P(sb s2 ..., sm) = (2я)"m/2(det 11 Rjk ||)-1/2 exp
( 1 m \
--2 Z sJWjksk j, k=1
(1)
где Sj = s(tj) (] = 1, 2, ..., т) - совокупность отсчетов сигнала s(t) в дискретные моменты времени t = tj ; det || Е|| - определитель корреляционной
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион матрицы, составленной из значений корреляционной функции Щк = Х , ^к) = ^ ])5) сигнала с нулевым математическим ожиданием ) = 0]; Ж^ - элементы матрицы, обратной корреляционной, которые удовлетворяют уравнениям:
т
Е Х-рП , (2)
г=1
здесь 8jk - дельта-символ Кронекера,
[1 j = k, 0 j Ф k.
8 jk =
Для определения элементов обратной матрицы удобно использовать равенство [8]:
Лё (хс)
Jk det || Rjk ||
где Ad(Rkj) - алгебраическое дополнение элемента Rkj корреляционной матрицы.
Перейдем к описанию стохастических сигналов с использованием функционала плотности вероятности [9], который получается из многомерной плотности вероятности для отсчетов сигнала, заданного на отрезке [0, T], в моменты времени tj = jAt, j = 1, 2, ..., m . В результате предельного
перехода при m At ^ 0 и T = const плотность вероятности (1) преоб-
разуется в функционал плотности вероятности. При таком переходе двойная сумма в показателе экспоненты в формуле (1) может интерпретироваться как интегральная и пределом квадратичной формы оказывается двойной интеграл:
lim
2
ДгV / дгV
TT
2
( m тхгс ^
2
1 m 1 m Wk
- 2 Z sjWjksk = lim - - Z sj -гJskД
A j, k=1 ДГ
j, k=1
2{{^iWCCl, t2)s(t2)dtidt2
00
где
4 .• Wc (J-ДГ, k ДГ) Wc(ti, t2) = lim cW 2--
j&^ti дг2 k Дг ^t2
обратная корреляционная функция сигнала.
Функционал плотности вероятности нормального стохастического сигнала имеет вид
F [ s(t)] = C exp
1 TT
- JJs(t!)Wc(tb t2)s(t2)dtxdt2
0 0
(3)
Уравнение (2), определяющее элементы обратной корреляционной
матрицы Ж^ , можно записать в виде
М с Wk
j Л .2
I *
i=1
jk
At = At2 At
переходящем при т
и At ^ 0 в интегральное уравнение
JRc(t-, t)Wc(t, t2)dt = 8(t- -t2):
(4)
где 5(^1 -12) - дельта-функция Дирака.
Функция Жс (^1, ^2) является решением интегрального уравнения (4). В выражении (3) множитель
C = lim
"(20-m/2(det||RCk||)-1/2'
может не существовать или быть равным нулю. Однако при решении практических задач это обстоятельство не является существенным, так как при синтезе алгоритмов обнаружения отношение функционалов плотности вероятности (отношение правдоподобия) является конечной функцией.
При обзоре пространства от радиолокационной цели поступает последовательность (пачка) Ь эхо-сигналов {.(')} = ^(О, ^(О,..., .'ь('), следующих с периодом повторения зондирующих импульсов. С учетом статистической независимости сигналов функционал плотности вероятности для пачки сигналов принимает вид
F[{s/ (t)}] = CL П exp l=1
1 TT
- Ц*, (t1)Wci (t1, t2)si (t2)dt1dt2
0 0
(5)
В качестве помехи рассмотрим нормальный стационарный дельта-коррелированный процесс п('), называемый белым шумом, с нулевым математическим ожиданием [ п(') = 0 ] и корреляционной функцией
Яш('1, Ь) = п(Н)п(12) = (N0 / 2)5(?1 -12),
где N0 /2 - двусторонняя спектральная плотность шума, не зависящая от частоты.
Обратная корреляционная функция белого шума, удовлетворяющая с учетом выражения для Яш ('1, '2) уравнению (4), имеет вид
Жш(¿1, t2) = (2/^о)8(*1 -Ъ)- (6)
Используя это в выражении (3), получим известную формулу для функционала плотности вероятности белого шума:
F[n(t)] = C exp
1 T
--Г n 2(t )dt
N0 J
(7)
Из функционала (7) следует, что вероятность реализации белого шума
т
) тем меньше, чем больше ее энергия ^п2^)& на заданном интервале
о
[0, Т].
Применительно к пачке шум может быть представлен также в виде последовательности {п/ (¿)} = п^), ^(0,--., п^ (¿), для функционала плотности вероятности которой запишем
т
L
F[{n (t)}] = CL П exp l=1
-N" Г n2(t )dt
N0 0 0
(8)
2. Синтез алгоритма обнаружения
В процессе обнаружения производится анализ принятого колебания в виде последовательности {и/(¿)} = щ^), ^(0,... иь(¿) с целью вынесения решения о наличии или отсутствии в нем последовательности сигнала {5/ (^)} , т.е. {и/ ^)} = {5/ ^) + п/ ^)} или {и/ ^)} = {л/ (¿)}. При обнаружении возможны два неизвестных и взаимоисключающих условия, которые именуются альтернативными гипотезами: условие Н1 - сигнал есть; условие Но - сигнала нет.
Распределение последовательности стохастического сигнала {5 (¿)} описывается функционалом плотности вероятности (5), а шума {л/ (^)} - функционалом (8).
Сигнал 5/ (^) является некоррелированным с шумом п/ (^). Тогда при истинности гипотезы Н1 их аддитивная смесь и/ (^) = 5/ (^) + п/ (^) как сумма некоррелированных нормальных процессов будет также нормальным процессом с корреляционной функцией (¿1, ¿2), равной сумме корреляционных функций сигнала 5/ (^) и шума п/ (^):
Хсш/ (¿1, ¿2) = Хс/ (¿1, ¿2) + (N / 2)8(^ - ¿2). (9)
Функционал плотности вероятности последовательности {и/ (^)} = {5/ (^) + п/ (^)} при гипотезе Н1 (т.е. при наличии сигнала и шума) определяется аналогично формуле (5):
Рсш [{и/ (Г)}] = ^ [{и/ (^)}/Н1] =
= CL
L Г Л TT
ПeXP \ -"2 JJUl (t1)Wcml (t1, t2)ul (t2)dt1dt2 f ,
I 2
/ =1 I 0 0
где Жсш/ ('1, '2) - обратная корреляционная функция и/ ('), получающаяся решением аналогичного (4) интегрального уравнения, принимающего с учетом (9) вид
т
|[ [/ ('1,') + (N0 / 2)5('1 -')] Ж.ш/ (', '2 № = 5('1 - '2).
0
Функционал плотности вероятности последовательности {и/ (')} = {п/ (')} при гипотезе Н0 (т.е. при наличии одного шума) имеет вид
L Г T
Fm
[{ui(t)}] = F[{ui(t)}/ Я0] = CLПexp\ --L Juf(t)dt
7=T 1 N00
lL Г ,TT
Пexp \ -"2 JJul (t1)Wn (t1, t2 )Ul (t2 )dt1dt2
= С
^ 1 I 2
/=1 I 0 0
где обратная корреляционная функция белого шума Жш ('1, '2) определяется выражением (6).
Алгоритм обнаружения последовательности стохастических сигналов определим, вычислив отношение правдоподобия:
ь Г тт Л
Л = ^ [{и/ )}] =П ехР 11 1Ь ('1)[Жш ('1, '2)-Жсш/ ('1, '2)]и/ ('2)^2 [>Л0 .
Fm [{Ul (t)}] l=1 1 I 2
0 0
Путем логарифмирования отношения правдоподобия найдем достаточную статистику:
1 Ь тт
* = 1п Л= 2 ('1) [Жш ('1, '2) - Жсш/ ('1, '2)]и/ С2ЩЛ2 > 1п Л0 = *0,
/=1 0 0
откуда после несложных преобразований получим
ьт 1 т
* = xiи1 ('1)^|и/('2)[Жш ('1, '2) - Жсш/('1, '2)]> *0,
/=1 0 0
где *0 - пороговый уровень обнаружения.
Полагая '1 =' и '2 = т, обозначим внутренний интеграл в виде
1 т
'и/ (') = -1и/ (т) [ (Г, X) - ЖсШ/ (', Т)] ^Т =
0
J ul(т)
0
~~ 8(т-1) - 2 Wcml (t, т) N0 2
d т.
Данное соотношение определяет некоторое линейное преобразование принятых колебаний и/ (*), осуществляемое с помощью линейного фильтра. Тогда алгоритм обнаружения последовательности стохастических сигналов имеет вид
Ь Т
* = и1(*) (*)Л - 20.
I=1 0
При синтезе алгоритма обнаружения предполагалось, что статистические характеристики сигнала известны. Прежде всего это относится к корреляционной функции сигнала. Однако в практических задачах нередко имеет место априорная неопределенность вида корреляционной функции. Отклонения реальной корреляционной функции от расчетной могут привести в зависимости от степени отклонения к потерям качества алгоритмов обнаружения. Преодоление априорной неопределенности в соответствии с адаптивным байесовским подходом основывается на замене априори неизвестных параметров или характеристик их оценочными значениями [10], что приводит к построению адаптивных алгоритмов обнаружения.
В предположении эргодичности входного процесса оценка корреляционной функции для суммы сигнала и шума определяется по реализации и (*) в соответствии с алгоритмом
1
4ml (т) = - J ui (t)ui (t + T)dt.
Т
0
Оценка обратной корреляционной функции ИСш (т) должна удовлетворять интегральному уравнению
Т
|Ясш1 (*1, *)ИИСШ/(*, = 8(*1 - *2).
0
Учитывая, что оценка (*1, *) задается эмпирически, для определения оценки И^ш (*, *2) следует использовать аппаратные функциональные преобразования.
Адаптивный алгоритм обнаружения принимает вид
Ь Т
* = и (* )4/ (* - *о, (10)
=1 0
где
sul(t) = Jul(т)
N- 8(т- t) - -2 WCml (t, т) N0 2
d т .
В соответствии с алгоритмом (10) осуществляется адаптивная внутри-периодная обработка поступающих сигналов, реализуемая корреляционным интегралом, и межпериодное накопление результатов интегрирования.
3. Структурные схемы обнаружителей
Структурная схема обнаружителя сигналов, соответствующая алгоритму (10), представлена на рис. 1, где ЛЗ - линия задержки, Ф - фильтр, X - умножитель, | - интегратор, Н - накопитель, ПУ - пороговое устройство, К - коррелометр и ФП - функциональный преобразователь. Линия задержки ЛЗ обеспечивает временное согласование обработки входных данных с поступающей от функционального преобразователя ФП оценкой обратной корреляционной функции. В адаптивном линейном фильтре Ф из наблюдаемого колебания и/ (') формируется опорный сигнал 'и/ ('), который умножается снова на колебание и/ ('), а затем интегрируется. Результаты интегрирования накапливаются в межпериодном накопителе Н. Решение о наличии сигнала выносится по результатам сравнения в пороговом устройстве ПУ накопленной суммы с пороговым уровнем обнаружения *0 .
Рис. 1. Структурная схема обнаружителя сигналов
Представим в алгоритме (10) колебание и/ (') в виде
и/(') = 'и/(') + [и/(') - 'и/(')].
Заметим, что 'и/ (') и и/ (') - 'и/ (') являются функциями с неперекрывающимися спектрами: спектр первой целиком сосредоточен в полосе пропускания фильтра Ф, второй - за ее пределами [ и/ (') - 'и/ (') - то, что не пропускается фильтром Ф]. Поэтому 'и/ (') и и/ (') - 'и/ (') ортогональны и их корреляция равна нулю. Тогда алгоритм (10) принимает вид
ь т ь т 2
* = XI{'и/ (') + [и(/') - .'и/ (')]}'и/ (№ = XI'и/2 ('№ > *0.
l=10
l=10
Соответствующий данному алгоритму модифицированный обнаружитель сигналов (рис. 2) аналогичен так называемому энергетическому приемнику, в котором решающей статистикой * является суммарная энергия принятых реализаций, предварительно пропущенных через адаптивный линейный фильтр Ф.
Рис. 2. Структурная схема модифицированного обнаружителя сигналов
Заключение
Таким образом, на основе введенного функционала плотности вероятности последовательности сигналов в виде нормального случайного процесса синтезирован адаптивный алгоритм обнаружения последовательности стохастических сигналов на фоне нормального белого шума и приведена структурная схема обнаружителя. Предложен модифицированный алгоритм обнаружения последовательности стохастических сигналов и соответствующая структурная схема обнаружителя, аналогичная энергетическому приемнику, в котором решающей статистикой является суммарная энергия принятых реализаций, предварительно пропущенных через адаптивный линейный фильтр.
Библиографический список
1. Radar Handbook / ed. by M. I. Skolnik. - 3rd ed. - McGraw-Hill, 2008. - 1352 p.
2. Richards, M. A. Principles of Modern Radar: Basic Principles / M. A. Richards, J. A. Scheer, W. A. Holm. - New York : SciTech Publishing, IET, Edison, 2010. -924 p.
3. Melvin, W. L. Principles of Modern Radar: Advanced Techniques / W. L. Melvin, J. A. Scheer (Eds.). - New York : SciTech Publishing, IET, Edison, 2013. - 846 p.
4. Richards, M. A. Fundamentals of Radar Signal Processing, Second Edition / M. A. Richards. - New York : McGraw-Hill Education, 2014. - 618 p.
5. Тихонов, В. И. Оптимальный прием сигналов / В. И. Тихонов. - М. : Радио и связь, 1983. - 320 с.
6. Попов, Д. И. Статистическая теория радиотехнических систем / Д. И. Попов. -Рязань : РГРТУ, 2011. - 80 с.
7. Могила, А. А. Применение стохастических зондирующих радиосигналов для разрешения неопределенности «дальность-скорость» в допплеровских метеорологических радарах / А. А. Могила // Известия вузов. Радиоэлектроника. - 2014. -Т. 57, № 12. - С. 30-42.
8. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер ; пер. с англ. А. С. Монина, А. А. Петрова ; под ред. А. Н. Колмогорова. - М. : Мир, 1975. -648 с.
9. Кендалл, М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стьюарт. - М. : Наука, 1976. - 736 с.
10. Репин, В. Г. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем / В. Г. Репин, Г. П. Тартаковский. - М. : Сов. радио, 1977. - 432 с.
References
1. Radar Handbook. Ed. by M. I. Skolnik. 3rd ed. McGraw-Hill, 2008, 1352 p.
2. Richards M. A., Scheer J. A., Holm W. A. (Eds.) Principles of Modern Radar: Basic
Principles. New York: SciTech Publishing, IET, Edison, 2010, 924 p.
3. Melvin W. L., Scheer J. A. (Eds.) Principles of Modern Radar: Advanced Techniques. New York: SciTech Publishing, IET, Edison, 2013, 846 p.
4. Richards M. A. Fundamentals of Radar Signal Processing, Second Edition. New York: McGraw-Hill Education, 2014, 618 p.
5. Tikhonov V. I. Optimal'nyypriem signalov [Optimal signal reception]. Moscow: Radio i svyaz', 1983, 320 p.
6. Popov D. I. Statisticheskaya teoriya radiotekhnicheskikh sistem [The statistical theory of radio engineering systems]. Ryazan: RGRTU, 2011, 80 p.
7. Mogila A. A. Izvestiya vuzov. Radioelektronika [University proceedings. Radio engineering]. 2014, vol. 57, no. 12, pp. 30-42.
8. Kramer G. Matematicheskie metody statistiki [Mathematical methods in statistics]. Transl. from English. by A. S. Monin, A. A. Petrov; ed. by A. N. Kolmogorov. Moscow: Mir, 1975, 648 p.
9. Kendall M., St'yuart A. Mnogomernyy statisticheskiy analiz i vremennye ryady [Multi-variative statistical analysis and time series]. Moscow: Nauka, 1976, 736 p.
10. Repin V. G., Tartakovskiy G. P. Statisticheskiy sintez pri apriornoy neopredelennosti i adaptatsiya informatsionnykh sistem [Statistical synthesis at a priori uncertainty and information system adaptation]. Moscow: Sov. radio, 1977, 432 p.
Попов Дмитрий Иванович
доктор технических наук, профессор, кафедра радиотехнических систем, Рязанский государственный радиотехнический университет (Россия, г. Рязань, ул. Гагарина, 59/1)
E-mail: [email protected]
Popov Dmitriy Ivanovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of radioengineering systems, Ryazan State Radio Engineering University (59/1 Gagarina street, Ryazan, Russia)
УДК 621.391:621.396.96 Попов, Д. И.
Обнаружение стохастических радиолокационных сигналов /
Д. И. Попов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2017. - № 3 (43). - С. 26-35. Б01 10.21685/2072-30592017-3-2
