Обґрунтування обмежень практичного використання рівнянь Вольтери-Больцмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. ШФОРМАЩЙШ ТЕХНОЛОГИ ГАЛУЗ!

УДК 634.0.812 Проф. Б.П. Поберейко, д-р техн. наук -

НЛТУ Украти, м. Львiв

ОБГРУНТУВАННЯ ОБМЕЖЕНЬ ПРАКТИЧНОГО ВИКОРИСТАННЯ РШНЯНЬ ВОЛЬТЕРИ-БОЛЬЦМАНА

Проведено узагальнення феноменологiчних пружно-демпферних моделей Фойгта, Максвелла, Кельвина тощо, i на його основi показано, що практичне застосування вщо-мих на сьогоднi ршнянь Вольтера-Больцмана для опису деформативностi деревини е обмеженим. Зокрема встановлено, що цi рiвняння задовiльно описують реологiчну по-ведшку матерiалу переважно в лiнiйнiй iнварiантнiй вiдносно часового зсуву областi деформування. Окр1м цього, пiдтверджено, що на вщмшу вiд пружно-демпферних моделей рiвняння Вольтера-Больцмана дають змогу визначити характеристики деформа-тивностi деревини як з одновюним напруженим станом, так i з двовiсним, плоским i складним напруженими станами.

Ключовi слова: ядро повзучостi, ядро релаксацн, напруження, деформацн, рiвнян-ня Вольтера-Больцмана.

Актуальшсть. Для побудови математично! моделi деформативносп деревини у в'язкопружнiй обласп деформування можна використати феноменоло-пчний пiдхiд, прикладом якого е пружно-демпферш моделi Фойгта, Максвелла, Кельвiна, Ржанщина тощо. Клас таких моделей можна розширити до безмеж-ностi, збшьшуючи кiлькiсть структурних елементiв (пружин та демпферш) та число всiх можливих комбiнацiй !х з'еднань в модельних схемах. Очевидно, що з несюнченно! кiлькостi моделей вибрати моделi, ят адекватно описують ре-ологiчну поведшку деревини, задача не проста. Тому для визначення деформа-тивностi деревини у в'язкопружнш областi деформування актуальною е задача узагальнення наявних феноменолопчних пружно-демпферних моделей зв'язку деформацiй з напруженнями.

Постановка та вирiшення задачг В усiх зазначених вище моделях кш-цевим результатом е встановлення взаемозв'язку мiж деформащями е(т) i напруженнями сг(т), яш можна записати у бiльш загальному виглядi:

е(т) = Е Ка(т), (1)

або &(т) = ЕЯв(т), (2)

де: т - поточний час деформування матерiалу, Е - модуль пружносп, а К i К -системнi оператори, яю визначаються фiзико-механiчними характеристиками матерiалу. У моделях Гука, Фойгта тощо вигляд операторов К i К задаеться параметрами структурних елеменпв. Наприклад, для моделi Гука у випадку одно-вiсноí задачi оператор К еквшалентний одиницi, тобто К = 1, а для моделi

Фойгта - К = 1 i т.д.

Е dт

Науковий вкник НЛТУ Украми. - 2014. - Вип. 24.4

Фундаментальшсть операторних формул (1) i (2), отриманих з аналiзу вiдомих на сьогодш пружно-демпферних моделей деформування деревини по-лягае у тому, що процес деформування можна подати у виглядi схеми "чорного ящика" (рис.), на входi якого дiе сигнал деформування v(t), а на виходi отри-

муемо сигнал 5 (t). Якщо v(t) = s(t) , то напрям деформування ствпадатиме з напрямком дп механiчного навантаження s(t). У протилежних випадках для v(t) = e(t) вихiдний сигнал характеризуватиметься протилежним знаком, бо напруження завжди дшть у напрямку, протилежному до напрямку деформування.

S(T) ^

L

Рис. Модель "чорного ящика " для опису процесу деформування деревини Для зручносп викладу матерiалу введемо оператор L, який е е^вален-

тним оператору — K, якщо u(t) = s(t) , а для випадку коли u(t) = e(t) опера-

E

тор L е тотожним оператору Ell. Тодi у нових позначеннях спiввiдношення (1) та (2) запишуться у виглядi

5 (t) = Lu(t) . (3)

Постановка задачi у формi (3) неповна, осктьки необхiдно визначити область значень вхщних сигналiв ивх, а також вказати область seux - допусти-мих вихiдних сигналiв 5 (t). Область ивх визначаеться оператором L. Наприк-лад, якщо L задовольняе умовам:

L (u (t) + v2 (t)) = Lu (t) + Lv2 (t) ; (4)

L (au(t)) = aLu(t), (5)

де u(t), U2(t), u(t) - будь-яю вхiднi сигнали, взятi з обласп ивх.

Якщо a - число, для якого au(t) не перевищуе граничних значень з об-ластi даних ивх у будь-який момент часу t, то у заданш областi деформування ивх матерiал е лiнiйним. У випадках, для яких не виконуються рiвностi (4) та (5), реолопчна поведiнка деревини вважаеться нелшшною.

Якщо iз стввщношення (3) для задано'1 областi деформування ивх витi-кае умова

5 (t±to )= Lu(t±to ) , (6)

то властивостi матерiалу в областi ивх е iнварiантними вiдносно часового зсуву.

Принцип суперпозицп (4) - (5) та умова iнварiантностi (6) конкретизу-ють обмеження синтезу моделей деформування деревини та аналiзу результатiв практичного застосування цих моделей.

Пошук математично'1 моделi опису реологiчноï поведшки деревини у виглядi спiввiдношень (1)-(6) е доцтьним i необхiдним, осктьки пружно-дем-5. Тнформацшш технологй" галузi 329

пфернi моделi Гука, Фойгта i im подабш з позицiй лiнiйностi й iHBapiaffraocri е И частковими випадками.

Зпдно з (3), якщо до матерiалу пiдвести одиничне механiчне зусилля (вхдаий сигнал), iдеалiзацiею якого е дельта-функщя d(t), то реакщею (ввдгу-ком) буде деяка функщя L(т):

L(т) = LS(t). (7)

Для процесу деформування матерiалу в лiнiйнiй, iнварiантнiй вiдносно часового зсуву у в'язкопружнш областi, яку надалi називатимемо лшшною шва-рiантною областю (Л1В - областю), ршняння (7) для будь-якого часового зсуву т0 матиме вигляд

L (т±то ) = Ls(r±to). (8)

За вщомою шпульсною характеристикою L(т) визначаемо реакцда ма-терiалу у Л1В - обласп деформування для будь-якого видного сигналу деформування v(t). Оскшьки будь-яку неперервну функцда f (т) можна подати у виглядi [1]:

f (т) = f (0) h (т) + +[ ^^ h (Т-То) dto, (9)

0 dto

де h (т-т0) = J0 ^ЛЯ Т<Т°' - функщя Хевiсайда. [1 для т>т0.

Замiнивши у (9) f (т) на v(t) i врахувавши, що 0(т±т0) = -dhТ Т°) отримаемо

v(t) = lim v(t)h(т-т0)+ | v(t0)d(r-r0)dt0. (10)

Т0®+¥ 0

Пiдставивши (10) у (3), матимемо

s (т)= Lv(t)= L | v(t0 )d(r-r0) dt0 + lim v(t) Lh (т-т0 ). (11)

Приймемо до уваги, що ^еграл е границею суми, тодi на основi принципу суперпозицп лшшний оператор L можна внести шд знак iнтегралу. Тодi, оскiльки оператор L "дае" лише на величини, залежнi вiд поточного часу т, а не ввд змiнноí жегрування т0 , то

s(т)= Lv(t) = | v(t0)Lö(t-t0)dt0 + lim v(t)Lh(т-т0), (12)

0 тз®+¥

або згiдно з (8)

s(т) = Lv(t) = | v(t0)L(т-т0)dt0 + lim v(t)Lh(т-т0). (13)

0

Науковий вкник НЛТУ Украши. - 2014. - Вип. 24.4

Реакщя матер1алу не може виникнути рашше моменту шдведення меха-шчного зусилля vit. Це означае, що при t < 0 1мпульсна характеристика мате-р1алу L it) тотожно дор1внюе нулев1 i верхню межу штегралу у (13) можна за-мшити на поточне значення часу.

t

s(t) = Lv(t) = \v(t0)L(t-t0)dt0 + lim vit)Lh(t-t0). (14)

0 «4®+»

Оскшьки d lim Lh(t-t0) = lim Ldh(t-t0) lim L(t-t0),

dt «o®+» «o®+» dt «o®+»

i L it-t0 ) = 0 для t<t0, a lim Lh (r-r0 ) = C = const, то

to®+»

t

s (r) = Lv(r) = fv(r0 ) L (r-10 ) dr0 + Cv(r). (1S)

o

Оскiльки вхвдним сигналом деформування мaтерiaлy може бути величина напружень sit), або деформацш e(r), а вихщним - вiдповiдно e(r) , або -s(r), то, згiдно з (1S), реолопчна поведiнкa деревини у Л1В - обласп дефор-мування описуеться р1вняннями:

г 1

e(r) = Qs(r) + f - s(«) K (г - «o ) dto; (16)

o E t

-s(«) = С2£(г) + J Ee(r) R (г - «o ) d«o, (17)

o

де K (r-r0) та R(r-r0) - iмпyльснi характеристики мaтерiaлy, якi вiдповiдaють

операторам K та R.

Стaлi iнтегрyвaния C1 та C2 знайдемо з початкових умов. Спрaвдi оскшь-

ки у початковий момент часу «= 0 - e(t) = s(t«, то C1 = —, a C2 = -E. Тодi

EE

формули (16) та (17) набудуть вигляду:

1 « 1

e(t)= - s(t)+ J - s(t) K (t-to ) dto; (1S)

E s(«)+J Es[t-

t

s(t)= Ee(t) - J Ee(t) R (t-to ) dto. (19)

0

Встановлеш формули називають штегралами Дюамеля, або ^егралами Вольтера-Больцмана, або iнтегралами типу згортки [2], а функцц К(т-то) та Я(т-т0) - функцiями, або ядрами повзучосп та релаксацií вiдповiдно.

Ршняння (18) та (19) легко узагальнити на випадок розгляду процесу де-формування матерiалiв з довiльною ашзотротею. Дiйсно, оскiльки у декартовiй системi координат (х1, х2, х3) напруження ац та деформацш вц е тензорами другого рангу, то у тензорнш формi подання цi рiвняння матимуть вигляд: 5. 1нформацшш технологи галузi 331

1 т 1

ej (t) = — Sjj(t) + J—Ski (t)Kijki (t-to)dto; (18)

Eijki o Ejki

t

Sj (t) = EjkiSki (t)-J Eki£(t) Rjki (t-to) dto, (19)

o

де шдексами i, j, k, i позначено головнi напрямки ашзотропп матерiалу.

Висновок. Ршняння Вольтери-Больцмана описують реологiчну поведан-ку деревини в лiнiйнiй iнвaрiaнтнiй вiдносно часового зсуву облaстi деформу-вання.

Лггература

1. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин. - М. : Изд-во "Наука", 1986. - 320 с.

2. Можарский В.В. Прикладная механика слоистых тел из композитов / В.В. Можарский, В.Е. Старжинский. - Минск : Изд-во "Наука и техника", 1988. - 170 с.

Поберейко Б.П. Обоснование ограничений практического использования уравнений Вольтера-Больцмана

Проведено обобщение упруго-демпферных моделей Фойгта, Максвелла, Кельвина и т. д., и на его основании показано, что практическое использование известных уравнений Вольтера-Больцмана для описания деформативности древесины ограничено. В частности установлено, что эти уравнения удовлетворительно описывают реологическое поведение материала в линейной инвариантной относительно временного сдвига области деформирования. Кроме этого, подтверждено, что в отличие от упруго-демпферных моделей уравнения Вольтера-Больцмана позволяют определить характеристики деформативности древесины как с одноосным, так и с двухосным, плоским та сложным напряженными состояниями.

Ключевые слова: ядро ползучести, ядро релаксации, напряжения, деформации, уравнения Вольтера-Больцмана.

Pobereyko B.P. Justifying Limitations for Practical Use of Voltaire-Boltzmann's Equations

Some elastic-damping models of Voigt, Maxwell, Kelvin, etc. are generalised. The practical use of the known Voltaire-Boltzmann's equations to describe the deformation of wood is indicated to be limited. In particular, these equations are found to reasonably describe the rheological behaviour of a material in a linear invariant under time offset area of deformation. Moreover it is confirmed that unlike elastic-damping models, Voltaire-Boltzmann's equations allow determining the deformation characteristics of wood as with uniaxial and biaxial, the flat complex stressed state.

Key words: kernel creep, relaxation kernel, stress, strain, equations Voltaire-Boltzmann.

УДК 681.3 Доц. О.А. Пастух, д-р техн. наук -

Терноптьський НТУ im. 1вана Пулюя

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕФЕКТИВНОСТ1 ПЕРЕТВОРЕННЯ 1НФОРМАЦН КВАНТОВИМИ РАДЮТЕХН1ЧНИМИ СИСТЕМАМИ

Виконано аналiз дослщження та математичне моделювання ефективност роботи квантових радютехшчних систем при перетворенш неч^ко! шформацн. Встановлено, що ефектившсть перетворення неч^ко! шформацн квантовими радютехшчними систе-