CC BY
9Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 17.2013
УДК 539.3
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЯ ПРИ ОДНОСТОРОННИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
В. Ю. Андрюкова, В. Н. Тарасов
Аналитически решена задача устойчивости продольно сжатого стержня при односторонних ограничениях на перемещения в упругой среде при различных граничных условиях. Результаты, полученные аналитическим путем, проверены численным методом и полностью согласуются.
Ключевые слова: стержень, устойчивость, критические силы, граничные условия, односторонние ограничения, собственные числа.
1. Постановка задачи
Пусть стержень длины I, находящегося в упругой среде с жесткостью с. нагружен продольной силой Р. Обозначим через Б - жесткость стержня при изгибе, Расчет на устойчивость стержня сводится к нахождению минимальной силы Р. при которой вариационная зада-
имеет нетривиальное решение. В данной работе предполагается, что прогиб стержня и){х), х е [0,/]. с одного края может быть ограничен жестким препятствием так. что
Ясно, что нетривиальное решение функционала (1) при ограничениях (2) можно нормировать, потребовав выполнения ограничения
ча [1]
(1)
ы{х) > о, же [о,4
(2)
© Андрюкова В. Ю., Тарасов В. Н.. 2013.
Тогда задача (1) - (2) может быть записана в виде минимизации функционала
1 Ге
J(w) = (Dw"2 + Cw2)dx ->• min. (4)
2 J о
при выполнении условий (2) и (3).
Экстремальная задана рассматривается в пространстве Н = 0, £] — пространство функций Л.С. Соболева, имеющих обобщенные суммируемые с квадратом первую и вторую производные (первая производная абсолютно непрерывна} и удовлетворяющих соответствующим граничным условиям.
Решение задачи минимизации функционала (4) при ограничениях (2) и (3) существует [2]. ибо множество функций w £ Н. удовлетворяющих условию (2) и (3) является слабым компактом, а функционал J(w) является выпуклым,
Если w{x) > 0, для всех х е где 0 < t\ < 1ч < £ и w{l\) =
w(£2) = 0. то w(x) является решением уравнения Эйлера - Лагранжа для функционала (1)
wIV + uw + p2w — 0, (5)
где ш — C/D, р2 — X/D, А - множитель Лагранжа для ограничений изопериметрического типа (2).
В этом случае уравнение (5) будет совпадать с уравнением равновесия сжимаемого продольной силой стержня, находящегося в упругой среде. Заметим, что уравнение (5) совпадает с уравнением равновесия цилиндрической оболочки сжимаемой продольной силой в осесиммет-ричном случае.
В данной работе рассмотрено три вида граничных условий:
• граничные условия жесткой заделки:
tü(0) = w(£) = 0, «/(0) = w'(£) = 0. (6)
• граничные условия шарнирного опирания:
Ц0) = w{£) = 0, w"(0) = w"(£) = 0. (7)
• граничные условия жесткой заделки при х = 0 и граничными условиями свободного края при х = £.
tü(0) = 0, u/(0) = 0, w"(e) = 0, w'"(£) + Pw'(£) = 0. (8)
w2(x) = |
Предположим вначале, выполнены граничные условия типа (6) или (7). Допустим, что w(x) = 0 на некотором множестве точек интервала [О,£]. Тогда, очевидно, что в этих точках w'(x) = 0. Предположим, что w(x) > 0, для всех х 6 w'(£i) = w'(£2) = 0 и w{x) ф 0 вне этого
интервала,
Определим функции
w(x), если х G [¿1,^2], 0, если х £ [¿ь^г] ■
w(x), если х 0 [4,^2], 0, если х е [£i,¿У-
Ясно, что Wi(x),W2(x) G Н.
Пусть a — J(w\), b — J(w2), 72 = Ji{wi), ß2 — J\{w2). Из определения функций W\ и W2 следует равенство
72 + /ö2 = l.
Введем обозначения
w\ = 7_1tf;i, и>2 = ß~1W2-Если 7~2а < ß~2b, то а( 1 — j2) < 72b, откуда следует неравенство
7~2а — J(tüi) < а + b — J{w), если же 7~2а > ß~2b, то
■/(й2) < ^И-
Таким образом, решение задачи (2) - (1) можно искать среди функций, строго положительных на некотором интервале (¿1,^2), 0 < £\ < £2 < £ и тождественно равных нулю вне этого интервала.
Если w(x) > 0 для любого х Е (0,£2). то £2 либо совпадает с £, либо находится из решения задачи
1 rh
J(w) = - (w"2 + uw2)dx -»■ min (9)
2 Jо
при ограничении
1 pi 2
Ji(iü) = - / Лж = 1. (10)
2 Jo
Далее нам потребуется общая формула для вариации функционала. Пусть
рХ!
J(w)= / F(w",w',w,x)dx, (11)
j X о
(ки-вариация траектории. Считаем, что может варьироваться не только функция, но и интервал интегрирования,
5^<ш) = [ 1 (^//¿ги" + + + Р\хх\.
^ хо
Интегрируя по частям, получаем Г1 ( сР (1
+ (к? -
Так как
= N15 + Н2 = +
то окончательно получаем
Г1 ( сР в, \
+ ^р-у/'Р^+у/^Р^-и/Р^ 5х\хх1+РтМ\хх\ + ^ - Н^ ■
(12)
Из условия минимума по £2 в задаче (9) - (10) и с учетом того,что ги(£2) = 0, = 0, т.е. 5ъи — бгп' — 0 при х — £2 из (9) получаем еше
одно граничное условие:
F - -ш'Х" = О,
т.е. №"(¿2) = 0 при х = £2-
Таким образом, функция ги(х) удовлетворяет граничным условиям
ЦО) = Ц4) = 0, «/(0) = и/(£2) = 0, ги"(4) = 0. (13)
Если ю(х) > 0 для Ух £ (¿1,4) при 0 < £г < £2 < /, а вне этого интервала ги(х) = 0, то она должна удовлетворять граничным условиям
wi.il) = w(£2) = о, «/(¿1) = т'(£2) = 0, «/'(¿х) = т"(£2) = 0.
Таким образом, показано, что во всех случаях решение задачи (1) -(2) имеет непрерывную вторую производную.
\5wdx + Р5х\Ц +
Нетрудно увидеть, что для существования нетривиального решения уравнения (5) при граничных условиях (6) или (7) необходимо выполнение неравенства
р2 > 2у/й.
В самом деле, пусть р2 < 2л/ш и функция ю(х) ф 0 удовлетворяет уравнению (5), Тогда
70 = /%"2 - рV + шю2)сЬ = 0. Уо
(14)
С другой стороны, представляя функцию и)(х) рядом Фурье (ги(0) =
ю(е) = 0).
оо ,
, . ч . ктгх
Ь}\х) = 2^ак 81П ~г
к=1
и подставляя в (14), получим
к=1
кж
кж
т т' + <"
>
> > Ч к=1
к=1
> 0.
Общее решение уравнения (5) имеет вид ю(х) = С18т(т1ж) + С2 8т(т2ж) + сз со8(т1ж) + с^ соз(гп2х),
(15)
где
(16)
2. Устойчивость стержня при жестких ограничениях на перемещения с граничными условиями жесткой заделки
Подставляя (15) в граничные условия (6). получаем систему уравнений относительно произвольных ПОСТОЯННЫХ Ci, С2, Сз, С4 И ¿2
Сз + с4 = О, toiCI + га2с2 = О,
Ci sin ?/ + с2 sin г + Сз cos у + С4 cos г = 0, (17)
CiTTli COS у + С2т2 COS Z — С3ГП1 sin у — C4jn2 sin z — 0,
c\m\ sin y + c2ra¡ sin г + сзга2 cos у + cos z — О,
где у — mi£2, z = m2£2.
Рассматривая первые четыре уравнения относительно с1,с2,сз,с4 и приравнивая определитель матрицы коэффициентов
(
О
mi sint/
О
га2 sin 2
1 О
cos у
1 \ О
cos г
у raí cos у га2 cos г —raí sm у —га2 sin г
к нулю, получаем уравнение
2zy(l — cos z ■ cos у) — (z2 + y2) sin z ■ sin y — 0.
(18)
Если же рассмотреть первое, второе, третье и пятое уравнение системы (17) и приравнять определитель матрицы
(
0
raí sin у
0
га2 sin г
1 0
cos у
i \ 0
cos Z
\ т\ eos у га| cos г т\ sin у т2 sin г J к нулю, то уравнение будет иметь вид
г cos г • sin у — у sin 2 ■ cos у = 0.
(19)
Решения уравнений (18), (19) должны удовлетворять условию у > z > 0. Перепишем эти уравнения в виде
1
2(1 — COS£ • cosy) — (zy x + z гу) sin г • sin у = 0, , ,
zy-1 — ctg у ■ tgz. ^ '
Подставляя второе уравнение последней системы в первое, приходим к уравнению
2 cos г • cos у — 2 cos2 г • eos2 у — sin2 г • eos2 у — cos2 г • sin2 у = 0,
откуда после очевидных преобразований получаем cos г = cos у.
Из последнего равенства следует, что z = у + 2жк или z = — у + 2жк, поэтому, либо sin z = sin у либо sin г = — sin у.
Таким образом, все решения системы (18) - (19) будут иметь вид
y = -z, I у = Z, y,zeR. \ у, ze R.
(21)
у — 7Г + 27гг,
г = 7Г + 2*3, (22)
ьз е г.
Всем условиям задачи могут удовлетворять решения вида
у = т14 = тг(1 + 2г), ( у = т\1ъ = 27гг,
г; = т2£г = 7г(1 + 2_7'), или < г = т2^2 = 27г_7, (23)
г > 3- \ » >
Подставляя у и г в систему (17). получаем
Сз = С4 = О, С2 = — ГП1ГП2 1.
Положим о; = тхчщ1, тогда из (23) следует, что
1 + 2г г
а — --— . либо а — —. 24
1 + 2 3 3
Выражение для прогиба примет вид
ио(х) = с± (вт{ат2Х) — авп^тгж)). (25)
Так как т\ + т\ = р2, то т|(1 + а2) = р2. Из (16) будем иметь
о2 /V
или
откуда находим
.2,/. /Р4 ,Л /2 ^Р2
2 l + a¿ Г
р —-у/ш. (26)
а
Необходимо подобрать целые положительные числа i,j (г > j) в формулах (23) таким образом, чтобы р2, определяемое формулой (26), было как можно меньше, а с другой стороны функция w(x), определяемая выражением (25). была положительной на интервале 0 < х < 7r(l + 2j)m21, если т^г и m^íi вычисляются по формулами (23), или на интервале 0 < х < 2ттjm^1, если m\í2 и т2£2 определяются формулами (23).
Строя графики функций w(x) для различных чисел находим, что для минимального р величины m\t2, m2i2 определяются формулами (23) и i = 1, j = 0, a = 3, т.е.
m\l2 = З7Г, m2Í2 = тг, = Ю7Г2,
О
9 10 ,— . л/37Г
' = 3 ■^ 4 = W ( '
Если £ < л/Зтг/= £1 • то критическая сила находится из уравнения (18), где следует положить у = mi£, z = m2£. Так как
sin(3m2x) = 3sin(m2x) — 4sin3(m2a;),
то в (25) ci < 0.
Если í2 < £, то выражение для прогиба принимает вид
w{x) = с ■ sin3(m2x)H(£2 -х), хе[0,£], (28)
где с — —4ci, m2 — H(t)— функция Хевисайда,
2. Устойчивость стержня при жестких ограничениях на перемещения с граничными условиями шарнирного опирания
Подставим (15) в граничные условия (7). В этом случае в системе уравнений (17) необходимо заменить второе уравнение на т2сз+т|с4 = 0, откуда, с учетом первого уравнения получаем, что сз = С4 = 0 и система (17) заменяется на следующую:
С\ sin у + с2 sin z = 0,
С\Ш\ eos у + с2тп2 eos z = 0, (29)
Cimf sin у + с2тп2 sin z = 0.
Для существования нетривиального решения последней системы необходимо, чтобы
, , / sin u smz \ _ . , / sinu SII12 \ _ det у = 0 и det 2 • 2 • = О.
у mi cos у rri2 cos z J \ mi sin y m^ sin г J
(30)
Откуда получаем два уравнения
I
7712 COS г sin у = m\ cos у sin z, 7712 sin у sin z — m\ sin у sin z.
Из второго уравнения последней системы следует, что sin у = 0 или sin 2 = 0. Если sin у = 0, то из первого уравнения получаем sin z = 0 (ибо в противном случае cosy = 0, что невозможно), поэтому
у = mi¿2 = тгг, z = m2£2 = irj, i,j = 1,2,.... (31)
Из (31) и второго уравнения системы (29) получаем, что
„mi n Г 1, если (i — j) - четное число, с2 =-ci/3—, где/3=<^ ' Г- л
m2 \ —1, если (г — j) - нечетное число.
А из (15)
w(x) = Ci ( sin ТП\Х — /3— sin 77123; ) , (32)
V rn2 J
0<m2x<Trj, j = 1,2,....
Пусть a = mima1 = i "i-1, тогда формула (26) дает значение критической силы, Подбирая i,j таким образом, чтобы р2, определяемое формулой (26). было минимальным, а функция w{x) (32) была неотрицательной. находим, что
5
i = 2, j = 1, a = 2, р2 = -у/ш,
4/ш „ л/2?г
m2 = 12 = (33)
Если £2 < £, то прогиб задается формулой
w(x) = с (2 sin ^ + sin ^ ) Н(£2 -х), с> 0. (34)
V £"2 Ч /
Формулы (33) - (34) другим способом были получены в [4].
3. Устойчивость стержня при жестких ограничениях на перемещения с граничными условиями свободного края
Пусть продольная сила Р приложена к свободному краю стержня и сохраняет свое направление после потери устойчивости, а при х = О выполнены граничные условия жесткой заделки. В этом случае
ЦО) = 0, w(0) = О,
го"(£) = 0, w"(£) + Pw'(£) = 0. (35)
Покажем, что граничные условия (35) являются естественными для задачи (35)-(36). Применяя правило множителей Лагранжа. получаем задачу
1 íe
L(w) = - [w"2 + üjw2 - Aw'2)dx min, (36)
2 Jo w€H
Применяя формулу для вариации функционала, с учетом того, что xq — 0, хг = £, F = w"2 + üjw2 - Ли;'2), 8х = 0 при х = 0, х = £, Sw = 0, 5w' = 0 при х = 0 находим вариацию функционала L(w) :
SL(w) = J^ {wIV+ujw+Xw")Swdx+w"6w'\x=l-^Aw'+w"'^Jów\x=¿. (37)
Так, как SL(w) — 0, то выполнено уравнение Эйлера - Лагранжа (5) (А — р2 — Р), и полагая в (37) Sw' = 0, Sw — 1, или Sw' = 1, Sw — 0 получим (35).
В случае граничных условий свободного края в отличие от граничных условий жесткой заделки и граничных условий шарнирного опи-рання
р2 < 2 у/ш,
и общее решение уравнения (5) имеет вид:
w(x) = сгеах sm{ßx)+c2eax cos(ßx)+cze~ax sm(ßx)+c4e~ax cos(ßx), (38) где
а = ^ß=\\¡2V^ + P2, (39)
Будем считать, что существует участок полного прилегания к стенке,
w(x) = 0, X е [0,¿i],w(x) > 0, X е [£i,£]. (40)
Как и выше
w = 0, w' = 0, w" = 0 при х = £\.
Таким образом имеем две системы уравнений:
w{h) = 0, w'ih) = 0, w"(£) = 0, w"'{£) + Pw\£) = 0, (41)
= 0, w"(£i) = 0, w"(£) = 0, w"'(£) + Pw'{£) = 0. (42)
В системах уравнений (41) - (42) неизвестными являются переменные Ci — с4 и £\, Сила Р будет критической, если системы (41) - (42) будут иметь нетривиальное решение с\—с4. для этого необходимо, чтобы определители матрицы коэффициентов при с\ — с4 были равны 0. Ясно, что в системах (41) - (42) можно положить £\ = 0, (для этого достаточно заменить х на х — £\] тогда £ будет неизвестной величиной, подлежашей определению. Заменим £ на £. Определитель системы (41) имеет вид:
Ai(w, £, р) = cos2(/3£)(Cop2 - у/йр* + 2л/^)+ ~ \шр2 - ^Р4) + - \ир2 -
_ + I ^р4,
а определитель системы (42) равен
A2(lo, £,p) = l sm(/3£)p(p2uj - р+ 2\4^)+
+^ea*a(p2oj + p^yfa - 2лЛ7) - ^e~aia(p2oj + р^ - 2y/tf).
Определители Ai(u,£,p) и А2(и),£,р) были вычислены с помошью системы MAPLE, Таким образом, для нахождения £ и р2 имеем систему двух нелинейных уравнений:
Ai(w,£p) = 0, A2(u,lp) = 0. (43)
Система уравнений решалась методом Ньютона, Результаты вычислений приведены в таблице 1,
N 1 2 3 4 5 6
и 100 200 350 450 550 800
£ 0.745 0,627 0.545 0.512 0.487 0,443
Р2 12,6 17.8 23.5 26.7 29,5 35.6
pi 11,9 15.6 19.5 21.8 23,8 28.5
В таблице 1 в последней строке приведены значения критической силы Р = р2 для стержня, находящегося в упругой среде с жесткостью
Приведем результаты численного исследования рассматриваемой задачи. Для аппроксимации прогиба использовались сплайны
п+2
■ш = <%(ж) = Б*(ж;/г), п=10, ¿=1, /1 = 0.1, (44)
¿=о
где Вг(х; И), г Е 0 : п + 2, п > 4-нелое число.
ж 6 [0,1], Н=—, Х{ = гк, Вг(х; К) = В(х — (г — 3)/г), г = З..п — 1,
7Ъ
в{х> Ь) = Ш (¡И " I{х " н)+'+ " 2/г)+ " I~ 3/г)++1{х " 4/г)+)
Б! (яг; Л) = х+^ ( - ^х3 +1 (х - Л)3+ -\{х- 2Н% +1 (х - З/*)3 ), (45)
Бп(х; /г) = В2 (I - х), £„+1(х; /г) = Ях (I - х), Бп+2(х; /г) = В0(1 - х), х+ = шах{0, ж} = ^(|х| + ж).
Функции Вг{х\К) на каждом интервале [х^х^] г £ 0 : п - являются многочленами третьей степени, дважды непрерывно дифференцируемыми на всем отрезке [0, /].
Сплайны В,(ж; К) и их производные удовлетворяют условиям:
Бо(0; К) = 1, Вп+2{1; /г) = 1, В4(0; К) = 0, Н) = 0, г ф 0, г ф п + 2,
^(0; Л) = 1, К) = 1, ^(0; /1) = 0, В'{{1; К) = 0, г ф 1, » ф п + 1,
В2 (0; Л) = 1, В'п(1; К) = 1, #(0; /1) = 0, Л) = 0, г ^ 2, г ^ п.
Сплайны Вг(х; /¿) удобно применять для аппроксимации функций при решении вариационных задач. Рассмотрим, например, задачу об устойчивости сжимаемого продольной силой стержня. Подставляя (44) в (1) и (3) получаем две квадратичные формы
п+2 п+2 ж
/(и) = Ми,и) = - / К(х)^'(х) +
и = (щ), иц,..., тп+1, ги„+2) 6
^ ^ п+2 п+2 «1
ЯН = о = О X) / ^
2 ^ г=0 ,=0
Если положить г^о = О = 0. то будут выполнены граничные условия го(0) = 0 и и/(0) = 0, равенство иип = 0 влечет выполнение условия ю"(£) = 0. Граничное условие ы'" {£) + Рю'(£) = 0 является естественным. и оно будет выполнено автоматически в результате решения задачи оптимизации. Потребуем выполнение неравенств (2) в конечном числе точек:
п+2
w = y^WiSi(xk) >0, хк = —, к Е[ 1 : п]. z—' п
i=0
Приходим к задаче
f{u) —> min при ограничении g(u) — 1,
(46)
(47)
и с ограничениями (46).
Данная задача решалась локальным методом [2]. [3 . В при всех значениях о;. приведеных в таблице, значения критических сил с точностью до трех знаков совпадали со значениями, полученными в результате решения системы (16). например при ш = 550 полученное численным методом р2 = 29.506 На рис. 2 приведены формы равновесия стержня после потери устойчивости (получены численным методом).
0.7-0.6-0.5-0.4-0.3 -0.2-0.1 -
О
Рис. 1: Форма равновесия стержня после потери устойчивости при наличии односторонних ограничений на перемещения (слева) и без ограничений на перемещения (справа}
Литература
1. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука. 1967. 984 с.
2. Тарасов В. Н. Об устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения, // Труды института математики и механики. Российская академя наук. Уральское отделение. Том 11, № 1, 2005. С. 177-188.
3. Тарасов В. Н., Холмогоров Д. В. Некоторые задачи и методы конструктивно-нелинейной механики упругих систем, Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского университета. 1992. 189 с.
4. Холопов А. А. Минимальные формы потери устойчивости стержня на границе жесткой упругой сред // Вестн. Сыктыв-карск. ун-та. Сер. 1. - 1995. - Вып. 1. - С. 217 - 2S3.
Summary
Andryukova V. Yuv Tarasov V. N. On the stability of rod with
one-sided restrictions on the moving
Analytically solved the problem of stability of longitudinally compressed rod with one-sided restrictions on the movement of an elastic medium under various boundary conditions, The results obtained analytically, numerically tested and are fully consistent.
Keywords: rod. stability, critical force, boundary conditions, unilateral restrictions, the eigenvalues.
От.дел математики КНЦ УpОРАН
Поступила 25.05.2013
