CC BY
43
УДК 519.9
Е.Ю. Просвиряков, В.В. Стружанов
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ГРАДИЕНТНОГО ТИПА
Рассмотрены две системы автоматического управления градиентного типа, в которых параметры управления и состояния связаны некоторой потенциальной функцией. Предложены критерии потери устойчивости равновесия систем, а именно критерий, использующий дискриминантный конус потенциальной функции и критерий, опирающийся на определение устойчивости по Ляпунову.
1. Введение. Непрерывные системы автоматического управления описываются динамическими моделями вида (у j, са, Ь), где у^ — параметры состояния, са — параметры управления [1]. Если функции явно не зависят от времени, то получаем, так называемую, авто-
номную динамическую систему. Функции во многом аналогичны компонентам силы в классической механике. Существенное упрощение возможно тогда, когда сила является консервативной. В этом случае все функции могут быть заданы градиентом (по отношению к у^) некоторой потенциальной функции V(уj, са). В результате получаем систему уравнений, которую называют градиентной (). Особый интерес представляет изучение состояния равновесия (= 0) градиентных динамических систем, которое описывается системой уравнений дУ = 0. В этом случае возникает задача о том, каким образом состояния равновесия Уj(са) потенциальной функции V(уj, са) изменяются при изменении управляющих параметров.
Многие задачи механики деформируемых систем могут быть описаны в терминах теории автоматического управления. Действительно, в них существует объект управления (элемент конструкции) и система управления (передающие нагрузку тела). Роль параметров управления играют внешние силы или задаваемые перемещения на границах системы, а роль параметров состояния играют внутренние перемещения или деформации.
В настоящей работе рассматривается задача об исследовании положений равновесия механической системы, реализующей квазистатическое растяжение с кручением цилиндрического элемента конструкции. Задача сформулирована в терминах теории автоматического управления.
2. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему, состоящую из полого цилиндрического элемента конструкции, к обоим концам которого присоединены упругие стержни, передающие нагрузку. К свободным концам стержней (по-отдельности) прикладываем растягивающую силу р1 и крутящий момент р2, либо соответственно задаём перемещение щ и угол закручивания щ. При этом в полом цилиндре возникают растягивающее напряжение Т1 и деформация Х1, а также касательные напряжения Т2 и сдвиг Х2.
Данную механическую систему в зависимости от способа нагружения можно представить двумя типа- р\ ми систем автоматического управления. Первая система состоит из пяти элементов (см. рисунок).
На вход системы подаются сигналы р1, р2, а на р2 выходе генерируются сигналы Т1, Т2. Сначала сигналы р1, р2 преобразуются соответственно элементами 5 и 4 в сигналы щ, щ, поступающие затем в элементы 1 и 2 соответственно. Элементы 1 и 2 вырабатывают сигналы Х1, Х2, поступающие в элемент 3. Элемент 3, используя сигналы Х1, Х2 по известным (заданным), вообще говоря, нелинейным зависимостям Т1 = (Х1, Х2), Т2 = (Х1, Х2) вырабатывает сигналы Т1, Т2. Отметим, что все сигналы — положительные величины; Х1, Х2, щ, и2, Р1, Р2 е К1; функции Т1 и Т2 являются отображениями К2 ^ К1. Входные сигналы Р1, Р2 дей-
ствуют непрерывно в течение всего времени работы системы. При этом они изменяются столь медленно, что динамическими эффектами в системе можно пренебречь. Сигналы р 1, р2 будем называть параметрами управления, а сигналы Х1, Х2, и1, и2 — параметрами состояния данной системы автоматического управления.
Взаимосвязь между сигналами в системе в положении равновесия определяется следующим образом. Во-первых, выходные сигналы должны равняться входным, а именно р1 = Т1, Р2 = Т2. Во-вторых, при преобразовании сигналов и1 и щ элементами 1, 2 в сигналы Х1, Х2 про-
исходят потери, равные и1 - Х1, и2 - Х2. Условием равновесия процесса выработки автоматической системой сигналов Т1 и Т2 является пропорциональность потерь величинам этих сигналов, а именно,
Т1 Т2
и1 - Х1 = — , и2 - Х2 = — . (1)
Л-1 Л 2
Следовательно, для генерации выходных сигналов большей величины необходимо увеличивать сигналы и1, и2, при этом возрастают потери. Здесь Л1, Л2 ^ 0 — действительные числа, являющиеся характеристиками соответственно элементов 1 и 2 (жёсткости стержней, передающих нагрузку). Если, например, Л1 = 0, то потери в элементе 1 бесконечно большие и сигнал Т1 вообще не может быть сгенерирован. Если Л1 = те, то потери равны нулю (и1 = Х1). Аналогично и для параметра Л2.
Автоматическая система является градиентной, если существует потенциальная функция П, зависящая от параметров состояния и управления, такая, что условие УП = 0 определяет равновесие процессов. Здесь У — оператор Гамильтона в пространстве с размерностью, равной числу параметров состояния. С учётом равенства (1) должны иметь место следующие уравнения равновесия:
дП дП
—-= Т1 - Л1(и1 - Х1), —— = Т2 - Л2(и2 - Х2). (2)
дХ1 дХ2
Кроме того, учитывая равенства Р1 = Т1, Р2 = Т2, имеем ещё два уравнения, а именно,
дП дП
--= Л1(и1 - Х1) - Р1, --= Л2(и2 - Х2) - Р2- (3)
ди1 ди2
Восстанавливая теперь потенциал, находим П = V + Ш, где
Х1 Х1 Х2 Х2 Х2 Х1
V = ^ т1йх1 - Л1 ^(и1 - х1)йх1 +^ т2(1х2 - Л2 ^(и2 - х2)йх2 -^^ д~<1х1йх2,
0 0 0 0 0 0
Щ Ы2
Ш = Л^(И1 - Шщ - - Л2!(и2 - - Р2и2-
00
дТ1 дТ2
Здесь -----=--, а также учтено, что при Х1 = 0, Х2 = 0, и1 = 0 и и2 = 0 потенциал П = 0. Таким
дХ2 дХ1
образом, П является двухпараметрической функцией параметров управления Р1, Р2 и четырёх параметров состояния.
Вторая система автоматического управления состоит только из трёх элементов (элементы 1, 2, 3). На вход подаются сигналы и1, и2, а на выходе получаем сигналы Т1, Т2. Здесь параметрами управления являются и1, и2, а параметрами состояния — Х1, Х2. Система градиентальна с потенциальной функцией V, которая является двухпараметрической функцией (параметры управления и1, и2) от двух параметров состояния.
Теперь задача формулируется следующим образом. Необходимо исследовать на устойчивость по отношению к малым изменениям параметров управления равновесные состояния систем автоматического управления первого и второго типов, в которых параметры управления и состояния связаны уравнениями (2)-(3) (система первого типа) или уравнением (2) (система второго типа).
3. Дискриминантные конусы устойчивости. Уравнения (2)-(3) определяют так называемые критические точки функции П, в которых первая система находится в равновесии (устойчивом или неустойчивом). Смена типа равновесия происходит в вырожденных критических точках, где обращается в нуль детерминант матрицы Гессе Н(П) функции П [1,2]. Вычисляя гессиан, находим, что в вырожденной критической точке должно выполняться равенство
Н(П) = Л1Л2(сИс22 - с22) = 0, (4)
„ „ дт1 дт2 дт1 дт2
где с11 = дх1 , с22 = дх2 , с12 = дх2 = дх1 •
В трёхмерном евклидовом пространстве с координатами сц, сц, сц уравнение (4) определяет коническую поверхность (дискриминантный конус [2]). При близких к нулю значениях
сигналов Р1, Р2 элемент 3 вырабатывает сигналы, зависящие только от одной переменной, а именно, Т1 = Т1(Х1), Т2 = Т2(Х2). Тогда сц = 0, сц > 0, сц > 0. (В механической системе это соответствует состоянию упругости всех элементов). В этом случае изображающая точка находится внутри конуса.
Используя критерий Сильвестра [3], нетрудно показать, что в критической точке функции П, отвечающей данному положению изображающей точки, матрица Гессе Н(П) является положительно определённой. Следовательно, функция П является выпуклой вниз в этой критической точке и имеет локальный минимум [3]. Это означает, что положение равновесия устойчиво. Таким образом, если изображающая точка расположена внутри конуса, то система находится в устойчивом положении равновесия. Положение равновесия становится неустойчивым тогда, когда параметры управления таковы, что отвечающим им характеристикам с12, с11, сц элемента 5 соответствует изображающая точка, расположенная на конической поверхности. Это условие устанавливает ограничение на величину входных сигналов.
Для второй системы матрица Гессе Н(V) имеется только четыре компонента. В вырожденной критической точке функции V должно выполняться равенство
йе1 Н(V) = (с11 + Л1)(с22 + Л2) - с22 = 0. (5)
В определённом выше трёхмерном пространстве уравнение (5) определяет тот же дискриминантный конус, только вершина его расположена в точке с координатами с12 = 0, с11 = -Л1, сц = -Л2. Дальнейший анализ аналогичен изложенному выше. Отметим только, что для второй системы область устойчивости расширяется в силу обозначенного расположения вершины дискриминантного конуса.
4. Устойчивость по Ляпунову. Пусть система автоматического управления первого типа находится в равновесном состоянии. Возмутим это равновесие, увеличив входные сигналы на произвольно малые величины. Используя уравнения (2)-(3), запишем уравнение возмущённого равновесия, применяя матричную форму записи. Имеем
йт - Л(йи - йх) = 0, Л(йи - йх) - йР = 0. (6)
Здесь йт=(й Т2), л=(/01 Л2),йи=(й и1),йх=(йХ1),йР = ( ^),й т1=сийх1+сийх2,
йт2 = с12йх1 + с22йх2, йт = Сйх, С = с11 С12 . Из уравнений (6) следует, что
12 22
Сйх = йР. (7)
Дадим теперь определение устойчивости системы управления в смысле Ляпунова [4].
Определение. Положение равновесия системы является устойчивым, если для любого е > 0 можно указать 8 > 0 такое, что из неравенства |йР| < 8 следует неравенство |йх| < е, где йх и йР связаны уравнением возмущенного равновесия (7).
Очевидно, что непрерывная зависимость йх от йР нарушается тогда, когда матрица С вырождена. В этом случае при возмущении равновесия системы произвольно малым увеличением входных сигналов йР получаем неограниченное возрастание приращения параметров состояния йх. Условие устойчивости по Ляпунову нарушается и рассматриваемое положение равновесия системы неустойчиво. Следовательно, система автоматического регулирования первого типа теряет устойчивость тогда, когда detС = 0. Так как detС с точностью до положительного множителя равен detН(П), то матрица С вырождается одновременно с матрицей Н(П).
В случае, когда анализируется устойчивость системы управления второго типа, из уравнений (6) остаётся только первое, которое сводится к виду (С + Л)йх = Лйи. Очевидно, что С + Л = = Н(V). Условие устойчивости по Ляпунову утверждает, что из неравенства |йи| < 8 должно следовать неравенство |йх| < е. Отсюда система второго типа теряет устойчивость тогда, когда det(C + Л) = det Н (V ) = 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта № 07-08-00125)
библиографический список
1. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф [Текст]: В 2-х кн. / Р. Гилмор; пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — Кн. 1. —
350 с.
2. Постон, Т. Теория катастроф и её приложения [Текст] / Т. Постон, И. Стюарт; пер. с англ. — М.: Мир, 1980. —
608 с.
3. Хорн, Р. Матричный анализ [Текст] / Р. Хорн, Ч. Джонсон; пер. с англ. — М.: Мир, 1989. — 355 с.
4. Барбашин, Е. А. Введение в теорию устойчивости [Текст] / Е. А. Барбашин. — М.: Наука, 1967. —233 с.
Институт машиноведения Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург Поступила 07.03.2007
evgen_pros@mail.ги
УДК 001.891.57 М. В. Меньшов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ОСАЖДЕНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНОГО АЭРОЗОЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ ПЕРЕСЕЧЕННОГО РЕЛЬЕФА МЕСТНОСТИ
Проанализированы результаты математического моделирования переноса аэрозольного образования в условиях пересеченного рельефа местности с использованием верифицированной математической модели. Получены результаты, позволяющие проводить предварительную качественную оценку результатов распространения примесей в приземном слое атмосферы и осаждения их на подстилающей поверхности пересеченной местности.
В последние годы все более распространённым способом проведения авиахимических работ в сельском хозяйстве становится способ ультрамалообъёмного внесения рецептур с резко сниженными весовыми нормами, но обладающих несравнимо большей химической активностью, по сравнению с используемыми ранее веществами. Такого рода работы проводятся в условиях слабо- и среднепересечённой местности, в предположении сохранения динамики осаждения аэрозольных образований, характерной для соответствующих процессов над равнинной местностью. Имеющиеся на практике негативные результаты (дальние выносы аэрозольного облака; наличие зон концентраций, превышающих допустимую, и пр.) списываются, как правило, на случайные порывы ветра или другие форсмажорные обстоятельства.
В данной работе анализируются результаты математического эксперимента, проведённого с помощью модели, подробно описанной в работе [1], где были представлены результаты её верификации в условиях блокирующей инверсии в пограничном слое атмосферы (ПСА).
Модель реализуется в несколько этапов. Сначала, исходя из результатов предварительных измерений необходимых метеопараметров, решается задача на установление динамического потока в условиях заданного рельефа местности [2, 3]. Расчёты базируются на решении уравнений гидротермодинамики с учётом автомодельных зависимостей Монина—Обухова [4] и теории подобия в слое постоянных потоков. Турбулентное замыкание проведено на основе двумерной модели Смагоринского [5].
Полученные при этом характеристики, такие как компоненты скорости ветра, значение коэффициента турбулентности, а также высота устойчивого приземного слоя, используются за тем при реализации блока переноса примеси, в основе которого лежит уравнение полуэмпири-ческой теории переноса и турбулентной диффузии для концентрации С(х, у, г, Ь):
дС диС диС д(ш - шс)С д дС д дС д дС
~^7 + ^— + ^— +-----д-----= ас^~Кх^~ + ас^-Ку^~ + ас^-Кг— + Яс, (1)
дЬ дх ду дг дх дх ду д у дг дг
где и, V, ш — компоненты вектора скорости; — скорость гравитационного оседания примеси; Кх, Ку, Кг — коэффициенты турбулентного обмена в направлениях х, у, г соответственно; ас = 1/Бш; Бш — число Шмидта; Яс — интенсивность эмиссии вещества (гм-3с-1).
Базовый набор краевых условий для уравнения (1) формулируется в следующем виде: на боковых границах области —
дС дС
— = 0, — =0; дХ ду
на подстилающей поверхности —
дС
Кг — = 0 при г = 8 + ги, дг
