Об устойчивости нечетких систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (2). C. 17-25

УДК 519.71

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ

В.А. Горюшкин

Московский авиационный технологический институт (МАТИ - РГТУ) имени К.Э. Циолковского, 121552, г. Москва, ул. Оршанская, 3

E-mail: msu28@bk.ru

Найдены условия асимптотической устойчивости систем с нечетким управлением на основе использования квадратичной и нечеткой функций Ляпунова.

Ключевые слова: нечеткие модели Takagi-Sugeno, нечеткая функция Ляпунова, устойчивость, нечеткий наблюдатель, нечеткий регулятор

© Горюшкин В.А., 2011

MSC 93C42

ON STABILITY OF FUZZY CONTROL SYSTEMS

V.A. Goryushkin

«MATI» - Russian State University of Aviation Technology. 121552, Orshanskaya st., 3, Moscow, Russia E-mail: msu28@bk.ru

Some asymptotic stability conditions of fuzzy control systems via quadratic and fuzzy Lyapunov functions are considered.

Key words: Takagi-Sugeno fuzzy models, fuzzy Lyapunov function, stability, fuzzy observer, fuzzy controller

© Goryushkin V.A., 2011

Введение

Важной задачей при исследовании систем управления, имеющих нелинейности и неопределенности, является задача определения состояния системы в зависимости от начальных данных. Для линейных систем эта задача решается построением линейного наблюдателя для наблюдаемой системы. В теории линейных систем одним из важнейших результатов является принцип разделения, состоящий в том, что построение регулятора и наблюдателя может быть выполнено раздельно вне зависимости от устойчивости замкнутой системы (см. [1, 2]).

В настоящей работе принцип разделения распространен на классы нелинейных систем с нечетким управлением. Кроме того, для этих классов найдены условия асимптотической устойчивости. Эти условия могут быть использованы в задачах совершенствования технологических процессов и технических систем нечеткого управления, а также для решения задачи безопасности функционирования процессов и систем.

При построении непрерывных моделей Так^^Б^епо (см. [3]) используются нечеткие предикатные правила.Например, если 11(г) есть Иц и ... и гр(г) есть Мр,

ТО I * (*) = А'* (*) + (г),

\ у (г)= С'Х (г), ' = 1, 2,... г,

где И^ - нечеткое множество, г - число нечетких правил, *(г) € Кп - фазовый вектор, и (г) € Кт - вектор входа, у (г) € К - вектор выхода, Аг- € Кп х п, В € Кп х т, С € № х п, г(г) = (г1 (г), ... , гр(г)) - вектор известных переменных посылок, которые могут быть функциями фазовых переменных, внешних возмущений или времени.

Нечеткие модели Takagi-Sugeno обладают высокими аппроксимационными свойствами. Увеличивая число п можно описать с высокой точностью нелинейные динамические процессы. Кроме этого, усредняющие свойства механизма вывода и специфический вид функций принадлежности позволяют сделать модели Takagi-Sugeno малочувствительными к погрешностям измерений.

Являясь нелинейными и непрерывными функциями входных переменных и параметров, нечеткие модели Takagi-Sugeno позволяют аналитически исследовать устойчивость нелинейных систем.

Примеры нечетких моделей

Одним из методов исследования устойчивости нечетких систем является метод линейных матричных неравенств, который используется для анализа устойчивости однородных непрерывных и дискретных нечетких систем. Удобство метода линейных матричных неравенств связано с возможностями его численной реализации в интегрированной среде МЛТЬЛБ.

Для иллюстрации конкретных шагов по построению нечетких моделей рассмотрим два примера.

Пример 1. В нелинейной ситеме

*1(г) = 2*1 (г)+ *1 (г) *2 (г),

*2 (г )= *2 (г) + (2+*2 (г)) *1 (г),

будем предполагать для простоты, что x,(t) є [-1, 1] и x2(t) є [-1, 1]. Перепишем систему в виде

( *i(t) ) = ( 2 Xi(t) х3 (t) ) ( Xi(t) )

V X2(t) ) V (2 + X2(t))x2 (t) 1 ) V X2(t) ) '

Обозначим x(t) = ^ X1 (t) ^ , -X (t) = ^ Xl (t) ^. Нелинейные члены х, (t)x3 (t) и

(2 + X2 (t)) X, (t) обозначим как zi (t) и Z2 (t), т. е. Zl (t) = X, (t) X3 (t), Z2 (t) = (2 + X2 (t)) х, (t).

Тогда исходная система перепишется в виде

X (t ) = ( 2 «) f) ) X (t).

Найдем теперь минимальное и максимальное значения zi (t) и Z2 (t) при условии, что x,(t) є [-1, 1] и x2(t) є [-1, 1]. Очевидно, что

min z1 (t) = -1, max z1 (t) = 1,

Xl(t), X2(t) Xl(t), X2(t)

min z2 (t) = 0, max z2 (t) = 3.

Xl(t), X2(t) Xl(t), X2 (t)

Таким образом, нелинейные члены zi (t) и Z2 (t) могут быть представлены в виде

zi (t)= м, (z, (<)) ■ 1 + м2 (zi(t)) ■ (-1),

Z2(t)= M2 (Z2(t)) ■ 3 + m2 (Z2(t)) ■ 0 ,

где

M, (z, (t))+ м2 (zi (t)) = 1,

M2 (Z2 (t)) + M22 (Z2 (t)) = 1.

Выражая функции принадлежности нечетких множеств Mj через zi (t) и Z2 (t), получим:

M, (zi (t)) = , М2 (zi «))= ,

М2 (Z2 (t)) = ^, М22 (Z2 (t)) = ^.

Правило модели 1

ЕСЛИ z, (t) есть M, и z2 (t) есть М|, ТО ,X(t) = A,x(t).

Правило модели 2

ЕСЛИ z, (t) есть М| и z2(t) есть М2, ТО X(t) = A2x(t).

Правило модели З

ЕСЛИ z, (t) есть M и z2 (t) есть М|, ТО ,X(t) = A3x(t).

Правило модели 4

ЕСЛИ г1 (?) есть М2 и г2 (?) есть М], ТО Х(?) = Л4х(?).

Здесь Л, = ( 3 1 ), Л2 = ( 2 1 ), Лз = ( 3 —1 ), Л4 = ( 2 —1

4

При дефаззификации получаем Х (?) = £ йг- (г (?))Лг-х (?), где

1=1

Й1 (г(?)) = м1 (г1(?)) х М| (г2О)), й2 (гО)) = м1 (г1(?)) х М2 (г2О)),

йз (г(?)) = М!2 (г1(?)) х М| (г2О)), й4 (гО)) = М* (г1(?)) х М2 О)).

Эта нечеткая модель точно представляет нелинейную систему в области [-1, 1] х [-1, 1].

Пример 2. Рассмотрим нелинейную систему

Х1(?)= Х2 (?)+ Х2(?)+ (хї (?) + 1) и (?) , ХС2(^ )= 3x1 (^) + Х2(?),

Хз(0 = х1 (?) х4?) + Хз(0, -Х4(?) = Х2(^) + Х2(?), (1)

У1 (?) = (х1(?) + 1) Х2 (?) + Х4(?), У2(?) = Х2(?)+ 2Хз(?).

Предположим, что х1(?) и хз(?) в системе (1) наблюдаемы и при этом х2(?) и х4(?) оцениваются нечетким наблюдателем. Также предположим, что

х1(?) є [—а, а] , хз(?) є [—Ь, Ь] , (2)

где а и Ь принимают положительные значения. Нелинейные члены х2(?) Ь х4(?) можно представить в виде

х2 (?) = М1 (х1 (?)) ■ а2 + М^ (х1 (?)) ■ 0, х4 (?) = М2 (хз (?)) ■ Ь4 + М| (хз (?)) ■ 0,

где

М1 (Х1 (?)), М2 (х1 (?)), М2 (хз (?)), М| (хз (?)) є [0, 1],

М1 (Х1 (?)) + М2 (х1 (?)) = 1, М2 (хз (?)) + М| (хз (?)) = 1.

Решая эти уравнения, получим:

М1 (Х2 (?)) = , М2 (х1 (?)) = 1 — М1 (Х1 (?)) = 1 — Х1(?),

а2 а2

М2 (хз (?)) = ^, М2 (хз (?)) = 1 — М2 (хз (?)) = 1 — ~ЬГ.

Тогда нелинейная система представляется нечеткой моделью Так^і-Б^епо, задаваемой с помощью правил вида:

Правило 1

ЕСЛИ х1(?) есть М1 и хз(?) есть м2,

, Х(?) = Л1 х(?) + В1и (?),

Ш < у(?)= С1Х(?).

Правило 2

ЕСЛИ xl(t) есть Ml и x3(t) есть M|,

ТО

X(t) = A2x(t)+ B2w (t) y(t) = C2X(t).

Правило 3

ЕСЛИ XI (?) есть м2 и х3(?) есть М],

ТО

X(t) = А3x(t) + B3w (t), y(t) = C3x(t).

Правило 4

ЕСЛИ XI (?) есть М] и х3(?) есть М],

ТО

X(t) = A4x(t) + B4w (t), y(t) = C4X(t) .

Al =

A2 =

(t) = (Xl(t ), X2(t), X3 (t), X4(f))T ,

О 3 1 0 0 \ a4 + 1 \

1 0 0 О

О 0 1 a4 , Bl = О

О 1 0 О О /

О 3 l b2 0 > ( a4 + 1 \

1 0 0 О

О 0 1 a4 , B2 = О

О l b2 О О /

О 3 1 0 0 \ ( 1 \

1 0 0 0

А3 = О 0 1 0 , B3 = 0

О 1 0 О О

О 3 l b2 0 > (1 \

1 0 0 0

A4 = О 0 1 0 , B4 = 0

О l b2 О О

Cl =

C2 =

C3 =

C4 =

0 a4 + 10 1 О l 2 О

a4 +1 l

О

2

О

2

О

2

Нечеткая модель, задаваемая указанными правилами, является точным представлением нелинейной системы (1) при условиях (2) в случае, когда исходные переменные не зависят от оценки переменных х2(?) и х4(?). При численном моделировании можно задавать различные значения а и Ь в рамках использования изучаемой технической системы.

Построенный нечеткий регулятор делает асимптотически устойчивой систему управления в целом, при этом оценка нечеткого наблюдателя состояния нелинейной системы является оценкой, которая характеризуется отсутствием стационарных ошибок.

Построение нечеткого регулятора нелинейной системы в общем случае

Пусть г(?) = (^(0, ... , гр(0), (г(?)) - произведение всех различных М,/, соот-

ветствующих ,му правилу, то есть

(г(^)) = Пм*7 (г/(?)), й, (г(?^ ^ (г ())

Г

/■=! £ (г (?))

,= 1

Г

Тогда для всех ? выполнено: £ й, (г(?)) = 1, й, (г(?)) > 0. Полагаем:

,= 1

Г

X (*) = £ й, (г (?)) (А,х (?) + В, и (?)) ,

,= 1

У ) = £й, (г(?)) С,‘х (?). (3)

,= 1

При построении нечеткого наблюдателя требуется (см. [4, 5]), чтобы выполнялось соотношение

х (?) = х (?) ^ 0

При ? ^ », где х(?) положение вектора, определенное нечетким наблюдателем. Это условие гарантирует стремление к нулю стационарной ошибки. Структура нечеткого наблюдателя для непрерывной нечеткой системы задается с помощью правил следующего вида:

ЕСЛИ г1(?) есть Мг1 и ... и гр(?) есть М,р

ТО Г х (?)= А,х (?) + В,и (?)+ К, (у (?) - .у (?))

\ .у(?) = С,х(?), , = 1,2,...,г.

Если вектор г(?) не зависит от состояния переменных, определенных нечетким наблюдателем, то при наличии нечеткого наблюдателя регулятор примет вид

и 0) = - £й, (г 0)) Я,х 0). (4)

,= 1

Соответствующие правила управления имеют следующий вид:

ЕСЛИ г1 (?) есть М^ и ... и гр(?) есть М,р, ТО

и (?) = - £ й, (г (?)) Я,х (?).

,= 1

Нечеткий наблюдатель для непрерывной нечеткой системы задается равенствами х (?) = - й, (г (*)) (Ах (?) + В,и (?) + К, (у (?) - у (?))), (5)

І=1

y(t) = Е hi (z(t)) CiX(t). i=l

С учетом (3)-(5) расширенная непрерывная система принимает вид

в (і ) = І Ій (г (()) й, (г (»)) Су в (»),

,= 1 7=1

где в (і) = (х (і), а (і)), Сі] = ^ А Вг^ ААкс и а (і) определяется уравне-

А, — Ві^,- В,.?] ч А, — К,С,-

нием

а (і) = І І й(г (і)) й7 (г (і)) (АК — С7) а (і) • і=1 7=1

Здесь значения ^}, К, находятся с помощью техники выпуклой оптимизации на основе линейных матричных неравенств (см., например, [5]).

Асимптотическая устойчивость состояния равновесия нечетких управляемых систем

Система х (і) = f (х (і), и (і)) называется квадратично устойчивой, если существует квадратичная функция, V (х (і)) = хт (і) Рх (і), V (0) = 0, удовлетворяющая условиям

V (х (і)) > 0 Ух (і) = 0 ^ Р > 0 и V (х (і)) < 0 Ух (і) = 0.

Если такая функция V существует, то она называется функцией Ляпунова. Рас-

Г

смотрим систему х (і) = І й, (г (і)) А,х (і). Условие V (х (і)) < 0 переписывается в виде

,= 1

V (х (і)) = хт (і) Рх (і) + хт (і) Рх (і) = т

І й, (г (і)) А,х (і) ) Рх (і) + хт (і) Р ( І й, (г (і)) А,х (і)

4=1 / \,= 1

= І й, (г(і)) (хТ (і) (аТр) х (і) + х (і) (раі) х (і)) =

,= 1

= І й, (г (і)) хт (і) (АТР + РА,) х (і) < 0. і=1

Таким образом, достаточным условием асимптотической устойчивости рассматриваемой системы является наличие положительно определенной матрицы , такой, что АТР + РА, < 0, і = 1, 2,..., г.

Для получения условий устойчивости для замкнутых систем, подставим выражение

: (t) = - Е hi(z (t)) (t)

І=1

в равенство х(і) = І й, (г(і)) (А,х(і) + В,и(і)). Тогда получим:

І=1

X (t) = Е Е hi (z (t))hj (z (t)) (Ai - Бі^7) (6)

i=l j=l

Г

Это означает, что система х(?) = £ й, (г(?)) (А,х(?) + В,и(?)) асимптотически устой-

,= 1

чива, если существует положительно определенная матрица V такая, что (А, — В,^) Р+ Р (А, — В,^) < 0 для всех ,, 7 = 1, 2,..., г.

Это условие можно записать в более удобной форме. Собирая в правой части выражения (6) вместе члены с одинаковыми индексами и обозначая О,, = А, — В,^,

0,7 = А- — В^-, получим:

х (?) = £ й (г(?))й (г(?)) 0«х (?) + 2 £ £й(г (?)) й7(г (?)^1 (в/ + О/О) х(?).

г=1 г=1 г< 7 V2 /

Таким образом, положение равновесия системы (6) глобально асимптотически устойчиво, если существует общая положительно определенная матрица такая, что одновременно выполняются условия

ОТ-Р + Рви < 0 и (2(0,7 + О^Р + Р (1 (0,7 + О7-*)С < 0

для всех г < 7 .В частности, если В1 = В2 = ... = ВГ , то второе условие становится следствием первого: если найдется матрица В - общая для всех слагаемых в системе (6), то для устойчивости достаточно существования такой положительно определенной матрицы , что в-,Р + РО,, < 0.

В случае, когда исходные переменные г(?) оцениваются нечетким наблюдателем, г (?) = г (?), и мы должны писать (г (?)) вместо (г (?)). Тогда нечеткий наблюдатель

вместо

х (?) = — £ й, (г (?)) (А,х (?)+ В,и (?) + Кг (у (?) — у (?))), у (?) = £ й, (г (?)) С,х (?)

г=1 г=1

будет иметь вид:

■X (?) = — £ Й, (г (?)) (А,Х (?)+ В,и (?)+ К, (у (?) — у (?))), у (?) = £ Й, (г (?)) С,Х (?).

г=1 ,= 1

Соответственно нечеткий регулятор запишется в виде

и (?) = — £й, (г (?)) да (?)

,= 1

Для получения условий устойчивости снова подставим и (?) в выражение для X(?) и соберем в правой части слагаемые с индексами ,77 вместе. Получим:

х(?) = £ £ £й, (г(0)й; (г(?))й* (г(?)) 0,;*х(?) +

,= 1 7=1 *=1

= £ £й, (г (?)) й; (г(?)) й; (г (?)) 0шх (?) +

,=1 7=1 ( ( сс +2 £ £ й, (г(?))й^ (г(?))й* (г(?)) (1 (0,7* + О,*,-ССх(?).

,= 1 7<*

Следовательно, положение равновесия системы

-х«)=£ £ £ hi (z (t ))hj (z (t)) hk (z (t)) Gijkx (t) i=i j=i k=i

глобально асимптотически устойчиво, если существует такая общая положительно определенная матрица , что одновременно выполняются условия G-jP + PG'jj < 0

и (1 (Gijk + Gikj))TP + P (1 (Gijk + Gikj)) < 0 для всех i, j < k.

Замечание. Недостатком рассмотренных условий устойчивости является то, что они не используют входящие в исходную систему функции hi(t). Для того чтобы использовать эти функции, рассмотрим вместо квадратичной функции Ляпунова нечет-

Г

кую функцию Ляпунова. Эта функция имеет вид V (х (t)) = £ hi (z (t)) xT (t) Px (t) [6].

i=i

Применим нечеткую функцию Ляпунова для нахождения условий устойчивости системы (3) при наличии регулятора (4). В прежних обозначениях (Gjk = Aj — BjFk) получаем следующее утверждение.

Теорема. Пусть все h' (t) ограничены: |hi (t)| < 8i для всех i, a 8i - заданные

положительные числа; и пусть все матрицы Pi, входящие в локальные квад-

ратичные функции Ляпунова хТ (t) Px (t) , пропорциональны: Pj = YjP для всех i, j = 1, ..., r и Yij > 0 для i = j, Yij = 1, для i = j. Тогда система (3) стабилизируется посредством нечеткого регулятора (4), если найдутся такие положительно

определенные матрицы P и матрицы Fi, что £ 8kPk + (G-P + PiGjj) < 0, ', j =

k=i v '

T

i, ..., r и (i (Gjk + Gkj)) P + P (i (Gjk + Gkj)) < 0 для всех i, j, k = i, ..., r таких, что j < k.

При доказательстве теоремы ограниченность hi (t) используется для оценки производной V (х (t)), а пропорциональность матриц Pi позволяет собрать подобные члены в выражении для правой части V(х(t)).

Литература

1. Driankov D., Hellendorm H., Reich Frank M. An introduction to fuzzy control. - Berlin: Springer, 1996.

2. Афанасьев В.Н. Динамические системы управления с неполной информацией: алго-ритмическое конструирование. - М.: УРСС, 2007.

3. TAKAGI T., SUGENO M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE Trans. Systems Man Cybernet. - 1985. - Vol.15. - № 116. - P. 116-132.

4. Емельянов С.В., Коровин С.К. Наблюдатели состояния для неопределенных систем // Математическое моделирование. Проблемы и результаты. - М.: Наука, 2003. - С. 12-35.

5. TANAKA K., WANG H.O. Fuzzy regulators and fuzzy observer: a linear matrix inequality approach // Proc. Of 36th IEEE Conference of Decision and Control. Vol.2. - San Diego, 1997. - P. 1315-1320.

6. TANAKA K., HORI T., WANG H. O. A multiple Lyapunov function approach to stabilization of fuzzy control systems // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. - 2003. - № 11(5) - P. 582-589.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 05.02.11